A FIGURA DA MANDORLA E DA VESICA PISCES AS SUAS POSSIBILIDADES DE CONSTRUÇÃO

UNIVERSIDADE DE LISBOA FACULDADE DE BELAS-ARTES

A FIGURA DA MANDORLA E DA VESICA PISCES AS SUAS POSSIBILIDADES DE CONSTRUÇÃO

Filipe Alberto da Silva

MESTRADO EM DESENHO 2013

UNIVERSIDADE DE LISBOA FACULDADE DE BELAS-ARTES

A FIGURA DA MANDORLA E DA VESICA PISCES AS SUAS POSSIBILIDADES DE CONSTRUÇÃO

Filipe Alberto da Silva Dissertação orientada pelo Prof. Doutor Artur Ramos

MESTRADO EM DESENHO 2013

Resumo

Esta dissertação tem por objetivo dar a conhecer a figura geométrica da Vesica Pisces e da Mandorla que deriva dela. A Vesica é construída com apenas duas circunferências. Esta forma geométrica permite criar todas as figuras geométricas de três, a doze lados iguais. O estudo foi levado com a intenção de revelar todas as potencialidades da Vesica Pisces e casos que revelam o seu uso ao longo da história. A pesquisa foi efetuada em dois campos. Um teórico, onde se procurou autores que referem a Vesica Pisces de forma direta ou indireta. E outro campo prático, onde de régua e compasso revelaram-se exaustivamente (mas seguramente não todas) as construções possíveis de serem construídas por duas circunferências ou dois arcos apenas. A Vesica e a Mandorla respetivamente. Pelos diversos exemplos apresentados ao longo da dissertação, é corroborado a simplicidade da construção da Vesica que origina a complexidade de formas geométricas. Este método é assim mais próximo da intuição do artista e de grande utilidade no compêndio didático pela sua facilidade de execução.

Palavras chave

Mandorla, Vesica Pisces, Geometria Sagrada, geometria, desenho geométrico, desenho, construções geométricas, rosácea, arquitetura sagrada.

Abstract

This dissertation aims to introduce the geometric figure of the Vesica Pisces and the Mandorla that derives from it. The Vesica is built with only two circumferences. This figure allows you to create geometric figures from three to twelve equal sides. The study was carried out for the purpose of revealing Vesica Pisces´ full potential and to unveil its use throughout history. Research was conducted in two fields: theoretical, which focuses on authors who refer to the figure of the Vesica Pisces directly or indirectly; and practical, where with the ruler and compass we expose exhaustively (but certainly not all) the possible constructions starting only with two circumferences or two arches. Namely the Vesica Pisces and the Mandorla. Throughout several examples presented in this dissertation is corroborated the simplicity of Vesica's construction which leads to the compositional complexity of geometrical figures. This simple method of construction of more complex geometrical figures gets us closer to the artist's intuition and useful for its ease of implementation in the teaching compendium.

Keywords

Mandorla, Vesica Pisces, Sacred Geometry, geometry, geometric design, drawing, geometric constructions, rose window, sacred architecture.

Agradecimentos Em primeiro lugar, quero agradecer ao meu orientador, o professor Artur Ramos que ajudou a direcionar o trabalho para um bom fim, sem o qual a especificidade do tema não teria sido possível. De seguida, o meu agradecimento ao diretor do mestrado em Desenho, o professor António Pedro por tornar possível a presente dissertação sobre o tema do Desenho. Um agradecimento ao professor António Trindade pelas suas referências bibliográficas. Outro agradecimento aos professores Augusto Oliveira e Olga Pombo da Faculdade de Ciências pela disponibilidade e ajuda nas referências bibliográficas para o primeiro capítulo. Um agradecimento também aos professores Paulo Mendes Pinto e José Carlos Calazans da Universidade Lusófona pela disponibilidade e ajuda para desvendar a origem do símbolo da Vesica Pisces. Um agradecimento ao professor Raimon Arola da Universidade de Barcelona pelas indicações sobre o símbolo da Vesica Pisces. Um especial agradecimento ao amigo Rui Lomelino Freitas, Juan Almirall e João Jorge pelo apoio e inteira disponibilidade em debater o tema da geometria sagrada. Um grande agradecimento ao meu irmão José da Silva pela total disponibilidade em fotografar o mosteiro da Batalha e a catedral de Chartres. Outro especial agradecimento ao amigo Lester Garcia Cobos pela inteira disponibilidade em oferecer a sua erudição no campo das matemáticas. Um grande agradecimento ao amigo Alex Whitaker pela ajuda disponibilizada na pesquisa da Vesica Pisces no Período Neolítico. Um enorme agradecimento a professora de História Medieval Maria João Violante Branco e ao investigador Luís Ribeiro da Universidade Nova pelas pistas sobre a imagem medieval da Vesica Pisces. Um especial agradecimento a diretora dos manuscritos e incunábulos Karin Zimmermann da Biblioteca Universitária de Heidelberg pela imagem medieval da Vesica Pisces. E por último, um grande agradecimento a Ana Paula Elekes, Vera Tendeiro, José da Silva, Vânia Costa, Cláudio Capitão e João Pedro Borges pela revisão do texto.

Um grande obrigado a todos, sem a qual a elaboração da dissertação não teria sido possível.

ÍNDICE INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1 1. ORIGEM DA GEOMETRIA ........................................................................................ 6 1.1. Origem da palavra Geometria ......................................................................................... 8 1.2. Origem da organização do espaço como geometria ........................................................ 9 1.3. Lenda sobre a invenção dos instrumentos geométricos ................................................ 11 2. ORIGEM E SINAIS DA VESICA PISCES AO LONGO DA HISTÓRIA ............... 12 2.1. Origem dos termos Vesica Pisces e Mandorla .............................................................. 12 2.2. Neolítico – Grã-Bretanha (2500 a. C. e 2000 a. C.) ...................................................... 16 2.3. Antiguidade Clássica – Euclides ( 360 - 295 a. C.) ....................................................... 19 2.4. Idade Média – Thomasin Von Zirclaere ( 1186 – 1245) ............................................... 22 2.5. Idade Média – Villard de Honnecourt (século XIII) ..................................................... 24 2.6. Quattrocento - Mathes Roritzer (aproximadamente 1435 - 1495) ............................... 27 2.7. Cinquecento - Leonardo da Vinci (1452 - 1519) .......................................................... 29 2.8. Cinquecento - Sebastiano Serlio (1475 - 1554)............................................................. 32 2.9. Cinquecento - António Rodrigues (aproximadamente 1525 - 1590) ............................ 29 3. CONSTRUÇÕES E CURIOSIDADES GEOMETRICAS DA MANDORLA E DA VESICA PISCES ............................................................................................................ 33 3.1. Construção da Mandorla ............................................................................................... 36 3.2. Construção da Vesica Pisces ......................................................................................... 37 3.3. Construções geométricas pela Mandorla ....................................................................... 39 3.3.1. Construções pela Mandorla – o triângulo ............................................................... 40 3.3.2. Construções pela Mandorla – o quadrado ............................................................... 42 3.3.3. Construções pela Mandorla – o pentágono ............................................................. 46 3.3.4. Construções pela Mandorla – o hexágono .............................................................. 48 3.3.5. Construções pela Mandorla – o heptágono ............................................................. 49 3.3.6. Construções pela Mandorla – o octógono ............................................................... 51 3.3.7. Construções pela Mandorla – o eneágono .............................................................. 54 3.3.8. Construções pela Mandorla – o decágono .............................................................. 57 3.3.9. Construções pela Mandorla – o dodecágono .......................................................... 58 3. 4. Construções geométricas pela Vesica Pisces. .............................................................. 60

3.4.1. Construções pela Vesica Pisces – o triângulo ......................................................... 61 3.4.2. Construções pela Vesica Pisces – o quadrado ........................................................ 63 3.4.3. Construções pela Vesica Pisces – o pentágono....................................................... 65 3.4.4. Construções pela Vesica Pisces – o hexágono ........................................................ 70 3.4.5. Construções pela Vesica Pisces – o heptágono....................................................... 73 3.4.6. Construções pela Vesica Pisces – o octógono ........................................................ 76 3.4.7. Construções pela Vesica Pisces – o eneágono ........................................................ 78 3.4.8. Construções pela Vesica Pisces – decágono ........................................................... 79 3.4.9. Construções pela Vesica Pisces – o hendecágono .................................................. 80 3.4.10. Construções pela Vesica Pisces – o dodecágono .................................................. 81 3.5. Propriedades geométricas da Mandorla e da Vesica Pisces ..................................... 84 3.5.1. Construções dos ângulos da Vesica Pisces ............................................................. 85 3.5.2. Origem da Secção de Ouro ..................................................................................... 87 3.5.3. A Secção de Ouro como elemento de criação do Belo ........................................... 88 3.5.4. Construções da Secção de Ouro na Mandorla e na Vesica Pisces .......................... 90 3.5.5. A Raiz quadrada na Mandorla e na Vesica Pisces .................................................. 94 3.5.6. Construção da raiz quadrada de 3 na Mandorla ...................................................... 95 3.5.7. Construção da raiz quadrada de 2 e 5 na Vesica Pisces .......................................... 96 3.5.8. A origem do triângulo de Pitágoras ........................................................................ 97 3.5.9. Construção do triângulo de Pitágoras na Vesica Pisces .......................................... 98 4. TESTEMUNHOS DA MANDORLA E DA VESICA PISCES NA CONSTRUÇÃO MEDIEVAL PORTUGUESA......................................................................................... 99 4.1. Igreja de São Pedro de Rates ....................................................................................... 105 4.2. Igreja da Nossa Senhora da Pena ................................................................................ 107 4.3. Mosteiro de Santa Maria da Vitória ............................................................................ 109 4.4. Construção da rosácea pela Vesica Pisces .................................................................. 113 4.4.1. Igreja de São João de Tarouca .............................................................................. 114 4.4.2. Construção da rosácea de São João de Tarouca pela Vesica Pisces ..................... 117 5. CONCLUSÃO .......................................................................................................... 118 6. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................... 123 7. ANEXOS ................................................................................................................... 137

7.1. Breves exemplos do uso da Mandorla na arte ocidental cristã.................................... 137 7.2. Método de construção das flores existentes nos polígonos construídos ..................... 142 7.3. Anexos – Flores dos polígonos ................................................................................... 144

INTRODUÇÃO

O tema da dissertação aborda duas figuras geométricas: a Vesica Pisces e a Mandorla. A Mandorla deriva da Vesica Pisces, pelo que, a Vesica Pisces é a forma basilar deste trabalho. A distinção entre as duas formas será mencionada no terceiro capítulo, mas sumariamente, a Mandorla é criada por dois arcos de círculo e a Vesica por dois círculos completos. De traçado simples, com dois círculos apenas, a Vesica permite criar até dez figuras geométricas de lados iguais. São estas: o triângulo, o quadrado, o pentágono, o hexágono, o heptágono, o octógono, o eneágono, o decágono e o dodecágono. Desenho geométrico conhecido e utilizado desde a Antiguidade, com maior relevo na Idade Média1 até a Idade Moderna. Prima pela sua facilidade de construção. Nesse sentido, é mais próxima da intuição do desenhador que a experimenta. O método pela Vesica Pisces não necessita de qualquer cálculo ou medição. É o método ideal para deixar fluir a intuição do artista sem esta entrar no constrangimento de um raciocínio analítico. Esta temática foi escolhida por existir uma lacuna na divulgação das potencialidades de uma forma que funcione como figura matriz de novas formas: a Vesica Pisces. Este fator vem sustentar a necessidade de difundir um desenho geométrico elementar que permite criar figuras complexas como são o heptágono e o eneágono. Pelo método da Vesica, tais figuras de sete e nove lados iguais são úteis para o compêndio didático pela sua simplicidade de elaboração.

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A confirmação do seu uso na Antiguidade é dada por Euclides na proposição 15 do quarto livro dos “Elementos”. Nessa proposição, Euclides apresenta a construção do hexágono pela Vesica Pisces. Esta construção será novamente referida no terceiro capítulo. Quanto a idade média, é conhecida pela construção do pentágono do arquiteto do século XV Mathes Roritzer. Ele demonstra no seu livro “Geometria deutsch” a construção do pentágono pelo método da Vesica Pisces que Dürer iria mais tarde divulgar no seu livro “Instrução para medições à régua e ao compasso” (Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt). No entanto, Roritzer refere que as suas explicações geométricas não são exclusivamente obra sua, mas que as deve aos mestres-de-obras medievais: SHELBY, Lon R.; Gothic Design Techniques The Fifteenth-Century Design Booklets of Mathes Roriczer and Hanns Schmuttermayer, Southern Illinois University Press, U.S.A., 1977, p. 83. Esta explicação não é só minha, mas também dos veteranos que conhecia esta arte, nomeadamente os Junkers (jovens nobres que possuíam terras) de Praga. O autor Shelby, pelo qual conhecemos as obras de Roritzer refere que o mais famoso dos “Junkers de Praga” era o mestre-de-obras medieval Peter Parler, responsável pela catedral de Praga. Ibidem, p. 74. (Tradução do autor a partir do inglês).

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Relativamente à organização do trabalho, este apresenta-se em quatro capítulos e um anexo. No primeiro capítulo, escrevem-se breves linhas sobre a história da geometria para se contextualizar a Vesica Pisces como elemento do desenho geométrico. Entende-se por desenho geométrico, o desenho que emprega régua e compasso para a sua construção. No segundo capítulo, escreve-se sobre a história da Vesica que vem fundamentar a sua existência e utilização desde a Antiguidade com Euclides até a Idade Moderna com o arquiteto português António Rodrigues. Outros autores tais como Robin Heath, professor de astronomia na universidade de Oxford, ainda referem o seu uso durante o Neolítico. Os dois primeiros capítulos são essencialmente de introdução teórica ao tema da Vesica Pisces. No terceiro capítulo, de carácter estritamente prático, é apresentado exaustivamente as potencialidades de construção da Mandorla e da Vesica Pisces. Neste terceiro capítulo, são exibidos os métodos de elaboração de figuras geométricas de três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze e de doze lados iguais. Todas as dez formas geométricas serão desenhadas a partir de uma simples construção geométrica de duas voltas de compasso apenas: a Mandorla e a Vesica Pisces. No fim do terceiro capítulo, são referidas as propriedades e curiosidades sobre as formas da Mandorla e da Vesica. Por exemplo, demonstra-se que é possível construir ângulos de 30, 60, 90 e 120 graus pela Vesica sem qualquer necessidade de uma métrica, o que realça o carácter intuitivo do nosso desenho geométrico. Indo mais em detalhe sobre as particularidades da Mandorla e da Vesica, também é possível encontrar a Secção de Ouro e o triângulo de Pitágoras. Todas estas indicações do terceiro capítulo, servem para exibir as potencialidades da figura que não deviam ser desconhecidas dos mestres-de-obras medievais. Propomos que tais características de construção da Secção de Ouro por um método simples são úteis para os artistas e artesões da atualidade que desejam criar harmonia nas suas composições. No quarto capítulo, procurou-se a aplicação do método da Mandorla e da Vesica Pisces na arquitetura medieval em Portugal. Pretendeu-se confirmar a afirmação do arquiteto do século XV, Mathes Roritzer quando afirma que todo o conhecimento que obteve, bebeu-o na tradição dos construtores medievais2.

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Ibidem, p. 83. Esta explicação não é só minha, mas também dos veteranos que conhecia esta arte, nomeadamente os Junkers (jovens nobres que possuíam terras) de Praga.

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Sinais do seu uso em Portugal, são encontrados em Rates, Leiria e Batalha. Dando continuidade ao quarto capítulo, procurou-se uma rosácea medieval suscetível de ser construída pelo método da Vesica. Tal foi verificado na Igreja de Tarouca. Para sustentar o nosso método na sua edificação teve-se em mente a frase de L. R. Shelby: “o método mais simples deve ser sempre preferido ao método mais complexo quando se trata da Idade Média3”. Por fim, na primeira parte dos anexos são exibidos breves exemplos do uso da Mandorla na arte ocidental cristã e na segunda parte, as flores existentes dentro das dez figuras geométricas do triângulo, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono e dodecágono feitos pelos métodos apresentados no terceiro capítulo. O pilar sob a qual assenta esta exposição, é a necessidade de divulgar um desenho simples, de duas voltas de compasso apenas, que permite dar origem a formas mais complexas. Esta dissertação, enquadra-se no desenho geométrico por se tratar de uma figura que exige o uso do compasso e da régua para a sua composição. A particularidade de se poder extrair a complexidade de composição de uma forma simples poderá interessar a: artistas, estudantes em geometria, ou ainda historiadores por se tratar de um método que remonta desde a Antiguidade até hoje. A dissertação foi redigida para responder essencialmente a duas perguntas: o que é a Vesica Pisces? Porque deve ela ser objeto de estudo desta dissertação? A Vesica Pisces é “aquela figura que se produz quando dois círculos de igual tamanho são desenhados, um a partir do outro. (…)4”. Importante também, para aqueles que precisam de uma ferramenta que funcione como matriz que estimula a composição de novas figuras pela sua facilidade de composição. Igualmente de valor para docentes de educação visual e geometria, que desejam

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Cfr. SHELBY, Lon R; Setting Out the Keystones of Pointed Arches: a Note on Medieval “Baugeometrie”, Technology and Culture, Vol. X, Chicago, 1969, p. 534-548. 4

PENNICK, Nigel; Sacred Geometry symbolism and purpose in religious structure, (1980), trad. Alberto Feltre, Geometria Sagrada, editora pensamento, são Paulo, 1999, p. 20. Aquela figura que se produz quando dois círculos de igual tamanho são desenhados, um a partir do outro. Em termos geométricos sagrados, trata-se do ponto de derivação do triangulo equilátero e da linha reta que parte do circulo. Representou os órgãos genitais da Deusa Mãe, o ponto físico de origem da vida simbolizada por sua posição fundamental na geometria. Por essa razão, ocupou uma posição privilegiada na construção de edifícios sagrados. Dos círculos de pedra e dos templos mais antigos até as catedrais do período medieval (…) 4

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utilizar um método mais gracioso e de memorização mais fácil na construção de figuras geométricas mais complexas, tais como o heptágono e o eneágono5. Por fim, a divulgação de um método que poderá estar na origem das mais belas construções medievais da Europa, algo que não estará fora dos interesses de um historiador de arte. As fontes que sustentaram o trabalho, foram de forma geral, diversificadas. Nos dois primeiros capítulos de cariz teórico, salienta-se os autores como a professora da Universidade de Aveiro, Maria Helena Barbosa pelo seu texto sobre a História do Desenho Geométrico, o arqueólogo Aubrey Burl e o engenheiro Alexander Thom conhecido por ter descoberto aquilo a que chamou de “jarda megalítica” e a categorização dos círculos de pedra do neolítico. Personalidades igualmente pertinentes no desenrolar da parte teórica da dissertação, foram Roland Bechmann e Roland Jacques Le Goff por mostrarem a existência da figura da Vesica Pisces nos cadernos de Villard de Honnecourt. Por último, o professor de história L.R. Shelby por divulgar as obras geométricas do mestre-de-obras Mathes Roritzer, do qual Dürer tirou a sua construção do pentágono pela Vesica Pisces. Atendendo as fontes para o terceiro e quarto capítulo, ambos de teor prático, foram essenciais referências como o mitógrafo Robert Lawlord e o arquiteto Keith Cristlow pela divulgação da Vesica Pisces no seu contexto da geometria sagrada. No campo estritamente prático, de compasso e régua na mão, foram incontornáveis, o arquiteto Jon Allen, o artista Lima de Freitas, o autor Andrew Sutton e o esteta e historiador de arte Matila Ghyka pelo seu contributo à geometria sagrada. Já no que diz respeito ao quarto capítulo que tem por intuito encontrar testemunhos da existência da Mandorla e da Vesica em Portugal na arquitetura portuguesa, as obras do historiador de arte Paulo Pereira, foram um ponto de partida essencial para encontrar as ditas formas em Portugal. Por último, a verificação constante de fontes, levou-nos a ir diretamente às obras dos séculos XV e XVI, onde se destaca a obra de Euclides, Dürer e de Mathes Roritzer. As principais fontes de inspiração e referências usadas para a elaboração deste estudo, foram: Euclides, Mathes Roritzer e Dürer pelas suas exposições dos métodos de

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Em comparação ao método geral da divisão da circunferência cortada por sete paralelas ainda hoje ensinado no 3º ciclo. GRAÇA, Cristina Carrilho da; TRINDADE, Maria Júlia; Educação Visual 7º, 8º, 9º anos – ciclo do Ensino Básico, Lisboa Editora, Lisboa, 1995, p. 82.

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construção nos Elementos, Geometria deutsch e Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt (Instrução para medições à régua e ao compasso). Foi pela obra Pintar o sete de Lima de Freitas que conhecemos a figura da Vesica Pisces, sendo assim o ponto de partida no qual iniciou a investigação. A dissertação, é dividida em duas partes essenciais: uma parte teórica, onde se aborda as origens da geometria e da Vesica, com intenção de valorizar e divulgar a forma no seu contexto histórico; e uma parte prática, na qual se recorre ao uso de régua, compasso e lápis para se comprovar que a Vesica Pisces é a “Mãe” das figuras como evocou o escritor Alick Bartholomew, “princípio feminino da geração da qual brotam todas as outras formas geométricas, triângulos, quadrados, polígonos, (…)6”.

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BARTHOLOMEW, Alick; Hidden Nature, The Startling Insights of Viktor Schauberger, Floris Books, Poland, 2005, p. 64.

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1. ORIGEM DA GEOMETRIA Geometria é a medição da natureza com o entendimento humano. Almada Negreiros

Antes de ser apresentada em detalhe as figuras geométricas deste trabalho denominadas de “Mandorla” e “Vesica Pisces”, consideramos essencial apresentar o que entendemos por geometria para melhor contextualiza-la. Fomos pesquisar a sua origem na história ocidental tendo em consideração os seguintes tópicos: origem da geometria, a origem da palavra geometria, a origem da organização do espaço como entendimento da geometria, a lenda sobre a invenção dos instrumentos geométricos e por fim a definição do desenho geométrico onde se insere este trabalho.

A Geometria nasce no momento em que o Homem quis compreender os elementos da Natureza e desvendar os seus segredos para poder replicar os seus processos. Para isso, o Homem utilizou o seu poder de abstração, a capacidade de reduzir um elemento da natureza à sua forma mais significativa. A professora da Universidade de Aveiro Maria Helena Barbosa afirma o seguinte sobre a observação do Homem face a Natureza: “A observação dos elementos naturais, possibilitou a sua compreensão em relação às formas que, posteriormente, foram adotadas para a produção de objetos criados pela Humanidade7”. Num certo sentido, a origem da Geometria, confunde-se com a origem do Desenho, na medida em que se trata de fazer uma abstração para representar ou apresentar algo. O professor Luc Joly remete para a origem da Geometria misturando-a com a origem do Desenho pelo fato que a compreensão

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BARBOSA, Maria Helena. A História do Desenho Geométrico ao Discurso Projectual do Design Gráfico, Boletim da aproged, nº 25, novembro 2006, p. 9.

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das estruturas da natureza levou o Homem a desenhar essas estruturas traduzindo-as em formas geométricas8. A origem da geometria só se pode explicar pela nova faculdade do Homem primitivo. A capacidade do reconhecimento das formas.9” Essa nova capacidade incitou-o a fazer simplificações dos fenómenos naturais para compreender os seus processos, domina-los e assim reproduzi-los para seu próprio proveito. Joly aponta a necessidade de compreensão das formas da natureza, das suas estruturas para poder replicar os seus processos, traduziu-se num esforço, esforço este que chama de “Geometria”10.

Em suma, existe consenso que os primórdios da Geometria encontram-se na nas tentativas de compreensão das estruturas da natureza traduzindo-as em desenhos geométricas pelo Homem primitivo.

Fig. 1 – Representação da Geometria na catedral de Laon. Fonte: VIOLLET-LE-DUC, Eugène-Emmanuel; Dictionnaire raisonné de l'architecture française du XIème au XVIème siècle. Tome deuxième : ART – CHAP, A. Morel, 1867, p. 7.

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Cfr. JOLY, Luc: Sructure – observer les formes physiques et mentales pour en découvrir l’organisation, Editions IDÉA Suisse, Geneva, 1973, p. 454. A compreensão das hélices vegetais conduziu ao desenho de volutas, entrelaçados e torções: a geometria apareceu com certeza desta maneira: copiando a natureza. (Tradução do autor a partir do original francês). 9

MENÉRES, Clara. Reflexões filosóficas sobre os fundamentos geométricos da escultura. Revista portuguesa de Filosofia, nº 38, março / abril, 1982, pp. 338-362. O momento inicial que diferenciou o homem dos outros primatas foi a noção de individualidade com a consequente consciência da própria morte. Após esta primeira capacidade reflexiva do homem primitivo segue-se a do espanto que ele tem olhando o mundo que o rodeia. A sua segunda manifestação de inteligência é a do reconhecimento das formas. 10

JOLY, Luc. Op. Cit., p. 32.

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1.1. Origem da palavra Geometria

O registo mais antigo que temos até a data sobre a origem da geometria, é-nos revelado pelo historiador grego Heródoto, (485 a.C.- 420 a.C.). No capítulo CIX do segundo livro das Histórias, Heródoto declara que a sua origem provinha do Egipto pela necessidade constante que esse povo tinha em medir as suas terras devido às cheias do Nilo11. Pelo texto de Heródoto, conhecemos o início da palavra “Geometria”. “A sua proveniência é grega (γεωμετρία) e compõe-se de dois elementos: gê – terra e metron – medida12. Geometria significava portanto na sua etimologia: a medida da terra13”.

Clara Menéres aponta a medição da terra, isto é a geometria, como o reconhecimento das formas por parte do Homem primitivo e a sua necessidade de delimitar um espaço que lhe pertence com a crescente sedentarização. Assim, embora o termo seja de origem grega, a necessidade de limitar terrenos, usando a “medição da terra” encontra a sua origem nos primórdios da agricultura. Remetemos assim, o nascimento de um novo vocábulo para designar a “medição da terra” no neolítico.

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HERODOTE; Histoire d’Hérodote traduit du Grec par Larcher, Charpentier, Libraire-éditeur, Paris, 1850, p. 190. A tradução é tirada do livro : SERRES, Michel ; Les origines de la géométrie, (1993), trad. Ana Simões, Maria da Graça Pinhão, Terramar, Lisboa, 1997, p. 277. Diziam os sacerdotes que Sesóstris dividiu o solo entre todos os egípcios, atribuindo a cada um, um lote quadrado igual aos outros; de acordo com esta divisão, estabeleceu os seus rendimentos, prescrevendo que cada um pagasse uma renda anual. Se sucedesse que o rio tirasse a alguém uma parte do seu lote, esse vinha ter com ele e relatava-lhe o que se passara; ele enviava pessoas para examinar e medir quanto fora reduzido o terreno, para que, de futuro fosse feita uma redução proporcional no pagamento da renda fixada. Em minha opinião, foi o que deu origem à origem da geometria, que os Gregos levaram para o seu país. (…) 12

PEREIRA, Isidro S. J.; Dicionário Grego-Português e Português-Grego, Apostolado da Impressa, Porto, 1957. γεωμέτρης – geómetra que significa agrimensor ou aquele que mede a terra. Veio a dar a palavra grega γεωμετρία – Geometria, nome dado ao ofício do agrimensor. 13

MENÉRES, Clara. Reflexões filosóficas sobre os fundamentos geométricos da escultura. Revista portuguesa de Filosofia, nº 38, março / abril, 1982, p. 342.

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1.2. Origem da organização do espaço como geometria

Platão, filósofo grego (428 ou 427 a.C. – 348 ou 347 A.C.) revela-nos no seu Timeu, que o mundo foi organizado por meio de Formas14 e Números15. Esta ideia é retomada por autores contemporâneos como o arquiteto Keith Critchlow. O mundo ordenado por meio de “Formas” e “Números” deve ser entendido como geometria, pois a geometria é o número no espaço16 refere Critchlow. Com Platão, começamos a antever a geometria como elemento que organiza uma composição. A professora Ana Leonor Rodrigues, refere a sua importância como elemento ordenador do desenho “ao caos intuitivo necessário à criatividade17”. A figura geométrica da Vesica Pisces, é também ela, uma ferramenta ordenadora de uma composição, na medida em que permite a criação de desenhos geométricos de lados iguais.

Saltemos da Antiguidade para o renascimento para percebermos como a organização do espaço foi tida em conta pelos renascentistas que reavivaram os conhecimentos da Antiguidade. Na tradução da historiadora das matemáticas Jeanne Peiffer do livro

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PLATÃO; Τίμαιος, (IV a.C.), trad. Maria José Figueiredo, Timeu, Instituto Piaget, Lisboa, 2003, p. 252, nota 386. Eidos. L. Brisson, argumenta que neste contexto, o termo é sinónimo de schêma, e refere a forma de uma figura geométrica. 15

Ibidem, 53b. Com efeito, antes de isto acontecer, todas estas coisas eram sem proporção e sem medida; e, quando foi empreendida a organização do universo, primeiro o fogo, e depois a água, a terra e o ar, embora possuindo alguns vestígios de si próprios, estavam totalmente dispostos como é verosímil que estejam todas as coisas quando deus está ausente de alguma coisa; e, sendo eles assim por natureza, começou a configurá-los por meio de Formas15 e de números. 16

LUNDY , Miranda; SUTTON, Daud; ASHTON, Anthony; MARTINEAU, John; QUADRIVIUM number geometry music heaven, Wooden Books, Singapore, 2010, p. 3. A primeira destas disciplinas chamamos “Aritmética”. A segunda “Geometria” ou a ordem no espaço ou Número no Espaço. 17

RODRIGUES M.MADEIRA, Ana Leonor; O que é Desenho, Quimera, Portugal, 2003, p. 87. Existe, às vezes, a tendência para considerar o desenho apenas uma disciplina artística, esquecendo que ele é igualmente uma disciplina de geometria, e, em certos momentos, construções geométricas e desenhos são completamente análogos. É esta qualidade híbrida o que permite ao artista o discorrer de um pensamento claro, ordenado e no entanto interior ao caos intuitivo necessário à criatividade.

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Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt (Instrução para medições à régua e ao compasso) de Dürer, ele afirma que a geometria é o verdadeiro fundamento da pintura e compara os jovens pintores alemães que cresceram na ignorância da geometria a árvores selvagens e não aparadas. Para Dürer, a arte de medir é uma barreira contra o erro e permite um julgamento mais correto18.

Por conseguinte, a “arte da medida” como lhe chamava Dürer é a geometria. Sem essa arte, o jovem artista irá incorrer no engano de uma pensamento sem bases, sem formas que direcionam a sua obra. Concluímos assim para a necessidade da geometria na elaboração de um pensamento mais aprumado que se irá traduzir na obra criada pelo artista.

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PEIFFER, Jeanne; Albrecht Dürer Géométrie, présentation, traduction de l'allemand et notes par Jeanne Peiffer, Seuil, Paris, 1995, p. 46-47.

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1.3. Lenda sobre a invenção dos instrumentos geométricos

O poeta romano Ovídio, (43 a.C. -17 ou 18 d.C.) no seu poema Metamorfoses do livro VIII, relata a história do Minotauro e de Dédalo. Nesta narrativa, Ovídio conta a história do inventor do compasso na personagem de Perdix, sobrinho do arquiteto Dédalo. “Foi também ele o primeiro a prender duas hastes de ferro por um só eixo, de modo a que, mantendo uma distância fixa, uma ficasse imóvel, a outra descrevesse um círculo19”. Esta história é pertinente no âmbito deste trabalho visto relatar a invenção do compasso pela personagem Perdix. De fato, o tema deste trabalho, não seria possível sem uma ferramenta para traçar circunferências. Propomos que o início da geometria começou com a invenção dos instrumentos para traçar linhas retas e circunferências. De acordo com esta proposição, a geometria nasce pelo uso da régua e do compasso como ferramentas de composição de figuras planas. Em suma, deve ser compreendido no âmbito do desenho linear geométrico. O professor Thomaz Bordallo Pinheiro apresenta uma definição concisa que defende o nosso propósito: “(…) O desenho linear geométrico empregam-se construções de geometria, e por conseguinte os instrumentos precisos para as executar, como réguas, esquadros, compassos, etc. 20”.

Temos agora reunidas as condições que contextualizam a figura da Vesica Pisces como elemento do desenho geométrico, pela necessidade de régua e compasso para a sua elaboração. No capítulo seguinte, apresentamos o aparecimento da Vesica Pisces ao longo da história ocidental.

19

OVÍDIO, Metamorphoses, (2004), trad. do latim, Tarrant, R.J., Metamorfoses, trad. Paulo Farmhouse Alberto, Cotovia, Lisboa, 2007, 8, 245. 20

PINHEIRO, Thomaz Bordallo; Desenho Linear Geométrico, Livrarias Aillaud e Bertrand, Lisboa, 1922, p. 1. O desenho em geral é a arte de representar por meio de linhas, sombras e côres convenientes, todos os objectos que nós vemos ou imaginamos. (…) O desenho linear é a parte do desenho que tem por fim representar os objectos só por meio de linhas. (…) O desenho linear geométrico empregam-se construções de geometria, e por conseguinte os instrumentos precisos para as executar, como réguas, esquadros, compassos, etc.

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2. ORIGEM E SINAIS DA VESICA PISCES AO LONGO DA HISTÓRIA

A perfeição contém e corrige a exatidão. Almada Negreiros

O presente capítulo tem por finalidade decifrar o enigma dos termos “Vesica Pisces” e “Mandorla” antes de passarmos para a sua aplicação direta de régua, lápis e compasso. Depois de decifrar a origem da terminologia da nossa forma geométrica, serão apresentados sinais da sua existência e utilização ao longo da história.

2.1. Origem dos termos Vesica Pisces e Mandorla Existem indicações que o termo “Vesica Pisces” surgiu durante o período do cristianismo primitivo, entre o primeiro e o terceiro século depois de Cristo. O termo “Vesica Pisces” vem do latim e significa literalmente a “bexiga do peixe”. O investigador do Centro de Ciencias Humanas y Sociales de Madrid, (CCHS) Jorge Morales de Castro refere a origem do termo “peixe”, isto é Ichthus em grego (ΙΧΘΥΣ) como sendo o anagrama de “Jesus Cristo, Filho de Deus, Salvador”. O professor de iconologia paleocristã e do Renascimento no ICART, (école du commerce de l'art et de l'action culturelle), Frédérick Tristan esclarece a origem e o significado do anagrama: “É impossível saber em que data e como os fiéis notaram que as letras gregas Ichtus podiam ser as iniciais de Iesous CHristos Theous Uios Soter21”, isto é, na sua tradução do latim “Jesus Cristo Filho de Deus Salvador”. A imagem que simbolizava o Ichthus consistia em dois arcos desenhados na areia, em todo semelhante aquilo que chamamos de “Mandorla” neste trabalho, Mandorla que relembramos deriva da Vesica Pisces. Esses dois arcos ou a Mandorla que os primeiros

21

TRISTAN, Frédérick ; Les premières images chrétiennes Du symbole à l’icône : II – VI siècle, Fayard, France, 1996, p. 91. (Tradução do autor a partir do original francês).

12

cristãos desenhavam na areia “era usado pelos crentes, nos primeiros tempos da perseguição, como sinal secreto da sua fé partilhada. A pessoa desenhava um arco na areia e a outra completava o símbolo, para mostrar a sua fraternidade em Cristo22”. Esta figura seria usada como sinal de reconhecimento entre cristãos no ambiente de intolerância religiosa vivido durante os primórdios do cristianismo23. O Édito de Milão24, declarado no ano 313 d.C. assinala o acordo no qual o Império Romano seria neutro em relação ao credo religioso visando especialmente o cristianismo. A partir da data do Édito de Milão, tal sinal de reconhecimento entre cristãos deixa de ser necessário. No entanto, podemos formular como hipótese, que o uso do sinal secreto dos primórdios do cristianismo, guardou o nome de “Vesica Pisces” para representar o desenho de dois arcos fechados entre si até a Idade Média. Para sustentar a nossa hipótese, a historiadora das matemáticas Jeanne Peiffer, refere que a origem do termo “Vesica Pisces” provém “das lojas dos construtores medievais para designar a superfície compreendida entre dois arcos de círculo de mesmo raio25”. O próprio Albrecht Dürer bebendo na tradição medieval26, foi buscar o termo alemão Fischblase, isto é, a “bexiga do peixe” para designar as figuras que resultam da intersecção de dois círculos27. No seu tratado geométrico Instrução para

22

CASTRO, Jorge Morales de; Religiones del Mundo. Cultos y Creencias del Hombre,(2002), trad. Maria da Fonseca, Religiões do Mundo – cultos e crenças, Editorial Estampa, Lisboa, 2004, p. 124. 23

A criação de símbolos, de figuras como sinais de reconhecimento entre cristãos era comum como atesta Tristan : (…) constata-se que desde o fim do século II, uma espécie de puzzle simbólico criou-se onde só os fiéis mais atentos conheciam a chave. TRISTAN, Frédérick. Op. Cit., p. 95. 24

MACIEL, Justino M.; Antiguidade tardia e paleocristianismo em Portugal, Edição do autor, Lisboa, 1996, p. 34. 25

PEIFFER, Jeanne; Albrecht Dürer Géométrie, présentation, traduction de l'allemand et notes par Jeanne Peiffer, Seuil, Paris, 1995, p. 209. 26

PANOFSKY, Erwin; The Life and Art of Albrecht Dürer, (1943), trad. Dominique Le Bourg, La vie & l’Art d’Albretch Dürer, Hazan, Poitier, 1987, p. 363. Dürer é o primeiro artista do Norte, formado nas oficinas do fim da Idade Média, impregnado da teoria estética tal como se desenvolveu em Itália. (Tradução do autor a partir do françês). 27

Ibidem, p. 364. Por exemplo, ele utiliza Fischblase (bexiga de peixe) e der neue mondschein (lua nova) para as figuras que resultam da intersecção de dois círculos (…).

13

medições à régua e ao compasso28, Dürer tinha por hábito utilizar palavras que relembravam a forma que queria expressar no seu tratado, sendo a “bexiga do peixe” uma delas29. Assim, na explicação da construção do eneágono no Livro II do seu livro, Dürer utiliza o termo Fischblase: “O eneágono pode ser obtido a partir do triângulo. Desenha um grande círculo em redor de um centro a. Inscreve nele, com a ajuda de um compasso de mesma abertura três bexigas de peixe30”. O tratado de Dürer é a prova escrita mais antiga que temos conhecimento do termo da “bexiga do peixe” como figura geométrica (Fig. 2). A palavra Mandorla provém do italiano e significa “amêndoa”. Por norma, na arte ocidental cristã da Idade Média a forma em amêndoa era utilizada para envolver a figura de Cristo na Ascensão. Na sua origem a Mandorla representava a nuvem sobre a qual o Cristo ascendia, mas com o tempo foi usada como uma espécie de “glória” ou aureola, a luz que emana de um ser divino. Por esse motivo, era usada para representar Cristo na Transfiguração ou em majestade31. Paulo Pereira ainda refere o carácter gerador da Mandorla reportando-a ao nascimento do deus frígio Átis que nasceu a partir de uma amêndoa mágica32. Nos anexos desta dissertação serão mostrados alguns exemplos do seu uso da arte ocidental cristã.

28

Do título original: Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt.

29

PEIFFER, Jeanne. Op. Cit., p. 48. Dürer não tenta somente traduzir os termos técnicos clássicos em alemão, mas parte do objeto matemático que produz diante de si (fürnemen), ele os designa por palavras evocadoras e sugestivas, por expressões imagéticas que relembram a forma. Assim, algumas configurações elementares obtida pela intersecção de dois arcos são chamadas de bexiga do peixe (Fischblase), crescente ou nova lua, (neuer Mondschein). (…) Algumas dessas expressões eram usadas nas oficinas e pertenciam a terminologia das profissões: é o caso de bexiga de peixe, muitas vezes presente nos monumentos góticos. 30

Ibidem, p. 209. DÜRER, Albrecht; Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen und gantzen corporen, Hieronymus Andreae, Nüremberg, 1525, Fl. 59. (Tradução feita pelo autor a partir da versão francesa de Jeanne Peiffer. Op. Cit. p. 209 ). 31

HALL, James; Dictionary of Subjects and Symbols in Art, John Murray (publishers), England, 1992, p. 197.

32

PEREIRA, Paulo; Lugares mágicos de Portugal – Arquitecturas Sagradas, Círculo de Leitores e Temas e Debates, Rio de Mouro, 2009, p. 201.

14

Fig. 2 – Eneágono de Dürer. Fonte: DÜRER, Albrecht; Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen, Hieronymus Andreae, Nüremberg, 1525, Fl. 59.

15

2.2. Neolítico – Grã-Bretanha (2500 a. C. e 2000 a. C.)

O registo mais antigo que temos conhecimento da utilização da figura geométrica abarcada pelo nosso trabalho é referida pelo professor Alexander Thom. Engenheiro civil de profissão e pesquisador no centro britânico de aeronáutica. Foi o primeiro a sistematizar as formas das construções megalíticas na Grã-Bretanha e a propor os métodos pelos quais foram construídos. Sugeriu que havia cinco formas tipo entre os círculos de pedras: o círculo, o círculo achatado, a elipse, o ovo e o anel composto. Todas elas, formas geométricas utilizadas pelos seus construtores33 (Fig. 3).

Fig. 3 – Exemplos das formas dos anéis megalíticos. (a) Merry Maidens, Cornwall; (b) Barbrook I, Derbyshire; (c) Esslie the Greater, Kincardine; (d) Burgh Hill, Roxburgh; (e) Kerry Hill, Montgomery (Powys). (b) – (d), de acordo com Thom, 1967. Fonte: BURL, Aubrey ; The Stone Circles of The Bristish Isles, Yale University Press New Haven and London, Great Britain, 1979, p. 42.

33

BURL, Aubrey ; The Stone Circles of The Bristish Isles, Yale University Press New Haven and London, Great Britain, 1979, p. 41. (Tradução do autor a partir do original inglês).

16

Alexander Thom, demonstra que a elaboração do círculo achatado B (Fig. 4) é obtido geometricamente pelo método da Vesica Pisces e que não eram construções circulares mal concebidas, mas propositadas. Thom defende esse fato pelos conhecimentos geométricos que os neolíticos possuíam34. Esta opinião também é partilhada pelo arqueólogo britânico Aubrey Burl por razões da ordem do ritual35.

Fig. 4 – Círculos achatados. Fonte: THOM, Alexander; Megalithic Sites in Britain, Clarendon Press, Oxford, 1967, p. 28.

A importância do professor Thom como o primeiro autor a referenciar o desenho geométrico da Vesica Pisces ainda é mencionada pelo historiador e astrónomo Robin Heath. “Ambos os anéis tipo A e B evocam o símbolo cristão, a Vesica Pisces, a forma em amêndoa entre dois círculos sobrepostos, aplicados aqui 2500 anos antes de Jesus. As pedras são por norma, inteligentemente dispostas de acordo com a geometria36”.

34

THOM, Alexander; Megalithic Sites in Britain, Clarendon Press, Oxford, 1967, p. 3. É notável que, 1000 anos antes dos primeiros matemáticos da Grécia clássica, as pessoas nestas ilhas não só tinham um conhecimento prático da geometria e foram capazes de criar desenhos geométricos elaborados, mas também podiam criar elipses com base em triângulos pitagóricos. (Tradução do autor a partir do original inglês). 35

BURL, Aubrey. Op. cit., p. 43. Fleming especula que os desenhadores dos anéis megalíticos construíam deliberadamente formas não circulares para que duas condições fossem preenchidas: para que a audiência pudesse ver todo o rito; e que os condutores do rito pudessem ocupar uma posição central e de destaque perante os espectadores. 36

HEATH, Robin; SUN, MOON & EARTH, Wooden Books, Glastonbury, 2006, p. 55.

17

A Fig. 5. representa a construção megalítica de “Bar Brook” na Inglaterra de acordo com a geometria da Vesica Pisces .

Fig. 5 – Bar Brook, Derbyshire. Fonte: HEATH, Robin; Sun, Moon & Earth, Wooden Books, Glastonbury, 2006, p. 55.

Embora Alexander Thom, na sua categorização das formas geométricas das construções megalíticas nunca tenha utilizado a terminologia “Vesica Pisces”, o método de construção que apresenta como o círculo de tipo B, (Fig. 4) é a sua expressão geométrica: “A construção do anel do Tipo B é mais fácil. Divida o diâmetro MN em três partes iguais em C e E. Estes são os centros dos três pequenos arcos. O arco achatado tal como no Tipo Afecha-se com o centro em A37".

37

THOM, Alexander. Op. Cit., p. 28.

18

2.3. Antiguidade Clássica – Euclides ( 360 - 295 a. C.)

Euclides, matemático grego que bebeu na tradição pitagórica pelo meio de Platão 38, compilou os fatos matemáticos disponíveis na sua época em treze livros: Os Elementos. Levou mais longe os conhecimentos dos antigos pelas suas demonstrações mais exigentes e lógicas39. Os pitagóricos, que tudo traduziam em números, são considerados os precursores daquilo que mais tarde veio à chamar-se de espirito científico40. Euclides não alheio desse espírito, desenvolveu-o pelas exatidões das suas demonstrações matemáticas e geométricas. A sua obra foi de geração em geração tido em conta como “o pico mais alto, a coroa da lógica e a melhor forma de desenvolver um raciocínio isento de falhas41” durante mais de dois mil anos. Ibn Khaldoun, historiador tunisino do século XIV, afirmava o seguinte sobre a importância que o mundo árabe dava a obra de Euclides “A utilidade da Geometria consiste em iluminar a inteligência daquele que cultiva esta ciência e dar-lhe o hábito de pensar com retidão42”. Pensamento que Dürer reconheceu ao afirmar “a arte de medir é uma barreira contra o erro e permite um julgamento mais correto” como anteriormente referido no subcapítulo da origem da organização do espaço como geometria.

38

MICHEL, Paul-Henri; De Pythagore a Euclide : contribution à l'histoire des mathématiques préeuclidiennes, Les Belles Lettres, Paris, 1950, p. 538. 39

Ibidem, p. 535.

40

Ibidem, p. 678.

41

BURTON, David M.; The History of Mathematics: An Introduction, The McGraw- Hill companies, United States of America, 1997, p. 146. (Tradução do autor a partir do original inglês). 42

MICHEL, Paul-Henri. Op. Cit., p. 596.

19

O primeiro sinal objetivo que temos conhecimento da Vesica Pisces está nos Elementos, no primeiro livro, proposição 1 e no livro quarto, proposição 15. Na primeira Euclides demonstra a construção do triângulo equilátero a partir de uma dada reta43(Fig.6) e na proposição 15, exibe a construção do hexágono. Voltaremos a estas construções no terceiro capítulo.

43

EUCLIDES; Elementa geometriae, trad. Adelardus Bathoniensis, Éd. Johannes Campanus, Venezia : Erhard Ratdolt, [25 v] 1482. — 2°, ill. (Tradução do autor a partir da versão inglesa de Richard Fitzpatrick: Euclid's Elements of Geometry, edited and translated into English by Richard Fitzpatrick, 2008, p. 8). Para construir um triângulo equilátero numa reta finita dada. Seja AB a reta finita. Pois é precisa para construir um triângulo equilátero na reta AB. Seja desenhado o círculo BCD com centro em A e de raio AB, e novamente o círculo ACE com centro em B e raio BA. Deixai as linhas retas CA e CB juntarem-se pelo ponto C, onde os círculos se sobrepõem no ponto A e B respetivamente. Já que o ponto A é o centro do círculo CDB, AC é igual à AB. Novamente, já que o ponto B é o centro do círculo CAE, BC é igual à BA. No entanto, CA foi demonstrado que era também igual à AB. Assim, CA e CB são ambos iguais à AB. Coisas iguais entre a mesma coisa também são iguais entre si. Assim, CA, também é igual à CB. Assim, as três retas CA, AB e BC são iguais entre si. Assim, o triângulo ABC é equilátero, e foi construído numa dada reta AB. Que era exatamente o que era pedido que fosse feito.

20

Fig. 6 – Primeira Proposição de Euclides. Fonte: EUCLIDES; Elementa geometriae, trad. Adelardus Bathoniensis, Éd. Johannes Campanus, Venezia : Erhard Ratdolt, [25 v] 1482. — 2°, ill, Fl. 6.

21

2.4. Idade Média – Thomasin Von Zirclaere ( 1186 – 1245)

Sabemos pouco sobre Thomasin. A informação que conseguimos recolher devemolha a bibliotecaria Karin Zimmermann da Universidade de Heidelberg. Contudo, é certo que é um escritor medieval alemão cujo única obra conhecida é Der wälsche Gast (O visitante italiano). Trata-de de um poema com 14.750 versos ricamente ilustrado; existe até hoje 25 cópias conhecidas44. A lingua alemã não era a sua língua materna, pelo que, é licito ver no título da sua obra “O visitante italiano” um carácter autobiografico onde nos versos 67-74 pede deculpa pelas suas carências linguisticas. Sabe-se que a obra era dirigida aos jovens nobres que são exortados às virtudes da corte45.

É pelo pormenor da iluminura que representa a Geometria que este autor retém a nossa atenção. Nela, vemos a personificação da Geometria e Euclides segurando uma Vesica Pisce do

qual

emerge

a

construção

do

Por debaixo da figura lê-se do latim: “Supra lineam

triângulo

equilatero.

tam triangulum equilaterum

constituere46” Alusão a primeira proposição de Euclides onde é mancionado a construção de um triângulo equilátero a partir de uma dada linha reta. Fig. 7 – Pormenor das artes Liberais: Geometria. Fonte: VON ZERCLAERE, Thomasin, Der wälsche Gast, Baviera, metade do sec. XIII, Manuscrito da biblioteca da universidade de Heidelberg, Fol. 139r.

44

Handschriftencensus em http://www.handschriftencensus.de/werke/377 >Acesso em 10 de Julho 2013.

45

Thomasîn von Zerclaere em http://de.wikipedia.org/wiki/Thomas%C3%AEn_von_Zerclaere >Acesso em 10 de Julho 2013. 46

Trad. do latim: construir um triângulo equilátero a partir de uma dada linha reta.

22

Fig. 8 – As artes Liberais. Fonte: Ibidem. Fólio completo da representação das artes liberais. De cima para baixo: a Dialética com Aristóteles, a Retórica com Cícero, a Geometria com Euclides, a Aritmética com Pitágoras, a Música com Milesius e a Astronomia com Ptolomeu47.

47

Heidicon em http://heidicon.ub.uni-heidelberg.de/pool/palatina/sig/germ.%20389 >Acesso em 10 de Julho 2013.

23

2.5. Idade Média – Villard de Honnecourt (século XIII)

Encontramos uma referência da Vesica Pisces e a sua relação com a edificação das ogivas das catedrais góticas nos cadernos de Villard de Honnecourt. Esta figura, só nos é conhecida graças ao historiador Roland Bechmann que iluminou os cadernos de Villard com infravermelhos e ultras-violetas que colocaram a nu esta construção da Vesica Pisces para criar ogivas (Fig. 9a). “Este desenho representa um arco quebrado traçado segundo um método particular; duas metades de círculo cruzando-se cada um no seu centro pelo extremo do diâmetro do outro.48” Tal composição será retomada no terceiro e quarto capítulo, pelo fato de conter em si a Secção de Ouro e de permitir a edificação do tímpano do Mosteiro da Batalha. Julgamos que esta particularidade não era desconhecida de um construtor medieval tal como era Villard de Honnecourt49.

48

BECHMANN, Roland; LE GOFF, Jacques ; Villard de Honnecourt : la pensée technique au XIIIe siècle et sa communication, Nouvelle édition revue et augmentée, Paris : Picard, 1993, pp. 221-223. As fotografias que mandei tirar em 1986 foram feitas por iluminação infravermelha e ultravioleta. Fizeram ressurgir um desenho desconhecido. Este desenho representa um arco quebrado traçado segundo um método particular; duas metades de círculo cruzando-se cada um no seu centro pelo extremo do diâmetro do outro. (…) Assim neste pergaminho, antes de ser apagado ou de desaparecer por ter sido feito com uma tinta de qualidade insuficiente ou de um traçado ter ficado em ponta de prata, figurava o próprio desenho do arco onde a chave se encontra mais acima. (Tradução do autor a partir do original francês). 49

Embora assumimos nesta dissertação que Villard era um mestre-de-obras medieval, esse estatuto ainda é discutível tal como afirma o historiador de arte George Duby: (…) reproduziu desenhos de arquitetura cujo sentido nem sempre soube penetrar. Villard de Honnecourt não é verosimilmente um arquiteto .Talvez um clérigo curioso da arte tanto como de particularidades iconográficas. DUBY, Georges; História artística da Europa – a Idade Média Tomo II, trad. Mário Dias Correia, Histoire artistique de l’Europe, Quetzal Editores, Lisboa, 1998, p. 210.

24

Fig. 9a – Duas metades de círculo cruzadas cada uma no seu centro pelo extremo do diâmetro do outro. Fonte: BECHMANN, Roland; LE GOFF, Jacques ; Villard de Honnecourt : la pensée technique au XIIIe siècle et sa communication, Nouvelle édition revue et augmentée, Picard, Paris, 1993, p. 224.

Embora se tratem de duas metades de círculos e não de dois círculos completos, o método de construção é idêntico ao da Vesica Pisces. A Fig. 9b mostra o fólio original tal como é apresentado nos cadernos de Villard de Honnecourt. A figura 9a de Roland Bechmann, apresenta com maior clareza a imagem que surge dentro do original ao lado superior esquerdo da torre após submissão aos infravermelhos e ultravioletas.

25

Pormenor da Fig. 9b – Localização da Metade da Vesica Pisces pelo autor.

Fig. 9b – Metade oculta da Vesica Pisces. Fonte: BARNES Jr., Carl F.; HAHN, Stacey L; The portfolio of Villard de Honnecourt (paris, bibliothèque nationale de france, ms fr 19093) : a new critical edition and color facsimile, Surrey ; Vermont : Ashgate, 2009, color plate 43, Fl. 20v.

26

2.6. Quattrocento - Mathes Roritzer (aproximadamente 1435 - 1495)

Mais de 200 anos separam os cadernos de Villard de Honnecourt até ao mestre pedreiro Mathes Roritzer. Arquiteto e autor alemão, filho de mestres pedreiros, é pelo seu livro Geometria deutsch publicado na última década do século XV que Roritzer ficou para a história. Trata-se dos poucos livros conhecidos até à data sobre a divulgação dos métodos geométricos utilizados pelos construtores medievais. Livro encomendado pelo bispo de Eichstätt ao mestre Roritzer, tinha como intuito, que “esta publicação faça algum bem50” pela divulgação dos métodos de construção que até à data tinham sido exclusivamente transmitidos oralmente51. A transmissão oral continuava a ser o principal veículo de transmissão do conhecimento entre os construtores medievais, apesar, de muitos desses homens serem alfabetizados52. A aprendizagem passava pela observação direta do modus operandi do mestre. Este método enraizado na prática, fruto do pensamento medieval, é vivificado no livro de Roritzer. “O que Roritzer estabeleceu na Geometria deutsh foi uma geometria não matemática, no sentido em que não sentiu a necessidade de provar ou demonstrar a exatidão matemática dos seus exercícios”53. A não necessidade de provar a exatidão matemática ressaltando a sua utilização direta no processo de construção do desenho, é idêntica aos métodos de construção apresentados nesta dissertação.

50

SHELBY, Lon R.; Gothic Design Techniques The Fifteenth-Century Design Booklets of Mathes Roriczer and Hanns Schmuttermayer, Southern Illinois University Press, U.S.A., 1977, p. 53. 51

SHELBY, Lon R. Op. Cit., p. 54. Roritzer estava consciente que estava a utilizar um novo método de transmissão da arte de construção, pois chega a afirmar que tinha sido a primeira vez que o assunto tinha sido explicado por escrito. No entanto, ele sentia que estava apenas a por no papel o que as tradições orais do ofício haviam transmitido. (Tradução do autor a partir do inglês). 52

SHELBY, Lon R. Op. Cit., p. 3. Embora muitos desses homens eram alfabetizados, principalmente na idade média tardia, a alfabetização não desempenhou um papel importante na aprendizagem técnica e nas aptidões do ofício. Essas aptidões foram transmitidas oralmente de uma geração de artesãos para outra através do método da aprendizagem. 53

Ibidem, p. 63.

27

Segue-se agora para a figura da Vesica tal como é descrita por Roritzer: “Deixe uma perna dos divisores ficar no ponto a, e faça um círculo. Do mesmo modo, disponha os divisores no ponto b, e faça um círculo. Onde os círculos se cruzam, marque as duas letras c e d no respetivo lugar. De seguida, coloque uma régua nos pontos c e d, e desenhe uma linha comprida passando pelos dois pontos tal como a figura abaixo (Fig. 10) 54”.

Fig. 10 – Vesica Pisces de Roritzer. Fonte: RORITZER, Matthäus; Geometria deutsch, Peter Wagner, Nuremberg, 1497. Fl. 2.

54

Ibidem, p.116.

28

2.7. Cinquecento - Leonardo da Vinci (1452 - 1519)

Nas últimas décadas da sua vida, Leonardo dedicou-se intensamente a geometria, chegando a deixar de lado os pincéis55. Esta nova paixão chegou tardiamente, começou nos seus quarenta anos e prolongou-se até ao fim dos seus dias56. É entre as datas de 1496 e 1504 que Leonardo veio a conhecer e estudar Euclides. O fato de não ter sido versado no latim, não o impediu de ter pleno acesso ao conhecimento dos Elementos de Euclides pelo seu amigo e mestre Luca Pacioli.57 Embora Leonardo só tenha tido conhecimento da obra de Euclides em 1496, onde a Vesica é explícita na elaboração do hexágono, existem provas que ele já a conhecia antes de aceder aos Elementos. Ele mostra essa figura numa folha de estudo do ano 1490, hoje no castelo de Windsor, intitulada Folhas de estudo de Figuras Geométricas e o Busto de um Velho de Perfil (Fig. 11). No canto inferior esquerdo dessa folha de estudo, verifica-se a existência da Vesica. A figura encontra-se no meio de um círculo central, entre outras formas geométricas e misturada com temáticas completamente diferentes ao estilo de Leonardo58.

55

MOREIRA, Rafael; ALMEIDA, Isabel Cruz de; LOPES, Helena Correia; [Et Al.] Leonardo da Vinci : um homem à escala do mundo, um mundo à escala do homem…, Instituto Português do Património Arquitectónico, IPPAR, Lisboa, 1998, p. 61. Conforme escreveu alguém que o conheceu, “ele está obcecado pela geometria e não suporta tocar em pinceis”. (carta de Frei Pietro da Novelara, 3 de abril de 1501, citada por Martin Kemp em Leonardo da Vinci: The Marvelous Works of Nature and Man, Cambridge, Mass. 1981. p.215. Esta carta também é citada por Paolo Galluzi em: Engineer and Architect, The Montreal Museum of Fine Arts, Montreal, 1987, p. 84). 56

LADISLAO, Reti; Léonard de Vinci: l'humaniste, l'artiste, l'inventeur, Robert Laffont, Paris, 1974, p. 73. Chegamos assim a conclusão muito importante que é só entre 1496 e 1504 que Leonardo veio a conhecer e estudar Euclides; dito de outra maneira, por volta de cinquenta anos, Leonardo ainda era um estudante no que toca ao latim e as matemáticas. Embora nada indica que ele continuou a estudar o latim, a geometria tornara-se uma verdadeira paixão e isto, até ao fim dos seus dias. (Tradução do autor a partir do francês). 57

p. 73. Ibidem, A presença de um perito era indispensável para Leonardo ultrapassar a barreira da língua latina, e podemos avançar o nome do seu amigo, fonte de inspiração e mestre o Fra Luca Pacioli. Este último devia fazer para Leonardo um resumo da cada página euclidiana, que o aluno condensara em algumas linhas. (Tradução do autor a partir do francês). 58

ZÖLLNER Frank, Leonardo da Vinci 1452 – 1519 Desenhos e Esboços, Taschen,China, 2005, p. 6. Várias folhas mostram que o artista trabalhava simultaneamente em temas diversos. Isso é notório nomeadamente numa grande folha do seu período de maturidade na qual Leonardo traçou estudos geométricos e desenhos de figuras humanas e fez esboço de plantas, nuvens e cavalos.

29

Apesar da Vesica Pisces ser revelada no seio de outras figuras, é no Códices Madrid II que Leonardo a expõe com clareza. Neste códice, o artista escreve um tratado que deu início em 1491, intitulado Tratados varios de fortificación estática y geometria, hoje na posse da Biblioteca Nacional de Espanha. Obra que consiste num conjunto de desenhos organizados a posteriori em virtude da vontade do próprio Leonardo59, não pode ser considerado em si um tratado de geometria, mas a prova que Leonardo conhecia a Vesica Pisces (Fig. 12).

Fig. 11 – Folha de Estudos de Figuras geométricas e o Busto de um Velho de Perfil, c. 1490, Pena e tinta 320 x 446 mm Windsor Castle, Royal Library (RL 12283r). Fonte: ZÖLLNER, Frank; Leonardo da Vinci 1452 – 1519 Desenhos e Esboços, Taschen, China, 2005, pp. 66 - 67.

59

Ibidem, p. 6. A dificuldade da tarefa e a convicção de que o próprio Leonardo tinha consciência do estado de desordem em que se encontravam os seus papéis, esclarece-se quando lemos uma nota do artista, então quase com 60 anos, colocada na abertura de um dos seus manuscritos: “Começado em Florença, na casa de Piero di Mertelli, a 22 de Março de 1508; será uma recolha sem ordem nenhuma, composta de muitas notas que copiei para aqui na esperança de poder classifica-las no seu local adequado, isto é, conforme aos assuntos de que tratam […]”

30

Fig. 12 – Vesica Pisces de Leonardo segundo a primeira proposição do livro Elementos de Euclides. Fonte: VINCI, Leonardo da; Tratados varios de Fortificacion Estatica y Geometria Escritos en Italiano por los anos de 1491 como se vé à la vuelta del fol. 157, Biblioteca Nacional de Espanha, 1491, Fl. 138.

31

2.8. Cinquecento - Sebastiano Serlio (1475 - 1554)

Arquiteto italiano do Renascentismo, Serlio é autor do tratado Sette Libri Dell' Architettur usando como referência o Tratado de Vitrúvio do século I a. C. à semelhança dos tratadistas da sua época. Considerado dos escritos arquitetónicos mais importante do século XVI por adotarem a língua vernácula, articularem a imagem com o texto de forma sistemática, tornando-os assim mais acessíveis ao contrário dos tratados anteriores de Vitrúvio e de Alberti60. No livro I, Serlio, descreve até a exaustão todas as formas geométricas, definindo o quadrado, o triângulo equilátero e o círculo como formas puras por se inscreverem umas nas outras até ao infinito. Explica em suma, que tudo se constrói através de regras geométricas. É nesse primeiro livro, na descrição dos quatro tipos diferente de ovais, que Serlio apresenta uma delas usando a Vesica Pisces “sabendo que é maravilhosamente fácil de executar”, fazendo “dois círculos de maneira que o centro de um toca o centro do outro61”. (Fig. 13).

Embora teve um papel predominante na arquitetura francesa, tanto pelo seu convite da parte de Francisco I para construir o castelo de Fontainebleau ou pela admiração do arquiteto francês Philibert de l’Orme, morre na miséria obrigado a vender os seus cadernos inéditos por volta do ano de 155462.

60

PINHEIRO DA SILVA, Raquel. O projecto rigoroso – através de Serlio e do seu tratado, Arte Teoria, nº 9, 2007, pp. 61-78. 61

SERLIO, Sebastiano ; Martin, Jean (tradutor) Il Primo libro d'architettura di Sabastiano Serlio [...],A Paris. Avec privilège du Roy [...], 1545, Fl. 19. Quando assim quiser construir esta quarta figura oval, faça dois círculos de maneira que o centro de um toca o centro do outro e no cruzamento das linhas curvas marquem dois centros N.O. e assinale os seus centros por P.Q. Faça as linhas prolongadas de centro a centro e ponha uma das pontas do compasso no centro O. Alargam o outro até a 1. do qual puxamos a linha curva até a 2. De modo idêntico o fará a partir de N. até ao 3. Para chegar ao 4. Assim, terá formado a figura oval que é verdadeiramente muito agradável ao olho e que poderá acomoda-la em várias coisas, mais, sabendo que é maravilhosamente fácil de executar. (Tradução do autor a partir do francês). 62

PINHEIRO DA SILVA, Raquel. Op. Cit., pp. 61-78.

32

Fig. 13 – Oval a partir da Vesica Pisces de Serlio. Fonte: SERLIO, Sebastiano ;Trad. Martin, Jean; Il Primo libro d'architettura di Sabastiano Serlio [...], Paris. Avec privilège du Roy [...], 1545, Fl. 19.

33

2.9. Cinquecento - António Rodrigues (aproximadamente 1525 - 1590)

O professor Rafael Moreira traça-nos o perfil de António Rodrigues como sendo um arquiteto português formado em Itália, ligado a corte sebástica, com uma cultura matemática dos arquitetos militares, compilando todos esses conhecimentos no primeiro tratado de arquitetura português63. Conhece-se hoje graças as investigações de Moreira, dois manuscritos de arquitetura atribuídos a António Rodrigues. O primeiro, existente na Biblioteca Nacional de Lisboa, contém, 66 folhas e foi datado em 157664. O segundo situa-se na Biblioteca Municipal do Porto e é composto por 43 folhas e é do ano de 1579. Pensa-se que será uma versão de luxo ou definitiva do primeiro manuscrito65. É referido como arquiteto régio por Moreira sendo o sucessor de Miguel de Arruda e de Afonso Alvares66. Para além dos manuscritos, é-lhe atribuído a capela das onze mil Virgens em Alcácer do Sal e a Matriz de Santa Maria da Graça em Setúbal pelo seu “purismo geometrizante” elevando assim a arte da arquitetura a ciência matemática67.

63

MOREIRA, Rafael. Um tratado português de arquitectura do século XVI (1576 – 1579). Dissertação de Mestrado em História de Arte. Universidade Nova de Lisboa, Lisboa, 1982, p. 36. 64

Ibidem, p. 8.

65

Ibidem, p. 171.

66

Ibidem, p. 42.

67

Ibidem, p. 51.

29

Rodrigues utiliza a Vesica Pisces para construir um “triângulo perfeito”, isto é, um triângulo equilátero na definição 13 do seu manuscrito68 (Fig. 14) idêntica a primeira proposição de Euclides no seu livro Elementos. Obra de referência para qualquer arquiteto renascentista como atestam as declarações dos seu manuscrito “Gyometria não he outra couza que figuras, as quais nam se podem fazer sem linhas, e amgulos, e pomto. (…) Quem for corizo desta harte estude Hoclides, e nele achará bem couza em que se desenfade. 69” A Vesica Pisces de Rodrigues é a mais antiga traçada pela mão de um português que chegou até nós.

68

Ibidem, p. 119-120. Do Fol. 28. Ho triamgulo para ser perfeito a de ser composto de tres linhas yguais e todas tres yumtas, como parese por ha lynha AB BD DA. Formarão hum triamgulo que tenha tres amgulos yguais e semdo as linhas yguais de nesesidade am de ser os amgulos yguais, como parese por os dous syrcolos PM os quais formarão o triamgulo ABD, como parese por a lynha AB ha qual saio do ponto A que he semtro do sircolo P à syrcoferemsia; e do mesmo pomto A saio há linha AD a qual he ygual à linha AB por sayre ambas de semtro hà syrcomferemsya; e do pomto D que he semtro do syrcolo F. E por estas linhas sairam do semtro dos dous syrcolos, os quais ambos sam yguais, como parese pola lynha AD ha qual é ygual à linha DA por sair pomto D que é semtro do sircolo M. E deste modo se a de emtemder ho triamgulo perfeito, poi que esta emtemdido que as tres linhas AE e BD e DA sam yguais huas às outras pois saem do semtro hà sercumferemsya, como se declarou na definysam do sircolo. 69

Ibidem, p. 116. Do Fol. 25v.

30

Fig. 14 – Vesica Pisces de António Rodrigues. arquitectura, manuscrito, 1576, p. 28.

Fonte: RODRIGUES, António, Tratado de

31

Ao longo deste capítulo, encontraram-se autores que se debruçaram sobre a forma geométrica da Vesica Pisce, desde o Neolítico até ao Renascimento. Alexander Thom formulou a hipótese de construções megalíticas como “Bar Brook” em Derbyshire, na Inglaterra baseadas na Vesica Pisces no período Neolítico. Euclides nos seus Elementos aponta e demonstra as propriedades da Vesica durante Antiguidade. O escritor medieval alemão Thomasin Von Zirclaere pela sua obra Der wälsche Gast refere a importância de Euclides no que diz respeito a Geometria da Idade Média. Villard de Honnecourt indica nos seus cadernos a construção de dois tipos de ogiva baseadas na Vesica. O arquiteto de tradição medieval Mathes Roritzer no seu Geometria deutsch durante o Quattrocento revela o método de construção medieval do pentágono pela Vesica. Durante o Cinquecento, Leonardo no seu códice Madrid II refere o desenho da primeira proposição de Euclides e a sua respetiva Vesica Pisces. No mesmo período, Sebastiano Serlio no seu tratado sette libri dell'architettura escreve sobre a aplicação da Vesica na arquitetura. E finalmente, o arquiteto régio António Rodrigues pelo seu tratado manuscrito de arquitetura na construção do “triângulo perfeito” usando a Vesica. Mais antiga conhecida até hoje desenhada por um autor português.

Terminada esta contextualização histórica da Vesica, seguimos para o terceiro capítulo. De carácter essencialmente prático, o terceiro capítulo irá revelar o poder gerador dos desenhos geométricos da Mandorla e da Vesica Pisces numa primeira fase e as propriedades e curiosidades geometricas numa segunda fase.

Antes de seguirmos, não podemos deixar de mencionar a definição do artista português Lima de Freitas da nossa forma: “Isto resulta em dois círculos iguais cujos centros estão localizados, cada um na circunferência do outro, isto é, unidos por um raio comum. Aqui estamos diante da figura geométrica, que fornece imediatamente a Vesica Pisces”70.

70

FREITAS, Lima de; Pintar o sete Ensaios sobre Almada Negreiros, o Pitagorismo e a Geometria Sagrada; Imprensa nacional – casa da moeda, lisboa, 1990, p. 161.

32

3. CONSTRUÇÕES E CURIOSIDADES GEOMETRICAS DA MANDORLA E DA VESICA PISCES

O Tao gera o um. O um gera o dois. O dois gera o três. O três gera todas as coisas.

Lao Tsé

São várias as personalidades que mencionam o poder gerador do nosso objeto de estudo chegando a considera-lo como uma semente ou um princípio feminino criador de novas formas. “Este desenho de crescimento sugere a árvore. A Vesica representa a semente71” defende Robert Lawlord. Alick Bartholomew escreve que a figura surge da própria natureza: “Uma forma intrigante que surge na natureza, seja por conta própria, ou como parte de forma mais complexa, é a Vesica Pisces. É o principio feminino da geração da qual brotam todas as outras formas geométricas, triângulos, quadrados, polígonos, (…)72”. Nigel Pennick salienta que “é o ponto prático de partida do qual derivam todas as outras figuras geométricas”73. Concluída estas declarações sobre o símbolo da Vesica que funciona como semente do qual brota figuras geométricas, chegou o momento de por à prova essas afirmações de compasso, lápis e régua.

71

LAWLOR, Robert; Sacred Geometry Philosophy & Practice, Thames & Hudson, London, 2007, p. 34.

72

BARTHOLOMEW, Alick; Hidden Nature, The Startling Insights of Viktor Schauberger, Floris Books, Poland, 2005, p. 64. (Tradução do autor a partir do inglês). 73

PENNICK, Nigel; Sacred Geometry symbolism and purpose in religious structure, (1980), trad. Alberto Feltre, Geometria Sagrada, editora pensamento, são Paulo, 1999, p. 21. O vesica não está envolvido na construção por princípios arbitrários. Ele é o ponto prático de partida do qual derivam todas as outras figuras geométricas. Dividindo-se o vesica com uma linha que passa pelos centros dos dois círculos, unindo-se os seus vértices comuns e, para um lado e para o outro, ligando-se esse vértices aos pontos em que a linha vertical cruza os círculos, obtêm-se dois triângulos equiláteros. Os lados desses triângulos são de comprimento igual ao raio do círculo gerador.

33

Fig. 15 – Vesica Pisces como Matriz geradora. Fonte: CRITCHLOW, Keith; Oder in Space a design source book, Thames & Hudson, London, 1969, p. 33. (Esta figura de K. Critchlow é idêntica a de Robert Lawlor no seu livro Sacred Geometry Philosophy & Practice, p. 34. Escolheu-se a imagem de Critchlow pela maior clareza do desenho).

No discorrer deste terceiro capítulo, iremos abordar dois termos diferentes e duas figuras diferentes. A figura da “Mandorla” e a figura da “Vesica Pisces”. A Vesica Pisces consiste no entrelaçar de dois círculos com centro em cada um dos extremos das suas circunferências, como frisado no capítulo anterior. A Mandorla nasce no meio da Vesica Pisces, surge do cruzamento dos seus dois círculos. Todavia, a Mandorla pode ser criada sem

34

a necessidade da representação completa dos dois círculos entrelaçados. Nesta linha de pensamento, distinguimos dois métodos base de construção de figuras geométricas. Um que exige totalmente a forma da Vesica Pisces para a elaboração de figuras geométricas, e outro, que somente precisa da forma que surge do entrelaçar da Vesica: a Mandorla. O terceiro capítulo será dividido em duas fases. A primeira consiste na elaboração das formas geométricas do triângulo, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, hendecágono e dodecágono. Trata-se das formas possíveis de serem construídas de três até doze lados iguais pela Mandorla e pela Vesica Pisces. Elas são ordenadas por ordem de complexidade de construção quando existe vários métodos para a mesma figura geométrica. A segunda secção, apresenta as propriedades geométricas da Mandorla e da Vesica Pisces. Nesta segunda fase, trata-se de descobrir os ângulos existentes na Vesica, a possibilidade de construção da Secção de Ouro pela Mandorla e pela Vesica, e por último a possibilidade de construir o triângulo de Pitágoras pela Vesica Pisces. Com isto revelam-se as plenas potencialidades de um desenho de duas voltas de compasso apenas, sem necessidade de demonstrações matemáticas, indo assim ao encontro do espírito medieval onde este trabalho foi beber.

Fig. 16 – A Mandorla e a Vesica Pisces. Fonte: construção apresentada pelo autor.

35

3.1. Construção da Mandorla

Sempre com a mesma abertura do compasso. Centro do compasso num lugar qualquer no espaço da folha ao qual chamamos D e traçar uma semicircunferência. Tomar um qualquer lugar na semicircunferência traçada à que chamamos B. Centro em B, traçar a segunda semicircunferência. É criado a Mandorla. Esta simples construção pelo compasso dá origem aos pontos das retas BD e CE, ambos perpendiculares entre si. O eixo horizontal BD e o eixo vertical CE, cruzam-se no ponto A, lugar do centro da Mandorla.

Fig. 17 – Mandorla e os seus pontos. Fonte: construção apresentada pelo autor.

36

3.2. Construção da Vesica Pisces

Sempre com a mesma abertura do compasso. Centro do compasso num lugar qualquer no espaço da folha ao qual chamamos D1 e traçar uma circunferência. Tomar um qualquer lugar na circunferência traçada a que chamamos B1. Centro em B1, traçar a segunda circunferência. É criado a Vesica Pisces.

Esta simples construção pelo compasso dá origem aos pontos das retas B1D1, CE, ambos perpendiculares entre si. Os pontos B e D correspondem a intersecção das circunferências com o eixo horizontal B1D1. O eixo horizontal B1D1 e o eixo vertical CE, cruzam-se no ponto A, lugar do centro da Vesica Pisces.

Fig. 18 – Vesica Pisces e os seus pontos. Fonte: construção apresentada pelo autor.

37

É com base na Fig.17 que todas as vinte construções geométricas derivadas da Mandorla serão seguidamente apresentadas. Todas as figuras foram criadas tomando em consideração uma reta horizontal, servindo esta, de eixo de ordenação da construção geométrica. Esse eixo horizontal orientador da construção, terá sempre o nome de BD. A própria criação da Mandorla origina um eixo vertical que também tomamos em consideração a que demos o nome de CE. O ponto A será sempre o ponto do centro da Mandorla, ou seja o ponto em que o eixo horizontal BD e o eixo vertical CE se cruzam.

De igual modo, todas as vinte e três construções geométricas derivadas da Vesica Pisces têm por base a Fig. 18. A reta horizontal BD também é tomada em consideração como linha orientadora da construção. A Mandorla que irrompe do centro da Vesica Pisces, fornece o eixo vertical CE já referido acima. O ponto A será sempre o ponto do centro da Mandorla e da Vesica Pisces.

38

3.3. Construções geométricas pela Mandorla

Fig. 17 – a Mandorla

39

3.3.1. Construções pela Mandorla – o triângulo

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD e o ponto C do eixo vertical CE. 1) A Mandorla já contém em si o triângulo equilátero 2) Completar o triângulo CBD.

.

Construção apresentada pelo autor.

40

Ter em consideração o eixo horizontal BD e os pontos C1 e E1 do eixo vertical CE. 1) Centro em A até B, traçar circunferência 2) Centro em E1 até A, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos B1 e D1 na circunferência de centro A. 3) Completar o triângulo C1B1D1.

Construção apresentada pelo autor.

41

3.3.2. Construções pela Mandorla – o quadrado

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo Vertical CE. 2) Completar o quadrado BC1DE1.

SUTTON, Andrew; Ruler & Compass practical geometric constructions, Wooden Books, England, 2009, p. 11.

42

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Tomar por medida BD, traçar uma segunda Mandorla: traçar duas semicircunferências, uma com centro em C e outra de centro E. Encontrados os pontos F, G, H e I no cruzamento das duas Mandorlas. 3) Completar o quadrado FGHI. 4) Os pontos 1, 2. 3 e 4, extremidades das duas Mandorlas apresenta-nos um segundo quadrado. (Referência do autor) CRITCHLOW, Keith; Time Stands Still New Light on Megalithic Science, (1979), Floris Books, Poland, 2007, p. 55.

43

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Centro em B até A, traçar semicircunferência. 3) Repetir a mesma ação com centro em C1, D e E1. Encontrados os pontos F, H, G e I. 4) Completar o quadrado FHGI.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 11.

44

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o seu ponto E. 1) Centro em E até B, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto A1. 2) Centro em D até E, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto F. 3) Centro em F até D, traçar semicircunferência. 4) Centro em A1 até E, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto G. 5) Completar o quadrado A1GEF.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 10.

45

3.3.3. Construções pela Mandorla – o pentágono

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o ponto E do eixo vertical CE e o centro A. 1) Tomar por medida BA, centro em C, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto F no eixo vertical CE. 2) Centro em D até F, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto G. 4) Repetir a mesma operação com centro em B. Encontrado o ponto H. 5) Completar o pentágono BFDGH.

ALLEN, Jon; Drawing Geometry a Primer of Basic Forms for Artists, Designers and Architects, Floris Books, China, 2007, p. 21.

46

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Tomar por medida BD, centro em A, marcar o ponto F no eixo vertical CE. 2) Traçar uma reta de F para D. 3) Tomar por medida BA, centro em F, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto G na reta FD. 4) Tomar por medida DG, centro em D, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto J na Mandorla e o ponto H no eixo vertical CE. 5) Repetir a mesma operação com centro em B. Encontrado o ponto I. 6) Completar o pentágono HDJIB.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 35.

47

3.3.4. Construções pela Mandorla – o hexágono

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. 2) Centro em B até A, traçar semicircunferência. 3) Repetir a mesma operação com centro em D. Encontrados os pontos F, J, H e I respetivos. 4) Completar o hexágono BFHDIJ.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 15.

48

3.3.5. Construções pela Mandorla – o heptágono

Ter em consideração o eixo horizontal BD e o eixo vertical CE. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrado o ponto C1 no eixo vertical CE. 2) Centro em C1 até A, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos B1 e D1 na circunferência de centro A. 3) Traçar uma reta de B1 e D1 para A. 4) Centro em C1 até a tangente de uma das retas da etapa anterior e traçar semicircunferência. Encontrados os pontos F e G. 5) Tomar por medida C1F, centro em F, marcar H, centro em H, marcar I, centro em I, marcar J e centro em J, marcar K. 6) Completar o heptágono C1FHIJKG.

DE FREITAS, Lima; Pintar o sete, Ensaios sobre Almada Negreiros, o Pitagorismo e a Geometria Sagrada, Imprensa nacional – casa da moeda, lisboa, 1990, p. 174.

49

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. FASE 1 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Centro em D até A, traçar semicircunferência. 3) Repetir a mesma a mesma operação com centro em B, C1 e E1. Encontrados os pontos B1, B2, D1 e D2. FASE 2 4) Centro em D1 até B1, traçar arco. 5) Repetir a mesma operação com centro em B1. Encontrado o ponto A1 no eixo vertical CE. 6) Traçar uma reta de B1 para A1 e de D1 para A1. Encontrados os pontos G e H respetivos. 7) Tomar por medida C1G, centro em G, marcar I, centro em I, marcar J, centro em J, marcar K, e centro em K, marcar L na circunferência de centro A. 8) Completar o heptágono C1HLKJIG. ALLEN, Jon. Op. Cit., p. 30.

50

3.3.6. Construções pela Mandorla – o octógono

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD e os pontos C1 e E1 do eixo vertical CE. 1) Tomar por medida, a medida utilizada para criar a Mandorla, centro em C1 e E1. 2) Traçar a respetiva segunda Mandorla. Encontrados os pontos 1, 2, 3 e 4 no cruzamento das duas Mandorlas. 3) Traçar uma reta de 1 para 4 e de 2 para 3. Encontrados os pontos F , G e H, I respetivos. 4) Completar o octógono C1FBIE1GD.

Construção apresentada pelo autor.

51

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em B, D, C1 e E1, traçar as respetivas semicircunferências. Encontrados os pontos H, I, J e K. 3) Traçar uma reta de H para K, e outra reta de I para J. Encontrados os pontos L, N e M, O respetivos. 4) Completar o octógono C1MDNE1OBL.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 17.

52

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em B, D, C1 e E1, traçar as respetivas semicircunferências. Encontrados os pontos F, G, H e I, pontos de um quadrado. 3) Centro em A até F, traçar circunferência que passa pelos pontos F, G, H e I. Encontrados os pontos 1 e 3 no eixo horizontal e os pontos 2 e 4 no eixo vertical. 4) Completar o quadrado 1234. Encontrados os pontos J, K, L, M, N, O, P e Q pela intersecção dos quadrados 1234 e FGHI. 5) Completar o octógono JKLMNOPQ.

Ibidem, p. 17.

53

3.3.7. Construções pela Mandorla – o eneágono

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE, o centro A e o ponto A1. 1) Tomar por medida AB, centro em A1, marcar o ponto F no eixo vertical CE. 2) Centro em F até B, traçar circunferência. Encontrado o ponto A2 no eixo vertical CE e a localização do ponto C. 3) Centro em A2 até F, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos G e H na circunferência de centro F. 4) Tomar por medida BD, centro em C, marcar os pontos I e J. Centro em J, marcar K, e centro em I, marcar L. 5) Completar o eneágono CJKHDBGLI.

Ibidem, p. 43.

54

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, os pontos do eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1. 2) Centro em E1 até A, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos H e I. 3) Tomar por medida BC1, centro em C, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto J. 4) Centro em C1 até J, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos K e L. 5) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em H, traçar semicircunferência. 6) Repetir a mesma operação com centro em I. Encontrados os pontos M, N e O, P respetivos. 7) Completar o eneágono C1LPIONHMK.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 43.

55

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrado o ponto E1. 2) Centro em D até A, traçar arco. Encontrado o ponto C1 na circunferência de centro A. 3) Centro em B até C1, traçar arco curto. Encontrado o ponto C2 no eixo vertical CE. 4) Centro em C2 até B, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto A1 no eixo vertical CE. 5) Centro em E1 até A1, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos F e G. 6) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em F, marcar H, centro em H, marcar I, centro em I, marcar J, centro em J, marcar K, centro em K, marcar L, e centro em L, marcar M. 7) Completar o eneágono JKLMGE1FHI.

JESÚS, Juan; Traçat d’un > Acesso em 24 de agosto 2012

polígon

enneàgon

em

http://www.youtube.com/watch?v=LWFf4BA09yk

56

3.3.8. Construções pela Mandorla – o decágono

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Centro em D até A, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos C2 e E2 na circunferência de centro A. 3) Traçar uma reta de C2 para E2. Encontrado o ponto A1. 4) Centro em A1 até A, traçar semicircunferência. 5) Traçar uma reta de C1 para A1. Encontrado o ponto F na circunferência de centro A1. 6) Centro em C1 até F, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos G e L na circunferência de centro A. 7) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em G, marcar I, centro em I, marcar J, centro em J, marcar K, centro em H, marcar L, centro em L, marcar M, centro em M, marcar N. 8) Completar o decágono C1HLMNE1KJIG.

Decagon em http://en.wikipedia.org/wiki/Decagon > Acesso em 24 de Agosto 2012.

57

3.3.9. Construções pela Mandorla – o dodecágono

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Com a mesma medida da etapa anterior, traçar uma circunferência de centro B e outra de centro D. Encontrados os pontos F e G, e os pontos H e I respetivos na circunferência de centro A. 3) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em F, G, H e I, traçar as respetivas semicircunferências. Encontrados os pontos B1, B2, D1 e D2 respetivos. 4) Traçar uma reta de B1 para D2 e outra de D1 para B2. Encontrados os pontos J e K, e os pontos L e M respetivos na circunferência de centro A. 5) Completar o dodecágono C1HMDKIE1GLBJF.

Construção apresentada pelo autor.

58

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o centro A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrados os pontos C1 e E1 no eixo vertical CE. 2) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em B até A, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos F e G. 3) Traçar uma reta de F para G. Encontrado o ponto F1 no eixo horizontal BD. 4) Centro em A até F1, traçar circunferência. 5) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em C1, D, E1 e B, traçar as circunferências respetivas. Encontrados os pontos I e J, G e K, L e M respetivos. 6) Completar o dodecágono C1HIDJKE1GMBLF.

ALMEIDA PINTO DE, Dante Cardoso; Construir um dodecágono regular com régua e compasso em http://www.youtube.com/watch?v=tofFmRYnI0M > Acesso em 24 de Agosto 2012.

59

3. 4. Construções geométricas pela Vesica Pisces.

Fig. 18 – a Vesica Pisces

60

3.4.1. Construções pela Vesica Pisces – o triângulo

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD e o ponto C, ponto de intersecção das duas circunferências da Vesica Pisces. 1) Tomar por medida a medida usada para criar a Vesica Pisces. Centro em B, marcar F, e centro em D, marcar G. 2) Completar o Triângulo FCG.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 15.

61

Ter em consideração o eixo horizontal BD e os pontos do eixo vertical CE. 1) A Vesica Pisces já contém em si o triângulo equilátero. 2) Completar o triângulo CED.

Construção apresentada pelo autor.

62

3.4.2. Construções pela Vesica Pisces – o quadrado

Ter em consideração os pontos B1 e B2 do eixo horizontal BD e o ponto C do eixo vertical CE. 1) Tomar por medida AB1, centro em C, marcar os pontos F e G na Vesica Pisces. 2) Completar o quadrado B1FGD1.

ALLEN, Jon. Op. Cit., p. 23.

63

Ter em consideração os pontos B1 e B2 do eixo horizontal BD e o eixo vertical CE. 1) Tomar por medida AB1, centro em A, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto A1. 2) Traçar uma reta de D1 e B1 para A1. Encontrados os pontos F e G respetivos na Vesica Pisces. 3) Completar o quadrado B1FGD1.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 10.

64

3.4.3. Construções pela Vesica Pisces – o pentágono

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o eixo vertical CE. 1) Centro em A até B, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto E1 no eixo vertical CE. 2) Traçar uma reta de E1 passando por B1 e outra reta de E1 passando por D1. Encontrados os pontos G e H respetivos. 3) Centro em G até B1, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto I no eixo vertical CE. 4) Repetir a mesma operação com centro em H intersectando I. 5) Completar o pentágono IHD1B1G.

ALLEN, Jon. Op. Cit., p. 27.

65

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto E do eixo vertical CE. 1) Centro em E até B1, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos F e G na Vesica Pisces e o ponto C1 no eixo vertical CE. 2) Traçar uma reta de G e F para C1. Encontrados os pontos H e I respetivos. 3) Centro em H até B1, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto J no eixo vertical CE. 4) Repetir a mesma operação com centro em I intersectando J. 5) Completar o pentágono JID1B1H.

SHELBY, Lon R.; Gothic Design Techniques The Fifteenth-Century Design Booklets of Mathes Roriczer and Hanns Schmuttermayer, Southern Illinois University Press, U.S.A., 1977, p. 117.

66

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o ponto A. 1) Tomar por medida BB1 (medida da Vesica Pisces), centro em A, marcar o ponto F no eixo vertical CE. 2) Traçar uma reta de D1 passando por F. 3) Tomar por medida AB1, centro em F, marcar o ponto G na reta traçada na etapa anterior. 4) Centro em D1 até G, marcar o ponto H no eixo vertical CE. 5) Retomar a medida da Vesica Pisces, centro em F, traçar os pontos I e J na Vesica. 6) Completar o pentágono HJD1B1I.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 35.

67

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, o ponto C do eixo vertical CE e o ponto A. 1) Tomar por medida AB1, centro em C, marcar os pontos B2 e D2 na Vesica Pisces. 2) Centro em A até B2, traçar semicircunferência. Encontrados os ponto B3 e D3 no eixo horizontal BD. 3) Centro em D1 até B3, traçar um arco. 4) Repetir a mesma operação com centro em B1. Encontrados os pontos H e I respetivos na Vesica e o ponto G no eixo vertical CE. 5) Completar o pentágono GID1B1H.

ALLEN, Jon. Op. Cit., p. 24.

68

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, e o ponto C do eixo vertical CE. 1) Centro em C até B1, traçar circunferência, (medida da Vesica Pisces). Encontrados os pontos F e G na Vesica. 2) Com a medida da Vesica, centro em F até C, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto H. 3) Repetir a mesma operação com centro em G. Encontrado o ponto I. 4) Novamente com a medida da Vesica, centro em H e I, traçar as respetivas semicircunferências. 5) Traçar uma reta de B1 para H, encontrado o ponto F1 e traçar outra reta de D1 para I, encontrado o ponto G2. 6) Traçar uma reta de B1 para G2 e outra reta de D1 para F1, intersectam-se no eixo vertical CE no ponto J. 7) Retomar a medida da Vesica, centro em J, traçar arco. Encontrados os pontos K e L na Mandorla da Vesica. 8) Completar o pentágono JD1LKB1.

Ibidem, p. 22.

69

3.4.4. Construções pela Vesica Pisces – o hexágono

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e os pontos C e E, pontos de intersecção das duas circunferências da Vesica Pisces. 1) Traçar uma reta de C e E para D1. Encontrados os pontos H e I respetivos na Vesica. 2) Completar o hexágono B1CIDHE.

EUCLIDES; Euclides elementorum libri xv. graecè & latinè, quibus, cùm ad omnem mathematicae scientiae partem, tùm ad quamlibet geometriae tractationem, facilis comparatur aditus..., apud Hieronymum de Marnef, et Gulielmun Cauellat, sub Pellicano, monte D. Hilarij, Paris, 1573, Fl. 56.

70

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C, ponto de intersecção das duas circunferências da Vesica Pisces. 1) Centro em C até B1, (medida da Vesica) traçar circunferência. Encontrados os ponto F e G na Vesica. 2) Com a mesma medida da Vesica, centro em F e G , traçar as respetivas semicircunferências. Encontrados os pontos H e I respetivos. 3) Completar o hexágono FHIGD1B1.

ALLEN, Jon. Op. Cit., p. 29.

71

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C do eixo vertical CE. 1) Centro em C até B1, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos F e G na Vesica Pisces. 2) Traçar uma reta de D1 para F e outra reta de B1 para G. Encontrado o ponto A1, ponto de intersecção das duas retas no eixo vertical CE. 3) Centro em A1 até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos F1 e G1 nas retas da etapa anterior e o ponto E1 no eixo vertical CE. 4) Completar o hexágono CG1D1E1B1F1.

Construção apresentada pelo autor.

72

3.4.5. Construções pela Vesica Pisces – o heptágono

Ter em consideração o eixo horizontal BD e o ponto E, ponto de intersecção das duas circunferências da Vesica Pisces. 1) Tomar por medida a medida usada para criar a Vesica Pisces, centro em E, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos F e G na Vesica. 2) Sempre com a medida da Vesica, centro em F, marcar H, centro em H, marcar I, centro em I, marcar J, e centro em J, marcar K. 3) Completar o heptágono JKGEFHI.

3º eso heptagono inscrito em http://www.youtube.com/watch?v=CyqF3mNKBtA > Acesso em 24 de Agosto 2012.

73

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C1 do eixo vertical CE. 1) Centro em C1 até B1, traçar semicircunferência (medida da Vesica Pisces). Encontrados os pontos F e G na Vesica. 2) Traçar uma reta de D1 para F e outra de B1 para G. Intersectam-se no ponto H no eixo vertical CE. 3) Tomar por medida FH, centro em B1, marcar I. 4) Repetir a mesma operação com centro em D1 intersectando I. 5) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em I, traçar circunferência. Encontrados os pontos F1 e G1 na Vesica e a localização do ponto C no eixo vertical CE. 6) Retomar por medida a Vesica, centro em C, marcar os pontos J e K. 7) Completar o heptágono CKG1D1B1F1J.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 41.

74

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C do eixo vertical CE. 1) Traçar uma reta de D1 para C. 2) Centro em C até B1, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto D2 na Vesica Pisces. 3) Traçar uma reta de B1 para D2. Encontrado o ponto A1 no eixo vertical CE e o ponto F na reta da primeira etapa. 4) Centro em A1 até B1, traçar circunferência. 5) Tomar por medida CF, centro em C, marcar os pontos G e H. Centro em G, marcar J, centro em J, marcar K, centro em K, marcar L, e centro em L, marcar I. 6) Completar o heptágono CHILKJG.

SHELBY, Lon R. Op. Cit., p. 118.

75

3.4.6. Construções pela Vesica Pisces – o octógono

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o ponto A. 1) Traçar duas retas paralelas ao eixo vertical CE: tomar por medida AB1, centro num ponto qualquer do eixo vertical CE, traçar um pequeno arco a esquerda e outro a direita do eixo vertical. 2) Traçar uma reta de B1 para o pequeno arco esquerdo e outra reta de D1 para o pequeno arco direito. Encontrados os pontos B2 e D2 respetivos na Vesica Pisces. 3) Traçar uma reta de D1 passando por B2 e outra de B1 passando por D2. As retas intersectam-se no ponto F no eixo vertical CE. 4) Centro em F até B1, traçar circunferência. Encontrados os ponto G no eixo vertical CE. 5) Centro em G até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos I, J, K, L, M e N. 6) Completar o octógono B1IJKLMND1.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 17.

76

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o ponto A. 1) Traçar duas retas paralelas ao eixo vertical CE: tomar por medida AB1, centro num ponto qualquer do eixo vertical CE, traçar um pequeno arco a esquerda e outro a direita do eixo vertical. 2) Traçar uma reta de B1 para o pequeno arco esquerdo e outra reta de D1 para o pequeno arco direito. Encontrados os pontos F e G respetivos na Vesica Pisces. 3) Traçar uma reta de D1 passando por F e outra de B1 passando por G. Encontrados os pontos F1 e G1 respetivos. 4) Traçar uma reta passando por F1 e G1 paralela ao eixo horizontal BD. Encontrados os pontos H e I na Vesica. 5) Traçar uma reta de B1 passando por G e outra de D1 passando por F. 6) Tomar por medida, BB1 (medida da Vesica Pisces), centro em H e I, traçar as respetivas circunferências. Encontrados os pontos J e K respetivos pela intersecção das retas da etapa anterior. 7) Traçar uma reta de H para K e outra de I para J. Intersectam-se no ponto L no eixo vertical CE. 8) Centro em L até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos M e N na intersecção das duas retas paralelas ao eixo vertical CE. 9) Completar o octógono B1HJMNKID1.

ALLEN, Jon. Op. Cit., p. 39.

77

3.4.7. Construções pela Vesica Pisces – o eneágono

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C1 do eixo vertical CE. 1) Centro em C1 até B1, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto D3 na Vesica Pisces. 2) Traçar uma reta de B1 para D3. Encontrado o ponto C2 no eixo vertical CE. 3) Centro em C1 até C2, traçar circunferência. 4) Traçar uma reta de D1 e B1 passando por C1. Encontrados os pontos C3 e C4 respetivos. 5) Traçar uma reta de C3 para C4 paralela ao eixo horizontal BD. Encontrado o ponto A1 no eixo vertical CE. 6) Centro em A1 até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos B2 e D2 na Vesica e a localização do ponto C no eixo vertical CE. 7) Tomar por medida BB1 (medida da Vesica), centro em C, marcar os pontos F e G. Centro em F, marcar H, e centro em G, marcar I. 8) Completar o eneágono CGID2D1B1B2HF.

JÉSUS, Juan; Traça l'enneàgon a partir d'un costat em http://www.youtube.com/watch?v=f1v8hEz-IIs > Acesso em 24 de Agosto 2012.

78

3.4.8. Construções pela Vesica Pisces – decágono

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o ponto A. 1) Tomar por medida BB1 (medida da Vesica Pisces), centro em A, marcar o ponto F no eixo horizontal CE. 2) Traçar uma reta de D1 para F. 3) Tomar por medida B1A, centro em F, marcar G na reta da etapa anterior. 4) Centro em D1 até G, traçar semicircunferência. Encontrado o ponto D2 no eixo horizontal BD. 5) Centro em B1 até D2, marcar o ponto H no eixo vertical CE. 6) Centro em H até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos I e J na Vesica. 7) Tomar por medida a Vesica, centro em I, marcar K e centro em J, marcar L. 8) Traçar retas dos pontos I, B1, D1 e J passando sempre por H. Encontrados os pontos P, O, N e M respetivos. 9) Completar o decágono B1IKMNOPLJD1.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 35 .

79

3.4.9. Construções pela Vesica Pisces – o hendecágono

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, o ponto C1 e E do eixo vertical CE e o ponto A. 1) Tomar por medida C1E, centro em A, marcar o ponto F no eixo vertical CE. 2) Centro em F até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos G e N na Vesica Pisces e a localização do ponto C no eixo vertical CE. 3) Tomar por medida BB1, (medida da Vesica) centro em C marcar J e K, centro em J, marcar I, centro em I, marcar H, centro em K, marcar L, e centro em L, marcar M. 4) Completar o hendecágono CKLMND1B1GHIJ.

Ibidem, p. 43.

80

3.4.10. Construções pela Vesica Pisces – o dodecágono

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto F do eixo vertical CE. 1) Centro em F até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos F1 e F2 na Vesica Pisces, a localização do ponto C do eixo vertical CE, e o ponto E1 no mesmo eixo. 2) Traçar retas de B, B1, D1 e D sempre passando F. Encontrados os pontos I e J, G, H, K e L respetivos. 3) Completar o dodecágono CGJF2KD1E1B1IF1LH.

Construção apresentada pelo autor.

81

Ter em consideração os pontos B1, D e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C do eixo vertical CE. 1) Centro em C até B1, (medida da Vesica Pisces) traçar circunferência. Encontrados os ponto C2 e F na Vesica. 2) Com a medida da Vesica, centro em F, traçar circunferência. Criada uma segunda Vesica e encontrado o ponto F1, ponto de intersecção das duas circunferências. 3) Novamente com a medida da Vesica, centro em D, traçar circunferência. Encontrados os pontos D2 e D3 nas duas Vesicas. 4) Traçar uma reta de D1 para F1, eixo vertical da segunda Vesica Pisces. Encontrados os pontos K e L no eixo vertical F1D1. 5) Traçar uma reta de C2 e D2 para D1. Encontrados os pontos H e J respetivos na Vesica. 6) Completar o dodecágono B1GCKFIDHD3LEJ.

Construção apresentada pelo autor.

82

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C1 do eixo vertical CE. 1) Centro em C1 até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos F1 e F2 na Vesica Pisces e o ponto F no eixo vertical CE. 2) Centro em F até B1, traçar circunferência. Encontrados os pontos B2 e D2 na Vesica. 3) Traçar uma reta de B1 e D1 para C1. Encontrados os pontos G e H respetivos. 4) Traçar uma reta de B1 e D1 para F. Encontrados os pontos I e J respetivos. 5) Traçar uma reta de B1 e D1 para F1. Encontrados os pontos K e L respetivos. 6) Traçar uma reta de B1 e D1 para F2. Encontrados os pontos M e N respetivos. 7) Completar o dodecágono B1B2LKHJIGNMD2D1.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 15.

83

3.5. Propriedades geométricas da Mandorla e da Vesica Pisces A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha em média e extrema razão. A primeira podemos compará-la a uma medida de ouro; a segunda podemos chamar-lhe jóia preciosa. Johannes Kepler

Nesta segunda parte, irão ser abordadas as propriedades geométricas da Mandorla e da Vesica Pisces. Inicialmente apresentam-se os ângulos de 30, 60, 90 e 120 graus que estão presentes no interior da Vesica Pisces74. De seguida, expõe-se a construção da Secção de Ouro pela Mandorla e pela Vesica, como instrumento de composição do Belo. Refere-se a origem da Secção de Ouro, a sua primeira citação conhecida e o seu uso na arquitetura grega e gótica. Continua-se com a existência de valores de suma importância na Mandorla e na Vesica para criar proporções que permitem organizar o espaço até ao infinito. São estes, a raiz quadrada de três na Mandorla e a raiz quadrada de dois e de quatro na Vesica. Por último, pretendem-se identificar os primeiros registos históricos da introdução do Triângulo de Pitágoras no ocidente e demonstrar a sua existência dentro da Vesica Pisces.

74

Uma circunferência é de 360 graus. A divisão pelos ângulos de 30, 60, 90 e 120 graus permitem a divisão da circunferência em doze, seis, 4 e três partes iguais. Isto é, o dodecágono, o hexágono, o quadrado e o triângulo podem ser construídos a partir desses ângulos.

84

3.5.1. Construções dos ângulos da Vesica Pisces

1) Traçar uma reta de E para B e B1.

2) Traçar uma reta de E para B e C.

Encontrado o ângulo de 30º

Encontrado o ângulo de 60º

3) Traçar uma reta de E para B e D1.

1)

4) Traçar uma reta de E para B e D.

Encontrado o ângulo de 90º

En Encontrado o ângulo de 120º

85

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD e os pontos do eixo Vertical CE. CONSTRUÇAO 1 1) Traçar o eixo horizontal que passa pelos centros das circunferências da Vesica Pisces, pontos B1 e D1 e traçar o eixo vertical que passa pelas intersecções das circunferências, pontos C e E. Encontrado o ângulo reto do eixo horizontal e vertical. CONSTRUÇAO 2 2) Traçar uma reta de C para B1 e outra reta para D. Encontrado o ângulo reto em C. 3) Traçar uma reta de E para D1 e outra reta para B. Encontrado o ângulo reco em E. CONSTRUÇAO 3 Apresentação de todos os ângulos retos existentes na Vesica Pisces.

Construções apresentadas pelo autor.

86

3.5.2. Origem da Secção de Ouro

Descrita de maneira simples, é a relação, em perfeita proporção, do todo com as suas partes. É uma relação tão perfeita que as suas partes estão uma para a outra como o todo para a sua parte maior.

Priya Hemenway

A mais antiga determinação que conhecemos da Secção de Ouro é revelada por Euclides na segunda definição do livro VI dos Elementos: “Diz-se que uma linha reta foi cortada em extrema e média razão quando a razão entre a linha inteira e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a parte menor75”. No entanto, outros autores já a tinham sugerido como Platão e o seu discípulo Eudoxo76. Pitágoras seria o primeiro a mencioná-la, ele próprio também herdeiro do que tinha bebido do Egipto. Traçar as origens da Secção de Ouro pode remontar muito para além de Euclides, mas é por ele que conhecemos a sua vulgarização no pensamento ocidental. Sinais da “Divina Proporção” como a chamava Luca Pacioli por ser inteligível ao intelecto humano77, encontram-se no Timeu de Platão antes do aparecimento dos Elementos de Euclides. Nele, identificamos o Belo como a proporção matemática que une dois elementos78.

75

EUCLIDES; Elementa geometriae, trad. Adelardus Bathoniensis, Éd. Johannes Campanus, Venezia : Erhard Ratdolt, [25 v] 1482. — 2°, ill. (Tradução do autor a partir da versão inglesa de Richard Fitzpatrick: Euclid's Elements of Geometry, edited and translated into English by Richard Fitzpatrick, 2008, p. 156). 76

MICHEL, Paul-Henri; De Pythagore à Euclide : contribution à l'histoire des mathématiques préeuclidiennes, Les Belles Lettres, Paris, 1950, p. 526. Por quatro vezes, Euclides volta a esta secção que antes dele, já tinha chamado a atenção dos pitagóricos, Platão, Eudoxo e os seus discípulos, e que mais tarde, tomará a designação de « Secção de ouro ». (Tradução do autor a partir do francês). 77

PACIOLI, Luca; La divina proporción; trad. CALATRAVA, Juan; Ediciones Akal; Madrid, 1991, p. 41. La tercera correspondência es que, así como Dios no se puede propriamente definir ni puede darse a entender a nosotros mediante palabras, nuestra proporción no puede nunca determinarse com un número inteligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna, sino que sempre es oculta y secreta y es llmada irracional por los matemáticos.

87

3.5.3. A Secção de Ouro como elemento de criação do Belo

A beleza é a harmonia e a concordância de todas as partes arranjadas de tal forma que nada possa ser adicionado, subtraído ou alterado, exceto para pior.

Leon Battista Alberti

O esteta e historiador de arte Matila Ghyka, refere a Secção de Ouro e a sua importância no contexto do Belo em Platão como reflexo de “Formas e de Números79”. Isto é, o Belo existe, porque existe uma ordenação da forma, e desta ordenação encontram-se proporções numéricas. Ghyka esclarece a beleza da proporção formulando a seguinte pergunta: “A recorrência de certas proposições úteis ou simpáticas, geralmente uma e outra ; agradam-nos porque o olho submeteu-se a um demorado hábito de observação, ou porque são precisamente o pálido reflexo da transcendente Lei dos Números?80” Atendendo à origem da Secção de Ouro, Ghyka, remonta aos pitagóricos e ao seu papel na arquitetura grega e gótica: “A Divina Proporção ou a Secção de qualidade Ouro, cuja construção parece ter sido o segredo matemático mais rigorosamente guardado pela confraria pitagórica e que dirige não só a maior parte dos

78

PLATÃO; Τίμαιος, (IV a.C.), trad. Maria José Figueiredo, Timeu, Instituto Piaget, Lisboa, 2003, 31c – 32a. Mas não é possível que apenas duas coisas sejam constituídas de forma bela, sem uma terceira; porque é necessário introduzir entre ambas um elo que as ligue; e o mais belo dos elos é aquele produz a maior unidade em si próprio e nos termos que une; e é a proporção matemática que por natureza leva a cabo este efeito da forma mais bela. De facto, sempre que, de três números, sejam inteiros ou em potência, o do meio é de tal modo que está para o último como o primeiro está pare ele, e, da mesma maneira, como o último está para o do meio, o do meio está para o primeiro, de tal modo que o do meio se torna primeiro e último e, por sua vez, o último e o primeiro se torna ambos os meios, torna-se então necessário que sejam idênticos e que tendo-se tornado idênticos uns aos outros, formem todos uma unidade. 79

PLATÃO. Op. Cit., 53b. (Rever p. 9 para citação de Platão).

80

C.GHYKA, Matila; Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, (1927), éditions du rocher, Monaco, 1987, p. 9. (Tradução do autor a partir do francês).

88

traçados que regulam a arquitetura grega, gótico (…)81” Deste modo, a Secção de Ouro foi usada pelas suas qualidades estéticas por determinar um ritmo agradável. A professora Maria Clara Menéres atesta essas características rítmicas pelo fato da proporção das várias partes em relação ao todo determinar um ritmo. Esse ritmo é usado em várias formas de expressão artística como a arquitetura, a pintura, a escultura, a poesia e a música82. Ghyka, ao aludir o Frade Luca Pacioli, definie a Secção como uma relação entre dois comprimentos. Relações no corpo humano, num edifício ou na natureza.83 A Secção de Ouro como elemento de composição do Belo, é assim descrita por Ghyka e Menéres ao ser aplicada em várias formas de expressão artística.

81

C.GHYKA, Matila, Philosophie et Mystique du Nombre, Payot, Paris, 1985, p. 52. (Tradução do autor a partir do francês). 82

MENÉRES, Clara. Reflexões filosóficas sobre os fundamentos geométricos da escultura. Revista portuguesa de Filosofia, nº 38, março / abril, 1982, pp. 338-362. A proporção das várias partes num todo determina um ritmo. É esta a razão pela qual a regra de ouro resulta particularmente bem nas composições sequenciais e rítmicas. Ela foi usada, tanto em artes visuais – arquitetura, pintura e escultura – como na poesia e na música. 83

C.GHYKA, Matila. . Op. Cit., p. 165. Sempre consideram como sendo uma relação entre dois comprimentos, que podemos por exemplo encontrar entre diferentes segmentos da elevação de um edifício, entre as distâncias verticais a partir do solo até ao topo da cabeça e do umbigo no corpo humano, entre os comprimentos que separam os nós consecutivos dos caules das plantas, etc.

89

3.5.4. Construções da Secção de Ouro na Mandorla e na Vesica Pisces

Ter em consideração o ponto B do eixo horizontal BD, o eixo vertical CE e o ponto A. 1) Centro em A até B, traçar circunferência. Encontrado o ponto C1 no eixo vertical CE. 2) Tomar por medida AB, centro em B, marcar o ponto F no eixo horizontal BD. 3) Traçar uma reta de F para C1. 3) Centro em C1 até A, traçar arco. Encontrado o ponto F1 com a intersecção da reta da etapa anterior. 4) Centro em F até F1, marcar o ponto G no eixo horizontal BD. 5) A reta FA está para a reta FG, assim como a reta FG está para a reta GA.

ALLEN, Jon; Drawing Geometry a Primer of Basic Forms for Artists, Designers and Architects, Floris Books, China, 2007, p. 54.

90

Ter em consideração os pontos B, B1, D1 e D do eixo horizontal BD, o ponto C1 do eixo vertical CE e o ponto A. 1) Centro em D1 até B, traçar arco. 2) Repetir a mesma operação com centro em B1. Ambos os arcos cruzam-se no ponto C do eixo vertical CE. 2) A reta AC está para a reta C1C, assim como a reta C1C está para a reta AC1.

SUTTON, Andrew; Ruler & Compass practical geometric constructions, Wooden Books, England, 2009, p. 32.

91

Ter em consideração os pontos B, B1, D1 e D do eixo horizontal BD, o ponto C1 do eixo vertical CE e o ponto A. 1) Construir o quadrado da Vesica Pisces: tomar por medida AB1, centro em A1, marcar os pontos B2 e D2 na Vesica. 2) Centro em A até B2, traçar semicircunferência. Encontrados os pontos F e G no eixo horizontal BD. (O ponto G também pode ser utilizado para a secção de Ouro). 3) A reta FD1 está para a reta B1D1, assim como a reta B1D1 está para a reta FB1.

CRITCHLOW, Keith; Time Stands Still New Light on Megalithic Science, (1979), Floris Books, Poland, 2007, p. 108.

92

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD e o ponto C do eixo vertical CE. 1) Traçar uma reta de C passando por B1 e D1. Encontrados os pontos B2 e D2 respetivos na Vesica Pisces. 2) Traçar uma reta de B2 para D1 e outra reta de D2 para B1. Encontrado o ponto A1 no eixo vertical CE. 3) Centro em A1 até B2, traçar circunferência. Encontrado o ponto F e G no eixo horizontal BD. (O ponto G também pode ser utilizado para a secção de Ouro). 3) A reta FD1 está para a reta B1D1, assim como a reta B1D1 está para a reta FB1.

SUTTON, Andrew. Op. Cit., p. 33.

93

3.5.5. A Raiz quadrada na Mandorla e na Vesica Pisces

A raiz quadrada de 3 existente na Mandorla e a raiz quadrada de 2 e 4 existentes na Vesica são expressas em números irracionais.84. Estes valores criam por sua vez proporções que permitem organizar o espaço até ao infinito. Esta qualidade de continuidade até ao infinito, Jay Hambidge batiza-a de “Simetria Dinâmica”. Hambidge associa a sua “Simetria Dinâmica” ao módulo usado pela natureza. É o “tipo de arranjo ordenado dos membros de um organismo como o que encontramos numa concha ou na estrutura das folhas de uma planta”. Continua observando que se trata de uma chave que organiza os sistemas da natureza e que “o seu grande valor reside na sua capacidade de transmitir a ordem de um sistema de formas para outro, produzindo assim, o perfeito módulo para qualquer arte85”. A particularidade dos valores incomensuráveis das raizes quadradas de 2, 3 e 5 é que permitem que tanto as formas microcósmicas como as formas macrocosmicas podem serem unidas

pela

medida

e

pela

proporção

dessas

mesmas

expressões

matemáticas86.

Fig. 19 – Progressão proporcional pelas raizes quadradas. Fonte: HAMBIDGE, Jay; Dynamic Symmetry The Greek Vase, Yale University Press, New Haven, 1920, p. 24.

84

A raiz quadrada de 3 é igual a 1,7320508…; a raiz quadrada de 2 é igual a 1,4142135…; a raiz quadrada de 5 é igual a 2,236067… São irracionais, por serem incomensuráveis, isto é, não podem ser medidos por não terem limites conhecidos. 85

Cfr. HAMBIDGE, Jay; The Elements of Dynamic Symmetry, Dover Publications, Nova Iorque, 1967, pp. 15-16.

86

FLETCHER, Rachel. Musings on the Vesica Piscis, Nexus Network Journal Vol. 6,

nº 2, 2004, pp. 95–110.

94

3.5.6. Construção da raiz quadrada de 3 na Mandorla

Ter em consideração os pontos do eixo horizontal BD e os pontos do eixo vertical CE da Mandorla.

1) Traçar as retas BD e CE. 2) Se a reta BD equivale a 1, a reta CE equivale a raiz quadrada de 3 ou 1,7320508…

FLETCHER, Rachel. Op. Cit., p. 98.

95

3.5.7. Construção da raiz quadrada de 2 e 5 na Vesica Pisces

Tomar em consideração o quadrado construído pela Vesica Pisces no terceiro capítulo.

1) Traçar a diagonal FD1 do quadrado B1D1FG. 2) Se os lados do quadrado equivalem a 1, a diagonal FD1 equivale a raiz quadrada de 2 ou 1,4142135…

1) Construir o retangulo FGHI duplicando o quadrado da figura anterior. 2) Traçar a diagonal FI do retangulo FGHI. 3) Se os lados FG e HI equivalem a 1, a diagonal FI equivale a raiz quadrada de 5 ou 2,236067… Ibidem. pp. 98-99.

96

3.5.8. A origem do triângulo de Pitágoras

É consensual que a origem da utilização do triângulo de Pitágoras no mundo ocidental encontra-se no Antigo Egipto87. Esta, muitas vezes, confunde-se com a origem da geometria tal como mencionado por Heródoto88. “Os egípcios utilizam uma corda com três, quatro e cinco nós em cada lado para a medição das terras89”. Essa corda era a expressão material do que veio mais tarde a ser chamado por “Triângulo de Pitágoras”.

Ao longo desta segunda parte do terceiro capítulo, escreveu-se sobre a origem da Secção de Ouro como elemento da criação do Belo e a origem do triângulo de Pitágoras. Seguese de imediato um conjunto de figuras que ilustram as propriedades geométricas da Mandorla e da Vesica Pisces. As características que se pretendem colocar em evidência são: a existência de quatro ângulos diferentes de 30, 60, 90 e 120 graus na Vesica; a elaboração da Secção de Ouro e a construção do triângulo de Pitágoras a partir da Vesica. Este terceiro capítulo incidiu principalmente sobre os aspetos práticos do assunto deste trabalho. As linhas seguintes terão como objetivo apelar para a existência da Mandorla e da Vesica Pisces na arquitetura medieval portuguesa.

87

Embora existe um consenso entre os historiadores das matemáticas, não podemos deixar de fazer referência a sua possível origem na Babilónia. Os Babilónios podem reivindicar como suas várias descobertas, mais propriamente, o teorema de Pitágoras (…). BURTON, David M.; The History of Mathematics: An Introduction, The McGrawHill companies, United States of America, 1997, p. 63. (Tradução do autor a partir do inglês). 88

HERODOTE; Histoire d’Hérodote traduit du Grec par Larcher, Charpentier, Libraire-éditeur, Paris, 1850, p. 190. A tradução é tirada do livro : SERRES, Michel ; Les origines de la géométrie, (1993), trad. Ana Simões, Maria da Graça Pinhão, Terramar, Lisboa, 1997, p. 277. (Rever primeiro capítulo p. 8 para citação de Heródoto). 89

DOCZI, György; The power of limits, (1981), trad. Maria Helena de Oliveira Tricca e Júlia Bárány Bartolomei, O Poder dos Limites: Harmonia e Proporções na Natureza, Arte e Arquitetura, Mercuryo, São Paulo, 2006, p. 41. Para os egípcios, o triângulo 3-4-5 era de vital importância. Os seus campos tinham de ser vistoriados anualmente devido às inundações do Nilo, e esse triângulo servia como o seu instrumento de avaliação. Uma corda de doze nós colocados em distâncias iguais era disposta em forma de triângulo com 3 nós de um lado, 4 de outro e 5 de outro. Isso produzia o ângulo necessário para o levantamento.

97

3.5.9. Construção do triângulo de Pitágoras na Vesica Pisces

Ter em consideração os pontos B1 e D1 do eixo horizontal BD, os pontos C e E do eixo vertical CE e o ponto A. 1) Centro em A até B1, traçar circunferência. 2) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em C e E, marcar os pontos B2 e D2 respetivos na Vesica. 3) Traçar uma reta de B2 para D2. Encontrados os pontos A1 e A2 na circunferência de centro A. 4) Centro em A2 até A1, traçar arco. Encontrado o ponto F no eixo horizontal BD. 5) Repetir a mesma operação com centro em A1. 6) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em F, marcar o ponto G no arco. 7) Completar o quadrado A1A2FG. Encontrado o ponto H na intersecção da reta do quadrado A1G com o eixo vertical CE. 8) Centro em H até A1, traçar circunferência. Encontrado a medida da divisão do triângulo de Pitágoras. 9) Completar o triângulo de Pitágoras HGF. 10) Apresentação dos quatros triângulos de Pitágoras existentes na Vesica a partir da construção de três quadrados duplos e a proporção de Ouro. (Rever p. 92 para a construção do quadrado e a Secção de Ouro na Vesica). Construções apresentadas pelo autor.

98

4. TESTEMUNHOS DA MANDORLA E DA VESICA PISCES NA CONSTRUÇÃO MEDIEVAL PORTUGUESA

Se fossemos capazes de perceber a arte do gótico, seriamos irremediavelmente levados a verdade. Auguste Rodin

Neste quarto capítulo, será apresentada a contextualização da Mandorla e da Vesica Pisces como símbolo usado na construção arquitetónica. As pesquisas foram no sentido de encontrar provas da existência e da utilização de ambas as figuras no período medieval português. O arco em ogiva90 é conhecido por ser característica do gótico como revela o historiador de Arte Paulo Pereira: “De forma muitíssimo sintética, pode dizer-se que o gótico pode ser definido do ponto de vista técnico pela utilização do arco ogival e de nervuras nas abóbadas91”. Uma das formas do arco em ogiva pode ser construída pelo triângulo equilátero oriundo da Mandorla como apresentado na Fig. 20. O investigador Friedrich Hoffstadt assinala que o arco em “tiers-point” foi frequentemente designado como sendo o arco em ogiva que mais caracteriza o estilo gótico puro. “Em verdade, pela sua expressão simbólica e sobretudo pela sua reunião com o frontão, este arco, gera um conjunto nobre e austero que convém particularmente por essa mesma razão à arquitetura religiosa92”.

90

O professor Luc Joly, aponta a origem da palavra “ogiva” como vindo da palavra espanhola “aljibe”, a cisterna em abóbada. JOLY, Luc: Sructure – observer les formes physiques et mentales pour en découvrir l’organisation, Editions IDÉA Suisse, Geneva, 1973, p. 117. Do árabe al-jubb, « cisterna», pelo castelhano aljibe, «idem» em http://www.infopedia.pt/lingua-portuguesa/algibe > Acesso em 21 de Julho 2013. 91

PEREIRA, Paulo; Arte Portuguesa História essencial, Círculo de Leitores e Temas e Debates, Maia, 2011, p. 283.

92

HOFFSTADT, Friedrich; Principes du style gothique: exposés d’après des documents authentiques du Moyen Age, avec 40 planches in-folio, a l’usage des artistes et des ouvriers…, E. Noblet Editeur, Paris, 1854, pp. 52-53.

99

A expressão simbólica que Hoffstadt refere é a do triângulo equilátero como sendo o símbolo da Santa Trindade que se encontra no arco em ogiva93. Fig. 20.

Fig. 20 – Arco em ogiva pela Mandorla. Fonte: HOFFSTADT, Friedrich; Gothisches ABC-Buch, das ist: Grundregeln des gothischen Styls für Künstler und Werkleute, Verlag von Siegmund Schmerber, Frankfurt a.M., 1840, p. 273.

Tomando por exemplo a fachada da catedral de Amiens em França, o arquiteto Thierry de Champris propõe que a Vesica e o losango inscrito nela formam os traços diretores da sua fachada (Fig. 21). Com isto, Champris ressalva o carácter simbólico da construção referindo o adágio hermético da Tábua Esmeraldina94: “O que está em baixo é como o que está em cima, o que está em cima é como o que está em baixo, para que os milagres do Uno se realizem;95”. As duas circunferências da Vesica que Champris expõe na fachada de Amiens relacionam-se com “os dois polos opostos do mundo dos arquétipos e do mundo criado96”.

93

Ibidem, p. 7.

94

A Tábua Esmeraldina é um texto que remonta a sua origem ao período Helénico atribuído à Hermes Trismegisto. É considerado como sendo a bíblia dos alquimistas durante a Idade Média. É um texto de referência no que diz respeito à correspondência entre o microcosmos e o macrócomos desde a Antiguidade até aos dias de hoje pela frase: O que está em cima é como o que está em baixo. Cfr. HANEGRAAFF, Wouter J. ; FAIVRE, Antoine; BROEK VAN DEN, Roelof; BRACH, Jean-Pierre, Dictionary of Gnosis & Western Esotericism, Brill, Hollanda, 2006, pp. 22-24. 95

TRISMEGISTOS, Hermes; A Gnosis Original Egípcia: O Corpus Hermeticum comentado por J. Van Rijckenborgh, Editora Rosacruz, Brasil, 2006, p. 23. 96

CHAMPRIS DE, Thierry; La Cathédrale d’Amiens: Alchimie et Géométrie, Guy Trédaniel Éditeur, Paris, 2010, p. 120.

100

Fig. 21 – Vesica Pisces na fachada da catedral de Amiens. Fonte: CHAMPRIS DE, Thierry; La Cathédrale d’Amiens: Alchimie et Géométrie, Guy Trédaniel Éditeur, Paris, 2010, p. 121.

101

Passemos agora para o caso propriamente português. Procurou-se nas ogivas da arquitetura da Idade Média em Portugal correspondências da utilização daquilo que podemos chamar a “ferramenta” da Mandorla e a “ferramenta” da Vesica Pisces. Essas “ferramentas” devem ser entendidas como métodos de construção cujas potencialidades foram reveladas ao longo do capítulo anterior. Encontram-se ecos da utilização da Mandorla ou da Vesica como chave que permite criar ogivas nos cadernos do autor medieval Villard de Honnecourt. Ele apresenta dois métodos de construção (Fig. 22 e Fig. 23). O primeiro foi abordado no segundo capítulo, quando descoberto por Roland Bechmann após exposição dos cadernos de Villard a infravermelhos e ultravioletas. A ogiva é composta por “duas metades de círculo cruzando-se cada um no seu centro pelo extremo do diâmetro do outro”, isto é, pela Vesica Pisces. Voltaremos a esta construção quando se tratará do caso do Mosteiro da Batalha. O segundo método é apresentado de forma simbólica por Villard. Na Fig. 23, vêem-se dois pedreiros a abraçarem-se. Os seus respetivos calcanhares são a base de um triângulo equilátero, onde o ápice do triângulo encontra-se entre as duas cabeças dos pedreiros. Roland Bechmann declara o seguinte sobre o seu simbolismo: “Esta figura simboliza também a "união faz a força", alusão ao arco quebrado, união de dois segmentos de arco apoiando-se um no outro que permite a abobada ficar em pé. Também há ao mesmo tempo um relembrar de uma construção geométrica básica, a construção do triângulo equilátero (...) ”. A este método chamamos construção pela Mandorla tal como assinalado no terceiro capítulo.

102

Fig. 22 – Duas metades de círculo cruzadas cada uma no seu centro pelo extremo do diâmetro do outro. Fonte: BECHMANN, Roland; LE GOFF, Jacques ; Villard de Honnecourt : la pensée technique au XIIIe siècle et sa communication, Nouvelle édition revue et augmentée, Picard, Paris, 1993, p. 224.

Fig. 23 – Ogiva de Villard de Honnecourt pelo símbolo da « União faz a força ». Fonte: Ibidem, p. 353.

O artista Carlos Calvet, menciona a Vesica como base de construção tanto das janelas como das plantas na edificação do templo cristão no período gótico. “ (…) os quatro círculos periféricos geram quatro vesicas cujos eixos, prolongados, vão dividir o quadrado circunscrito em dezasseis pequenos quadrados iguais. Esta estrutura foi durante séculos, uma das formas básicas da construção do templo cristão: a planta quadrada com as suas quatro direções – os quatro pontos cardeais da Terra (…) ”. Na Fig. 24 vêem-se as quatro vesicas de Calvet e na Fig. 25 “ (…) Vemos a vesica comandando a composição de uma janela gótica (…) ” como afirma Calvet. No entanto, aquilo que Calvet chama de “Vesica” é chamado de “Mandorla” no âmbito desta dissertação como enunciado nos capítulos precedentes.

103

.

Fig. 24 – Planta de templo cristão gótico construído por Vesicas de Carlos Calvet. Fonte: CALVET, Carlos. Apontamentos sobre Geometria Sagrada II, Colóquio das artes, nº 59, dezembro, 1983, p. 26

Fig. 25 – Janela gótica construída sobre a Vesica de Carlos Calvet. (Mandorla no âmbito desta dissertação. Fonte: Ibidem, p. 29.

Para conhecer o contexto em que surge a figura da Mandorla e da Vesica na arquitetura portuguesa tal como esboçada por Villard de Honnecourt nos seus cadernos, foi necessário conhecer a data, o ano de construção, os fundadores, o mestre-de-obras e a localização dos edifícios. São estes: a igreja de São Pedro de Rates, em Rates, a igreja da Nossa Senhora da Pena em Leiria e o mosteiro de Santa Maria da Vitória na Batalha. Isto não significa que o uso da Mandorla e da Vesica sejam exclusivos na edificação destes monumentos. São apenas o testemunho que o nosso tempo limitado permitiu comprovar. As fotografias foram tiradas ortogonalmente com uma lente de focal 70 milímetros a fim de evitar deformações de perspetiva ou da própria lente da máquina fotográfica. A imagem do tímpano do portal principal da Igreja de São Pedro de Rates e a rosácea da Igreja de São João de Tarouca foram obtidas por via de terceiros por não ter sido possível deslocarmos ao local. Com esta metodologia de levantamento, comprova-se com alguma segurança, o uso do nosso método.

104

4.1. Igreja de São Pedro de Rates Igreja de mestre-de-obras desconhecido, a construção da atual igreja de São Pedro de Rates terá dado início nos meados do século XII. As suas obras prolongaram-se até meados do século XIII. A primeira fase corresponderá aos meados do século XII, depois da doação de D. Afonso Henriques ao priorado cluniacense de Charité-Sur-Loire, seguida da possível ajuda de D. Mafalda em 1152. A igreja foi consagrada em 1237 conforme a inscrição do tímpano lateral da igreja. O antigo mosteiro de Rates estava ligado a ordem de Cluny como atesta a bula de Inocêncio IV do ano de 120597. A igreja situa-se no distrito do Porto, concelho da Póvoa de Varzim, na freguesia de Rates. A

forma

em

análise

neste

caso

é

a

Mandorla.

Esta

encontra-se

no tímpano do portal central da fachada da igreja. Dentro da Mandorla está o Cristo ladeado por dois personagens. Trata-se provavelmente de uma visão sintética de Cristo na glória onde os personagens que ladeiam Cristo serão Elias e Moisés, figuras da Transfiguração que vem confirmar o símbolo da Mandorla como atesta o historiador de arte James Hall98. Em baixo, por terra, calcados pelos dois eleitos que ladeiam Cristo, versão plástica, embora parcial, das palavras do Salmo que o Evangelho recorda: “ porei os teus inimigos como escabelo dos teus pés99”. A Fig. 26 apresenta o tímpano do portal principal da Igreja de São Pedro de Rates. A Fig. 26a, feita a decalque por cima da Fig. 26, vem comprovar a forma da Mandorla existente no tímpano da igreja românica de Rates.

97

ALMEIDA, Carlos Alberto Ferreira. A Igreja Românica de Rates: Póvoa de Varzim, Póvoa de Varzim Boletim Cultural Vol. XIV, nº 1, 1975, pp. 6-11. 98

HALL, James; Dictionary of Subjects and Symbols in Art, John Murray (publishers), England, 1992, p. 197. Damos aqui o valor simbólico da Mandorla e o contexto do seu uso na arquitetura. Mandorla (italiano) “amêndoa”, ou “Vesica Pisces. A forma de amêndoa envolve a figura de Cristo na Ascensão. A forma não tem qualquer significado em si e foi variado durante o início da arte cristã. Originalmente, a Mandorla representava a nuvem sobre a qual o Cristo ascendia, mas com o tempo foi usada como uma espécie de “glória” ou aureola, a luz que emana do um ser divino. Por isso, pode envolver o Cristo na Transfiguração. (Tradução do autor a partir do inglês). 99

ALMEIDA, Carlos. Op. Cit., p. 18.

105

Fig. 26 – Tímpano do portal principal da Igreja de São Pedro de Rates. Fonte: MATOS, A. Campos; A Igreja Românica de S. Pedro de Rates: guia para visitantes, Livros Horizonte, Lisboa, 2000, p. 46.

Fig. 26a – Decalque do tímpano do portal principal da Igreja de São Pedro de Rates. Fonte: construção do autor.

106

4.2. Igreja da Nossa Senhora da Pena

A história da igreja da Pena confunde-se com a história do castelo de Leiria por esta se encontrar dentro das suas muralhas. Sabe-se pelo professor de História da Idade Média, Saul Gomes da Faculdade de Letras da Universidade de Coimbra, que a fundação do castelo Leiria e do povoamento do respetivo alfoz, datam do ano de 1135 e está relacionada como a Ordem do Templo100. Saul Gomes dá-nos a conhecer a data da sua fundação: “A igreja fora fundada entre 1144-1147 (priorado de D. João Anaia) e que, sendo já bispo D. João Anaia (1147-1154), D. Afonso Henriques tinha conseguido obter a entrega do espiritual de Leiria aos cónegos da Santa Cruz de Coimbra101”. No dia 4 de Julho de 1300, o castelo e a cidade de Leiria foram doados pelo rei D. Dinis a sua rainha D. Isabel102. A rainha empreendeu obras de reconstrução e renovação do castelo e da Igreja durante o período em que esteve ao seu cuidado, (1300-1336)103. Totalmente refeita durante o reinado de D. João I, encontra semelhanças com a grande obra do Mosteiro da Batalha mandado construir pelo rei. Desde a capela-mor para com os absidíolos da Batalha, passando pelos capitéis vegetalistas a dois registos e de folhagem exuberante, até às marcas de canteiro, podemos sugerir que muito dos pedreiros que estiveram no estaleiro da Batalha também trabalharam na igreja da Nossa Senhora da Pena como assinala Saul Gomes104. A Fig. 27 exibe a janela do coro-alto da Igreja de Santa Maria da Pena vista do exterior. Pelo decalque da Fig. 27a sobre a Fig. 27 confirma-se a existência da Mandorla e da sua utilização por parte do, ou dos mestre-de-obras desconhecidos.

100

GOMES, Saul António; Introdução à História do Castelo de Leiria, Câmara Municipal de Leiria, Leiria, 1995, p. 82. 101

Ibidem. p. 187.

102

SARAIVA, José; Monumentos de Portugal: Leiria, Litografia Nacional Edições, Porto, 1929, pp. 71-72.

103

GOMES, Saul. Op. Cit., p. 189.

104

Ibidem. p. 205.

107

Fig. 27 – Janela do coro-alto da Igreja de Santa Maria da Pena de Leiria, vista exterior. Fonte: fotografia do autor.

Fig. 27a – Decalque da Janela da Igreja de Santa Maria da Pena de Leiria. Fonte: construção do autor.

108

4.3. Mosteiro de Santa Maria da Vitória

A fundação do mosteiro foi a mando do rei D. João I como agradecimento à Virgem Maria pela vitória na Batalha de Aljubarrota. Vulgarmente conhecido por Mosteiro da Batalha, situa-se no distrito de Leiria, concelho da Batalha. Inicialmente concebido para ser uma simples casa de oração, o rei passou a financiar um complexo monástico de grandes dimensões para os frades de São Domingos, atendendo ao papel decisivo que estes desempenharam na afirmação das pretensões do monarca ao trono105. As obras foram demoradas passando por diferentes reinados. Sendo D. João I e D. Duarte os seus principais impulsionadores instaurando as suas próprias capelas funerárias no local. A construção do mosteiro iniciou-se com o mestre-de-obras Afonso Domingues. De 1388 até 1402 assume o início e direção das obras, não finalizando o mosteiro. No entanto, Domingues deixa configurado o plano e as fundações do templo com exceção das partes mais elevadas, das abóbadas e da boa parte do claustro. De 1402 até 1438, mestre Huguet de provável origem catalã é responsável pela direção das obras do grande portal axial, pela capela do Fundador e pelas Capelas Imperfeitas sendo assim o principal arquiteto da Batalha. Seguem-lhe Martim Vasques de 1438 até 1448, Fernão de Évora, sobrinho de Vasques de 1448 até 1477. Continuando por um breve período de três anos Mateus Fernandes, logo substituído por mestre Guilherme e depois por João Rodrigues e finalmente por João de Arruda. Em 1490, Mateus Fernandes retoma as obras já no reinado de D. João II ficando as Capelas Imperfeitas desenhadas por Huguet por acabar até aos dias de hoje106.

105

PEREIRA, Paulo; Lugares mágicos de Portugal – Arquitecturas Sagradas, Círculo de Leitores e Temas e Debates, Rio de Mouro, 2009, p. 210. 106

PEREIRA, Paulo. Op. Cit., pp. 361-365.

109

A Fig. 28 apresenta a janela exterior do pano central da fachada da igreja do Mosteiro e nela antecipa-se uma forma diferente da Mandorla. Trata-se em verdade da ogiva construída pelo método de Villard de Honnecourt (Fig. 22), como se poderá comprovar pelo decalque da Fig. 28a. Continuando com a Fig. 29, tímpano do pano central projetado por Huguet da fachada da igreja vê-se Deus entronizado segurando na mão esquerda o “globo do mundo” ladeado pelos quatro evangelistas e debaixo da Nova Jerusalém107. Pelo seu decalque, a Fig. 29a confirma o uso da Mandorla para construir o tímpano da fachada. Sucede-se a confirmação que a Mandorla e da Vesica Pisces eram conhecidas e postas em prática no território português pelos construtores medievais. Estudo não exaustivo, mas determinante, na elevação das figuras como ferramentas de carácter prático, em detrimento de um mero artífice teórico. Chega-se ao fim da pesquisa de testemunhos da Mandorla e da Vesica em Portugal. Contudo, existe ainda outra possibilidade para além da construção de janelas e tímpanos em ogiva; a elaboração de rosácea pela “ferramenta” da Vesica Pisces.

107

Ibidem.

110

Fig. 28 – Janela exterior do pano central da fachada da igreja do Mosteiro da Batalha. Fonte: fotografia do autor.

Fig. 28a – Decalque da janela exterior do pano central da fachada da igreja do Mosteiro da Batalha. Fonte: construção do autor.

111

Fig. 29 – Tímpano do pano central da fachada da igreja do Mosteiro da Batalha. Fonte: fotografia do autor.

Fig. 29a – Decalque do Tímpano do pano central da fachada da igreja do Mosteiro da Batalha. Fonte: construção do autor.

112

4.4. Construção da rosácea pela Vesica Pisces

As bexigas do peixe, Fischblasen figuras formadas de dois arcos de círculo de convexidade oposta, são particularmente usadas na concepção das rosáceas.

Jeanne Peiffer

Após a apresentação da existência da Mandorla e da Vesica nas ogivas medievais em Portugal, chegou o momento de exemplificar a possibilidade de criar uma rosácea de uma igreja românica a partir do método da Vesica Pisces. Escolheu-se a rosácea da Igreja de São João de Tarouca pela sua simplicidade e beleza. Situa-se no distrito de Viseu, na cidade de Tarouca. Os construtores medievais recorriam por norma, sempre ao método mais elementar de construção, sendo assim o método da Vesica apresenta-se como uma ferramenta simples e útil para estes. “Quando se trata dos processos da Idade Média, é preciso preferir os menos complicados. Uma explicação mais simples deve ser automaticamente preferida a uma mais complexa108”. A historiadora das matemáticas Jeanne Peiffer, declara no seu livro : Albrecht Dürer Géométrie, que as bexigas do peixe, isto é, a Vesica Pisces, (Fischblasen em alemão) eram particularmente usadas na concepção das rosáceas tal como assinalado na introdução desta secção do capítulo das construções medievais109. Tal método de construção, verifica-se na Igreja de São João de Tarouca.

108

Cfr. SHELBY, Lon R; Setting Out the Keystones of Pointed Arches: a Note on Medieval “Baugeometrie”, Technology and Culture, Vol. X, Chicago, 1969, pp. 543- 548. 109

PEIFFER, Jeanne; Albrecht Dürer Géométrie, présentation, traduction de l'allemand et notes par Jeanne Peiffer, Seuil, Paris, 1995, p. 377. As bexigas do peixe, Fischblasen figuras formadas de dois arcos de círculo de convexidade oposta, são particularmente usadas na concepção das rosáceas. Tradução do autor a partir do original francês.

113

4.4.1. Igreja de São João de Tarouca Considerada uma das mais antigas fundações cistercienses em território português110, o início de construção da igreja de Tarouca ocorreu no século XII, no ano de 1152 e consagrada em 1169 pelo arcebispo de Braga, D. João Peculiar. De acordo com a notícia de uma desaparecida lápide, tem-se atribuído a autoria do projeto arquitetónico ao mestre-de-obras João Froilaz, natural de Tarouca111. No entanto, como era hábito as obras da ordem de Cister serem custeadas em parte pela nobreza, tudo indica que João de Froilaz seria um desses Nobres112. Apesar do mestre-de-obras ser desconhecido, a obra é inspirada na escola borgonhesa. Reproduz de forma simplificada o esquema e as proporções da Abadia de Fontenay na Borgonha de arquitetura despojada, simples e sem qualquer ornamentação.113O mestre faria parte de uma empreitada de barbati provenientes de França. Os barbati, eram barbados, isto é, eram irmãos leigos ou conversos que podiam deixar crescer a barba. Consistiam num conjunto muito qualificado de mestres construtores, oriundos na sua maioria de França114 que a Ordem de Cister tinha ao seu dispor.

Embora a igreja tenha sofrido constantes modificações ao longo dos séculos, não impediu que mantivesse a sua rosácea original. “Apesar das alterações posteriores – portal, janelas, pináculos, torrezita sineira…- mantém-se o traçado geral, proporções, rosácea,

110

GIL, Júlio ; As mais belas igrejas de Portugal, editorial Verbo, Lisboa, 1988, p. 158. O mosteiro de São João de Tarouca foi o primeiro ou o segundo cisterciense em Portugal. Não se sabe se o primeiro mosteiro é o de Tarouca ou o de S. João de Lafões, fundado ou restaurado pelos pais do famoso João Peculiar. 111

FERREIRA JORGE, Virgolino. Arquitectura, medida e número na Igreja Cisterciense de São João de Tarouca (Portugal). CISTERCIVM Historia Arte Espiritualidad Revista Monástica, nº 208, janeiro-junho, 1997, p. 431. 112

REAL, Manuel Luís; A construção cisterciense em Portugal durante a Idade Média, Arte de Cister em Portugal e na Galiza catálogo de exposição, Lisboa, 1998, p. 76. 113

PEREIRA, Paulo; Lugares mágicos de Portugal – Arquitecturas Sagradas, Círculo de Leitores e Temas e Debates, Rio de Mouro, 2009, p. 153. 114

PEREIRA, Paulo; Arte Portuguesa História essencial, Círculo de Leitores e Temas e Debates, Maia, 2011, p. 285.

114

contrafortes, o carácter medieval da frontaria115”. As modificações foram efetuadas principalmente nos séculos XVII e XVIII116.

Seguidamente, dando quase por terminada esta dissertação, serão exibidos no anexo quatro figuras do Cristo em majestade oferecendo assim alguns exemplos do uso da Mandorla na arte ocidental cristã. Continua-se com a existência de flores dentro das dez figuras geométricas mencionadas no terceiro capítulo que são passíveis de terem sido empregues pelos construtores medievais na elaboração das rosáceas. Formulamos isto como hipótese por se tratar de “métodos menos complicados” como defende Lon R. Shelby117.

115

GIL, Júlio ; As mais belas igrejas de Portugal, editorial Verbo, Lisboa, 1988, p. 159.

116

FERREIRA, Virgolino. Op. Cit., p. 434.

117

Cfr. SHELBY, Lon R; Setting Out the Keystones of Pointed Arches: a Note on Medieval “Baugeometrie”, Technology and Culture, Vol. X, Chicago, 1969, p. 534-548.

115

Fig. 30 – Igreja de São João de Tarouca, distrito de Viseu. Convento de São João de Tarouca em http://pt.wikipedia.org/wiki/Convento_de_S%C3%A3o_Jo%C3%A3o_de_Tarouca > Acesso em 24 de setembro 2012.

116

4.4.2. Construção da rosácea de São João de Tarouca pela Vesica Pisces

Ter em consideração o eixo horizontal BD e os pontos B, B1, D1, D, C e E da Vesica Pisces. 1) Traçar uma reta de C e E para D1. Encontrados os pontos F e G respetivos. 2) Centro em B1, traçar uma circunferência tangente as retas CF e EG. 3) Com a mesma medida da etapa anterior, centro em D1, traçar circunferência. Encontrado o ponto H no eixo horizontal BD. 4) Tomar por medida HB1 e marcar I no eixo horizontal BD. 5) Centro em D1 até I, traçar circunferência. Encontrado a circunferência do centro da Rosácea. 6) Tomar por medida BB1, centro em C, G, D, F e E, traçar as respetivas circunferências até intersectar a circunferência do centro da rosácea. 7) Tomar por medida D1H e repetir a mesma operação da etapa anterior.

Construída a rosácea em conformidade com a geometria da rosácea da Igreja de São João de Tarouca. Construção apresentada pelo autor.

117

5. CONCLUSÃO

No primeiro capítulo tentou-se esclarecer a origem da Geometria. Viu-se com Luc Joly, como as raízes da geometria confundem-se com as raízes do desenho. Ambos nascem nos primórdios da expressão do pensamento humano. A necessidade de compreensão dos elementos da natureza levou o Homem a um esforço, a uma tradução dos elementos em formas geométricas. Esse esforço Joly cunhou-o de “Geometria”118. Pela sua etimologia observou-se que a geometria era uma forma de delimitar os terrenos durante o Neolítico e uma ferramenta usada na medição das terras durante o Antigo Egipto. Prosseguiu-se com a definição que geometria é o número no espaço119. Percebeu-se no Timeu de Platão que se trata da organização do mundo através das leis universais da matemática120. Ovídio com o seu poema Metamorfoses, ilustrou a origem da invenção do compasso, instrumento indispensável para a criação da Vesica Pisces. Retomando os pensamentos de Joly, vimos que traçar a origem da geometria, remete para delinear a origem do desenho121. Esta origem explica-se pela necessária criação de objetos cada vez mais precisos para traduzir de forma cada vez mais exata o pensamento do Homem numa figura. O compasso é uma dessas ferramentas inventadas pelo Homem como atesta a epopeia de Ovídio. Assim, sem compasso, não teríamos geometria pela precisão dos seus traços, e sem geometria, não teríamos as figuras da Vesica Pisces e da Mandorla.

118

Cfr. JOLY, Luc: Sructure – observer les formes physiques et mentales pour en découvrir l’organisation, Editions IDÉA Suisse, Geneva, 1973, p. 32. 119

LUNDY , Miranda; SUTTON, Daud; ASHTON, Anthony; MARTINEAU, John; QUADRIVIUM number geometry music heaven, Wooden Books, Singapore, 2010, p. 3. A primeira destas disciplinas chamamos “Aritmética”. A segunda “Geometria” ou a ordem no espaço ou Número no Espaço. 120

PLATÃO; Τίμαιος, (IV a.C.), trad. Maria José Figueiredo, Timeu, Instituto Piaget, Lisboa, 2003, 53b.

121

Na medida em que se trata de uma tradução do pensamento humano numa figura.

118

No segundo capítulo evocou-se a origem dos termos da Vesica Pisces e da Mandorla. Explorou-se a associação da Vesica com a figura cristã do peixe. Continuou-se com o seu uso enquanto sinal da fé partilhada entre os primeiros cristãos e mencionou-se o respetivo anagrama da palavra grega Ichthus (ΙΧΘΥΣ) Iesous CHristos Theous Uios Soter. Explicou-se como a figura do peixe composta por dois arcos de circunferência foi retomada mais tarde pelos construtores medievais. Vimos como Dürer faz o uso do termo “bexiga do peixe” bebendo esse termo na tradição medieval também para ilustrar a figura que resulta da intersecção de dois círculos. Relativamente a palavra Mandorla, sublinhou-se o seu significado. Demonstrou-se como provém da palavra italiana amêndoa e que existe uma analogia com o mito do deus frígio Átis que gerou a amendoeira como referiu Paulo Pereira122. Esta referência do mundo pagão da semente da amêndoa (Mandorla) ressalva o seu carácter gerador que foi exaustivamente exposto no terceiro capítulo. Procurou-se ao longo do segundo capítulo apontar o surgimento da figura da Vesica Pisces na história do ocidente. Descobriu-se com o historiador e astrónomo Robin Heath que a forma da Vesica já era usada durante o Neolítico123. Expusemos a obra de suma importância de Euclides que demonstra as primeiras possibilidades geométricas documentadas da Vesica na Antiguidade. Revimos essa mesmas propriedades na Idade Média com o manuscrito do “visitante italiano” que ilustra a arte liberal da Geometria com as personagens de Euclides e da Geometria segurando a Vesica Pisces em referência a primeira proposição de Euclides. Prosseguiu-se com Villard de Honnecourt e o seu desenho de um arco ogival baseado na Vesica. Passou-se pelo arquiteto de tradição medieval Mathes Roritzer que manciona as suas possibilidades de construção no seu livro “Geometria Deutsh” revelando assim os métodos geométricos medievais. Finalmente, apontou-se durante o Renascimento, os nomes de Leonardo

122

PEREIRA, Paulo; Lugares mágicos de Portugal – Arquitecturas Sagradas, Círculo de Leitores e Temas e Debates, Rio de Mouro, 2009, p. 201. 123

HEATH, Robin; SUN, MOON & EARTH, Wooden Books, Glastonbury, 2006, p. 55. Ambos os anéis tipo A e B evocam o símbolo cristão, a Vesica Pisces, a forma em amêndoa entre dois círculos sobrepostos, aplicados aqui 2500 anos antes de Jesus.

119

da Vinci, Sebastiano Serlio e António Rodrigues por todos eles referirem a Vesica nos seus tratados. Serlio, para apenas citar este autor, refere a Vesica como sendo uma figura “maravilhosamente fácil de executar” referindo-se à construção da oval e a sua aplicação na arquitetura. Determinou-se nesse capítulo que a Vesica Pisces nunca deixou de ser conhecida e utilizada desde o Neolítico até a Idade Moderna124.

No decorrer do terceiro capítulo foi aprofundado o pilar sobre a qual assenta esta dissertação, isto é, a Vesica Pisces e a Mandorla (que deriva desta), onde ambas as figuras funcionam como matrizes de formas mais complexas. Desenhos de duas voltas de compasso apenas, a Vesica Pisces e a Mandorla permitem criar dez figuras geométricas de lados iguais a partir de um método fácil de executar. São estas: o triângulo, o quadrado, o pentágono, o hexágono, o heptágono, o octógono, o eneágono, o decágono, o hendecágono e o dodecágono. É assim confirmado o carácter feminino e gerador da Vesica da qual brotam todas as formas geométricas como alega o escritor Alick Bartholomew125. Com isto, expõe-se que a Mandorla, isto é a amêndoa (como mencionado no segundo capítulo) funciona como semente de novas formas à semelhança da Vesica. Em prova destas afirmações, demonstraram-se as vinte figuras possíveis de serem criadas a partir da Mandorla e as vinte e três a partir da Vesica Pisces. Para além do carácter de “semente” ou por outras palavras, de matriz de novas formas, o método da Vesica permite criar ângulos retos e ângulos de 30, 60, 90, e de 120 graus. O que dá lugar à divisão de uma circunferência em doze, seis, quatro e três lados iguais, ou seja a construção do dodecágono, do hexágono, do quadrado e do triângulo. Vimos como também é possível fazer derivar a Secção de Ouro sem qualquer necessidade de utensílios métricos pela Vesica Pisces e da Mandorla.

124

Excluímos o seu surgimento na contemporaneidade por sair do âmbito desta dissertação pois isso implicaria um trabalho demasiado denso nessa temática em detrimento das características das formas da Mandorla e da Vesica. Contudo, ressalvamos que alguns dos casos mais visíveis são da ordem da arquitetura Neogótica. 125

BARTHOLOMEW, Alick; Hidden Nature, The Startling Insights of Viktor Schauberger, Floris Books, Poland, 2005, p. 64.

120

Demonstrou-se ainda a existência das raízes quadradas de dois, três e cinco, no objeto de estudo desta dissertação como utensílios para criar proporções até o infinito funcionando como módulo para qualquer arte126. Nesta linha de pensamento, a Mandorla e a Vesica Pisces encerram-se no espírito medieval, na medida em que não existe necessidade de demonstrações matemáticas, dando maior importância às funcionalidades e versatilidades do método.

Dando seguimento as construções medievais elaboradas por métodos geométricos simples, chega-se ao quarto e último capítulo. Nele, pretendeu-se realçar o simbolismo e a utilização dos métodos da Vesica e da Mandorla na arquitetura medieval portuguesa. Pelo investigador Friedrich Hoffstadt, soube-se que a expressão simbólica do arco em ogiva baseado no triângulo equilátero remete diretamente para a Santa Trindade127. Pode-se legitimamente extrapolar que assim como é pela “união que se faz a força” como vimos no terceiro capítulo em Villard de Honnecourt128 na imagem do abraço dos pedreiros que formam uma ogiva; de igual modo, é pelo triângulo da Trindade que forma a ogiva que a catedral pode elevar-se. No seguimento deste forte simbolismo medieval, ainda referiu-se Champris que remeteu para o adágio hermético do que está em baixo é como o que está em cima, o que está em cima é como o que está em baixo,129 expondo as duas circunferências da Vesicas Pisces como símbolo de dois mundos opostos mas idênticos. Tal figura da Vesica é exposta por Champris na fachada da catedral de Amiens.

126

Cfr. HAMBIDGE, Jay; The Elements of Dynamic Symmetry, Dover Publications, Nova Iorque, 1967, pp. 15-16.

127

HOFFSTADT, Friedrich; Principes du style gothique: exposés d’après des documents authentiques du Moyen Age, avec 40 planches in-folio, a l’usage des artistes et des ouvriers…, E. Noblet Editeur, Paris, 1854, p. 7. 128

BECHMANN, Roland; LE GOFF, Jacques ; Villard de Honnecourt : la pensée technique au XIIIe siècle et sa communication, Nouvelle édition revue et augmentée, Picard, Paris, 1993, p. 353. 129

TRISMEGISTOS, Hermes; A Gnosis Original Egípcia: O Corpus Hermeticum comentado por J. Van Rijckenborgh, Editora Rosacruz, Brasil, 2006, p. 23.

121

Voltando ao caso da arquitetura portuguesa, verificou-se o uso das figuras desta dissertação na Igreja de Rates, na Igreja da Pena em Leiria e no mosteiro da Batalha. Dando continuidade à investigação, propôs-se o método de construção da Rosácea da Igreja de São João de Tarouca pela figura da Vesica Pisces. Chegou-se a conclusão que estes métodos de construção de ogivas foram igualmente empregues em Portugal. Apontamos assim, pistas para o seu valor simbólico em território português. Em última análise, este trabalho teve a meta de restaurar e divulgar ferramentas conhecidas desde o Neolítico como elementos fundamentais de construções geométricas. A Vesica Pisces e a Mandorla averiguram-se úteis se não imprescindíveis na construção de formas elementares e na fácil composição de figuras complexas, tais como o heptágono e o eneágono. Em suma, este método permite criar figuras de lados iguais de uma forma precisa e rigorosa, indo ao encontro do espírito medieval onde o método mais simples deve ser sempre preferido ao método mais complexo130. Esse espírito esteve sempre presente na dissertação. Em prova disso, todos os métodos geométricos deste trabalho tiveram como único avaliador de precisão, o compasso. Hoje temos, graças as novas tecnologias da informação uma precisão matemática na ordem do micromilímetro na elaboração de figuras geométricas. Apesar disso, não deixaremos de relembrar as palavras do mestre Almada Negreiros citadas por Lima de Freitas “A perfeição, contém e corrige a exatidão”131. Ou seja, a perfeição do desenho, não se encontra na exatidão matemática mas no objetivo que ele próprio se propõe132. Antes de dar por concluída esta dissertação deixamos um espaço de pesquisa em aberto. Existem outros métodos geométricos antigos e perfeitamente atuais na sua simplicidade de construção. Estas construções poderão ser encontradas tanto por novas descobertas por parte de historiadores, mas sobretudo geómetras e todos os que se interessam por esta arte.

130

Cfr. SHELBY, Lon R; Setting Out the Keystones of Pointed Arches: a Note on Medieval “Baugeometrie”, Technology and Culture, Vol. X, Chicago, 1969, p. 534-548. 131

FREITAS, Lima de; Almada e o número, editora Soctip, lisboa, 1990, p. 34.

132

Cfr. ALLEN, Jon; Drawing Geometry a Primer of Basic Forms for Artists, Designers and Architects, Floris Books, China, 2007, p. 64.

122

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7. ANEXOS

É a fruição da forma que caracteriza o geómetra. Alfred Clebsch

7.1. Breves exemplos do uso da Mandorla na arte ocidental cristã.

137

Apresentamos quatro figuras do Cristo em majestade. A iconografia deste tema, é por norma representado na Idade Média com Cristo de frente, barba, cabelo comprido, num nimbo crucífero segurando o Evangelho na mão esquerda e dando a sua bendição da mão direita. É de salientar que Cristo está numa Mandorla (também conhecida por amêndoa mística) que simboliza a separação do celeste com o terrestre e a vibração da luz133. Com este anexo, pretende-se exibir muito brevemente o valor simbólico da Mandorla na arte ocidental cristã.

Na Pintura

A Basílica de Santo Isidoro, na cidade de Leão, construída durante os séculos XI e XII contém um conjunto de seis abóbadas com pinturas murais. Os murais são do século XII e o programa iconográfico representam cenas do Evangelho, do Apocalipse e da vida

133

DONCOEUR, Paul; Le Christ dans l’art français, éditions d’histoire et d’art, Paris, 1939, p. 99.

138

quotidiana134. Numa dessas abóbadas, encontra-se o Cristo no interior da Mandorla, circundado pelos símbolos antropomórficos dos quatro evangelistas.

Fig. 31 – Cristo Pantocrator: pintura mural do Panteão dos Reis na colegiada de Santo Isidoro em Leão, Espanha. Fonte: MARRUCCHI, Giulia; CAIAZZO, Cinzia; A Grande História de Arte IV. Alta Idade Média e Românico, GRUPO SCALA, Florença, 2006, p. 244.

Na Iluminura

A iluminura de Cristo em Majestade está num manuscrito intitulado “Evangelho de Speyer” que pertenceu originalmente à Catedral de Speyer na Alemanha. De autoria desconhecida, sabe-se que foi realizado por volta de 1220. O Evangelho de Speyer é composto por 72 iluminuras pequenas e 17 iluminuras grandes da qual

134

MARRUCCHI, Giulia; CAIAZZO, Cinzia; A Grande História de Arte IV. Alta Idade Média e Românico, GRUPO SCALA, Florença, 2006, p. 242.

139

pertence a Fig. 32. Encontra-se atualmente na Biblioteca do Estado de Baden em Karlsruhe, Alemanha135.

Fig. 32 – Cristo Pantocrator: iluminura do evangelho de Speyere. Fonte: Speyerer Evangelistar - Bruchsal 1, Alemanha, 1220, Fl. 4.

No Vitral

Na catedral de São Pedro em Poitiers, encontra-se um dos mais velhos vitrais do mundo cristão. Criado em 1161, é conhecido como o “vitral da crucificação”. É composto por três partes distintas: os martírios de Pedro e de Paulo, a crucificação e a Ascensão136. A Ascensão, corresponde a parte superior do vitral, imagem da figura abaixo. Nela, vê-se Cristo na Mandorla, ladeado por dois anjos.

135

Das Speyerer Evangelistar - Ein Meisterwerk der Buchmalerei als Meisterwerk der Faksimilierung em http://www.blb-karlsruhe.de/blb/blbhtml/2013/evangelistar-speyer.php >Acesso em 10 de Julho 2013.

136

PERROT, Françoise ; Poitiers, cathédrale Saint Pierre em histoire.fr/Patrimoine/Poitiers/Poitiers-Saint-Pierre.htm > Acesso em 10 de Julho 2013.

http://www.patrimoine-

140

Fig. 33 – Pormenor do vitral da crucificação da catedral de São Pedro em Poitiers. Fonte: DUBY, Georges, L’Europe des Cathédrales 1140-1280, éditions d’art Albert Skira, Geneva, 1984, p. 28.

Na Arquitetura

A catedral de Chartres foi iniciada em 1020, destruída em 1194 e reconstruida em 1260137. Nela no chamado portal dos Reis, porta ocidental da catedral, poupada pelo incêndio, encontra-se Cristo na Mandorla ladeado pelos quatro evangelistas antropomórficos.

137

MARRUCCHI, Giulia; CAIAZZO, Cinzia; A Grande História de Arte I. Arte Gótica, GRUPO SCALA, Florença, 2006, p. 33.

141

Fig. 34 – Tímpano da Fonte: fotografia do autor.

porta

ocidental

da

catedral

de

Notre-Dame

de

Chartres.

(1145-1150)

7.2. Método de construção das flores existentes nos polígonos construídos

Optamos por introduzir as construções das flores existentes dentro das dez formas geométricas do triângulo, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, hendecágono e dodecágono no anexo da atual dissertação. Todas as construções que se seguem foram tiradas do terceiro capítulo, pelo que não existe necessidade de exemplificar o seu processo de construção. Este anexo tem como intuito remeter para as propriedades estéticas das flores e de formular a hipótese de outros métodos de construção para a criação de rosáceas durante a Idade Média.

142

1) Construção da figura. 2) Perfurar a folhar em cada vértice da figura com a ponta do compasso. 3) Dobrar a folha ao meio. 4) Marcar os pontos de cada vértice e do meio da figura de modo que estes surgem do lado diametralmente oposto a figura desenhada na primeira etapa. 5) Centro do compasso em cada vértice da figura construída até cerca de dois milímetros desviado do centro da figura, (para fazer surgir uma pequena flor dentro da grande flor) e traçar uma circunferência. 6) Repetir a mesma ação do que a etapa anterior para todos os pontos dos vértices da figura. 7) Construída a flor da figura.

Todas as construções foram elaboradas a partir da Mandorla exceto o hendecágono. No final das construções das flores dos polígonos, exibimos os desenhos da cruz latina, do signo de mercúrio, da lua, do peixe, da taça, e do arco em ogiva para salientar o dinamismo da figura da Vesica Pisces como ferramenta de composição de novas formas.

143

7.3. Anexos – Flores dos polígonos

.

144

145

146

147

148

Construção de imagens simbólicas que surgem no interior da Vesica Pisces

Construções apresentadas pelo autor.

149

Construção da Cruz Latina e de uma variação do signo de Mercúrio. Construções apresentadas pelo autor. O’CONNELL, Mark; AIREY, Raje; Signs & Symbols What they mean and how we use them, Southwater, England, 2008, p. 109. (Obra consultada como referência do signo de Mercúrio).

150