Econometria
Prof. José Francisco
[email protected]
Autocorrelação Serial
Autocorrelação serial Problema típico da aplicação da análise de regressão linear à dados de séries de tempo:
Yt = β 0 + β1 X t + ε t
X e Y são séries temporais
Em sua versão básica a análise de regressão pressupõe que os termos aleatórios ε são independentes e não correlacionados ( cov(εεi,εε)) =0 para i≠j ). Tal pressuposto implica em admitir que as observações são provenientes de uma amostra aleatória, ou seja, a variável Y relaciona-se com os valores da variável X, porém Y não depende dos seus próprios valores passados. No entanto, a sequência cronológica das observações de uma série temporal exibe padrões de tendência e sazonalidade. Tais padrões implicam em observações relacionadas ou autocorrelacionadas. Por esta razão é possível prever as observações futuras a partir das observações passadas. As observações em uma série temporal não podem ser consideradas como sendo provenientes de uma amostra aleatória (em amostras aleatórias as observações são independentes) como suposto pela análise de regressão linear.
Autocorrelação serial Quando as variáveis X e Y são séries de tempo, o pressuposto de erros independentes na regressão linear ( cov(εεi,εε)) = 0 para i≠j ) raramente é verificado. Nestas situações os erros são autocorrelacionados, ou seja, cov(εεi,εεj)) ≠ 0 para i≠j. Um tipo comum de autocorrelação do erro é a autocorrelação serial de primeira ordem ou AR(1), em que o erro do período atual εt se relaciona com o erro do período imediatamente anterior εt-1. Neste caso tem-se a seguinte especificação para o modelo de regressão linear:
Yt = β 0 + β1 X t + ε t
ε t = ρε t −1 + vt
Erros independentes normalmente distribuídos com média zero e variância σ2v
ρ é um escalar no intervalo ]-1;1[ que mede a correlação entre εt e εt-1. A magnitude de ρ indica a força da correlação serial, se ρ é zero os erros são independentes (εε = v) e não há autocorrelação serial do erro.
Autocorrelação serial Autocorrelação serial de primeira ordem do erro ou AR(1)
Yt = β 0 + β1 X t + ε t ε t = ρε t −1 + vt cov(ε t , ε t − S ) ∝ ρ S ≠ 0
Erros não são independentes
Covariância entre erros defasados por S períodos de tempo é proporcional a ρS
ρ ∈ ]-1;1[ ⇒ correlações entre os erros decaem exponencialmente:
correlação(ε t , ε t −1 ) = ρ
correlação(ε t , ε t − 2 ) = ρ 2 correlação(ε t , ε t −3 ) = ρ 3
correlação(ε t , ε t − S ) = ρ S
O efeito de um choque aleatório persiste ao longo do tempo, porém sua magnitude é decrescente
Autocorrelação serial Considere uma situação com autocorrelação serial de primeira ordem positiva (ρ ρ>0), típica em séries econômicas. Se o 1º valor de Y está acima da verdadeira reta de regressão, então os valores seguintes também têm maior probabilidade de estarem acima da verdadeira reta de regressão (é provável que um erro positivo seja seguido de outro erro positivo). Porém o método dos mínimos quadrados supõe erros independentes (ρ ρ=0), logo a reta de regressão estimada por mínimos quadrados passará pelo meio da nuvem de pontos com outra inclinação. O uso desta reta para fazer inferências ou prognósticos pode ser muito enganoso,
Eventualmente é provável que exista uma sequência de Y abaixo da verdadeira reta de regressão (é provável que um erro negativo seja seguido de outro erro negativo).
Autocorrelação serial Note que a dispersão das observações sobre a reta estimada por mínimos quadrados é menor que a dispersão ao redor da verdadeira reta de regressão. Se há autocorrelação de primeira ordem positiva, a estimação por mínimos quadrados subestima a variância do erro ε (σ σ2). Nesta situação os estimadores de mínimos quadrados parecem mais precisos do que eles realmente são (os erros padrão são subestimados). E os procedimentos de inferência estatística (teste t e F) podem indicar que a regressão de Y em X seja significativa, mesmo que ela seja falsa.
Autocorrelação serial A autocorrelação serial de primeira ordem pode ser negativa (ρ ρ0), HANKE & WICHERN (2006) e GUJARATI (2000). Seja a autocorrelação do erro negativa ou positiva, a violação do pressuposto de independência dos erros implica em problemas de interpretação dos resultados dos coeficientes de regressão estimados pelo método dos mínimos quadrados, pois o método pressupõe erro não correlacionados.
Diagnóstico da autocorrelação serial Quando a análise de regressão é aplicada em séries de tempo é importante examinar a série dos resíduos da estimação por mínimos quadrados para saber se a autocorrelação serial está presente e assim ter meios para detectar se a regressão entre Y e X é falsa e evitar uma interpretação errada dos resultados. resíduos
(
εˆt = Yt − βˆ0 + βˆ1 X t
)
Estimativas obtidas pelo método dos mínimos quadrados
Note as sequências de resíduos positivos seguidas por sequências de resíduos negativos, um padrão sistemático típico de aucorrelação serial positiva de primeira ordem do erro.
0.15
resíduos
1) Gráficos dos residuos ao longo do tempo Se os erros são autocorrelacionados, provavelmente a série dos residuos da estimação por mínimos quadrados exibirá um padrão sistemático (não aleatório) ao longo do tempo.
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
tempo -0.2
0
5
10
15
20
25
30
35
Diagnóstico da autocorrelação serial 2) Gráfico do residuo em t contra resíduo em t-1 Se os erros são autocorrelacionados de primeira ordem, os pares de resíduos em t e t-1 espalham-se ao longo de uma reta que passa pela origem e com coeficiente angular igual a ρ. 0.1
resíduo em t
resíduo em t
0.15
ρ>0
0.05
0
ρ0 e DW < 2, no limite ρ=1 e DW=0. • Para erros independentes ρ=0 e DW assume um valor próximo de 2 • Autocorrelação serial negativa ρ 2, , no limite ρ=-1 e DW=4. • 0 < DW < 4 • Estimativa de ρ em função da estatística DW: ρˆ = 1 − DW / 2
Diagnóstico da autocorrelação serial 3) Teste de Durbin Watson Regra de decisão do teste Se DW < dL ρ > 0 e rejeita H0
Teste inconclusivo
0
dL
Se DW > 4 - dL ρ < 0 e rejeita H0
Aceita H0 ρ=0
dU
Teste inconclusivo
2
Valores críticos tabelados em função do tamanho da amostra, do nível de significância α e do número de variáveis explicativas. Para dL < DW < dU ou 4-dU < DW < 4- dL o teste é inconclusivo.
4 - dU
4 - dL
4
Diagnóstico da autocorrelação serial 3) Teste de Durbin Watson Como ρ e a estatística DW se relacionam, Hanke & Wichern (2006) sugerem o seguinte procedimento quando o teste é inconclusivo: Estime o coeficiente ρ n
ρˆ =
∑ εˆ εˆ t =2 n
t t −1
2 ˆ ε ∑ t t =1
H0 não é rejeitada se a estimativa de ρ pertencer ao intervalo
2 0± n
Caso exemplo (BERNDT, 1991) RESIDUAL OUTPUT Observation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Predicted LNKWH 5,94 6,01 6,08 6,07 6,21 6,26 6,30 6,29 6,41 6,42 6,47 6,58 6,66 6,77 6,89 7,01 7,07 7,17 7,23 7,24 7,30 7,39 7,49 7,42 7,38 7,47 7,54 7,63 7,68 7,64 7,66 7,61 7,68 7,79
Residuals -0,14 -0,13 -0,10 -0,02 0,00 0,04 0,05 0,08 0,06 0,11 0,11 0,07 0,06 0,03 -0,02 -0,07 -0,07 -0,08 -0,05 0,00 -0,01 -0,02 -0,05 0,02 0,09 0,06 0,03 -0,02 -0,04 0,00 0,01 0,03 -0,01 -0,06
εˆt
n
DW =
2 ˆ ˆ ( ) ε ε − ∑ t t −1 t =2
n
2 ˆ ε t ∑ t =1
Estatística Durbin Watson (DW) = 0,39327 Menor 2 sugere autocorrelação positiva
ρˆ = 1 − DW / 2 = 0.80337
n = nª de observações
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
K = nº de variáveis independentes
Para n = 34 e k = 2 Os limites tabelados ao nível de 5% são dL = 1,514 dU = 1,933 Estatística DW = 0,39327 < dL Logo ao nível de significância de 5% rejeita-se a hipótese nula de que não há autocorrelação serial de primeira ordem no erro, ou seja, rejeita-se a hipótese de que ρ=0 n=34
Solução para o problema de autocorrelação serial Detectada a presença de autocorrelação no modelo de regressão linear, ela deve ser eliminada ou modelada antes que os parâmetros do modelo sejam estimados. A solução do problema depende da origem da autocorrelação.
Origens da autocorrelação: omissão de variável explicativa erros autocorrelacionados em um modelo corretamente especificado No caso de omissão de variável explicativa a solução consiste na inclusão de nova variável explicativa no modelo de regressão, bem como na identificação da forma funcional mais adequada para o modelo de regressão, por exemplo, linear ou quadrática ?. Quando os erros são autocorrelacionados a solução do problema consiste em trabalhar com as diferenças das variáveis ao longo do tempo e não com seus níveis. Ou seja, no lugar de relacionar Y com X, deve-se fazer a regressão da diferença da variável Y na diferença da variável X, uma solução conhecida como método das diferenças generalizadas.
Solução para o problema de autocorrelação serial Método das diferenças generalizadas Considere a equação de regressão linear com autocorrelação de primeira ordem no erro:
Yt = β 0 + β1 X t + ε t
ε t = ρε t −1 + vt
Erros independentes normalmente distribuídos com média zero e variância σ2v
A equação de regressão vale para qualquer instante de tempo t, assim para t-1 temos que:
Yt −1 = β 0 + β1 X t −1 + ε t −1 Multiplicando ambos os lados da equação para t-1 pelo coeficiente ρ tem-se:
ρYt −1 = ρβ 0 + β1 ρX t −1 + ρε t −1 A diferença generalizada entre as equações dos instantes t e t-1 é definida como:
Yt − ρYt −1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X t − ρX t −1 ) + ε t − ρε t −1
Solução para o problema de autocorrelação serial Método das diferenças generalizadas
Da equação do erro temos que
ε t = ρε t −1 + vt
ε t − ρε t −1 = vt
As diferenças generalizadas de primeira ordem entre erros autocorrelacionados produz temos aleatórios independentes normalmente distribuídos com média zero e variância σ2v
A diferença generalizada das equações de regressão produz uma equação com erros independentes vt:
Yt − ρYt −1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X t − ρX t −1 ) + ε t − ρε t −1 vt
Solução para o problema de autocorrelação serial Método das diferenças generalizadas T equações de regressão, uma para cada observação
YT = β 0 + β1 X T + ε T YT −1 = β 0 + β1 X T −1 + ε T −1 YT − 2 = β 0 + β1 X T − 2 + ε T − 2
YT −3 = β 0 + β1 X T −3 + ε T −3 Y3 = β 0 + β1 X 3 + ε 3 Y2 = β 0 + β1 X 2 + ε 2 Y1 = β 0 + β1 X 1 + ε 1
?
-ρ ρ -ρ ρ -ρ ρ
-ρ ρ -ρ ρ -ρ ρ
T-1 diferenças generalizadas
+
YT − ρYT −1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T − ρX T −1 ) + ε T − ρε T −1
+
YT −1 − ρYT − 2 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T −1 − ρX T − 2 ) + ε T −1 − ρε T − 2 YT − 2 − ρYT −3 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T −2 − ρX T −3 ) + ε T −2 − ρε T −3
+ . . . +
Y3 − ρY2 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X 3 − ρX 2 ) + ε 3 − ρε 2
+
Y2 − ρY1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X 2 − ρX 1 ) + ε 2 − ρε1
+
?
Fazendo as diferenças generalizadas perde-se uma equação
Solução para o problema de autocorrelação serial Método das diferenças generalizadas Ao conjunto de T-1 diferenças generalizadas adiciona-se a seguinte equação:
Y1 1 − ρ 2 = β 0 1 − ρ 2 + β1 X 1 1 − ρ 2 + ε 1 1 − ρ 2 Ao final obtém-se um conjunto de T equações de regressão com erros independentes (a autocorrelação tipo AR(1) foi eliminada):
YT − ρYT −1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T − ρX T −1 ) + ε T − ρε T −1 YT −1 − ρYT − 2 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T −1 − ρX T − 2 ) + ε T −1 − ρε T − 2 YT − 2 − ρYT −3 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T −2 − ρX T −3 ) + ε T −2 − ρε T −3
... Y3 − ρY2 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X 3 − ρX 2 ) + ε 3 − ρε 2 Y2 − ρY1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X 2 − ρX 1 ) + ε 2 − ρε1 Y1 1 − ρ 2 = β 0 1 − ρ 2 + β1 X 1 1 − ρ 2 + ε 1 1 − ρ 2
erros não autocorrelacionados
Solução para o problema de autocorrelação serial Estimação O coeficiente ρ não é conhecido e deve ser estimado com os coeficientes de regressão β. Porém, o modelo com as equações transformadas é não linear nos parâmetros (note que aparece produto ρβ9 e ρβ1) e a estimação por mínimos quadrados ordinários não pode ser aplicada.
YT − ρYT −1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T − ρX T −1 ) + ε T − ρε T −1 YT −1 − ρYT − 2 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T −1 − ρX T − 2 ) + ε T −1 − ρε T − 2 YT − 2 − ρYT −3 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X T −2 − ρX T −3 ) + ε T −2 − ρε T −3
...
Y3 − ρY2 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X 3 − ρX 2 ) + ε 3 − ρε 2 Y2 − ρY1 = (1 − ρ )β 0 + β1 ( X 2 − ρX 1 ) + ε 2 − ρε1 Y1 1 − ρ 2 = β 0 1 − ρ 2 + β1 X 1 1 − ρ 2 + ε 1 1 − ρ 2
Equações de regressão transformadas Modelo não linear nos parâmetros
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
Séries históricas Primeiras diferenças generalizadas
t
Ano
LNKWH
LNPELEC
LNGNP
1
1951
5,7991
1,1378
6,3620
2
1952
5,8749
1,1282
6,3983
3
1953
5,9814
1,1019
6,4355
...
32
1982
7,6432
1,0852
7,2998
33
1983
7,6737
1,0716
7,3361
34
1984
7,7312
1,0716
7,4020
Equações transformadas
7,6737 − ρ 7,6432 = (1 − ρ )β 0 + β1 (1,0716 − ρ1,0852) + β 2 (7,3361 − ρ 7,2998) + ε 33 − ρε 32 7,7312 − ρ 7,6737 = (1 − ρ )β 0 + β1 (1,0716 − ρ1,0716) + β 2 (7,4020 − ρ 7,3361) + ε 34 − ρε 33
...
5,9814 − ρ 5,8749 = (1 − ρ )β 0 + β1 (1,1019 − ρ1,1282) + β 2 (6,4355 − ρ 6,3983) + ε 3 − ρε 2 5,8749 − ρ 5,7991 = (1 − ρ )β 0 + β1 (1,1282 − ρ1,1378) + β 2 (6,3983 − ρ 6,3620) + ε 2 − ρε1
5,7991 1 − ρ 2 = β 0 1 − ρ 2 + β1 ⋅1,1378 1 − ρ 2 + β 2 ⋅ 6,3620 1 − ρ 2 + ε 1 1 − ρ 2
Solução para o problema de autocorrelação serial Estimação (Algoritmo de Cochrane Orcutt) Algorítmo iterativo 1) Estime o modelo original por mínimos quadrados e obtenha a série de resíduos. Modelo original Yt = β 0 + β1 X t + ε t Resíduos εˆt = Yt − βˆ0 − βˆ1 X t T
2) Use os resíduos para obter uma estimativa inicial para ρ: ρˆ =
∑ εˆ ⋅ εˆ t t =2 T −1
t −1
∑ εˆ t =1
2 t
3) Nas equações de regressão transformadas substitua ρ por sua estimativa obtida no passo 2 e estime os coeficientes de regressão por mínimos quadrados.
Yt − ρˆYt −1 = (1 − ρˆ )β 0 + β1 ( X t − ρˆX t −1 ) + vt
para t=2.T
Y1 1 − ρˆ 2 = β 0 1 − ρˆ 2 + β1 X 1 1 − ρˆ 2 + v1 para t=1
βˆ0 βˆ1
4) Pare se a precisão desejada for alcançada ou o nº máximo de iterações for atingido, as estimativas são os últimos valores obtidos. Caso contrário obtenha uma nova série de resíduos εˆt = Yt − βˆ0 − βˆ1 X t e retorne ao passo 2.
Caso exemplo (BERNDT, 1991) Estimativas após as iterações do algorítmo Cochrane-Orcutt 0.80337 0.81518 0.82078 0.82365 0.82518 0.82601 0.82647 0.82672 0.82686 0.82694 0.82698 0.82701 0.82702 0.82703 0.82703 0.82703 0.82703 0.82704 0.82704 0.82704 0.82704 0.82704 0.82704 0.82704 0.82704
0.835
ρ 0.83
0.825
0.82
0.815
0.81
0.805
0.8
ρˆ
0
5
10
15
20
25
iterações
Caso exemplo (BERNDT, 1991) Estimativas após as iterações do algorítmo Cochrane-Orcutt
RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,99 R-Quadrado 0,99 R-quadrado ajustado 0,96 Erro padrão 0,04 Observações 34,00 ANOVA gl Regressão Resíduo Total
SQ 3 31 34
Coeficientes Interseção intercepto* LNPELEC* LNGNP*
0 -4,7548 -0,2385 1,7269
4,08 0,04 4,12 Erro padrão #N/D 0,6056 0,1244 0,0816
MQ 1,36 0,00
Stat t #N/D -7,8514 -1,9170 21,1669
F F de significação 970,15 6,02097E-30
valor-P #N/D 0,0000 0,0645 0,0000
95% inferiores 95% superiores #N/D #N/D -5,9900 -3,5197 -0,4922 0,0152 1,5605 1,8933
Caso exemplo (BERNDT, 1991) Estimativas por mínimos quadrados (considera os erros não autocorrelacionados) Intercept LNPELEC LNGNP
Coefficients Standard Error t Stat -4,8438 0,2860 -16,9345 -0,3692 0,0762 -4,8429 1,7609 0,0373 47,1969
P-value 3,21E-17 3,37E-05 1,94E-30
Lower 95% Upper 95% -5,4272 -4,2605 -0,5247 -0,2137 1,6848 1,8370
Estimativas pelo método de Cochrane-Orcutt (reconhece que os erros são autocorrelacionados e corrige o efeito da autocorrelação do erro) Coeficientes Interseção intercepto* LNPELEC* LNGNP*
0 -4,7548 -0,2385 1,7269
Erro padrão #N/D 0,6056 0,1244 0,0816
Stat t #N/D -7,8514 -1,9170 21,1669
valor-P #N/D 0,0000 0,0645 0,0000
95% inferiores 95% superiores #N/D #N/D -5,9900 -3,5197 -0,4922 0,0152 1,5605 1,8933
Comparando os dois conjuntos de estimativas pode-se observar que os coeficientes de regressão são da mesma ordem de grandeza. Porém, conforme esperado, o método dos mínimos quadrados subestim os erros-padrão
Equação de previsão com autocorrelação do erro tipo AR(1) Considere t observações Equação para previsão um passo à frente sem considerar que os erros são autocorrelacionados
YˆT +1 = βˆ0 + βˆ1 X T +1 Equação para previsão um passo à frente considerando que os erros ão autocorrelacionados segundo um processo AR(1)
YˆT +1 = βˆ0 + βˆ1 X T +1 + ρˆ ⋅ εˆT
Último erro de previsão
Equação para previsão S passos à frente considerando que os erros ão autocorrelacionados segundo um processo AR(1)
YˆT + S = βˆ0 + βˆ1 X T + S + ρˆ S ⋅ εˆT
Caso exemplo (BERNDT, 1991) Projeções 1 passo à frente sem correção AR(1) 8
estimado observado 7,5
6,5
6
LnkWht = −4,7548 − 0,2385 LnPelect + 1,7269 LnGNPt
5,5
19 83
19 81
19 79
19 77
19 75
19 73
19 71
19 69
19 67
19 65
19 63
19 61
19 59
19 57
19 55
19 53
5
19 51
LN kWH
7
Caso exemplo (BERNDT, 1991) Projeções 1 passo à frente com correção AR(1) 8
estimado observado 7,5
6,5
Último erro de previsão 6
5,5
LnkWht = −4,7548 − 0,2385 LnPelect + 1,7269 LnGNPt + 0,82704εˆt −1 19 83
19 81
19 79
19 77
19 75
19 73
19 71
19 69
19 67
19 65
19 63
19 61
19 59
19 57
19 55
19 53
5
19 51
LN kWH
7
EXERCÍCIOS DE AUTOCORRELAÇÃO
Exercício 1 Considere a relação entre empregos oferecidos (JV) e a taxa de desemprego (U) : Ln(JVt) = β1+β2Ln(Ut) +εt A partir das séries anuais das variáveis acima, pede-se: a) Obtenha as estimativas de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes de regressão da equação acima e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. b) Faça o gráfico dos resíduos ao longo do tempo. c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existência de autocorrelação d) Reestime o modelo para corrigí-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Use o programa Gretl (http://gretl.sourceforge.net/ )
Obtenha as estimativas de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes de regressão da equação acima e construa um intervalo de confiança de 95% para β2.
Ln(JVt) = 3,5027-1,6112Ln(Ut)
Obtenha as estimativas de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes de regressão da equação acima e construa um intervalo de confiança de 95% para β2.
Faça o gráfico dos resíduos ao longo do tempo
Seqüências de resíduos negativos seguidas de seqüências resíduos positivos sugerem a autocorrelação do erro
Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existência de autocorrelação
H0: não há autocorrelação de primeira ordem H1: há autocorrelação de primeira ordem
Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existência de autocorrelação
Conclusão: Durbin-Watson calculado < dL, logo rejeitar H0
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Cochrane-Orcutt t=2 até 24
Ln(JVt) = 3,5034-1,6001Ln(Ut)
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Cochrane-Orcutt
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Hildreth-Lu t=2 até 24
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Hildreth-Lu
Ln(JVt) = 3,5034-1,6001Ln(Ut)
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Com equação de Prais-Winsten t=1 t=2 até 24
Ln(JVt) = 3,5137-1,6160Ln(Ut)
Exercício 2 Considere a função investimento: It = β1+β2Yt+β3Rt+εt em que It = investimento no ano t Yt = PIB no ano t Rt = taxa de juros no ano t A partir das séries anuais das três variáveis acima, pede-se: a) Obtenha as estimativas de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes de regressão da equação de investimento. b) Faça o gráfico dos resíduos ao longo do tempo. c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existência de autocorrelação d) Reestime o modelo para corrigí-lo quanto à autocorrelação e) Preveja o nível de investimento do próximo ano, dado que os valores correspondente de Y e R são Y=36 e R=14. Compare com a previsão com a que seria obtida com se não levasse em conta a autocorrelação. Use o programa Gretl (http://gretl.sourceforge.net/ )
40
PIB
35
30
Y
25
35
Investimento
20
30
15
25
10
I
5 1970
1975
1980
1985
1990
20
1995
15
22
Taxa de juros
20
10
18 5 1970
16
R
14
12
10
8
6
4 1970
1975
1980
1985
1990
1995
1975
1980
1985
1990
1995
a) estimativas de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes de regressão da equação de investimento
It = 6,2249 + 0,7699Yt – 0,1842Rt + εt
b) faça o gráfico dos resíduos ao longo do tempo
Seqüências de resíduos negativos seguidas de seqüências resíduos positivos sugerem a autocorrelação do erro
c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existência de autocorrelação
H0: não há autocorrelação de primeira ordem H1: há autocorrelação de primeira ordem
Tabela Durbin-Watson http://www.eco.uc3m.es/~ricmora/ECII/materials/Durbin_Watson_tables.pdf Limites dL e dU para k=2 variáveis explicativas e n=30 observações ao nível de 5% de significância: dL = 1,284 e dU = 1,567 (Conclusão: Durbin-Watson calculado < dL, logo rejeitar H0)
FAC e FACP dos resíduos da estimação por MQO
Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existência de autocorrelação
d) Reestime o modelo para corrigí-lo quanto à autocorrelação
Cochrane-Orcutt
It = 7,3298 + 0,7849Yt – 0,2958Rt + εt εt = 0,6146εt-1 + vt
Reestime o modelo para corrigí-lo quanto à autocorrelação
Hildreth-Lu
It = 7,3298 + 0,7849Yt – 0,2958Rt + εt εt = 0,6146εt-1 + vt
Reestime o modelo para corrigí-lo quanto à autocorrelação
Hildreth-Lu
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Com equação de Prais-Winsten t=1 t=2 até 24
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto à autocorrelação e construa um intervalo de confiança de 95% para β2. Com equação de Prais-Winsten t=1 t=2 até 24
It = 8,7043 + 0,7338Yt – 0,2894Rt + εt εt = 0,6275εt-1 + vt
e) Previsão do nível de investimento do próximo ano, dado que os valores correspondente de Y e R são Y=36 e R=14. Compare com a previsão com a que seria obtida com se não levasse em conta a autocorrelação.
It = 8,7043 + 0,7338Yt – 0,2894Rt + εt εt = 0,6275εt-1 + vt Equação de previsão considerando a autocorrelação do termo aleatório
It = 8,7043 + 0,7338Yt – 0,2894Rt + 0,6275εt-1 Último resíduo MQO Previsão MQG
It = 8,7043 + 0,7338*36 – 0,2894*14 + 0,6275*2,2079 = 32,4545 Previsão MQO
It = 8,7043 + 0,7338*36 – 0,2894*14 = 31,3630 Veja planilha Excel que acompanha a apresentação para pegar o último resíduo (célula Q32)
e) Previsão do nível de investimento do próximo ano, dado que os valores correspondente de Y e R são Y=36 e R=14. Compare com a previsão com a que seria obtida com se não levasse em conta a autocorrelação.
Veja planilha Excel que acompanha a apresentação
Referências bibliográficas Berndt, E.R. The practice of econometrics classic and contemporary, Addison Wesley, California, 1996. Gujarati, D. Econometria Básica, terceira edição, Pearson Makron Books, São Paulo, 2000. Hanke, J.E. ; WICHERN, D.W. Pronósticos em los negocios, octava edición,Pearson Prentice Hall, México 2006.
