8. Tomáš Akvinský a species mathematica

Tomai Akvinsk'i o species molhemoiico

25

TOMAS AKVINS KY A SPECIES MATHEMATICA JOZEF MATULA Tom65 Akvinskj' svoj im obdivuhodnfm dielom patri medzi najvfznamnej Sich predstavitel'ov vrcholnej scholastiky . Zaobercl sa takmer v5etki'mi s6dobfmi filozoficko-teologickj'mi othzkami a svoj z6ujem diastodne obracal

lieL na otdzkumatematiky. Akvinsk6ho v5ak nezaujimali konkr6tne matema-

tick6 alebo geometrick6 problemy; svoju pozornost' venoval problematike statusu matematickfch entit a postaveniu matematiky v r6mci trojidn6ho delenia vied. Othzka,ktorej venoval svoju pozomost', stivisela

s

postavenim

matematickfch entit v hierarchickej stavbe cel6ho univerza.r Pre dejiny matematiky nie je urdite Akvinskj'zaujimavou osobnost'ou, ale pokus o porozumenie jeho tvah o matematickfch entit6ch poskytuje Sir5i obraz o jeho Specihckom mysleni.2 Skrimanie matematiky v diele Tom55a Akvinsk6ho moZno vidiet' na pozadi urdit!'ch historickj'ch predpokladov a srivislosti. Okrem Aristotelovej

Metaflzilq3 bol pre Akvinsk6ho nepochybne urdujricim dielom Boethiov spis De Trinitate,a ku ktor6mu napisal vfklad, v ktorom sa objavuje trojidn6 delenie vied. Je zaujimavl, Ze Akvinsky bol pravdepodobne jedinym vyznamnfm mysliteLom 1 3, storodia, ktor!' sa pokrisil komentovat' Boethiove trakt5ty De Trinitate a De Hebdomadibus.5 Pre porovnanie treba pripomenrit, 2ev 12. storodi boli tieto traktilty komentovan6 vel'mi dasto amedzi rokmi 1120-1200 existovalo okolo 20 koment6rov k spisu De Trinitate.6 Akvinsk6ho vjklad je doposiali m6lo docenenym dielom, je v ilom vidiet' jeho originalitu vykladu nielen Boethiovho diela, ale rie5enia mnohych filozofick!'ch a teologickj'ch ot6zok. Akvinskf analogicky prijima Boethiove dlenenie vied, podl'a ktor6ho sa teoretick6 (kontemplativne) vedy delia na fyziku, matematiku a teol6giu.? Podl'a Boethia sa jednotliv6 vedy zaobetaji formami (for a) a dlenenie viedkoreiponduje s hierarchiou foriem vo svete, na r6znych stupioch oddelenosti od l6tky (materia).8 Akvinsky je neuspokojenj' s vj'chodiskami Boethiovho dlenenia, teda s predpokladom, Ze vedy sa delia podla stupiovitosti, hierarchidnosti foriem. Objektom vied nie sri formy v boethiovskom zmysle, ale kaLdh veda m6, podl'a Akvinskdho, svoj

Filosofie iislo

26

vlastnj' predmet (subiectum), ktorym sa jednotliv6 vedy od seba odli5ujir. Met6dy jednotlivlch vied sa tak odliSujf predmetom a Akvinskf odmieta n6zor,2e by existovalajedna univerz6lna met6da pre vietky vedy. Napriklad astron6miu, optiku alebo udenie o harm6nii lokalizuje medzi matematiku afyzilrlu-.e Zatiat do fyzickhrealitazohr6va urditu materi6lnu rolu, matematika zohr6va form6lnu rilohu v Struktfire fi'chto Speci6lnych vied.'0 Triadick6 dlene-

nie vied zodpoved6 analogicky trojidnej Struktur6cii I'udskfch mohfcnosti.rl Uchopovanie matematickfch entit zodpoved6 predstavivosti (imaginatio), prislu5nej du5evnej schopnosti, ktor6 v tomto kontexte nem6 kreativnu irlohu, ale sk6r pasivnu schopnost' vybavit napr. geometri ck! obrazec. Matematick6 entify samotnl prich6dza}(t prostrednictvom zmyslov a st6vajri sa predme-

tom imagin6cie. Podobne ako predstavivost'i matematick6 entity stoja na ,,rozluani" medzi Szicky existujricimi vecmi a oblast'ou inteligibiln6ho. Matematick6 formy (species) sa m6Zu abstrahovat'od zmyslovej l6tky, ale nie od inteli gibilnej l6tky.' 2 L6tku zmyslo vt nazyv a Akvinskj' l6tkou telesnou, pokial'podlieha zmyslovfm kvalit6m, ako napr. teplote, chladu, twdosti apod. L6tkou inteligibilnou nazj'va substanciu, pokial podlieha kvantite. V substancii je teda sk6r kvantita neZ zmyslov6 kvality. Quantitates (disla, rozmery atvary) sri vymedzenim kvantity a m6Zu sa pozorovat' apoznhvaf bezzmyslovlch kvalit , to znameni ako abstrahovan6 od zmyslovej l6tky. '3 Pre Akvinsk6ho je tak matematika vedou o kvantite, ktor6 je abstrahovan6 z konkr6tnych veci. Matematik sa pokri5a uchopit' geometrick6 obrazce alebo disla ako entity oddelen6 od procesov zmeny a pohybu, ktor6mu podlieha Szicky svet.ra Matematick6 entita nie je podobou, obrazom alebo replikou reality, ktor6 existuje mimo l'udskt mysef, ale je naopak ddsledkom I'udskeho sp6sobu pozn6vania veci, ktor6 existujt mimo I'udskri mysel'.r5 Pr6ve Akvinsk6ho udenie o rilohe predstavivosti v matematike je vetmi ddleZit6 pre pochopenie I'udskj'ch mohricnosti. Imaginatio je vnritornj'm zmyslom (sensus interior), ktor!'abstrahuje od zmyslov!'ch kvalit (qualitares). Akvinsk!'si kladie ot|zku, di mdZeme matematick6 entity, ktor6 nie sri zmyslov6, uchopit' prostrednictvom imagin6cie.r6 Matematika je najiste.jSou vedou, pretoZe jej predmety sir oddelen6 od zmyslovej l6tky, ale i napriek tomu sri predstavitelh6.rT Doslovapi5e,

Ze

matematick6 entity ako disla, diary,

geometrick6 itvary a pod. prich6dzajri skrze zmysly (sensus) a st6vajfi sa predmetmi predstavivosti (imaginatio).rs V matematike sa irsudok (iudicium) zavr5uje v imaginativnom akte v tom zmysle, Ze matematicky ninor sapozer6 na ddkazy, ktor6 poskytuj e imagin6cia. e V popise met6dzhkladnlch oborov vied Akvinsky prijal i klasickir terminol6giu Boethia.2o Prirodn6 fiozofta,filosofia naturalls, postupuje rationaI

27

Tomoi Akvinsky o species mothemotico

biliter, matematika postupuje disciplinabiliter (podta spdsobu

udenia)2r

a metafyzika postupuj e intele ctual it er. Ked Akvinskj' piSe, Ze matematika postupuje podl'a spdsobu udenia (disciplina), nepopisuje tak matematickri met6du priamo, ale poukazuje na to, Le matematick6 vedy sa dajir naudit' najjednoduch5ie, a preto sf najpresnej5ie a najistej5ie.22 V matematike teda dosahujeme najviidsej istoty (certitudo) - matematika je istejSia neZ prirodn6 {iozofra,pretoZe abstrahuje od zmyslovfch kvalit materi6lnych veci. Metafyzlka je sice najistej5ia vzhlladom k jednoduchosti jej predmetov, pretoZe tie str viac oddelen6 od zmyslovej l6tky, ale nieje najistej5ou vedou vzhladom k urditej slabosti lludsk6ho intelektu a z podstatnEho d6vodu, Ze objekty metafuziky nie sir priamo poznatetn6. M6Zu byt'poznatelh6 iba s vel'kfmi probl6mami avldy s men5ou istotou neZ matematick6 entity. Akvinsk!'tak citlivo reaguje na prirodzen6 schopnosti dloveka a na hranice I'udsk6ho poznania.

Povalu matematickfch entit je moZne poodhalit' na miestach, kde sa Akvinskj' vysporiadava so zloZirlmi ot|zkami o povahe tudskej duSe. Na otlzke o schopnosti oddelenej dule (anima separata)23 pozn|vat ukazuje,Le matematick6 entity stoja v jeho te6rii uchopovania povahy veci medzi sve-

tom telesnfm, zmyslovym a oblast'ou inteligibilneho. Tirto problematiku naznaduje na niektorj'ch miestach, ktor6 sa tlkajir pr6ve kontextov noetick!ch. Matematick6 entity nie sf zmyslovlimi kvalitami azdrovehnie sit bez l6tkovosti (ako sri napr. ens, unum, potentia alebo actus). Marematick6 entity nemdZu existovat' bez l61*y preto, Le imaterialita matematickfch entit je roz5irenim imateriality intelektu6lnych konceptov prirodnych veci.2a

v

Quaestiones disputatae De Anima reaguje nan6zot,ktory tvrdi, Le Liadna konedn6 sila sa nem6Ze rozprostriet' do nekonedn6ho mnoZstva veci. Ak by sme teda uvaZovali, Ze existuje oddelen6 du5a, tak jej sila je konedn5, pretoZejej esencia, podstataje konedn6, a preto sa nemdZe rozprostriet do nekonedn6ho mnoZstva veci. Ale podet prirodnfch, stvorenfch veci sa m6Ze ch6pat' ako nekonedn!, pretole species disel, tvarov a proporcii je nekonedn6 (infinitas specierum quae est in numeris, figuris et proportionibus).zs Preto du5a nemdZe poznat vSetky prirodn6 veci. Akvinsk6ho reakcia na toto tvrdenie spodiva v tom, Ze tento argument je irelevantnf, pretoZe netrvdme na tom, Ze by duda poznala v5etky stvoren6 veci individu 6lne, Injinitas specierum quae est in numeris, figuris et propor' tionibus nestoji v rozpore s pozn6nim l'udskej du5e. Species tvaru, disla a veci nie je aktu6lne, ale iba potenciSlne nekonedn6. Sila konednej intelektu6lnej podstaty sa mdZe rozprostierat'do nekonednj'ch objektov, pretoZe intelektu6lna slla (virtus intellectiva) je v urditom zmysle nekonedn6, pokial'

Akvinskj'

28

Filosofie iis/o

je obmedzenh l6tkou. Preto m6Ze poznaf obecn6, ktor6 je v urditom zmysle nekonedn6 - ako obecn6 totiZ m6ze podfa svojej povahy potenci6lne obsahovat' nekonedny podet j ednotlivin.26 Akvinsky taktieZ venoval svoju pozornost'zaujimavej otlzke di na matenie

matick6 entity je mozn6 aplikovat' n6uku o tom, Ze kazd6 sricno je dobr6 (bonum chhpanl v tomto kontexte ako jedna z transcendent6lii). M6Zu matematick6 entity vlastnit'dobro?27 ot6zka dobra matematicklich entit je zvlililtnym pripadom Sirsieho metafuzick6ho probl6mu.2s Udenie o transcendent6liach ch5pe prim6me veci, ktor6 majir svoje bytie mimo intelekt prirodzen6 veci, ktor6 sir rozdelen6 podl'a kategorii. preto m6Ze tvrdit', Ze matematick6 entity sir dobr6 na zhklade ich bytia (esse) vo veciach. vlastn6 bytie diary

alebo disla je dobr6, ale v tomto pripade sa uZ nejedn6 o abstraktn6 matema-

tick6 entity, ale o konkr6tne objekty. Na druhej strane sa domnieva, Ze nie je moln6, aby matematick6 entity vlastnili dobro, pretoze ak by matematick6 entity boli oddelen6 od reality, bolo by v nich dobro, totiZ samo ich bytie.2e Ale matematick6 entify nie sri subsistujrice entity, majri oddelenir existenciu iba v rozume. Matematickd objekty st abstrahovan6 od pohybu a l6tky, do ztamenS, Ze sf abstrahovan6 i od ciella(finis),lebo iba to, do sa pohybuje, sa mdZe dostat'k svojmu ciel'u a v Akvinsk6ho n6uke je cief z6rovei dobrom. Predstava finality (konednosti) a dobra je rovnak6. y In III Metaphysicorum30 Akvinskj' pi5e o dobre matematickych objektov odlisne ako v summa Theologiae. Na tomto mieste tvrdi, Le v disle alebo v diare nie je dobro chSpanb s ohl'adom na dobro a koniec. Dobroje v tychto objektoch ch6pan6 ako ich bytie. Preto sa domnieva, Ze je chybn6 tvrdif ,iedobro v matematickjrch objektoch neexistuje. v tejto sfivislosti treba pripomenrit', Ze sa nejedn6 o dve miesta, ktor6 by si odporovali. v kaZdej z uvedenych pasdhi satotii, Akvinsky pozerS na dobro matematic(ich entit z in6ho aspektu. V prvom pripade sazd6, ze matematick6 objekty skutodne nevlastnia dobro, pretoZe sir spojen6 s abstrakciou, ktor6 umoZiluje matematick6 objekty uchopit', ale rovnako abstrahuje od ciel'a (/inis-bonum). v druhom pripade viak Akvinsk! zd6raduje, Ze to, do je dobr6, je dobr6 vd aka svojmu bytiu (esse-bonum).il Z6verom tohoto kr6tkeho prispevku moZno povedat', ze Akvinsk6ho ch6panie disla sa doposial' venovalo m6lo pozornosti a detailnej Eia anallza tohoto probl6mu by prispiela ku komplexnejsiemu pochopeniumatemuiiky u. stredoveku. Matematika nie je vrcholom a ciel'om l'udsk6ho snaZenia, ale v stvorenom univerze odhal'uje kr6su stvoren6ho sveta azrkadlivedn6 formy.32 Tom65 Akvinskf ukazuje na mnohfch miestach L,e jehocestaje smero, vanim k Bohu, k prejavomjeho l6sky a odhalovanim kr6sy vtelenej v dislo, tvar alebo v proporciu. iislo objavuje taktieZ v teologickom kontexte, kde

Akvinskj' zddraziuje nielen absolirtnu jednotu Boha, ale taktieL zjavenie

sa

jedinej boZskej podstaty v troch boZski'ch osob6ch.33

Pozndmky: A. Molland, Colonizing the world for mothematics' The diversity of medieval strategies, rn Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages. Essays in honor of Marshall Clagett, vyd. E. Grant, J. E. Murdoch, Cambridge 1987, str. 45-66. Napriklad problematike symboliky disla 6 pozri Studiu K. White, Creation, Numbers, and Nalures. On Aquinas' Quodlibet 8.1.1 , in: Medie' val Masters. Essays in Memory of Msgr. E. A. Synan, vyd. R. E' Houser, Houston 1999, str. 179-190. 2. V tejto suvislosti je potrebne zddraznit' urdit6 skeslenia ylkladu Akvinsk6ho udenia, ku ktor6mu doch6dzalo predov5etkj'm z ideologickj'ch pridin, napriklad v diele A. Kolmana, Ddjiny matematilqt ve starovdku, preklad M. Hedrlinov6' Praha 1968' 1

. G.

str.193.

3. Aristoteles, Metafuzika 6.1; Boethius, Quomodo trinitas unus Deus ac non tres dii,in PL 64,2-30; J. J. Sanguineti, La Filosofia de la Ciencia segdtn Santo Tbmas, Pamplona 1977, str. 129_212; P. Merlan poznamen6va: ,,The mathematica or quadrivales were also encompassed within the Aristotelian concept of the tripartition of theorethical knowledge, corresponding to the tripartition of being, into physical, mathematical and theological, or the three states or spheres of being, namely of ideas (theological), mathematical and physical, persisted through the Middle Ages and was clearly set forth in the thirteenth century by Thomas Aquinas. It was also in evidence in the tripanite character of the curriculum of the Faculry of Arts at Paris, in the three divisions of natural philosophy into physica, mathematica, and metaphysica (the divine science)." (P. Merlan, From Platonism to Neopldtonism,2.vyd., The Hague 1960, str. 94-95); P. Kirbe, The Boethian De Institutione Arithmetica and the Quadrivium in the Thirteenth Century University Milieu at Paris,in Boethius and the Liberal Arts. A collection of Essays,vyd.M.Masi, Berne 1981, str. 67-80;Commentaries on Boethius by Thierry of Chartes and his School,vyd. N. M. Hiiring, Studies and Texts 20, Toronto, 1971 (Commentum ntper Boethii librum De Trinitatell,l-16, str. 68*73; Lectiones in Boethii librum De Trinitate II, l*14, str. 154-157). 4. Pozri De Trinitate, q. 5-q. 6. J. A. Weisheipl poznamen6va: ,,[The division and methodology ofspeculative sciences] For all the ancients, including Boethius, there are only three generically distinct speculative sciences worth talking about: natural science, mathematics, and metaphysics, each hierarchically distinct from the other by a certain abstraction from matter in such way that mathematics is more abstract than natural science, and metaphysics more abstract than mathematics." (J' A. Weisheipl, Frlar Thomas D'Aquino. His Life, Thought, and Worl