Análise de Estabilidade e Robustez de um Sistema de Controle Fuzzy Otimizado Desenvolvido para Guiar um Robô Simulado

Análise de Estabilidade e Robustez de um Sistema de Controle Fuzzy Otimizado Desenvolvido para Guiar um Robô Simulado Patrick B. Moratori1, Adriano J. O. Cruz1, Emília B. Ferreira1, Márcia V. Pedro1, Laci Mary B. Manhães1 e 2, Leila C. V. Andrade1 e 3, Cabral Lima1, Raquel B. Moratori4 1

Instituto de Matemática / NCE – Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Caixa Postal 68.530 – 21945-970 – Rio de Janeiro – RJ – Brasil 2

Faculdade Salesiana Maria Auxiliadora (FSMA) Rua Monte Elísio s/nº – Macaé – RJ – Brasil 3

Escola de Informática Aplicada da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO) Avenida Pasteur 458 – Urca – Rio de Janeiro – RJ – Brasil 4

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET) Av. Maracanã 229 – 20271-110 – Rio de Janeiro – RJ – Brasil {moratori, emiliabf, marciavp, mmanhães}@posgrad.nce.ufrj.br, {adriano, clima}@nce.ufrj.br, [email protected], [email protected]

Abstract. This work presents an optimized fuzzy system designed based on other control models previously developed. The system guides a simple simulated robot through a virtual world populated with randomly placed obstacles. The main goal was to investigate the performance of a fuzzy controller studying its stability and robustness. This model was quickly engineered and proved to be very successful reaching the goal in all designed tests. The simplicity, easiness of design and robustness of the controller suggests that for many control tasks, it is possible to create a fuzzy system that can perform very well under real conditions. Resumo. Este trabalho apresenta um sistema fuzzy otimizado baseado em modelos de controle previamente desenvolvidos. O sistema permite guiar um robô simulado simples através de um mundo virtual, que contém obstáculos randomicamente distribuídos. O objetivo principal foi investigar o desempenho do controlador estudando sua estabilidade e robustez. Este modelo foi criado rapidamente e provou ter êxito no alcance do objetivo em todos os testes realizados. A simplicidade, a facilidade de construção e a robustez do controlador sugerem que, para algumas tarefas de controle, é possível criar um sistema fuzzy que simule, de forma satisfatória, condições reais.

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1. Introdução O desenvolvimento de modelos que simulem condições reais caracteriza um processo elaborado na criação tanto de software quanto de hardware. Entretanto, a computação provê diferentes possibilidades para delimitar soluções aceitáveis. Assim, aponta-se que a utilização de recursos da lógica nebulosa permite minimizar a implementação destes sistemas, pois um projetista mesmo sem conhecer todas as informações de um contexto específico pode construir um modelo simples, que realize de maneira adequada os tratamentos necessários para o alcance dos objetivos. Esta qualidade fica sugerida, pois um controlador nebuloso foi gerado e testes de estabilidade foram realizados, observando que, mesmo após a extração de uma quantidade razoável de conhecimento do módulo de inferência, êxitos nos resultados ainda eram obtidos. O sistema desenvolvido permitiu guiar um robô simulado através de um mundo virtual com obstáculos randômicos. Na tentativa de simular uma situação real, em que um objeto tenta se mover em um mundo complexo, foram necessárias duas formas de tratamento da informação para configurar tanto o ângulo direção, como também o tamanho do deslocamento em seu percurso (velocidade). Os sensores utilizados pelo robô eram simples, assim o conhecimento do ambiente era limitado. O sistema apresentado neste trabalho foi baseado em modelos previamente desenvolvidos [Moratori et al. 2004, Moratori et al. 2005a, Moratori et al. 2005b]. Ele representou uma otimização das configurações do ambiente, que permitiu ao controlador atingir mais rapidamente o seu objetivo, através de um controle mais adaptável de sua movimentação no mundo virtual. A meta principal foi investigar o desempenho deste controlador fuzzy, estudando sua estabilidade e robustez.

2. Descrição do Modelo y yo φ

yr robô

disto

obstáculos

O B J E T I V O

xo xr xf x Figura 1. Diagrama do mundo virtual com o robô simulado

A figura 1 mostra o mundo virtual com obstáculos e o robô simulado. O controlador permitiu sua movimentação da parede esquerda para a direita, evitando colisões com os obstáculos (fixados randomicamente) e com as outras paredes. O raio do robô é igual a 6 unidades e o de cada obstáculo é igual a 3. O mundo virtual corresponde ao plano [0,200] x [0,100]. O objetivo foi fazer com que o robô atingisse a posição xf=200 em qualquer coordenada y, adequando sua velocidade, de maneira a otimizar a quantidade de movimentações a serem realizadas.

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As três variáveis xr, yr e φ determinam a posição exata do robô. Ele possui sensores que detectam e medem as distâncias aos obstáculos que estão em seu caminho. A figura 1 mostra como são detectadas as possíveis colisões e como se calcula a medida gerada pelo sensor. Se mais de um obstáculo for detectado, somente o mais próximo será considerado (disto). A cada estágio de simulação, o robô se moveu baseado nas seguintes informações: ângulo com a horizontal (φ), distância ao obstáculo mais próximo (disto) e sua coordenada yr. Desta forma, o sistema gerou o ângulo de rotação (θ) e a variável passo (Δ), que permitiram ao controlador atualizar seu posicionamento, estabelecendo seu percurso e sua velocidade. O modelo desenvolvido possui a seguinte estrutura: φ disto yr

Módulo Fuzzy Otimizado

θ Δ

Legenda: φ - Ângulo com a horizontal disto - Obstáculo mais próximo yr - Posição no eixo y θ - Ângulo de rotação Δ - Tamanho do deslocamento

Figura 2. Estrutura do sistema fuzzy otimizado

Foram usadas equações cinemáticas simples similares às descritas por Kosko e Kong (1992), para o problema de dar marcha ré no caminhão. As equações que descrevem o movimento do robô em cada etapa da simulação são: φ' = φ + θ x r' = x r + Δcos (φ' ) y r' = y r + Δsin (φ' )

(1)

Os intervalos das variáveis do sistema, ou seja, o seu universo de discurso, são: 0 ≤ dist o , xr ≤ 200 0 ≤ y r ≤ 100 − 180 o ≤ φ ≤ +180 o − 30 o ≤ θ ≤ +30 o − 0.3 ≤ Δ ≤ +10

(2)

A convenção trigonométrica habitual foi aplicada, assim, os valores positivos de φ e θ representam o sentido anti-horário de rotação do robô e os valores negativos, o sentido horário. O universo de discurso das variáveis é dividido em conjuntos fuzzy que representam a semântica de termos lingüísticos, que são as mesmas informações utilizadas por um especialista para guiar o robô através de um mundo complexo. Os conjuntos fuzzy usam funções que caracterizam um número real entre 0 e 1 para todo elemento x no universo de discurso X. O número μÃ(x) representa o grau para o qual um objeto x pertence a um determinado conjunto fuzzy Ã. Desenvolvedores de sistemas fuzzy, dependendo de suas preferências e experiências, têm usado diferentes funções de inclusão [Cruz 2004, Setnes e Roubos 2000, Yen e Langari 1999, Kosko 1997, Mamdani 1997, Kosko e Kong 1992, Dubois e Widrow 1980]. Na prática, as funções triangulares e trapezoidais são as mais usadas, pois simplificam o processamento e produzem resultados satisfatórios.

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A figura 3 mostra o gráfico das funções de inclusão dos conjuntos fuzzy projetados para o controlador. Os conjuntos PH, ZE e PAH (da variável φ) e os conjuntos GDP, ZE e GEP (de θ) são mais estreitos que os outros, para permitir um controle refinado na tomada de decisões. Assim, se o robô estiver próximo à direção horizontal, ele evita mudanças bruscas em seu sentido, por já estar na direção correta. Foram usados conjuntos mais largos nos extremos para obter um controle mais radical quando o robô não está indo para sua meta. Os conjuntos MP, P e MD (da variável disto) são também estreitos para ajudar o controlador a tomar decisões rápidas. Por sua vez, para a variável Δ, o formato de ZE, ACP e NOR são característicos por necessitar tratar a velocidade mais refinadamente quando colisões forem eminentes. Para construir este sistema otimizado houve pequenas alterações nos tamanhos dos conjuntos das varáveis φ, yr e θ, comparado aos dos sistemas previamente modelados [Moratori et al. 2004, Moratori et al. 2005a, Moratori et al. 2005b]. As mudanças ocorridas foram em: (1) φ para MH, H, AH e MAH; (2) yr para BAIXO e ALTO; e (3) θ para GDP e GEP, representados nos conjuntos sombreados da figura 3.

Figura 3. Funções de inclusão fuzzy para os conjunto das variáveis do sistema

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O controlador, em condições normais, operou baseado somente em informações sobre a distância ao obstáculo mais próximo ou à parede (disto) e o ângulo φ com a horizontal. Assim, a base de regras principal foi composta por 35 regras que permitiram ao robô girar (tanto à direita como à esquerda) e se deslocar (com velocidade variável). A tabela 1 mostra a base de regras usada, identificando em cada célula o respectivo par ordenado das saídas (θ, Δ). Vale considerar que, em relação aos sistemas prévios aconteceram modificações em quatro regras, resultantes das combinações de PAH com MP, PAH com P, AH com MP e AH com P (mostradas nos pares ordenados sombreados da tabela 1). Tabela 1. Base de regras para o controlador do robô φ disto

MH

H

PH

ZE

PAH

AH

MAH

MP

(GEM, ZE)

(GEM, ZE)

(GEM, ZE)

(GE, ZE)

(GE, ZE)

(GE, ZE)

(GDM, ZE)

P

(GEM, ACP)

(GEM, NOR)

(GEM, NOR)

(GE, NOR)

(GE, NOR)

(GE, NOR)

(GDM, ACP)

MD

(GEM, NOR)

(GE, AC)

(GEP, AC)

(GEP, ACM)

(GDP, AC)

(GD, AC)

(GDM, NOR)

L

(GEM, AC)

(GE, AC)

(GEP, AC)

(GDP, ACM)

(GDP, AC)

(GD, AC)

(GDM, AC)

ML

(GEM, AC)

(GE, AC)

(GEP, AC)

(GDP, ACM)

(GDP, AC)

(GD, AC)

(GDM, AC)

Existiram situações particulares em que o robô estava próximo às paredes superior ou inferior, sobre as quais as regras previamente mostradas não o guiavam corretamente. Para resolver este problema foram agregadas duas novas regras que consideram a posição yr do robô. Estas utilizaram somente dois conjuntos fuzzy da variável yr, sendo independentes das outras duas variáveis de entrada, como mostrado a seguir: Se (yr é BAIXO) então (θ é GEM) e (Δ é ZE) Se (yr é ALTO) então (θ é GDM) e (Δ é ZE)

(3)

Pelo fato do controlador possuir um tratamento refinado junto aos obstáculos e paredes, havia situações em que ele se movia lentamente. Assim, foi definido um número máximo de movimentações em seu deslocamento (500 vezes) para evitar um longo tempo de processamento.

3. Testando a Estabilidade A fim de definir os parâmetros adequados para este experimento, o controlador foi testado em diferentes situações para avaliar a sua habilidade em guiar o robô pelo mundo virtual. O número de obstáculos variava entre 1 e 5, randomicamente distribuídos dentro do mundo virtual. Para cada um destes arranjos foram testadas diferentes posições (10) e ângulos iniciais (5) simetricamente distribuídos sobre o universo de discurso de cada variável. O robô sempre parte da parede esquerda. O controlador guiou o robô corretamente à sua meta em todas as situações testadas. Para testar a robustez do sistema foi definido o critério de retirada sucessiva de regras, com a finalidade de monitorar o comportamento do robô durante todas as etapas [Langari e Tomizuka 1990]. Esta análise sugere que, mesmo sem conhecer todo o escopo das possibilidades do problema, o projetista pode montar fácil e rapidamente um sistema de controle estável.

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Para garantir a validade das comparações entre as simulações do experimento foi necessário fixar alguns parâmetros. Assim, definiu-se que o número e a posição dos obstáculos seriam constantes, sendo a escolha de suas configurações feita de maneira a garantir que o robô, independentemente de sua posição inicial, sempre teria pelo menos um obstáculo no seu percurso. Os obstáculos podem ser visualizados na figura 4 (a). Foram definidas 50 posições iniciais combinando os valores de φ (-90º, -45º, 0o, 45º, 90º) e yr (6, 15, 25, 35, … , 85, 94). Entretanto as combinações (6, -45º), (6, -90º), (94, 45º) e (94, 90º) por apresentarem condições iniciais desfavoráveis foram desconsideradas. Cada uma das 46 posições definidas, chamada de amostra, foi processada inicialmente com a base de regras completa. A cada etapa uma regra foi retirada de acordo com um critério pré-definido e ocorreu o reprocessamento das amostras. A figura 4 (a) mostra um exemplo de uma trajetória completa do robô começando com yr =28 e φ=87º, bem como os gráficos com informações do comportamento da variação do ângulo com a horizontal (b) e do deslocamento (c). Vale ressaltar que este exemplo foi realizado sem retirar regras da base de conhecimento.

(a)

(b)

(c)

Figura 4. Exemplo de uma trajetória do robô no mundo virtual com obstáculos (a), variação do ângulo com a horizontal (b) e a variação do deslocamento (c)

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Foi definido um total de 24 diferentes critérios de retirada de regras. Dentre essas, 20 são removidas aleatoriamente e as outras 4 da seguinte maneira: (1) seqüencial por coluna; (2) seqüencial inversa por coluna; (3) periféricas e centrais (células destacadas no centro da tabela 1); (4) centrais e periféricas. Combinando todas as diferentes possibilidades, o experimento possuiu um total de 40848 amostras finais processadas. O experimento foi realizado em um computador equipado com um processador Intel Pentium M710 (1.40 GHz) com 512 MB de DDR SDRAM (2 x 256) usando Matlab 7.0.

4. Simulações e Resultados A estabilidade do controlador, assim como nos experimentos realizados previamente [Moratori et al. 2004, Moratori et al. 2005a, Moratori et al. 2005b], foi analisada nas sucessivas retiradas de regras com base em dois parâmetros: erro de trajetória e número absoluto de amostras que alcançavam o objetivo. O erro de trajetória foi definido como a distância euclidiana da atual posição final xr à posição final desejada xf , para todas as amostras processadas. O robô pára quando colide com uma parede ou obstáculo, o que é considerado uma falha.

(a)

(b)

Figura 5. Média final do erro de trajetória (a) e do desvio padrão (b)

A média geral do erro de trajetória é mostrada na figura 5 (a). Pode-se observar também, nesta figura, o comportamento de duas simulações particulares (S11 - Critério aleatório de retirada e S21 - Critério seqüencial de retirada) que fizeram parte da composição final desta mesma média. Adicionalmente, para uma melhor interpretação da análise deste parâmetro, é mostrado o desvio padrão (b) para estimar a dispersão da média. Observou-se que os valores do erro foram incrementados, quando ocorreram as sucessivas retiradas de regras da base de conhecimento. O comportamento das amostras, nos diferentes critérios de remoção, não foi uniforme, pois o valor do desvio padrão sofreu um crescimento considerável, ou seja, o seu tamanho em relação aos valores da média foi relativamente alto.

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Figura 6. Média final da quantidade de amostras que atingiram o objetivo

A figura 6 representa a quantidade de amostras que atingiram a meta nas sucessivas retiradas de regra. Estes dados são relevantes, pois permitem medir diretamente o grau de acerto do controlador. Para a retirada de até 7 regras, 76,09% de todas as amostras conseguiram atingir o seu objetivo. Após a remoção de 13 regras aproximadamente 50% das amostras ainda eram bem sucedidas. Foi observado que a restrição imposta de configurar um número máximo de 500 movimentações não foi necessária neste sistema otimizado, ou seja, nenhuma amostra ficava estagnada junto a uma dificuldade encontrada no mundo virtual. Analisando as características das amostras que atingiam o objetivo final, observou-se que não havia uma predominância de posições favoráveis de saída do robô, pois como colocado previamente, todas as configurações de saída apresentavam algum tipo de dificuldade durante seu percurso no mundo virtual.

Figura 7. Quantidade de amostras que atingiram o objetivo, segundo o critério aleatório de remoção

A figura 7 mostra a quantidade de amostras que atingiram o objetivo quando uma ordem de remoção aleatória foi aplicada (critério aleatório nº 20). Existe uma diminuição acentuada na retirada da 14ª regra. Este comportamento não se repetiu quando a mesma regra era retirada segundo outros critérios de remoção, mas este mesmo padrão aconteceu para outras regras. Este comportamento sugere que a importância de uma regra é determinada pela ordem e pela quantidade de regras que já

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foram previamente removidas. É interessante notar ainda que após remoção da próxima regra (15ª), o número de resultados positivos aumentou novamente. Assim, algumas regras possuem um efeito inibitório (ou positivo) em alguns comportamentos e após a sua remoção o robô fica livre (ou impedido) para tomar um conjunto particular de decisões. Uma outra análise interessante refere-se a ordem de retirada de dois grupos característicos de regras: periféricas e centrais. A figura 8 mostra a quantidade de amostras que alcançaram a meta quando as regras foram retiradas na seguinte ordem: (a) periféricas/ centrais e (b) centrais /periféricas.

(a)

(b)

Figura 8. Quantidade de amostras que atingiram o objetivo, segundo critérios específicos de remoção

O estudo comparativo dos gráficos da figura 8 (a) e (b) evidencia diferenças perceptíveis entre o desempenho das amostras. De forma geral, o grau de sucesso das amostras para o gráfico 8 (a) é maior que o gráfico 8 (b). Também foi verificado que em nenhum outro critério de remoção realizado, ocorreu um comportamento tão abrupto, quando 7 regras haviam sido retiradas. Assim, tal análise aponta que para esse sistema em particular, existe uma suposta importância das regras centrais. Vale ressaltar, mais uma vez, que a relevância de um conjunto regras é dada pelo contexto presente no experimento, ou seja, deve-se considerar a quantidade de remoções já realizadas, a ordem desta remoção, o caráter inibitório (ou positivo) das regras e as configurações específicas do ambiente, como, por exemplo, a quantidade e as posições dos obstáculos. Para elucidar a otimização realizada neste sistema, é mostrada, a seguir, uma tabela comparativa entre a configuração atual e a desenvolvida anteriormente [Moratori et al. 2005b], com informações sobre os resultados observados em relação às seguintes características: a média, o menor e o maior número de deslocamentos realizados por quem atinge o objetivo; o tempo total de processamento e a quantidade de amostras que ficaram estagnadas no percurso.

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Tabela 2. Dados comparativos entre dois sistemas de controle fuzzy

Passos (unidades)

Característica

Controlador Fuzzy Prévio [Moratori et al. 2005b]

Controlador Fuzzy Otimizado

Quantidade média de deslocamentos realizados pelas amostras, quando as mesmas alcançavam o objetivo final

79

65

Menor quantidade de passos realizados pelas amostras que chegavam à meta

36

35

Maior quantidade de passos realizados pelas amostras que chegavam à meta

437

298

5139.45

4124.05

53

Ausente

Tempo (segundos)

Tempo total de processamento experimento para todas as simulações

do

Amostras (unidades)

Quantidade de amostras que estagnaram no experimento pelo controle de realizar no máximo 500 movimentações

A tabela 2 evidencia os ganhos obtidos pelo sistema atual em todas as características analisadas. O número médio de deslocamentos necessários para atingir o objetivo foi reduzido, bem como o tempo exigido para o processamento das amostras. Os tratamentos do sistema otimizado foram mais adequados, pois a ausência de amostras estagnadas indica que controlador não ficou demasiadamente envolvido nos tratamentos de colisão de forma a comprometer sua eficiência.

5. Considerações Finais Neste trabalho foi verificada a estabilidade de um controlador fuzzy otimizado usado para guiar um robô por um mundo virtual com obstáculos. O controlador era simples e foram usados poucos sensores para obter as informações necessárias ao seu processamento. O ambiente simulou um comportamento aproximado ao modelo real, pois permitiu ao robô realizar uma variação de velocidade e decidir a direção de seu percurso. O sistema foi criado rapidamente e provou ter êxito no alcance do objetivo em todos os testes realizados. O controlador continuava a atingir sua meta mesmo após a retirada de quase 20% da base de regras, considerando que aproximadamente 77% das amostras ainda atingiam a parede direita do mundo virtual. Confirmou-se, então, que o projetista não necessariamente necessitava possuir todas as informações do ambiente para construir um modelo robusto. Salientou-se que a relevância de um conjunto de regras é dada pelo contexto presente no experimento, ou seja, considera-se a quantidade de remoções já realizadas, a ordem desta extração, o caráter inibitório (ou positivo) das regras e as configurações específicas do ambiente, como, por exemplo, a quantidade e as posições dos obstáculos. A otimização foi constatada, visto que houve uma redução de aproximadamente 20% tanto para a quantidade de deslocamentos realizados, quanto para o tempo necessário para o processamento do experimento. A ausência de amostras estagnadas indica que controlador não ficou demasiadamente envolvido nos tratamentos de colisão de forma a comprometer sua eficiência. As diretivas aplicadas trouxeram resultados mais satisfatórios, vislumbrando uma possível continuidade do estudo em uma futura transposição do simulador para um modelo da robótica. A simplicidade, facilidade e robustez sugerem que para algumas tarefas de controle, é possível XXXII SEMISH

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desenvolver sistemas fuzzy que simulem de maneira satisfatória condições do mundo real.

Agradecimentos Os autores agradecem as contribuições do Instituto de Matemática – Núcleo de Computação Eletrônica – Universidade Federal do Rio de Janeiro por disponibilizar uma bolsa de estudo a um dos membros deste grupo de pesquisa.

Referências Moratori, P. et al. (2005a), “Analysis of the performance of a Fuzzy Controller developed to guide a simulated robot”, Proceedings of the 2005 IEEE 3rd International Conference on Computational Cybernetics (ICCC 2005). Moratori, P. et al. (2005b), “Analysis of stability of a Fuzzy Control System developed to control a simulated robot”, Proceedings of the 2005 IEEE 14th International Conference on Fuzzy Systems (FUZZ-IEEE 2005). Moratori, P. et al. (2004), “Analysis of Sensitivity and Robustness to a Fuzzy System developed to guide a Simulated Robot through a Virtual World with Obstacles”, Proceedings of the 2004 IEEE 4th International Conference on Intelligent Systems Design and Applications (ISDA 2004), pp. 283-286. Cruz, A. (2004) “Lógica Nebulosa.” Disponível na internet via http://equipe.nce.ufrj.br/adriano/fuzzy/apostila.pdf. Arquivo consultado em 2004. Cruz, A., Demasi, P. e Lima, J. (2003) “Jogos Educativos Inteligentes: Ferramentas de Suporte.” Sociedade Brasileira de Computação. Simpósio Brasileiro de Informática na Educação: Minicursos. Rio de Janeiro, 2003, v. 1, p. 93-126. Cruz, A., Franco, C. e Vidal, L. (2002) “A Validity Measure for Hard and Fuzzy Clustering derived from Fisher's Linear Discriminant”, Proceedings of the 2002 IEEE 11th International Conference on Fuzzy Systems (FUZZ-IEEE 2002). Honolulu. Piscataway, NJ, USA: IEEE, 2002. v. 1, p. 1493-1498. Setnes, M. e Roubos, H. (2000) “GA-Fuzzy Modeling and Classification: Complexity and Performance”, IEEE Transactions an Fuzzy Systems. v.8, n.5, October, 2000. p. 509-521. Yen, J. e Langari, R. (1999) “Fuzzy Logic: Intelligence, Control and Information”, Prentice Hall, Englewod Cliffs. Kosko, B. (1997), “Fuzzy Engineering”, Prentice Hall, Upper Saddle River. Mamdani E. (1997), “Application of Fuzzy Logic to Approximate Reasoning using Linguistc Synthesis”, IEEE Transactions on Computers, vol. C-26, nº 12, pp. 11821191. Jang, R. J., Sun, C. e Mizutani, E. (1996) “Neuro-Fuzzy and Soft Computing: A Computational Approach to Learning and Machine Intelligence”, Prentice Hall, Englewod Cliffs. Kosko, B. (1993) “Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic.” London: Flamingo, 1993.

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1714

Wang, L. e Mendel, J. (1992) “Generating Fuzzy Rules by Learning from Examples”. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. v.22, n.6, November / December, 1992. p. 1414-1427. Kosko, B. e Kong, S. (1992) “Comparison of Fuzzy and Neural Truck Backer-Upper Control Systems”, In: “Neural Networks and Fuzzy Systems: A Dynamical Systems Approach to Machine Intelligence”, Prentice Hall, Englewod Cliffs, NJ: 1992, p.339. Langari, G. e Tomizuka, M. (1990) “Stability of fuzzy linguistic control systems” Proceedings of the 1990 29th Conference on Decision and Control, pp. 2185-2190. Nguyen, D. e Widrow, B. (1989), “The Truck Backer-Upper: An Example of SelfLearning in Neural Networks”, Proceedings of International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN-89), vol II, pp. 357-363. Dubois D. e Widrow B. (1980), “Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications”, Academic Press, Orlando. Zadeh, L. (1965) “Fuzzy Sets”. Information and Control. v.8, n.3, 1965. p.338-353.

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