Arithmetica Probabilitas

Arithmetica Probabilitas H.M. de Oliveira, R.J. de Sobral Cintra, R.M. Campello de Souza Universidade Federal de Pernambuco, UFPE

Este trabalho caminha da direção de uma “aritmetização” da teoria de probabilidades. A idéia é explorar a relação entre a função zeta de Riemann e a medida de conjuntos de inteiros. Mostra-se que qualquer subconjunto dos números naturais é mensurável. Interpretações para a medida introduzida são mostradas, assim como propriedades interessantes. Em particular, visando aproximar esta teoria com implementações práticas (tipo Eletrônica), estabelece-se os rudimentos de uma teoria para circuitos geradores de conjuntos. 1

INTRODUÇÃO A Teoria da medida: ferramenta decisiva em Matemática e Estatística. Medida de Lebesgue => grande avanço na teoria da integração. Embora a potência da análise real seja incontestável, há um incontável número de situações nas quais a teoria dos números é imprescindível.


O domínio dos computadores digitais é limitado ao anel de racionais diádicos.
A observação direta do mundo físico produz apenas números exatamente como os que os computadores digitais podem usar.

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Leopold Kronecker e o “infinito completo”:

>

Ele propunha a “aritmetização” da matemática, assegurando:

“E se eu não for capaz de fazê-lo, será realizado pelos que me seguirão”.

Vale a citação mais conhecida de Kronecker: "God created the integers, all else is the work of man.”

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Como aproximar a teoria dos números e probabilidade?

Esta ligação foi objeto de fascinação de matemáticos como

Hardy, Littlewood, Erdös, Kac e Pólya,

para citar alguns ou modernamente, Golomb e Chaitin, por exemplo.

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Considere os inteiros divisíveis por ambos p e q (primos). Ser divisível por p e q equivale a ser divisível por p.q e conseqüentemente a densidade deste novo conjunto é 1/p.q. Ora, 1/p.q=(1/p).(1/q) e isto pode ser interpretado dizendo que os eventos “ser divisível por p” e “ser divisível por q” são independentes. Isto se verifica para todos os primos, daí de forma burlesca e não rigorosa, os números primos estão envolvidos com probabilidades! Esta observação simplória, beirando o trivial, é o ponto de partida de um novo desenvolvimento que pode ligar a teoria dos números com a teoria da probabilidade. [KAC, 1959]

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Seja Ω:= o conjunto dos números naturais, um espaço amostral, munido de uma densidade de probabilidade uniforme sobre todos os elementos de . O conjunto das partes A=P( ) forma uma álgebra (σ-álgebra) com relação a união e complementos entre conjuntos. Conjuntos possíveis da álgebra incluem, por exemplo, A0:= ∅, A1:={1,2,3,...}, A2:={1,3,5,7,...}, A3:={1,2,3} A4:={1,2,3,5,8,13,21...} A5:={2,3,5,7,11,13,17,19,23,...}(conjunto dos primos), A6:= {5,7,10,12,15,17,20,...}={5n ou floor  10n2+ 5  , n∈ } A7:= { ceil 3n2+ 1  , n>1}, etc. 6

A medida de probabilidade µ definida sobre esta estrutura permite construir um espaço de probabilidades ( ,P( ),µ). A “Aritmetização” de Medidas Físicas Medições sobre o conjunto dos reais requerem infinitamente muitos bits para especificar sua expansão binária.


O conjunto L de valores medidos de uma dada variável física tem sempre precisão limitada.


A menor discriminação possível é referida como um quantum.

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Se o quantum Q é um número racional, então (∃k) inteiro positivo tal que k.Q é um inteiro e o conjunto k.L⊂ .

Exemplo: tensões medidas entre 0 e 5V com quantum de 0,5V; possíveis resultados são L={0, 0,5, 1.0, 1.5,...,4.5, 5.0}. Neste exemplo, 2L é subconjunto de . Há duas facetas para encarar medições no “mundo físico”:
Ou os números reais ocorrem na natureza, mas não se consegue obter medidas com exatidão ilimitada (incerteza inerente).
Ou a escolha da precisão especifica tudo o que se precisa conhecer, pois embora a medição possa não incorporar incerteza, há limitação na complexidade da medição.

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Definição de Medida sobre Conjunto de Inteiros. Definição 1. ∀A ∈ P( ), subconjunto enumerável dos naturais (finito ou não), seja ∑

lim

1

n∈ A n ∞ 1

µ s ( A) := µ ( A ) : µ ( A ) = s ∀A ∈ , em que s →1 + ∑

n =1n

s

∑

=

1

n∈ A n

s

ζ ( s) , s>1.

s

ζ(.) denota a função zeta de Riemann. A necessidade de incluir s>1 advém da não convergência da série harmônica. Note que para s=0, a medida poderia ser usada para conjuntos enumeráveis A⊆{1,2,3,...,N}:= T de cardinalidade finita, resultando na clássica interpretação

∑1

µ 0 ( A) =

n∈ A T

∑1

=

|| A || T

.

|| N ||

n∈1

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O espaço definido pela tripla é um espaço de probabilidades de Kolmogorov. Os axiomas A2 ( µ ( A) ≥ 0 ) e A3 ( µ (Ω) =µ( )=1) são prontamente verificados.

A medida é aditiva (A4), i.e., para conjuntos disjuntos A ∩ B = ∅ , tem-se

∑

µ ( A ∪ B) = µ ( A) + µ ( B) , pois

1

∑

1

∑

1

n s = n∈ A n s + n∈B n s ζ ( s) ζ ( s) ζ ( s) .

n∈ A∪ B

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Algumas Conseqüências Triviais. i) µ (∅) = 0 , pois µ (∅ ∪ N ) = 1 . ii) monotonicidade – ∀A ⊂ B ⇒ µ ( A) ≤ µ ( B ) . iii) µ ( B − A) = µ ( B) − µ ( A ∩ B) c iv) µ ( A ) = µ ( N − A) = µ ( N ) − µ ( N ∩ A) = 1 − µ ( A) .

Propriedade 1. Todo subconjunto próprio A⊂ com número finito de elementos, ||A||1, n∑ s ∈A n

≤

1 ∑ = K