Avaliação de máximo carregamento pela análise comparativa de ferramentas estática e dinâmica

AVALIAÇÃO DE MÁXIMO CARREGAMENTO PELA ANÁLISE COMPARATIVA DE FERRAMENTAS ESTÁTICA E DINÂMICA RICARDO MOTA HENRIQUES 1, 2, ZULMAR SOARES MACHADO JUNIOR 2, ALESSANDRO MANZONI 2, GLAUCO NERY TARANTO 2, DJALMA MOSQUEIRA FALCÃO 1 1

2

CEPEL – Centro de Pesquisas de Energia Elétrica Av. Um, s/no, Ilha do Fundão – CEP 21941-590 Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Programa de Engenharia Elétrica, COPPE – Universidade Federal do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia, Bloco H – Caixa Postal 68504 – CEP 21945-970 Rio de Janeiro, RJ, Brasil Emails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract – To quantify the maximum loadability of an electric power system, one can rely either on static computational tools, like the continuation power flow, or on dynamic time simulation tools, like the full time-domain simulation or the fast timedomain simulation. The objective of this paper is to compare the results obtained with a continuation power flow, a full timedomain simulation and a fast time-domain simulation, in the search of the maximum loadability of a small test system. The results of the paper become more comprehensive with calculation of the system eigenvalues for each equilibrium point during the fast time-domain simulation. The results are obtained in an integrated computational framework, with graphical user interface, based on object-oriented modeling. Keywords – Continuation Power Flow, Fast and Full Simulation, Voltage Stability Resumo – Para avaliação do máximo carregamento em um sistema elétrico de potência (SEP), pode-se utilizar ferramentas computacionais estáticas, como o fluxo de potência continuado (FPC), ou ferramentas de simulação dinâmica no tempo, tais como a simulação completa (SC) e a simulação rápida (SR) no domínio do tempo. O objetivo deste trabalho é comparar os resultados obtidos com o FPC, SR e SC, na busca do máximo carregamento de um pequeno sistema teste. Os resultados deste artigo se tornam mais abrangentes com o cálculo e a análise dos autovalores do sistema para cada ponto de equilíbrio obtido durante a SR. Os resultados são extraídos de uma ferramenta computacional integrada, com interface gráfica, baseada na modelagem orientada a objetos. Palavras-chave – Fluxo de Potência Continuado, Simulação Rápida e Completa, Estabilidade de Tensão

1

Introdução

A questão da estabilidade de tensão em um sistema elétrico de potência (SEP) cobre uma grande variedade de fenômenos. Por isso, a estabilidade pode ter diferentes significados. A estabilidade de tensão pode ser um fenômeno rápido que envolve motores de indução, cargas tipo ar condicionado ou elos DC. Pode ser um fenômeno lento que envolve, por exemplo, transformadores com tap variável. Para cada tipo de discussão em torno da estabilidade de tensão, há sempre o debate se a análise deve ser feita com uma metodologia estática ou dinâmica. A instabilidade de tensão ou colapso de tensão é um processo dinâmico. A palavra “estabilidade” implica em um sistema dinâmico e o SEP é um sistema dinâmico. Um SEP, em um dado ponto de operação e sujeito a um dado distúrbio, tem estabilidade de tensão se as tensões próximas às cargas atingem valores de equilíbrio após este distúrbio. A instabilidade de tensão pode ocorrer em um espaço de tempo que vai de uma fração de segundos até dezenas de minutos. A classificação da estabilidade de tensão pode ser de transitória até de médio e longo termo (Van Cutsem,1994). As formas mais lentas da instabilidade de tensão são usualmente analisadas como problemas de regime permanente. A simulação do fluxo de carga é o método de estudo mais tradicional. Além disto, dois

outros métodos baseados no fluxo de carga são largamente utilizados: a curva P x V (FPC) e a curva Q x V. Contudo, estes métodos não modelam apropriadamente os efeitos cronológicos provenientes da ação de controles lentos. Quando se faz a avaliação da estabilidade de médio e longo prazo, pode-se ter resultados irreais sobre as margens de carregamento. Um método de simulação no tempo foi proposto na qual as dinâmicas transitórias que não influenciam a estabilidade de médio e longo prazo são desprezadas (Van Cutsen,1995;Van Cutsem, 1996). Este método será denominado de Simulação Rápida (SR). Se não forem desprezadas as dinâmicas transitórias no tempo, tem-se então uma a Simulação Completa (SC), realizada através da integração numérica de todo o conjunto de equações algébricodiferenciais que representam o sistema. Este artigo propõe-se a fazer um estudo comparativo entre as ferramentas estática e dinâmica (rápida/ completa) na avaliação do máximo carregamento para um pequeno sistema teste com cinco barras. Com os resultados obtidos, deseja-se evidenciar as potencialidades e diferenças inerentes de cada metodologia. 2

Metodologia

São três as metodologias a serem comparadas neste artigo. Estes métodos são apresentados sucintamente nesta seção.

2.1 Fluxo de Potência Continuado

A utilização de um método de continuação permite se obter todas as soluções possíveis do problema de fluxo de potência (Seydel,1988;Kundur,1994). A singularidade existente da matriz Jacobiana montada a partir da formulação tradicional do problema é eliminada a partir de uma pequena reformulação, que consiste na inclusão de uma nova variável (γ) nas equações não-lineares do problema de fluxo de potência, representando o aumento no carregamento do sistema. Um método de continuação consiste de duas etapas básicas: estimativa e correção (Figura 1). A etapa de estimativa é feita através de um vetor tangente à função, enquanto que a solução exata é obtida na etapa de correção, que usa o método formal de solução do problema de fluxo de potência. No início, a correção é realizada com o carregamento mantido fixo. Na região próxima ao ponto crítico, a tensão cujo módulo possui maior variação é fixado para que se efetue a correção (Ferraz, 1998). Tensão na Barra

Estimativa

Correção

γinicial

Carregamento do Sistema (γ)

γmáximo

Figura 1 – Método da Continuação

2.2 Simulação Completa

A SC consiste basicamente na simulação no domínio do tempo e é a que produz a resposta mais fidedigna do comportamento dinâmico real do sistema. Sua aplicabilidade está na necessidade de se estudar um fenômeno dinâmico com o maior detalhamento possível. Para obtenção da resposta no tempo em uma SC, é realizada a solução de um conjunto de equações algébrico-diferenciais não lineares através de um método numérico. Estas equações descrevem o comportamento dinâmico do sistema: x& = f ( x, y )

0 = g ( x, y )

(1)

onde x é o vetor de variáveis de estado e y é o vetor das variáveis algébricas, e f e g são vetores de funções não lineares que descrevem, respectivamente, as equações diferenciais que modelam os elementos dinâmicos do sistema e as equações algébricas que modelam a rede. Na SC são utilizados métodos de integração numérica que permitem transformar as equações diferenciais em algébricas em cada passo da trajetória no tempo, o

que permite que estas sejam trabalhadas como as demais equações algébricas da rede analisada. Os modelos de equipamentos e de controles do sistema com atuação lenta devem ser representados quando se faz um estudo de médio e longo prazo (poucos segundos até horas). Isto também se aplica aos equipamentos de ação discreta, como os transformadores com tap automático (LTC). Logo, o conjunto total de equações consideradas deve ser: x& = f ( x, y, z ( k ) )

0 = g (x, y, z ( k ) )

(2)

z ( k +1) = h( x, y, z ( k ) )

Onde z é o vetor das variáveis com ação discreta e h é o vetor de funções de controle (Manzoni,2002). 2.3 Simulação Rápida

Em geral, nos estudos de estabilidade de tensão, os fenômenos envolvidos são de ação lenta e conduzidos pelos equipamentos de ação discreta e pela variação da carga. Logo, podem-se desprezar as dinâmicas transitórias e substituí-las por equações de equilíbrio: 0 = f ( x, y , z ( k ) )

(3)

Esta simplificação deu origem a um método de simulação rápida baseado na condição de quase regime permanente para dinâmicas de longo prazo (Van Cutsem,1995;Van Cutsem,1996). Este método consiste no cálculo sucessivo de pontos de equilíbrio sobre a trajetória determinada pela carga e pelos dispositivos de atuação lenta. O método de NewtonRaphson é utilizado para calcular os novos pontos de equilíbrio sobre o seguinte conjunto de equações: 0 = f ( x, y , z ( k ) ) 0 = g (x, y, z ( k ) )

(4)

z ( k +1) = h( x, y, z ( k ) )

Ao se considerar as dinâmicas lentas como sendo instantâneas e estáveis, o uso da integração numérica torna-se desnecessária. Aliado a isto, com a variação suave da carga e simplificações na representação de componentes dinâmicos, faz-se com que este tipo de metodologia seja computacionalmente muito eficiente. Contudo, estas aproximações no modelo dinâmico não permitem a detecção dos fenômenos dinâmicos transitórios, o que torna o método susceptível a deduções equivocadas quanto à garantia de estabilidade do sistema. Por isto, uma modificação no método FDS (Fast Dynamic Simulation) é introduzida para permitir a observação deste tipo de fenômeno, criando o método denominado EFDS – Enhanced Fast Dynamic Simulation – (Mazoni,2002), que permite calcular os autovalores para cada ponto de equilíbrio (Martins,1986).

2.4 Compatibilidade dos limites no FPC, SR e SC

P = 100 MW

Para compatibilizar os limites de potência reativa na simulação estática com os limites de corrente de campo nas simulações dinâmicas, calculado-se o valor de corrente nominal de campo dos geradores, de acordo com os dados do sistema teste (Figura 2). Dados os valores de potência nominal e fator de potência nominal, a corrente nominal de campo é obtida através das seguintes equações: Ia =

P2 + Q2 Vt

(5) (6)

eq = Vt ⋅ cos σ

(7)

id = I a ⋅ sin(φ + σ )

(8)

iq = I a ⋅ cos(φ + σ )

(9)

eq + ra ⋅ iq + xd ⋅ iq xad

( 10 )

Os limites de potência reativa, uma vez determinada a corrente nominal de campo, são obtidos através das seguintes equações (Lof, 1995): Qgest,max/ min = ± Vt 2 ⋅ I a2,max − P 2

Qgrot,max =

V 2 ⋅ E2 Vt 2 ± t 2 q ,max − P 2 xd xd 3

Sbase = 150 MVA cos φ = 0.85

j 0.14 pu

j 0.14 pu

P = 20 MW j 0.20 pu

j 0.18 pu j 0.18 pu

Sbase = 50 MVA cos φ = 0.85

120 MW

Figura 2 – Sistema teste de 5 barras

⎛ x q ⋅ I a ⋅ cos φ − ra ⋅ I a ⋅ sin φ ⎞ ⎟ σ = tan −1 ⎜⎜ ⎟ ⎝ Vt + ra ⋅ I a ⋅ cos φ + x q ⋅ I a ⋅ sin φ ⎠

i fd =

j 0.07 pu

( 11 ) ( 12 )

Resultados

Para efeito de comparação entre as metodologias, o foco do problema será a questão da estabilidade de tensão através da avaliação da margem de carregamento frente a uma rampa de carga. Serão avaliadas as diferenças, vantagens e desvantagens inerentes a cada uma das metodologias. Para simulação estática, será utilizado um incremento constante da carga até que seja alcançado o ponto da bifurcação sela-nó. Na simulação dinâmica, será aplicada uma rampa de carga até que seja obtido o ponto de máximo carregamento do sistema. O sistema utilizado nesta avaliação é composto de 2 barras de tensão controlada (1 tipo PV e 1 tipo Vθ) e 3 barras do tipo PQ, sendo que toda a carga do sistema está concentrada em apenas uma barra dentre as 3 do tipo PQ (Gomes,2001). Na Figura 2 encontrase o sistema considerado. Os resultados foram obtidos usando o programa FastSim++, que usa conceitos avançados de modelagem orientada a objetos em C++ voltados para SEP (Falcão,2002).

Para melhor identificação das barras, foram designados nomes relacionados com a numeração dada na Figura 2, de acordo com a Tabela 1 abaixo. Tabela 1 – Nomes de identificação das barras Número 1 2 10 20 30

Tipo Vθ PV PQ PQ PQ

Nome Maq1 Maq2 Barra Term 1 Barra Term 2 Barra PQ

3.1 Fluxo de Potência Continuado (FPC)

O FPC consistiu da solução sucessiva de casos de fluxo de potência com pequenos passos de incremento da carga até a interrupção do processo por um caso não convergente ou divergente. Embora este processo não caracterize um FPC típico, seus resultados são muito próximos aos encontrados para um FPC tradicional. O valor inicial da carga é de 120 MW e foi realizado o FPC utilizando-se um incremento automático de carga de 0,12 MW na carga da barra 30. A carga máxima foi de 252 MW (Figura 3). 1,025

0,971

0,918

0,864

V, Maq1 V, Maq2 V, Barra Term 1 V, Barra Term 2

1 2 3

V, Barra PQ 0,811 1,2 1,33 1,46 1,6 1,73 1,86 1,99 2,13 2,26 2,39 2,52 Carga Barra PQ (p.u.)

Figura 3 – Perfil de Tensão no Sistema para o FPC

Na Figura 4 é apresentada a trajetória de um autovalor da matriz Jacobiana do fluxo de potência durante a simulação no FPC. Através dos pontos de operação marcados como 1, 2 e 3 na Figura 3, podese notar no autovalor correspondente na Figura 4 que à medida que a tensão na barra 30 está afundando, sua trajetória segue como indicado na seta, ou seja, em direção à origem sob o eixo real.

imaginary part

1

2

3 0

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1 0,12 real part

0,14

0,16

0,18

0,2

Figura 4 – Cálculo dos autovalores durante o FPC 0,918

Q, Maq1 Q, Maq2

0,715

3.2 Simulação Rápida com Autovalores (SR)

A rampa de carga ajustada para SR se inicia no instante zero com a carga inicial de 120 MW e termina em 60 segundos com 2,3 vezes o valor inicial (276 MW). A seguir tem-se o resultado para a rampa na SR, calculando-se os autovalores em cada ponto de equilíbrio, para avaliação da estabilidade transitória (Figura 8, Figura 9 e Figura 10). Os limites de corrente de armadura para os geradores do sistema teste são desconsiderados. 1,025

0,511 0,965

0,308 0,104 1,2

1,37

1,53

1,7 1,86 2,03 2,19 Carga Barra PQ (p.u.)

2,36

2,52

0,905

V, Maq1 V, Maq2 V, Barra Term 1

0,844

Figura 5 – Potência Reativa nas barras PV no FPC

V, Barra Term 2

No FPC, os geradores 1 e 2 são modelados como barras Vθ e PV respectivamente. Vê-se que a tensão na barra do gerador 2 permanece constante até que seu limite máximo de potência reativa é atingido, conforme está na Figura 5. Como a barra do gerador 1 é a barra de referência, sua tensão permanece fixa.

Max = 240 MW

V, Barra PQ 0,784 0,

8,

16,

24, Tempo (s)

32,

40,

48,

Figura 8 –Tensão no sistema teste durante a SR 2,11 Ifd, Maq1 Ifd, Maq2

Quando o gerador 2 atinge seu limite e se transforma em barra PQ, há um autovalor que se aproxima da origem (Figura 4, ponto 1), demonstrando que a matriz está se tornando singular, o que provoca uma queda mais acentuada na tensão. O incremento na carga é assumido de maneira proporcional pelos 2 geradores. Na Figura 6 e na Figura 7 estão os resultados para a mesma simulação no programa de FPC do ANAREDE (Alves,1999), confirmando os resultados obtidos.

1,86

1,61

1,35

1,1 0,

8,

16,

24, Tempo (s)

32,

40,

48,

Figura 9 – Ifd dos geradores durante a SR 47 s

1,025

0,89

0,754

V,

1 Maq1

V,

2 Maq2

V, 10 Barra Term 1 0,619

V, 20 Barra Term 2 V, 30 Barra PQ

0,484 120

147

174 202 Carregamento (MW)

229

256

Figura 6 – Perfil de Tensão no FPC do ANAREDE 225

172

Q,

1 Maq1

Q,

2 Maq2

Figura 10 – Curva da capacidade do gerador 1

119

65

12 120

147

174 202 Carregamento (MW)

229

Figura 7 – Potência Reativa no FPC do ANAREDE

256

Pode-se observar que na Figura 8, as tensões nas barras de geração não permanecem fixas enquanto os geradores se mantêm dentre os seus limites de potência reativa, em função da representação do regulador automático de tensão (RAT), que possui um “droop” para a tensão controlada. Isto terá influência no valor de máximo carregamento. Outro aspecto relevante é a presença do OEL

Para melhor observação do caso na SR, foi feita a análise dos autovalores para alguns instantes de tempo importantes. Na Figura 11 tem-se os autovalores até o instante t = 33 segundos. Nota-se que há um par de pólos complexos que passa para o semi-plano direito (em vermelho), o que indica uma instabilidade oscilatória. Porém o que se observa é que o perfil de tensões do sistema permanece estável, como está na Figura 8. O efeito desta instabilidade não é detectado na SR.

46 s

20 15 10 imaginary part

(“overexcitation limiter”), que é determinante no processo de colapso, pois quando este tenta trazer a corrente de campo para seus limites (Figura 10), há um impacto imediato na corrente de campo (Figura 9) e conseqüentemente há um afundamento rápido da tensão (Figura 8). O instante onde ocorre o início da atuação do OEL no gerador 1 é quando a trajetória atinge a curva de limite de corrente de campo. Como o mesmo é temporizado, sua atuação é percebida mais tarde, ou seja, no ponto que mostra a quebra na trajetória da tensão na barra PQ da Figura 10 (em 47 segundos). Imediatamente o gerador 2 tenta suprir a deficiência de potência reativa causada pela limitação da máquina 1. Na Figura 10, na linha composta de setas tem-se a trajetória do pontos de operação na curva de capacidade do gerador 1.

47 s

47 s

5 0 -5 -10

48 s

-15 -20

46 s 0

10

20

30

40

50

60

70 80 90 100 110 120 130 140 150 real part

Figura 12 – Autovalores em 46, 47 e 48 segundos na SR

3.3 Simulação Completa (SC)

Nesta última etapa é feita a SC, isto é, serão mantidas todas as equações diferenciais, sem simplificações. Para a solução do conjunto das equações algébricas e diferenciais, o método utilizado é o simultâneo. Os dados utilizados são os mesmos da SR. Considera-se como ponto de máximo carregamento o último ponto obtido pela simulação. 1,027

0,987

20 15

0,946

imaginary part

V, Maq1 V, Maq2

10

0,906

5

V, Barra Term 1 V, Barra Term 2

0

0,866 0,

-5

V, Barra PQ 7,7

Max = 216 MW 15,4 23, Tempo (s)

30,7

38,4

-10

Figura 13 – Perfil das tensões na SC -15

2,84 Ifd, Maq1 -3

-2 real part

-1

0

Ifd, Maq2 2,4

Figura 11 – Autovalores de 0 a 33 segundos na SR

É importante destacar que em t = 47 segundos o OEL começa atuar na tentativa de trazer a corrente de campo de volta para seus limites (Figura 10). Acionado o OEL, há o aparecimento de dois autovalores em cima do eixo real na Figura 12. A presença destes autovalores marca a mudança na trajetória das tensões. No instante t = 48 segundos nota-se que o autovalor próximo ao ponto (10,0) desloca-se em direção a origem, o que irá caracterizar o ponto de colapso de tensão. Na SR, o máximo carregamento obtido foi de 240 MW. Se for considerado o par de pólos complexos que em t = 33 segundos passa para o semi-plano direito, o carregamento máximo será o valor da carga correspondente a este instante da SR, que é de 202,5 MW.

1,97

1,53

1,1 0,

6,4

12,8

19,2 Tempo (s)

25,6

32,

38,4

Figura 14 – Comportamento da corrente Ifd na SR

O valor máximo obtido para o carregamento na SC foi de 216 MW. Na SR com o cálculo de autovalores, no instante t = 33 segundos houve o par de pólos complexo que atravessou para o semi-plano direito sem passar pela origem. Este modo é o responsável por essa instabilidade oscilatória crescente que é observada na Figura 13 da SC. Na SR não seria possível capturar esta oscilação em função de se desprezar a dinâmica transitória que é considerada estável. Na Figura 14 observa-se que os limites de corrente de campo das máquinas não são atingidos.

A SC se encerra em t = 38 segundos, pois o sistema é instável, com oscilações crescentes. 3.4 Resumo Comparativo entre as Metodologias

Na Tabela 2 tem-se um resumo das margens de carregamento obtidas nas 3 metodologias: FPC, SR e SC. Diferencia-se a SR pela consideração ou não dos autovalores. A diferença na SR considerando autovalores ou não (Tabela 2) está no fato de que, observando-se os autovalores, pode-se considerar o sistema instável em 33 segundos, cujo carregamento máximo corresponde a carga da barra PQ em t = 33 segundos. Esta consideração também resulta em uma margem de carregamento ligeiramente menor do que na SC, que considera como ponto de máximo o último ponto obtido. Sem a análise dos autovalores na SR, vale a carga alcançada em t = 48 segundos. A rampa de carga simulada tem inclinação de 2,5 MW por segundo, com o objetivo de obter o ponto de máximo carregamento. Tabela 2 – Comparação entre métodos

possibilitando uma avaliação mais acurada do sistema pela análise dos autovalores. Este tipo de avaliação equivale à análise de bifurcações locais em SEP via o equacionamento algébrico-diferencial. A SC, apesar do alto custo computacional, é a que melhor representa o desempenho do sistema, uma vez que não despreza nenhuma dinâmica do modelo. O critério para escolha do ponto de máximo carregamento na SC irá produzir valores de margem máxima distintos. Referências Alves, F.R.M., et al (1999). Programa de Análise de Redes V0708/99 – Manual do Usuário. Relatório Técnico, CEPEL, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. Falcão, D.M., Manzoni, A., Taranto, G.N. (2002). “An Integrated Computational Tool for Power Flow, Full and Fast Dynamic Simulations: Application to Voltage Stability Analysis” In: VIII SEPOPE, Brasília, DF, Brazil. Ferraz, J.C.R. (1998). Fluxo de Potência Continuado e Análise Modal da Estabilidade de Tensão de Sistemas de Grande Porte. Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

Máximo Carregamento

Método

MW

%

FPC

252

110

SR (tfinal ≅ 48 seg) SR com autovalores (tfinal ≅ 33 seg)

240

100

202,5

68,75

216

80

SC (tfinal ≅ 38 seg)

4

Conclusões

Através deste estudo conclui-se que tais ferramentas possuem um caráter distinto e complementar na avaliação do problema de máximo carregamento. O FPC permite determinar a distância do ponto de operação até o de máximo carregamento para um determinado aumento de carga e geração, porém esta medida pode não ser realista. A diferença no comportamento da tensão na barra dos geradores no FPC e na SR e SC tem importante impacto nas margens de carregamento do sistema. No FPC a tensão se mantém constante, até que o limite máximo de potência reativa é atingido, permitindo que haja uma margem de carregamento maior. Na SR e na SC, as tensões nos geradores sofrem uma queda devido ao RAT, ocasionando uma margem de carregamento menor, porém melhor representando o comportamento real dos geradores. Outro aspecto relevante na SR foi a representação do OEL, que é determinante no colapso, pois quando este tenta trazer a corrente de campo para os limites, há o impacto imediato na potência reativa, ocasionando o afundamento rápido da tensão. Na SR, o método EFDS mostra-se melhor do que o FDS, pois o EFDS torna possível o uso das ferramentas de análise linear nos pontos de equilíbrio,

Gomes, C.B. (2001). Implementação de Funções Utilizadas no Controle Coordenado de Tensão num Simulador Rápido. Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. Kundur, P., Gao, B. (1994). “Practical Considerantions in Voltage Stability Assesment”. In: Proceedings of the IV SEPOPE, IP 14, Foz do Iguaçu, Brasil, May. Lof, P.A., Anderson, G., Demarco, C.L. (1995). “Computational Tools for Planning and Operations Involving FACTS Devices”, In: Proceedings of Workshop on FACTS, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, November. Manzoni, A., Taranto, G.N., Falcão, D.M. (2002). “A Comparison of Power Flow, Full and Fast Dynamic Simulations”, In: 14th PSCC, Session 38, Paper 2, Sevilha, Espanha. Martins, N. (1986). “Efficient Eigenvalue and Frequency Response Methods Applied to Power System Small-Signal Stability Studies”. In: IEEE Transactions on Power Systems, Vol.1, No. 1, pp. 217-226, February. Seydel, R. (1988). From Equilibrium to Chaos: Practical Bifurcation and Stability Analysis. 2nd ed., New York, NY, Elsevier Science Publishing Co. Van Cutsem, T. (1994). Power System Voltage Stability. McGrawHill International Editions. Van Cutsem, T., Jacquemart, Y., Marquet, J.N., Pruvot, P. (1995). “A Comprehensive Analysis of Mid-Term Voltage Stability”. In: IEEE Transactions on Power Systems, Vol.10, pp. 1173-1182. Van Cutsem, T., Vournas, C.D. (1996). “Voltage Stability Analysis in Transient and Mid-Term Time Scales”. In: IEEE Transactions on Power Systems, Vol.11, pp. 11731182. Agradecimentos Ao Pesquisador Leonardo Pinto de Almeida, do CEPEL, e aos engenheiros do ONS Luiz Claudio de Araujo Ferreira e Leandro Dehon Penna pelos dados e esclarecimentos.