Cominciamo dai problemi

Cominciamo dai problemi

Giovanni Artico

Classe: prima superiore I testi in uso rifanno la storia degli anni precedenti: numeri naturali, frazioni, ecc. Punto di arrivo previsto: calcolo letterale In seconda e terza media lo studente probabilmente ha incontrato parecchi problemi di geometria piana e solida (una volta era così). Per molti un incubo, per alcuni un piacere.

Interrompiamo il percorso O lo continuiamo ?

Interrompiamolo Motivo: dobbiamo prima costruire gli strumenti per affrontare nuovi tipi di problema. Quindi, prima impariamo a risolvere le equazioni e poi risolveremo problemi.

Domande E’ possibile dedicarsi ai problemi senza sapere risolvere le equazioni? Siccome non tutte le equazioni hanno una formula risolutiva, ha senso proporre problemi che conducano a tali equazioni? Di quali problemi stiamo parlando?

I problemi degli altri Capita che in alcune materie sia richiesta la capacità di risolvere il tipo di problemi di cui qui ci si occupa. Fisica, Chimica, Economia (spesso presenti in prima superiore) sono fonti di questi problemi. Però noi li abbiamo messi in calendario più avanti.

Come si rimedia? I colleghi si arrangiano, magari brontolando. Per lo più si tratta di problemi lineari e in genere le proporzioni sono lo strumento d’elezione, benché non il più semplice da maneggiare.

Si può dare una mano?

Proposta: continuiamo il percorso della scuola media Ripartiamo dai problemi della scuola media, vediamo di inquadrarli in uno schema più ampio e di riuscire a trovare una strategia valida per affrontarli. Si tratta di problemi con dati numerici e risultato numerico, sul quale è accettabile anche una certa approssimazione, tipici delle scienze e della tecnologia. L’esperienza è stata condotta in un istituto professionale, che è un ambiente particolarmente ostile a tutto ciò che richieda un minimo ragionamento. I risultati sono stati incoraggianti. Negli anni l’esperienza ha avuto variazioni, ma le idee guida sono rimaste le stesse.

Un possibile percorso Inizio anno: •Qual è il menu di quest’anno? •Problemi •Nooo, che schifo ! •Questo passa il convento. Partiamo dal problema dell’esame: 1. Un cubo di lato dm 2 è sormontato da una piramide, alta dm 1.2, avente per base una faccia del cubo. Trova il volume del solido. •Io so risolverlo, è facile. Io non sopporto la geometria. •Risolto? Va bene. Il lavoro da fare ora è scrivere altri problemi a partire da questo, scambiando la cosa da trovare con uno dei dati. Quali possibili problemi otteniamo? •Scrivere? Ma che matematica è? Io ho scritto. •Sentiamo

Rovesciando problemi Si possono ottenere questi due problemi: 2. Un cubo di lato dm 2 è sormontato da una piramide, avente per base una faccia del cubo. Sapendo che il volume del solido è dm3 10, trovare l’altezza della piramide. 3. Un cubo è sormontato da una piramide, alta dm 1.2, avente per base una faccia del cubo. Sapendo che il volume del solido è dm3 10, trovare il lato del cubo. •Provate a risolverli e poi metteteli tutti e tre in ordine di difficoltà •Che cosa possiamo concludere? Il numero 1 lo sanno risolvere (quasi) tutti, col numero 2 parecchi si trovano in difficoltà, il 3 non riesce a nessuno. Eppure parlano tutti delle stesse tre cose. •Dove sta la differenza? •C’è un modo per rendere più semplici anche il 2 e il 3?

Modi di ragionare Una prima differenza si può notare nel modo in cui procedono i nostri pensieri. Nel primo caso si ha l’idea di un movimento sempre in avanti: a partire dai dati del problema basta applicare le regole note per il calcolo dei volumi e si arriva alla soluzione. Nel secondo si ha la sensazione di muoversi un po’ in avanti e un po’ indietro: si può andare avanti calcolando il volume del cubo, però per il volume della piramide e l’altezza ci si muove all’indietro, rovesciando le formule per il calcolo dei volumi. Nel terzo problema i movimenti in avanti sono impediti, però anche andare indietro non sembra possibile: è una situazione nuova, ma non inusuale. Mentre alla scuola media si presentano le prime due situazioni, la terza dovrebbe essere l’oggetto della scuola superiore.

Schema delle 3 situazioni

Area una faccia

Lato cubo

Volume cubo

Altezza piramide

Volume piramide

Volume solido

Area una faccia

Lato cubo

Volume cubo

Altezza piramide

Volume piramide

Volume solido

Area una faccia

Lato cubo

Volume cubo

Altezza piramide

Volume piramide

Volume solido

1

2

3

Modi di ragionare Già gli antichi avevano notato i due movimenti del ragionamento, e a grandi linee definivano SINTESI quello “in avanti” e ANALISI quello “all’indietro”. Applicavano queste strategie ai problemi geometrici di dimostrazione o di costruzione. La SINTESI si può usare per i problemi abbastanza banali, ma di solito la strategia inizia dall’ANALISI e termina con la SINTESI. La strategia degli antichi è più o meno questa: (Fase di Analisi) Immagina di conoscere ciò che devi trovare e vedi se puoi trovare una cosa che sia già data (Fase di Sintesi) Se riesci ad invertire il procedimento, basta che lo segui e arrivi a ciò che cercavi Dove sta la difficoltà? Nell’invertire il procedimento, come accade nel problema 3 Quali sono dunque i procedimenti che si possono invertire?

Invertire procedimenti C’è una categoria di procedimenti facili da invertire: sono quelli in cui l’incognita (la cosa da trovare) viene usata una sola volta nel procedimento di ANALISI. Nel problema 2 questo si verifica, ma nel 3 no, perché il lato del cubo si usa sia per il volume del cubo che della piramide. Degli altri, alcuni sapevano invertirli già gli antichi, altri hanno dovuto attendere fino alla metà del millennio passato, e per la stragrande maggioranza si è alla fine capito che non si può fare. Lo studio di quelli invertibili è, più o meno, l’oggetto dell’Algebra della scuola superiore, che prevede alcune fasi preliminari, come la scrittura dei procedimenti in un linguaggio simbolico e la loro trasformazione in procedimenti equivalenti standard tramite le regole del calcolo letterale.

E per gli altri, o mentre aspettiamo di imparare l’Algebra, si può fare qualcosa?

Potenza dell’ANALISI L’ANALISI fornisce in ogni caso un procedimento per rispondere ad una domanda: “Questo numero è soluzione del problema?” Ci fornisce quindi l’algoritmo per filtrare i numeri, lasciando passare solo le soluzioni. Non sembra molto, però in mancanza di meglio è un modo per giungere ad una soluzione, o almeno abbastanza vicino da potersi accontentare. Questo algoritmo, che si compone di una procedura di calcolo e termina sempre con un confronto, prende il nome di equazione del problema. Una volta arrivati all’equazione, possiamo dire di avere in pugno la soluzione del problema, perché ci sono strumenti anche molto potenti per ricavarla dall’equazione.

Quali sono questi strumenti?

Strumenti per risolvere equazioni Se uno va di fretta e ha accesso ad un computer, può usare uno dei numerosi programmi in grado di risolvere equazioni. Se invece si vuole fare qualcosa di artigianale, ma più istruttivo, con il computer, si può utilizzare un foglio elettronico per filtrare velocemente una gran mole di numeri. In alternativa, è molto istruttivo anche servirsi del grafico dell’equazione, possibilmente prodotto da un programma di grafici.

E senza computer? No panic. In fondo un tempo, anche molto remoto, tutto si faceva a mano, e i problemi si risolvevano. Certo ci voleva un po’ più di tempo, ma c’erano metodi per limitare la quantità di numeri da filtrare (poi insegnati ai computer). Uno dei più antichi e facile da apprendere è quello noto come “metodo di falsa posizione”.

Il terribile problema 3 Il problema 2 presenta delle difficoltà per parecchi studenti, in quanto richiede l’inversione di un procedimento. Credo che questa difficoltà sia responsabile dell’odio verso i problemi. Il problema 3 riporta tutti alla pari, bloccandoli. Di solito parto da questo blocco generalizzato per mostrare la potenza dell’ANALISI, ponendo la domanda base di questo metodo: “sapresti controllare se la risposta giusta è 2 dm ?” In genere tutti sanno fare questo, perché si procede per SINTESI come nel problema 1. Dopo aver ripetuto il procedimento con alcuni numeri, cerco di spostare l’attenzione sul procedimento stesso e invito a formalizzarlo con l’uso delle lettere al posto del numero di prova. A questo punto dico che abbiamo percorso la tappa fondamentale, essendo arrivati all’equazione, e illustro i vari strumenti disponibili per risolverla.

Di fronte al problema Ciò che vorrei trasmettere agli allievi è un atteggiamento uniforme da tenere di fronte ad un problema, riassumibile così: Comincia chiedendoti se sai trovare un procedimento che porti dai dati al risultato attraverso una serie di tappe intermedie. Se non ci riesci, chiediti se sapresti costruire un procedimento per controllare se un numero preso a caso potrebbe essere il risultato giusto: formalizzando questo procedimento ottieni un’equazione, che in qualche modo si riesce sempre a risolvere. Se non riesci a fare nemmeno questo, allora fermati. Questa ricetta ha il vantaggio di prescrivere una strategia univoca per affrontare i problemi, mentre di solito gli studenti si perdono in un mare di tecniche particolari mal digerite, e non solo gli studenti. In effetti i colleghi di altre materie propongono tecniche specifiche per i loro problemi, che potrebbero essere sostituite efficacemente da quella generale qui proposta.

Un po’ di allenamento Non è facile abituare gli studenti (i miei) a questo atteggiamento. Serve un buon allenamento, da fare attraverso una serie di problemi. Nel frattempo prendo spunto per insegnare qualche tecnica di risoluzione approssimata delle equazioni, magari con l’aiuto del computer, per creare un po’ di familiarità con i grafici e per introdurre il calcolo letterale come strumento utile per mettere le equazioni in formato standard. Di solito trovo utile un piccolo software fruibile da Internet che consente di porre una sequenza di problemi e invita ad usare lo schema qui descritto per risolverli. Il software si chiama EASYpMATH e si può trovare all’indirizzo www.polarprof.it

Complicazioni Lo schema proposto ha bisogno di qualche variazione nei casi in cui le incognite siano più d’una e non sia facile ridurle ad una. Resta valida la domanda di base: “so costruire un algoritmo per filtrare le possibili soluzioni?”, ma si deve evidenziare che servono tanti filtri (equazioni) quante sono le incognite e in più diventa meno agevole l’uso di metodi approssimati numerici o grafici: in questi casi è quasi indispensabile il calcolo letterale, per tentare di ridurre le equazioni ad una sola, e quindi ecco un motivo in più per impararlo bene.

Perché partire dai problemi Un primo motivo è che serve saper affrontare i problemi, in particolare nello studio delle scienze e dell’economia Un secondo è per fornire una motivazione plausibile allo studio dell’Algebra, di cui non si capirebbe altrimenti la necessità Un terzo è perché stimolano il ragionamento e l’intuizione