Controlo PID da temperatura num permutador simples de tubos concêntricos

Controlo PID da temperatura num permutador simples de tubos concêntricos Ângelo Dinis S. Nunes, Dorin Miscenco

Supervisão de Processos 2013 Resumo Este documento constitui o modelo de formatação e organização do artigo científico a elaborar no âmbito do trabalho sobre o projecto e análise de um processo em ciclo fechado sob controlo PID. São apresentados os objectivos do trabalho, bem como os critérios de avaliação.

1 - Introdução Controlar um qualquer sistema físico envolve projectar o seu controlador, de modo a obter o tipo de resposta desejado ao operador. Em primeira instância, deve definir-se qual dos tipos de controladores vai ser utilizado, sendo para tal usados critérios de desempenho. Idealmente um controlador devia cumprir os seguintes critérios: Ser estável em anel fechado, quaisquer disturbios minimizados, resposta rápida e suave a mudanças de “setpoint”, ausência de “offset”, evitar controlo excessivo e ser robusto, ou seja, insensível a mudanças nas condições do processo e a imprecisões do modelo. Como satisfazer todas estas condições em simultâneo é impossível, pois alguns critérios, em certas situações são mutualmente exclusívos, recorre-se a um tipo de critérios, baseados no erro do controlador, chamados critérios do integral no tempo. Este tipo de critérios assume 3 formas: Integral do erro ao quadrado (“Integral of the Square Error”, ISE) onde, 𝐼𝑆𝐸 = ∞ ∫0 𝜖 2 (𝑡) 𝑑𝑡 [1], Integral do valor absoluto do erro (“Integral of the Absolute value of the Error”, IAE) ∞ onde, 𝐼𝐴𝐸 = ∫0 |𝜖(𝑡)| 𝑑𝑡 [2] e Integral do tempo vezes o erro absoluto (“Integral of the Time-weighted ∞

Absolute Error”, ITAE) onde, 𝐼𝑇𝐴𝐸 = ∫0 𝑡|𝜖(𝑡)| 𝑑𝑡 [3]. De modo a determinar qual o melhor controlador, é necessário minimizar o valor do critério escolhido. Este critério é escolhido com base no tipo de resposta que se pretende, sendo que o ISE é melhor que o IAE para suprimir valores elevados da função erro, pois esta está ao quadrado e como tal, contribui mais para o valor do integral, o IAE é melhor que o ISE para suprimir pequenos erros pois a ausência do quadrado para números menores que 1 faz com que o valor do integral seja maior e o ITAE é melhor para suprimir erros que persistem com o tempo, pois inclui a variável tempo dentro do integral. Testando a resposta para os vários tipos de controlador, escolhe-se o controlador cuja resposta melhor cumpre os requisitos de controlo. De seguida, enumeram-se as características gerais de cada tipo de controlo:  Acção Proporcional: Acelera a resposta de um processo com controlo e cria um “offset”, ou seja, um desvio em relação ao valor pretendido, ou “setpoint”, excepto para processos cuja função de transferência envolve o termo 1/s (ex.: nível do líquido num tanque, ou a pressão de um gás num contentor).  Acção Integral: Elimina por completo o offset, à custa de um maior desvio máximo da resposta em relação ao “setpoint”. Resulta num tipo de resposta lento e oscilatório. No caso de controlo Proporcional-Integral, o aumento de Kc para aumentar a rapidez da resposta pode causar instabilidade do sistema.  Acção Derivativa: Prevê os erros, reagindo antecipadamente, diminui o tempo de resposta e confere maior estabilidade a um sistema em anel fechado. Deve-se sempre tentar recorrer, se possível, a um controlador proporcional devido à sua simplicidade, no entanto, poucos são os casos em que tal é possível, e como tal, nestes casos recorre-se a controladores PI, que eliminam o “offset”, embora aumentem o tempo de resposta (os tempos de resposta destes controladores são aceitáveis para casos como o controlo de caudal, onde são muito utilizados). Para sistemas com respostas muito lentas (ex.: controlo de temperatura ou composição), torna-se necessário recorrer a controladores PID, pois usando controladores PI iria aumentar ainda mais o tempo de resposta. A lei de controlo tipicamente usada para um controlador PID (forma paralela) é: 𝑝(𝑡) = 𝑝̅ + 1 𝑡 𝑑𝑒(𝑡) 𝐾𝑐 [𝑒(𝑡) + 𝜏 ∫0 𝑒(𝑡 ∗ ) 𝑑𝑡 ∗ + 𝜏𝐷 𝑑𝑡 ] [4] , no entanto, para contabilizar a influências dos fenómenos de 𝐼

“kick” proporcional e derivativo, o forma da lei de controlo é alterada, sendo introduzidos dois parâmetros, β e γ, que reflectem o peso que estes fenómenos têm no erro e na variável manipulada. A lei de controlo

resultante é 𝑝(𝑡) = 𝑝̅ + 𝐾𝑐 [𝑒𝑃 (𝑡) +

1 𝑡 ∫ 𝑒(𝑡 ∗ ) 𝑑𝑡 ∗ 𝜏𝐼 0

+ 𝜏𝐷

𝑑𝑒𝐷 (𝑡) ] 𝑑𝑡

[5] , com 𝑒𝑃 (𝑡) = 𝛽𝑦𝑠𝑡 (𝑡) − 𝑦𝑚 (𝑡) [6] ,

𝑒(𝑡) = 𝑦𝑠𝑡 (𝑡) − 𝑦𝑚 (𝑡) [7] e 𝑒𝐷 (𝑡) = 𝛾𝑦𝑠𝑡 (𝑡) − 𝑦𝑚 (𝑡) [8]. Caso β e γ sejam iguais a zero, não existe fenómenos de “kick” proporcional ou derivativo, respectivamente.

Figura 1: Diferentes tipos de resposta conforme o tipo de controlador usado. (G., 1984)

Figura 2: Comparação entre os critérios ISE, IAE e ITAE (G., 1984)

2 – Identificação do modelo Este artigo pretende analisar o comportamento dinâmico em ciclo fechado de um permudator simples de tubos concêntricos. O controlador a projectar irá controlar a temperatura do fluido frio à saída do permutador por intermédio da manipulação da válvula de controlo do caudal do fluido de quente. O processo dá-se em contra-corrente. O sistema em estudo tem as seguintes condições de operação e parâmetros:  Tin0 = 85.0 ºC  Dex = 0.026 m  Tex0 = 20.0 ºC  L = 3.0 m  Tar = 22.0 ºC  Uin = 800.0 W/(m2.K)  Fin = 8.333*10-6 m3/s  Uex = 90.0 W/(m2.K) -6 3  Fex = 8.333*10 m /s  ρ = 1000 kg/m3  Din = 0.015 m  Cp = 4184.0 J /(kg.K) De modo a identificar o modelo usado, é efectuado um teste, onde se corre o “script” de MATLAB® fornecido, doublepipeMain.m, em anel aberto, com uma perturbação em degrau aos 10 minutos, correspondente a um aumento de 15% do caudal de fluído quente. Usando o método de Sundaresan e Krishnaswamy (1978), é possível determinar os parâmetros do modelo, tendo a curva de resposta a uma pertubação em degrau. Retirando os valores de tempo, t1 e t2, que correspondem a 35.3% e 85.3% da resposta, respectivamente, é possível calcular θ e τ, segundo as relações 𝜃 = 1.3𝑡1 − 0.29𝑡2 [9] e 𝜏 = 0.67(𝑡2 − 𝑡1 ) [10]. Estes valores minimizam a diferença entre a resposta medida e a resposta prevista pelo modelo. No projecto do controlador de temperatura é aplicada a metodologia IMC utilizando as fórmulas apresentadas na Tabela 12.1 (caso H) em Seborg et al. (2004). Na pág. 307 desta referência são apresentadas fórmulas para definir a constante de tempo de projecto para determinar o ganho proporcional. O modelo do processo de primeira ordem com atraso deve ser identificado através de um teste tal como vem descrito nas pág. 166 a 167 em Seborg et al. (2004). O método de cálculo dos parâmetros do modelo é o de Sundaresan e Krishnaswamy apresentado na pág. 167. Uma vez efectuada a identificação do modelo do Figura 3: Resposta da temperatura a uma perturbação processo e projectado o controlador PID, será degrau estudado o efeito do modo P, do modo I na presença de modo P, e do modo D na presença dos modos P e I, no desempenho da resposta em ciclo fechado. Cerca de 16% da classificação do trabalho está reservada para outros aspectos relevantes, para além destes, sobre a

implementação e o desempenho de um sistema em ciclo fechado que o grupo de trabalho achar pertinente analisar com base no que ouviu e estudou nas aulas, e/ou investigou na literatura disponível na biblioteca. Uma descrição sumária dos elementos de avaliação do artigo é apresentada na Secção 3.

3 – Análise do comportamento dinâmico do sistema em ciclo fechado. De modo a analisarmos o comportamento dinâmico, estudamos o resposta do sistema a varias alterações de modo a concluir qual e o tipo e os parâmetros de controlo óptimo. Para analisar a performance de cada um dos tipos de controlador, nos gráficos a seguir estão representados o comportamento das variáveis do processo (temperatura do fluido frio a saída do permutador) e manipulável (caudal do fluido quente a entrada) para cada um dos controles (P, PI e PID).

Figura 4: Resposta a uma mudança (+1.5ºC) de set point, da temperatura do fluido frio a saída para P, PI e PID.

Figura 5: Resposta do caudal do fluido quente a mudança do set point para P, PI e PID.

Ao analisar a figura 4 e 5 observa-se que para o caso do controlador P o sinal obtido é consistente com o previsto na introdução, observa-se uma resposta na PV e MV, relativamente, mais rápida, também nota-se a existência do off-set (60.89 ºC – 60.28 ºC = 0.61ºC), quando se atinge o novo estado estacionário, o que é indesejável e vai perturbar o comportamento estacionário do sistema. Ao adicionarmos o módulo I no controlador P elimina-se o efeito do off-set do módulo P sendo que o sinal de saída corresponde agora ao sinal desejado (SP), no entanto, observa-se a um maior tempo de estabilização já que as oscilações tem uma maior amplitude o que pode ser prejudicial para muitos sistemas. Do gráfico 5 observa-se que o caudal de fluido quente vária mais lentamente mas com maior amplitude até atingir um novo regime estacionário o que é um comportamento esperado de um controlo PI, observa-se ainda a contribuição do módulo integral representado pelo elevado em overshoot. Este efeito é eliminado pelo módulo diferencial. No caso do uso do módulo D em conjunto com PI observase que o sinal vai ter mínimas oscilações chegando rapidamente á um novo estado estacionário isto é tem um tempo de estabilização mais baixo. No entanto ao contrario que seria de esperar o tempo de resposta do controlador PID é ligeiramente maior de que o controlador PI. Para um PID normal pode acontecer o fenómeno D-kick que é representado na figura 6. Isto acontece quando há uma perturbação no set point ou outras variáveis de entrada de maneira que o termo diferencial fica momentaneamente muito grande. Este fenómeno é Figura 6: Representação do efeito de D-kick no caudal de fluido quente. prejudicial para um sistema físico já que origina muitas intervenções do controlador no elemento final de controlo que consequentemente vai aumentar o desgaste dos componentes do sistema (neste caso a válvula). Sendo assim optou-se por omitir, nos gráficos construídos o efeito do fenómeno de D-kick presente no controlador

PID, isto permite ter uma imagem mais clara sobre o efeito de cada módulo. Para esse efeito será necessário mudar o valor do parâmetro gamma para 0 no script disponibilizado.

4 - Conclusões Nesta secção são apresentadas as principais conclusões. São de evitar frases do tipo “este trabalho foi muito útil para compreendermos como funciona o mecanismo de feedback negativo.” Bibliografia Åström, K. J., & Hägglund, T. (2001). The future of PID control. Control Engineering Practice, 9(11), 1163-1175. Baker, D. S., & Henrichsen, L. (2002, 17 Outubro). Apa reference style - lightening up your citations [página WWW]. URL http://linguistics.byu.edu/faculty/henrichsenl/apa/apa01.html Seborg, D. E., Edgar, T. F., & Mellichamp, D. A. (2004). Process Dynamics and Control. New York, N.Y.: John Wiley & Sons.