TE091346 Dasar Sistem Pengaturan
Model Matematik Ir. Jos Pramudijanto, M.Eng. Jurusan Teknik Elektro FTI ITS Telp. 5947302 Fax.5931237 Email:
[email protected] Dasar Sistem Pengaturan - 04
1
Objektif: Penyajian Model Matematik Model Sistem Mekanik Model Sistem Elektrik Model Sistem Mekatronika (Elektromekanik)
Dasar Sistem Pengaturan - 04
2
Model Matematik Sistem Fisik
Model matematik adalah deskripsi matematik dari sistem yang dinyatakan dalam bentuk hubungan matematik dari Input dan Output sistem. Dasar Sistem Pengaturan - 04
3
Penyajian Model Matematik • Dalam bentuk Persamaan Matematik 9 9
Pers.Differensial, untuk sistem kontinyu Pers.Beda, untuk sistem diskrit
9 9
TF dalam fungsi s, untuk sistem kontinyu TF dalam fungsi z, untuk sistem diskrit
9 9
State kontinyu State diskrit
9 9
Polinomial dalam s, untuk sistem kontinyu Polinomial dalam q, untuk sistem diskrit
9 9
Diagram Blok Signal Flow Graph
• Dalam bentuk Fungsi Alih (Transfer Function) • Dalam bentuk Persamaan State • Dalam bentuk Polinomial • Dalam bentuk Diagram
Dasar Sistem Pengaturan - 04
4
Hubungan Penyelesaian Model Matematik Penyelesaian x(t)
perhitungan aljabar
Penyelesaian Aljabar X(s)
invers transformasi laplace
penyelesaian langsung (analitik)
transformasi laplace
Persamaan Deferensial x(t)
Persamaan Aljabar Operator s
Dasar Sistem Pengaturan - 04
5
Model Matematik dalam bentuk PD Hubungan Input-Output sistem dapat dituliskan sebagai: x(t)
f( , )
y(t)
f( , ) = weighting function
t
y (t ) =
∫ f (t ) • x (t − τ ) d τ 0
y ( t ) = f (t ) • x (t ) Atau dalam bentuk PD dapat pula ditulis sebagai berikut (*):
dny d n −1 y dy d mx d m −1 x dx + + ... + + = + + ... + + c0 x dn d d d y c c c n −1 1 0 m m −1 1 n n −1 m m −1 dt dt dt dt dt dt
Dasar Sistem Pengaturan - 04
6
Model Matematik dalam bentuk TF Transfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari TL bentuk PD dengan asumsi semua kondisi awal=0. TL dari persamaan di atas (*) dengan semua kondisi awal=0, menjadi:
[d s +d n
n
n−1
]
[
m−1
]
s +...+d1s +d0 Y(s) = cms +cm−1s +...+c1s +c0 X(s)
n−1
m
Transfer Function: m −1
Y ( s ) c m s + c m −1 s + ... + c1 s + c 0 G (s) = = n n −1 X ( s ) d n s + d n −1 s + ... + d 1 s + d 0 m
Dasar Sistem Pengaturan - 04
7
Model Matematik Sistem Mekanik Pada sistem mekanik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum Newton. Gerakan Translasi:
ΣF = m a
Gerakan Rotasi:
Στ = J α
di mana : F = gaya yang bekerja pada massa m m = massa benda a = percepatan benda τ = torsi yang bekerja pada benda J = momen inersia benda α = percepatan sudut
Dasar Sistem Pengaturan - 04
8
Sistem Mekanik – Massa Translasi:
Rotasi: x, v, a
m
τ(t)
f(t)
J
θ, ω, α
Persamaan dinamik: f(t) = m a(t)
f (t ) = m
dv (t ) dt
d 2 x (t ) f (t ) = m dt 2
τ(t) = J α(t)
τ (t ) = J
d ω (t ) dt
d 2θ (t ) τ (t ) = J dt 2
Dasar Sistem Pengaturan - 04
9
Sistem Mekanik – Pegas Translasi: K
Rotasi: K
x f τ
Persamaan dinamik:
f=Kx
θ
τ=Kθ
Dasar Sistem Pengaturan - 04
10
Sistem Mekanik- Rodagigi Rodagigi n1 diputar oleh torsi Τ1, menghasilkan torsi Τ2 pada rodagigi n2: di mana: r = jari-jari roda ω = kecepatan sudut roda α = percepatan sudut roda Τ = torsi n = jumlah gigi
Dasar Sistem Pengaturan - 04
11
Sistem Mekanik – Pengungkit Suatu gaya F1 diberikan pada batang yang mempunyai panjang l, akan diteruskan oleh batang m sebesar F2 : Persamaan dinamik:
m x2 = x1 l v2 = a2 =
l F2 = F1 m l
m v1 l m a1 l
F1
m
x2
F2
x1
Dasar Sistem Pengaturan - 04
12
Sistem Mekanik- Daspot/Damper F
Translasi:
Rotasi: B F
B
τ
x,y
θ
fluida/ gas
Persamaan dinamik:
dx (t ) F (t ) = B dt dy (t ) F (t ) = B dt
d θ (t ) τ (t ) = B dt
Dasar Sistem Pengaturan - 04
13
Translasi pada Accelerometer Hukum Newton II • •• •• m x − y = ky + b y •• •• b • k y+ y+ y = x m m Bentuk Laplace
(s
2
Dasar Sistem Pengaturan - 04
)
••
+b s + k Y =U = X '
'
14
Sistem Suspensi Kendaraan
Dasar Sistem Pengaturan - 04
15
Model Sistem Suspensi
Dasar Sistem Pengaturan - 04
16
Contoh: Sistem Mekanik Sistem mekanik seperti gambar berikut: di mana: f(t) = gaya yang bekerja pada massa m K = konstanta pegas B = konstanta daspot (peredam viscos) y(t) = simpangan pegas • •
Carilah model dinamik sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input. Carilah transfer function sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.
Dasar Sistem Pengaturan - 04
f(t)
K m y(t)
B
17
Model Matematik Sistem Elektrik Pada sistem elektrik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum-hukum pada rangkaian listrik. persamaan tegangan Kirchoff, dan arus Mesh
∑I
in
= ∑ I out ;
Dasar Sistem Pengaturan - 04
∑V
i
=0
i
18
Komponen Pasif: R-L-C Resistor: iR R
vR Model Dinamik
vR (t ) = RiR (t ) TL: VR (s) = RI R (s)
Kapasitor: iC
C vC
1 vC (t ) = ∫ iC (t ) dt C
1 VC (s) = I C ( s) Cs
Dasar Sistem Pengaturan - 04
Induktor: iL
L vL
di L (t ) v L (t ) = L dt
VL (s) = LsI L (s)
19
Contoh: Sistem Elektrik R-L-C Suatu Filter yang terdiri dari komponen RLC. Tegangan input vi(t) dan tegangan output vo(t). R
vi
L
C
vo
• Carilah model dinamik sistem elektrik tersebut • Carilah transfer function sistem elektrik tersebut
Dasar Sistem Pengaturan - 04
20
Komponen Pasif: Transformator Ideal i1
v1 n 1
i2
n2 v2
Model Dinamik
n2 v2 (t ) = v1 (t ) n1 Transformasi Laplace
n2 V2 (s) = V1 (s) n1 Dasar Sistem Pengaturan - 04
21
Transformator tidak ideal i1
i2
v1 n 1
n2 v2 M
• Ada pengaruh induktansi gandeng • • • • • • •
(M) Titik menandakan awal lilitan v1 = tegangan input v2 = tegangan output i1 = arus kumparan primer i2 = arus kumparan sekunder n1 = jumlah lilitan kumparan 1 n2 = jumlah lilitan kumparan 2
Dasar Sistem Pengaturan - 04
22
Trafo tidak ideal (sisi primer) • Persamaan Dinamik
i1
L1 v1
di 2 M dt
v L1
di1 (t ) di 2 (t ) −M =0 v1 (t ) − L1 dt dt • Transformasi Laplace
V1 ( s ) − L1 sI 1 ( s ) − MsI 2 ( s ) = 0 1 I 2 (s) = {V1 ( s ) − L1 sI 1 ( s )} Ms Dasar Sistem Pengaturan - 04
23
Trafo tidak ideal (sisi sekunder) • Persamaan Dinamik
i2
di2 (t ) di1 (t ) v2 (t ) + L2 +M =0 dt dt
L2
v L2
• Transformasi Laplace
V2 ( s ) + L2 sI 2 ( s ) + MsI 1 ( s ) = 0 V2 ( s ) = − L2 sI 2 ( s ) − MsI 1 ( s )
Dasar Sistem Pengaturan - 04
v2 di1 M dt
24
Contoh: Sistem Elektrik - Trafo Rangkaian input transformator (trafo) dihubungkan seri oleh kapasitor C, dan rangkaian output diberi beban R1 dan R2 secara seri-paralel.
i1
v1
i2
C
n1
n2
R1
R2
v2
M
• Carilah transfer function sistem elektrik tersebut
Dasar Sistem Pengaturan - 04
25
Komponen Aktif: Operational Amplifier Sifat–sifat Operasional Amplifier: 1. Gain sangat besar K= 105 sampai dengan 106
kali. 2. Mempunyai dua masukan yaitu masukan positif (v1) dan masukan negatif (v2). 3. Mempunyai impedansi masukan yang sangat besar sehingga arus input pada masukan positif atau masukan negatif kecil sekali ≈ 0 4. Mempunyai keluaran vo = K (v1 – v2)
Dasar Sistem Pengaturan - 04
26
Non Inverting Amplifier
Dasar Sistem Pengaturan - 04
27
Inverting Amplifier
Dasar Sistem Pengaturan - 04
28
Pendekatan Impedansi
(Inverting Amplifier)
Dasar Sistem Pengaturan - 04
29
Tabel Variasi Impedansi 1
Dasar Sistem Pengaturan - 04
30
Tabel Variasi Impedansi 2
Dasar Sistem Pengaturan - 04
31
Contoh: Operational Amplifier Rangkaian Operational Amplifier dikonfigurasi dengan rangkaian pasif R-C untuk menjadi filter
• Carilah transfer function rangkaian Operational Amplifier
tersebut.
Dasar Sistem Pengaturan - 04
32
Model Sistem Mekatronik Untuk mencari persamaan dinamik sistem berikut, digunakan persamaan-persamaan sistem elektrik pada motor dan selenoid (plunger). motor DC, AC, selenoid
Dasar Sistem Pengaturan - 04
33
Motor DC penguat medan tetap
Dasar Sistem Pengaturan - 04
34
Rangkaian Kumparan Jangkar Motor DC
Dasar Sistem Pengaturan - 04
35
Torsi pada Motor DC (1)
Dasar Sistem Pengaturan - 04
36
Torsi pada Motor DC (2)
Dasar Sistem Pengaturan - 04
37
Tegangan GGL Motor DC
Dasar Sistem Pengaturan - 04
38
Blok Diagram Motor DC Gambar yang pertama Ω(s) output dan gambar kedua θ(s) output. Ea(s) + Eggl
Ia(s)
1 ----------Las + Ra
T(s)
1 ----------Js + B
(s)
T(s)
1 ----------Js2 + Bs
(s)
KTM
Kg atau Ea(s) + Eggl
Ia(s)
1 ----------Las + Ra
KTM
Kg
(s)
s
Dasar Sistem Pengaturan - 04
39
Penyederhanaan Blok Diagram Motor DC Ea(s) input dan Ω(s) output:
Ea(s) input dan θ(s) output:
Dasar Sistem Pengaturan - 04
40
Motor AC-Servo Motor AC-Servo pada prinsipnya dapat berupa sebuah motor induksi dengan 2-kutub/dua-fasa Fasa ref.
f
ec(t) T
ec
J
θ Fasa kontrol (a)
Dasar Sistem Pengaturan - 04
41
Arsitektur Motor AC-Servo Salah satu dari kumparan medan sebagai lilitan referensi (fase reference) dan kumparan medan yang lainnya sebagai lilitan kontrol (fase control) dengan tegangan AC yang berbeda 90° listrik terhadap tegangan referensi. Hal ini didasarkan bahwa torsi yang dihasilkan pada poros, paling efisien jika sumbu-sumbu kumparan fasa saling tegak lurus dan tegangan kedua fasa tersebut mempunyai beda fasa 90°.
Dasar Sistem Pengaturan - 04
42
Persamaan Torsi Motor AC-servo Torsi T yang dibangkitkan merupakan fungsi dari kecepatan sudut poros motor dan tegangan kontrol EC , adalah: .
T = - Kn θ + K C E C di mana: Kn dan KC adalah konstanta positif.
Kesetimbangan torsi untuk motor servo dua-fasa adalah: .. .
T = Jθ + f θ
di mana: J = momen inersia motor dan beban pada poros motor f = koefisien gesekan viskos motor dan beban poros motor Gabungan kedua persamaan di atas diperoleh: .. .
J θ + ( f + Kn ) θ = KCEC
Dasar Sistem Pengaturan - 04
43
Fungsi Alih Motor AC-servo Tegangan kontrol EC adalah input dan perpindahan poros motor adalah output, maka fungsi alih (transfer-function) sistem ini diberikan:
θ (s) Ec ( s )
=
Js
2
Kc Km = + ( f + K n )s s (Tm s + 1)
di mana :
Km Tm
= =
KC /( f + Kn) = konstanta penguatan motor J /( f + Kn) = konstanta waktu motor
Dasar Sistem Pengaturan - 04
44
Diagram Kotak Motor AC-servo Fungsi alih didasarkan pada anggapan bahwa motor servo linier. Namun dalam praktek, motor servo tidak benar-benar linier. Karena kurva torsi-kecepatan tidak benar-benar sejajar dan berjarak sama, maka harga Kn tidak konstan. Sehingga harga Km dan Tm juga tidak konstan, harga-harga tersebut berubah terhadap tegangan kontrol. Diagram blok dari motor Servo dua-fasa di atas sebagai berikut :
Ec(s)
Km -----------s(Tms +1) Dasar Sistem Pengaturan - 04
θ(s)
45
Model Matematik Selenoid (Plungger) Suatu kumparan yang dililitkan pada media isolator yang mempunyai inti besi yang bebas bergerak. Tegangan vp(t) sebagai input dan x(t) sebagai output. Kp = konstanta plungger ip = arus yang mengalir pada plungger.
v p (t ) = L p
di p (t ) dt
+ R p i p (t )
dan
x (t ) = K p i p (t )
Dasar Sistem Pengaturan - 04
46
Contoh: Sistem Elektromekanik Consider the temperature control system shown in figure. It is assume that the heat q pumped into the chamber is proportional to the valve opening x and the temperatur y inside the chamber related to q by the differential equation dy/dt = -cy + kcq. Compute transfer function of each blok.
dy
Dasar Sistem Pengaturan - 04
dt
= −cy + kc q
47
