Difração de elétrons por uma fenda - Uma introdução à formulação de Feynman da mecânica quântica

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A formulação de Feynman da MQ

O propagador da partícula livre

Difração de fenda única

Difração de elétrons por uma fenda Uma introdução à formulação de Feynman da mecânica quântica

A C Tort1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física – Universidade Federal do Rio de Janeiro

29 de Março de 2012

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A Formulação de Feynman da MQ

A ação clássica: S=

Z

tb

˙ t) dt L(x, x,

ta

onde m 2 x˙ − V (x, t) 2 é a lagrangiana do sistema clássico. L(x, x˙ , t) =

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A equação de movimento clássica segue da condição: δS = 0

que leva à: d dt



∂L ∂ x˙



−

∂L =0 ∂x

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O propagador da partícula livre

Exemplo: O.H.S. ˙ t) = L(x, x, ∂L = mx˙ ∂ x˙

m 2 κ 2 x˙ − x 2 2 ∂L = −κx ∂x

Segue que: d ˙ + κx = 0 → m x¨ + κx = 0 (m x) dt

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Sabendo a solução da equação de movimento podemos calcular a ação clássica. Para a partícula livre x˙ = constante, logo: S=

Z

tb

ta

m 2 m x˙ dt = x˙ 2 2 2

Como: x˙ = segue que: S=

Z

tb

dt = ta

xb − xa tb − ta

m (xb − xa )2 2 tb − ta

m 2 x˙ (tb − ta ) 2

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Richard Feynman, seguindo uma sugestão de P. A. M. Dirac (1902-1984), propôe uma formulação integral para a MQ:

Figura: R. Feynman (1918-1988).

A formulação de integral de caminho!

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A formulação de Feynman: A amplitude quanto-mecânica de propagação de (xa , ta ) até (xb , tb ): K (b, a) =

X

φ [x (t)]

todos os caminhos de a até b

onde

φ [x (t)] = C exp



i S [x (t)] ~



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O propagador da partícula livre

O propagador da partícula livre tb b

tj+1 b

ǫ tj b

b b b

ta b

xa

xj

xj+1

xb

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K (b, a) ∼ lim

ε→0

Z Z

..

Z

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  N  im X
2  exp  xj − xj−1  d x1 ..d xN−1  2i~ε  j=1

Para transformar "∼"em "=", multiplicar a expressão acima por: 

2πi~ε m

−N/2

para trabalhar com a medida de integração correta.

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Usando o resultado: +∞ r   Z i h ab −π 2 2 2 exp a(x1 − x) + b(x2 − x) dx = exp (x2 − x1 ) a+b a+b

−∞

é possível efetuar todas as integrais!!! O resultado final é o propagador da partícula livre: # " 1/2  im(xb − xa )2 m exp K (b, a) = 2πi~ (tb − ta ) 2~ (tb − ta )

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ψ (x, T + τ ) =

Z+b

−b

K (x0 + x, T + τ ; x0 + y, T ) K (x0 + y, T ; 0, 0) dy

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Da origem (xa = 0, ta = 0) até um ponto da fenda (xb = x0 + y, tb = T ): " #  m 1/2 im (x0 + y − 0) 2 K (x0 + y, T ; 0, 0) = exp 2πi~T 2~ (T − 0) De um ponto da fenda (xa = x0 + y, ta = T ) até um ponto no anteparo (xb = x0 + x, tb = T + τ ): " #  m 1/2 im (x0 + x − x0 − y ) 2 exp K (x0 + y, T ; 0, 0) = 2πi~τ 2~ (T + τ − T )

Para uma fenda retangular é muito difícil efetuar o cálculo!!

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A fenda gaussiana: y2 G(y) = exp − 2 2b 

ψ (x, t) =

+∞ Z



K (x0 + x, T + τ ; x0 + y, T ) G(y)K (x0 + y, T ; 0, 0)dy

−∞

(em t = T + τ ).

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A integral que deve ser calculada é:

m √ ψ(x) = 2πi~ τ T

( " # ) +∞ Z im (x − y )2 (x0 + y)2 y2 exp − 2 dy + 2~ τ T 2b

−∞

Para efetuar a integral usamos o resultado: +∞ r   Z   B2 π 2 exp Au + Bu du = exp − −A 4A

−∞

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O resultado é:   m2 2 2 (x − v τ )2 0 2~ τ     ψ(x, T + τ ) = F (τ, T ) exp (iφ) exp 
(m/~) i + i − 1  

τ

onde:

r

s

1 T + τ + bi~ 2m τ T   2 m x + v02 T φ= 2~ τ

F (τ, T ) =

m 2πi~

T

b2

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A densidade de probabilidade no anteparo é dada por: # " (x − v0 τ )2 m b 1 ∗ exp − P(x) = ψψ = 2π~ T ∆x (∆x)2 com:

 τ 2 ~2 τ 2 ~2 τ 2 (∆x)2 = b 2 1 + + 2 2 = b12 + 2 2 T b m b m

O primeiro termo nos dá a dispersão clássica, e o segundo a correção quântica.

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Interpretação física do primeiro termo:

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 τ b1 = b 1 + T

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A interpretação física do segundo termo: princípio da incerteza b m δv0 ≈ ~,

→

δv0 ≈

~ bm

(∆x)2 = b12 + (δv0 τ )2 A probabilidade de que a partícula passe pela fenda é: Z +∞ P(x) dx P(qualquer x) = −∞

Contas feitas obtemos: P(qualquer x) =

√ m b π 2π~T

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Fenda retangular: difração de Fraunhofer.

L = distância fenda-anteparo; λ = comp. de onda do elétron: NF =

2b b = 0.01 (número de Fresnel) L λ

Figura: Resultado para fenda retangular: difração de Fraunhofer.

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Fenda retangular: difração de Fresnel.

NF =

2b b = 0.5 L λ

Figura: Resultado para fenda retangular: difração de Fresnel.

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Fenda retangular: difração de Fresnel.

NF =

2b b = 100 L λ

Figura: Resultado para fenda retangular: difração de Fresnel.

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Bibliografia:

R. P. Feynman & A. R. Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill: New York) 1965. D. H. Kobe: The Ahranov-Bohn Efffect Revisited Ann. Phys. 3 381-410 (1979). M. Beau: Feynman Path Integral approach to electron diffraction for one nad two slits: analytical results arXiv; 1110.2346v2 [quant-ph] 18 Dec 2011.