ejercicios resueltos de estructuras

Estructuras Algebraicas (D) Examen te´orico 10- Soluciones 

  a b Sea G = ∈ M2×2 (R) | ad − cb = 1 y sea X = {z ∈ C | Im(z) > o} = {z = c d ρ αi + β ∈ C | α > o}. Consideramos la acci´on G × X → X dada por    az + b a b , z 7→ c d cz + d    1  √    √ 0 γ 0 1 −β 1 δ α (a) Sean g1 = , g2 = , g3 = , g4 = . √ √1 0 0 1 0 1 0 α γ (i) ρ(g1 , αi + β) = αi (ii) ρ(g2 , ρ(g1 , αi + β)) = ρ(g2 , αi) = i (iii) ρ(g3 , ρ(g2 , ρ(g1 , αi + β))) = ρ(g3 , i) = γi (iv) ρ(g4 , ρ(g3 , ρ(g2 , ρ(g1 , αi + β)))) = ρ(g4 , γi) = γi + δ (b) Se dice que la acci´ on ρ es transitiva cuando para cualesquiera z, z 0 ∈ C tales que Im(z), Im(z 0 ) > 0, existe g ∈ G tal que ρ(g, z) = z 0 . (c) Utilizar (a) para demostrar que la acci´on ρ es transitiva. Sean z, z 0 ∈ C arbitrarios, con z = ai + b, z 0 = ci + d, a, b.c.d ∈ R, a, c > 0. Para demostrar que la acci´ on ρ es transitiva, necesitamos construir una matriz g ∈ G tal que 0 ρ(g, z) = z . Consideramos la matriz  √    1 √ 0 c 0 1 d 1 −b a g = g4 g3 g2 g1 = ∈ G. √ √1 0 0 1 0 1 a 0 c El apartado (a) garantiza que ρ(g, z) = z 0 . (d) Determinar el estabilizador del punto i ∈ X. 

  ai + b a b I(i) = ∈ M2×2 (R) | ad − cb = 1, =i c d ci + d    a b = ∈ M2×2 (R) | ad − cb = 1, ai + b = di − c c d    a b = ∈ M2×2 (R) | ad − cb = 1, a = d, b = −c c d    a b 2 2 = ∈ M2×2 (R) |a + b = 1 −b a 1