El teorema de Taylor

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EL TEOREMA DE TAYLOR de Alfredo Salvador C. García

Brook Taylor, retrato.

·

Se considera del Teorema 1. Toda función n veces derivable puede expresarse como la suma de un polinomio y un residuo. la siguiente Demostración: n

1.

i

f  x =∑ k i ·  x−ai    x  , representando a la función

f x

que es

n

veces

i =0

derivable como la suma de un polinomio –la serie–, con residuo 2.

ki

y

ai

constantes, y un

 x  . 0

n

i

f  x =k 0 ·  x−a0  ∑ k i ·  x−ai    x  , separando el término i =1

Nótese que

0

k 0 ·  x−a0  =1 , que es una constante.

1

i=0

de la serie.

n

3.

i−1

f x  x =∑ k i ·i ·  x−ai 

 x  x  , derivando.

i =1 n−1

4.

i

f x  x = ∑ k i1 ·  i1  ·  x−ai1  x  x  , que es equivalente a la anterior. i =0

Si

f xx

n−1

es una función

veces derivable,

f x

lo es

n

veces. Aparte,

  x  ; asimismo cada  i1  · k i1 es una constante que puede representarse como i , ai1 como i , y  x  x  =  x  . Entonces f xx

se representará como

n−1

5.

i

  x = ∑ i ·  x−i    x  queda la ecuación en 4. i =0

n veces la función f  x  se siguen obteniendo expresiones similares a la función   x  como se ha mostrado con esta primera derivación. Derivando

Y porque esta función expresa lo mismo que el planteamiento inicial, es decir, porque es equivalente a la ecuación en 1., se observa que el teorema en cuestión es válido a cada derivación siempre y cuando exista la derivada del residuo correspondiente a la función ya derivada n veces.

n

En resumen, es posible expresar una función un residuo.

veces derivable como la suma de un polinomio y

·

f i  x  para señalar que la función f  x  ha sido derivada

A continuación se emplea la notación

i veces. Con ello n

1.

i

f 0  x  =∑ k i ·  x−ai    x  , es equivalente a la función f  x  . i =0 n

2.

i−1

f 1  x =∑ k i · i·  x−ai  i =1 n

3.

1  x  , como ya se dedujo anteriormente (en 3).

f 2  x  =∑ k i · i·  i−1  ·  x −ai 

i−2

i =2 n

4.

i −3

f 3  x =∑ k i · i·  i−1  ·  i−2  ·  x−ai  i =3 n

5.

n−1

f n  x =∑ k i · ∏  i− j  ·  x−ai  i =n

n  x  , derivando n veces.

n −n

f n  x =k n · ∏  n− j  ·  x −an  j=0

3  x  , derivando por tercera vez.

i−n

j=0

n−1

6.

2  x  , derivando por segunda vez.

n  x  , porque i sólo puede tomar el valor n .

2

n−1

7.

f n  x =k n · ∏  n− j n  x  , simplificando j=0 n

8.

n−1

f n  x =k n · ∏ jn  x 

, porque

j=1

n −n

 x−an 

.

n

∏  n− j =∏ j j =0

.

j=1

n

9.

f n  x =k n ·n !n  x  , ya que por definición n !=∏ j . j=1

10.

k n=

f n  x − n  x  , se deduce. n!

De esto último, porque n sólo es un número arbitrario, la igualdad anterior vale para cualquier caso; por ello se sugiere

11.

f i  x −i  x  . No obstante, k i se definió como una constante que no debería i! depender de x por completo, sino solamente de un valor constante x=q para el cual k i=

la validez del Teorema 1 sigue conservándose. Esto es

f i  q −i  q  , luego i! n f i  q −i q  i 13. f  x  =∑ ·  x −ai    x  i! i =0 12.

k i=

se deduce sustituyendo

ki

en la expresión de la

f  x  como la suma de un polinomio y un residuo. n f i q   q  i i 14. f  x  =∑ ·  x−ai  −∑ i ·  x−ai    x  , separando adecuadamente la serie. i =0 i ! i=0 i ! n n f i q   q  i i 15. f  x  =∑ ·  x−ai  '  x  , siendo '  x =−∑ i ·  x−ai    x  . Esta última i! i =0 i ! i =0 función

n

expresión es idéntica a la expansión original: es la expresión de la suma de un polinomio con un residuo, determinándose la forma de los coeficientes Si se propone

k i ' correspondientes.

ai=a , una única constante, no se contradice ningún argumento anterior.

Por ello n

f i q  i ·  x−a  '  x  se considera. O bien, i =0 i ! n f i q  i 17. f  x  =f  q ∑ ·  x−a '  x  , recordando que por definición i! i =1 16.

f  x  =∑

0 !=1 , y que

f  q =f 0  q  . Continuando, 18.

f  a =f  q  '  a  , si '  a =0 , por ello

x =a . Nada impide la existencia de

3

a

y

q

tales que

19.

f  a =f  q  puede observarse y así a=q es posible. Con ello n

20.

f  x  =∑ i =0

f i a i ·  x−a   '  x  i!

también puede expresarse.

Esto último es el Teorema de Taylor, válido, como ha sido señalado, para cualquier función n veces derivable, expandida con precisión como la suma de un polinomio y un residuo. Nótese que la exigencia de ser

n

veces derivable, descubierta al demostrar el Teorema 1,

se sigue de la forma en que se expresan los coeficientes n

Si

a=0 , se obtiene

f  x =∑ i =0

k i ' del polinomio.

f i  0 i · x  '  x  , que es el Teorema de Mc Laurin, muy i!

posiblemente inferido del mismo modo en que lo fue el Teorema de Taylor.

·

Si

n=1 , el Teorema de Taylor se expresa

f  a =0 , se deduce que

f  x =f  a f x  a  ·  x−a '  x  . Y si, además,

f x − ' '  x  =f x  a  x−a

siendo

f  a  − ' '  a =f x  a  que puede representarse como  a −a

' '  x  =

'  x  . Para x−a

x =a ,

lím f  x  = lím f  x  . x x →a x−a x → a

Tal ecuación es un caso especial de la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015] que permite deducir la igualdad

x k1=x k −

f  xk f x  xk 

, fundamental en el

establecimiento del método de Newton-Raphson [El método de Newton-Raphson, 6 de Febrero de 2015]

·

Del teorema de Mc Laurin se deduce el límite Julio de 2013]: n

1.

f  x =∑ i =0

n

2.

e x =∑ i=0

ex

[La función exponencial del límite «e», 30 de

f i  0 i · x  '  x  , que es el teorema de Mc Laurin. i!

e0 i · x '  x  , porque siendo f  x =e x , f i  x =e x . i!

4

3.

4.

5.

n

xi '  x  , simplificando. i=0 i ! lím lím n x i x e = 1 1 ∑ '  x  , representando el cálculo del límite. →0 → 0 i=0 i ! n n lím n x i lím x e =1 ∑  1 →0 '  x  , de acuerdo a los teoremas de límites correspondientes → 0 i=0 i ! n n x

e =∑

[

]

[Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

lím n x i lím lím m x i lím e =1 ∑ , porque es posible inducir 1 →0 '  x = 1 → 0 ∑ i !  1 → 0 ' '  x  6. → 0 i=0 i ! i =n1 n n n n donde cada término i de la serie es igual a cero: x

Obsérvese,

por

ejemplo,

que

lím x n1 lím 1 1 x n1 = · · 1 1 . → 0  n1  ! → 0  n1  n  n−1  ! n n

lím x n1 lím 1 lím 1 x n1 =1 ·1 · 1 , → 0  n1  ! →0 n →0  n1   n−1  ! n n n

lo

cual

lím n1 x =0 . De la misma forma cualquier término 1 →0  n1  ! n

n1i

implica

Luego,

que

es susceptible de la

misma situación. Considerando que

' '  x 

sólo puede inducirse a partir de términos que cumplen esta

última característica, este residuo en realidad vale cero en su totalidad.

Finalmente,

lím '  x =0 en virtud de lo mencionado. 1 →0 n

Existen casos similares, ya muy conocidos, de series en forma de límite para algunas funciones. Por

lím n −1 i · x 2 ·i1 ∑ ejemplo, sen  x  = 1 → 0 i=0  2 · i1  ! n

lím n −1 i · x 2·i ∑ y cos  x  = 1 . → 0 i=0  2 ·i  ! n ∎ 28 de Marzo de 2015

5

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