El teorema de Taylor
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EL TEOREMA DE TAYLOR de Alfredo Salvador C. García
Brook Taylor, retrato.
·
Se considera del Teorema 1. Toda función n veces derivable puede expresarse como la suma de un polinomio y un residuo. la siguiente Demostración: n
1.
i
f x =∑ k i · x−ai x , representando a la función
f x
que es
n
veces
i =0
derivable como la suma de un polinomio –la serie–, con residuo 2.
ki
y
ai
constantes, y un
x . 0
n
i
f x =k 0 · x−a0 ∑ k i · x−ai x , separando el término i =1
Nótese que
0
k 0 · x−a0 =1 , que es una constante.
1
i=0
de la serie.
n
3.
i−1
f x x =∑ k i ·i · x−ai
x x , derivando.
i =1 n−1
4.
i
f x x = ∑ k i1 · i1 · x−ai1 x x , que es equivalente a la anterior. i =0
Si
f xx
n−1
es una función
veces derivable,
f x
lo es
n
veces. Aparte,
x ; asimismo cada i1 · k i1 es una constante que puede representarse como i , ai1 como i , y x x = x . Entonces f xx
se representará como
n−1
5.
i
x = ∑ i · x−i x queda la ecuación en 4. i =0
n veces la función f x se siguen obteniendo expresiones similares a la función x como se ha mostrado con esta primera derivación. Derivando
Y porque esta función expresa lo mismo que el planteamiento inicial, es decir, porque es equivalente a la ecuación en 1., se observa que el teorema en cuestión es válido a cada derivación siempre y cuando exista la derivada del residuo correspondiente a la función ya derivada n veces.
n
En resumen, es posible expresar una función un residuo.
veces derivable como la suma de un polinomio y
·
f i x para señalar que la función f x ha sido derivada
A continuación se emplea la notación
i veces. Con ello n
1.
i
f 0 x =∑ k i · x−ai x , es equivalente a la función f x . i =0 n
2.
i−1
f 1 x =∑ k i · i· x−ai i =1 n
3.
1 x , como ya se dedujo anteriormente (en 3).
f 2 x =∑ k i · i· i−1 · x −ai
i−2
i =2 n
4.
i −3
f 3 x =∑ k i · i· i−1 · i−2 · x−ai i =3 n
5.
n−1
f n x =∑ k i · ∏ i− j · x−ai i =n
n x , derivando n veces.
n −n
f n x =k n · ∏ n− j · x −an j=0
3 x , derivando por tercera vez.
i−n
j=0
n−1
6.
2 x , derivando por segunda vez.
n x , porque i sólo puede tomar el valor n .
2
n−1
7.
f n x =k n · ∏ n− j n x , simplificando j=0 n
8.
n−1
f n x =k n · ∏ jn x
, porque
j=1
n −n
x−an
.
n
∏ n− j =∏ j j =0
.
j=1
n
9.
f n x =k n ·n !n x , ya que por definición n !=∏ j . j=1
10.
k n=
f n x − n x , se deduce. n!
De esto último, porque n sólo es un número arbitrario, la igualdad anterior vale para cualquier caso; por ello se sugiere
11.
f i x −i x . No obstante, k i se definió como una constante que no debería i! depender de x por completo, sino solamente de un valor constante x=q para el cual k i=
la validez del Teorema 1 sigue conservándose. Esto es
f i q −i q , luego i! n f i q −i q i 13. f x =∑ · x −ai x i! i =0 12.
k i=
se deduce sustituyendo
ki
en la expresión de la
f x como la suma de un polinomio y un residuo. n f i q q i i 14. f x =∑ · x−ai −∑ i · x−ai x , separando adecuadamente la serie. i =0 i ! i=0 i ! n n f i q q i i 15. f x =∑ · x−ai ' x , siendo ' x =−∑ i · x−ai x . Esta última i! i =0 i ! i =0 función
n
expresión es idéntica a la expansión original: es la expresión de la suma de un polinomio con un residuo, determinándose la forma de los coeficientes Si se propone
k i ' correspondientes.
ai=a , una única constante, no se contradice ningún argumento anterior.
Por ello n
f i q i · x−a ' x se considera. O bien, i =0 i ! n f i q i 17. f x =f q ∑ · x−a ' x , recordando que por definición i! i =1 16.
f x =∑
0 !=1 , y que
f q =f 0 q . Continuando, 18.
f a =f q ' a , si ' a =0 , por ello
x =a . Nada impide la existencia de
3
a
y
q
tales que
19.
f a =f q puede observarse y así a=q es posible. Con ello n
20.
f x =∑ i =0
f i a i · x−a ' x i!
también puede expresarse.
Esto último es el Teorema de Taylor, válido, como ha sido señalado, para cualquier función n veces derivable, expandida con precisión como la suma de un polinomio y un residuo. Nótese que la exigencia de ser
n
veces derivable, descubierta al demostrar el Teorema 1,
se sigue de la forma en que se expresan los coeficientes n
Si
a=0 , se obtiene
f x =∑ i =0
k i ' del polinomio.
f i 0 i · x ' x , que es el Teorema de Mc Laurin, muy i!
posiblemente inferido del mismo modo en que lo fue el Teorema de Taylor.
·
Si
n=1 , el Teorema de Taylor se expresa
f a =0 , se deduce que
f x =f a f x a · x−a ' x . Y si, además,
f x − ' ' x =f x a x−a
siendo
f a − ' ' a =f x a que puede representarse como a −a
' ' x =
' x . Para x−a
x =a ,
lím f x = lím f x . x x →a x−a x → a
Tal ecuación es un caso especial de la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015] que permite deducir la igualdad
x k1=x k −
f xk f x xk
, fundamental en el
establecimiento del método de Newton-Raphson [El método de Newton-Raphson, 6 de Febrero de 2015]
·
Del teorema de Mc Laurin se deduce el límite Julio de 2013]: n
1.
f x =∑ i =0
n
2.
e x =∑ i=0
ex
[La función exponencial del límite «e», 30 de
f i 0 i · x ' x , que es el teorema de Mc Laurin. i!
e0 i · x ' x , porque siendo f x =e x , f i x =e x . i!
4
3.
4.
5.
n
xi ' x , simplificando. i=0 i ! lím lím n x i x e = 1 1 ∑ ' x , representando el cálculo del límite. →0 → 0 i=0 i ! n n lím n x i lím x e =1 ∑ 1 →0 ' x , de acuerdo a los teoremas de límites correspondientes → 0 i=0 i ! n n x
e =∑
[
]
[Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].
lím n x i lím lím m x i lím e =1 ∑ , porque es posible inducir 1 →0 ' x = 1 → 0 ∑ i ! 1 → 0 ' ' x 6. → 0 i=0 i ! i =n1 n n n n donde cada término i de la serie es igual a cero: x
Obsérvese,
por
ejemplo,
que
lím x n1 lím 1 1 x n1 = · · 1 1 . → 0 n1 ! → 0 n1 n n−1 ! n n
lím x n1 lím 1 lím 1 x n1 =1 ·1 · 1 , → 0 n1 ! →0 n →0 n1 n−1 ! n n n
lo
cual
lím n1 x =0 . De la misma forma cualquier término 1 →0 n1 ! n
n1i
implica
Luego,
que
es susceptible de la
misma situación. Considerando que
' ' x
sólo puede inducirse a partir de términos que cumplen esta
última característica, este residuo en realidad vale cero en su totalidad.
Finalmente,
lím ' x =0 en virtud de lo mencionado. 1 →0 n
Existen casos similares, ya muy conocidos, de series en forma de límite para algunas funciones. Por
lím n −1 i · x 2 ·i1 ∑ ejemplo, sen x = 1 → 0 i=0 2 · i1 ! n
lím n −1 i · x 2·i ∑ y cos x = 1 . → 0 i=0 2 ·i ! n ∎ 28 de Marzo de 2015
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