ESTIMATIVA DE CONJUNTOS ATRATORES DE SISTEMAS NÃO-LINEARES E DE SUAS ÁREAS DE ATRAÇÃO UTILIZANDO LMI ANDRÉ C. P. MARTINS*, NEWTON G. BRETAS*, LUIS F. C. ALBERTO* *
Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 - Centro - CEP 13.566-590 Escola de Engenharia de São Carlos -USP
E-mails:
[email protected],
[email protected],
[email protected] Abstract The stability analysis of nonlinear systems may involve the analysis of attracting sets, like limit cycles, strange attractors, etc. Methods based on Lyapunov’s Theorem provide an estimate of the region of attraction of isolated equilibrium points, but usually, they are not very systematic and do not apply to attracting sets. This work presents a systematic procedure that allows estimating attracting sets of certain nonlinear systems as well as their region of attraction, using Lyapunov Functions with generic forms. The analyzed systems must be written like Lure Problem, but they are allowed to have nonlinear functions with less restrictive characteristics. Keywords Nonlinear systems, attracting sets, region of attraction, Lyapunov function, Lure problem, LMI. Resumo A análise da estabilidade de sistemas não-lineares pode envolver a análise de conjuntos atratores, como ciclos limites, atratores estranhos, etc. Métodos baseados no Teorema de Lyapunov fornecem estimativas das áreas de atração de pontos de equilíbrio isolados mas, em geral, são pouco sistemáticos e não se aplicam a conjuntos atratores. Este trabalho apresenta um procedimento sistemático que permite estimar conjuntos atratores de uma determinada classe de sistemas não-lineares, assim como sua área de atração, utilizando formas genéricas para as Funções de Lyapunov. Os sistemas considerados são os que podem ser escritos na forma do Problema de Lure, mas com uma característica menos restritiva para a não-linearidade. Palavras-chave Sistemas não-lineares, conjuntos atratores, área de atração, função de Lyapunov, problema de Lure, LMI.
1 Introdução Estudos de estabilidade de sistemas não-lineares surgem em diversos campos da engenharia e podem envolver a determinação de um ponto de operação estável do sistema e sua área de atração, (Khalil, 1992; Bretas e Alberto, 2000). Porém, os conjuntos atratores de sistemas não-lineares podem ser mais complicados (ciclos limites, atratores estranhos, etc) que pontos de equilíbrio isolados. Alguns métodos fornecem informações sobre conjuntos atratores de sistemas não-lineares, como o método da função descritiva, (Miller et al., 1984), e métodos que utilizam os expoentes de Lyapunov ou outros coeficientes similares, (Heidari e Nikias, 1993). Um procedimento numérico proposto por Dellnitz e Hohmann (1997), encontra com bastante precisão conjuntos atratores. Entretanto, entre outras limitações, estes métodos não fornecem informações acerca da área de atração. Um procedimento analítico utilizado por Dieudelot e Borne (2001), permite estimar possíveis conjuntos atratores do sistema original. Mas esse procedimento envolve uma escolha, para cada sistema analisado, de um sistema auxiliar e de uma norma vetorial. Além disso, a área de atração também não é contemplada. Métodos baseados no Teorema de Lyapunov podem fazer estimativas, ainda que conservadoras, da área de atração de pontos de equilíbrio estáveis. Em geral, a busca por Funções de Lyapunov depende do
sistema analisado. Entretanto, para uma classe particular de sistemas, Problema de Lure, existem formas gerais para a Função de Lyapunov, (Khalil, 1992; Haddad e Kapila, 1995). Neste trabalho foi desenvolvido um procedimento sistemático que permite estimar um possível conjunto atrator, e sua área de atração, de uma classe de sistemas não-lineares. Esta classe é formada por sistemas que podem ser escritos na forma do Problema de Lure com apenas uma não-linearidade, mas com característica menos restritiva que a do Problema de Lure original. Os parâmetros da Função de Lyapunov são obtidos resolvendo-se uma desigualdade linear matricial (LMI). 2 Fundamentos Teóricos 2.1 Sistemas Não-Lineares Esta seção apresenta de forma sucinta os principais conceitos matemáticos utilizados no artigo. Maiores detalhes ou as demonstrações aqui omitidas podem ser encontrados em Rodrigues et al. (2000), Gameiro e Rodrigues (2001), Horn e Johnson (1996) e Khalil (1992). Seja o sistema não-linear: x = f (t , x) ∀t ≥ 0
(2.1)
A origem é um ponto de equilíbrio deste sistema se as trajetórias partindo do ponto x = 0 permanecem nele indefinidamente, isso implica que f (t ,0) = 0
∀t ≥ 0 . O ponto de equilíbrio x = 0 do sistema (2.1) é dito ser uniformemente assintoticamente estável se, dado ε > 0 arbitrariamente pequeno, existir um δ (ε ) > 0 , tal que, para toda condição inicial x0 satis-
fazendo
x0 < δ , x(t ) → 0 quando t → ∞ , unifor-
memente em t0 . Além disso, define-se a área de atração deste ponto como o conjunto A (0 ) = {x 0 ∈ R n : ∃ t 0 ∈ R + | x (t 0 ) = x 0 e x (t ) → 0 qdo t → ∞ } .
O Teorema de Lyapunov fornece condições suficientes para que um ponto de equilíbrio seja uniformemente assintoticamente estável.
simples, bem como o Teorema de Lyapunov. Nesse caso um resultado similar ao do Teorema de Dissipatividade é dado abaixo. Extensão do Princípio de Invariância de LaSalle: Sejam o sistema autônomo não linear x = f ( x) e uma função V ( x ) , onde f : R n → R n e V : R n → R 1
são funções de classe C . Seja L∈R uma constante tal que o conjunto ΩL = {x ∈ Rn : V ( x) < L} é limitado. Seja o conjunto C = {x ∈ Ω L :V ( x) > 0}, suponha que n sup V ( x ) = l < L e defina Ω l = {x ∈ R : V ( x) ≤ l } e x∈C
Teorema de Lyapunov: Seja x = 0 um ponto de equilíbrio do sistema (2.1) e uma função V (t , x) , onde f : [0, ∞) × D ⊂ R n → R n e V : [0, ∞) × D ⊂ R n → R são funções de classe C1, tais que a( x ) ≤ V (t , x) ≤ b( x ) e ∂V (t , x ) ∂V (t , x ) + f (t , x ) ≤ −c ( x ∂t ∂x
)
∀t ≥ 0 , ∀x ∈ D , onde
a (⋅) , b(⋅) e c (⋅) são funções estritamente crescentes definidas em [0, r ) com a (0) = b(0) = c (0) = 0 . Então, a origem é um ponto de equilíbrio uniformemente assintoticamente estável do sistema.
As características da função V (t , x ) podem ser menos restritivas, conforme estabelecido pelo Teorema da Dissipatividade Uniforme. Teorema da Dissipatividade Uniforme: seja o sistema (2.1) e uma função V (t , x) , onde f : R × R n → R n e V : R × R n → R são funções de classe C1, tais que ∂V ∂V e a(x ) ≤ V (t , x) ≤ b(x ) + f (t , x ) ≤ − c ( x ) ∂t ∂x ∀(t , x ) ∈ R × R n , onde a (⋅) , b (⋅) e c (⋅) são funções n
E = {x ∈ Ω L : V ( x) = 0} Ω l . Seja M o maior conjunto
invariante do sistema contido em E. Então toda solução do sistema começando em Ω L converge para M quando t→∞. Além disso, toda solução começando em Ωl permanece em Ωl e tende para o maior conjunto invariante contido em Ωl . É importante notar que, nesse caso, Ωl e Ω L são estimativas de um conjunto atrator do sistema autônomo e de sua área de atração, respectivamente. O teorema abaixo, desenvolvido neste trabalho, será utilizado para demonstrar o procedimento. Teorema 1: Seja h(t , x) : [a, b] × D ⊂ R × R n → R p uma função de classe C 1 em [ a , b ] × D . Seja uma
[
função ∆ ΦT
W (t , x) = xT
h(t , x)T
] Φ∆
T
Φ x , Σ h(t , x)
onde
Φ < 0 . Então, W (t , x ) é uma função de classe Σ
C 1 em [ a , b ] × D e, ∀t ∈ [ a , b ] e ∀x ∈ D com x ≠ 0 , W (t , x ) ≤ x T ∆ − ΦΣ −1Φ T x < 0 .
[
]
escalares contínuas, definidas em R , sendo que a (⋅) é radialmente ilimitada. Assuma que existe ρ > 0 , tal que o conjunto C ρ = {x ∈ R n : c( x) ≤ ρ } é
2.2 Problema de Lure
não-vazio e limitado. Seja r suficientemente grande tal que r > sup b( x) , e considere o conjunto definido
O Problema de Lure consiste na análise de sistemas não lineares da forma:
x∈C ρ
por Α r = {x ∈ R n : a( x) ≤ r }. Então: i) Dada uma condição inicial (t 0 , x0 ) ∈ R × R n a solução do sistema está definida ∀t ≥ t 0 e existe t1 ≥ t0 tal que a solução pertence ao conjunto Α r para todo t ≥ t1 .
ii) As trajetórias limitadas do sistema estão contidas no conjunto Α r . Nesse caso não se pode falar em estabilidade de um ponto, mas sim de um conjunto. Assim, Α r é uma estimativa de um conjunto atrator do sistema (2.1). Se a função não-linear da eq. (2.1) é invariante no tempo, o sistema é autônomo. Neste caso, as definições de estabilidade e área de atração são mais
x = Ax − Bh(t , y) y = Cx
(2.2)
onde as matrizes são de dimensão conveniente, a matriz A é Hurwitz, a não linearidade é descentralizada, h(t , y ) = [h1 (t , y1 ) h p (t , y p )]T , e satisfaz uma
setorialidade definida por h(t , y )T [h(t , y ) − Ky ] ≤ 0 numa região Γ = {y ∈ R p : ai ≤ yi ≤ bi } contendo a origem, com K = diag ( k i ) > 0 .
A origem da parte linear do sistema é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável, o Problema de Lure consiste em determinar se a origem permanece assintoticamente estável para qualquer nãolinearidade que satisfaça a setorialidade dada. Caso
isso ocorra, diz-se que a origem é absolutamente estável num domínio finito. O Problema de Lure pode ser analisado com o Teorema de Lyapunov, utilizando a função quadrática da eq. (2.3), ou com a Função de Lyapunov Tipo Lure da eq. (2.4), quando a não-linearidade não variar com o tempo (sistema autônomo), onde P > 0 e N = diag (η i ) ≥ 0 . (2.3)
V ( x) = x T P x
V ( x) = x P x + 2 T
Cx 0
T
h( y ) N dy
(2.4)
3 Procedimento Desenvolvido
O procedimento desenvolvido trata de sistemas que podem ser escritos na forma do Problema de Lure considerando-se apenas uma não-linearidade. Porém, as não-linearidades podem ter características menos restritivas que as do problema original. Sistemas autônomos e não-autônomos são tratados separadamente. 3.1 Sistemas Não-Autônomos Seja um sistema não-linear escrito na forma do Problema de Lure: x = A x − B h (t , y ) y = cT x
(3.1)
i) 0 ≤ h(t , y ) ≤ Ky ∀t , ∀y ∈ R : 0 ≤ β ≤ y ≤ b
(3.2)
ii) h(t , y) ≤ m ∀t , ∀y ∈ R : α ≤ y ≤ β
(3.3)
A condição i, eq. (3.2), ilustrada na fig. 3.1, é equivalente a: h(t , y ) K −1 [h(t , y ) − Ky ] ≤ 0
(3.4)
vetor c e ortonormais entre si, λM o maior autova-
(
)
formado pelas 2 n soluções do sistema linear n T [c c1 cn −1 ] z = d k , cada vetor d k uma das 2 T possíveis combinações d k = [α ou β ± σ ±σ ] . Suponha que L > l . Então, dada um condição inicial (t 0 , x0 ) , onde x0 ∈ Ω L = {x ∈ R n : x T P x < L}, existirá t1 ≥ t0 tal que a solução do sistema estará contida no conjunto Ω l = {x ∈ R n : x T P x ≤ l } para todo t ≥ t1 .
Dem.: Seja a função da eq. (2.3), sua derivada temporal é V (t , x ) = x T ( P A + A T P ) x − 2 x T PB h (t , c T x ) . Mas, no conjunto Γ− , as eq. (3.2) e (3.4) são satisfeitas e, para algum τ ≥0 x AT P + PA − PB + τ c . T T V (t , x) ≤ [x h(t , c x)]
V (t , x) ≤ x T
uma região em R n , delimitada por hiperplanos, da seguinte forma:
a2 b2 , T −1 , −1 c P c c P c T
m PB 2 . Onde o conjunto Z é l = max z T P z e σ = 2 V z∈Z V λM
Mas,
Os intervalos [a,α ] e [b, β ] em R , definem
(3.5)
Teorema 2: Seja o sistema não-linear da eq. (3.1) satisfazendo as eq. (3.2) e (3.3). Suponha que exista uma matriz simétrica P > 0 e uma constante τ ≥ 0 , AT P + PA − PB + τ c Seja tais que < 0. − BT P + τ cT − 2τK −1 {c1 , c2 , , cn−1 } um conjunto de vetores ortogonais ao
− BT P + τ c T
Figura 3.1: Característica das não-linearidades consideradas.
}
Ao contrário do Problema de Lure original, a origem deste sistema pode não ser um ponto de equilíbrio. Entretanto, como a não-linearidade viola a condição de setorialidade apenas numa vizinhança da origem, pode ser que exista um conjunto atrator em torno desta. Se houver, é interessante poder estimálo, juntamente com sua área de atração. Pois se os estados dentro deste conjunto atrator estiverem suficientemente próximos do ponto de operação desejado, de modo que possam ser considerados pontos de operação aceitáveis, estará configurada, conforme LaSalle e Lefschetz (1961), a estabilidade prática para este sistema. O teorema abaixo fornece estimativas de um possível conjunto atrator do sistema (3.1) e de sua área de atração.
lor da matriz AT P + PA , L = min
onde a não-linearidade h (t , y ) é uma função de classe C1 que satisfaz condições de setorialidade e limitação, respectivamente:
Ky ≤ h(t , y ) ≤ 0 ∀t , ∀y ∈ R : a ≤ y ≤ α ≤ 0
{
Γ− = x ∈ R n : a ≤ c T x ≤ α ; β ≤ c T x ≤ b
do
teorema
1,
− 2τK −1
h(t , cT x)
tem-se
que
(− PB + τ c)(− B T P + τ c T ) ( P A + A T P) + x σ = 2 m PB 2 . Pela definição de ck , 2 λM
{x ∈ R
n
k = 1,
{
} {
: x 2 ≤ σ ⊂ x ∈ R n : −σ ≤ ckT x ≤ +σ
}
para
, n − 1 . Desse modo, no conjunto convexo
Q+ = x ∈ R n :α ≤ c T x ≤ β
}
{x ∈ R
n
k =1, , n −1
: −σ ≤ c kT x ≤ σ
}
Seja a função V ( x) = x T P x + 2η
0 T
h(u )du , os
e Γ− = {x ∈ R n : a ≤ c x ≤ b} Γ+ = {x ∈ R : α ≤ cT x ≤ β } {x ∈ R n : x 2 ≤ σ }. Supo-
conjuntos
n
não é possível garantir que V (t , x) < 0 . Pela convexidade, o máximo de V ( x ) em Q+ ocorre nos vértices de Q+ , ZV . Além disso, utilizando os multiplicadores de Lagrange pode-se calcular analiticamente os mínimos de V ( x ) sobre os hiperplanos c T x = a e
c T x = b , respectivamente, a 2 cT P −1 c e b 2 cT P −1 c . Define-se então os conjuntos Ω l e Ω L , onde, por hipótese, L > l . A aplicação do Teorema da Dissipatividade Uniforme completa a demonstração. É importante notar que pode-se obter a matriz P , que satisfaça o teorema, resolvendo-se o problema de otimização da eq. (3.6) por meio de algoritmos de solução de LMI. O cálculo da matriz P feito desta forma é sistemático e ao mesmo tempo tende a melhorar a estimativa do conjunto atrator. Os vetores {c1 , , cn −1} podem ser calculados ortonormalizando os vetores {c, e1 , , en } , tomando por base o vetor c e desprezando, ao final do processo, este vetor e o vetor nulo resultante, onde {e1 , , en } é a base euclidiana n-dimensional.
nha que existam constantes L e l , tais que para algum L > l , Ω L = x ∈ R n : V ( x) < L ⊂ Γ− e Ω l = x ∈ R n : V ( x ) ≤ l ⊃ Γ+ . Então, toda solução
{
}
{
sistema começando em Ωl permanece em Ωl , ∀t ≥ 0 . Dem.: Seja a função V (x ) dada, sua derivada tempo-
ral
V ( x ) = x T ( P A + A T P ) x − 2 x T PB h(c T x ) +
é
[
]
+ 2ηh(c T x)c T A x − Bh(c T x) . Mas, no conjunto
{x ∈ R
Q− = Γ−
n
}
: α ≥ c x ≥ β a eq. (3.4) é satisT
feita e pelo Teorema 1, para algum τ ≥ 0
[
V ( x ) ≤ x T ( P A + AT P ) +
+
(− PB + η AT c + τ c)(− B T P + η c T A + τ c T ) x < 0. 2τK −1 + η c T B + η B T c
não-linearidade (3.6)
}
do sistema começando em Ω L tende para o conjunto Ω l , quando t → ∞ . Além disso, toda solução do
Na região definida por
min λM = λmax {AT P + PA} P>0 AT P + PA − PB + τ c 0 e constantes e tais que τ ≥0 η ≥ 0, − PB + η AT c + τ c
P A + AT P − B P +η c A +τ c T
Seja σ = m
T
− 2τK
T
PB − ηAT c + 2
−1
−η c B −η B c T
T
< 0.
2
PB − ηAT c + 2η λM cT B
λM
2
,
onde λM é o maior autovalor da matriz AT P + PA .
x 2 >σ = m
PB − ηAT c + 2
2
PB − ηAT c + 2η λM cT B
λM
2
.
Define-se então os conjuntos limitados Ω l e Ω L , onde, L > l . A aplicação da Extensão do Princípio de Invariância de LaSalle completa a demonstração. Nesse caso, a função V ( x ) em geral não é convexa. Portanto, a determinação das constantes L e l não pode ser feita analiticamente. Seja a matriz M=
P A + AT P − B P + η cT A + τ cT T
matriz P e a constante
− PB + η AT c + τ c , − 2τK −1 − η c T B − η B T c
a
η , satisfazendo o teorema,
podem ser obtidas resolvendo-se o problema de otimização da eq. (3.7).
(3.7)
0.5
X1
min λ M = λmax {AT P + PA} s.a. {P > 0 η ≥ 0 M < 0 τ ≥ 0
4 Exemplos Numéricos
0
-0.5
Dois sistemas clássicos em estudos não-lineares foram usados como exemplo numérico. A Equação de Duffing Forçada é analisada utilizando o procedimento desenvolvido para sistemas nãoautônomos e o Sistema de Van der Pol, com o procedimento desenvolvido para sistemas autônomos.
5
10
15
20 Tempo [s]
25
30
35
40
5
10
15
20 Tempo [s]
25
30
35
40
X2
0.5
0
-0.5
Figura 4.1: Trajetórias de x1 e x2 , respectivamente.
4.1 Equação de Duffing Forçada
Seja o sistema dinâmico não-autônomo dado por fazendo Mz + kc z + k m z + k m ρ 2 z 3 = ku cos(ω t ) , x1 = z e x2 = z e adotando km = ku = M = kc 10 e ρ = ω = 1,0 , o sistema pode ser escrito na forma do
de c1 = [0 1] é trivial. Resolvendo-se o problema T
da eq. (3.6) obtém-se P = 9,710 0,953 , τ = 0,969 0,953 0,200
e λM = −1,904 . Portanto, σ = 2,045 , L = 516,950 e l = 14,443 , do Teorema 2 pode-se construir estimativas do ciclo limite estável, Ωl , e de sua área de atração, Ω L , mostradas na fig. 4.2, onde:
40 20
X2
0 , 1 , problema de Lure, onde A = 0 B= 1 − 1 − 10 c T = [1 0] e h(t , y ) = y 3 − cos(t ) . Este sistema possui um ciclo limite estável em torno da origem. A fig. 4.1 mostra parte das trajetórias de x1 e x2 para várias condições iniciais e para três tempos iniciais igualmente espaçados dentro de um período de h(t , y ) . Cada conjunto de trajetórias que entram em fase corresponde a um tempo inicial distinto. Em geral o conjunto Γ− depende da setorialidade escolhida, nesse caso, para K = 100 , calcula-se α = − β = −1 , a = −b = −9,995 e m = 2 . O cálculo
60
0 -20 -40 -60 -10
-5
0 X1
5
10
Figura 4.2: Estimativa do ciclo limite e de sua área de atração.
4.2 Sistema de Van der Pol Seja o sistema dinâmico autônomo dado por v + ε f ′(v )v + v = 0 , onde f (v ) = −v + 13 v 3 . Fazendo v x1 = − − h(v) e x2 = v , o sistema pode ser escrito
ε
−1 na forma do problema de Lure, com A = 0 ε , −ε −ε
B=
0 , c T = [0 1] , h( y ) = −2 y +
ε
1 3
y 3 . Nesse caso,
m = 4 2 3 e α = − β = − 6 , adotando ε = 1,0 e
•
as trajetórias para diversas condições iniciais, curvas contínuas; os hiperplanos cT x = a e cT x = b , retas pontilhadas externas, e cT x = α e cT x = β , retas pontilhadas internas; a fronteira dos conjuntos Ω L e Ωl , respectiva-
K = 30,0 calcula-se a = −b = − 92 . Este sistema possui um ciclo limite estável em torno da origem. Usando o Teorema 3 é possível obter uma Função Estendida de Lyapunov para este sistema, eq. (4.1), que permite estimar o ciclo limite e sua área de atração, fig. 4.3, que mostra também:
•
mente as elipses contínuas externa e interna; a hiper-esfera x ∈ R n : x 2 = σ , elipse pontilha-
•
• •
{
da.
}
•
•
as trajetórias para diversas condições iniciais, curvas contínuas; os hiperplanos cT x = a e cT x = b , retas pontilhadas externas, e cT x = α e cT x = β , retas pontilhadas internas; a fronteira dos conjuntos Ω L e Ωl , respectivamente as elipses contínuas externa e interna;
{
}
•
a hiper-esfera x ∈ R n : x
•
pontilhada; a região onde V ≥ 0 , região cinza. x1
= σ = 5,302 , elipse
2
T
x1
6,212 2,071 2,071 4,143 x2 + 2,368 − x22 + 121 x24
V ( x1 , x2 ) =
[
+
x2
]
(4.1)
Agradecimentos
A setorialidade escolhida limita a estimativa da área de atração, conjunto Ω L , aumentando-se o valor de K é possível expandir Ω L . No limite, quando K → ∞ , K −1 → 0 , fazendo K −1 = 0 calcula-se 52,805 17,517 e σ = 6,491 . η = 17,517 , P = 17,517 36,666 Nesse caso, a estimativa do conjunto atrator é ligeiramente pior que no primeiro caso. Entretanto, sua área de atração é todo o R 2 , ou seja, o ciclo limite é globalmente estável.
10 8 6 4
X2
2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -20
-15
-10
-5
0 X1
Uma dificuldade do procedimento é colocar o sistema a ser analisado na forma do Problema de Lure e, no caso autônomo, calcular as constantes L e l numericamente. Além disso, mais estudos são necessários para estender a análise para sistemas com mais de uma não-linearidade.
5
10
15
20
Figura 4.3: Estimativa do ciclo limite e de sua área de atração.
5 Conclusão
Neste trabalho é apresentado um procedimento sistemático para estimação de conjuntos atratores e de suas áreas de atração. Este procedimento se aplica a sistemas não-lineares que podem ser escritos na forma do Problema de Lure, mas com uma característica mais geral para a não-linearidade. O procedimento trata apenas de sistemas com uma única nãolinearidade, embora esta possa ser variante ou invariante no tempo. O procedimento desenvolvido foi aplicado em dois sistemas clássicos nos estudos de sistemas não lineares, Equação de Duffing Forçada e Sistema de Van der Pol. Os resultados mostram que o procedimento fornece boas estimativas para os conjuntos atratores e suas áreas de atração. O procedimento também pode ser usado, no caso do Sistema de Van der Pol, para mostrar que o conjunto atrator é globalmente estável.
Agradecemos à FAPESP pelo suporte financeiro. Referências Bibliográficas Boyd, S. et al. (1994). Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SIAM. Bretas, N.G. e Alberto, L.F.C. (2000). Estabilidade transitória em sistemas eletroenergéticos. São Carlos: EESC-USP. Dellnitz, M. e Hohmann, A. (1997). A subdivision algorithm for the computation of unstable manifolds and global attractors. Numerische Mathematik, v.75, p.293-317. Dieudelot, J-Y. e Borne, P. (2001). An estimation of the stability domain of a fuzzy controled pendulum using overlapping attractors and vector norms. IEEE 2001 International Conference on Systems, Man and Cybernetics, v.4, p.2245-9. Ferrante, A. e Pandolfi, L. (2002). On the solvability of the positive real lemma equations. Systems and Control Letters, v.47, p.211-9. Gameiro, M.F. e Rodrigues, H.M. (2001). Applications of robust synchronization to communication systems. Applicable Analysis, v.79, p.21-45. Haddad, W.M. e Kapila, V. (1995). Absolute stability criteria for multiple slope-restricted monotonic nonlinearities. IEEE Transactions on Automatic Control, v.40, n.2, p.361-5. Heidari, S. e Nikias, C.L. (1993). Characterizing chaotic attractors using fourth-order off-diagonal cumulant slices. The 27th Asilomar Conference on Signal, Systems and Computers, v.1, p.466-70. Horn, R.A. e Johnson, C.R. (1996). Matrix Analysis. New York: Cambridge. Khalil, H.K. (1992). Nonlinear systems. New York: Prentice Hall. LaSalle, J. e Lefschetz, S. (1961). Stability by Liapunov’s direct method with applications. New York: Academic Press. Miller, R.K. et al. (1984). Stability analysis of limit cycles in nonlinear feedback systems using describing functions: improved results. IEEE Transactions on Circuit and Systems, v.CAS-31, n.6, p.561-7. Nemirovskii, A. e Gahinet, P. (1994). The projective method for solving linear matrix inequalities. Proceedings of the American Control Conference, p.840-4. Rodrigues, H.M. et al. (2000). On the Invariance Principle. Generalizations and Applications to Synchronization. IEEE Transactions on Circuits and Systems I, v. 47, n. 5, p. 730-739.
