Universidade Federal de Mato Grosso Instituto de F´ısica Bacharelado em F´ısica Laborat´orio de F´ısica IV
Interferˆ encia da Luz em Fenda Dupla Docente: Carlos Manuel S´anchez Tasayco Discentes:Alice Caroline Oliveira Viana, Thiago Silva Vieira, Sinara Santos Dourado e Wesley Renan Diehl da Silva
Cuiab´a - MT Abril de 2016
Universidade Federal de Mato Grosso Instituto de F´ısica Bacharelado em F´ısica Laborat´orio de F´ısica IV
Interferˆ encia da Luz em Fenda Dupla Este trabalho foi realizado para caracterizar redes de difra¸ca˜o e aplic´a-las na an´alise do espectro de uma onda eletromagn´etica, com atrav´es de fenˆomenos da difra¸ca˜o, orientado pelo Prof.º Dr. Carlos Manuel S´anchez Tasayco. E-mails:
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Cuiab´a - MT Fevereiro de 2016
Resumo O trabalho foi produzido com o intuito de utilizar o fenˆomeno da difra¸c˜ao para a medida das dimens˜oes de pequenas estruturas, caracterizar redes de difra¸co˜es e aplic´a-las na an´alise do espectro de uma onda eletromagn´etica.
Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao
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2 Fundamentos Te´ oricos 2.1 Interferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Materiais
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4 Procedimento Experimental
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5 Resultados e Analise de Dados 5.1 Dados Coletados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Question´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Conclus˜ ao e Discuss˜ oes
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7 Bibliografia
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Introdu¸c˜ ao
Em uma mancha de o´leo molhada, em bolhas de sab˜ao ou na face de um CD ´e poss´ıvel observar-se a forma¸c˜ao de imagens com as cores do arco-´ıris. As asas da borboleta Morpho apresentam um azul brilhante na superf´ıcie superior. A forma¸c˜ao destas cores se deve ao fenˆomeno de interferˆencia estudado nesta rotina. O fenˆomeno de interferˆencia ocorre quando duas ondas se combinam. A forma¸ca˜o das cores nas manchas de ´oleo e nas bolhas de sab˜ao, por exemplo, se deve a` interferˆencia entre as ondas eletromagn´eticas refletidas pelas partes superior e inferior de uma fina camada ´oleo ou de uma pel´ıcula formada pela solu¸ca˜o de ´agua e sab˜ao. O fenˆomeno de interferˆencia tamb´em ´e utilizado em c´edulas por meio das tintas com as quais s˜ao produzidas, isso faz com que a cor delas mude de acordo com o ˆangulo de observa¸c˜ao, isso dificulta o trabalho de fals´arios pois as copiadoras s´o conseguem reproduzir a cor de um u ´nico ponto de vista. A interferˆencia tamb´em possui um papel muito importante na ´otica, pois o estudo deste fenˆomeno esta diretamente relacionado ao aspecto ondulat´orio da luz. Ao contr´ario do que ocorre na o´tica geom´etrica, em que a luz ´e considera como um feixe, para o entendimento do fenˆomeno de interferˆencia a luz precisa ser considerada como uma onda. Os efeitos ´oticos derivados da natureza ondulat´orio da luz s˜ao tradados pela o´tica f´ısica. Nesta rotina reproduziu-se um experimento an´alogo ao experimento realizado pelo cientista inglˆes Thomas Young, que consiste em fazer com que uma luz monocrom´atica atravesse duas fendas, o que produz diversas regi˜oes iluminadas, alternadas com regi˜oes n˜ao iluminadas, sobre um anteparo. Quando a luz encontra um obst´aculo que possui uma abertura com dimens˜oes compar´aveis ao seu comprimento de onda, a parte da luz que passa pela abertura ´e difratada podendo sofre o fenˆomeno de interferˆencia. Na experiˆencia realizada determinou-se a distˆancia entre as fendas utilizando-se o fenˆomeno da difra¸ca˜o, essa t´ecnica ´e utilizada na determina¸ca˜o das dimens˜oes de pequenas estruturas.
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2 2.1
Fundamentos Te´ oricos Interferˆ encia
No caso deste estudo, pode-se definir interferˆencia como sendo a superposi¸ca˜o de duas ou mais ondas na mesma regi˜ao do espa¸co. Devendo tomar como base a natureza ondulat´oria da luz, ou seja, tomando-a como uma onda eletromagn´etica. Pelo princ´ıpio da superposi¸ca˜o, diz-se que: ”Quando duas ou mais ondas se superp˜oe, o deslocamento resultante em qualquer ponto em um dado instante pode ser determinado somando-se os deslocamentos instantˆaneos de cada onda como se ela estivesse presente sozinha.” Os efeitos de interferˆencia podem ser estudados combinando ondas senoidais com uma u ´nica frequˆencia f e comprimento de onda λ. De maneira pr´atica, toma-se uma fonte S produtora de ondas senoidais na qual a distˆancia entre duas frentes de onda (ao longo deste trabalho, frente de onda se refere a` crista da onda) caracterizam um comprimento de onda λ. Dizer que a fonte produz uma onda senoidal caracteriza a produ¸ca˜o de luz monocrom´atica. Na pr´atica, ser´a estudado a interferˆencia da luz em uma fenda dupla, experimento esse realizado pelo cientista inglˆes Thomas Young. Ao incidir luz monocrom´atica em um anteparo opaco com duas fendas necessariamente estreitas e pr´oximas em outro anteparo opaco, pelo princ´ıpio de Huygens, cada fenda atuar´a como se fosse uma nova fonte de luz. E ser˜ao visualizadas as franjas de interferˆencia de m´aximos e m´ınimos provenientes das fendas. Tomando as duas fendas como S1 e S2 , seja r1 a distˆancia entre qualquer ponto P e S1 e seja r2 a distˆancia entre qualquer ponto P e S2 . Para que ocorra interferˆ encia construtiva (estando S1 e S2 em fase), ´e necess´ario que a diferen¸ca de caminho r1 − r2 para as duas fontes deve ser um m´ ultiplo de um n´ umero inteiro do comprimento de onda λ: r1 − r2 = mλ
(m = 0, ±1, ±2, ...)
(1)
Caso a diferen¸ca de caminho r1 − r2 seja um n´ umero semi-inteiro de comprimento de onda, as duas fontes chegar˜ao a` P com uma diferen¸ca de fase igual a meio ciclo. De tal forma que a crista de uma onda chegar´a junto com o vale da outra, causando o cancelamento total ou parcial das ondas individualmente, a isto d´a-se o nome de interferˆ encia destrutiva: 1 r1 − r2 = (m + )λ 2
(m = 0, ±1, ±2, ...)
3
(2)
A figura a seguir facilitar´a a compreens˜ao do problema:
Figura 1: Experimento de fenda dupla de Young Tomando a distˆancia R entre o plano das fendas e o anteparo muito maior que a distˆancia d entre as fendas, por geometria simples obtˆem-se: r1 − r2 = dsenθ
(3)
De modo que para a interferˆencia construtiva: (m = 0, ±1, ±2, ...)
dsenθ = mλ
(4)
E para a interferˆencia destrutiva: 1 (m = 0, ±1, ±2, ...) (5) dsenθ = (m + )λ 2 Onde θ ´e o aˆngulo entre uma das retas tra¸cadas a partir de uma das fendas e a dire¸ca˜o da normal ao plano das fendas. Como (R>>d), θ pode ser considerado t˜ao pequeno que seja v´alida a rela¸ca˜o tanθ ≈ senθ. E seja ym a distˆancia do m´aximo central at´e o centro da franja brilhante de ordem m, ent˜ao: ym = R tanθ = R senθ
(6)
Utilizando a equa¸ca˜o (4), obtˆem-se para a distˆancia entre as franjas de interferˆencia (construtiva neste caso) na experiˆencia de Young: ym = R
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mλ d
(7)
3
Materiais • • • • •
Laser He − N e(λ = 632, 8nm). Suporte com placas de fenda dupla com diversas separa¸co˜es. Trena. Anteparo. Papel milimetrado.
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Procedimento Experimental
Posicionou-se o suporte a 1m do anteparo, ajustou-se o banco o´tico com o anteparo para que estivessem perpendiculares. Ligou-se o laser, fazendo com que passa-se exatamente no meio das duas fendas do suporte, e verificou-se a interferˆencia produzida no anteparo. Prendeu-se uma folha milimetrada no anteparo de modo que ficasse alinhada com a interferˆencia produzida. Identificou-se os m´aximos e m´ınimos produzidos sobre a folha milimetrada. Marcou-se na folha as posi¸co˜es de M´aximos e M´ınimos causados pela interferˆencia. Determinou-se a distˆancia entre os dois primeiros m´ınimos, depois entre os dois segundos at´e a 5 distˆancia entre os m´ınimos Depois repetiu-se o procedimento para outra separa¸ca˜o de fenda do suporte.
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Resultados e Analise de Dados
5.1
Dados Coletados
Caracter´ısticas das Aberturas
M´ınimos 1° 2° 3° 4° 5° 6° 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Abertura 1
Abertura 2
Distˆ ancia 2x(mm) 7,6 12,2 19,65 26 31,55 38,55 7,75 14,6 23 30,1 37 44,2
Tabela 1: Dados coletados
5.2
Question´ ario
Imagem usada para responder o question´ ario.
Figura 2: Geometria da Experiˆencia de Young
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1. Com base na geometria, escreva uma express˜ao para calcular o aˆngulo formado entre a dire¸ca˜o do eixo central e a dire¸ca˜o de cada m´ınimo. Estes aˆngulos s˜ao calculados considerando que a dire¸c˜ao de cada m´ınimo, a dire¸ca˜o do eixo central (distˆancia L) e a distˆancia dos m´ınimos ao eixo central (y) no anteparo formam um triˆangulo retˆangulo. Como pode ser observado pela 5.2, a distˆancia entre a placa com as fendas e o anteparo ´e L, e a distˆancia entre o eixo central e um ponto de interferˆencia (P ), pode-se supor que seja um m´ınimo, ´e y. De forma que o ˆangulo formado entre a dire¸ca˜o do eixo central e a dire¸ca˜o de cada m´ınimo (yn ) pode ser dado pela geometria do problema: tan θ =
yn L
(8)
2. Com base na ´optica f´ısica, escreva uma express˜ao para calcular o ˆangulo formado entre a dire¸ca˜o do eixo central e a dire¸c˜ao de cada m´ınimo devido a interferˆencia. As fendas se comportam como fontes coerentes de luz que conseguem produzir um padr˜ao est´avel de interferˆencia no anteparo. Sabe-se que esse padr˜ao de interferˆencia num ponto qualquer ´e dado por r2 − r1 , como a distˆancia (L) entre as fendas e o anteparo ´e muito maior do que a abertura (d) entre as fendas, L d, os raios emergentes podem ser considerados paralelos e a diferen¸ca de percurso ´e calculada por: r2 − r1 = d sin θ Quando a diferen¸ca dos percursos ´e igual a um m´ ultiplo de um n´ umero ´ımpar de meio comprimento de onda, h´a interferˆencia destrutiva (m´ınimos): 1 λ d sin θ = n + 2 sin θ =
1 n+ 2
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λ d
(9)
3. Combine as express˜oes dos itens anteriores de forma a resultar uma equa¸ca˜o para a distˆancia (x) entre os m´ınimos e o eixo central em fun¸ca˜o da ordem (n) deste m´ınimos. Lembre-se que para θ pequeno vale a aproxima¸ca˜o sin θ ≈ tan θ. Fazendo essa aproxima¸c˜ao, igualando as equa¸c˜oes 1 e 2 obtˆem-se: 1 λ yn = n+ L 2 d
1 Lλ d= n+ 2 yn
(10)
4. Usando os resultados para a primeira abertura da tabela, fa¸ca um gr´afico representando a ordem dos m´ınimos (n) no eixo horizontal e a distˆancia entre os m´ınimos e o eixo central (x) no eixo vertical. Qual o significado f´ısico dos coeficientes deste gr´afico?
Figura 3: Gr´afico n × yn
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5. Ajuste a reta aos pontos medidos e determine a sua equa¸c˜ao Se y(m) ´e a fun¸c˜ao que d´a os pontos coletados no laborat´orio e deseja-se aproxim´a-la por a uma reta f (x) = b + ax, pela ´algebra linear, pode-se obter f (x) encontrando os coeficiente a e b pela solu¸c˜ao do sistema: ( ( < y(m) − f (x), 1 >= 0 < y(m) − b − ax, 1 >= 0 ⇒ < y(m) − f (x), x >= 0 < y(m) − b − ax, x >= 0 ( < y(m), 1 >= a < x, 1 > +b < 1, 1 > < y(m), x >= a < x, x > +b < 1, x > Sendo m = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ent˜ao: y(m) = {3, 8; 6, 1; 9, 8; 13; 15, 8; 19, 3} x = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 = {1, 1, 1, 1, 1, 1} Assim: < y(m), 1 >= 67, 8 < x, 1 >= 21 =< 1, x > < 1, 1 >= 6 < y(m), x >= 67, 8 < x, x >= 91 Portanto: ( 67, 8 = 21a + 6b → 292, 2 = 91a + 21b
a = 3, 137 e b = 0, 32
Portanto a equa¸ca˜o da reta dos dados da abertura 1 ´e: f1 (x) = 3, 137x + 0, 32 Para a abertura 2 segue-se os mesmos passos at´e o momento dos dados coletados (y(m)). Dessa forma, sendo m = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ent˜ao: y(m) = {3, 9 ; 7, 3 ; 11, 5 ; 15 ; 18, 5 ; 22, 1} x = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 = {1, 1, 1, 1, 1, 1} Assim: < y(m), 1 >= 78, 3 < x, 1 >= 21 =< 1, x > 10
< 1, 1 >= 6 < y(m), x >= 338, 1 < x, x >= 91 Portanto: ( 78, 3 = 21a + 6b 338, 1 = 91a + 21b
→
a = 3, 66 e b = 0, 24
Portanto a equa¸ca˜o da reta dos dados da abertura 2 ´e: f1 (x) = 3, 66x + 0, 24
6. A partir deste resultado calcule a separa¸ca˜o das fendas dessa abertura. Com a equa¸c˜ao 3 calcula-se a separa¸ca˜o das fendas. Deve tomar-se cuidado ao substituir os valores de yn , pois os dados coletados na tabela 1 apresentam a distˆancia entre os dois m´ınimos, por exemplo o 1° m´ınimo da abertura 1 na tabela ´e igual a 7, 6 mm, mas essa ´e a distˆancia dos m´ınimos de ordem ±1, ent˜ao a distˆancia entre o primeiro m´ınimo (de ordem 1) ´e de 3, 8 mm. Dito isso, vale lembrar que foi utilizado para o experimento um laser com comprimento de onda (λ) igual a 632, 8 × 10−6 mm, e mediu-se a distˆancia (L) exata entre anteparo e suporte com fenda dupla, que ´e de 1 m = 103 mm. Para abertura 1 d1 = 0, 25 mm d2 = 0, 26 mm d3 = 0, 23 mm d4 = 0, 22 mm d5 = 0, 22 mm d6 = 0, 21 mm
Para abertura 2 d1 = 0, 24 mm d2 = 0, 22 mm d3 = 0, 19 mm d4 = 0, 19 mm d5 = 0, 19 mm d6 = 0, 19 mm
Valor m´edio d¯ = 0, 23 mm
Valor m´edio d¯ = 0, 20 mm
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Conclus˜ ao e Discuss˜ oes
Quando a luz monocrom´atica passa por cada uma das fendas no experimento realizado cada uma das ondas que atravessam as mesmas s˜ao difratadas e produzem o fenˆomeno de interferˆencia entre si gerando as faixas iluminadas (m´aximos de interferˆencia), devido `a interferˆencia construtiva que acontece quando as ondas est˜ao em fase, e n˜ao iluminadas (m´ınimos de interferˆencia), devido a interferˆencia destrutivas que ocorre quando as ondas n˜ao est˜ao em fase. Determinou-se uma express˜ao para calcular o aˆngulo formado entre cada m´ınimo e o eixo central a partir da ´otica geom´etrica e da ´otica f´ısica, e combinou-se essas duas express˜oes para encontrar uma equa¸c˜ao que relacionasse a distˆancia dos m´ınimos ao eixo central com a ordem destes m´ınimos. Al´em disso, foi feito um gr´afico dos pontos medidos e pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados elaborou-se uma equa¸c˜ao para o mesmo. A distˆancia entre as fendas nas aberturas 1 e 2 foram determinadas como sendo 0,23 mm e 0,20 mm, respectivamente.
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Bibliografia
´ - NUSSENZVEIG, Herch Moys´es. Curso de F´ısica B´ asica 4: Otica, Relatividade, F´ısica Quˆantica.. 4. ed. S˜ao Paulo: Blucher, 2002. 314 p. ´ - YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. F´ısica IV: Otica e F´ısica Moderna. 12. ed. S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2009. 4 v. - HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamen´ tos de F´ısica: Otica e F´ısica Moderna. 8. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2009. 4 v.
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