F´ISICA Acta Cient´ıfica Venezolana, xxx (x-x): xx-xx, 2015
´ ESP´IN 2 MASIVO EXOTICO Margionet D´ıaz∗ y Adel Khoudeir Departamento de F´ısica, Grupo de F´ısica Fundamental, Facultad de Ciencias, ULA, M´erida, Venezuela. Recibido: 23/04/2015
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RESUMEN Se presenta y estudia una formulaci´on para esp´ın 2 masivo en cuatro dimensiones con una estructura diferente a las convencionales de Fierz–Pauli y Curtright, la cual propaga los cincos grados de libertad del gravit´ on masivo. Adicionalmente, se muestran las acciones ex´oticas para el campo escalar masivo esp´ın 0 y el campo vectorial masivo esp´ın 1. Palabras claves: esp´ın 2, Fierz–Pauli, Curtright, gravit´ on masivo.
EXOTIC MASSIVE SPIN 2 ABSTRACT We present and study a formulation for massive spin 2 in four dimensions which is different from the conventional Fierz–Pauli and Curtright structure, and describes the five degrees of freedom of the massive graviton. The exotic actions for the massive scalar field spin 0 and spin massive vector field 1 are also considered. Keywords: spin 2, Fierz–Pauli, Curtright, massive graviton.
´ INTRODUCCION La palabra dualidad abarca muchos contextos en la f´ısica. La podemos encontrar cuando se habla de la dualidad de Krammers–Winnier, de los modelos duales, la dualidad electromagn´etica y la dualidad de Montonen–Olive, entre otras. En este contexto cuando hablamos de dualidad nos referimos a distintas formulaciones matem´ aticas representadas por diferentes campos pero que, de una manera no trivial, son f´ısicamente equivalentes en diferentes reg´ımenes de aplicabilidad, digamos perturbativo y no perturbativo. Un ejemplo ilustrativo es la dualidad escalar–tensor en 4D para el caso sin masa, donde un campo φ de Klein–Gordon tiene una representaci´ on equivalente en t´erminos del campo tensorial y antisim´etrico Bmn . Se procede partiendo de una acci´ on ((maestra)) de primer orden la cual depende de dos campos, y dependiendo del campo sobre el que se hagan variaciones, se obtiene una u otra representaci´ on de las cuales la poco conocida (no convencial) es la que denominamos acci´ on ex´ otica. Otro ejemplo que podemos mencionar es la dualidad vector–vector, en la que tenemos la acci´ on de Maxwell de segundo orden para el caso sin masa 1 µν SA = Fµν (A)F (A) (1) 4g 2
donde Fµν (A) ≡ ∂[µ Aν] . [ ] denota antisimetrizaci´ on en los ´ındices mn y h i integraci´on en 4 dimensiones. Partiendo de una acci´on de primer orden,1 la acci´ on (1) es dual a 2 g µν SΛ = [Gµν (Λ)G (Λ)] (2) 4 con Gµν = ∂[µ Λν] . La dualidad no solo intercambi´ o los ((reg´ımenes de acoplamiento)) g → g 0 = 1/g sino adem´as el campo de calibre Aµ por Λµ en las acciones (1–2).
Campo Escalar (Esp´ın 0) Comenzamos ilustrando la acci´on ex´otica para el campo escalar masivo. Partimos de una acci´ on de primer orden 1 m 1 SV,φ = V Vm − µ2 φφ − V m ∂m φ ; 2 2 si eliminamos el campo V m en funci´on de φ, recobramos la acci´on para un campo escalar masivo, pero si por el contrario eliminamos φ en funci´on de V m de su ecuaci´on de movimiento obtenemos D E Sex´o = 12 V m Vm + 2µ1 2 (∂m V m )(∂ n Vn )
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D´ıaz & Khoudeir
que es la acci´on ex´ otica para el campo escalar masi- siendo Ψm la traza de Ψmn,p , Ψm = η np Ψmn,p . En la vo, la cual ha sido considerada con anterioridad.2 La literatura Ψmn,p es lo que se conoce como un camecuaci´on de movimiento para el campo V m es po de simetr´ıa mixta,3 donde Ψmn,p = −Ψnm,p . Si eliminamos Ψmn,p en funci´on de hnp , a trav´es de va2 n µ Vm − ∂m (∂n V ) = 0 , riaciones independientes sobre Ψmn,p obtenemos Ψmn,p = fmn,p − (η np fm − η mp fn )
y tomando la divergencia covariante llegamos a
habiendo definido fmn,p ≡ ∂m hnp − ∂n hmp . Si sustituimos este resultado en la acci´on (3) recobramos la lo cual muestra que se propaga un solo grado de li- acci´on de Einstein linealizada. Agregando el t´ermino de masa de Fierz–Pauli obbertad, el escalar ∂.V ≡ ϕ. tenemos 1 1 SΨ,h = Ψmn,p Ψmn,p − Ψm Ψm − Ψmn,p ∂m hnp Campo Vectorial (Esp´ın 1) 4 4 1 2 mn 2 Veamos ahora cu´ al es la acci´ on ex´ otica para el cam− µ (hmn h − h ) 2 po vectorial masivo. Partimos de la acci´ on de primer (4) orden (Proca) ( − µ2 )(∂.V ) = 0 ,
SF,A =
1 1 mn F Fmn + (∂m F mn )An − µ2 Am Am 4 2
;
con h = η mn hmn . Haciendo variaciones sobre hmn encontramos de su ecuaci´on de movimiento
1 ∂p (Ψpm,n + Ψpn,m ) − µ2 hmn + µ2 η mn h = 0 si hacemos variaciones sobre el campo F mn , recobra2 mos la acci´on para el campo vectorial masivo, Proca. y tomando la traza η mn en (5) Si contrariamente hacemos variaciones sobre el cam1 po An de su ecuaci´ on de movimiento llegamos a h = − 2 ∂p Ψp . 3µ D E Sex´o = 14 F mn Fmn + 2µ1 2 (∂ n Fnm )(∂p F pm ) Por lo tanto, de (5) obtenemos que es la acci´on ex´ otica para el campo vectorial masivo. La ecuaci´on de movimiento para Fmn es
hmn =
(5)
(6)
1 1 (∂p Ψpm,n + ∂p Ψpn,m ) − 2 η mn ∂p Ψp (7) 2 2µ 3µ
y de esta manera, sustituyendo (7) en (4), redefiniendo que Ψpm,n → µ2 Ψpm,n y renombrando ´ındices mudos, obtenemos lo que llamaremos la acci´on ex´ otica y tomando divergencia covariante obtenemos para esp´ın 2 masivo 1 ( − µ2 )Bn = 0 ∂p Ψpm,n (∂ q Ψqm,n + ∂ q Ψqn,m ) Sex´o = 4 donde hemos definido Bn ≡ ∂ m Fmn , lo cual mues1 1 2 pm,n 1 2 p p q − ∂p Ψ ∂ Ψq + µ Ψ Ψpm,n − µ Ψ Ψp . tra que se propagan tres grados de libertad ya que 6 4 4 ∂ n Bn ≡ 0. (8) ∂m ∂ p Fpn − ∂n ∂ p Fpm + µ2 Fnm = 0 ,
Campo Esp´ın 2
Esta acci´on est´a formulada en D = 4, y las ecuaciones de campo que se obtienen despu´es de realizar variaciones independientes sobre Ψmn,p son
Comencemos por escribir la siguiente acci´ on de pri1 1 mer orden para esp´ın 2, caso sin masa, en dimensi´on Gpm,n = − ∂p ∂ q (Ψqm,n + Ψqn,m ) + ∂m ∂ q Ψqp,n 4 4 D = 4: 1 1 mn q q + ∂m ∂ Ψqn,p + (η ∂p ∂ Ψq − η np ∂m ∂ q Ψq ) 4 6 1 1 SΨ,h = Ψmn,p Ψmn,p − Ψm Ψm − Ψmn,p ∂m hnp 1 2 1 4 4 + µ Ψpm,n − µ2 (η nm Ψp − η np Ψm ) = 0 . 2 4 (3) (9)
Esp´ın 2 Masivo Ex´ otico
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Ahora procedemos a realizar un an´ alisis din´amico co- con las restricciones variante a estas ecuaciones de campo para determinar Ψp = 0 cu´antos grados de libertad propaga y si corresponde m ∂ Ψm = 0 a la de un campo de esp´ın 2 masivo. n p Considerando la divergencia en (9) ∂ ∂ Ψpm,n = 0 .
(19) (20) (21)
1 Si se define ∂ p Gpm,n = − ∂ q (Ψqm,n + Ψqn,m ) 4 1 1 1 hmn = ∂ p (Ψpm,n + Ψpn,m ) , + ∂m ∂ p ∂ q Ψqn,p + (η mn ∂ q Ψq − ∂m ∂n ∂ q Ψq ) (10) 2 4 6 1 2 p 1 2 mn p las restricciones (19), (20) y (21) son equivalentes a + µ ∂ Ψpm,n − µ (η ∂ Ψp − ∂n Ψm ) = 0 , 2 4 hmm = h = ∂ p Ψp , y simetrizando (10) en los ´ındices mn obtenemos ∂ n hmn = ∂ n ∂ p Ψpm,n 1 p p p ∂ Gpm,n + ∂ Gpn,m = − ∂ (Ψpm,n + Ψpn,m ) 2 con las restricciones h = 0 y ∂ n hmn = 0. De esta 1 1 manera, la ecuaci´on (18) se transforma en + ∂ p ∂ q (∂m Ψqn,p + ∂n Ψqm,p ) + η mn (∂ q Ψq ) 4 3 (11) ( − µ2 )hmn = 0 (22) 1 1 2 p q − ∂m ∂n (∂ Ψq ) + µ ∂ (Ψpm,n + Ψqn,m ) 3 2 la cual representa la propagaci´on din´amica de un cam1 2 1 2 mn p − µ η (∂ Ψp ) + µ (∂n Ψm + ∂m Ψn ) = 0 . po de esp´ın 2 masivo a la Klein–Gordon; es decir, 2 4 propaga los 5 grados de libertad del gravit´ on masivo. Si tomamos la traza η mn en la ecuaci´ on (9) Gp = −∂m ∂n Ψpm,n − µ2 Ψp = 0 y aplicamos la divergencia covariante p
⇒
∂ Gp = 0
p
∂ Ψp = 0 ,
obtenemos en la ecuaci´ on (10) 1 ∂ n ∂ p Gpm,n = − ∂ n ∂ q Ψqm,n 4 1 1 2 n p + µ ∂ ∂ Ψpm,n + µ2 Ψm = 0 2 4
(12)
CONCLUSIONES
Hemos presentado una nueva versi´on para esp´ın 2 masivo que se describe por medio de un objeto de si(13) metr´ıa mixta, y hemos mostrado que es equivalente on shell a la usual formulaci´on de Fierz–Pauli mediante un an´alisis din´amico covariante a las ecuaciones de campo. (14)
AGRADECIMIENTO
habiendo considerado que ∂ P Ψp = 0. Los autores agradecen a un ´arbitro an´ onimo por La ecuaci´on de la traza (12) nos permite determinar u ´tiles e importantes comentarios. la traza de Ψmn,p Ψm = −
1 m n ∂ ∂ Ψpm,n µ2
(15)
1. Hjelmeland, S.E., Lindstrom, U. Duality for the nonspecialist. ArXiv:hep-th/9705122, 1997.
y sustituyendo este resultado en (14) obtenemos ∂ n ∂ p Ψpm,n = 0 .
(16)
Considerando la restricci´ on (16), de (12) se tiene que Ψp = 0 y de esta manera (11) se reduce a
REFERENCIAS
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2. Khoudeir, A., Arias, P.J. Massive Gauge Axion Fields. Mod. Phys. Lett. A, 14:2125–2134, 1999. 3. Curtright, T. Generalized Gauge Fields. Phys. Lett. B, 165:304, 1985.
1 ∂ p Gpm,n + ∂ p Gpn,m = − ∂ p (Ψpm,n + Ψpn,m ) 4. Casini, H., Montemayor, R., Urrutia, L.F. 2 (18) Duality for symmetric second rank tensors. 1: The 1 + µ2 ∂ p (Ψpm,n + Ψpn,m ) = 0, massive case. Phys. Rev. D, 66:085018, 2002. 2
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∗ Correspondencia:
Margionet D´ıaz, Departamento de F´ısica, Grupo de F´ısica Fundamental, Universidad Los Andes, Facultad de Ciencias , M´erida 5101, Venezuela. CE:
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D´ıaz & Khoudeir
