Hojas matemáticas XXVI Open Matemático

3ª Época - Año XXVI - Nº 209

MATEMÁTICAS CON LOS OJOS: LA LUZ Leonardo Da Vinci fue el primero en dibujar y El fenómeno de la cámara oscura se conoce explicar el funcionamiento de una cámara desde los tiempos de Aristóteles. Cuando la luz oscura. de una escena pasa por un orificio pequeño de una caja cerrada, en el extremo opuesto aparece una réplica invertida de la imagen. Aunque demos la vuelta a nuestra cámara oscura, la imagen seguirá estando invertida. Esto se ve claramente en el siguiente dibujo:

Algunos pintores del siglo XVII utilizaban la cámara oscura para copiar en sus cuadros escenas reales. Uno de ellos fue el gran maestro y en esta caja estenopeica, una rudimentaria del barroco holandés J. Vermeer (1632-1675): cámara fotográfica. En este cuadro titulado “La lección de música” se puede ver parte de la cámara oscura reflejada en un espejo.

La luz, al propagarse en línea recta, traslada las imágenes en sentido inverso. En realidad podemos interpretar matemáticamente que el fenómeno de la cámara oscura realiza una transformación de la realidad, reproduciéndola invertida y a menor tamaño.

3ª Época - Año XXVI - Nº 209

EXPERIMENTO-1 Matemáticas con los ojos

CONSTRUYE TU CÁMARA ÓSCURA Construir una cámara oscura es muy fácil, basta seguir los siguientes pasos: -

Coge una lata vacía y limpia de cacao.

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En la base, haz un pequeño agujero (llamado "esténope" en fotografía) con una aguja, cuanto más fino sea, mas nítida se verá la imagen, pero también será más oscura.

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El lado de la tapa, cúbrelo con papel vegetal (o plástico traslúcido de una bolsa normal) y fíjalo con cinta adhesiva.

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Se puede apreciar mejor el efecto si estamos en una habitación en penumbra y miramos hacia la calle bien iluminada. Y si le incorporamos una lente (una lupa) podremos enfocar la imagen para que se vea más nítida y luminosa

Si quieres construir una más sofisticada con cartulina negra que disponga de: enfoque, diafragma, cambio de lentes… consulta las instrucciones en: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0273-01/optica.html

Un tipo de las transformaciones matemáticas que se estudian en los institutos de enseñanza secundaria lo constituyen las funciones. Una función matemática “transforma” un número en otro, de la misma manera que la cámara oscura transforma la imagen real en una imagen proyectada. Si las imágenes reales fuesen números, ¿qué función matemática es la que representa la cámara oscura?

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REFRACCIÓN DE LA LUZ La luz es un fenómeno natural bien curioso. Newton descubrió que la luz blanca es una mezcla de luces de todos los colores. La luz al atravesar medios diferentes, cambia su velocidad. Esto se traduce en un cambio de dirección del haz luminoso, fenómeno conocido como refracción de la luz. La Ley de Snell es la fórmula que lo rige:

ARCOIRÍS Pero la velocidad que lleva la luz en el nuevo medio depende de su color. Esta es la explicación de la aparición de los arcoíris. Un arcoíris se forma por dos refracciones sucesivas en una gota de agua esférica y una reflexión en su cara interna. El cambio de velocidad de los diferentes colores que componen la luz blanca hace que cada uno de ellos salga en una dirección diferente y podamos verlos por separado. René Descartes descubrió que el ángulo de desviación de la luz debía ser de unos 42º. Es por eso que percibimos un arco de circunferencia. En realidad se forma una circunferencia completa, pero no estamos lo suficientemente elevados sobre la tierra para verla. Cuanto más bajo esté el sol, mayor arco de circunferencia podremos ver. Desde los aviones se pueden ver arcoíris circulares. En ese caso se les llama glorias.

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EXPERIMENTO-2 Matemáticas con los ojos

JUGANDO CON LA REFRACCIÓN DE LA LUZ ARCOIRÍS Para ver un arcoíris no tenemos porqué esperar a que llueva. Con una manguera de agua podemos simularlo: -

Abre la manguera un día soleado Pon tu dedo en la salida y dispersa el agua Dirige el chorro de agua hacia el sol. Observa el agua hasta que veas el arco iris. Si lanzas el agua a 2 m de distancia, ¿qué radio tendrá el arcoíris que veas?

CURVAS CAÚSTICAS No sólo las gotas de lluvia refractan y reflejan la luz. También lo hacen otros materiales. Las figuras que se forman se llaman caústicas.

Cuando la superficie es cilíndrica las curvas que se forman son conocidas matemáticamente. Pertenecen a las familias de las cicloides, como la cardiode que vemos en estas tres imágenes, la del medio generada por ordenador.

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DIFRACCIÓN DE LA LUZ La luz está formada por fotones. Los fotones son unas partículas subatómicas sin masa. La Física Cuántica ha demostrado que las partículas muy pequeñas tienen un doble comportamiento, como partículas y como ondas. La luz es el ejemplo más evidente de esta dualidad.

Para poder observar el comportamiento de la luz como onda, sólo necesitamos realizar un sencillo experimento. Si hacemos pasar un haz de luz monocromático a través de una rendija, de tamaño muy pequeño, el resultado no será el que auguraba la cámara oscura, sino una figura de líneas verticales de luz de distinta anchura e intensidad. Es lo que llamamos un patrón de difracción.

Cuando un haz de luz atraviesa una abertura de tamaño comparable a su longitud de onda, cada uno de los puntos de la abertura se convierten en emisores de luz. Las interferencias de la luz de estos puntos de emisión secundarios producen zonas de sombra, si las fases de vibración son opuestas; y zonas de luz, si las fases de vibración son iguales.

Observa estos diferentes patrones de difracción. ¿Podrías relacionar cada uno de ellos con la forma de la rendija que lo produce? ¿Agujero circular o rejilla cuadrada?

Los patrones de difracción se pueden calcular mediante la Tranformada de Fourier. La Transformada de Fourier nos “traslada” la forma de la imagen a un plano donde las zonas de luz indican frecuencias diferentes, no intensidades luminosas. La óptica de Fourier es una aplicación de una las más ricas y complejas ramas de las Matemáticas.

3ª Época - Año XXVI - Nº 211

EXPERIMENTO-3 Matemáticas con los ojos

PARA QUE EXPERIMENTES TÚ Manipulando el plano transformado, podemos modificar de forma sencilla una imagen. Con un programa como el Photopaint o el Photoshop podemos hacerlo utilizando los filtros de paso alto y paso bajo. Prueba a cambiar los parámetros y observa como queda la imagen

Si eliminamos las frecuencias altas (paso bajo), suavizamos la imagen

Si eliminamos las frecuencias bajas (paso alto), resaltamos los bordes.

¿Sabías que la difracción también produce arcoíris? Cada color se difracta con un ángulo diferente, por lo que en la figura de difracción los diferentes colores aparecen por separado. Los destellos de colores de los CD son producidos por este fenómeno

3ª Época - Año XXVI - Nº 212

PERCEPCIÓN DEL COLOR Contrariamente a lo que podríamos pensar el C.I.E. son las iniciales de la Commission color no es un atributo de los objetos. Internationale de l'Eclairage, organización Cuando la luz incide sobre una superficie refleja internacional de cooperación e intercambio de parte de ella, aquellas longitudes de onda que no información entre países miembros, dedicada a absorbe. Por tanto, el color es el producto de la la solución de problemas relacionados con el arte y la ciencia de la luz. Y L, a y b, son las percepción de esa luz rechazada. coordenadas que se utilizan en este espacio: Además, una vez que esa luz ha sido recibida L es la luminancia, y va de 0 a 100. por la retina, nuestro cerebro la procesa para dar a y b proporcionan las variaciones de tono. origen al color. Este espacio está basado directamente en el Ponerle nombre a los colores puede ser un buen funcionamiento de nuestro sistema perceptivo: ejercicio de poesía, pero es poco práctico a la el ojo humano posee receptores de los tres hora de aplicarlo a nivel industrial. Es por eso colores primarios: rojo, azul y verde; y todos los que se crearon los modelos de color. colores son mezclas que se derivan de ellos. Las Un modelo de color consiste en asignar a cada coordenadas L, a y b, son normalizaciones de color unas coordenadas matemáticas que lo las coordenadas cromáticas x, y, que se ubiquen en un espacio, de forma que se cumplan calculan utilizando los valores triestímulos XYZ dependientes directamente de las las leyes aditivas del color. funciones de sensibilidad al color de nuestro Pero si buscamos uno que represente todos los sistema visual. Cada curva se corresponde con colores reales que podemos percibir y que un color primario y con un tipo de cono. además reproduzca las variaciones de la percepción de forma lineal, ése es, sin duda, el espacio de color CIE Lab.

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EXPERIMENTO-4 Matemáticas con los ojos

VISUALIZA COLORES COMPLEMENTARIOS Dos colores se dice que son complementarios si al sumarlos producen un blanco. Cuando un color estimula los receptores de la retina durante un tiempo largo se satura e intenta compensar el efecto lanzando al cerebro un estímulo contrario. En nuestro sistema visual, el contrario de un color es su complementario. Es así como nuestro sistema de visión genera colores que no se corresponden con ningún objeto real.

Fija durante treinta segundos la vista sobre la cruz que está en el centro del círculo de color. Después desvía la vista hacia el recuadro en blanco. Y ¡sorpresa! Verás un círculo del color complementario.

Para una experiencia más intensa, puedes consultar esta maravillosa página web: http://www.michaelbach.de/ot/col_lilacChaser/index.html

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FLUORESCENCIAS Y FOSFORESCENCIAS La luz está compuesta por paquetes discretos de La fosforescencia es un fenómeno basado en el energía que llamamos fotones. mismo principio pero persistente en el tiempo. La energía de un fotón depende linealmente de su frecuencia  : E  h   donde h es la constante de Planck. Un fotón, al incidir sobre una molécula, le comunica energía, colocándola en un estado excitado. Esta molécula tiene diferentes opciones para volver a su estado normal o basal. Una de ellas es la que describe el fenómeno de la Las sustancias fosforescentes son capaces de fluorescencia. almacenar la energía y siguen emitiendo luz por mucho más tiempo aún cuando ya no están siendo estimuladas. Ejemplos de este fenómeno son:

Como la luz que emite es de menor energía, la longitud de onda será mayor. Si iluminamos con luz ultravioleta (400nm). La fluorescencia tiene múltiples aplicaciones: En la detección de billetes falsos, en el reconocimiento de sustancias orgánicas en la ciencia forense, para detectar grietas en estructuras, para producir luz en las lámparas de bajo consumo, en medicina y bioquímica para detectar sustancias, en gemología para clasificar minerales, para pinturas de las señales de tráfico e incluso para hacer arte...

Los juguetitos que brillan en la oscuridad y también las manecillas de los relojes que brillan en color verde. Para que brillen más, es necesario exponerlos a la luz un rato para que se “carguen”, pero cuando apagamos la luz, siguen brillando. Cuando la luz está encendida, de hecho también brillan, sólo que la luz que emiten es muy poquita y no la vemos porque se pierde con el resto de la luz. Algunos seres vivos, como los escorpiones, utilizan la fluorescencia y la fosforescencia para sobrevivir.

http://ciencillamentehablando.blogspot.com.es/

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EXPERIMENTO-5 Matemáticas con los ojos

FLUORESCENCIAS EN LA COCINA Si tenemos a mano una lámpara de luz ultravioleta (también llamada luz negra), podemos hacer unos cuantos experimentos para observar la fluorescencia de algunos alimentos. Si iluminas un vaso con tónica podrás observar la fluorescencia debida a la quinina que contiene. Si quieres eliminarla sólo tienes que mezclarla con un poco de amoniaco.

El amoniaco cambia las propiedades de la molécula de quinina (representada aquí por R-OH)

Si quieres que recupere la fluorescencia utiliza vinagre. También puedes encontrar fluorescencias en la clorofila. Machaca hojas de espinacas y extrae su jugo mezclándolas con alcohol. A la luz ultravioleta resplandecerá en rojo.

Puedes probar con otros alimentos como la leche y los yogures, el arroz blanco, el azúcar y la curcumina presente en los currys. OJO: No hay que confundir la fluorescencia o la fosforescencia con la bioluminiscencia. Algunos animales emiten luz que se origina debido a una reacción química. Ese es el caso de las luciérnagas, de las setas de la fotografía y de ciertos peces abisales.

¿Serán comestibles?

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PERCEPCIÓN DEL MOVIMIENTO A finales del siglo XIX estaban muy de moda lo que entonces se llamaban juguetes ópticos. Desde el sencillo taumatropo, que encerraba a un pájaro en su jaula, hasta los sofisticados praxinoscopios, todos ellos dejaban perplejos al público al generar la ilusión del movimiento.

Recientes estudios neurofisiológicos han demostrado que esto no es cierto. El supuesto fenómeno de la persistencia retineana ocasionaría que viésemos la realidad como en el cuadro del artista, y ajedrecista, francés Marcel Duchamp “Desnudo descendiendo por una escalera”

En este enlace puedes ver cómo funcionan: En realidad lo que ocurre es que nuestro http://vimeo.com/34686343. Fueron precursores complejo sistema visual interpreta las imágenes como un conjunto de patrones de luminosidad y del cine. contraste, y posteriormente procesa estos datos Durante mucho tiempo se creyó que la para producir la sensación de movimiento. responsable de este efecto era la persistencia retineana, según la cual las imágenes perduran No obstante, si suponemos que nuestro ojo durante una décima de segundo en la retina funciona como una cámara de vídeo, aunque antes de desaparecer. Se crearían así una sabemos que no es cierto, y que cada imagen sucesión de imágenes cambiantes que darían la perdura en la retina 0.1 segundos, podemos calcular la cantidad de imágenes por segundo sensación de movimiento. necesarias para obtener una sensación óptima de movimiento: 10 imágenes/segundo. El estándar del cine son 24 fotogramas por segundo (fps) para dar una mayor sensación de naturalidad. Pero, actualmente ya se están rodando películas a 48 fps, como es el caso de El hobbit.

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EXPERIMENTO-6 Matemáticas con los ojos

UN CORAZÓN PALPITANTE PARA SAN VALENTÍN Actualmente podemos generar animaciones sin hacer uso de ningún juguete óptico. Una forma muy sencilla es utilizando las imágenes GIF animadas (Graphics Interchange Format). Con el programa GIF Animator puedes crearlas. Es gratuito: http://gwanderson.server101.com/Computer101/gifAnimate.htm Primero deberás obtener dos imágenes de igual tamaño de un corazón en formato GIF. En una de ellas el dibujo del corazón ha de ser ligeramente más pequeño.

Añade estas dos imágenes al programa. Para guardar la imagen animada dale a Save as y ponle un nombre diferente a las imágenes.

Para variar la duración de cada imagen, cambia Duration.

Si seleccionas un color en Transparency harás que sea transparente pudiendo crear este efecto:

¿Qué Duration deberé especificar para que la animación se mueva a 24 fps como en el cine? Fíjate que está expresada en centésimas de segundo.

Para que se repita la secuencia selecciona Looping y Repeat Forever

Eadweard Muybridge fue un fotógrafo que investigó el movimiento con sus fotografías. http://www.muybridge.org/ Es famoso su experimento del caballo en el que demostró que el animal no tocaba el suelo durante unos instantes cuando iba al galope.

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LA PERCEPCIÓN 3D Entre los muchos mecanismos que tiene nuestro sistema de visión para percibir los objetos en tres dimensiones, el que más llama la atención es la visión estereoscópica. Los seres humanos disponemos de dos ojos que nos dan dos imágenes distintas de la realidad. Cada ojo capta la escena que vemos desde dos posiciones distintas. Basta cerrar y abrir alternativamente los ojos para darnos cuenta de este efecto.

Básicamente nuestro sistema visual percibe la tridimensionalidad estereoscópica porque recibe diferente información de cada ojo. Si conseguimos integrar las dos imágenes en una sola y seleccionar sólo la información que llega a cada ojo, obtendremos el mismo efecto que con dos fotografías. Esto se consigue con los anáglifos, imágenes de dos colores que mediante unas gafas coloreadas generan la sensación 3D.

Nuestro cerebro capta estas dos imágenes y las procesa para dar lugar a una imagen tridimensional. Las cámaras estereoscópicas permiten fotografiar los que capta cada ojo. Mediante un sistema de lentes (estereoscopio), podemos volver a reunir ambas imágenes y crear así la ilusión de profundidad.

Pero este método sólo sirve para imágenes en blanco y negro. Otra característica de la luz es su polarización. La luz polarizada es aquella que sólo vibra en un plano. Las gafas que usamos en el cine tienen filtros polarizadores que actúan perpendicularmente, es decir, que sólo dejan pasar la luz que vibra en una dirección en un ojo, y en el otro la que vibra en una dirección perpendicular. Las películas 3D de hoy en día, se emiten en luz polarizada en Actualmente todos sabemos que se ha puesto dos direcciones perpendiculares. de moda el cine 3D. Las imágenes ya no son planas, sino que las vemos con relieve y profundidad, saliendo y entrando en la pantalla. Pero para ver estas películas necesitamos unas gafas especiales. ¿Qué tienen que ver estas gafas con los estereoscopios?

EXPERIMENTO-7 Matemáticas con los lo s ojos

3ª Época - Año XXVI - Nº 215

CÓMO HACER ESTEREOGRAMAS Se denomina estereograma a la imagen de un patrón que se repite, con ligeras variaciones. Si enfocamos nuestra mirada al infinito aparece una escena tridimensional. El efecto es debido a la, ya mencionada en la hoja anterior, visión estereoscópica.

Puedes hacer estereogramas on line en: http://www.flash-gear.com/stereo/ Primero debes crear la máscara de profundidad, que es una imagen en tonos de gris, donde el blanco significa más cerca y el negro más lejos.

Otro programa on line es http://www.easystereogrambuilder.com/

Si quieres diseñar tus propias máscaras de forma más profesional puedes recurrir a programas de Autocad que te permitan realizar imágenes 3DS o DXF. El programa Stereograms maker 2.1 te permite utilizar directamente una imagen de este tipo.

Permite incorporar máscaras y patrones personalizados. Pero si te va más lo vintage, consulta esta dirección: http://www.lomography.es/magazine/tipster/2013/06/03/diversin-estenopeica-en3d-construyendo-una-cmara-estenopeica-estereoscpica-con-cajas-de-film

3ª Época - Año XXVI - Nº 216

LA REFLEXIÓN DE LA LUZ: ESPEJOS Cuando la imagen de un objeto incide en un Existe una forma matemática que cumple estas espejo se refleja según la ley de Snell. Si el características: la parábola. espejo tiene curvatura, la forma y la orientación de la imagen reflejada no será la misma que la de la imagen original. Es posible incluso que no se forme ninguna imagen. Cuando un espejo es capaz de crear una buena imagen reflejada se dice que es un sistema óptico estigmático. La superficie que forme el espejo curvo puede ser una semiesfera. Pero en ese caso el sistema no resulta estigmático, y las imágenes reflejadas no son de buena calidad o están deformadas. Es lo que se llama aberración esférica.

Los espejos parabólicos se usan para hacer hornos solares y para mejorar los telescopios evitando la aberración esférica. La parábola concentra y emite. Pero la parábola también la podemos encontrar en la naturaleza: Por ejemplo en las orejas de los murciélagos para que reciban mejor los sonidos.

¿Qué forma deberá tener un espejo para que la imagen reflejada sea buena? Lo que necesito es que todos los haces de luz que incidan sobre ella acaben convergiendo en un punto.

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EXPERIMENTO-8 Matemáticas con los ojos

LA M AG I A DE L O S ESPE JO S El Mirascope es un curioso juguete que muestra un efecto sorprendente gracias a la combinación de dos espejos parabólicos.

Los dos espejos parabólicos enfrentados reflejan la imagen del objeto como si estuviese flotando. En este enlace puedes consultar todo sobre este fascinante artilugio:

Espejo esférico

http://www.maa.org/publications/periodicals/loci/model ing-the-mirascope-using-dynamic-technology-0 Incluso puedes aprender a simular con Geogebra las reflexiones y así construir tu propio applet sobre el Mirascope o sobre otros espejos curvos. En la atracción de Disneylandia, La casa encantada, el visitante se encuentra cara a cara con fantasmas. La sensación de realidad es terrorífica. Pero no penséis que es tecnología de última generación. En realidad es un truco de ilusionismo hecho con espejos que tiene, nada más y nada menos, que 150 años de antigüedad. A este efecto se le llama El fantasma de Pepper.

Si quieres probar y utilizar este truco para sorprender a la gente, puedes consultar esta página en la que te dan toda la explicación de cómo hacerlo: http://vicente1064.blogspot.com.es/2011/09/como-hacer-el-truco-del-agua-que-no.html