Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
May 30, 2017 | Autor: Priscilla Soares | Categoria: N/A
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Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos Capítulo 1 – Conceitos Gerais e Juros Simples 1) a)
0,144 = 0,012 ou 1,2% a.m. 12
b)
0,068 = 0,017 ou 1,7% a.m. 4
c)
0,114 = 0,019 ou 1,9% a.m. 6
d)
1,104 = 0,092 ou 9,2% a.m. 12
e)
0,5472 = 0,028 ou 2,28% a.m. 24
2) a)
1,2 × 3 = 0,30 ou 30% a.t. 12
b)
0,032 × 3 = 0,024 ou 2,4% a.t. 4
c) 0,015 × 3 = 0,045 ou 4,5% a.t. 3) a) 0,025 × 12 = 0,30 ou 30% a.a. b) 0,56 × 3 = 1,68 ou 168% a.a. c) (0,125 ÷ 5) × 12 = 0,30 ou 30% a.a.
4) a) Sendo:
Temos:
C = $ 85.000,00 n = 7 meses i = 2,5% a.m. (0,25) M=?
M = C (1 + i × n) M = 85.000,00 (1 + 0,025 × 7) M = $ 99.875,00
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 85.000 CHS PV 7 ENTER 30 < × > n 2,5 ENTER 12 < × > i f INTO +
Visor 0,00 -85.000,00 210,00 30,00 14.875,00 99.875,00
b) Sendo:
C = $ 85.000,00 n = 9 meses i = 11,6% a.s. (0,116) M=?
Temos:
M = C (1 + i × n) M = 85.000(1 + 0,01933... × 9)
Significado Limpa Registradores Valor do Capital Prazo em dias Taxa anual Valor do Juros Valor do Montante
M = $ 99.790,00 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 85.000 CHS PV 9 ENTER 30 n 11,6 ENTER 2 i f INTO + c) Sendo:
Visor 0,00 -85.000,00 270,00 23,20 14.790,00 99.790,00
C = $ 85.000,00 n = 17 meses i = 21% a.a. (0,21) M=?
Significado Limpa Registradores Valor do Capital Prazo em dias Taxa anual Valor do Juros Valor do Montante
Temos:
M = C (1 + i × n) M = 85.000,00 (1 + M = $ 110.287,50
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 85.000 CHS PV 17 ENTER 30 < × > n 21 i f INTO +
0,21 × 17) 12
Visor 0,00 -85.000,00 510,00 21,00 25.287,50 110.287,50
Significado Limpa Registradores Valor do Capital Prazo em dias Taxa anual Valor do Juros Valor do Montante
5) Sendo:
C = $ 300.000,00 n = 19 meses i = 42% a.a. (0,42) J=? M=?
Temos:
J = (C × i × n) J = 300.000,00 × J = $ 199.500,00
0,42 × 19 12
M =C+J M = 300.000,00 + 199.500,00 M = $ 499.500,00 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 300.000 CHS PV 19 ENTER 30 n 42 i f INTO +
Visor 0,00 -300.000 570,00 42,00 199.500,00 499.500,00
6) Sendo :
C = $ 7.500,00 i = 15% a.a. (0,15) n = 2 anos e 3 meses (27 meses)
Significado Limpa Registradores Valor do Capital Prazo em dias Taxa anual Valor do Juros Valor do Montante
J=? Temos:
J = C ×i×n
0,15 × 27 12
J = 7.500,00 × J = $ 2.531,25 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 7.500 CHS PV 27 ENTER 30 < × > n 15 i f INTO
Visor 0,00 -7.500,00 810,00 15,00 2.531,25
7) Sendo:
C=? J = $ 18.000,00 i = 3% a.m. (0,03)
a) 60 dias (n = 2 meses) Temos:
C = C=
J i×n
18.000,00 0,03 × 2
C = $ 300.000,00
b) 80 dias (n = 80/30 = 2,66... meses) Temos:
C = C=
J i×n
18.000,00 0,03 × 2,66...
C = $ 225.000,00
Significado Limpa Registradores Valor do Capital Prazo em dias Taxa anual Valor do Juros
c) 3 meses e 20 dias (n = 110/30 = 3,66... meses) Temos:
C = C=
J i×n
18.000,00 0,03 × 3,66...
C = $ 163.636,36
d) 2 anos, 4 meses e 14 dias (n = 854/30 = 28,466... meses) Temos:
C = C=
J i×n
18.000,00 0,03 × 28,466...
C = $ 21.077,28
8) Sendo:
C = $ 12.000,00 n = 7 meses M = $ 13.008,00 i=?
Como:
M = C + J 13.008,00 = 12.000,00 + J J = $ 1.008,00
Temos:
i = i=
J C ×n
1.008,00 12.000,00 × 7
i = 0,012 ou 1,2% a.m.
9) Sendo:
M = $ 140.000,00 n = 2 meses i = 1,9% a.m. (0,019)
C=? Temos:
C =
M (1 + i × n)
C=
140.000,00 (1 + 0,019 × 2)
C = $ 134.874,76
10) Sendo:
C = $ 6.600,00 n = 7 meses J = $ 1.090,32 i=?
Temos:
i = i=
J C ×n
1.090,32 6.600,00 × 7
i = 0,0236 ou 2,36% a.m. i = 0,0236 × 12 = 0,2832 ou 28,32% a.a.
11) Sendo:
C = $ 3.480,00 n = 5 meses M = $ 3.949,80 i=?
Como:
M = C + J 3.949,80 = 3.480,00 + J J = $ 469,80
Temos:
i = i=
J C ×n
469,80 3.480,00 × 5
i = 0,027 ou 2,7% a.m. i = 0,027 × 12 = 0,324 ou 32,4% a.a.
12) 4 M 5 M =$1 n = 15 meses i=?
Considerando: C =
Temos:
M = C (1 + i × n)
1 =
4 (1 + i × 15) 5
5 = 1 + 15 i 4 i =
0,25 15
i = 0,16666... ou 1,6666% a.m.
13) Preço da mercadoria à vista: $ 130,00. O comprador deve dar uma entrada de $ 26,00 ($ 130,00 x 20%) e o restante da dívida ($ 104,00 = $ 130,00 – $ 26,00) será pago após 30 dias. Porém, a segunda parcela terá um juros e totalizará um montante de $ 106,90. Para sabermos a taxa cobrada, temos: $ 104,00 representa 100% do restante da dívida (sem juros) $ 106,90 é o valor que terá de ser desembolsado (com juros) Logo, se somarmos os $ 26,00 que já havia sido pago aos $ 106,90 que ainda restam, o preço final da mercadoria será $ 132,90. Houve, portanto, um acréscimo de $ 2,90.
Assim,
i=
2,90 104,00
i = 0,0279 ou 2,79% a.m.
14) Sendo:
C = $ 4.000,00 i = 29,3% a.a. (0,293) J = $ 1.940,00 n=?
Temos:
n =
n=
J C ×i
1.940,00 0,293 4.000,00 × 12
n = 20 meses (19,86 meses) 15) Considerando: C = $ 1 J=$1 i = 8% a.a. (0,08) n=? Temos:
n =
n =
J C ×i
1 0,08 1× 12
n = 150 meses ou 12,5 anos (150/12) 16) Considerando: C = $ 1 J=$2 i = 21% a.s. (0,21) n=?
Temos:
n = n =
J C ×i 2 0,21 1× 6
n = 57,1428 meses ou 9,52 semestres (57,1428/6) 17) Considerando: C = $ 1 J = $ 1,4 i = 30% a.a. (0,3) n=? Temos:
n = n =
J C ×i 1,4 0,3 1× 12
n = 56 meses 18) Sendo:
C1 = $ 15.000,00 n1 = 3 meses i1 = 26% a.a. (0,26) C2 = ? n2 = 2 meses i2 = 18% a.a. (0,18)
Como: e
J = C ×i×n J1 = J 2
Temos:
C1 × i1 × n1 = C 2 × i2 × n2 15.000,00 ×
0,26 0,18 × 3 = C2 × ×2 12 12
975 = C 2 × 0,03 C 2 = 32.500,00 Portanto, deve ser aplicada uma quantia de $ 32.500,00. 19) Preço da mercadoria à vista: $ 1.800,00 O comprador deve dar uma entrada de $ 540,00 ($ 1.800,00 x 30%) e o restante da dívida ($ 1.260,00 = $ 1.800,00 – $ 540,) será pago após 30 dias. Porém, a segunda parcela será de $ 1.306,00, com juros de $ 46,00 ($ 1.306,00 – $ 1.260,00) Para sabermos a taxa cobrada, fazemos: i =
46,00 −1 1.260,00
i = 0,0365 ou 3,65% a.m. 20) Considerando que o bem custe $ 3 e o pagamento será em três pagamentos de $ 1, temos: $1
$1
0
30
$1 60 (dias)
Sendo a taxa de 4,4% (0,044) ao mês, devemos atualizar os pagamentos mensais da seguinte forma: x = 1+
1 1 + /3 (1 + 0,044 × 1) (1 + 0,044 × 2)
x = 0,9590 Portanto, interessa adquirir o produto à vista por 95,9% do seu valor, isto é, com um desconto de 4,1%. 21) Representando graficamente a dívida, temos:
$ 2.800,00
$ 4.200,00
60
90
$ 7.000,00 150 (dias)
Sendo a taxa de juros simples de mercado de 4,5% ao mês (0,045), temos: a) Data focal = 0 C=
2.800,00 4.200,00 7.000,00 + + 1 + 0,045 × 2 1 + 0,045 × 3 1 + 0,045 × 5
C = 2.568,81 + 3.700,44 + 5.714,29 C = $ 11.983,54 b) Data focal = 7 C = 7.000(1 + 0,045 × 2) + 4.200(1 + 0,045 × 4) + 2.800(1 + 0,045 × 5) C = 7.630 + 4.956 + 3.430 C = $ 16.016,00 22) Representando graficamente a obrigação original e a proposta, temos: $ 18.000,00
$ 42.000,00
37
83
$ 20.000,00
$ 50.000,00
60
100
$ 100.000,00 114 (dias) X 150 (dias)
Sendo de 3,2% ao mês (0,032) a taxa de juros simples e a data focal o momento atual, temos:
18.000,00 42.000,00 100.000,00 20.000,00 50.000,00 x + + = + + 0,032 0,032 0,032 0,032 0,032 0,032 1+ × 37 1+ ×83 1+ ×114 1+ × 60 1+ ×100 1+ ×150 30 30 30 30 30 30
17.316,57 + 38.584,03 + 89.158,35 = 18.796,99 + 45.180,72 + 145.058,95 = 63.977,71 +
x 1,16
x 1,16
x = 81.081,24 × 1,16 x = 94.054,24 Portanto, o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual é $ 94.054,24 23) Representando graficamente, temos: $ 128,00 0
$ 192,00
$ 192,00
30
60 (dias)
Sendo de 1,1% (0,011) ao mês a taxa linear de juros, temos: x = 128 +
192 192 + (1 + 0,011 × 1) (1 + 0,011 × 2)
x = 505,78 Portanto, interessa adquirir a máquina à vista por até $ 505,78. Qualquer valor acima desse, torna a compra à vista inviável. 24) Representando graficamente, temos:
$ 22.000,00
$ 57.000,00
2
5
6 x
$ 90.000,00
8 (meses)
7
x
Sendo de 3,7% ao mês (0,037) a taxa de juros simples, temos: a) data focal o momento atual 22.000,00 57.000,00 90.000,00 x x + + = + 1+ 0,037 × 2 1+ 0,037 × 5 1+ 0,037 × 7 1+ 0,037 × 6 1+ 0,037 ×8 140.070,74 =
x x + 1,22 1,296
140.070,74 =
1,296 x + 1,222 x 1,583712
221.831,71 = 2,518 x x = 88.098,38 Portanto, o valor do pagamento nessa data focal é de $ 88.098,38 b) data focal o momento atual 22.000 ,00 × ( 1 + 0 ,037 × 4 ) + 57.000 ,00 × ( 1 + 0 ,037 × 1 ) +
171.153,81 = x +
171.153,81 =
90.000 1+ 0 ,037×1
x 1,074
1,074 x + x 1,074
2,074 x = 171.153,81 1,074 x = 88.630,28 Portanto, o valor do pagamento nessa data focal é de $ 88.630,28
= x+
x 1+ 0 ,037 × 2
c) data focal o momento atual 22.000,00 × (1 + 0,037 × 6) + 57.000,00 × (1 + 0,037 × 3) + 90.000(1 + 0,037 × 1 = = x(1 + 0,037 × 2) + x
183.541 = 1,074 x + x 183.541,00 = 2,074 x x =
183.541,00 2,074
x =
183541 2,074
x = 88.496,14 Portanto, o valor do pagamento nessa data focal é de $ 88.496,14 25) Representando graficamente, temos: Aplicação 1 i = 2,85% a.m. (0,0285)
60 (dias)
0,6 x Aplicação 2 i = 3,1% a.m. (0,031)
0,4x Juros total = $ 1.562,40
30 (dias)
Como:
J = C×i×n
e
J total = J 1 + J 2
Temos:
J total = C1 × i1 × n1 + C 2 × i 2 × n 2 1.562 = 0,6 x × 0,0285 × 2 + 0,4 x × 0,031 × 1 1.562,40 = 0,0342 x × 0,0124 x 1.562,40 = 0,0466 x x =
1.562,40 0,0466
x = 33.527,90 Aplicação 1 = 0,6 x = 0,6 × 33.527,89 = $ 20.116,73 Aplicação 2 = 0,4 x = 0,4 × 33.527,89 = $ 13.411,15 Portanto, o valor de todo o capital investido é $ 35.527,90 26) Representando graficamente, temos: Primeiro empréstimo $ 92.325,00 i = 3,3% a.m. (0,033) n=? J=?
$ 75.000,00 Segundo empréstimo
$ 49.600,00 i=? n = 10 meses
$ 40.000,00
a) Solução:
M = C (1 + i × n) 92.325 = 75.000,00(1 + 0,033 × n) 92.325 = 75.000,00 + 2.475n 17.325 = 2.475n n =
17.325 2.475
n = 7 meses M = C + J 92.325,00 = 75.000,00 + J J = 92.325,00 − 75.000,00 J = $ 17.325,00 b) Solução:
M = C (1 + i × n) 49.600,00 = 40.000,00(1 + i × 10) 49.600 = 40.000,00 + 400.000,00i 9.600,00 = 400.000,00i i=
9.600,00 400.000,00
i = 0,024 ou 2,4% a.m. i = 0,024 × 12 i = 0,288 ou 28,8% a.a. 27) Representando graficamente, temos:
Primeiro empréstimo M1
i = 7% a.m. (0,07) n=?
$ 42.000,00 Segundo empréstimo
M2
i = 5% a.m. (0,05) n=?
$ 200.000,00 Empréstimo total 0
2 Juro total = $ 180.000,00 n = 2 anos Solução:
J total = J 1 + J 2 C total × itotal × n total = C t × i1 × n1 + C 2 × i 2 × n 2
180.000,00 = (42.000,00 × 0,07 × n1 ) + [200.000,00 × 0,05 × (24 − n1 )] 180.000,00 = 2.940,00n1 + 240.000,00,00 − 10.000,00n1 7.060,00n1 = 60.000,00 n1 = 8,5 meses n2 = 24 − 8,5 meses n2 = 15,5 meses
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Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 2 – Juros Compostos 1) Sendo a taxa nominal da operação = 3,3% a.m. (0,033), temos: Taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,033)12 − 1 (i f ) = 0,4764 ou 47,64% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,033 ENTER 12 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,03 1,48 0,48 47,64
Significado Limpa registradores Taxa nominal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
2) a) Sendo a taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,023)12 − 1 (i f ) = 0,3137 ou 31,37% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,023 ENTER 12 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,02 1,31 0,31 31,37
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
b) Sendo a taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,0014) 23 − 1 (i f ) = 0,0327 ou 3,27% p/23 dias Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0014 ENTER
Visor 0,00 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva
23 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 3,27
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
c) Sendo a taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,0745) 4 − 1 (i f ) = 0,3330 ou 33,30% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0745 ENTER 23 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,07 1,33 0,33 33,30
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
d) Sendo a taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,0675) 2 − 1 (i f ) = 0,1396 ou 13,96% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0675 ENTER 2 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1,07 1,14 0,14 13,96
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
e) Sendo a taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,0187)18 − 1 (i f ) = 0,3958 ou 39,58% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0187 ENTER 18 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,02 1,40 0,40 39,58
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
3) q
a) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) = 12 1 + 0,34 − 1 (i q ) = 0,0247 ou 2,47% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,34 ENTER 12 1 x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,34 1,02
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,02 2,47
Taxa unitária Taxa percentual q
b) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) = 3 1 + 0,34 − 1 (i q ) = 0,1025 ou 10,25% a.q. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,34 ENTER 3 1x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,34 1,10
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,10 10,25
Taxa unitária Taxa percentual q
c) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) = 2 1 + 0,34 − 1 (i q ) = 0,1576 ou 15,76% a.s. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,34 ENTER 2 1x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,34 1,16
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,16 15,76
Taxa unitária Taxa percentual q
d) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) = (12 1 + 0,34 ) 5 − 1 (i q ) = 0,1297 ou 12,97% p/5 meses.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,34 ENTER 12 1 x y x
Visor 0,00 1,34 1,02
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
5 yx 1 100 < × >
1,13 0,13 12,97
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual q
e) Sendo a taxa equivalente (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) = (12 1 + 0,34 )10 − 1 (i q ) = 0,2762 ou 27,62% p/10 meses Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,34 ENTER 12 1 x y x
Visor 0,00 1,34 1,02
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
10 y x 1 100 < × >
1,28 0,28 27,62
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
4) Sendo exigida a taxa efetiva anual de 18%, temos: a)
(i q ) = 12 1 + 0,18 − 1 (i q ) = 0,0139 ou 1,39% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,18 ENTER 12 1 x y x 1 100 < × > b)
Visor 0,00 1,18 1,01
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,01 1,39
Taxa unitária Taxa percentual
(i q ) = 4 1 + 0,18 − 1 (i q ) = 0,0422 ou 4,22% a.t.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,18 ENTER 4 1x y x 1 100 < × >
c)
Visor 0,00 1,18 1,04
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,04 4,22
Taxa unitária Taxa percentual
(i q ) = (12 1 + 0,18 ) 7 − 1 (i q ) = 0,1014 ou 10,14% p/7 meses
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,18 ENTER 12 1 x y x
Visor 0,00 1,18 1,01
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
7 yx 1 100 < × >
1,10 0,10 10,14
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
5) Sendo a taxa efetiva anual de 16,5%, temos: a)
(i q ) = 12 1 + 0,165 − 1 (i q ) = 0,0128 ou 1,28% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,165 ENTER 12 1 x y x 1 100 < × >
b)
Visor 0,00 1,17 1,01
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,10 1,28
Taxa unitária Taxa percentual
(i q ) = (12 1 + 0,165 ) 9 − 1 (i q ) = 0,1214 ou 12,14% p/9 meses
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,165 ENTER
Visor 0,00 1,17
Significado Limpa registradores Taxa efetiva
12
1
x
yx
9 yx 1 100 < × > c)
1,01
Fator de atualização
1,12 0,12 12,14
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
(i q ) = (360 1 + 0,165 ) 37 − 1 (i q ) = 0,0158 ou 1,58% p/37 dias
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,165 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 1,17 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
37 y x 1 100 < × >
1,02 0,02 1,58
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
d)
(i q ) = (360 1 + 0,165 )100 − 1 (i q ) = 0,0433 ou 4,33% p/37 dias
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,165 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 1,17 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
100 y x 1 100 < × >
1,04 0,02 4,33
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
6) a)
(i q ) = (26 1 + 0,029 ) 30 − 1 (i q ) = 0,0335 ou 3,35% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,029 ENTER 26 1 x y x
Visor 0,00 1,03 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
30 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 3,35
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
b)
(i q ) = (34 1 + 0,0355 ) 30 − 1 (i q ) = 0,0313 ou 3,13% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0355 ENTER 34 1 x y x
Visor 0,00 1,04 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
30 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 3,13
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
7) a)
Taxa mensal: (i q ) = (77 1 + 0,083 ) 30 − 1 (i q ) = 0,0316 ou 3,16% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,083 ENTER 77 1 x y x
Visor 0,00 1,08 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
30 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 3,16
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Taxa anual: (i q ) = (77 1 + 0,083 ) 360 − 1 (i q ) = 0,4518 ou 45,18% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,083 ENTER 77 1 x y x
Visor 0,00 1,04 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
360 y x 1 100 < × >
1,45 0,45 45,18
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
b)
Taxa mensal: (i q ) = (360 1 + 0,186 )136 − 1 (i q ) = 0,0666 ou 6,66% p/136 dias.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,186 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 1,19 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
136 y x 1 100 < × >
1,07 0,07 6,66
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
c)
Taxa mensal: (i q ) = (28 1 + 0,03 ) 30 − 1 (i q ) = 0,0322 ou 3,22% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,03 ENTER 28 1 x y x
Visor 0,00 1,03 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
30 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 3,22
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Taxa anual: (i q ) = (28 1 + 0,03 ) 360 − 1 (i q ) = 0,4623 ou 46,23% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,03 ENTER 28 1 x y x
Visor 0,00 1,03 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
360 y x 1 100 < × >
1,46 0,46 46,23
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
d)
Taxa anual: (i q ) = (360 1 + 1,093 ) 44 − 1 (i q ) = 0,0945 ou 9,45% p/44 dias
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2,093 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 2,09 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
44 y x 1 100 < × >
1,09 0,01 9,45
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
8) a)
Taxa efetiva anual (i f ) = 1 +
0,72 12
12
−1
(i f ) = 1,0122 ou 101,22% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,006 ENTER 12 y x 1 100 < × > b)
0,72 Taxa efetiva anual (i f ) = 1 + 4 (i f ) = 0,9388 ou 93,88% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,18 ENTER 4 yx 1 100 < × >
c)
Visor 0,00 1,01 1,07 0,07 7,44
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual 4
−1
Visor 0,00 1,18 1,94 0,94 93,88
0,72 Taxa efetiva anual (i f ) = 1 + 2 (i f ) = 0,8496 ou 84,96% a.a.
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual 2
−1
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,36 ENTER 2 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1,36 1,85 0,85 84,96
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
9) a)
Primeiro, transformamos a taxa efetiva mensal em taxa diária: (i q ) = 30 1 + 0,0285 − 1 (i q ) = 0,0937% a.d.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0285 ENTER 30 1 x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,03 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,001 0,0937
Taxa unitária Taxa percentual
Depois, multiplicamos a taxa diária por 30: i (linear) = 0,0937% x 30 dias i (linear) = 2,81% a.m. b) 0,09 • Taxa efetiva anual (i f ) = 1 + 12 (i f ) = 0,0938 ou 9,38% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0075 ENTER 12 y x 1 100 < × >
12
−1
Visor 0,00 1,01 1,09 0,09 9,38
0,14 • Taxa efetiva mensal (i f ) = 1 + 4 (i f ) = 0,1475 ou 14,75% a.a.
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual 4
−1
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,035 ENTER 4 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1,04 1,15 0,15 14,75
0,15 • Taxa efetiva mensal (i f ) = 1 + 2 (i f ) = 0,1556 ou 15,56% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,075 ENTER 2 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1,12 1,12 0,12 12,00
10) a) Sendo:
Temos:
2
−1
Visor 0,00 1,08 1,16 0,16 15,56
0,12 • Taxa efetiva mensal (i f ) = 1 + 1 (i f ) = 0,12 ou 12,0% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,12 ENTER 1 yx 1 100 < × >
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
PV = $ 22.000,00 i = 2,2% a.m. (0,022) n = 7 meses FV = ?
FV = PV (1 + i ) n FV = 22.000,00(1 + 0,022) 7 FV = $ 25.619,99
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual 1
−1
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 22.000 CHS PV 2,2 i 7 n FV b) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 -22.000,00 2,20 7,00 25.619,99
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa mensal Prazo em meses Valor do Montante
PV = $ 22.000,00 i = 5% a.m. (0,05) n = 2 anos (24 meses) FV = ?
FV = PV (1 + i ) n FV = 22.000,00(1 + 0,05) 24 FV = $ 70.952,20
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 22.000 CHS PV 5 i 24 n FV c) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 -22.000,00 5,00 24,00 70.952,20
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa mensal Prazo em meses Valor do Montante
PV = $ 22.000,00 i = 12% a.t. (0,12) n = 1 ano e meio (6 trimestres) FV = ?
FV = PV (1 + i ) n FV = 22.000,00(1 + 0,12) 6 FV = $ 43.424,10
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 22.000 CHS PV 12 i 6 n FV
Visor 0,00 -22.000,00 12,00 6,00 43.424,10
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa trimestral Prazo em trimestres Valor do Montante
d) Sendo:
Temos:
PV = $ 22.000,00 i = 20% a.s. (0,20) n = 4 anos (8 semestres) FV = ?
FV = PV (1 + i ) n
FV = 22.000,00(1 + 0,20) 8 FV = $ 94.595,97 Solução na HP-12C: Teclas Visor f FIN f REG 0,00 22.000 CHS PV -22.000,00 20 i 20,00 8 n 8,00 FV 94.595,97 e) Sendo:
Temos:
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa semestral Prazo em semestres Valor do Montante
PV = $ 22.000,00 i = 0,15% ao dia (0,0015) n = 47 dias FV = ?
FV = PV (1 + i ) n FV = 22.000,00(1 + 0,0015) 47 FV = $ 23.605,73
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 22.000 CHS PV 0,15 i 47 n FV f) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 -22.000,00 0,15 47,00 23.605,73
PV = $ 22.000,00 i = 9% a.a. (0,09) n = 216 meses (216/12 = 18 anos) FV = ?
FV = PV (1 + i ) n FV = 22.000,00(1 + 0,09)18 FV = $ 103.776,65
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa diária Prazo em dias Valor do Montante
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 22.000 CHS PV 9 i 18 n FV
Visor 0,00 -22.000,00 9,00 18,00 103.776,65
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa anual Prazo anual Valor do Montante
11) a) Sendo:
Temos:
PV = $ 300.000,00 i = 2,5% a.m. (0,025) n = 1 semestre (6 meses) J=?
J = PV [(1 + i ) n − 1] J = 300.000,00[(1 + 0,025) 6 − 1] J = $ 47.908,03
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 300.000 CHS PV 2,5 i 6 n FV RCL PV b) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 -300.000,00 2,50 6,00 347.908,03 -300.000,00 47.908,03
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa mensal Prazo mensal Valor do Montante Retorna o valor da aplicação Valor dos juros
PV = $ 300.000,00 i = 3,3% a.m. (0,033) n = 1 ano e 3 meses (15 meses) J=?
J = PV [(1 + i ) n − 1] J = 300.000,00[(1 + 0,033)15 − 1] J = $ 188.231,82
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 300.000 CHS PV 3,3 i 15 n FV
Visor 0,00 -300.000,00 3,30 15,00 488.231,82
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa mensal Prazo mensal Valor do Montante
RCL PV c) Sendo:
Temos:
-300.000,00 188.231,82
Retorna o valor da aplicação Valor dos juros
PV = $ 300.000,00 i = 6% a.s. (0,06) n = 72 meses (72/6 = 12 semestres) J=?
J = PV [(1 + i ) n − 1] J = 300.000[(1 + 0,06)12 − 1] J = $ 303.658,94
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 300.000 CHS PV 6 i 12 n FV RCL PV d) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 -300.000,00 6,00 12,00 603.658,94 -300.000,00 303.658,94
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa semestral Prazo semestral Valor do Montante Retorna o valor da aplicação Valor dos juros
PV = $ 300.000,00 i = 10% a.a. (0,10) n = 120 meses (10 anos) J=?
J = PV [(1 + i ) n − 1] J = 300.0000,00[(1 + 0,10)10 − 1] J = $ 478.122,74
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 300.000 CHS PV 10 i 10 n FV RCL PV e) Sendo:
Visor 0,00 -300.000,00 10,00 10,00 778.122,74 -300.000,00 478.122,74
PV = $ 300.000,00 i = 25% a.q. (0,25) n = 4 anos (12 quadrimestres) J=?
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa anual Prazo anual Valor do Montante Retorna o valor da aplicação Valor dos juros
Temos:
J = PV [(1 + i ) n − 1] J = 300.000,00[(1 + 0,25)12 − 1] J = $ 4.065.574,57
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 300.000 CHS PV 25 i 12 n FV RCL PV
Visor 0,00 -300.000,00 25,00 12,00 4.365.574,57 -300.000,00 4.065.574,57
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa quadrimestral Prazo quadrimestral Valor do Montante Retorna o valor da aplicação Valor dos juros
12) Sendo:
i = 6% a.t. (0,06) FV = $ 58.000,00 n = 3 anos (12 trimestres) PV = ?
Temos:
PV =
FV (1 + i ) n
PV =
58.000,00 (1 + 0,06)12
PV = $ 28.824,22 ∴ A pessoa deverá aplicar $ 28.824,22 neste título
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 58.000 CHS FV 6 i 12 n PV
Visor 0,00 -58.000,00 6,00 12,00 28.824,22
Significado Limpa registradores Valor do resgate Taxa trimestral Prazo trimestral Valor da aplicação
13) Sendo:
i = 10% a.q. (0,10) FV = $ 38.500,00 n = 28 meses (7 quadrimestres) PV = ?
Temos:
PV =
FV (1 + i ) n
PV =
38.500,00 (1 + 0,10) 7
PV = $ 19.756,59 ∴ Deve ser aplicado $ 19.756,59.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 38.500 CHS FV 10 i 7 n PV
Visor 0,00 -38.500,00 10,00 7,00 19.756,59
14) Sendo:
i=? PV = $ 68.700,00 FV = $ 82.084,90 n = 8 meses
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV 82.084,90 = (1 + i ) 8 68.700,00 1,195 = (1 + i ) 8 8
1,195 =
8
(1 + i ) 8
Significado Limpa registradores Valor do resgate Taxa quadrimestral Prazo quadrimestral Valor da aplicação
1,023 = 1 + i i = 0,0225 ou 2,25% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 68.700 CHS PV 82.084,90 FV 8 n i
Visor 0,00 -68.700,00 82.084,90 8,00 2,25
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Prazo em meses Valor da taxa mensal de juros
15) Sendo:
•
PV = $ 1.000,00 FV = $ 1.180,00 n = 6 meses i=? Cálculo da taxa efetiva mensal FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV 1.180 = (1 + i ) 6 1.000 1,18 = (1 + i ) 6 6
1,18 =
6
(1 + i ) 6
1,028 = 1 + i i (mensal) = 0,028 ou 2,80% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 CHS PV 1.180,00 FV 6 n i
Visor 0,00 -1.000,00 1.180,00 6,00 2,80
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Prazo em meses Valor da taxa mensal de juros
i (semestral) = (1 + 0,028) 6 − 1 = 0,181 ou 18,1% a.s. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,028 ENTER 6 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1,03 1,18 0,18 18,02
Significado Limpa registradores Taxa nominal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
i (anual) = (1 + 0,028)12 − 1 = 0,3929 ou 39,29% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,028 ENTER 12 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,03 1,39 0,39 39,29
Significado Limpa registradores Taxa nominal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
16) Sendo:
PV (à vista) = $ 792,00 ($ 900,00 x 0,88) FV (pagamento em 30 dias) = $ 900,00 n= 30 dias (1 mês) i=?
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV 900 = (1 + i )1 792 1,1364 = (1 + i )1 1 − 1,1364 = i i = 0,1364 ou 13,64% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 792 CHS PV 900,00 FV 1 n i
Visor 0,00 -792,00 900,00 1,00 13,64
Significado Limpa registradores Valor à vista Valor à prazo Prazo em meses Valor da taxa mensal de juros
17) Sendo:
PV = $ 12.800,00 FV = $ 20.233,12 ( $ 12.800,00 + $ 7.433,12 ) n = 36 meses i=?
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV
20.233,12 12.800,00
= (1 + i ) 36
1,5807 = (1 + i ) 36 36
1,5807 =
36
(1 + i ) 36
1,0128 = 1 + i 1 − 1,0128 = i i = 0,0128 ou 1,28% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 12.800 CHS PV 20.233,12 FV 36 n i
Visor 0,00 -12.800,00 20.233,12 36,00 1,28
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Prazo em meses Valor da taxa mensal de juros
18) Sendo:
•
PV = $ 67.000,00 FV = $ 171.929,17 n = 17 meses i=? Cálculo da taxa efetiva mensal FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV
171.929,17 67.000,00
= (1 + i )17
2,5661 = (1 + i )17 17
2,5661 =
17
(1 + i )17
1,057 = 1 + i i = 0,057 ou 5,7% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 67.000 CHS PV 171.929,17 FV 17 n i •
Visor 0,00 -67.000,00 171.929,17 17,00 5,70
Significado Limpa registradores Valor do capital Valor do montante Prazo em meses Valor da taxa mensal de juros
Cálculo da taxa efetiva anual (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,057)12 − 1 (i f ) = 0,9450 ou 94,50% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 100 PV 5,69999 CHS FV 30 360 < ÷ > n i
Visor 0,00 100,00 -105,70 30,00 0,08 94,50
Significado Limpa registradores Inserção do valor presente Taxa mensal Prazo da taxa Taxa procurada Valor da taxa anual
19) Sendo:
•
PV = $ 22.960,00 FV = $ 28.822,30 n = 10 meses i=? Cálculo da taxa efetiva mensal FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV 28.822,30 = (1 + i )10 22.960 1,2553 = (1 + i )10 10
1,2553 =
10
(1 + i )10
1,0230 = 1 + i i = 0,0230 ou 2,30% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 22.960 CHS PV 28.822,30 FV 10 n i
Visor 0,00 -22.960,00 28.822,30 10,00 2,30
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do montante Prazo em meses Valor da taxa mensal de juros
20) Sendo:
PV = 1 FV = 2 Obs: Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV i = 10% a.m. (0,1) n=?
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV 2 = (1 + 0,1) n
Aplicando-se logaritmo, conforme demonstrado no Apêndice B: log 2 = n × log 1,1 n =
log 2 0,6931 = = 7,27 anos log 1,1 0,0953
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 2 FV 10 i n
Visor 0,00 -1,00 2,00 10,00 8,00
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Crescimento exponencial Prazo em anos (*)
(*) A HP-12C não apresenta períodos fracionários quando o período (n) não for um número inteiro. Assim sendo, ela sempre apresentará o número inteiro imediatamente superior ao resultado exato. 21) a) Sendo:
PV = 1 FV = 2 Obs: Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV i = 4% a.s. (0,04) n=?
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV 2 = (1 + 0,04) n
Aplicando-se logaritmo, conforme demonstrado no Apêndice B: log 2 = n × log 1,04
n =
log 2 0,6931 = = 17,67 semestres log 1,04 0,0392
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 2 FV 4 i n
Visor 0,00 -1,00 2,00 4,00 18,00
b) Sendo:
PV = 1 FV = 3 i = 4% a.s. (0,04) n=?
Temos:
FV = PV (1 + i ) n
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Crescimento exponencial Prazo em anos
FV = (1 + i ) n PV 3 = (1 + 0,04) n log 3 = n × log 1,04 n =
log 3 1,0986 = = 28,01 semestres log 1,04 0,0392
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 3 FV 4 i n
Visor 0,00 -1,00 3,00 4,00 29,00
22) Sendo:
i=? PV = 1 FV = 3 n = 3 anos e meio (42 meses)
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Crescimento exponencial Prazo em anos
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV 3 = (1 + i ) 42 42
3 =
42
(1 + i ) 42
1,0265 = 1 + i i = 0,0265 ou 2,65% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 3 FV 42 n i
Visor 0,00 -1,00 3,00 42,00 2,65
Significado Limpa registradores Valor do capital Valor do resgate Prazo em meses Taxa mensal de juros
23) Sendo:
i=? PV = 1 FV = 3,70 n = 2 anos (6 quadrisemestres)
Temos:
FV = PV (1 + i ) n
FV = PV (1 + i ) n
FV = (1 + i ) n PV
FV = (1 + i ) n PV
3,70 = (1 + i ) 6
3,70 = (1 + i ) 2
6
3,70 =
6
(1 + i ) 6
2
3,70 =
2
(1 + i ) 2
1,2437 = 1 + i
1,9235 = 1 + i
i = 0,2437 ou 24,37% a.q.
i = 0,9235 ou 92,35% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 3,7 FV 6 n i 100 CHS FV 100 PV 120 360 < ÷ > n i
Visor 0,00 -1,00 3,70 6,00 24,37 -124,37 100,00 120,00 0,33 92,35
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Prazo em quadrisemestres Taxa quadrisemestral Inserção do valor futuro Inserção do valor presente Quantidade de dias no quadrisemestre Quantidade de dias no ano Valor da taxa anual
24) Sendo:
•
PV = $ 48.700,00 n = 30 meses (2 anos e meio) i = 19,5% a.a. (0,195) FV = ?
Convenção Linear FV = PV (1 + i ) n × 1 + i ×
m k
FV = 48.700(1 + 0,195) 2 × 1 + 0,195 ×
6 12
FV = 69.544,82 × 1,0975 FV = $ 76.325,44 •
Convenção Exponencial FV = PV × (1 + i ) n + m / k FV = 48.700 × (1 + 0,195) 2 + 6 / 12 FV = 48.700 × 1,5611 FV = $ 76.023,65
Solução na HP-12C(**): Teclas f FIN f REG 48.700 CHS PV 2,50 n 19,5 i
Visor 0,00 -48.700,00 2,50 19,50
Significado Limpa registradores Valor do empréstimo Prazo de vencimento em anos Taxa de juro anual
FV STO EEX FV FV
76.023,65 76.325,44
Montante na Convenção Exponencial Montante na Convenção Linear
(**) Em todos os exercícios, consideramos que a Calculadora Financeira HP-12C está com a letra “C” presente na parte inferior direita do visor. Essa letra indica que estamos considerando Juros Compostos no cálculo do montante (FV) por todo o tempo. Para mais detalhes ver item 2.5. Para inserir (ou retirar) a letra “C” do visor pressione as teclas em seqüência. 25) Sendo:
PV = ? FV = $ 13.450,00 n = 1 semestre i = 20% a.a.
(
Temos:
)
i = 1 + 0,20 − 1 i = 0,0954... ou 9,54...% a.s.
Calculando a taxa semestral:
PV =
FV (1 + i ) n
PV =
13.450 (1 + 0,0954...)
PV = $ 12.278,11 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 13.450 CHS FV 1 n 9,54451 i PV
Visor 0,00 -13.450,00 1,00 9,54 12.278,11
Significado Limpa registradores Valor nominal (de resgate) Prazo da taxa em semestres Taxa de rentabilidade semestral Valor pago
26) Solução:
i = 17% a.a. (0,17) Transformando a taxa anual em taxa mensal i = 12 1 + 0,17 − 1 i = 0,0132... ou 1,32...% a.m.
(
)
PV =
33.000,00 47.000,00 + 11 (1 + 0,013169611 ) (1 + 0,013169611 )14
PV = 28.576,58 + 39.133,42 PV = $ 67.710,00 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 33.000 CHS FV 11 n 1,3169611 i PV 47.000 CHS FV 14 n 1,3169611 i PV
Visor 0,00 -33.000,00 11,00 1,32 28.576,58
Significado Limpa registradores Valor do 1º resgate Prazo do 1º resgate Rentabilidade mensal Aplicação 1
-47.000,00 14,00 1,32 39.133,41 67.710,00
Valor do 2º resgate Prazo do 2º resgate Rentabilidade mensal Aplicação 2 Aplicação Total (1+2)
27) Solução:
a)
Temos:
Para analisar-mos qual opção é mais rentável para o poupador, basta calcular o Valor Presente (PV) das duas alternativas e verificar qual apresenta maior PV. PV = ? FV = $ 18.500,00 n = 4 meses i = 2,5% a.m. (0,025) PV =
PV =
FV (1 + i ) n 18.500,00 (1 + 0,025) 4
PV = $ 16.760,09 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 18.500 CHS FV 4 n
Visor 0,00 -18.500,00 4,00
Significado Limpa registradores Valor de resgate Prazo em meses
2,5 i PV
b)
Temos:
2,50 16.760,09
Taxa mensal Valor Presente da alternativa a
PV = ? FV = $ 25.500,00 n = 12 meses i = 2,5% a.m. (0,025) PV =
PV =
FV (1 + i ) n 25.500,00 (1 + 0,025)12
PV = $ 18.960,68 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 25.500 CHS FV 12 n 2,5 i PV
Visor 0,00 -25.500,00 4,00 2,50 18.960,68
Significado Limpa registradores Valor de resgate Prazo em meses Taxa mensal Valor Presente da alternativa b
Como a alternativa b produz maior Valor Presente, é mais rentável para o poupador receber $ 25.500,00 ao final de um ano. 28) Solução: a)
i = 2,77% a.m. (0,0277) PV =
2.500,00 (1 + 0,0277)
4
+
8.500,00 (1 + 0,0277) 8
PV = 2.241,17 + 6.381,06 PV = $ 9.072,23 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2.500 CHS FV 4 n 2,77 i PV
Visor 0,00 -2.500,00 4,00 2,77 2.241,17
Significado Limpa registradores Valor da 1ª dívida Prazo da 1ª dívida Rentabilidade mensal da poupança Valor Presente da dívida 1
2.241,17
Acumula dívida 1
8.500,00 CHS FV 8 n 2,77 i PV
-8.500,00 8,00 2,77 6.381,06 9.072,23
Valor da 2ª dívida Prazo da 2ª dívida Rentabilidade mensal da poupança Valor Presente da dívida 2 Valor Presente da dívida total (1+2)
b)
PV =
2.500,00 (1 + 0,0277)
4
+
8.500,00 + 4.000,00 (1 + 0,0277) 8
PV = 2.241,17 + 10.045,67 PV = $ 12.286,84 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2.500 CHS FV 4 n 2,77 i PV 12.500 CHS FV 8 n 2,77 i PV
Visor 0,00 -2.500,00 4,00 2,77 2.241,17
Significado Limpa registradores Valor da 1ª dívida Prazo da 1ª dívida Rentabilidade mensal da poupança Valor Presente da dívida 1
-12.500,00 8,00 2,77 10.045,68 12.286,84
Valor da 2ª dívida Prazo da 2ª dívida Rentabilidade mensal da poupança Valor Presente da dívida 2 Valor Presente da dívida total (1+2)
29) Representando graficamente, temos: Investimento original 0 PV
$ 36.670,00 4 (meses)
Proposta do banco
$ 41.400,00
0
9 (meses)
PV Diferença das alternativas
$ 41.400,00
$ 36.670,00 Então:
PV = $ 36.670,00 FV = $ 41.400,00 n = 5 meses i=?
Assim:
FV = PV (1 + i ) n
5 (meses)
FV = (1 + i ) n PV
41.400,00 36.670,00
= (1 + i ) 5
1,129 = (1 + i ) 5 5
1,129 = 5 (1 + i ) 5
1,0246 = 1 + i i = 0,0246 ou 2,46% a.m. Portanto, a troca do título foi interessante. Os juros ganhos (2,46% a.m.) foram superiores aos de mercado (2,1% a.m.) Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 36.670 CHS PV 41.400 FV 5 n
Visor 0,00 -36.670,00 41.400,00 5,00
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Valor do resgate Prazo em meses
i 30)
2,46
Valor da taxa mensal de juros
Para resolver este problema, podemos trazer os valores das obrigações financeiras do plano original a Valor Presente e depois capitalizá-las aos prazos da nova proposta. Sendo:
i = 2,8% a.m. (0,028),
Temos:
PV =
18.200,00 (1 + 0,028)
+
23.300,00 (1 + 0,028)
5
+
30.000,00 (1 + 0,028)10
PV = 17.704,28 + 20.295,06 + 22.760,94 PV = 60.760,28 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 18.200 CHS FV 1 n 2,8 i PV ENTER 23.300 CHS FV 5 n 2,8 i PV ENTER 30.000 CHS FV 10 n 2,8 i PV
Visor 0,00 - 18.200,00 1,00 2,80 17.704,28 17.704,28 - 23.300,00 5,00 2,80 20.295,06 20.295,06 - 30.000,00 10 2,80 22.760,94 60.760,28
Significado Limpa registradores Dívida no fim de um mês Prazo da dívida Taxa de juros Valor presente da dívida Acumula o valor da dívida Dívida no fim de 5 meses Prazo da dívida Taxa de juros Valor presente da dívida Acumula o valor da dívida Dívida no fim de 10 meses Prazo da dívida Taxa de juros Valor presente da dívida Soma dos valores das dívidas
Agora, capitalizamos esse Valor Presente para os meses 12 e 15 com a mesma taxa de juros: PV =
FV FV + n (1 + i ) (1 + i ) n
Chamando de x os valores dos dois pagamentos iguais, temos: 60.760,28 =
x x + 12 (1 + 0,028) (1 + 0,028)15
60.760,28 =
x x + 1,392891781 1,513201349
60.760,28 =
1,513201349 x + 1,392891781 x 2,107725722
2,906093130 x = 128.066,00 x=
128.066,00 2,906093130
x = 44.068,10 ∴O valor de cada pagamento = $ 44.068,10 31) Solução:
Chamando o primeiro pagamento de x , o segundo pagamento será 2 x e o terceiro pagamento 3 x , temos: PV =
FV FV FV + + n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n
25.000,00 =
x 2x 3x + + 3 4 .(1 + 0,035) (1 + 0,035) (1 + 0,035)12
25.000,00 =
2x 3x x + + .1,108718 1,147523 1,511069
25.000,00 =
1,733986 x + 3,350698 x + 3,816838 x .1,922501
25.000 × 1,922501 = 8,901521 x 48.062,53 = 8,901521 x x = 5.399,36
1º pagamento ( x1 ) = $ 5.399,26 2º pagamento ( x 2 ) = $ 10.798,72 3º pagamento ( x3 ) = $ 16.198,08 Portanto, o primeiro pagamento será de $ 5.399,36, o segundo pagamento será de $ 10.798,72 e o terceiro pagamento será de $ 16.198,08.
32) Solução:
Transformando a taxa nominal anual em taxa nominal mensal i = 28,08% a.a. (0,2808) i = 28,08 / 12 = 2,34% a.m. (0,0234)
Temos:
PV =
FV3 (1 + i ) n
+
FV6 (1 + i ) n
+
FV8 (1 + i ) n
192.387,07 39.000,00 55.000,00 74.000,00 = + + n 3 6 (1 + 0,0234) (1 + 0,0234) (1 + 0,0234) (1 + 0,0234) 8 192.387,07 = 36.385,50 + 47.872,95 + 61.499,05 1,0234 n 192.387,07 = 145.757,51 1,0234 n 192.387,07 = 1,0234 n 145.757,51 1,3199 = 1,0234 n Aplicando-se log: log1,3199 = log(1,0234) n log 1,3199 = n ⋅ log(1,0234) n=
log 1,3199 log 1,0234
n=
0,277565 0,023130
n = 12 Portanto, o pagamento deveria ser efetuado no 12º mês.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 39.000 CHS FV 3 n 2,34 i PV ENTER 55.000 CHS FV 6 n 2,34 i PV ENTER 74.000 CHS FV 8 n 2,34 i PV 192.387,07 ENTER g LN 1,0234 g LN
Visor 0,00 -39.000,00 3,00 2,34 36.385,50 36.385,50 -55.000,00 6,00 2,34 47.872,95 47.872,95 -74.000,00 8,00 2,34 61.499,05 145.757,51 192.387,07 0,28 0,02 11,95
Significado Limpa registradores Valor da primeira dívida Prazo da primeira dívida Taxa de juro Valor presente Armazena valor Valor da segunda dívida Prazo da segunda dívida Taxa de juro Valor presente Armazena valor Valor da terceira dívida Prazo da terceira dívida Taxa de juro Valor presente Armazena valor Soma valores armazenados Logaritmo neperiano Taxa nominal mensal Momento do pagamento
33) Solução:
PV =
FV FV FV FV + + + n n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n
12.400,00 =
3.500 4.000 1.700 FV + + + 2 5 7 (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03)12
12.400,00 = 3.299,09 + 3.450,44 + 1.382,26 +
4.268,21 =
FV 1,4258
FV = $ 6.085,47 Portanto, o valor do último pagamento será de $ 6.085,47
FV 1,4258
34) Considerando a data do primeiro pagamento como sendo o momento atual (zero), podemos representar o problema da seguinte maneira: 6.200,00 +
9600,00 3.000,00 4.500,00 x = + + 4 3 6 (1 + 0,029) (1 + 0,029) (1 + 0,029) (1 + 0,029)11
6.200,00 + 8.562,68 = 2.753,44 + 3.790,71 +
x 1,3695
x = 8.218,53 1,3695 x = 11.255,47 Portanto, o saldo a pagar é de $ 11.255,47. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 6.200 ENTER 9.600 CHS FV 2,9 i 4 n PV 3.000 CHS FV 2,9 i 3 n PV 4.500 CHS FV 2,9 i 6 n PV 1,029 ENTER 11 y x
Visor 0,00 -6.200,00 -9.600,00 2,90 4,00 8.562,68 14.762,68 -3.000,00 2,90 3,00 2.753,44 12.009,24 -4.500,00 2,90 6,00 3.790,71 8.218,54 1,03 1,37 11.255,47
Significado Limpa registradores Primeira parcela da dívida Segunda parcela da dívida Taxa efetiva de juros Prazo entre as parcelas Valor presente da dívida Soma valores Primeira parcela da proposta Taxa efetiva de juros Prazo depois do primeiro pagamento Valor presente Subtrai valores Segunda parcela da proposta Taxa efetiva de juros Prazo depois do primeiro pagamento Valor presente Subtrai valores Taxa efetiva de juros Prazo total da proposta Saldo a pagar
35) Para solucionar esse problema, primeiro encontramos o valor da mercadoria caso fosse paga à vista. Fazemos isso trazendo os pagamentos bimestrais a Valor Presente: PV =
FV FV FV FV + + + n n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n
Transformando a taxa anual em taxa mensal i = 30,60% a.a. (0,3060) i=
0,3060 12
i = 0,0255 ou 2,55% a.m. PV =
1460,00 1460,00 1460,00 1460,00 + + + 2 4 6 (1 + 0,0255) (1 + 0,0255) (1 + 0,0255) (1 + 0,0255) 8
PV = 1.388,29 + 1.320,11 + 1.255,27 + 1.193,62 PV = $5.157,30 Agora, aplicamos o desconto de 20% e capitalizamos os outros 80% até a data do pagamento (mantendo a taxa de juros): $ 5.157,30 × 20% = $ 1.031,46 (entrada) $ 5.157,30 − $ 1.031,46 = $ 4.125,84 (restante) FV = PV (1 + i ) n FV = 4.185,34(1 + 0,0255) 5 FV = $ 4.679,41 Portanto, o valor da prestação vencível ao final de 5 meses será de $ 4.679,41. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 4.125,84 CHS PV 5 n 2,55 i FV
Visor 0,00 4.125,84 5,00 2,25 4.679,41
Significado Limpa registradores Valor restante Prazo em meses Taxa mensal Valor da prestação a vencer
36) Representando graficamente, temos: $ 3.900,00 $ 11.700,00
Dívida Original
0 x
Proposta 0
1
3
5 (meses)
x
x
3
5
i = 2,1% a.m. (0,021)
x
x
7
i = 3,0% a.m. (0,03) 9 (meses)
Para resolver esse problema, igualamos a dívida original à dívida proposta pelo devedor e achamos o valor dos pagamentos bimestrais (chamado de x ) 3.900,00 11.700,00 x x x x x + = + + + + 3 5 3 5 7 1 + 0,03 (1 + 0,03) (1 + 0,021) (1 + 0,021) (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) 9 3.664,27 + 10.545,26 =
14.209,53 =
x x x x x + + + + 1,03 1,0927 1,1593 1,2299 1,3048
2,0328 x + 1,9161 x + 1,8061 x + 1,7024 x + 1,6047 x 2,09377792 8
14.209,53 × 2,093777928 = 9,062148244 x x=
29.751,60 9,062148244
x = $ 3.283,06 Portanto, o valor de cada pagamento bimestral é de $ 3.283,06.
37) a)
Transformando a taxa nominal anual em taxa nominal mensal: i = 12% a.a. (0,12) i = 0,12 / 12 i = 0,01 ou 1,0% a.m. PV = $ 10.000,00 i = 1% a.m. (0,01) n = 5 meses FV = ? FV = PV (1 + i ) n FV = 10.000,00(1 + 0,01) 5 FV = $ 10.510,10 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 10.000 CHS PV 1 i 5 n FV
b)
Significado Limpa registradores Valor da aplicação Taxa trimestral Prazo em trimestres Valor do Montante
Sendo a taxa nominal mensal da operação = 1% a.m. (0,01), temos a taxa efetiva anual igual a: (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,01)12 − 1 (i f ) = 0,1268 ou 12,68% a.a.
c)
Visor 0,00 -10.000,00 1,00 5,00 10.510,10
i = 12% a.a. (0,12) i = 0,12 / 12 i = 0,01 ou 1,0% a.m.
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 3 – Descontos 1) a) Sendo:
N = $ 70.000,00 n = 3 meses i = 34% a.a. (0,34) Dr = ?
Temos:
Dr =
Dr =
N ×i×n 1+ i × n 0,34 ×3 12 0,34 1+ ×3 12
70.000 ×
Dr = $ 5.483,87 b) Sendo:
N = $ 37.000,00 n = 80 dias i = 25% a.a. (0,25) Dr = ?
Temos:
Dr =
Dr =
N ×i×n 1+ i × n
37.000,00 × 1+
0,25 × 80 360
0,25 × 80 360
Dr = $ 1.947,37
2) Solução:
Para obtenção da taxa implícita da operação, basta tão-somente conhecer a taxa de desconto “por fora” e o prazo de desconto
Sendo:
n = 2 meses i = 48% a.a. (0,48) if = ?
Temos:
i =
d ×n 1−d ×n
0,48 × 2 12 i = 0,48 1− × 2 12 i =
0,08 0,92
i = 0,0870... ou 8,70% ao bimestre Determinando a taxa mensal implícita ( if ):
iq =
( 1 + 0,086956522 ) − 1
iq = 0,0426 ou 4,26% a.m. 3) a) Sendo:
N = $ 66.000,00 n = 3 meses d = 24% a.a. (0,24) Vf = ?
Temos:
V f = N × (1 − d × n) V f = 66.000,00 × 1 − V f = 62.040,00
b) Sendo:
N = $ 105.000,00 n = 130 dias d = 15% a.a. (0,15)
0,24 ×3 12
Vf = ? Temos:
V f = N × (1 − d × n) V f = 105.000,00 × 1 −
0,15 × 130 360
V f = 99.312,50 4) a) Sendo:
n = 1 mês i = 4,5% a.m. (0,045) if = ?
Temos:
i =
d ×n 1−d ×n
i =
0,045 × 1 1 − 0,045 × 1
i = 0,0471... ou 4,71% a.m. if = (1 + 0,047120419 )
12
−1
if = 0,7376 ou 73,76% a.a. b) Sendo:
n = 2 meses i = 4,0% a.m. (0,04) if = ?
Temos:
i =
d ×n 1−d ×n
i =
0,04 × 2 1 − 0,04 × 2
i = 0,0870... ou 8,70...% a.b.
iq =
( 1 + 0,086956522 ) − 1
iq = 0,0426... ou 4,26...% a.m. if = (1 + 0,042572070 ) − 1 12
if = 0,649... ou 64,9% a.a. c) Sendo:
n = 3 meses i = 3,5% a.m. (0,035) if = ?
Temos:
i =
d ×n 1−d ×n
i =
0,035 × 3 1 − 0,035 × 3
i = 0,1173... ou 11,73...% a.t.
iq =
( 1 + 0,117318436 ) − 1 3
iq = 0,0377... ou 3,77...% a.m. if = (1 + 0,037669348)
12
−1
if = 0,559... ou 55,9% a.a. 5) Sendo:
N = $ 5.400,00 n = 90 dias (3 meses) Vr = $ 4.956,90 i=?
Temos:
D r = Vr × i × n i =
Dr Vr × n
i =
5.400 − 4.956,9 4.956,9 × 3
i = 0,0298... ou 2,98% a.m. (taxa linear) Calculando a taxa composta: 5.400 = 4.956,90(1 + d ) 3
5.400,00 = (1 + d ) 3 4.956,90 3
5.400,00 = 4.956,90
(1 + d ) 3
3
1,0290... = 1 + d
d = 0,0290... d = 2,90% a.m. 6) Sendo:
i = 4,7% a.m. (0,047) n = 40 dias d = ? a.m.
Para 30 dias, temos:
i =
d ×n 1−d ×n
d=
i n(1 + i )
d=
0,047 1(1 + 0,047 )
d = 0,045... ou 4,45% a.m. Para 40 dias, temos:
i=
(
30
1 + 0,047
)
40
−1
i = 0,063152530 ou 6,32% p/ 40 dias Logo,
d=
0,063152530 1(1 + 0,063152530 )
d = 0,0594... ou 5,94% p/ 40 dias 7)
Sendo:
i = 45,76% a.a. = d=?
12
1 + 0,4576 − 1 = 3,19% a.m. (0,031897428)
d =
i 1+i
d =
0,031897428 1 + 0,031897428
d = 0,030911433 d = 3,1% a.m. (ou 2,38% p/ 23 dias) 8) Sendo:
N = $ 16.000,00 n = 80 dias d = 39% a.a. (0,39) t = 2% a.a. (0,02)
Temos:
VF = N [1 − (d × n + t )] V F = 16.000,00 1 −
0,39 80 × + 0,02 12 30
VF = 14.293,33 Portanto, o valor líquido liberado ao cliente é de $ 14.293,33 Para o cálculo da taxa efetiva, utilizamos o mesmo raciocínio visto no capítulo 2: Sendo:
i=? PV = $ 14.293,33 FV = $ 16.000,00 n = 80 dias
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV
80
16.000,00 = (1 + i ) 30 14.293,33 1,119... = (1 + i ) 2,667 2 , 667
1,119 =
2 , 667
(1 + i ) 2, 667
1,0432 = 1 + i
i = 0,0432 ou 4,32% a.m. Portanto, a taxa efetiva mensal composta desta operação é de 4,32% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 14.293,33 CHS PV 16.000,00 FV 80 30 < ÷ > n i
Visor 0,00 -14.293,33 16.000,00 2,67 4,32
Significado Limpa registradores Valor liberado ao cliente Valor nominal Prazo em meses Valor taxa efetiva mensal composta
9) Sendo:
VF = $ 32.000,00 n = 100 dias d = 30% a.a. (0,3) N=?
Temos:
VF = N (1 − d × n ) N =
N=
VF (1 − d × n ) 32.000,00 100 1 − 0,3 × 360
N = 34.909,10 Portanto, o valor nominal desse título é de $ 34.909,10 10) Sendo:
VF = $ 27.000,00
n = 80 dias d = 2,85% a.m. (0,0285) t = 1,5% a.m. (0,015) N=? Temos:
VF = N [1 − (d × n + t )] N =
N=
VF 1 − (d × n + t ) 27.000,00 80 1 − 0,0285 × + 0,015 30
N = 29.702,97 Portanto, o valor nominal desse título é de $ 29.702,97 11) Para resolver esse problema, podemos igualar o valor nominal do título no desconto racional (ou “por dentro”) com o valor nominal do título no desconto comercial (ou “por fora”): Sendo:
Desconto racional Dr = N =
N ×i×n 1+i×n Dr (1 + i × n) i×n
Desconto comercial
DF = N × d × n N =
DF n×d
Igualamos agora as duas expressões, temos: Dr (1 + i × n) DF = i×n n×d Do enunciado do exercício, sabemos que: Desconto racional
Desconto comercial
i = 66% a.a. (0,66)
d = 66% a.a. (0,66)
n = 50 dias D r = $ 28.923,00
n = 50 dias DF = ?
Então, basta substituir esses valores na expressão encontrada:
28.963 1 + 0,66 × 0,66 ×
50 360
50 360
=
DF
50 × 0,66 360
DF 0,091666667
344.923 =
DF = 31.617,94 Portanto, adotando o conceito de desconto comercial, o valor do desconto deste título é de $ 31.617,94. 12) Sendo: a)
d = 27,6% a.a. (0,276) i=? n = 1 mês i =
i =
d ×n 1−d ×n 0,276 ×
1 12
1 − 0,276 ×
1 12
i = 0,0235... ou 2,35% a.m. Determinando a taxa efetiva anual: i = (1 + 0,0235...)
12
b)
−1
i = 0,3215... ou 32,15%a.a. n = 2 meses
i =
i =
d ×n 1−d ×n 0,276 ×
2 12
1 − 0,276 ×
2 12
i = 0,0482... ou 4,82% a.b. Determinando a taxa efetiva mensal:
i =
1 + 0,0482... − 1
i = 0,0238... ou 2,38% a.m. Determinando a taxa efetiva anual: i = (1 + 0,0238...)
12
−1
i = 0,3265... ou 32,65%a.a. c) n = 3 meses i =
i =
d ×n 1−d ×n 0,276 ×
3 12
1 − 0,276 ×
3 12
i = 0,0741... ou 7,41% a.t. Determinando a taxa efetiva mensal:
i =
1 + 0,0741... − 1
i = 0,0241... ou 2,41% a.m. Determinando a taxa efetiva anual:
i = (1 + 0,0241...)
12
−1
i = 0,3311... ou 33,11%a.a. 13)
Sendo: i = 3,1% a.m. (0,031)
a)
n = 1 mês i =
d ×n 1−d ×n
i =
0,031 1 + 1 × 0,031
i = 0,030067895 ou 3,0% a.m. Determinando a taxa de desconto anual: i = 0,030067895 × 12 i = 0,360814743 a.a. ou 36,0% a.a. b)
n = 2 meses d ×n i = 1−d ×n
i =
(1 + 0,031) 2 − 1
[
]
2 + 2 (1 + 0,031) − 1 2
i = 0,029615856 ou 2,96% a.m. Determinando a taxa de desconto anual: i = 0,029615856 × 12 i = 0,355390273 a.a. ou 35,54% a.a.
c)
n = 3 meses
i =
d ×n 1−d ×n
i =
(1 + 0,031) 3 − 1
[
]
3 + 3 (1 + 0,031) − 1 3
i = 0,029172878 ou 2,92% a.m. Determinando a taxa de desconto anual: i = 0,029172878 × 12 i = 0,350074538 a.a. ou 35,00% a.a. 14) Sendo:
VR = ? N = $ 82.000,00 n = 110 dias i = 5% a.m. (0,05)
Temos:
VR =
VR =
N 1+ i × n
82.000,00 110 1 + 0,05 × 30
VR = 69.295,77 Portanto, o valor máximo que a pessoa deve pagar pelo título é $ 69.295,77 15) Sendo:
VF = $ 54.400,00 N = $ 63.000,00 i = 2,2% a.m. (0,022) n=?
Temos:
VF = N (1 − d × n )
Isolando o “n” da expressão acima, temos: n=
N − VF N ×d
n=
63.000,00 − 54.400,00 63.000,00 × 0,022
n = 6,2 meses 16) Sendo:
i=? d = 69,6% a.a. (0,696) n = 30 dias
Temos:
i=
d ×n 1− d × n
30 360 i= 30 1 − 0,696 × 360 0,696 ×
i = 0,061571125 a.m. Calculando a taxa efetiva anual: i = (1 + 0,061571125) − 1 12
i = 1,0483 ou 104,83% a.a. 17) a) Sendo:
d = 3,8% a.m. (0,038) n = 3 meses i=?
Temos:
i=
d ×n 1− d × n
i=
0,038 × 3 1 − 0,038 × 3
i = 0,1287... a.t.
i=
( 1 + 0,1287... ) − 1 3
i = 0,0412 i = 4,12% a.m. b) Sendo:
d = 3,5% a.m. (0,035) n = 5 meses i=?
Temos:
i=
d ×n 1− d × n
i=
0,035 × 5 1 − 0,035 × 5
i = 0,2121... p/ 5 meses
i=
( 1 + 0,2121... ) − 1 5
i = 0,0392 i = 3,92% a.m. 18) Banco A Sendo:
d = 3,1% a.m. (0,031) n = 90 dias (3 meses) i=?
Temos:
i=
d ×n 1− d × n
i=
0,031 × 3 1 − 0,031 × 3
i = 0,1025... a.t.
i=
( 1 + 0,1025... ) − 1 3
i = 0,0331 i = 3,31% a.m. Banco B Sendo:
d = 2,9% a.m. (0,029) n = 120 dias (4 meses) i=?
Temos:
i=
d ×n 1− d × n
i=
0,029 × 4 1 − 0,029 × 4
i = 0,1312... p/ 4 meses
i=
( 1 + 0,1312... ) − 1 4
i = 0,0313 i = 3,13% a.m. Portanto, o banco A está cobrando a maior taxa efetiva de juros. 19) Sendo:
n=? N = $ 370.000,00 D F = $ 33.720,00 d = 38% a.a. (0,38)
Temos:
DF = N × d × n n= n=
DF N ×d 33.720,00 0,38 370.000,00 × 12
n = 2,88 meses 20) Do enunciado do exercício, temos as seguintes informações:
Título
Valor Nominal
A B C Total:
$ 19.000,00 $ 42.000,00 $ 63.000,00 $ 124.000,00
Prazo de Antecipação 37 dias 66 dias 98 dias
•
Valor nominal total dos títulos ( N )
$ 124.000,00
•
Taxa de desconto anual (i)
21,2% (0,212)
Calculando o n por meio da média ponderada: •
n=
n=
(19.000,00 × 37) + (42.000,00 × 66) + (63.000,00 × 98) 19.000,00 + 42.000,00 + 63.000,00
9.649.000,00 124.000,00
n ≅ 78 dias (77,81451613 dias) Com os valores obtidos acima, utilizamos a expressão i = para Vários Títulos) para cálculo do desconto bancário:
0,212 =
D 77,81451613 124.000,00 × 360
D (ver item 3.4 - Desconto C×n
0,212 =
D 26.802,77778
D = 0,212 × 26.802,77778 D = 5.682,19 Portanto, o valor do desconto bancário é de $ 5.682,19 Como: Valor liberado = Valor Nominal – Desconto Bancário Temos: Valor liberado = $ 124.000,00 – $ 5.682,19 Valor liberado = $ 118.317,81 Calculando a taxa efetiva de juros mensal desta operação:
i=
i=
DF VF × n 5.682,19 77,81451613 118.317,81 × 30
i = 0,0185... ou 1,85% a.m. Calculando agora a taxa pelo regime de juros compostos: Solução na HP-12C: Teclas Visor f FIN f REG 0,00 118.317,81 PV 118.317,81 124.000,00 CHS FV -124.000,00 77,81451613 30 ÷ n 2,59 i 1,82 Outra maneira de resolver: Valor descontado
$ 118.317,81
Significado Limpa registradores Valor descontado Valor nominal dos títulos Prazo médio ponderado Taxa interna de retorno
Valor nominal (resgate) de cada título
37 $19.000,00
118.371,81 =
66 $ 42.000,00
98 (dias) $ 63.000,00
19.00,00 42.000,00 63.000,00 + + (1 + i ) 37 / 30 (1 + i ) 37 / 30 (1 + i ) 98 / 30
Resolvendo-se a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa efetiva de juros cobrada no desconto do borderô de duplicatas: i = 0,060% a.d. (ou 1,829% a.m.) Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 118.317,81 CHS g CF0 0 g CF j 36 g N j 19.000 g CF j 0 g CF j 65 37 g N j 42.000 g CF j 0 g CF j 97 66 g N j 63.000 g CF j f IRR 100 < ÷ > 1 30 y x 1 100 Portanto, i = 1,829
Visor 0,00 -118.317,81 0,00 36,00 19.000,00 0,00 28,00 42.000,00 0,00 31,00 63.000,00 0,06 1,02 1,83
Significado Limpa registradores Valor descontado Introduzindo o início do período 1 Introduzindo o final do período 1 Introduzindo CF2 , N 2 Introduzindo o início do período 2 Introduzindo o final do período 2 Introduzindo CF3 , N 3 Introduzindo o início do período 3 Introduzindo o final do período 3 Introduzindo CF4 , N 4 Taxa interna diária de retorno Transformação para taxa mensal Taxa interna mensal de retorno
% a.m.
21) Solução: •
Valor nominal total dos títulos ( N )
$ 9.000,00 + $ 7.500,00 + $ 13.500,00 + $ 3.000,00 + $ 6.000,00 + $ 6.000,00 = $ 45.000,00
•
Valor descontado ( VF )
$ 39.900,00
•
Valor do desconto ( DF )
$ 45.000,00 – $ 39.900,00 = $ 5.100,00
n=
n=
(9.000,00 × 60) + (7.500,00 × 60) + (13.500,00 × 90) + (3.000,00 ×120) + (6.000,00 × 120) + (6.000,00 ×150) 9.000,00 + 7.500,00 + 13.500,00 + 3.000,00 + 6.000,00 + 6.000,00 =
4.185.000,00 45.000,00
n = 93 dias ou: 93/30 = 3,1 meses
i=
DF VF × n
i=
5.100,00 39.900,00 × 3,1
i = 0,0412... ou 4,12% a.m. Calculando agora a taxa pelo regime de juros compostos (ver pág. 104): Valor descontado: $ 39.900,00 Valor nominal (resgate) de cada título
39.900,00 =
60 90 $16.500,00 $ 13.500,00
120 $ 9.000,00
150 (dias) $ 6.000,00
16.500,00 13.500,00 9.000,00 6.000,00 + + + 60 / 30 90 / 30 120 / 30 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )150 / 30
Resolvendo-se a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa efetiva de juros cobrada no desconto do borderô de duplicatas:
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 39.900 CHS g CF0 0 g CF j
Visor 0,00 -39.900,00 0,00
Significado Limpa registradores Valor descontado Introduzindo CF1 , N 1
16.500 g 13.500 g 9.000 g 6.000 g f IRR
CF j CF j CF j CF j
Portanto, i = 3,98 % a.m.
16.500,00 13.500,00 9.000,00 6.000,00 3,98
Introduzindo Introduzindo Introduzindo Introduzindo IRR
CF2 , N 2 CF3 , N 3 CF4 , N 4 CF5 , N 5
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 4 – Matemática Financeira e Inflação 1) Sendo:
i = 2,95% a.m (0,0295) I (câmbio) = 1,8% a.m. (0,018) r=?
Determinando a rentabilidade real da aplicação em relação ao câmbio, Temos:
r =
1+i −1 1+ I
r =
1 + 0,0295 −1 1 + 0,018
r = 0,0113 ou 1,13% a.m. Determinando a rentabilidade real da aplicação em relação à inflação, Temos:
r =
r =
1+i −1 1+ I
1 + 0,0295 1 + 0,022
−1
r = 0,0073 ou 0,73% a.m. 2) Sendo:
r = ? (mensal) i = 2,8% a.m. (0,028) I = 12% p/ 5 meses (0,12)
Primeiramente, devemos encontrar a inflação mensal:
(
)
I = 5 1 + 0,12 − 1 I = 0,022924557 ou 2,29% a.m.
Agora, podemos substituir os valores acima na expressão de cálculo da taxa real: r =
1+i −1 1+ I
r =
1 + 0,028 −1 1 + 0,022924557
r = 0,004961698 ou 0,496% a.m.
Calculando a taxa para 5 meses: r = (1 + 0,004961698) − 1 5
r = 0,025055899 ou 2,5% p/ 5 meses
3) Solução:
I = [(1,015) × (1,012 ) × (1,022) × (1,017 )] − 1 I = 0,067624185 ou 6,76% a.q. r = 20% a.a. r = 3 1 + 0,20 − 1 r = 0,062658569 ou 6,27% a.q.
i = [(1 + r ) × (1 + I )] − 1 i = [(1 + 0,062658569 ) × (1 + 0,067624185 )] − 1 i = 0,134519989 ou 13,45% a.q. i = 4 1 + 0,134519989 − 1 i = 0,032055465 ou 3,2% a.m. 4) Para resolver esse problema, podemos utilizar a seguinte expressão de cálculo: I =
1+i −1 1+ r
Substituindo os valores do enunciado, temos:
I =
1 + 0,5 −1 1 + 0,2
∴ I = 0,25 ou 25% 5) Sendo:
i=? Preço de compra (PV) = $ 3.000,00 Preço de venda (FV) = $ 30.000,00 n = 4 anos
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV
30.000,00 = (1 + i ) 4 3.000,00 10 = (1 + i ) 4 4
10 =
4
(1 + i ) 4
1,7783 = 1 + i i = 0,7783 ou 77,83% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 3.000 CHS PV 30.000,00 FV 4 n i
Visor 0,00 -3.000,00 30.000,00 4,00 77,83
Significado Limpa registradores Preço de compra Preço de venda Prazo em anos Rentabilidade nominal anual
Determinando a rentabilidade real anual da operação, temos: i = 77,83% a.a. (0,7783) I = 100% a.a. (1,00) r=? r =
1+i −1 1+ I
r =
1 + 0,7783 −1 1 + 1,00
r = −0,1109 ou –11,09% a.a.
6) Sendo:
I = 17,5% (0,175) i = 16% (0,16) r=?
Supondo uma situação hipotética: Dívida original em US$ Preço do US$ no momento 0 Dívida em R$ no momento 0
US$ 1 R$ 1 R$ 1
Passado o período descrito no exercício, temos a incidência da inflação e da variação cambial: Dívida em R$ no momento 1 = R$ 1 × (1 + 016) × (1 + 0,175) = R$ 1,334 Agora, substituindo os valores encontrados na Expressão r =
r =
1 + 0,334 1 + 0,175
1+i − 1 , temos: 1+ I
−1
r = 0,1353 ou 13,53%
Portanto, o custo real da operação em dólar em relação à inflação da economia é de 13,53%. 7) a)
i = [(1 + 0,03984) × (1 + 0,03763) × (1 + 0,034)] − 1 i = 0,1157 ou 11,57% a.t.
b)
abril: r = r =
1+i −1 1+ I 1 + 0,03984 −1 1 + 0,029
r = 0,0105 ou 1,05%
maio: r = r =
1+i −1 1+ I 1 + 0,03763 −1 1 + 0,0221
r = 0,0152 ou 1,52%
junho: r = r =
1+i −1 1+ I 1 + 0,034 −1 1 + 0,0439
r = –0,0095 ou –0,95%
Determinando agora a rentabilidade real do trimestre, temos:
i = [(1 + 0,0105) × (1 + 0,0152 ) × (1 + 0,0095)] − 1 i = 0,0162 ou 1,62% a.t.
8) a)
I = 9,8% (0,098) TDM = ? TDM =
I 1+ I
TDM =
0,098 1 + 0,098
TDM = 0,0893 ou – 8,93%
b)
I = 9,8% (0,098) i = 5,3% (0,053) r=? r=
1+ i −1 1+ I
r=
1 + 0,053 −1 1 + 0,098
r = −0,041 ou –4,1%
c)
I = 9,8% (0,098) i = 12,1% (0,121) r=? r=
1+ i −1 1+ I
r=
1 + 0,121 −1 1 + 0,098
r = 0,0209 ou 2,9%
9) Sendo:
I IPC = 24% (0,24) I IGP = 30% (0,30) r ' = 14% (0,14) r= ?
Temos:
i = (1 + r ) × (1 + I ) − 1 i = (1 + 0,14) × (1 + 0,24) − 1 i = 0,4136
Como:
r=
1+ i −1 1+ I
Então:
r=
1 + 0,4136 −1 1 + 0,30
r = 0,0874 ou 8,74%
10) Sendo:
I = 15% (0,15) i = 11,5% (0,115) r=?
Temos:
r=
1+ i −1 1+ I
r=
1 + 0,115 −1 1 + 0,15
r = −0,0304 ou 3,04% de perda
11) Sendo:
r = 25% a.a. (0,25) I (3 primeiros meses) = 1,8% (0,018) I (3 meses posteriores) = 1,0% (0,01) Primeiro, determinamos o ganho desejado no semestre:
rsem = 1 + 0,25 − 1 rsem = 0,1180... ou 11,80% a.s. Depois, determinamos a inflação do semestre:
I sem = (1 + 0,018) × (1 + 0,01) − 1 I sem = 0,0869... ou 8,69% a.s. 3
3
Agora, é possível encontrar a taxa nominal semestral da aplicação: i sem = (1 + rsem ) × (1 + I sem ) − 1 i sem = (1 + 0,1180) × (1 + 0,0869) − 1 i sem = 0,2152... ou 21,52% a.s.
E, por fim, encontramos a taxa nominal mensal:
i = 6 1 + 0,2152... − 1 i = 0,033 ou 3,3% a.m. 12) Sendo:
Preço de compra: $ 40.000,00 Preço de venda: $ 41.997,00 Prazo de resgate: 70 dias I = 6,66 % (0,0666) r=?
Temos:
Rentab. Nominal (i) = Preço de venda/Preço de compra – 1 i=
41.997,00 −1 40.000,00
i = 0,0499... ou 4,99%
Como:
r=
1+ i −1 1+ I
r=
1 + 0,0499 −1 1 + 0,0666
r = −0,015 ou –1,5% p/ 70 dias
Determinando a rentabilidade real mensal auferida pelo investidor:
(
)
30
r = 70 1 − 0,015 − 1 r = −0,0065 ou –0,65% a.m. 13) Sendo:
I = 1.183,5% a.a.(11,835) I = ? (mensal)
Temos:
I = 12 1 + 11,835 − 1 I = 0,2370 ou 23,7% a.m.
14) Sendo:
I (até abril) = 4,4% (0,044) I (de abril a dezembro) = 1,1% (0,011) I (acumulada) = ?
Temos:
I acum = (1 + 0,044 ) × (1 + 0,011) 8 − 1 I acum = 0,1395 ou 13,95%
15) Sendo:
I = 3,94% (0,0394) I (por dia útil) = ?
I = 20 1 + 0,0394 − 1
I = 0,00193 ou 0,193% p/dia útil
16) Solução: Julho Agosto Setembro
828,23 × 1,046 = 866,33 866,33 × 1,031 = 893,18 893,18 × 1,039 = 928,02
17) Sendo:
I1 = 2,2% (0,022) I 2 = 1,8% (0,018) TDM bim = ? Taxa de inflação acumulada no bimestre:
I BIM = [(1,022)(1,018)] − 1 I BIM = 0,040396 ou 4,0396% Redução no poder aquisitivo no bimestre:
TDM BIM =
I BIM 1 + I BIM
TDM BIM =
0,040396 1 + 0,040396
TDM BIM = 0,0388... TDM BIM = 3,88% 18) Sendo:
TDM = 11,8% (0,118) I=?
Da expressão: TDM = I=
I , 1+ I
0,118 1 − 0,118
temos que
I=
TDM 1 − TDM
I = 0,1338 ou 13,38%
19) Solução:
Pn −1 Pn−t
I fev =
Pn −1 Pn −t
I mar =
Pn −1 Pn −t
I jan =
Jan / X 9 −1 Dez / X 8
I fev =
Fev / X 9 −1 Jan / X 9
I mar =
Mar / X 9 −1 Fev / X 9
I jan =
108,785 −1 107,325
I fev =
110,039 −1 108,785
I mar =
112,035 −1 110,039
a) I jan =
I jan = 0,0136 ou 1,36%
b)
I trim =
Pn −1 Pn−t
I trim =
Mar / X 9 −1 Dez / X 8
I trim =
112,035 −1 107,325
I fev = 0,0115 ou 1,15%
I trim = 0,0439 ou 4,39%
c)
I média = 3 1 + 0,0439 − 1 I média = 0,0144 ou 1,44%
d)
I sem =
Pn −1 Pn−t
I sem =
Jun / X 9 −1 Dez / X 8
I sem =
118,090 −1 107,325
I jan = 0,0181 ou 1,81%
I sem = 0,10 ou 10,0%
e)
IGPjulho = 118,090 × 1,0224 IGPjulho = 120,735
20) Solução: I quadrim. = [(1 + 0,0092 ) × (1 + 0,0035) × (1 − 0,0053) × (1 + 0,0101)] − 1 I quadrim. = 0,0175 ou 1,75%
I mensal = 4 1 + 0,0175 − 1 I mensal = 0,0044 ou 0,44%
21) Custo efetivo trimestral:
I TRIM =
[ 1,14 × 1,0118 × 1,0127 × 1,0109]− 1 4
I TRIM = 0,070310768 ou 7,03...% Custo efetivo nominal mensal:
imensal = 3 1 + 0,070310768 − 1 imensal = 0,022908133 ou 2,29%
22) Sendo:
r = 1,5% a.m. (0,015) I = 0,9% a.m. (0,009) i=?
Temos:
i = [(1 + r ) × (1 + I )] − 1 i = [(1 + 0,015) × (1 + 0,009)] − 1 i = 0,0241 ou 2,41% a.m.
23) Para resolver esse exercício, chamaremos a taxa a ser encontrada de x e igualaremos à taxa desejada, de acordo com a seguinte expressão:
0,12 = [(1 + 0,0198) × (1 + 0,0211) × (1 + 0,0221) × (1 + x )] − 1 0,12 = [(1,0643) × (1 + x )] − 1 1,12 = 1,0643 + 1,0643 x 1,0643 x = 1,12 − 1,0643
x =
0,0557 1,0643
x = 0,0523 ou 5,23% a.t.
Portanto, para que a caderneta de poupança tenha um rendimento total de 12% a.a., ela deverá render 5,23% no último trimestre. 24) Primeiramente, devemos encontrar a inflação observada nos meses de janeiro e fevereiro de X2 da seguinte forma: I jan =
I jan =
I jan =
IGPM n IGPM n − t Jan / X 2 Dez / X 1
215,02 213,34
−1
I fev =
−1
I fev =
−1
I jan = 0,0079... ou 0,79%
I fev =
IGPM n IGPM n − t Fev / X 2 Jan / X 2
217,01 215,02
−1
−1
−1
I fev = 0,0093... ou 0,93%
Agora, chamaremos a inflação de março/X2 de x e igualaremos à taxa de inflação desejada ao ano de 2,2%, de acordo com a seguinte expressão:
0,022 = [(1 + 0,0079) × (1 + 0,0093) × (1 + x )] − 1
1,022 = 1,0172 × (1 + x) 1,022 = 1,0172 + 1,0172 x 1,0172 x = 1,022 − 1,0172
x =
0,0048 1,0172
x = 0,0047... ou 0,47% p/ março
Por fim, basta multiplicarmos a taxa de inflação de março/X2, encontrada acima, pelo IGPM de Fev/X2
217,01 × (1 + 0,004716281 ) = 218,04 Portanto, para que a taxa de inflação projetada para o ano de X2 seja de 2,2%, o IGP-M de março deve ser 218,04.
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 5 – Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro 1) a) Sendo:
Temos:
d = 3,1% a.m. (0,031) IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 20 dias i=? i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
20 + (0,000041 × 20 ) 30 20 0,031 × + (0,000041 × 20 ) 30
0,031 × i=
1−
i=
0,021486667 0,97851333
i = 0,022... ou 2,2% para 20 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,021958481) 20 − 1 i = 0,0331... ou 3,31% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,021958481 ENTER 30 ENTER 20 < ÷ > y x 1 < – > 100 < × >
b) Sendo:
Visor 0,00 1,02 1,03 3,31
d = 3,1% a.m. (0,031)
Significado Limpa registradores Taxa para 20 dias Fator de atualização Taxa percentual
IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 30 dias (1 mês) i=? Temos:
i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
i=
(0,031× 1) + (0,000041 × 30 ) 1 − [(0,031 × 1) + (0,000041 × 30 )]
i=
0,03223 0,96777
i = 0,022... ou 2,2% para 20 dias 30
i = (1 + 0,021958481) 20 − 1 i = 0,0333... ou 3,33% a.m.
c) Sendo:
Temos:
d = 3,1% a.m. (0,031) IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 51 dias i=? i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
51 + (0,000041 × 51) 30 51 0,031 × + (0,000041 × 51) 30
0,031 × i=
1−
i=
0,054791 0,945209
i = 0,0580... ou 5,8% para 51 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,057967074 ) 51 − 1 i = 0,0337... ou 3,37% a.m. Solução na HP-12C:
Teclas f FIN f REG 1,057967074 ENTER 30 ENTER 51 < ÷ > y x 1 100 < × > d) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 1,06 1,03 0,03 3,37
Significado Limpa registradores Taxa para 51 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
d = 3,1% a.m. (0,031) IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) n = 60 dias (2 meses) i=? i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
i=
(0,031 × 2) + (0,000041× 60) 1 − [(0,031 × 2 ) + (0,000041 × 60 )]
i=
0,06446 0,93554
i = 0,0689... ou 6,89% para 60 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,068901383) 60 − 1 i = 0,0339... ou 3,39% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,068901383 ENTER 30 ENTER 60 < ÷ > y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,07 1,03 0,03 3,39
2) a) Sendo:
n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 2,6% a.m. (0,026) i=?
Significado Limpa registradores Taxa para 60 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
Temos:
i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
36 + (0,000041 × 36 ) 30 36 0,026 × + (0,000041 × 36 ) 30
0,026 × i=
1−
i=
0,032676 0,967324
i = 0,0338... ou 3,38% para 36 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,033779788) 36 − 1 i = 0,0281... ou 2,81% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,033779786 ENTER 30 ENTER 36 < ÷ > y x 1 100 < × >
b) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 1,03 0,83 0,03 2,81
Significado Limpa registradores Taxa para 36 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 1,7% a.m. (0,017) i=? i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
36 + (0,000041 × 36 ) 30 36 0,017 × + (0,000041 × 36 ) 30
0,017 × i=
1−
i=
0,021876 0,978124
i = 0,0224... ou 2,24% para 36 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,022365262 ) 36 − 1 i = 0,0186... ou 1,86% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,022365262 ENTER 30 ENTER 36 < ÷ > y x 1 100 < × >
c) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 1,02 1,02 0,02 1,86
Significado Limpa registradores Taxa para 36 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 2,9% a.m. (0,029) i=? i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
36 + (0,000041 × 36 ) 30 36 0,029 × + (0,000041 × 36 ) 30
0,029 × i=
1−
i=
0,036276 0,963724
i = 0,0376... ou 3,76% para 36 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,037641482 ) 36 − 1 i = 0,0313... ou 3,13% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,037641482 ENTER 30 ENTER 36 < ÷ > y x 1 100 < × >
d) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 1,04 1,03 0,03 3,13
Significado Limpa registradores Taxa para 36 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 4,5% a.m. (0,045) i=? i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
36 + (0,000041 × 36 ) 30 36 0,045 × + (0,000041 × 36 ) 30
0,045 × i=
1−
i=
0,055476 0,944524
i = 0,0587... ou 5,87% para 36 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,058734347 ) 36 − 1 i = 0,0487... ou 4,87% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,058773434 ENTER 30 ENTER 36 < ÷ > y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,06 1,05 0,05 4,87
Significado Limpa registradores Taxa para 36 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
e) Sendo:
Temos:
n = 36 dias IOF = 0,0041% ao dia (0,000041) d = 5,0% a.m. (0,05) i=? i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
36 + (0,000041 × 36 ) 30 36 0,05 × + (0,000041 × 36 ) 30
0,05 × i=
1−
i=
0,061476 0,938524
i = 0,0655... ou 6,55% para 36 dias
Determinando o custo efetivo mensal, 30
i = (1 + 0,065502853) 36 − 1 i = 0,0543... ou 5,43% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,065502853 ENTER 30 ENTER 36 < ÷ > y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,07 1,05 0,05 5,43
Significado Limpa registradores Taxa para 36 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
3) Sendo:
Taxa efetiva desejada = 31% a.a. Prazo do desconto = 40 dias Taxa de desconto mensal = ?
Temos:
Taxa efetiva mensal desejada 12
1 + 0,31 − 1 = 0,0228... ou 2,28% a.m.
d=
i 1+ i
d=
0,022757347 1 + 0,022757347
d = 0,0222... ou 2,22% a.m.
4) Sendo:
Taxa efetiva desejada = 23% a.a. Prazo do desconto = 35 dias Taxa de desconto mensal = ?
Temos:
Taxa efetiva mensal desejada 12
1 + 0,23 − 1 = 0,0174... ou 1,74% a.m.
d=
i 1+ i
d=
0,017400842 1 + 0,017400842
d = 0,0171... ou 1,71% a.m.
5) Representando graficamente, temos: Valor liberado
$ 30.100,00
Valor nominal dos títulos
30.100,00 =
30 $ 8.100,00
60 $ 6.000,00
90 120 (dias) $ 9.000,00 $ 12.000,00
8.100,00 6.000,00 9.000,00 12.000,00 + + + (1 + i ) 30 (1 + i ) 60 (1 + i ) 90 (1 + i )120
Resolvendo-se a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa efetiva de juros cobrada no desconto do borderô de duplicatas:
i = 5,92% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 30.100 CHS g CF0 8.100 g CF j 6.000 g CF j 9.000 g CF j 12.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -30.100,00 8.100,00 6.000,00 9.000,00 12.000,00 5,92
6) Sendo:
d = 3,6% a.m. (0,036) IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) n = 45 dias i (mensal) = ? i (anual) = ?
Temos:
i=
d + IOF 1 − (d + IOF )
45 + 0,000041 × 45 30 i= 45 1 − 0,036 × + 0,000041 × 45 30 0,036 ×
i=
0,055845 0,944155
i = 0,0591... ou 5,91% para 45 dias
Determinando o custo efetivo mensal: 30
i = (1 + 0,059148127 ) 45 − 1 i = 0,039 ... ou 3,9% a.m.
Significado Limpa registradores Valor liberado Introduz valor da duplicata A Introduz valor da duplicata B Introduz valor da duplicata C Introduz valor da duplicata D Custo efetivo mensal
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,059148127 ENTER 30 ENTER 45 < ÷ > y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,06 1,04 0,04 3,91
Significado Limpa registradores Taxa para 45 dias Fator de atualização Taxa unitária Taxa percentual
Determinando o custo efetivo anual: i = (1 + 0,039053242 ) − 1 12
i = 0,584... ou 58,4% a.a.
7) Sendo: Prazo da operação = 70 dias Prime mensal = 2,2% (0,022) Spread mensal = 1,0% (0,01) d=? 70
Temos: Prime p/ 70 dias = (1,022 ) 30 − 1 = 0,0521... ou 5,21% p/ 70 dias 70
Spread p/ 70 dias = (1,01) 30 − 1 = 0,0235... ou 2,35% p/ 70 dias
Juro total cobrado = [(1,0521) (1,0235)] – 1 = 0,0768... ou 7,68% p/ 70 dias Taxa de desconto mensal (d): d =
d=
i n + ni
0,076824350 70 70 + × 0,076824350 30 30
d = 0,0305... ou 3,05% a.m.
8) Sendo:
i = 4,7% a.m. (0,047) d=?
Temos:
d=
i 1+ i
d=
0,047 1,047
d = 0,04489 ou 4,489% a.m.
9) Sendo:
Prime mensal = 3,74% (0,0374) Spread anual = 9,8% (0,098) Prazo da operação = 48 dias d=? 48
Temos: Prime p/ 48 dias = (1,0374 ) 30 − 1 = 0,0605... ou 6,05% p/ 48 dias 48
Spread p/ 48 dias = (1,098)360 − 1 = 0,0125... ou 1,25% p/ 48 dias
Juro total cobrado = [(1,0605) (1,0125)] – 1 = 0,0738... ou 7,38% p/ 48 dias Taxa de desconto mensal (d): d =
d =
i n + ni
0,0738 48 48 + × 0,0738 30 30
d = 0,0430... ou 4,30% a.m.
10) a) Sendo:
i = 36,9% a.a. (0,0369) n = 23 dias d=?
Primeiramente igualamos a taxa efetiva para o prazo da operação: 23
i = (1,369 ) 360 − 1 i = 0,0203... ou 2,03% p/ 23 dias
Agora, apuramos a taxa de desconto mensal: d =
d =
i n + ni
0,020268938 23 23 + × 0,020268938 30 30
d = 0,0259... ou 2,59% a.m.
b) Sendo:
i = 36,9% a.a. (0,0369) n = 57 dias d=?
Primeiramente igualamos a taxa efetiva para o prazo da operação: 57
i = (1,369 ) 360 − 1 i = 0,0510... ou 5,10% p/ 57 dias
Agora, apuramos a taxa de desconto mensal: d =
d =
i n + ni
0,050986682 57 57 + × 0,050986682 30 30
d = 0,0255... ou 2,55% a.m.
11) Sendo:
i (juro exato - 365 dias) = 41,22% a.a. (0,4122) i mensal = ?
Temos:
i = (1,4122 ) 365 − 1 i = 0,02877... ou 2,877% a.m.
30
12) Sendo:
i = 2,11% a.m. (0,0211) i (juro exato - 365 dias) = ?
Temos: 13) Sendo:
365
i = (1,0211) 30 − 1 i = 0,289... ou 28,9% a.a.
d = 4,2% a.m. (0,042) TAC = 1,8% (0,018) i=?
Assim, para um prazo de 30 dias, tem-se o seguinte custo: Limite da conta : 100,00 TAC : (1,80) Crédito Liberado : 98,20 1 (mês) Limite Juros Custo Efetivo (i) =
100,00 4,20 104,20
104,20 − 1 = 0,061 ou 6,1% a.m. 98,20
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 98,20 CHS PV 104,20 FV 1 n i
14) Sendo:
: :
d = 2,4% a.m. (0,024) i = 3,5% a.m. (0,035) TAC = x
Visor 0,00 -98,20 104,20 1,00 6,11
Significado Limpa registradores Crédito liberado Limite + juros incorridos Período da conta garantida custo efetivo
Representando graficamente temos: Limite da conta : 100,00 TAC : x Crédito Liberado : 100 - x 1 (mês) Limite Juros PV =
FV
: :
100,00 2,40 102,40
(1 + i )n
100 − x =
102,40
(1 +
0,035)
1
100 − x = 98,94... x = 1,063... ∴ TAC = $ 1,063
Portanto, para uma aplicação de $ 100,00 a TAC deve ser de $ 1,063, ou seja, 1,063%. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 102,40 CHS FV 3,5 i 1 n PV CHS 100 < + >
15) Sendo:
n = 140 dias PV = $ 952.000,00 FV = $ 1.000.000,00 i=?
Temos:
FV = PV (1 + i ) n
Visor 0,00 -102,40 3,50 1,00 98,94 1,06
Significado Limpa registradores Limite + juros incorridos taxa desejada Prazo da conta garantida custo efetivo Valor ($) da TAC
FV = (1 + i ) n PV 140
1.000.000,00 = (1 + i ) 30 952.000,00 1,0504... = (1 + i ) 4, 6667 4 , 667
1,0504... =
4 , 667
(1 + i) 4, 667
1,0106 = 1 + i i = 0,0106 ou 1,06 % a.m.
Portanto, a rentabilidade efetiva mensal auferida pelo investido é de 1,06% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor f FIN f REG 0,00 952.000,00 CHS PV -952.000,00 1.000.000,00 FV 1.000.000,00 140 30 < ÷ > n 4,67 i 1,06
Significado Limpa registradores Valor de aquisição Valor de resgate Vencimento Rentabilidade efetiva mensal
16) Sendo:
Valor liberado = $ 130.000,00 Prazo da operação (n) = 100 dias Taxa de desconto (d) = 2,9% a.m. (0,029) IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) TAC = 1,1% (0,011) Valor nominal do título = x
Temos:
Valor nominal do título
= x
Desconto
= x×
IOF
= x × 0,000041 × 100 = 0,0041x
TAC
= x × 0,011 = 0,011x
Valor liberado
= $ 130.000,00
0,029 × 100 = 0,096666667 x 30
Sabemos que: Valor nominal do título – Desconto – IOF – TAC = Valor liberado Substituindo os valores obtidos na expressão acima, temos: x − 0,096666667 − 0,0041x − 0,011x = 130.000,00
0,888233333 x = 130.000,00 x = 146.357,94
17) Sendo:
Prazo da operação (n) = 84 dias Taxa de desconto (d) = 2,1% a.m. (0,021) Despesas administrativas (TAC) = 1,5% (0,015) IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) i=?
Temos:
d =
0,021 × 84 = 0,0588 30
IOF = 0,000041 × 84 = 0,003444 TAC = 0,015 Sabemos que: i =
d + IOF + TAC 1 − (d + IOF + TAC )
Substituindo os valores obtidos na expressão acima, temos: i =
0,0588 + 0,003444 + 0,015 1 − (0,0588 + 0,003444 + 0,015)
i = 0,0837... ou 8,37% p/ 84 dias
Transformando essa taxa para mensal, temos:
30
i = (1 + 0,083710103)84 − 1 i = 0,0291... ou 2,91% a.m.
18) Primeiramente, devemos encontrar a rentabilidade mensal que o credor terá se aplicar os recursos:
i = 12 1 + 0,203 − 1 i = 0,0155... ou 1,55% a.m. Agora, encontramos a rentabilidade que o credor terá se aceitar o pagamento antecipado: i =
Valor Nominal do Título −1 Valor Líquido Liberado
i =
27.800,00 −1 26.680,00
i = 0,0420... ou 4,20% p/ 69 dias Determinando a rentabilidade mensal, para comparação com a primeira alternativa, temos: 30
i = (1 + 0,041979010 ) 69 − 1 i = 0,0180... ou 1,8% a.m.
Portanto, a melhor decisão a ser tomada pelo credor é manter a dívida até o vencimento. 19) a) Sendo:
i = 28,0% a.a. (0,28) n = 1 mês IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) d=?
Temos:
i = 12 1 + 0,28 − 1 i = 0,0208... ou 2,08% a.m. d =
i + IOF 1+i
d =
0,020784728 + 0,000041 × 30 1 + 0,020784728
d = 0,02159... ou 2,159% a.m.
b) Sendo:
i = 28,0% a.a. (0,28) n = 50 dias IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) d=?
Temos:
i = (1,28)360 − 1 i = 0,0349... ou 3,49% p/ 50 dias
50
d =
i + IOF 1+i
d =
0,034880666 + 0,000041 × 50 1 + 0,03488066
d = 0,0358... ou 3,58% p/ 50 dias
Determinando a taxa de desconto mensal: d =
0,035755013 × 30 50
d = 0,02145... ou 2,145% a.m.
c) Sendo:
i = 28,0% a.a. (0,28) n = 60 dias IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) d=?
Temos:
i = (1,28)360 − 1 i = 0,042... ou 4,2% p/ 60 dias
60
d =
i + IOF 1+i
d =
0,042001462 + 0,000041 × 60 1 + 0,042001462
d = 0,0428... ou 4,28% p/ 60 dias
Determinando a taxa de desconto mensal: d =
0,042768448 × 30 60
d = 0,02138... ou 2,138% a.m.
c) Sendo:
i = 28,0% a.a. (0,28) n = 70 dias IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) d=?
Temos:
i = (1,28)360 − 1 i = 0,049... ou 4,9% p/ 70 dias
70
d =
i + IOF 1+i
d =
0,049171254 + 0,000041 × 70 1 + 0,049171254
d = 0,0497... ou 4,97% p/ 70 dias
Determinando a taxa de desconto mensal: d =
0,049736757 × 30 70
d = 0,02131... ou 2,131% a.m.
20) a) Sendo:
Custo do dinheiro: Despesas: Margem de lucro: Impostos: Fator de factoring:
1,7% a.m. (0,017) 1,4% s/ receitas mensais (0,014) 1,5% s/ valor títulos (0,015) 1,1% s/ receitas mensaos (0,011) ?
Temos: FATOR =
Custo do dinheiro + Despesa + Margem de Lucro 1 - Impostos
FATOR =
0,017 + 0,014 + 0,015 1 - 0,011
FATOR =
0,046 0,989
FATOR = 0,0465... ou 4,65% a.m. Portanto, o fator (taxa efetiva) é de 4,65% a.m. Transformando o fator de factoring para taxa de desconto, temos: d =
i 1+i
d =
0,046511628 1 + 0,046511628
d = 0,044... ou 4,44% a.m.
Portanto, o fator (taxa de desconto) é de 4,44% a.m. b) Determinando a taxa de desconto para 110 dias, temos: 110
i = (1,046511628) 30 − 1 i = 0,181... ou 1,81% p/ 110 dias
d =
i 1+i
d =
0,181394325 1 + 0,181394325
d = 0,1535... ou 15,35% p/ 110 dias
Determinamos agora o valor descontado: Valor descontado = $ 785.000,00 × 15,35% Valor descontado = $ 664.502,50 21) Sendo:
n = 80 dias d = 2,1% a.m. (0,021) IOF = 0,0041% a.d. (0,000041) Taxa = 2% (0,02) Imposto = 0,38% (0,0038)
Admitindo-se um valor de $ 100,00 para a duplicata, temos: Valor Nominal do Título: Juros: 100,00 ×
$ 100,00
0,021 × 80 30
($ 5,60)
IOF: 100,00 × 0,000041 × 80
($ 0,328)
Valor Líquido Liberado:
$ 94,072
Na data de vencimento do título é cobrado 2% de despesas de cobrança e 0,38% de CPMF sobre o valor nominal. Assim: $ 100,00 + $ 2,00 + $ 0,38 = $102,38
0
80 (dias)
$ 94,072 Custo efetivo do desconto: FV = PV × (1 + i )
n
80
102,38 = 94,072 × (1 + i )30 80
(1 + i )30
=
102,38 94,072
(1 + i )2,66... = 1,088315333 1 + i = 2, 66... 1,088315333 1 + i = 1,032245576 i = 0,0322... ou 3,22% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 94,072 CHS PV 102,38 FV 80 ENTER 30 < ÷ > n i
Visor 0,00 -94,07 102,38 2,67 3,22
Significado Limpa registradores Valor líquido liberado Valor total descontado Prazo em meses Custo efetivo mensal do desconto
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 6 – Matemática Financeira, Reciprocidade Bancária e Taxas Over 1) Sendo:
Valor da promissória: Prazo: Taxa de desconto: IOF: Reciprocidade:
$ 53.908,00 20 dias 2,9% a.m. (0,029) 0,0041% a.d. (0,000041) manter um saldo médio em conta corrente equivalente a 10% do valor liberado
a) Determinamos inicialmente o valor liberado pela instituição financeira: Valor da promissória:
$ 53.908,00
Desconto: $ 53.908,00 ×
0,029 × 20 30
IOF: $ 53.908,00 × 0,000041 × 20 Reciprocidade: 10% × $ 53.908,00 Valor Líquido Liberado:
Agora, calculamos o custo efetivo mensal do empréstimo: i =
53.908,00 − 5.390,80 −1 47.430,78
i = 0,0229... ou 2,29% para 20 dias 30
i = (1 + 0,02905379 ) 20 − 1 i = 0,0346... ou 3,46% a.m.
(1.042,22) (44,20) (5.390,80) 47.430,78
b) Sendo:
i = 2,29% para 20 dias (0,0229) I = 1,2% para 20 dias (0,012) Sabemos que: Taxa real (r ) =
1 + taxa nominal (i ) −1 1 + taxa de inflação ( I )
Logo, r =
1+i −1 1+ I
r =
1 + 0,0229 −1 1 + 0,012
r =
1 + 0,0229 −1 1 + 0,012
r = 0,0108 ou 1,08% para 20 dias 30
r = (1 + 0,0108) 20 − 1 r = 0,0162 ou 1,62% a.m.
2) Sendo:
Valor nominal do título: Prazo da operação: Taxa de desconto: IOF: Reciprocidade:
Valor nominal do título: Desconto: 45.000,00 × 0,027 × 2 IOF: 45.000,00 × 0,00123 × 2 Valor Líquido: Deságio (3% × $ 42.459,30) Valor Líquido Liberado:
$ 45.000,00 60 dias (2 meses) 2,7% a.m. (0,027) 0,123% a.m. (0,00123) adquirir um título do banco, com o valor líquido liberado, com deságio de 3% $ 45.000,00 (2.430,00) (110,70) $ 42.459,30 (1.273,78) $ 41.185,52
Primeiramente, encontramos o custo efetivo do empréstimo para os dois meses. i =
Valor Nominal do Título −1 Valor Líquido Liberado
i =
45.000,00 −1 41.185,52
i = 0,0926... ou 9,26% p/ 60 dias Agora, encontramos o custo efetivo mensal do empréstimo
i =
1 + 0,0926... − 1
i = 0,0453... ou 4,53% a.m.
Representando graficamente, temos: Valor liberado
$ 41.185,52
Valor nominal do título
1
Sendo:
i=? PV = $ 41.185,52 FV = $ 45.000,00 n = 2 meses
Temos:
FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV
45.000,00 = (1 + i ) 2 41.185,52 1,0926... = (1 + i ) 2 1,0926... =
(1 + i ) 2
2 (meses) $ 45.000,00
1,0453... = 1 + i i = 0,0453... ou 4,53% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 41.185,52 CHS PV 45.000,00 FV 2 n i
Visor 0,00 -41.185,52 45.000,00 2,00 4,53
Significado Limpa registradores Valor líquido liberado Valor nominal do título Prazo em meses Custo efetivo mensal
3) Sendo:
Valor do empréstimo: Prazo da operação: Taxa de desconto: IOF: Reciprocidade:
$ 70.000,00 40 dias 3,4% a.m. (0,034) 0,0041% a.d. (0,000041) retenção de 8% do valor nominal do empréstimo
a) Valor Líquido Liberado Valor nominal do título:
40 30 IOF: 70.000,00 × 0,000041 × 40 Valor Líquido: Reciprocidade: 8% × 70.000,00 Valor Líquido Liberado:
$ 70.000,00
Desconto: 70.000,00 × 0,034 ×
(3.173,33) (114,80) $ 66.711,87 (5.600,00) $ 61.111,87
Valor de Pagamento
Montante a Pagar Reciprocidade: Aplicação Financeira Valor Líquido a Pagar:
$ 70.000,00 (5.600,00) $ 64.400,00
Custo Efetivo Mensal
i =
64.400,00 − 1 = 0,0538... ou 5,38% p/ 40 dias 61.111,87
30
i = (1 + 0,0538...) 40 − 1 i = 0,04... ou 4,0% a.m. Custo Efetivo Anual
i = (1 + 0,040088323)
12
−1
i = 0,603... ou 60,3%
b) O saldo médio é remunerado à taxa nominal de 1,5% a.m. Valor Líquido Liberado Valor nominal do título:
40 30 IOF: 70.000,00 × 0,000041 × 40 Valor Líquido: Reciprocidade: 8% × 70.000,00 Valor Líquido Liberado: Desconto: 70.000,00 × 0,034 ×
$ 70.000,00 (3.173,33) (114,80) $ 66.711,87 (5.600,00) $ 61.111,87
Valor de Pagamento
Montante a Pagar Reciprocidade: Aplicação Financeira Remuneração da Aplicação: 0,015 5.600,00 × × 40 = 30 Valor Líquido a Pagar: Custo Efetivo Mensal
i=
64.288,00 − 1 = 0,0520... ou 5,2% p/ 40 dias 61.111,87 30
i = (1 + 0,051972391) 40 − 1 i = 0,038731391 ou 3,9% a.m.
$ 70.000,00 (5.600,00) (112,00) $ 64.288,00
Custo Efetivo Anual i = (1 + 0,038731391) − 1 12
i = 0,577753227 ou 57,8% a.a.
4) Sendo:
Taxa de desconto (d): Taxa administrativa (ta): IOF: Reciprocidade (rec):
4,5% a.m. (0,045) 1% sobre o valor nominal do título 0,0041% a.d. (0,000041) retenção de 7% do valor nominal do título pelo prazo da operação Valor Líquido Liberado (vll): $ 49.000,00 Prazo da operação (n): 55 dias x Valor Nominal:
Temos: vll = x − d − IOF − ta − rec 49.000,00 = x − x × 0,045 ×
55 − ( x × 0,000041 × 55) − ( x × 0,01) − (x × 0,07 ) 30
49.000,00 = x − 0,0825 x − 0,002255 x − 0,01 x − 0,07 x 49.000,00 = 0,835245 x x =
49.000,00 0,835245
x = $ 58.665,42 Portanto, a empresa deve solicitar um empréstimo de $ 58.665,42. 5) Admitindo um empréstimo de $ 100,00, temos: Valor da promissória: Prazo: Taxa efetiva: Reciprocidade:
$ 100,00 60 dias 5% a.m. (0,05) manutenção de um saldo médio equivalente a 10% do valor nominal do empréstimo
a) Representando graficamente, temos: $ 100,00 (1,05) = $ 110,25 2
0
60 (dias)
$ 100,00 – $ 10,00 Assim:
PV = $ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00 FV = $ 110,25 – $ 10,00 = $ 100,25 n = 2 meses (60 dias ) i=?
Logo, o custo efetivo mensal é calculado: FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV
100,25 = (1 + i ) 2 90,00 1,1139... = (1 + i ) 2 2
1,113888889 = 2 (1 + i ) 2
1,055409347 = 1 + i i = 0,0554... ou 5,54% a.m.
ou i = (1,055409347 ) − 1 i = 0,1139... ou 11,39% a.b. 2
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90 CHS PV 100,25 FV 2 n i
Visor 0,00 -90,00 100,25 2,00 5,54
Significado Limpa registradores Valor líquido do empréstimo Valor a pagar Prazo em meses Custo efetivo mensal da operação
b) Representando graficamente, temos: FV = $ 100,00 (1,05) = $ 110,25 2
$ 100,00 n $ 100,00 Logo:
$ 100,00 FV = PV (1 + i ) n FV = (1 + i ) n PV
110,25 = (1 + 0,113888890 ) n 100,00 1,1025 = (1 + 0,113888890 ) n Aplicando-se logaritmo, conforme demonstrado no Apêndice B: log1,1025 = n × log1,113888890 n=
log1,1025 0,097580328 = = 0,904716141 meses log1,113888890 0,107857397
n = 0,904716141 × 60 = 54,28 dias
Número de dias para repasse da cobrança: 60 – 54,28 = 5,72 dias c) Representando graficamente, temos:
$ 100,00 2 $ 100,00 (1,05) 0
2
$ 100,00
n $ 100,00
Data focal: 2
− 100,00(1,1139 ) + 100,00(1,05) + 100,00 − 2
98,86 =
100,00 =0 1,1139 n
100,00 1,1139 n
n = 0,1063 n = 0,1063 × 60 n = 6,38 dias
6) Tomando-se por $ 100,00 a base do valor emprestado, temos: Valor Nominal
$
0,058 × 50 30 IOF: $ 100,00 × 0,000041 × 50 Desconto: $ 100,00 ×
Valor Liberado:
100,00 (9,66...) (0,205)
$ 90,1283
$ 100,00 $ 100,00
50
54
$ 100,00 – 9,8717% = $ 90,1283
$ 100,00
Expressando os valores em moeda atual, tem-se: 90,1283 −
200,00
(1 + i )
50
30
−
100,00
(1 + i )
54
30
=0
Resolvendo-se com o auxílio de uma calculadora financeira: i (IRR) = 7% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90,1283 CHS g CF0 0 g CF j 49 g N j 200 g CF j 0 g CF j 3 g Nj 100 CHS g CF j f IRR 100 < ÷ > 1 30 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 -90,13 0,00 49,00 200,00 0,00 3,00 -100,00 0,23 1,00 7,01
7) Sendo:
OVER = 2,45% a.m. (0,0245) dias úteis ( du ) = 22 i (efetiva) = ?
Significado Limpa registradores Valor líquido liberado Insere carência Dias sem movimentação Valor das duplicatas + empréstimo Insere carência Dias para liberação do crédito Desconto das duplicatas Custo efetivo diário da operação Transformação para taxa mensal Custo efetivo mensal da operação
Temos:
OVER i (efetiva) = 1 + 30
du
0,0245 i (efetiva) = 1 + 30
22
−1
−1
i (efetiva) = 0,0181... ou 1,81% a.m.
8) Sendo:
i (efetiva) = 3,0% (0,03) dias úteis ( du ) = 21 OVER = ?
Temos:
OVER = (1 + i )
[ − 1] × 30 OVER = [(1 + 0,03) − 1] × 30 1
du
1
21
OVER = 0,0423... ou 4,23% a.m. 9) Sendo:
OVER = 2,2% a.m. (0,022) dias úteis ( du ) = 20 Spread = 14% a.a. (0,14) i (mensal) = ?
Primeiramente, calculamos a taxa efetiva mensal, a partir da taxa OVER:
i = 1+
i = 1+
OVER
du
−1
30 0,022
20
30
−1
i = 0,0148... ou 1,48% a.m. Agora, devemos encontrar o spread mensal:
i =
12
1 + 0,14 − 1
i = 0,0110... ou 1,10% a.m. Por fim, determinamos a taxa efetiva mensal que a instituição deve cobrar na operação de empréstimo:
i = [(1 + 0,014769289 ) × (1 + 0,010978852)] − 1 i = 0,0259... ou 2,59% a.m. 10) Sendo:
OVER = 1,42% a.m. (0,0142) dias úteis ( du ) = 22
a)
i (efetiva) = ?
Temos:
i (efetiva) = 1 +
i (efetiva) = 1 +
OVER 30
du
0,0142
22
30
−1
−1
i (efetiva) = 0,01046... ou 1,046% a.m. b)
Spread = 15% a.a. (0,15) i (efetiva) = ?
Temos
i =
1+
0,15 12
× (1 + 0,010465244 ) − 1
i = 0,023... ou 2,3% a.m. 11) Sendo:
Custo efetivo (i) = 15,4% a.a. (0,154) Spread = 12% a.a. - taxa efetiva (0,12) Encaixe = 10%, exigido no momento da liberação dos recursos Custo efetivo mensal que deve ser cobrado = ?
Supondo um valor de empréstimos de $ 100,00, temos:
$100,00(1,154) − $10,00 = $105,40 0
1 (ano)
$ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00 Custo efetivo mensal que deve ser cobrado: 105,40 −1 90,00
i=
i = 0,1711... ou 17,11% a.a.
i = 12 1,1711... − 1 = 0,013249757 ou 1,32% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90 CHS PV 105,40 FV 1 n i 100 < ÷ > 1 12 1 x y x 1 100
Visor 0,00 -90,00 105,40 1,00 17,11 1,17 1,32
Significado Limpa registradores Valor líquido liberado Valor total pago Prazo em anos Taxa efetiva anual Transformação para taxa mensal Taxa efetiva mensal da operação
Taxa de repasse do recurso
[
i = (1,0132) ×
(
12
)]
1,12 − 1
i = 0,228... ou 2,28% a.m. Caso o encaixe seja considerado no repasse dos recursos, tem-se: Taxa total do repasse: (1,154 × 1,12) − 1 = 0,29248 ou 29,248% a.a. ou
(
12
)
1,29248 − 1 = 0,0216... ou 2,16% a.m.
Logo:
$100,00(1,0216) − $10,00 = $92,16 0
1 (meses)
$ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00 i=
92,16 −1 90,00
i = 0,024... ou 2,4% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90 CHS PV 92,16 FV 1 n i
Visor 0,00 -90,00 92,16 1,00 2,40
Significado Limpa registradores Valor líquido liberado Valor total pago Prazo em meses Taxa efetiva mensal
12) a) Sendo:
Temos:
OVER = 3,3% a.m. (0,033) dias úteis ( du ) = 21 i (efetiva) = ? OVER i (efetiva) = 1 + 30 i (efetiva) = 1 +
0,033 30
du
−1 21
−1
i (efetiva) = 0,0234... ou 2,34% a.m. b) Sendo:
i (efetiva) = 4,7% (0,047) dias úteis ( du ) = 23 OVER = ?
Temos:
OVER = (1 + i )
[ − 1] × 30 OVER = [(1 + 0,047 ) − 1] × 30 1
du
1
23
OVER = 0,05997... ou 5,997% a.m. 13) Solução: 0,027
Over (1º dia) =
30 0,029
Over (2º dia) =
Over (3º dia) =
30 0,03 30
= 0,0009 ou 0,09% a.du.
= 0,000966667 ou 0,0967% a.du.
= 0,001 ou 0,1% a.du.
Spread = 0,4% (0,004) Admitindo-se ser esta taxa (spread) válida para os três dias da operação, tem-se o seguinte custo efetivo:
i = [(1,0009)(1,000966666)(1,001)(1,004)] − 1 i = 0,00688... ou 0,688% para os 3 dias úteis i = (1,00688)
21 / 3
−1
i = 0,0492... ou 4,9% a.m. 14) Sendo:
OVER = 2,5% a.m. (0,025) dias úteis ( du ) = 22 Spread = 22% a.a. (0,22) i (efetiva) = ?
Primeiramente, encontramos a taxa efetiva mensal a partir da taxa over: Temos:
OVER i (efetiva) = 1 + 30 i (efetiva) = 1 +
0,025 30
du
−1 22
−1
i (efetiva) = 0,0185... ou 1,85% a.m. Agora, encontramos o spread mensal:
i =
12
1 + 0,22 − 1
i = 0,0167... ou 1,67% a.m. Por fim, determinamos a taxa efetiva mensal de juros:
i = [(1 + 0,016708964) × (1 + 0,018494637 )] − 1 i = 0,0355... ou 3,55% a.m. 15) Sendo:
Custo efetivo = 1,6% a.m. (0,016) Prazo da operação = 60 dias Rentabilidade desejada = 2% a.m. (0,02) Prazo de retenção dos recursos= ?
Supondo um empréstimo de $ 100,00, temos: 100,00(1,02 ) = 100,00(1,016 ) n
2
1,02 n = 1,032256 n × log 1,02 = log 1,032256 n=
log 1,032256 log 1,02
n = 1,60... meses Logo:
n = 1,603155876 × 30 n = 48,1... dias
Prazo de retenção: Demonstração:
60 – 48,1 = 11,9 dias $ 100,00
60 (dias)
0
11,9 48,1 dias
103,2256 = 100,00(1 + i )
$ 103,2256
48,1 / 30
(1 + i )1,6033... = 1,032256 i = 1, 6033... 1,032256 − 1 i = 0,0199977 ou 2,0% a.m., conforme desejado pela instituição Demonstração na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 0 g CF j 11 g N j 100 CHS g CF j 0 g CF j 47 g N j 103,2256 g CF j f IRR 100 < ÷ > 1 30 y x 1 100
Visor 0,00 0,00 0,00 11,00 -100,00 0,00 47,00 -103,23 0,07 1,00 2,00
Significado Limpa registradores Insere carência Prazo de retenção Empréstimo hipotético Insere carência Diferença em dias Valor recebido Taxa efetiva diária da operação Transformação para taxa mensal Taxa efetiva mensal da operação
16) A representação gráfica do fluxo de caixa do floating apresenta-se da seguinte maneira: Valor Nominal 3 Desconto: $ 18.000,00 × (1 + 0,018) − 1 Valor Liberado:
[
]
$ 18.000,00 (989,60) $ 17.010,40
A representação gráfica do fluxo de caixa do floating apresenta-se da seguinte :
$ 18.000,00 90 (dias)
0
4 $ 18.000,00 (1,018)
3
Igualando-se os valores financeiros em um mesmo momento, tem-se: 18.000,00(1,018) = 3
18.000,00 3 × (1 + i ) 4 / 30 1,018
Resolvendo-se com o auxílio de uma calculadora financeira: i (IRR) = 1,88% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 0 g CF j 3 g Nj 18.000 CHS g CF j 0 g CF j 85 g N j 18.989,6 g CF j f IRR 100 < ÷ > 1 30 y x 1 100
Visor 0,00 0,00 0,00 3,00 -18.000,00 0,00 85,00 18.989,60 0,06 1,00 1,88
Resolvendo da maneira simplificada: 94
i = (1,018) 90 − 1 i = 0,0188... ou 1,88% a.m. 17) a) Sendo:
i (p/ 19 dias) = 1,15% (0,0115) i (mensal) = ?
Temos:
i = (1 + 0,0115)19 − 1 i = 0,0182... ou 1,82% a.m.
30
Significado Limpa registradores Insere valor nulo de entrada Insere carência Prazo de retenção Valor do empréstimo Insere carência Diferença em dias Valor pago Custo efetivo diário da operação Transformação para custo mensal Custo efetivo mensal da operação
b) Sendo:
i (p/ 42 dias) = 2,05% (0,0205) i (mensal) = ?
Temos:
i = (1 + 0,0205) 42 − 1 i = 0,0146... ou 1,46% a.m.
30
18) a) Sendo:
i (p/ 54 dias) = 4,13% (0,0413) i (anual) = ?
Temos:
i = (1 + 0,0413) 54 − 1 i = 0,3097... ou 30,97% a.a.
360
b) Sendo:
Temos:
OVER = 1,89% a.m. (0,0189) dias úteis ( du ) = 23 OVER (mensal) = ?
[ − 1] × 30 OVER = [(1 + 0,0189 ) − 1] × 30 OVER = (1 + i )
1
du
1
23
OVER = 0,0244... ou 2,44% a.m. Sendo:
i = 1,89% a.m (0,0189) Prazo (n) = 53 dias Taxa de desconto (d) = ?
Temos:
d = (1 + 0,0189 ) 30 − 1
53
d = 0,0336... ou 3,36% p/ 53 dias d =
i 1+i
d =
0,033631542 1 + 0,033631542
d = 0,0325... ou 3,25% p/ 53 dias d = d =
0,032537264 53
× 30
0,0184... ou 1,84% a.m.
Sendo:
i = 1,89% a.m (0,0189) I (inflação) = 0,95% a.m. (0,095) Real (r) = ?
Temos:
r =
r =
1+i −1 1+ I
1 + 0,0189 1 + 0,0095
−1
r = 0,0093 ou 0,93% a.m. 19) Sendo:
Temos:
OVER = 2,9% a.m. (0,029) dias úteis ( du ) = 5 Spread = 0,06% a.d. (0,0006) i (efetiva) = ? i =
OVER 1+ 30
i =
0,029 1+ 30
du
5
× (1 + Spread
)
−1
× (1 + 0,0006 × 5) − 1
i = 0,0079... ou 0,79% p/os 5 dias úteis Logo, a taxa equivalente mensal é: 30
i = (1 + 0,007857216 ) 7 − 1
i = 0,0341... ou 3,41% a.m. 20) Sendo:
i = 32,5% a.a. (0,325)
Temos:
i = 12 1 + 0,325 − 1 i = 0,0237... ou 2,37% a.m.
a) Sendo:
Prazo (n) = 53 dias Taxa de desconto (d) = ?
Temos:
53
d = (1 + 0,023728176 )30 − 1 d = 0,0423... ou 4,23% p/ 53 dias d =
d =
i 1+i
0,042300373 1 + 0,042300373
d = 0,0406 ou 4,06% p/ 53 dias d =
0,040583669 53
× 30
d = 0,02297... ou 2,297% a.m. b) Sendo:
Temos:
i (efetiva) = 2,37% a.m. (0,0237) dias úteis ( du ) = 23 OVER = ?
[ − 1] × 30 OVER = [(1 + 0,0237 ) − 1] × 30
OVER = (1 + i )
1
du
1
21) Sendo:
23
OVER = 0,03057... ou 3,057% a.m. Custo de captação = 2,48% a.m. (taxa over)
Dias úteis = 21 du Encaixe = 10% s/ recursos do empréstimo, sem remuneração. Recolhido no ato da liberação do empréstimo a) Custo efetivo mensal de captação do banco = ? Taxa over = 2,48% a.m. (21 du) 0,0248 Taxa efetiva = 1 + 30
21
−1
= 0,0175… ou 1,75% a.m. Supondo um empréstimo de $ 100,00, temos a seguinte representação gráfica: $ 100,00 (1,0175) – $ 10,00 = $ 91,75 0 1 (mês)
$ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00
Custo efetivo (i) = Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90 CHS PV 91,75 FV 1 n i
91,75 − 1 = 0,0194... ou 1,94% a.m. 90,00 Visor 0,00 -90,00 91,75 1,00 1,94
Significado Limpa registradores Valor líquido liberado Valor total pago Prazo em meses Taxa efetiva mensal
b) Taxa efetiva de repasse com Spread = [(1,0175)(1,01)] − 1 = 0,0277... ou 2,77% a.m. Supondo um empréstimo de $ 100,00, temos a seguinte representação gráfica: $ 100,00 (1,0277 ) – $ 10,00 = $ 92,77 0
1 (mês)
$ 100,00 – $ 10,00 = $ 90,00 92,77 − 1 = 0,0308... ou 3,0% a.m. 90,00
Custo efetivo (i) = Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90 CHS PV 92,77 FV 1 n i
Visor 0,00 -90,00 92,77 1,00 3,08
Significado Limpa registradores Valor líquido liberado Valor total pago Prazo em meses Taxa efetiva mensal
22) Admitindo um empréstimo de $ 100,00, temos: Valor do empréstimo: Prazo: Taxa efetiva: IOF: Despesa cobrança:
$ 100,00 4 meses 17,5% a.a. (0,175) 4% (0,04) s/ principal 0,5% (0,005) s/ montante
Determinamos inicialmente o valor liberado pela instituição financeira: Valor da promissória: IOF: $ 100,00 × 0,04 Valor Líquido Liberado: Valor de Pagamento (montante):
$ 100,00 × (1,175)
1/ 3
× 1,005 = $ 106,05
Agora, determinamos o custo efetivo
i=
106,05 − 1 = 0,1046875 ou 10,47% p/ 4 meses 96,00
i = (1 + 0,1046875) − 1 3
i = 0,3481... ou 34,81% a.a.
$ 100,00 (4,00) 96,00
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 96 CHS PV 106,05 FV 1 n i 100 < ÷ > 1 < + > 3 y x 1 < − > 100 < × >
Visor 0,00 -96,00 106,05 1,00 10,47 1,35 34,81
Significado Limpa registradores Valor líquido captado Valor total pago Prazo em meses Custo efetivo quadrimestral Transformação para taxa anual Custo efetivo anual da captação
23) Sendo:
OVER = 0,0691% a.du. (0,000691) Dias úteis no mês ( du ) = 20 OVER (mensal) = ? OVER (anual) = ?
Temos:
OVER (mensal) = 0,000691 × 30 OVER = 0,02073 ou 2,073% a.m. OVER (anual) = (1 + 0,000691) OVER = 0,1901 ... ou 19,01% a.a.
252
−1
24) Sendo:
Valor da aplicação: Valor de resgate: Prazo: Dias úteis
$ 300.000,00 $ 313.500,00 59 dias 39 dias
Temos: a)
i =
Valor Líquido Resgatado −1 Valor Nominal da Aplicação
i = 0,045 ou 4,5% p/ 59 dias (período)
b)
30
i = (1 + 0,045) 59 − 1 i = 0,0226... ou 2,26% a.m.
c)
1
i = (1 + 0,045) 59 − 1 i = 0,000746... ou 0,0746% a.dc. (ao dia corrido)
d)
1
i = (1 + 0,045) 39 − 1 i = 0,001129... ou 0,1129% a.du. (ao dia útil)
e)
[ − 1] × 30 OVER = [(1 + 0,045) − 1] × 30
OVER = (1 + i )
1
du
1
39
OVER = 0,0339... ou 3,39% a.m.o. (ao mês over)
f)
i = (1 + 0,001129275)
252
−1
i = 0,3289... ou 32,89% a.du. 25) Sendo:
OVER = 2,28% a.m. (0,0228) OVER (anual) = ?
Temos:
Over = 1 +
0,0228 30
252
−1
Over = 0,211… ou 21,1% a.a. 26) Sendo:
OVER = 16,5% a.a. (0,165) Dias úteis no mês ( du ) = 20 OVER (mensal) = ? i (efetiva) = ?
Temos:
Over (mensal) =
(
252
)
1 + 0,165 − 1 × 30
Over = 0,018187… ou 1,8187% a.m. OVER i (efetiva) = 1 + 30
du
0,0181866 i (efetiva) = 1 + 30
−1 22
−1
i (efetiva) = 0,0134... ou 1,34% a.m.
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 7 – Fluxo de Caixa 1) a) Sendo:
i = 2,9% a.m. (0,029) n = 36 meses PMT = $ 1.650,00 (iguais e sucessivas) PV = ?
Temos: PV = ?
1.650,00
1.650,00
1.650,00
0
1
2
3
1.650,00 36 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) 1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i PV = 1.650,00 × FPV (2,9%, 36)
PV = 1.650,00 ×
1 − (1 + 0,029) −36 0,029
PV = 1.650,00 × 22,161686 PV = $ 36.566,78 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.650 CHS PMT 2,9 i 36 n PV
Visor 0,00 -1.650,00 2,90 36,00 36.566,78
Significado Limpa registradores Valor da prestação Taxa de juros Quantidade de prestações Valor presente
b) Sendo:
i = 2,9% a.m. (0,029) n = 24 meses PMT = $ 850,00 (iguais e sucessivas) c = 2 meses PV = ?
Temos: PV = ? 0
850,00 1
2
850,00
3
4
850,00 5
850,00 26 (meses)
carência PV = PMT × FPV (i, n) × FAC (i, c) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n 1 × i (1 + i ) n
PV = 850,00 × FPV (2,9%, 24) × FAC( 2,9%, 2) PV = 850,00 ×
1 − (1 + 0,029) −24 1 × 0,029 (1,029) 2
PV = 850,00 × 17,119429 × 0,944429 PV = $ 13.742,87 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 850 CHS PMT 2,9 i 24 n PV 1,029 < ENTER > 2 yx
c) Sendo:
Visor 0,00 -850,00 2,90 22,00 14.551,51 1,03 13.742,87
Significado Limpa registradores Valor da prestação Taxa de juros Quantidade de prestações Valor presente no momento 2 Taxa de Juros Valor presente
i = 2,9% a.m. (0,029) ou (1 + 0,029 ) − 1 = 8,95...% a.t. (0,089547389) n = 10 prestações trimestrais PMT = $ 2.800,00 (iguais e sucessivas) PV = ? 3
Temos: PV = ? 0
2.800,00
2.800,00
2.800,00
1
2
3
2.800,00 10 (trimestres)
PV = PMT × FPV (i, n) 1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i PV = 2.800,00 × FPV (8,95%, 10)
1 − (1 + 0,089547389) −10 PV = 2.800,00 × 0,089547389 PV = 2.800,00 × 6,430462917 PV = $ 18.005,30 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2.800 CHS PMT 8,9547389 i 10 n PV
d) Sendo:
Visor 0,00 -2.800,00 8,95 10,00 18.005,30
Significado Limpa registradores Valor da prestação Taxa de juros Quantidade de prestações Valor presente
i = 2,9% a.m. (0,029) ou (1 + 0,029) − 1 = 5,88% a.b. (0,058841) n = 5 prestações bimestrais PMT representado no fluxo abaixo PV = ? 2
Temos: PV = ?
4.200,00
5.300,00
7.700,00
10.900,00
0
1
2
3
4
PV =
15.000,00 5(bimestres)
4.200,00 5.300,00 7.700,00 10.900,00 15.000.00 + + + + 2 3 4 1,058841 (1,058841) (1,058841) (1,058841) (1,058841)5
PV = 3.966,60 + 4.727,31 + 6.486,32 + 8.671,69 + 11.270,35 PV = $ 35.122,27 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 4.200 g CF j 5.300 g CF j 7.700 g CF j 10.900 g CF j 15.000 g CF j 5,8841 i f NPV e) Sendo:
Visor 0,00 0,00 4.200,00 5.300,00 7.700,00 10.900,00 15.000,00 5,88 35.122,27
Significado Limpa registradores Valor no momento zero Valor da prestação no mês 1 Valor da prestação no mês 2 Valor da prestação no mês 3 Valor da prestação no mês 4 Valor da prestação no mês 5 Taxa de juros Valor presente
i = 2,9% a.m. (0,029) n = 6 prestações PMT = $ 1.200,00 PV = ?
Temos: PV = ?
1.200,00
1.200,00
1.200,00
1.200,00
3
7
11
25
PV =
1.200,00 28
1.200,00 33 (mês)
1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 + + + + + (1,029)3 (1,029)7 (1,029)11 (1,029)25 (1,029)28 (1,029)33
PV = 1.101,37 + 982,37 + 876,22 + 587,21 + 538,95 + 467,17 PV = $ 4.553,29 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 0 g CF j 2 g Nj 1.200 g CF j 0 g CF j 3 g Nj
Visor 0,00 0,00 0,00 0,00 1.200,00 0,00 0,00
Significado Limpa registradores Valor à vista Valor no momento zero Meses sem pagamento de prestação Valor da prestação no mês 3 Não houve pagamento de prestação Meses sem pagamento de prestação
1.200 g CF j 0 g CF j 3 g Nj 1.200 g CF j 0 g CF j 13 g N j 1.200 g CF j 0 g CF j 2 g Nj 1.200 g CF j 0 g CF j 4 g Nj 1.200 g CF j 2,9 i f NPV
5.300,00 0,00 0,00 7.700,00 0,00 0,00 10.900,00 0,00 0,00 15.000,00 0,00 0,00 15.000,00 1,29 4.553,29
Valor da prestação no mês 7 Não houve pagamento de prestação Meses sem pagamento de prestação Valor da prestação no mês 11 Não houve pagamento de prestação Meses sem pagamento de prestação Valor da prestação no mês 25 Não houve pagamento de prestação Meses sem pagamento de prestação Valor da prestação no mês 28 Não houve pagamento de prestação Meses sem pagamento de prestação Valor da prestação no mês 33 Taxa de juros Valor presente
2) a) Sendo:
i = 1,85% a.m. (0,0185) n = 12 prestações mensais PMT = $ 900,00 (iguais e sucessivos) FV (12º mês) = ?
Temos: 900,00 0
900,00
900,00
2
3
1
FV = PMT × FFV (i, n) FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 i
FV = 900,00 × FPV (1,85%, 12)
FV = 900,00 ×
(1 + 0,0185)12 − 1 0,0185
FV = 900,00 × 13,299524 FV = $ 11.969,57
900,00 12 (meses)
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 900 CHS PMT 1,85 i 12 n FV b) Sendo:
Visor 0,00 -900,00 1,85 12,00 11.969,57
Significado Limpa registradores Valor do depósito Taxa de juros Prazo em meses Valor do montante no 12º mês
i = 1,85% a.m. (0,0185) n = 12 prestações mensais PMT = $ 900,00 (iguais e sucessivos) FV (15º mês) = ?
Para encontrarmos o montante acumulado no 15º mês, basta capitalizarmos 3 meses o valor encontrado na resolução anterior. Assim, temos: FV = PMT × FFV (i, n) × FCC (i, n) (1 + i ) n − 1 FV = PMT × × (1 + i ) n i FV = 900,00 × FPV (1,85%, 12) × FCC (1,85%, 3)
(1 + 0,0185)12 − 1 FV = 900,00 × × (1 + 0,0185) 3 0,0185 FV = 900,00 × 13,299524 × 1,056533 FV = $ 12.646,25 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 900 CHS PMT 1,85 i 12 n FV 1,0185 ENTER 3 yx < × > c) Sendo:
Visor 0,00 -900,00 1,85 12,00 11.969,57 1,02 12.646,25
Significado Limpa registradores Valor do depósito Taxa de juros Prazo em meses Valor do montante no 12º mês Taxa de juros Valor do montante no 15º mês
i = 1,85% a.m. (0,0185) n = 12 prestações mensais PMT = $ 900,00 (iguais e sucessivos) FV (24º mês) = ?
Para encontrarmos o montante acumulado no 24º mês, basta capitalizarmos 12 meses o valor encontrado na resolução do item a. Assim, temos: FV = PMT × FFV (i, n) × FCC (i, n) (1 + i ) n − 1 FV = PMT × × (1 + i ) n i FV = 900,00 × FPV (1,85%, 12) × FCC (1,85%, 12)
FV = 900,00 ×
(1 + 0,0185)12 − 1 × (1 + 0,0185)12 0,0185
FV = 900,00 × 13,299524 × 1,246041 FV = $ 14.914,58 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 900 CHS PMT 1,85 i 12 n FV 1,0185 ENTER 12 y x < × >
Visor 0,00 -900,00 1,85 12,00 11.969,57 1,02 14.914,58
Significado Limpa registradores Valor do depósito Taxa de juros Prazo em meses Valor do montante no 12º mês Taxa de juros Valor do montante no 15º mês
3) Sendo:
PV = $ 12.000,00 (60% de $ 20.000,00) n = 12 prestações mensais i = 2,5% a.m. (0,025) PMT = ?
Temos: PV = 12.000,00 0
PMT
PMT
PMT
1
2
3
PV = PMT × FPV (i, n)
PMT 12 (meses)
12.000,00 = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
12.000,00 = PMT × FPV (2,5%, 12)
1 − (1 + 0,025) −12 12.000,00 = PMT × 0,025 12.000,00 = PMT × 10,257765 PMT =
12.000,00 10,257765
PMT = $ 1.169,85 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 12.000 CHS PV 2,5 i 12 n PMT
Visor 0,00 -12.000,00 2,50 12,00 1.169,85
Significado Limpa registradores Valor do saldo à pagar Taxa de juros Prazo em meses Valor da prestação mensal
4) Conforme o enunciado no exercício, sabemos que os fluxos são contínuos, ou seja, não são fluxos individuais, ocorrendo um ao término da seqüência do outro. Porém, para ficar mais claro o entendimento, vamos separa-los momentaneamente da seguinte forma: Fluxo a:
n = 10 prestações mensais PMT = $ 700,00 i = 4,1% a.m. (0,041) PV = ?
Fluxo b:
n = 6 prestações trimestrais PMT = $ 2.800,00 3 i = 4,1% a.m. ou (1 + 0,041) − 1 = 12,81% a.t. (0,1281...) PV = ?
Representando graficamente os dois fluxos, temos:
Fluxo a:
Fluxo b:
PV = ?
700,00
0
1
PV = ?
2.800,00
0
700,00
700,00
2
3
2.800,00
2.800,00
2
3
1
700,00 10 (meses) 2.800,00 6 (trimestres)
Vale lembrar que os fluxos a e b são um só, ocorrendo o b logo após o a. Determinamos, então o valor presente na data zero do fluxo total (a + b): Fluxo a:
PV1 = PMT1 × FPV1 (i, n)
Fluxo b:
PV2 = PMT2 × FPV2 (i, n) × FAC 2 (i, n) 1
Fluxo total:
PVTotal = PMT1 × FPV1 (i, n) + PMT2 × FPV2 (i, n) × FAC 2 (i, n)
PVTotal = PMT1 × FPV1 (i, n) + PMT2 × FPV2 (i, n) × FAC 2 (i, n) PVTOTAL = PMT1 ×
1 − (1 + i ) − n 1 − (1 + i ) − n 1 + PMT2 × × i i (1 + i ) n
PVTOTAL = 700,00 × FPV1 (4,1%, 10) + 2.800,00 × FPV2 (12,81%, 06) × FAC 2 (4,1%, 10) PVTOTAL = 700,00 ×
1 − (1 + 0,041) −10 1 − (1 + 0,128112) −6 1 + 2.800,00 × × 0,041 0,128112 (1 + 0,041)10
PVTOTAL = 700,00 × 8,070669 + 2.800,00 × 4,018657 × 0,669103 PVTOTAL = $ 13.178,37
Determinamos, agora, o valor futuro ao final do 19º mês: Fluxo a: 1
FV1 = PMT1 × FFV1 (i, n) × FCC1 (i, n)
Como o fluxo b ocorre após a seqüência de a, temos que utilizar o fator de atualização (ou de valor presente) – FAC (i, n). Ver capítulo 2, item 2.1.
Fluxo b:
FV2 = PMT2 × FFV2 (i, n) 2
Fluxo total: PVTotal = PMT1 × FFV1 (i, n) × FCC1 (i, n) + PMT2 × FPV2 (i, n) × FCC 2 (i, n) FVTOTAL = PMT1 ×
(1 + i ) n − 1 1 − (1 + i ) − n × (1 + i ) n + PMT2 × × (1 + i ) n i i
FVTOTAL = 700,00 × FFV1 (4,1%, 10) × FFV1 (4,1%, 9) + 2.800,00 × FPV2 (12,81%, 6) × FCC(4,1%, 9)
FVTOTAL = 700,00 ×
(1 + 0,041)10 − 1 1 − (1 + 0,128112) −6 × (1 + 0,041) 9 + 2.800,00 × × (1 + 0,041) 9 0,041 0,128112
FVTOTAL = 700,00 × 12,061930 × 1,435676 + 2.800,00 × 4,020670 × 1,435676 FVTOTAL = $ 28.276,50
De forma mais simples, o valor futuro (ao final do 19º mês), poderia também ser calculado da seguinte forma:
FV19 = PV0 × (1 + i )
19
FV19 = 13.178,37(1 + 0,041)
19
FV19 = $ 28.276,50 5) Sendo:
n = 15 pagamentos mensais PMT = $ 2.400,00 (iguais e sucessivas) i = 3,7% a.m. (0,037) Valor presente no mês 6 = ?
Temos: 2
Utilizamos novamente o fator de atualização (ou de valor presente) – FAC (i, n).
0
2.400,00
2.400,00
2.400,00
1
2
3
2.400,00 15 (meses)
Valor presente no mês 6 = PMT × FFV (i, n) + PMT × FPV (i, n) PV6 = PMT ×
(1 + i )n i
−1
+ PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV6 = 2.400,00 × FFV (3,7%, 6) + 2.400,00 × FPV(3,7%, 9) PV6 = 2.400,00 ×
(1 +
0,037 ) − 1 1 − (1 + 0,037) −9 + 2.400,00 × 0,037 0,037 6
PV6 = 15.799,56 + 18.091,27 PV6 = $ 33.890,84 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2.400 CHS PMT 3,7 i 6 n FV 0 FV 2.400 CHS PMT 3,7 i 9 n PV
Visor 0,00 -2.400,00 3,70 6,00 15.799,56 0,00 -2.400,00 3,70 9,00 18.091,27 33.890,84
Significado Limpa registradores Valor do pagamento mensal Taxa de juros Momento do pagamento Valor vencido Limpa o FV da calculadora Valor do pagamento mensal Taxa de juros Antecipação do pagamento Valor vincendo Valor total pago
6) Neste exercício, os termos do fluxo de caixa se verificam em intervalos irregulares ou não periódicos. O total das parcelas (PMT) descapitalizados, tem de ser igual ao valor da dívida no momento atual (PV). Utilizando a expressão:
PV =
n
PMTj /(1 + i ) j ,
j =0
Temos: PMT
24.300,00 =
(1 + 0,031)
24.300,00 =
17 30
PMT
+
(1 + 0,031)
39 30
PMT
+
(1 + 0,031)
66 30
+
PMT (1 + 0,031)
90 30
PMT PMT PMT PMT + + + 1,017450393 1,040486057 1,069471126 1,095912791
24.300,00 = PMT
1 1 1 1 + + + 1,017450393 1,040486057 1,069471126 1,095912791
24.300,00 = PMT
1,219498652 + 1,192499769 + 1,160180348 + 1,132188066 1,240779383
24.300,00 = PMT
4,704366835 1,240779383
24.300,00 = PMT × 3,791461157 PMT =
24.300,00 3,791461157
PMT = $ 6.409,14 7) Sendo:
n = 6 pagamentos PMT = $ 72,00 (iguais e sucessivas) i = 3,9% a.m. (0,039) Valor da entrada = ?
Temos: PV
72,00
72,00
72,00
1
2
3
72,00 6 (pagamentos)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV = 72,00 × FPV (3,9%, 6)
PV = 72,00 ×
1 − (1 + 0,039) −6 0,039
PV = 378,67 Valor da entrada = $ 650,00 – $ 378,67 ∴Valor da entrada = $ 271,33 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 72 PMT 3,9 i 6 n PV 650
Visor 0,00 -72,00 3,90 6,00 -378,67 271,33
Significado Limpa registradores Valor do pagamento mensal Taxa de juros Quantidade de pagamentos Valor presente dos pagamentos Valor da entrada
8) Sendo:
Valor da dívida = $ 17.600,00 n = 5 parcelas mensais Carência = 1 mês i = 23,5% a.a. (0,235) PMT = ? (decrescentes na razão aritmética de 10%)
Representando graficamente, temos: PV = $ 17.600,00
1
2 PMT
3 0,9 PMT
4
5
6
0,8 PMT
0,7 PMT
0,6 PMT
17.600,00 =
1,00 × PMT (1 +
17.600,00 =
60 360 0,235)
+
0,90 × PMT (1 +
90 360 0,235)
+
0,80 × PMT (1 +
120 0,235) 360
+
0,70 × PMT (1 +
150 0,235) 360
+
0,60 × PMT (1 +
180 0,235) 360
1 × PMT 0,9 × PMT 0,8 × PMT 0,7 × PMT 0,6 × PMT + + + + 1,035804578 1,054184774 1,072891124 1,091929416 1,111305539
17.600,00 = PMT
1 0,9 0,8 0,7 0,6 + + + + 1,035804578 1,054184774 1,072891124 1,091929416 1,111305539
17.600,00 = PMT (0,965433076 + 0,853740276 + 0,745648819 + 0,641067078 + 0,539905525)
17.600,00 = PMT × 3,745794774
PMT =
17.600,00 3,745794774
PMT1 = 4.698,60 PMT2 = 4.698,60 × 0,90 = 4.228,74 PMT3 = 4.698,60 × 0,80 = 3.758,88 PMT4 = 4.698,60 × 0,70 = 3.289,02 PMT5 = 4.698,60 × 0,60 = 2.819,16
9) Sendo:
FV = 14.000,00 n = 6 meses PMT = $ 1.500,00 (iguais e sucessivas) i = 4,5% a.m. (0,045) Depósito inicial = ?
Representando graficamente, temos: PV = ?
FV = 14.000,00 1.500,00
0
1
1.500,00 2
1.500,00 3
1.500,00 4
1.500,00
1.500,00
5
6
Primeiramente, encontramos o valor presente do fluxo de pagamentos:
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV = 1.500,00 × FPV (4,5%, 6)
PV = 1.500,00 ×
1 − (1 + 0,045) −6 0,045
PV = $ 7.736,81 Depois, encontramos o valor presente do valor que a pessoa deseja acumular: PV =
FV (1 + i ) n
PV =
14.000,00 (1 + 0,045) 6
PV = $ 10.750,54 O valor do depósito inicial é a diferença dos dois Valores Presentes: ∴ Depósito inicial = $ 10.750,54 – $ 7.736,81 = $ 3.013,73 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 14.000 FV 1.500 CHS PMT 4,5 i 6 n PV
Visor 0,00 14.000,00 1.500,00 4,50 6,00 -3.013,73
Significado Limpa registradores Valor desejado Valor do depósito mensal Taxa de juros Quantidade de pagamentos Valor do depósito inicial
10) Sendo:
Temos:
PV = $ 18.000,00 – $ 4.000,00 (entrada) = $ 14.000,00 n = 4 meses PMT = $ 3.845,05 (iguais e sucessivas) i=?
PV= 14.000,00
3.845,05
3.845,05
3.845,05
1
2
3
0
3.845,05 4 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) 14.000,00 = 3.845,05 × FPV (i, 4) 14.000,00 =
3.845,05 3.845,05 3.845,05 3.845,05 + + + (1 + i ) (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 (1 + i ) 4
Resolvendo-se: i = 3,87% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 14.000 PV 3.845 CHS PMT 4 n i
Visor 0,00 14.000,00 -3.845,00 4,00 3,87
Significado Limpa registradores Valor à vista menos a entrada Valor da prestação Quantidade de prestações Custo efetivo mensal
11) A alternativa mais atraente para o comprador é aquela que apresentar menor valor presente. Alternativa a)
Entrada = $ 400,00 n = 8 prestações mensais PMT = $ 720,00 (iguais e sucessivas) i = 3,5% a.m. (0,035) PV = ?
Representando graficamente, temos: PV
720,00
0
1
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
720,00
720,00
2
3
720,00 8 (meses)
PV = 720,00 × FPV (3,5%, 8)
PV = 720,00 ×
1 − (1 + 0,035) −8 0,035
PV = 720,00 × 6,873956 PV = $ 4.949,25 Somando o valor da entrada, temos: PVTOTAL = $ 4.949,25 + $ 400,00 = $ 5.349,25 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 720 CHS PMT 8 n 3,5 i PV 400 Alternativa a)
Visor 0,00 -720,00 8,00 3,50 4.949,25 5.349,25
Significado Limpa registradores Valor da prestação Quantidade de prestações Taxa de juros Valor presente sem entrada Valor presente total
Entrada = $ 650,00 n = 15 prestações mensais PMT = $ 600,00 (iguais e sucessivas) i = 3,5% a.m. (0,035) PV = ?
Representando graficamente, temos: PV
650,00
0
1
650,00
650,00
2
3
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV = 600,00 × FPV (3,5%, 15)
650,00 15 (meses)
PV = 600,00 ×
1 − (1 + 0,035) −15 0,035
PV = 600,00 × 11,517411 PV = $ 6.910,45 Somando o valor da entrada, temos: PVTOTAL = $ 6.910,45 + $ 650,00 = $ 7.560,45 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 600 CHS PMT 15 n 3,5 i PV 650
Visor 0,00 -600,00 15,00 3,50 6.910,45 7.560,45
Significado Limpa registradores Valor da prestação Quantidade de prestações Taxa de juros Valor presente sem entrada Valor presente total
A alternativa mais atraente para o comprador é a alternativa a, pois apresenta menor valor presente. 12) Sendo:
n = 15 pagamentos PMT = $ 2.100,00 (iguais e sucessivas) i = 2,2% a.m. (0,022) PV = ?
Como o primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 dias, devemos primeiramente encontrar o valor presente e, em seguida, capitalizar 15 dias. Representando graficamente, temos: PV
2.100,00
2.100,00
2.100,00
0
1
2
3
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV = 2.100,00 × FPV (2,2%, 15)
2.100,00 15 (meses)
PV = 2.100,00 ×
1 − (1 + 0,022) −15 0,022
PV = 2.100,00 × 12,659074 PV = $ 26.584,05 Capitalizando 15 dias, temos: FV = PV (1 + i ) n FV = 26.584,05(1 + 0,022)
1 2
FV = $ 26.874,89 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2.100 CHS PMT 15 n 2,2 i PV 1,022 ENTER 2 1 / x y x
Visor 0,00 -2.100,00 15,00 2,20 26.584,05 1,02 26.874,89
Significado Limpa registradores Valor dos pagamentos Quantidade de pagamentos Taxa de juros Valor presente antecipado Taxa de juros Valor presente
13) Para determinarmos até que preço é interessante adquirir o sítio à vista, basta encontrarmos o valor presente (PV) dos fluxos, ou seja: Fluxo a:
Entrada de $ 30.000,00
Fluxo b:
n = 20 prestações mensais PMT = $ 1.100,00 i = 2,5% a.m. (0,025) PV = ?
Fluxo c:
n = 6 prestações semestrais PMT = $ 7.500,00 6 i = 2,5% a.m. ou (1 + 0,025) − 1 = 15,97...% a.s. (0,159693418) PV = ?
Representando graficamente os fluxos, temos:
Fluxo b:
PV = ?
1.100,00
1.100,00
1.100,00
0
1
2
3
7.500,00
7.500,00
9
12
PV = ?
Fluxo c:
7.500,00
0
3
1.100,00 20 (meses) 7.500,00 33 (meses)
Vale lembrar que os fluxos b e c ocorrem simultaneamente. Determinamos, então o valor presente na data zero do fluxo total (a + b + c): Fluxo a:
PV1 = $ 30.000,00
Fluxo b:
PV2 = PMT2 × FPV2 (i, n)
Fluxo c:
PV3 = PMT3 × FPV3 (i, n) × FCC 3 (i, n) 3
Fluxo total: PVTotal = PV1 + PMT2 × FPV2 (i, n) + PMT3 × FPV3 (i, n) × FCC 3 (i, n)
PVTOTAL = PV1 + PMT2 ×
1 − (1 + i ) − n 1 − (1 + i ) − n + PMT3 × × (1 + i ) n i i
PVTOTAL = 30.000,00 + 1.100,00 × FPV (2,5%, 20) + 7.500,00 × ... 2 ...FPV3 (15,97...%, 6) × FCC (2,5%, 3)
PVTOTAL = 30.000,00 + 1.100,00 × ...
3
1 − (1 + 0,025) −20 + 7.500,00 × ... 0,025
1 − (1 + 0,159693418) −6 × (1 + 0,025) 3 0,159693418
Como o fluxo c inicia-se a partir do final do 3º, ao encontrarmos o valor presente utilizando uma taxa semestral de juros, o PV estará no momento –3 (três períodos antes o momento zero). Logo, temos que utilizar o fator de atualização (ou de valor presente) – FCC (i, n) para capitalizar o valor presente para o momento zero.
PVTOTAL = 30.000,00 + 1.100,00 × 15,58916228 + 7.500,00 × 3,687730425 × 1,076890625 PVTOTAL = $ 76.932,70
Portanto, é interessante adquirir o sítio à vista por até $ 76.932,70 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.100 CHS PMT 2,5 i 20 n PV 7.500 CHS PMT 15,96934180 i 6 n PV 1,025 < ENTER > 3 y x 30.000 < + >
Visor 0,00 -1.100,00 2,50 20,00 17.148,08 -7.500,00 15,97 6,00 27.657,98 1,03 29.784,62 46.932,70 76.932,70
Significado Limpa registradores Valor da prestação do fluxo b Taxa de juros mensal da operação Quantidade de prestações de b Valor presente do fluxo b Valor da prestação do fluxo c Taxa de juros semestral da operação Quantidade de prestações de c Valor presente no momento –3 Taxa de juros mensal Valor presente do fluxo c Valor presente do fluxo b + c Valor presente do fluxo total
14) a) Sendo:
PV = $ 1.120,00 n = 5 meses PMT = $ 245,00 (iguais e sucessivas) i=?
Temos: PV = 1.120,00
245,00
0
1
245,00 2
245,00 3
245,00 4
245,00 5 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) 1.120,00 = 245,00 × FPV (i, 5) 1.120,00 =
245,00 245,00 245,00 245,00 245,00 + + + + 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 5
Resolvendo-se: i = 4,69% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 245 CHS PMT 875 PV 4 n i b) Sendo:
Visor 0,00 -245,00 875,00 4,00 4,69
Significado Limpa registradores Valor da prestação Valor à vista Quantidade de prestações Custo efetivo mensal
PV = $ 1.120,00 – $ 245,00 = $ 875,00 n = 4 meses PMT = $ 245,00 (iguais e sucessivas) i=?
Temos: PV = 875,00 0
245,00
245,00
1
245,00
2
3
245,00 4(meses)
PV = PMT × FPV (i, n) 875,00 = 245,00 × FPV (i, 4) 875,00 =
245,00 245,00 245,00 245,00 + + + 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 4
Resolvendo-se: i = 3,06 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 245 CHS PMT 1.120 PV 5 n i c) Sendo:
Visor 0,00 -245,00 1.120,00 5,00 3,06
Significado Limpa registradores Valor da prestação Valor à vista Quantidade de prestações Custo efetivo mensal
PV = $ 1.120,00 n = 5 meses c = 1 mês PMT = $ 245,00 (iguais e sucessivas) i=?
Temos: PV = 1.120,00
245,00
245,00
2
3
1
245,00 4
245,00
245,00
5
6
carência PV = PMT × FPV (i, n) × FAC (i, c) 1 − (1 + i ) − n 1 PV = PMT × × i (1 + i ) n 875,00 = 245,00 × FPV (i, 5) × FAC(i, 1) 245,00 245,00 245,00 245,00 245,00 1 + + + + × 2 3 4 5 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )1 Resolvendo-se: 875,00 =
i = 2,28% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.120 CHS g CF0 0 g CF j 245 g CF j 5 g Nj f IRR
Visor 0,00 -1.120,00 0,00 245,00 5,00 2,28
Significado Limpa registradores Valor à vista Fluxo no mês 1 Valor da prestação Quantidade de prestações Custo efetivo mensal
15) Para determinarmos até que preço é interessante adquirir o imóvel à vista, basta encontrarmos o valor presente dos fluxos, ou seja: Fluxo a:
Entrada de $ 10.000,00
Fluxo b:
n = 4 pagamentos trimestrais PMT = $ 5.000,00 3 i = 1,8% a.m. (0,018) ou (1 + 0,018) − 1 = 5,50...% a.t. (0,054977832) PV = ?
Fluxo c:
n = 60 prestações mensais PMT = $ 800,00
i = 1,8% a.m. PV = ? Representando graficamente os fluxos, temos: PV = ?
Fluxo b:
0
5.000,00
5.000,00
5.000,00
120
210
300
30
PV = ?
Fluxo c:
0
1
5.000,00 390 (dias)
800,00
800,00
2
3
800,00 60 (meses)
Vale lembrar que os fluxos b e c ocorrem simultaneamente. Determinamos, então o valor presente na data zero do fluxo total (a + b + c): Fluxo a:
PV1 = $ 10.000,00
Fluxo b:
PV2 = PMT2 × FPV2 (i, n) × FAC 2 (i, n)
Fluxo c:
PV3 = PMT3 × FPV3 (i, n) × FAC3 (i, n)
Fluxo total: PVTotal = PV1 + PMT2 × FPV2 (i, n) × FAC 2 (i, n) + PMT3 × FPV3 (i, n) × FAC3 (i, n) PVTOTAL PVTOTAL
1 − (1 + i ) − n 1 1 − (1 + i ) − n 1 = PV1 + PMT2 × × + PMT3 × × n i i (1 + i ) (1 + i ) n = 10.000,00 + 5.000,00 × FPV (5,50...%, 4) × FAC 2 (1,8%, 1) + 800,00 × ... 2 ...FPV3 (1,8%, 60) × FAC (1,8%, 1)
PVTOTAL = 10.000,00 + 5.000,00 ×
...
1 − (1 + 0,054977832) −4 0,054977832
×
1 1 + 0,018
+ 800,00 × ...
1 − (1 + 0,018) −60 1 × 0,018 1 + 0,018
PVTOTAL = 10.000,00 + 5.000,00 × 3,505329332 × 0,982318271 + 800,00 × 36,50705413 × 0,982318271
PVTOTAL = $ 55.905,98
Portanto, é interessante adquirir o sítio à vista por até $ 55.905,98 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 5.000,00 CHS PMT 5,4977832 i 4 n PV 1,018 1 x < × > 800 CHS PMT 1,8 i 60 n PV 1,018 1 x < × > 10.000 < + >
Visor 0,00 -5.000,00 5,50 4,00 17.526,65 17.216,75 -800,00 1,80 60,00 29.205,64 28.689,24 45.905,98 55.905,98
Significado Limpa registradores Valor da prestação do fluxo b Taxa de juros trimestral da operação Quantidade de prestações de b Valor presente no dia 30 Valor presente do fluxo b Valor da prestação do fluxo c Taxa de juros mensal da operação Quantidade de prestações de c Valor presente no momento 1 Valor presente do fluxo c Valor presente do fluxo b + c Valor presente do fluxo total
16) Representando graficamente, temos: PV= 29.800,00 5.600,00 0
7.900,00
17
x
8.700,00
44
73
4.100,00
109
152
i = 34,2% (0,342) PV =
∞
j =1
PMT j (1 + i ) j
5.600,00
29.800,00 =
(1 +
17 0,342) 360
+
7.900,00 (1 +
44 0,342) 360
29.800,00 = 5.522,75 + 7.621,02 + 8.196,23 + x = (29.800,00 − 24.961,13) × 1,093152174 x = $ 5.289,63
17)
+
8.700,00 (1 +
73 0,342) 360
x
+ (1 +
x + 3.621,13 1,093152174
109 0,342) 360
+
4.100,00 152
(1 + 0,342) 360
Dívida atual: n = 18 prestações mensais PMT = $ 2.200,00 (iguais e sucessivas) i = 2,4% a.m. (0,024) PV = ? Temos: PV
2.200,00
2.200,00
2.200,00
1
2
3
2.200,00 18 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV = 2.200,00 × FPV (2,4%, 18)
PV = 2.200,00 ×
1 − (1 + 0,024) −18 0,024
PV = 2.200,00 × 14,477898 PV = $ 31.851,38 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2.200 CHS PMT 18 n 2,4 i PV Proposta:
Visor 0,00 -2.200,00 18,00 2,40 31.851,38
Significado Limpa registradores Valor das prestações Quantidade de prestações Taxa de juros Valor presente da dívida
PV = $31.851,38 n = 8 prestações trimestrais 3 i = 2,4% a.m. (0,024) = (1 + 0,024 ) − 1 = 7,37… % a.t. (0,0737…) PMT = ? (iguais e sucessivas)
Temos: PV = $ 31.851,38
PMT
PMT
0 1 2 PV = PMT × FPV (i, n)
PMT 3
PMT 8 (meses)
PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
31.851,38 = PMT × FPV (7,37%, 8)
31.851,38 = PMT ×
1 − (1 + 0,0737) −8 0,0737
31.851,38 = PMT × 18,084169 PMT = $ 5.411,68 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 31.851,38 CHS PV 8 n 7,3741824 i PMT
Visor 0,00 -31.851,38 8,00 7,37 5.411,68
Significado Limpa registradores Valor presente da dívida Quantidade de prestações Taxa de juros trimestral Valor das prestações da proposta
18) a) Sendo:
PV = $ 70.000,00 n = 12 pagamentos mensais i = 4% a.m. (0,04) PMT = ? (iguais e sucessivas)
Temos: PV = $ 70.000,00
PMT
PMT
PMT
1
2
3
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
70.000,00 = PMT × FPV (4%, 12)
70.000,00 = PMT ×
1 − (1 + 0,04) −12 0,04
PMT 12 (meses)
70.000,00 = PMT × 9,385074 PMT = $ 7.458,65 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 70.000 CHS PV 12 n 4 i PMT b) Sendo:
Visor 0,00 -70.000,00 12,00 4,00 7.458,65
Significado Limpa registradores Valor da prestação Quantidade de prestações Taxa de juros mensal Valor das prestações da proposta
PV = $ 70.000,00 n = 4 pagamentos trimestrais 3 i = 4% a.m. (0,04) = (1 + 0,04 ) − 1 = 12,49… % a.t. (0,1249…) PMT = ? (iguais e sucessivas)
Temos: PV = 70.000,00
PMT
PMT
PMT
1
2
3
PMT 12 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
70.000,00 = PMT × FPV (12,49%, 4)
70.000,00 = PMT ×
1 − (1 + 0,1249...) −4 0,1249...
70.000,00 = PMT × 3,006495 PMT = $ 23.282,93 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 70.000 CHS PV 4 n 12,4864 i
Visor 0,00 -70.000,00 4,00 12,49
Significado Limpa registradores Valor da prestação Quantidade de prestações Taxa de juros trimestral
PMT
c) Sendo:
23.282,93
Valor das prestações da proposta
PV = $ 70.000,00 n = 7 pagamentos mensais i = 4% a.m. (0,04) c = 5 meses PMT = ? (iguais e sucessivas)
Temos: PV 1
2
3
4
5
6
PMT
PMT
7
8
carência PV = PMT × FPV (i, n) × FAC (i, c) 1 − (1 + i ) − n 1 PV = PMT × × i (1 + i ) n 70.000,00 = PMT × FPV (4%, 7) × FAC( 4%, 5) 1 − (1 + 0,04) −7 1 70.000,00 = PMT × × 0,04 (1,04) 5 70.000,00 = PMT × 6,002055 × 0,821927 PV = $ 14.189,42
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG
Visor 0,00
Significado Limpa registradores
PMT 12
70.000 CHS PV 5 n 4 i FV f FIN CHS PV 4 i 7 n PMT d) Sendo:
-70.000,00 5,00 4,00 85.165,70 -85.165,70 4,00 7,00 14.189,42
Valor do financiamento Meses de carência Taxa de juros mensal Valor futuro no mês 5 Valor presente no mês 5 Taxa de juros mensal Quantidade de pagamentos Valor das prestações da proposta
PV = $ 70.000,00 n = 4 pagamentos mensais i = 4% a.m. (0,04) PMT = ? (não periódicos)
Temos: PV = $ 70.000,00
∞
PV =
j =1
PMT
PMT
PMT
2
5
9
PMT 12 (meses)
PMT j (1 + i ) j
70.000,00 =
PMT PMT PMT PMT + + + 2 5 9 (1 + 0,04) (1 + 0,04) (1 + 0,04) (1 + 0,04)12
70.000,00 =
PMT PMT PMT PMT + + + 1,0816 1,216652902 1,423311812 1,601032219
70.000,00 = PMT
1 1 1 1 + + + 1,0816 1,216652902 1,423311812 1,601032219
70.000,00 = PMT (0,924556213 + 0,821927107 + 0,702586736 + 0,624597049) PMT =
70.000,00 3,073667105
PMT = $ 22.774,10
19) Sendo:
PV = $ 8.000,00
i = 2,1% a.m. (0,021) n = 5 meses FV = ? Temos: PV = $ 8.000,00
FV = ? 1
2
3
4
5(meses)
FV = PV (1 + i ) n FV = 8.000,00 (1 + 0,021) 5 FV = $ 8.876,03 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 8.000 CHS PV 2,1 i 5 n FV
Visor 0,00 -8.000,00 2,10 5,00 8.876,03
Significado Limpa registradores Valor do depósito Taxa de juros Prazo em meses Valor do montante no 5º mês
Determinando o valor das parcelas a serem sacadas, temos: PV = $ 8.876,03 n = 12 parcelas mensais i = 2,1% a.m. (0,021) PMT = ? Representando graficamente: PV = $ 8.876,03
PMT
PMT
PMT
1
2
3
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
8.876,03 = PMT × FPV (2,1%, 12)
PMT 12 (meses)
8.876,03 = PMT ×
1 − (1 + 0,021) −12 0,021
8.876,03 = PMT × 10,510684 PMT =
8.876,03 10,510684
PMT = $ 844,48 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 8.876,03 CHS PV 12 n 2,1 i PMT
Visor 0,00 -8.876,03 12,00 2,10 844,48
Significado Limpa registradores Valor do montante no 5º mês Quantidade de parcelas Taxa de juros Valor das parcelas sacadas
20) Sendo:
PV = $ 6.800,00 n = 10 prestações mensais i = 3,6% a.m. (0,036) c = 2 meses PMT = ? (iguais e sucessivas)
Temos: PV 0
1
2
PMT
PMT
3
4
carência PV = PMT × FPV (i, n) × FAC (i, c) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n 1 × i (1 + i ) n
6.800,00 = PMT × FPV (3,6%, 10) × FAC( 3,6%, 2) 6.800,00 = PMT ×
1 − (1 + 0,036) −10 1 × 0,036 (1,036) 2
PMT 12 (meses)
6.800,00 = PMT × 8,274844 × 0,931709 PMT =
6.800,00 7,709750
PMT = $ 882,00 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 6.800,00 CHS PV 2 n 3,6 i FV f FIN CHS PV 3,6 i 10 n PMT
Visor 0,00 -6.800,00 2,00 3,60 7.298,41 -7.298,41 3,60 7,00 882,00
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Meses de carência Taxa de juros mensal Valor futuro no mês 2 Valor presente no mês 2 Taxa de juros mensal Quantidade de prestações Valor de cada pagamento mensal
21) Representando graficamente, temos:
0
PMT
PMT
PMT
PMT
1.900,00
1.900,00
1.900,00
1
2
3
8
11
14
17
1.900,00 20 (meses)
Primeiramente, devemos encontrar o montante que o aplicador deverá ter no 8º mês, para que seja possível fazer as retiradas trimestrais a partir do 11º mês: Sendo:
n = 4 retiradas trimestrais PMT = $ 1.900,00 (iguais e sucessivas) i = 1,5% a.m. (0,015) ou (1 + 0,015) 3 − 1 = 0,457… a.t. PV = ?
Temos:
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV = 1.900,00 × FPV (4,57...%, 4)
PV = 1.900,00 ×
1 − (1 + 0,045678375 ) −4 0,045678375
PV = 1.900,00 × 3,581838848 PV = $ 6.805,49 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.900 CHS PMT 4 n 4,5678375 i PV
Visor 0,00 -1.900,00 4,00 4,57 6.805,49
Significado Limpa registradores Valor das retiradas trimestrais Quantidade de retiradas Taxa de juros trimestrais Valor presente
Então, para que o aplicador consiga fazer as retiradas trimestrais a partir do 11º mês, ele deve ter no final do 8º mês um montante de $ 6.805,49. Para isso, devemos encontrar o valor da aplicação mensal que o aplicador efetuar, para conseguir esse montante: Sendo:
FV = $ 6.805,49 n = 8 pagamentos mensais i = 1,5% a.m. (0,015) PMT = ? (iguais e sucessivas) FV = PMT × FFV (i, n) (1 + i ) n − 1 FV = PMT × i 6.805,49 = PMT × FPV (1,5%, 8)
6.805,49 = PMT ×
PMT =
(1 + 0,015) 8 − 1 0,015
6.805,49 8,432839133
PMT = $ 807,02
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG
Visor 0,00
Significado Limpa registradores
6.805,49 CHS FV 8 n 1,5 i PMT
-6.805,49 8,00 1,50 807,02
Valor do montante Quantidade de meses Taxa de juros mensal Valor a ser aplicado mensalmente
22) Sendo:
PV = $ 28.000,00 n = 9 depósitos mensais PMT = $ 3.000,00 (iguais e sucessivos) i = 1,7% a.m. (0,017) FV = ?
Temos: PV=$ 28.000,00 $ 3.000,00 0
$ 3.000,00
$ 3.000,00
2
3
1
$ 3.000,00 $ 3.000,00 4
9 (meses)
FV = PMT × FFV (i, n) FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 n + PV (1 + i ) i
FV = 3.000,00 × FPV (1,7%, 9) + FFV (1,7%, 9)
FV = 3.000,00 ×
(1 + 0,017) 9 − 1 9 + 28.000,00 (1 + 0,017 ) 0,017
FV = 3.000,00 × 9,636905706 + 32.587,17 FV = $ 61.497,88 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 28.000 CHS PV 3.000 CHS PMT 9 n 1,7 i FV 23) Sendo:
Visor 0,00 -28.000,00 -3.000,00 9,00 1,70 61.497,88
Significado Limpa registradores Valor do depósito inicial Valor dos depósitos mensais Quantidade de depósitos Taxa de juros Valor acumulado
PV = $ 24.000,00 ($ 30.000,00 – 20%)
n = 6 prestações mensais i = 3,4% a.m. (0,34) c = 3 meses PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV = $ 24.00,00 0
1
2
PMT
PMT
PMT
4
5
9
3 carência
PV = PMT × FPV (i, n) × FAC (i, c) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n 1 × i (1 + i ) n
24.000,00 = PMT × FPV (3,4%, 6) × FAC( 3,4%, 3) 1 − (1 + 0,034) −6 1 24.000,00 = PMT × × 0,034 (1,034) 3 24.000,00 = PMT × 5,346100621 × 0,904562092 PMT =
24.000,00 4,835879963
PMT = $ 4.962,90 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 24.000,00 CHS PV 3 n 3,4 i FV f FIN CHS PV 3,4 i 6 n PMT 24) a) Sendo:
Visor 0,00 -24.000,00 3,00 3,40 26.532,18 -26.532,18 3,40 6,00 4.962,90
PV = $ 8.700,00
Significado Limpa registradores Valor do financiamento menos 20% Meses de carência Taxa de juros mensal Valor futuro no mês 3 Valor presente no mês 3 Taxa de juros mensal Quantidade de prestações Valor dos pagamentos
i = 2,7% a.m. (0,027) n = 10 prestações mensais c = 2 meses PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PV = $ 8.700,00 0
1
PMT
PMT
PMT
PMT
3
4
5
10
2 carência
PV = PMT × FPV (i, n) × FAC (i, c) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n 1 × i (1 + i ) n
8.700,00 = PMT × FPV (2,7%, 10) × FAC( 2,7%, 2) 1 − (1 + 0,027) −10 1 8.700,00 = PMT × × 0,027 (1,027) 2 8.700,00 = PMT × 8,662303 × 0,948111 PMT =
8.700,00 8,212823
PMT = $ 1.059,32 Solução na HP-12C: Teclas Visor f FIN f REG 0,00 8.700,00 CHS PV -8.700,00 2 n 2,00 2,7 i 2,70 FV 9.176,14 f FIN CHS PV -9.176,14 2,7 i 2,70 10 n 10,00 PMT 1.059,32 b) Sendo: PV = $ 8.700,00 i = 2,7% a.m. (0,027) n = 3 prestações mensais PMT = ? (iguais e sucessivas)
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Meses de carência Taxa de juros mensal Valor futuro no mês 2 Valor presente no mês 2 Taxa de juros mensal Quantidade de prestações Valor dos pagamentos
Temos: PV = $ 8.700,00
PMT
0
PMT
1 n
PV =
2
3
PMT j / (1 + i )
j =0
8.700,00 =
PMT
4
5
10
j
PMT PMT PMT + + 4 (1 + 0,027 ) (1 + 0,027 ) (1 + 0,027 )10
8.700,00 = PMT
1 1 1 + + 1,027 1,112453263 1,305282261
8.700,00 = PMT × 2,638741823 8.700,00 2,638741823
PMT =
PMT = $ 3.297,03 25) Representando graficamente a dívida original, temos:
0
12.000,00
16.000,00
21.000,00
30.000,00
1
2
3
4
50.000,00 5 (bimestres)
Sendo: i = 28% a.a. (nominal) i = 2,33...% a.m.
i = (1 + 0,0233...) − 1 = 0,0472... ou 4,72…% a.b. 2
Primeiramente, encontramos o valor presente da dívida original da seguinte maneira: PV =
PV =
n j =0
PMT j / (1 + i )
j
12.000,00 16.000,00 21.000,00 30.000,00 50.000,00 + + + + 2 3 4 1,0472.. (1,0472...) (1,0472...) (1,0472...) (1,0472...)5
PV = 11.459,01 + 14.589,87 + 18.285,91 + 24.945,04 + 39.700,76 PV = $ 108.980,59 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 12.000 CHS g CF j 16.000 CHS g CF j 21.000 CHS g CF j 30.000 CHS g CF j 50.000 CHS g CF j 4,721111 i f NPV
Visor 0,00 0,00 12.000,00 16.000,00 21.000,00 30.000,00 50.000,00 4,72 108.980,59
Significado Limpa registradores Valor que ocorre no momento zero Parcela do mês 1 Parcela do mês 2 Parcela do mês 3 Parcela do mês 4 Parcela do mês 5 Taxa de juros bimestral Valor presente da dívida original
Representando graficamente o refinanciamento, temos:
0
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
4
PMT 10 (bimestres)
i = 40% a.a. (nominal) i = 3,33...% a.m. i = (1 + 0,0333...) − 1 = 0,0677... ou 6,77…% a.b. 2
Agora, encontramos o valor de cada pagamento bimestral da seguinte maneira: PV = PMT × FPV (i, n) 1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i 108.980,59 = PMT × FPV (6,77...%, 10)
1 − (1 + 0,067777777) −10 108.980,59 = PMT × 0,067777777 PMT =
108.980,59 7,096300634
PMT = $ 15.357,38
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 108.980,59 CHS PV 6,777777777 i 10 n PMT
Visor 0,00 -108.980,59 6,68 10,00 15.357,38
Significado Limpa registradores Valor presente da dívida original Taxa de juros bimestral Quantidade de prestações Valor de cada pagamento bimestral
26) a) Sendo:
PMT = $ 350,00 (pago de hoje a 30 dias) PV = $ 2.700,00 i = 2,3% a.m. (0,023) n=?
Temos: PV = $ 2.700,00 0
350,00
350,00
350,00
350,00
350,00
1
2
3
4
5
350,00 n=?
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
2.700,00 = 350,00 × FPV (2,3%, n)
2.700,00 = 350,00 ×
1 − (1 + 0,023) − n 0,023
2.700,00 × 0,023 = 1 − (1,023) − n 350,00 0,177428571 = 1 − (1,023) − n (1,023) − n = 0,822571429 Aplicando-se a propriedade de logaritmo, (ver Apêndice B): − n × log 1,023 = log 0,822571429
n = −
log 0,822571429 log 1,023
n = −
− 0,195319956 0,022739487
n = 8,5895 prestações Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 350 CHS PMT 2.700,00 PV 2,3 i n b) Sendo:
Visor 0,00 -350,00 2.700,00 2,30 9,00
Significado Limpa registradores Capacidade mensal do consumidor Valor do aparelho Taxa de juros Quantidade de prestações4
PMT =$ 350,00 (primeira prestação no ato) PV = $ 2.700,00 – $ 350,00 = $ 2.350,00 i = 2,3% a.m. (0,023) n=?
Temos: PV = $ 2.350,00 0
350,00
350,00
350,00
350,00
350,00
1
2
3
4
5
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
2.350,00 = 350,00 × FPV (2,3%, n)
2.350,00 = 350,00 ×
1 − (1 + 0,023) − n 0,023
2.350,00 × 0,023 = 1 − (1,023) − n 350,00 0,154428571 = 1 − (1,023) − n 4
A Calculadora HP-12C arredonda o valor de n
350,00 n=?
(1,023) − n = 0,845571429 Aplicando-se a propriedade de logaritmo, (ver Apêndice B): − n × log 1,023 = log 0,845571429 n = −
log 0,845571429 log 1,023
n = −
− 0,167742633 0,022739487
n = 7,3767 prestações Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 350 CHS PMT 2.350,00 PV 2,3 i n
Visor 0,00 -350,00 2.350,00 2,30 8,00
Significado Limpa registradores Capacidade mensal do consumidor Valor do aparelho menos a entrada Taxa de juros Quantidade de prestações
27) a) Sendo:
PMT = $ 1.200,00 PV = $ 9.000,00 i = 3,5% a.m. (0,035) n (primeiras) = ?
Temos: PV = $ 9.000,00
1.200,00
1.200,00
1.200,00
1
2
3
0
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
9.000,00 = 1.200,00 × FPV (3,5%, n)
1.200,00 n = ? (meses)
9.000,00 = 1.200,00 ×
1 − (1 + 0,035) − n 0,035
9.000,00 × 0,035 = 1 − (1,035) − n 1.200,00 0,2625 = 1 − (1,035) − n (1,035) − n = 0,7375 Aplicando-se a propriedade de logaritmo, (ver Apêndice B): − n × log 1,035 = log 0,7375 n = −
log 0,7375 log 1,035
n = −
− 0,304489191 0,034401427
n = 8,8511 prestações Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.200 CHS PMT 9.000,00 PV 3,5 i n b) Sendo:
Visor 0,00 -1.200,00 9.000,00 3,50 9,00
Significado Limpa registradores Valor das prestações Disponibilidade da pessoa Taxa de juro Quantidade de prestações
PMT = $ 1.200,00 PV = $ 9.000,00 i = 3,5% a.m. (0,035) FV = PV (1 + i )
n
FV = 9.000,00(1 + 0,035) FV = $ 31.052,40
36
n (últimas) = ? Temos:
1.200,00
1.200,00
1.200,00
FV = $ 31.052,40
0
1
2
3
n = ? (meses)
FV = PMT × FFV (i, n) FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 i
31.052,40 = 1.200,00 × FFV (3,5%, n)
31.052,40 = 1.200,00 ×
(1 + 0,035) n − 1 0,035
31.052,40 × 0,035 = (1,035) n − 1 1.200,00 0,905695 = (1,035) n − 1 (1,035) n = 1,905695 Aplicando-se a propriedade de logaritmo, (ver Apêndice B): n × log 1,035 = log 1,905695 n =
log 1,905695 log 1,035
n =
0,644846771 0,034401427
n = 18,7448 prestações Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.200 CHS PMT 31.052,40 FV 3,5 i n
Visor 0,00 -1.200,00 31.052,40 3,50 19,00
28) a) Sendo:
PV = $ 5.000,00
Significado Limpa registradores Valor das prestações Valor futuro Taxa de juro Quantidade de prestações
n = 8 prestações mensais i = 2,6% a.m. (0,026) PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
20
50
80
110
140
230 (dias)
0
O valor presente neste caso ocorrerá dez dias antes do momento zero do fluxo acima. Assim, para resolvermos o exercício, precisamos primeiramente descapitalizar o valor presente em dez dias PV =
5.000,00
(1 +
10
0,026 )30
PV = $ 4.957,40 Agora, aplicamos a expressão: PV = PMT × FPV (i, n) 1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i 4.957,40 = PMT × FPV (2,6%, 8)
4.957,40 = PMT ×
1 − (1 + 0,026) −8 0,026
4.957,40 = PMT × 7,139662469 PMT =
4.957,40 7,139662469
PMT = $ 694,35
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG
Visor 0,00
Significado Limpa registradores
4.957,40 CHS PV 8 n 2,6 i PMT b) Sendo:
-4.957,40 8,00 2,60 694,35
Valor presente Quantidade de prestações Taxa de juros Valor das prestações
PV = $ 5.000,00 n = 8 prestações mensais i = 2,6% a.m. (0,026) PMT = ? (iguais e sucessivas)
Temos:
0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
45
75
105
135
160
255 (dias)
O Valor presente neste caso ocorrerá quinze dias depois do momento zero do fluxo acima. Assim, para resolvermos o exercício, precisamos primeiramente capitalizar o valor presente em quinze dias 15
PV = 5.000,00 × (1 + 0,026 ) 30 PV = $ 5.064,58 Agora, aplicamos a expressão: PV = PMT × FPV (i, n) 1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i 5.064,58 = PMT × FPV (2,6%, 8)
5.064,58 = PMT ×
1 − (1 + 0,026) −8 0,026
5.064,58 = PMT × 7,139662469 PMT =
5.064,58 7,139662469
PMT = $ 709,36
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 5.064,58 CHS PV 8 n 2,6 i PMT
Visor 0,00 -5.064,58 8,00 2,60 709,36
Significado Limpa registradores Valor presente Quantidade de prestações Taxa de juros Valor das prestações
29) Sendo:
PV = $ 3.500,00 i = 2,35% a.m. (0,0235) PMT = $ 270,00 n=?
Temos: PV = $ 3.500,00
270,00
270,00
270,00
1
2
3
0
270,00 n = ? (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
3.500,00 = 270,00 × FPV (2,35%, n)
1 − (1 + 0,0235) − n 3.500,00 = 270,00 × 0,0235 3.500,00 × 0,0235 = 1 − (1,0235) − n 270,00 0,304629630 = 1 − (1,0235) − n (1,0235) − n = 0,695370370 Aplicando-se a propriedade de logaritmo, (ver Apêndice B): − n × log 1, 0235
n = −
= log 0 , 695370370
log 0,695370370 log 1,0235
n = −
− 0,363310668 0,023228126
n = 15,6410 prestações Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 3.500,00 CHS PV 2,35 i 270 PMT n
Visor 0,00 -3.500,00 2,35 270,00 16,00
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Taxa de juros Valor das prestações Quantidade de pagamentos
30) Sendo:
PV = $ 38.000,00 n = 3 pagamentos trimestrais i = 8,5% a.t. (0,085) PMT = ? (crescente em razão geométrica de razão 2)
Temos: PV = $ 38.000,00
PMT 1
0
PV =
PMT 2
1 n j =0
2
PMT j / (1 + i )
PMT 3 3
j
38.000,00 =
PMT 2 × PMT 4 × PMT + + 2 1 + 0,085 (1 + 0,085) (1 + 0,085)3
38.000,00 =
PMT 2 × PMT 4 × PMT + + 1,085 1,177225 1,277289125
38.000,00 = PMT
1 2 4 + + 1,085 1,177225 1,277289125
38.000,00 = PMT
1,503656690 + 1,385858701 × 2 + 1,277289125 × 4 1,631467509
38.000,00 = PMT
9,384527210 1,631467509
38.000,00 5,752199880
PMT =
PMT = $ 6.606,17 Logo:
PMT1 = $ 6.606,17 PMT2 = 2 × $ 6.606,17 = $ 13.212,34 PMT1 = 4 × $ 6.606,17 = $ 26.424,67
31) Representando graficamente as prestações intermediárias, temos: PV
18.000,00
0
3
24.000,00 7
36.000,00 12
Trazendo as prestações intermediárias a valor presente no momento zero, temos: PV =
∞
j =1
PV =
PMT j
(1 + i ) j
18.000,00 24.000,00 36.000,00 + + 3 7 (1 + 0,032) (1 + 0,032) (1 + 0,032)12
PV = 16.376,96 + 19.251,00 + 24.668,69 PV = $ 60.296,66 Descontando o valor encontrado e o valor da entrada do valor total do imóvel, temos: Valor do imóvel
$ 180.000,00
Valor da entrada (10%)
$ 18.000,00
Valor presente das prestações
$ 60.296,66
Valor restante a ser pago
$ 101.703,34
Agora, encontramos o valor das prestações mensais. Sendo:
PV = $ 101.703,34 n = 12 prestações mensais i = 3,2% a.m. (0,032) PMT = ? (iguais e sucessivas)
Temos:
0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
4
5
PMT 12 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
101.703,34 = PMT × FPV (3,2%, 12)
101.703,34 = PMT ×
1 − (1 + 0,032) −12 0,032
101.703,34 = PMT × 9,836204338 PMT =
101.703,34 9,836204338
PMT = $ 10.339,69 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 101.703,34 CHS PV 12 n 3,2 i PMT 32) Sendo:
Visor 0,00 -101.703,34 12,00 3,20 10.339,69
PV = $ 54.000,00 n = 18 prestações mensais
Significado Limpa registradores Valor presente Quantidade de prestações Taxa de juros Valor das prestações
i = 2,9% a.m. (0,029) PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos:
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
4
5
0
PMT 18 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
54.000,00 = PMT × FPV (2,9%, 18)
1 − (1 + 0,029) −18 54.000,00 = PMT × 0,029 54.000,00 = PMT × 13,87051550 PMT =
54.000,00 13,87051550
PMT = $ 3.893,15 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 54.000,00 CHS PV 18 n 2,9 i PMT
Visor 0,00 -54.000,00 18,00 2,90 3.893,15
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Quantidade de prestações Taxa de juros Valor das prestações
Como a empresa apresentou dificuldades financeiras quando da 7ª prestação, as 7 primeiras prestações de $ 3.893,15 foram liquidadas. Logo, a dívida da empresa no final do sétimo mês é de:
PMT = $ 3.893,15 i = 2,9% a.m. (0,029)
n = 7 meses FV = ? FV = PMT × FFV (i, n) FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 i
FV = 3.893,15 × FFV (2,9%, 7)
FV = 3.893,15 ×
(1 + 0,029) 7 − 1 0,029
FV = 3.893,15 × 7,639303621 FV = $ 29.740,95 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 3.893,15 CHS PMT 2,9 i 7 n FV
Visor 0,00 -3.893,15 2,90 7,00 29.740,95
Significado Limpa registradores Valor da prestação Taxa de juros Prazo em meses Valor pago até o 7º mês
Agora, capitalizamos o valor da dívida para o 7º mês: FV = PV (1 + i ) n FV = 54.000,00 (1 + 0,029) 7 FV = $ 65.693,15 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 54.000 CHS PV 2,9 i 7 n FV
Visor 0,00 -54.000,00 2,90 7,00 65.693,15
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Taxa de juros Prazo em meses Valor do financiamento 7º mês
Então, o valor líquido do financiamento no 7º mês é de $ 35.952,20 ($ 65.693,15 – $ 29.740,95). Calculamos agora o valor das prestações no refinanciamento. Sendo:
PV = $ 35.952,20
n = 20 prestações mensais i = 4,0% a.m. (0,04) PMT = ? (iguais e sucessivas) Temos: PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
4
5
0
PMT 20 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
35.952,20 = PMT × FPV (4%, 20)
35.952,20 = PMT ×
1 − (1 + 0,04) −20 0,04
35.952,20 = PMT × 13,59032635 PMT =
35.952,20 13,59032635
PMT = $ 2.645,43 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 35.952,20 CHS PV 20 n 4 i PMT
Visor 0,00 -35.952,20 20,00 4,00 2.645,43
Significado Limpa registradores Valor do financiamento no 7º mês Quantidade de prestações Taxa de juros Valor das prestações
33) Supondo a compra de um móvel de $ 100,00, temos: PMT =
(Valor da compra - Entrada) × 1,2 4
PMT =
($ 100,00 - $ 20,00) × 1,2 4
PMT = $ 24,00 Sendo:
PV = $ 100,00 – $ 20,00 (entrada) = $ 80,00 n = 4 meses PMT = $ 24,00 (iguais e sucessivas) i=?
Temos: PV= 80,00 0
24,00
24,00
24,00
2
3
1
24,00 4 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n) 80,00 = 24,00 × FPV (i, 4) 80,00 =
24,00 24,00 24,00 24,00 + + + 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 4
Resolvendo-se: i = 7,71% a.m. Resposta: Não. O custo efetivo do crédito é de 7, 71% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 80,00 PV 24,00 CHS PMT 4 n i
Visor 0,00 80,00 -24,00 4,00 7,71
Significado Limpa registradores Valor à vista menos a entrada Valor da prestação Quantidade de prestações Custo efetivo mensal do crédito
34) Solução: PV =
11.300,00 12.700,00 14.100,00 15.500,00 16.900,00 + + + + + ... 2 3 4 1 + 0,035 (1 + 0,035) (1 + 0,035) (1 + 0,035) (1 + 0,035)5
... + ... +
18.300,00
(1 +
0,035) 25.300,00
6
(1 + 0,035)11
+ +
19.700,00
(1 +
0,035) 26.700,00
7
(1 + 0,035)12
+ +
21.100,00
(1 +
0,035) 28.100,00
8
(1 + 0,035)13
+ +
22.500,00
(1 +
0,035) 29.500,00
9
(1 + 0,035)14
+ +
23.900,00
(1 +
0,035) 30.900,00
10
+ ...
(1 + 0,035)15
PV = 10.917,87 + 11.855,59 + 12.717,39 + 13.507,35 + 14.229,35 + 14.887,06 + ... ... + 15.484,02 + 16.023,58 + 16.508,95 + 16.943,16 + 17.329,13 + 17.669,61 + ... ... + 17.967,26 + 18.224,56 + 18.443,92 PV = $ 232.708,80 35) Os fluxos de caixa estão ilustrados no enunciado do exercício. a)
PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
PV = 70,00 × FPV (3%, 48)
PV = 70,00 ×
1 − (1 + 0,03) −48 0,03
PV = 70,00 × 25,26670664 PV = $ 1.768,67 b)
PV = 70,00 × (1 + 0,03) + 100,00 +
... +
... +
300,00
(1 + 0,03)
3
400,00
(1 + 0,03)
7
+
+
300,00
(1 + 0,03) 500,00
4
(1 + 0,03)8
+
200,00 300,00 + + ... 1 + 0,03 (1 + 0,03)2
400,00
(1 + 0,03)
5
+
400,00
(1 + 0,03)6
+ ...
PV = 72,10 + 100,00 + 194,17 + 282,78 + 274,54 + 266,55 + ... ... + 345,04 + 334,99 + 325,24 + 394,70 PV = $ 2.590,12 c)
PV = PMT × FPV (i, n) 1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i PV = 200,00 × FPV (3%,16)
PV = 200,00 ×
1 − (1 + 0,03) −16 0,03
PV = 200,00 × 12,56110203 PV = $ 2.512,22 (no momento 8) Determinando o Valor presente no momento 0, temos: PV =
2.512,22 (1 + 0,03) 8
PV = $ 1.983,17
d)
PV =
100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 + + + + 3 4 5 1 + 0,03 (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03)8
PV = 97,09 + 91,51 + 88,85 + 86,26 + 78,94
e)
PV = $ 442,65 PMT PV = i PV =
300,00 0,03
PV = $ 10.000,00 36) Os fluxos de caixa estão ilustrados no enunciado do exercício. a)
FV = PMT × FFV (i, n) FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 i
FV = 40,00 × FFV (5%, 60)
(1 + 0,05) 60 − 1 0,05
FV = 40,00 ×
FV = $ 14.143,35 b)
FV = PMT × FFV (i, n) + Entrada Atualizada (1 + i ) n − 1 FV = PMT × + Entrada × (1 + i ) n i FV = 100,00 × FFV (5%,15) + Entrada (5%, 15)
(1 + 0,05)15 − 1 15 FV = 100,00 × + 90,00 × (1 + 0,05) 0,05 FV = $ 2.344,96 c)
FV = PMT × FFV (i, n) FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 i
FV = 120,00 × FFV (5%, 15)
FV = 120,00 ×
(1 + 0,05)15 − 1 0,05
FV = $ 2.589,43 d)
FV = 100,00 × (1,05)11 + 100,00 × (1,05)10 + 100,00 × (1,05) 9 + ... ... + 300,00 × (1,05) 7 + 300,00 × (1,05) 6 + 300,00 × (1,05) 5 + ... ... + 500,00 × (1,05) 3 + 500,00 × (1,05) 2 + 500,00 × (1,05) + 700,00 FV = 171,03 + 162,89 + 155,13 + 422,13 + 402,03 + 382,88 + ... ... + 578,81 + 551,25 + 525,00 + 700,00 FV = $ 4.051,16
37) Para 3 anos Primeiramente, determinamos o valor acumulado com os depósitos mensais Sendo:
n = 36 meses PV = $ 7.750,00 PMT = $ 9.000,00 i = 2,5% a.m. (0,025) FV = ? FV = PMT × FFV (i, n) + PV Atualizado FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 + PV (1 + i) n i
FV = 9.000,00 × FFV (2,5%, 36) + PV (2,5%, 36)
(1 + 0,025) 36 − 1 36 FV = 9.000,00 × + 7.750,00 × (1 + 0,025) 0,025 FV = 9.000,00 × 57,30141264 + 7.750,00 × 2,432535316 FV = $ 534.564,86 Solução na HP-12C:
Teclas f FIN f REG 9.000 CHS PMT 2,5 i 36 n FV 7.750 < ENTER > 1,025 < ENTER > 36 y x < + >
Visor 0,00 -9.000,00 2,50 36,00 515.712,71 7.750,00 1,03 534.564,86
Significado Limpa registradores Valor dos depósitos Taxa de juros Prazo em meses Valor futuro dos depósitos Saldo inicial Taxa de Juros FV dos depósitos + saldo inicial
Agora, determinamos o valor acumulado das retiradas Sendo:
n = 12 saques nos três anos PMT = $ 13.000 (trimestrais) 3 i = 2,5% a.m. (0,025) = (1 + 0,025) − 1 = 7,69...% a.t. FV = ? FV = PMT × FFV (i, n) + PV FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 + PV i
FV = 13.000,00 × FFV (7,69...%, 12)
FV = 13.000,00 ×
(1 + 0,076890625)12 − 1 0,076890625
FV = 13.000,00 × 18,63081898 FV = $ 242.200,65 Solução na HP-12C: Teclas Visor Significado f FIN f REG 0,00 Limpa registradores 13.000,00 CHS PMT -13.000,00 Valor das retiradas 7,6890625 i 7,69 Taxa de juros trimestrais 12 n 12,00 Quantidade de retiradas FV 242.200,65 Valor futuro das retiradas Por fim, basta subtrairmos o valor acumulado das retiradas do valor acumulado dos depósitos. Ou seja: FV dos depósitos + saldo inicial FV das retiradas trimestrais
$ 534.564,86 ($ 242.200,65)
Montante acumulado ao final de 3 anos
$ 292.364,21
Para 8 anos Primeiramente, determinamos o valor acumulado com os depósitos mensais Sendo:
n = 96 meses PV = $ 7.750,00 PMT = $ 9.000,00 i = 2,5% a.m. (0,025) FV = ? FV = PMT × FFV (i, n) + PV Atualizado (1 + i ) n − 1 FV = PMT × + PV (1 + i) n i FV = 9.000,00 × FFV (2,5%, 96) + PV (2,5%, 96)
FV = 9.000,00 ×
(1 + 0,025) 96 − 1 96 + 7.750,00 × (1 + 0,025) 0,025
FV = 9.000,00 × 388,1057580 + 7.750,00 × 10,70264395 FV = $ 3.575.897,31 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 9.000 CHS PMT 2,5 i 96 n FV 7.750 < ENTER > 1,025 < ENTER > 96 y x < + >
Visor 0,00 -9.000,00 2,50 36,00 3.492.951,82 7.750,00 1,03 3.575.897,31
Significado Limpa registradores Valor dos depósitos Taxa de juros Prazo em meses Valor futuro dos depósitos Saldo inicial Taxa de Juros FV dos depósitos + saldo inicial
Agora, determinamos o valor acumulado das retiradas Sendo:
n = 32 saques nos três anos PMT = $ 13.000 (trimestrais) 3 i = 2,5% a.m. (0,025) = (1 + 0,025) − 1 = 7,69...% a.t. FV = ?
FV = PMT × FFV (i, n) + PV FV = PMT ×
(1 + i ) n − 1 + PV i
FV = 13.000,00 × FFV (7,69...%, 32)
(1 + 0,076890625 ) 32 − 1 FV = 13.000,00 × 0,076890625 FV = 13.000,00 × 126,1876067 FV = $ 1.640.438,89 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 13.000,00 CHS PMT 7,6890625 i 32 n FV
Visor 0,00 -13.000,00 7,69 32,00 1.640.438,89
Significado Limpa registradores Valor das retiradas Taxa de juros trimestrais Quantidade de retiradas Valor futuro das retiradas
Por fim, basta subtrairmos o valor acumulado das retiradas do valor acumulado dos depósitos. Ou seja: FV dos depósitos + saldo inicial
$ 3.575.897,31
FV das retiradas trimestrais
($1.640.438,89)
Montante acumulado ao final de 3 anos
$ 1.935.458,42
38) Sendo:
FV = $ 31.000,00 n = 48 meses PV = $ 2.500,00 PMT = $ 290,00 (iguais e sucessivos) i=?
Temos:
PV = 2.500,00
290,00
290,00
290,00
290,00
290,00
0
1
2
3
4
48 (meses)
PV = PMT × FPV (i, n)
2.500,00 = 290,00 × FPV (i, 48) 2.500,00 =
290,00 290,00 290,00 290,00 290,00 + + + + ... + 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 48
Resolvendo-se: i = 2,16% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 31.000 FV 2.500 CHS PV 290 CHS PMT 48 n i
Visor 0,00 31.000,00 -2.500,00 -290,00 48,00 2,16
Significado Limpa registradores Montante desejado Depósito inicial Depósitos mensais Prazo em meses Taxa de juros que a conta deve pagar
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 8 – Coeficientes de Financiamento 1) a) Sendo:
i = 2,5% a.m. (0,025) n = 6 meses CF = ?
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
CF =
0,025 1 − (1 + 0,025) − 6
CF = 0,181550 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 2,5 i 6 n PMT
Visor 0,00 -1,00 2,50 6,00 0,181550
b) Sendo:
i = 2,1% a.m. (0,021) n = 12 meses CF = ?
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
CF =
0,021 1 − (1 + 0,021) − 12
CF = 0,095141 Solução na HP-12C:
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Taxa de juros Prazo em meses Coeficiente de financiamento
Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 2,1 i 12 n PMT
Visor 0,00 -1,00 2,10 12,00 0,095141
c) Sendo:
i = 1,7% a.m. (0,017) n = 20 meses CF = ?
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
CF =
0,017 1 − (1 + 0,017) − 20
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Taxa de juros Prazo em meses Coeficiente de financiamento
CF = 0,059401 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 1,7 i 20 n PMT
Visor 0,00 -1,00 1,70 20,00 0,059401
2) a) Sendo:
CF = 0,278744 n = 4 meses i=?
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
0,278744 =
i 1 − (1 + i ) − 4
Resolvendo-se: i = 4,5% a.m. Solução na HP-12C:
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Taxa de juros Prazo em meses Coeficiente de financiamento
Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 0,278744 PMT 4 n i
Visor 0,00 -1,00 0,28 4,00 4,50
b) Sendo:
CF = 0,081954 n = 18 meses i=?
Temos:
CF =
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Coeficiente de financiamento Prazo em meses Custo efetivo
i 1 − (1 + i ) − n
0,081954 =
i 1 − (1 + i ) − 18
Resolvendo-se: i = 4,46% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 0,081954 PMT 4 n i
Visor 0,00 -1,00 0,08 4,00 4,46
c) Sendo:
CF = 0,069817 n = 36 meses i=?
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
0,069817 =
i 1 − (1 + i ) − 36
Resolvendo-se: i = 6,17% a.m. Solução na HP-12C:
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Coeficiente de financiamento Prazo em meses Custo efetivo
Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 0,069817 PMT 36 n i
Visor 0,00 -1,00 0,07 36,00 6,17
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Coeficiente de financiamento Prazo em meses Custo efetivo
3) a) Representando graficamente, temos:
0
PMT
PMT
1
5
PMT 7
PMT
PMT
13
20 (meses)
Sabemos que i = 3% (0,03) CF = 1
Utilizando a expressão:
j =1
FAC (i, n ) j
1 1 1 1 1 + + + + 5 7 13 (1,03) (1,03) (1,03) (1,03) (1,03) 20
CF = 1
Temos:
t
CF = 1 (0,9708741 + 0,862609 + 0,813092 + 0,680951 + 0,553676) CF = 1 3,881201 CF = 0,257652 b) Representando graficamente, temos:
0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
3
6
10
15
21
PMT 27 (meses)
Sabemos que i = 3% (0,03) Utilizando a expressão:
Temos:
CF = 1
CF = 1
t j =1
FAC (i, n ) j
1 1 1 1 1 1 + + + + + 3 6 10 15 21 (1,03) (1,03) (1,03) (1,03) (1,03) (1,03) 27
CF = 1 (0,915142 + 0,837484 + 0,744094 + 0,641862 + 0,537549 + 0,450189)
CF = 1 4,126320 CF = 0,242347 4) a) Sendo:
n = 18 prestações mensais c = 3 meses i = 4% a.m. (0,04) CF = ?
Temos:
CF =
CF =
i
1 − (1 + i )
× (1 + i )
c
−n
0,04
1 − (1 + 0,04 )
× (1 + 0,04 )
3
− 18
CF = 0,078993 × 1,124864 CF = 0,088857 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 3 n 4 i FV f FIN CHS PV 4 i 18 n PMT
Visor 0,00 -1,00 3,00 4,00 1,12 -1,12 2,70 18,00 0,09
b) Sendo:
Financiamento = $ 18.000,00 PMT = ?
Temos:
PMT = 18.000,00 × 0,08857 PMT = $ 1.599,43 cada uma
5) a) Sendo:
CF = 0,110136 n = 10 prestações mensais i=?
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Meses de carência Taxa de juros mensal Valor futuro no mês 3 Valor presente no mês 3 Taxa de juros mensal Quantidade de prestações Coeficiente de financiamento
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
0,110136 =
i 1 − (1 + i) − 10
Resolvendo-se: i = 1,795% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 0,110136 PMT 10 n i
Visor 0,00 -1,00 0,11 10,00 1,795
b) Sendo:
CF = 0,239211 n = 5 prestações trimestrais i=?
Temos:
CF =
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Coeficiente de financiamento Quantidade de prestações Custo efetivo mensal
i 1 − (1 + i ) − n
0,239211 =
i 1 − (1 + i ) − 5
Resolvendo-se: i = 2,05% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 0,239211 PMT 5 n i 100 < ÷ > 1 3 1 x y x 1 100
Visor 0,00 -1,00 0,24 5,00 6,28 0,06 0,02 2,05
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Coeficiente de financiamento Quantidade de prestações Custo efetivo trimestral Taxa unitária trimestral Taxa unitária mensal Custo efetivo mensal
c) Sendo:
CF = 0,424666 n = 4 prestações semestrais i=?
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
0,424666 =
i 1 − (1 + i ) − 4
Resolvendo-se: i = 3,81% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 0,424666 PMT 4 n i 100 < ÷ > 1 6 1 x y x 1 100
Visor 0,00 -1,00 0,42 4,00 25,16 0,25 0,04 3,81
Significado Limpa registradores Unidade de capital emprestado Coeficiente de financiamento Quantidade de prestações Custo efetivo semestral Taxa unitária semestral Taxa unitária mensal Custo efetivo mensal
6) a) Sendo:
n = 24 prestações mensais c = 6 meses CF = 0,079604 i=?
Temos:
CF =
i
1 − (1 + i )
0,079604 =
i
1 − (1 + i )
Resolvendo-se: i = 3,74% a.m.
Solução na HP-12C:
× (1 + i )
c
−n
− 24
× (1 + 0,04 )
6
Teclas f FIN f REG 1 CHS g CF0 0 g CF j 6 g Nj 0,079604 g CF j 24 g N j f IRR
Visor 0,00 -1,00 0,00 6,00 0,08 24,00 3,74
Significado Limpa registradores Unidade monetária financiada Valor do fluxo na carência Meses de carência Coeficiente de financiamento Quantidade de prestações Custo efetivo do financiamento
b) Sendo:
n = 24 prestações mensais c = 4 meses CF = 0,079604 i=?
Temos:
CF =
i
1 − (1 + i )
0,079604 =
× (1 + i )
c
−n
i
1 − (1 + i )
− 24
× (1 + 0,04 )
4
Resolvendo-se: i = 4,26% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS g CF0 0 g CF j 4 g Nj 0,079604 g CF j 24 g N j f IRR
Visor 0,00 -1,00 0,00 4,00 0,08 24,00 4,26
Significado Limpa registradores Unidade monetária financiada Valor do fluxo na carência Meses de carência Coeficiente de financiamento Quantidade de prestações Custo efetivo do financiamento
7) Representando graficamente, temos:
0
PMT
PMT
PMT
3
5
9
Sabemos que i = 2,2% a.m.
PMT 15 (meses)
CF = 1
Utilizando a expressão:
Temos:
CF = 1
t j =1
FAC (i, n ) j
1 1 1 1 + + + 3 5 9 (1,022) (1,022) (1,022) (1,022)15
CF = 1 (0,936801 + 0,896903 + 0,8221333 + 0,721500) CF = 1 3,377337 CF = 0,296091 8) Sendo:
n = 24 prestações mensais c = 1 mês i = 3,14% a.m. (0,0314) CF = ?
Temos:
CF =
CF =
i
1 − (1 + i )
× (1 + i )
c
−n
0,0314
1 − (1 + 0,0314 )
− 24
× (1 + 0,0314 )
CF = 0,059941 × 1,0314 CF = 0,061824 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0314 CHS PV 24 n 3,14 i PMT
Visor 0,00 -1,03 24,00 3,14 0,061824
9) a) Sendo:
n = 18 prestações mensais i = 2,56% a.m. (0,0256) CF = ?
Significado Limpa registradores Unidade monetária corrigida Quantidade de prestações Taxa de juros Coeficiente de financiamento
Temos:
CF =
i 1 − (1 + i ) − n
CF =
0,0256 1 − (1 + 0,0256) − 18
CF = 0,070031 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS PV 2,56 i 18 n PMT b) Sendo:
Temos:
Visor 0,00 -1,00 2,56 18,00 0,070031
Significado Limpa registradores Unidade de capital financiado Taxa de juros Quantidade de prestações Coeficiente de financiamento
n = 18 prestações mensais i = 2,56% a.m. (0,0256) CF (Entrada) = ?
1
CF (Entrada) = 1+ CF (1 + 17) =
1 − (1 + i ) i 1
− ( n − 1)
1 − (1 + 0,0256 ) 1+ 0,0256
− (18 − 1)
CF (1 + 17) = 0,068283 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 1,0256 < ÷ > CHS PV 2,56 i 18 n PMT c) Sendo:
Visor 0,00 1,00 0,98 2,56 18,00 0,068283
n = 18 prestações mensais i = 2,56% a.m. (0,0256) c = 1 mês CF (Entrada) = ?
Significado Limpa registradores Unidade de capital financiado Descapitalização de 1 período Taxa de juros Quantidade de prestações Coeficiente de financiamento
Temos:
CF =
CF =
i
1 − (1 + i )
× (1 + i )
c
−n
0,0256
1 − (1 + 0,0256 )
− 18
× (1 + 0,0256 )
CF = 0,070031 × 1,0256 CF = 0,071824 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0256 CHS PV 18 n 2,56 i PMT
Visor 0,00 -1,03 18,00 2,56 0,071824
Significado Limpa registradores Unidade monetária corrigida Quantidade de prestações Taxa de juros Coeficiente de financiamento
10) Representando graficamente, temos: PMT 0
PMT
28
PMT
42
56 (dias)
Sabemos que i = 2,3% a.m. Utilizando a expressão:
Temos:
CF = 1
CF = 1
1 (1,023)
28 30
+
t j =1
FAC (i, n ) j
1 (1,023)
42 30
+
1 (1,023)
CF = 1 (0,97900 + 0,968666 + 0,958441) CF = 1 2,906107 CF = 0,344103
56 30
11) Representando graficamente, temos: PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
20
50
80
110
140
170
0
Sendo:
i = 3,7% (0,037) t = 30 dias a = 20 dias
Temos:
CFa =
CFa =
i
1 − (1 + i )
−n
PMT 200 (dias)
1
×
(1 + i )(t − a ) / t
0,037
1 − (1 + 0,037 )
−7
×
1
(1 + 0,037 )(30 − 20 ) / 30
CFa = 0,164767 × 0,987962 CFa = 0,162784 12) Representando graficamente, temos:
0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
40
70
100
130
160
190
220
Sendo:
CFp = 0,158933 n = 8 prestações mensais p = 40 dias t = 30 dias i=?
Temos:
CFp =
i
1 − (1 + i )
0,158933 =
× (1 + i )
(p −t) / t
−n
i
1 − (1 + i )
Resolvendo-se:
× (1 + i )
(40 − 30 ) / 30
− 30
PMT 250 (dias)
i = 5,24% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1 CHS g CF0
Visor 0,00 -1,00
0 g CF j 0,00 39 g N j 0,00 0,158933 g CF j 0,16 0 g CF j 0,00 29 g N j 0,00 0,158933 g CF j 0,16 0 g CF j 0,00 0,00 29 g N j 0,158933 g CF j 0,16 0 g CF j 0,00 29 g N j 0,00 0,158933 g CF j 0,16 0 g CF j 0,00 29 g N j 0,00 0,158933 g CF j 0,16 0 g CF j 0,00 29 g N j 0,00 0,158933 g CF j 0,16 0 g CF j 0,00 29 g N j 0,00 0,158933 g CF j 0,16 0 g CF j 0,00 29 g N j 0,00 0,158933 g CF j 0,16 f IRR 0,170500727 f FIN 100 CHS FV -100,17 100 PV 100,00 1 ENTER 30 ÷ n 0,03 i 5,24
13)
Significado Limpa registradores Unidade de capital financiada Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 40 Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 70 Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 100 Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 130 Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 160 Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 190 Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 220 Valor no momento zero Dias sem pagamento de prestação Valor da prestação no dia 250 Custo efetivo diário do financiamento Transformação para taxa mensal Transformação para taxa mensal Transformação para taxa mensal Custo efetivo mensal do financiamento
Sendo:
n = 10 prestações CF = 0,113269 TAC = 2% i=?
Supondo um financiamento hipotético de $ 1,00, temos: PV = $ 1,00 – 2% = $ 0,98 PV =
0,98 =
∞
PMT j
j =1
(1 + i ) j
0,113269 0,113269 0,113269 0,113269 0,113269 + + + + ... + 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )10
Resolvendo-se: i = 2,72% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0,98 CHS PV 0,113269 PMT 10 n i
Visor 0,00 -0,98 0,11 10,00 2,72
Significado Limpa registradores Unidade de capital financiada Coeficiente de financiamento Quantidade de prestações Taxa de juros mensal
14) Representando graficamente, temos: 5.000,00 0 1.500,00 Sendo:
1
2
3
4
5
PMT
PMT
PMT
PMT
6 (meses) PMT
i = 3%a.m. (0,03) n = 5 prestações mensais c = 1 mês Valor a financiar (PV) = $ 5.000,00 – 30% = $ 3.500,00 PMT = ?
Temos:
CF (c/ carência) =
CF =
i 1 − (1 + i )
0,03 1 − (1 + 0,03)
× (1 + i )
c
−n
× (1 + 0,03)
1
−5
CF = 0,218355 × 1,03 CF = 0,224905 PMT = PV × CF PMT = 3.500,00 × 0,224905 PMT = $ 787,17 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 3.500,00 CHS PV 1 n 3 i FV f FIN CHS PV 3 i 5 n PMT
Visor 0,00 -3.500,00 1,00 3,00 3.605,00 -3.605,00 3,00 5,00 787,17
Significado Limpa registradores Valor a financiar Meses de carência Taxa de juros mensal Valor futuro no mês 1 Valor presente no mês 1 Taxa de juros mensal Quantidade de prestações Valor de cada prestação
15) a) Sendo:
i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 4.000,00 n = 24 meses PMT = ?
Temos:
PMT = PV ×
i
1 − (1 + i )
PMT = 4.000,00 ×
−n
0,03
1 − (1 + 0,03)
PMT = 4.000,00 × 10,059047
− 24
PMT = $ 236,19 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 4.000,00 CHS PV 24 n 3 i PMT
Visor 0,00 -4.000,00 24,00 3,00 236,19
b) Sendo:
i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 2.500,00 n = 11 meses PMT = ?
Temos:
PMT = PV ×
Significado Limpa registradores Valor a financiar Quantidade de meses Taxa mensal de juros Termos do fluxo de caixa
1
1+
1 − (1 + i ) i
PMT = 2.500,00 ×
− ( n − 1)
1
1 − (1 + 0,03) 1+ 0,03
− (11− 1)
PMT = 2.500,00 × 0,104930 PMT = $ 262,32 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG g BEG 2.500,00 CHS PV 11 n 3 i PMT
Visor 0,00 -2.500,00 11,00 3,00 262,32
Significado Limpa registradores Valor a financiar Quantidade de meses Taxa mensal de juros Termos do fluxo de caixa
c) Sendo:
i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 6.000,00 n = 9 meses c = 3 meses PMT = ?
Temos:
PMT (c/ carência) = PV ×
i
1 − (1 + i )
× (1 + i )
c
−n
PMT = 6.000,00
0,03
1 − (1 + 0,03)
× (1 + 0,03)
3
−9
PMT = 6.000,00 × 0,140343 PMT = $ 842,06 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 6.00,00 CHS PV 3 n 3 i FV f FIN CHS PV 3 i 9 n PMT
Visor 0,00 -6.000,00 3,00 3,00 6.556,36 -6.556,36 3,00 9,00 842,06
Significado Limpa registradores Valor a financiar Meses de carência Taxa de juros mensal Valor futuro no mês 3 Valor presente no mês 3 Taxa de juros mensal Quantidade de meses Termos do fluxo de caixa
d) Sendo:
i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 9.000,00 n = 5 meses (ver fluxo no enunciado do exercício) PMT = ?
Utilizando a expressão:
PMT = PV × 1
Temos: PMT = 9.000,00 × 1
t j =1
FAC (i, n ) j
1 1 1 1 1 + + + + 3 7 15 21 (1,03) (1,03) (1,03) (1,03) (1,03) 36
PMT = 9.000,00 × 1 (0,915142 + 0,813092 + 0,641862 + 0,537549 + 0,345032 ) PMT = 9.000,00 × 1 3,252677 PMT = $ 2.766,95 e) Sendo:
i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 10.000,00 n = infinito (ver fluxo no enunciado do exercício) PMT = ?
Temos:
PV =
PMT i
10.000,00 =
PMT 0,03
PMT = 0,03 × 10.000,00 PMT = $ 300,00 f) Sendo:
i = 3%a.m. (0,03) PV = $ 7.000,00 n = 4 meses PMT = ? (ver fluxo no enunciado do exercício)
Temos:
PV =
n j =0
PMT j / (1 + i )
j
7.000,00 =
PMT PMT 2 × PMT 3 × PMT + + + 2 3 1 + 0,03 (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03)4
7.000,00 =
PMT PMT 2 × PMT 3 × PMT + + + 1 + 0,03 1,060900 1,092727 1,125509
7.000,00 = PMT
1 1 2 3 + + + 1,03 1,060900 1,092727 1,125509
7.000,00 = PMT
1,304773 + 1,266770 + 2,459748 + 3,582157 1,343916
7.000,00 = PMT
8,613448 1,343916
PMT =
7.000,00 6,409214
PMT = $ 1.092,18
g) Sendo:
Temos:
i = 3%a.m. (0,03) FV = $ 12.000,00 n = 10 meses PMT = ? (1 + i ) n − 1 FV = PMT × i
12.000,00 = PMT ×
(1 + 0,03)10 − 1 0,03
12.000,00 = PMT × 11,463879 PMT =
12.000,00 11,463879
PMT = $ 1.046,77 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 12.000 CHS FV 3 i 10 n PMT
Visor 0,00 -12.000,00 3,00 10,00 1.046,77
Significado Limpa registradores Valor futuro Taxa de juros Quantidade de meses Termos do fluxo de caixa
h) Sendo:
Temos:
i = 3%a.m. (0,03) = (1 + 0,03) − 1 = 6,09% a.b. (0,0609) FV = $ 24.000,00 n = 7 prestações bimestrais PMT = ? 2
(1 + i ) n − 1 FV = PMT × i
24.000,00 = PMT ×
(1 + 0,0609) 7 − 1 0,0609
24.000,00 = PMT × 8,416908
PMT =
24.000,00 8,416908
PMT = $ 2.851,40 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 24.000 CHS FV 6,09 i 7 n PMT
Visor 0,00 -12.000,00 6,09 7,00 2.851,40
Significado Limpa registradores Valor futuro Taxa bimestral de juros Quantidade prestações Termos do fluxo de caixa
16) Valor global do bem arrendado $ 3.500.000,00 Valor residual garantido (VRG) – 6% $ 210.000,00 Prazo 36 meses Mensal Periodicidade dos pagamentos Coeficiente de arrendamento/financiamento – CA 0,054732 Custo do Bem a Recuperar
= = =
Valor Global do Bem – VRG 3.500.000,00 – 210.000,00 $ 3.290.000,00
Valor das contraprestações: custo do bem a recuperar x CA ($)
Encargos sobre o VRG ($)
1 a 35
3.290.000,00 × 0,054732 = 180.068,28
210.000,00 × 4,25% = 8.925,00
-
188.993,28
36
180.068,28
8.925,00
210.000,00
398.993,28
Mês
ContraAmortização prestações do VRG ($) totais ($)
Determinando o custo efetivo do arrendamento:
3.500.000,00 = [180.068,28 × FPV (i,35)] + [398.993,28 × FAC (i,36)] Resolvendo-se: i = 4,25% a.m. 12 ou (1 + 0,0425) − 1 = 0,648... ou 64,8% a.a. Solução na HP-12C:
Teclas f FIN f REG 3.290.000 CHS PV 180.068,28 PMT 36 n i f FIN 100 CHS FV 100 PV 30 ENTER 360 ÷ n i
Visor 0,00 -3.290.000,00 180.068,28 36,00 4,25 -104,25 100,00 0,08 64,78
Significado Limpa registradores Custo do bem a recuperar Valor das contra-prestações Quantidade de pagamentos mensais Custo efetivo mensal do arrendamento Transformação para taxa anual Transformação para taxa anual Transformação para taxa anual Custo efetivo anual do arrendamento
17) a) Representando graficamente, temos: Dívida original 15.000,00 25.000,00 0
1
2
3
4 (meses)
Nova proposta
0
1
2
3
PMT
PMT
PMT
5
6
7
4
PV (momento 4) = 15.000,00 × (1 + 0,017 ) = 15.255,00 25.000,00 40.255,00 Então: PV = $ 40.255,11 i = 1,7% a.m. (0,017) n = 4 meses PMT = ? Logo:
1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i
40.255,00 = PMT ×
1 − (1 + 0,017) −4 0,017
40.255,00 = PMT × 3,835613
PMT 8 (meses)
PMT =
40.255,00 3,835613
PMT = $ 10.495,06 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 15.000 1,017 25.000 CHS PV 1,7 i 4 n PMT
Visor 0,00 15.000,00 15.255,00 -40.255,00 1,70 4,00 10.495,06
Significado Limpa registradores Valor do pagamento no mês 3 Capitalização de 1 mês Pagamento dos meses 3 e 4 Taxa de juros negociada Quantidade de pagamentos Valor de cada parcela a ser paga
b) Representando graficamente, temos:
0
1
2
3
PMT
PMT
2 PMT
5
6
7
4
2 PMT 8 (meses)
PV (momento 4) = $ 40.255,00 Utilizando a expressão:
PV =
n j =0
Temos:
PMT j / (1 + i )
j
40.255,00 =
PMT PMT 2 × PMT 2 × PMT + + + 2 3 1 + 0,017 (1 + 0,017 ) (1 + 0,017 ) (1 + 0,017 )4
40.255,00 =
PMT PMT 2 × PMT 2 × PMT + + + 1,017 1,034289 1,051872 1,069754
40.255,00 = PMT
1 1 2 2 + + + 1,017 1,034289 1,051872 1,069754
40.255,00 = PMT (0,983284 + 0,966848 + 1,901372 + 1,869589) 40.255,00 = PMT × 5,721093
PMT =
40.255,00 5,721093
PMT = $ 7.036,24 Então:
PMT5 = $ 7.036,24 PMT6 = $ 7.036,24 PMT7 = 2 × $ 7.036,24 = $ 14.072,49 PMT8 = 2 × $ 7.036,24 = $ 14.072,49
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 9 – Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda 1) O cálculo desse custo é mais facilmente apurado tomando-se uma base = 100. Assim, para um custo do dinheiro de 3,4% a.m., tem-se: (a) Venda a vista PV = 100 – 5% = 95 (b) Venda a prazo Entrada = 100 × 40% = 40 Em 30 dias = 100 – 40 / 2 = 30 Em 60 dias = 100 – 40 / 2 = 30 40
30
30
0
1
2 (mês)
PV = 40 +
30 30 + 1,034 (1,034 )2
PV = 97,07 Por apresentar menor valor presente (PV), a proposta (a) é a que apresenta o maior custo. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 30 CHS PMT 3,4 i 2 n PV 40
Visor 0,00 -30,00 3,40 2,00 57,07 97,07
Significado Limpa registradores Valor das prestações Custo do dinheiro Quantidade de prestações PV das prestações PV das prestações + entrada
2) O cálculo dessas perdas é mais facilmente apurado tomando-se uma base = 100. Assim, para um custo do dinheiro de 2,9% a.m., tem-se:
(a) Venda a vista PV = 100 – 6% = 94 Perda percentual = 100 – 94 = 6% (b) Venda a prazo I 100 0 PV =
1 (mês) 100 = 97,2 1,029
Perda percentual = 100 – 97,2 = 2,8% (b) Venda a prazo II Entrada = 100 / 5 = 20 Em 30 dias = 100 / 5 = 20 Em 60 dias = 100 / 5 = 20 Em 90 dias = 100 / 5 = 20 Em 120 dias = 100 / 5 = 20 20
20
20
20
20
0
1
2
3
4 (mês)
PV = 20 +
20 20 20 20 + + + 2 3 1,029 (1,029 ) (1,029) (1,029)4
PV = 94,5 Perda percentual = 100 – 94,5 = 5,5% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 20 CHS PMT 2,9 i 4 n PV 20 3)
Visor 0,00 -20,00 2,90 4,00 74,52 94,52
Significado Limpa registradores Valor das prestações Custo do dinheiro Quantidade de prestações PV das prestações PV das prestações + entrada
Tomando-se uma base = 100, para um custo do dinheiro de 2,5% a.m., tem-se: Condições originais: Valor Líquido = 100 – 12% = 88 88 0 PV =
1 (mês) 88 = 85,85 1,025
Perda percentual = 100 – 85,85 = 14,15% Assim, a empresa pode conceder um desconto de 14,15% para pagamento a vista. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 88 CHS PMT 2,5 i 1 n PV CHS ENTER 100
Visor 0,00 -88,00 2,50 1,00 85,85 14,15
Significado Limpa registradores Valor da prestação Custo do dinheiro Quantidade de prestações Valor presente Desconto p/ pagamento a vista
4) Tomando-se uma base = 100, para uma taxa corrente de juros de 3,2% a.m., tem-se:
Plano I: Valor Líquido = 100 – 15% = 85 85 0 PV =
1 (mês) 85 = 82,4 1,032
Perda percentual = 100 – 82,36 = 17,6% Solução na HP-12C:
Teclas f FIN f REG 85 CHS PMT 3,2 i 1 n PV
Visor 0,00 -85,00 3,20 1,00 82,36
Significado Limpa registradores Valor da prestação Taxa de juros Quantidade de prestações Valor presente
Plano II: Valor Líquido = 100 – 15% = 85 10
100
0
1 (mês)
PV = 10 −
100 = 86,9 1,032
Perda percentual = 100 – 86,9 = 13,1% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 100 CHS PMT 3,2 i 1 n PV 10 < – >
Visor 0,00 -100,00 3,20 1,00 96,90 86,90
Significado Limpa registradores Valor da prestação Taxa de juros Quantidade de prestações Valor presente da prestação PV total
5) Tomando-se uma base = 100, tem-se: Em 30 dias = 100 / 2 = 50 Em 60 dias = 100 / 2 = 50 0 PV =
1
100 2 (mês)
100 1,016 × 1,013
PV = 97,16 Redução do poder de compra = 100 – 97,16 = 2,84% Solução na HP-12C:
Teclas f FIN f REG 100 CHS FV 1,6 i 1 n PV CHS FV 1,3 i 1 n PV CHS ENTER 100
Visor 0,00 -100,00 1,60 1,00 98,43 -98,43 1,30 1,00 97,16 2,84
Significado Limpa registradores FV no momento 2 Inflação do segundo mês Atualização de um mês PV no momento 1 FV no momento 1 Inflação do primeiro mês Atualização de um mês PV total Redução do poder de compra
6) Tomando-se uma base = 100, para uma inflação mensal de 1,2% a.m., tem-se: 100 0 PV =
90 (dias) 100
(1,012 )3
= 96,5
Perda percentual = 100 – 96,5 = 3,5% Portanto, uma taxa de desconto de 3,5% torna equivalente a venda a vista e a venda para recebimento em 90 dias Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 100 CHS FV 3 n 1,2 i PV CHS ENTER 100
Visor 0,00 -100,00 3,00 1,20 96,48 3,52
7) Sendo:
PV = $ 1.210,00 FV = $ 1.294,00 n = 2 meses (60 dias) i=?
Significado Limpa registradores Valor tomado como base Prazo da operação Inflação mensal Valor presente Taxa de desconto
Temos:
PV =
FV (1 + i ) n
1.210,00 =
(1 + i )2
1.294,00
(1 + i )2
= 1,069421
Resolvendo-se: i = 3,41% a.m. Calculando o juro total: i = (1 + 0,0341) − 1 i = 0,069… ou 6,9% a.b. 2
Portanto, o acréscimo no preço de venda não cobriu o juro da venda a prazo. O reajuste no preço a prazo é de 6,9%, enquanto o custo financeiro atinge 8,5%. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.210 CHS PV 1.294 FV 2 n i f FIN 100 CHS FV 100 PV 30 ENTER 60 ÷ n i
Visor 0,00 -1.210,00 1.294,00 2,00 3,41 -103,41 100,00 0,05 6,94
8) Sendo:
PV = $ 800,00 – 8% = $ 736,00 FV = $ 800,00 n = 2 meses (60 dias) i=?
Temos:
PV =
FV (1 + i ) n
736,00 =
800,00
(1 + i )2
Significado Limpa registradores Preço a vista da mercadoria Preço a prazo da mercadoria Prazo de pagamento (60 dias) Taxa de juro mensal Transformação para taxa bimestral Transformação para taxa bimestral Transformação para taxa bimestral Custo efetivo total
(1 + i )2
= 1,086957
Resolvendo-se: i = 4,26% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 736 CHS PV 800 FV 2 n i
Visor 0,00 -736,00 800,00 2,00 4,26
Significado Limpa registradores Preço a vista da mercadoria Preço a prazo da mercadoria Prazo de pagamento (60 dias) Taxa mensal efetiva de juros
9) O cálculo dessa perda é mais facilmente apurado tomando-se uma base = 100. Assim, para um custo do dinheiro de 3,4% a.m., tem-se: Entrada = 100 × 40% = 40 Em 30 dias = 100 × 40% = 40 Em 60 dias = 100 × 20% = 20 (quitada automaticamente) 40
40
20
0
30
60 (dias)
PV = 40 +
40 1,034
PV = 78,7 Perda percentual = 100 – 78,7 = 21,3% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 40 CHS FV 3,4 i 1 n PV 40 CHS ENTER 100
Visor 0,00 -40,00 3,40 1,00 38,68 78,68 21,32
Significado Limpa registradores Valor da prestação em 30 dias Custo do dinheiro Prazo do 1º pagamento PV da prestação PV da prestação + entrada Perda percentual
10) Tomando-se por base uma venda de 100 e um custo do dinheiro de 3% a.m., tem-se: (a) custo da venda em 30 dias paga pontualmente: Valor Líquido = 100 – 20% = 80 PV =
80 1,03
PV = 77,67 Perda percentual = 100 – 77,67 = 22,33% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 80 CHS FV 3 i 1 n PV CHS ENTER 100
Visor 0,00 -80,00 3,00 1,00 77,67 22,33
Significado Limpa registradores Valor da venda em 30 dias Custo do dinheiro Prazo do 1º pagamento Valor presente da venda Custo da venda
(b) custo da venda pago com atraso de: •
3 dias Valor Líquido = 100 – 15% = 85 PV =
85 33
(1,03)30
PV = 82,28 Perda percentual = 100 – 82,28 = 17,72% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 85 CHS FV 3 i 33 ENTER 30 < ÷ > n PV CHS ENTER 100
Visor 0,00 -85,00 3,00 1,10 82,28 17,72
Significado Limpa registradores Valor da venda em 33 dias Custo do dinheiro Prazo do 1º pagamento Valor presente da venda Custo da venda
•
4 dias Valor Líquido = 100 – 10% = 90 PV =
90 34
(1,03)30
PV = 87,03 Perda percentual = 100 – 87,03 = 12,97% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90 CHS FV 3 i 34 ENTER 30 < ÷ > n PV CHS ENTER 100 •
Visor 0,00 -90,00 3,00 1,13 87,03 12,97
Significado Limpa registradores Valor da venda em 34 dias Custo do dinheiro Prazo do 1º pagamento Valor presente da venda Custo da venda
6 dias Valor Líquido = 100 – 10% = 90 PV =
90 36
(1,03)30
PV = 86,86 Perda percentual = 100 – 86,86 = 13,14% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90 CHS FV 3 i 36 ENTER 30 < ÷ > n PV CHS ENTER 100
Visor 0,00 -90,00 3,00 1,20 86,86 13,14
Significado Limpa registradores Valor da venda em 36 dias Custo do dinheiro Prazo do 1º pagamento Valor presente da venda Custo da venda
•
7 dias Valor Líquido = 100 – 5% = 95 PV =
95 37
(1,03)30
PV = 91,6 Perda percentual = 100 – 91,6 = 8,4% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 95 CHS FV 3 i 37 ENTER 30 < ÷ > n PV CHS ENTER 100 •
Visor 0,00 -95,00 3,00 1,23 91,60 8,40
Significado Limpa registradores Valor da venda em 34 dias Custo do dinheiro Prazo do 1º pagamento Valor presente da venda Custo da venda
10 dias Valor Líquido = 100 – 5% = 95 PV =
95 40
(1,03) 30
PV = 91,33 Perda percentual = 100 – 91,33 = 8,67% Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 95 CHS FV 3 i 40 ENTER 30 < ÷ > n PV CHS ENTER 100
Visor 0,00 -95,00 3,00 1,33 91,33 8,67
Significado Limpa registradores Valor da venda em 34 dias Custo do dinheiro Prazo do 1º pagamento Valor presente da venda Custo da venda
11) Tomando-se como base uma compra no valor de 100 e uma taxa de juro de 2,6% a.m., temse: (a) Compra para um único pagamento em 45 dias 100 0 PV =
45 (dias) 100
(1,026 )
45 30
= 96,22
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 100 CHS FV 2,6 i 45 ENTER 30 < ÷ > n PV
Visor 0,00 -100,00 2,60 1,50 96,22
Significado Limpa registradores Valor da compra p/45 dias Taxa de juro Prazo do 1º pagamento Valor presente da compra
(b) Compra para 4 pagamentos Valor das prestações = 100 / 4 = 25
0 PV =
25
25
25
30
60
90
25 25 25 25 + + + 2 3 1,026 (1,026 ) (1,026) (1,026 )4
PV = 93,82 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 25 CHS PMT 2,6 i 4 n PV
Visor 0,00 -25,00 2,60 4,00 93,82
Significado Limpa registradores Valor das prestações Taxa de juro Quantidade de prestações PV das prestações
Resposta: Por apresentar o menor valor presente, a melhor alternativa é b.
25 120 (dias)
12) a) Compra a vista Compra/Pagamento $ 3.200,00
ICMS 18% × 3.200,00 = $ 576,00
0
17 (dias)
PV = 3.200,00 −
576,00 17
(1,021)30
PV = $ 2.630,74 b) Compra para pagamento ao final de um mês Compra/Pagamento $ 3.295,00 0 PV =
30
ICMS 18% × 3.295,00 = $ 593,10 47 (dias)
3.295,00 593,10 − 47 1,021 (1,021) 30
PV = $ 2.653,13 c) Compra para pagamento ao final de dois meses Compra/Pagamento $ 3.300,00 0 PV =
60 3.300,00
(1,021)
2
−
594,00 77
(1,021) 30
PV = $ 2.602,50 13) Graficamente, tem-se a seguinte representação:
ICMS 18% × 3.300,00 = $ 594,00 77 (dias)
Entrada Venda Recebimento no estoque do veículo da venda ICMS ($ 10.500,00) $ 16.700,00 ($ 1.750,00) 0
17
PVVenda =
27
16.700,00
(1,0016)
10
Comissão s/ venda ($ 550,00)
31
− 10.500,00(1,0016 ) − 17
Impostos s/ venda ($ 482,00)
37 1.750,00
(1,0009)
14
−
47 (dias)
550,00
(1,0009)
20
−
482,00
(1,0009)30
PVVenda = 16.435,14 − 10.789,29 − 1.728,10 − 540,19 − 469,17 PVVenda = $ 2.908,39 14) Graficamente, tem-se a seguinte representação: Compra Estoque 1º pagamento $ 180,00 0
Venda/ Comissão s/ venda P 12 Data Focal
Recebimento da venda
Pagamento 2ª prestação $ 180,00
27
30
Imposto s/ venda 20% s/ P
Pagamento 3ª Prestação $ 180,00
37
60 (dias)
Sabe-se ainda: Margem de lucro = 15% s/ preço de venda (0,15) Taxa de aplicação = 1,2% a.m. (0,012) Taxa de captação = 2,5% a.m. (0,025) -
Pela estrutura do demonstrativo de resultados, tem-se: = P / (1,025)
15 / 30
Preço de Venda a Vista 12
Custo de Compra: 180,00(1,025) 30 +
180,00
(1,012)
18 / 30
25
+
180,00
(1,012)48 / 30
= 537,10
Impostos s/Venda: 0,20P / (1,012 ) 30
= 0,198021754 P
Comissão s/Venda:
= 0,03 P MARGEM
= 0,15 P
P
Resolvendo-se:
(1,025)15 / 30
− 537,10 − 0,1980 P − 0,03P = 0,15 P
0,9877 P − 537,10 − 0,1980 P − 0,03P = 0,15 P 0,6097 P = 537,10 P = $ 880,90 15) a) Antes do aumento
Custo da compra 100,00 – 12% = $ 88,00
0 PV =
30 (dias) 88,00
(1,0011)30
PV = $ 85,14 Após o aumento
Custo da compra 108,00 – 12% = $ 95,04
0 PV =
30 (dias) 95,04
(1,0011)30
PV = $ 91,96 b) Receita de venda: Custo do produto: Impostos: Comissão:
$ 100,00 × 8% $ 108,00 – 12% $ 108,00 × 3,6% $ 108,00 × 3%
= $ 108,00 = $ 95,04 = $ 3,89 = $ 3,24
Como a empresa vai demorar vinte dias para vender o produto, a representação gráfica fica assim: Venda/ Recebimento $ 108,00
Pagamento Fornecedor $ 95,04
Impostos 3,6% $ 3,89
0
10
15
PV = 108,00 −
95,04
(1,0011)
10
−
3,89
(1,0011)
15
Comissão 3% $ 3,24 20 (dias)
−
3,24
(1,0011)20
PV = 108,00 − 94,00 − 3,83 − 3,17 PV = $ 7,00 c) Receita de venda: Custo do produto: Impostos: Comissão:
$ 100,00 × 8% $ 100,00 – 12% $ 108,00 × 3,6% $ 108,00 × 3%
= $ 108,00 = $ 88,00 = $ 3,89 = $ 3,24
Como a empresa vai demorar trinta dias para vender o produto, a representação gráfica fica assim: Venda/Receb. $ 108,00 Pag. Fornecedor $ 88,00
Impostos 3,6% $ 3,89
0 Data Focal
15
PV = 108,00 − 88,00 −
3,89
(1,0011)
15
−
3,24
(1,0011)20
PV = 108,00 − 88,00 − 3,83 − 3,17 PV = $ 13,00 16) a) Graficamente, tem-se a seguinte representação:
Comissão 3% $ 3,24 20 (dias)
Venda/ Recebimento $ 360,00
Desp. Var. = 72,00 Desp. Fixas = 21,00
0
Impostos s/ Vendas (18%) $ 64,80
15
PV = 360,00 −
72,00
(1,022)
15 30
20 −
21,00
(1,022)
15 30
−
64,80
(1,022)
20 30
Pagamento Fornecedor $ 162,00 30 (dias)
−
162,00 1,022
PV = 360,00 − 71,22 − 20,77 − 63,87 − 158,51 PV = $ 45,63 b)
Chamando de P o valor de cada parcela, temos: P +
P − 71,22 − 20,77 − 63,87 − 158,51 = 45,63 1,022
1,022 P + P = 360,00 1,022 P =
367,92 2,022
P = $ 181,96 Preço do bem = 2P = 2 × $ 181,96 = 363,92 Ou seja, se a empresa vender o produto a prazo em duas parcelas de $ 181,96 ela terá o seu resultado inalterado (em $). Podemos verificar isso da seguinte maneira: PV da 1ª parcela (entrada) 181,96 PV da 2ª parcela = 1,022 (-) PV das despesas variáveis
$ 181,96
($ 71,22)
(-) PV das despesas fixas
($ 20,77)
(-) PV dos impostos s/ vendas
($ 63,87)
$ 178,04
(-) PV do pagamento do fornecedor ($ 158,51) Resultado
$ 45,63
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 10 – Análise de Investimentos e Reposição de Ativos 1) Projeto A
FC 0 =
FC1
(1 + i )
1
10.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )3
5.000,00 4.000,00 3.000,00 + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:
IRR A = 10,65% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 10.000 CHS g CF0 5.000 g CF j 4.000 g CF j 3.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -10.000,00 5.000,00 4.000,00 3.000,00 10,65
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Taxa interna de retorno (IRR)
Projeto B
FC 0 =
FC1
(1 + i )
30.000,00 =
1
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )3
9.000,00 12.000,00 15.000,00 + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:
IRR B = 8,90% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 30.000 CHS g CF0 9.000 g CF j 12.000 g CF j 15.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -30.000,00 9.000,00 12.000,00 15.000,00 8,90
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Taxa interna de retorno (IRR)
Projeto C
FC 0 =
FC1
(1 + i )
1
50.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )3
30.000,00 10.000,00 20.000,00 + + 2 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )3
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: IRR C = 10,70% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 50.000 CHS g CF0 30.000 g CF j 10.000 g CF j 20.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -50.000,00 30.000,00 10.000,00 20.000,00 10,70
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Taxa interna de retorno (IRR)
2) Representando graficamente, temos: 50.000,00 50.000,00 70.000,00 70.000,00 80.000,00 80.000,00 80.000,00 0 FC 0 =
1 n j =1
2
3
4
5
6
7 (meses)
FC j
(1 + i ) j
360.000,00 =
50.000,00 50.000,00 70.000,00 70.000,00 80.000,00 + + + + + ... (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4 (1 + i )5
... +
80.000,00
(1 + i )
6
+
80.000,00
(1 + i )7
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: i = 7,08% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 360.000 CHS g CF0 50.000 g CF j 50.000 g CF j 70.000 g CF j 70.000 g CF j 80.000 g CF j 80.000 g CF j 80.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -50.000,00 50.000,00 50.000,00 70.000,00 70.000,00 80.000,00 80.000,00 80.000,00 7,08
Significado Limpa registradores Valor do investimento Valor da prestação 1 Valor da prestação 2 Valor da prestação 3 Valor da prestação 4 Valor da prestação 5 Valor da prestação 6 Valor da prestação 7 Custo mensal pela IRR
3) Representando graficamente, temos: 8.600,00 8.600,00 8.600,00 8.600,00 8.600,00 8.600,00 0
1
2
3
4
5
6
7
8 (trimestres)
carência FC 0 =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
25.000,00 =
8.600,00
(1 + i )
3
+
8.600,00
(1 + i )
4
+
8.600,00
(1 + i )
5
+
8.600,00
(1 + i )
6
+
8.600,00
(1 + i )
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: IRR = 14,65% a.t.
7
+
8.600,00
(1 + i )8
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 25.000 CHS g CF0 0 g CF j 2 g Nj 8.600 g CF j 6 g Nj f IRR
Visor 0,00 -25.000,00 0,00 2,00 8.600,00 6,00 14,65
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Carência Trimestres de carência Valor das prestações Quantidade de prestações IRR trimestral da operação
4) Representando graficamente, temos: 218.720,00 0
FC 0 =
17
28
28.000,00
FC1
+
(1 + i )
218.720,00 =
1
34
65.000,00
FC 2
(1 + i )
28.000,00
(1 + i )
17
2
+
+
53
47.000,00
FC 3
(1 + i )
3
65.000,00
(1 + i )
28
+
+
88.000,00
FC 4
(1 + i )4 47.000,00
(1 + i )
34
+
88.000,00
(1 + i )53
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: i = 3,39% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 218.720 CHS g CF0 0 g CF j 16 g N j 28.000 g CF j 0 g CF j 10 g N j 65.000 g CF j 0 g CF j 5 g Nj 47.000,00 g CF j
Visor 0,00 -218.720,00 0,00 16,00 28.000,00 0,00 10,00 65.000,00 0,00 5,00 47.000,00
Significado Limpa registradores Importância creditada pelo banco Não houve fluxo Intervalo de tempo entre duplicatas Valor da primeira duplicata Não houve fluxo Intervalo de tempo entre duplicatas Valor da segunda duplicata Não houve fluxo Intervalo de tempo entre duplicatas Valor da terceira duplicata
0 g CF j 18 g N j 88.000 g CF j f IRR 100 + CHS FV 100 PV 1 ENTER 30 ÷ n i
0,00 18,00 88.000,00 0,11 -100,11 100,00 0,03 3,39
Não houve fluxo Intervalo de tempo entre duplicatas Valor da quarta duplicata Taxa efetiva diária de juros Determinação da taxa mensal Determinação da taxa mensal Determinação da taxa mensal Taxa efetiva mensal de juros
5) a) Representando graficamente os projetos, temos: Projeto A 0
10.000,00
8.000,00
6.000,00
1
2
3
25.000,00
FC 0 =
FC1
(1 + i )
25.000,00 =
1
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )
3
4.000,00 4 (anos)
+
FC 4
(1 + i )4
10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 + + + 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )4
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:
IRR A = 5,51% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 25.000 CHS g CF0 10.000 g CF j 8.000 g CF j 6.000 g CF j 4.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -25.000,00 10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 5,51
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa interna de retorno (IRR)
Projeto B 0
40.000,00 1
70.000,00
FC 0 =
20.000,00 20.000,00 2
FC1
(1 + i )
1
70.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )
2
10.000,00
3
+
FC 3
(1 + i )
3
4 (anos)
+
FC 4
(1 + i )4
40.000,00 20.000,00 20.000,00 10.000,00 + + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:
IRR B = 13,91% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 70.000 CHS g CF0 40.000 g CF j 20.000 g CF j 20.000 g CF j 10.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -70.000,00 40.000,00 20.000,00 20.000,00 10.000,00 13,91
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa interna de retorno (IRR)
b) Projeto A NPV =
NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 + + + 2 3 (1 + 0,10) (1 + 0,10 ) (1 + 0,10) (1 + 0,10)4
− 25.000,00
NPV = (9.090,91 + 6.611,57 + 4.507,89 + 2.732,05) − 25.000,00 NPV = – $ 2.057,58
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 25.000 CHS g CF0 10.000 g CF j 8.000 g CF j 6.000 g CF j 4.000 g CF j 10 i f NPV
Visor 0,00 -25.000,00 10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 10,00 - 2.057,58
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa interna de retorno (IRR) Valor presente líquido (NPV)
Projeto B NPV =
NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
40.000,00 20.000,00 20.000,00 10.000,00 + + + 2 3 (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10)4
− 70.000,00
NPV = (36.363,64 + 16.528,93 + 15.026,30 + 6.830,13) − 70.000,00 NPV = $ 4.748,99 O Projeto B deve ser aceito, pois, possui NPV superior a zero. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 70.000 CHS g CF0 40.000 g CF j 20.000 g CF j 20.000 g CF j 10.000 g CF j 10 i f NPV
Visor 0,00 -70.000,00 40.000,00 20.000,00 20.000,00 10.000,00 10,00 4.748,99
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa interna de retorno (IRR) Valor presente líquido (NPV)
6) a) Para uma taxa de desconto de 16%, somente o Projeto B pode ser aceito, pois é o único que apresenta NPV positivo. b) O Projeto B é o que apresenta a maior rentabilidade periódica pois, com a maior taxa de desconto (20%) é o que apresenta maior NPV.
c) A IRR do Projeto D é 12%, pois é a taxa de desconto que iguala o valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos), implicando em um NPV igual a zero d) A IRR do Projeto D, como vimos, é 12% enquanto que a IRR do Projeto C é superior a 12%. Sabemos disso porque o NPV do Projeto C se iguala a zero no intervalo de 12 a 16%, conforme observado na tabela. Logo, C apresenta maior IRR. e) Maior, pois o NPV do Projeto B se iguala a zero no intervalo superior a 20%, conforme observado na tabela. f) Sim, pois o NPV do Projeto A se iguala a zero no intervalo inferior a 8%, conforme observado na tabela. 7) Representando graficamente os dois projetos, temos: 0
7.000,00
5.000,00
3.000,00
2.000,00
1
2
3
4
15.000,00
1.000,00 5 (anos)
Taxa de desconto = 0% NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
NPV = (7.000,00 + 5.000,00 + 3.000,00 + 2.000,00 + 1.000,00) − 15.000,00 NPV = $ 3.000,00 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 15.000 CHS g CF0 7.000 g CF j 5.000 g CF j 3.000 g CF j 2.000 g CF j 1.000 g CF j f NPV
Visor 0,00 -15.000,00 7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,00
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Valor presente líquido (NPV)
Taxa de desconto = 5% NPV =
NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05)5
− 15.000,00
NPV = (6.666,67 + 4.535,15 + 2.591,51 + 1.645,40 + 783,53) − 15.000,00 NPV = $ 1.222,26 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 15.000 CHS g CF0 7.000 g CF j 5.000 g CF j 3.000 g CF j 2.000 g CF j 1.000 g CF j 5 i f NPV
Visor 0,00 -15.000,00 7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 5,00 1.222,26
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR) Valor presente líquido (NPV)
Taxa de desconto = 10% NPV =
NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10)5
NPV = (6.363,64 + 4.132,23 + 2.253,94 + 1.366,03 + 620,92) − 15.000,00 NPV = – $ 263,24 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 15.000 CHS g CF0 7.000 g CF j 5.000 g CF j
Visor 0,00 -15.000,00 7.000,00 5.000,00
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2
− 15.000,00
3.000 g CF j 2.000 g CF j 1.000 g CF j 10 i f NPV
3.000,00 2.000,00 1.000,00 10,00 - 263,24
Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR) Valor presente líquido (NPV)
Taxa de desconto = 15% NPV =
NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15)5
− 15.000,00
NPV = (6.086,96 + 3.780,72 + 1.972,55 + 1.143,51 + 497,18) − 15.000,00 NPV = – $ 1.519,09 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 15.000 CHS g CF0 7.000 g CF j 5.000 g CF j 3.000 g CF j 2.000 g CF j 1.000 g CF j 15 i f NPV
Visor 0,00 -15.000,00 7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 15,00 -1.519,09
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR) Valor presente líquido (NPV)
Taxa de desconto = 20% NPV =
NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + 0,20) (1 + 0,20) (1 + 0,20) (1 + 0,20) (1 + 0,20)5
NPV = (5.833,33 + 3.472,22 + 1.736,11 + 964,51 + 401,88) − 15.000,00 NPV = – $ 2.591,95
− 15.000,00
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 15.000 CHS g CF0 7.000 g CF j 5.000 g CF j 3.000 g CF j 2.000 g CF j 1.000 g CF j 20 i f NPV
Visor 0,00 -15.000,00 7.000,00 5.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00 20,00 -2.591,95
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR) Valor presente líquido (NPV)
8) Investimento Líquido Valor Bruto do Ativo: Valor Residual Atualizado: $ 15.000,00 / (1,12) 7 Investimento Líquido:
$ 140.000,00 $ 6.785,24 $ 133.214,76
Custo Equivalente Anual Custo Anual do Investimento: Custo Operacional: Custo Equivalente Anual: 1
$ 29.189,72 1 $ 45.514,65 2 $ 74.704,37
Cálculo do Custo Anual do Investimento: PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
133.214,76 = PMT × FPV (12%, 7)
133.214,76 = PMT ×
1 − (1 + 0,12) −7 0,12
133.214,76 = PMT × 4,563757 PMT =
133.214,76 4,563757
PMT = $ 29.189,72 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 133.214,76 CHS PV 7 n 12 i PMT 2
Visor 0,00 -133.214,76 7,00 12,00 29.189,72
Significado Limpa registradores Investimento líquido Vida útil estimada Taxa de juro PMT do custo operacional
Cálculo do Custo Operacional: Representando graficamente os custos operacionais anuais, temos: 20.000 0
PV =
30.000
1
40.000 50.000
2
3
4
60.000 5
70.000 80.000 6
7 (anos)
20.000,00 30.000,00 40.000,00 50.000,00 60.000,00 70.000,00 80.000,00 + + + + + + (1 + 0,12) (1 + 0,12)2 (1 + 0,12 )3 (1 + 0,12)4 (1 + 0,12)5 (1 + 0,12)6 (1 + 0,12)7
PV = 17.857,14 + 23.915,82 + 28.471,21 + 31.775,90 + 34.045,61 + 35.464,18 + 36.187,94 PV = $ 207.717,80 PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
207.717,80 = PMT × FPV (12%, 7)
207.717,80 = PMT ×
1 − (1 + 0,12) −7 0,12
207.717,80 = PMT × 4,563757 PMT =
207.717,80 4,563757
PMT = $ 45.514,65
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 207.717,80 CHS PV 7 n 12 i PMT
Visor 0,00 -207.717,80 7,00 12,00 45.514,65
Significado Limpa registradores PV dos custos operacionais anuais Vida útil estimada Taxa de juro PMT do custo operacional
9) a) Representando graficamente os projetos, temos: Projeto A 0
9.000,00
21.000,00
30.000,00
18.000,00
1
2
3
4
45.000,00
FC 0 =
FC1
(1 + i )
45.000,00 =
1
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )
3
+
FC 4
(1 + i )
4
+
24.000,00 5 (anos)
FC 5
(1 + i )5
9.000,00 21.000,00 30.000,00 18.000,00 24.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )5
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:
IRR A = 30,78% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 45.000 CHS g CF0 9.000 g CF j 21.000 g CF j 30.000 g CF j 18.000 g CF j 24.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -45.000,00 9.000,00 21.000,00 30.000,00 18.000,00 24.000,00 30,78
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR)
Projeto B 0
12.000,00
15.000,00
18.000,00
33.000,00
1
2
3
4
45.000,00
FC 0 =
FC1
(1 + i )
1
45.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )
3
+
FC 4
(1 + i )
4
+
39.000,00 5 (anos)
FC 5
(1 + i )5
12.000,00 15.000,00 18.000,00 33.000,00 39.000,00 + + + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4 (1 + i )5
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:
IRR B = 33,07% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 45.000 CHS g CF0 12.000 g CF j 15.000 g CF j 18.000 g CF j 33.000 g CF j 39.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -45.000,00 12.000,00 15.000,00 18.000,00 33.000,00 39.000,00 33,07
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR)
Projeto C 0
24.000,00
21.000,00
15.000,00
1
2
3
75.000,00
FC 0 =
FC1
(1 + i )
75.000,00 =
1
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )
3
60.000,00 135.000,00 4
+
FC 4
(1 + i )
4
+
5 (anos)
FC 5
(1 + i )5
24.000,00 21.000,00 15.000,00 60.000,00 135.000,00 + + + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4 (1 + i )5
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se:
IRR C = 39,45% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 75.000 CHS g CF0 24.000 g CF j 21.000 g CF j 15.000 g CF j 60.000 g CF j 135.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -75.000,00 24.000,00 21.000,00 15.000,00 60.000,00 135.000,00 39,45
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR)
b) Taxa de retorno requerida = 25%a.a. Projeto A NPV =
NPV A =
FC j
n j =1
(1 + i ) j
− FC 0
9.000,00 21.000,00 30.000,00 18.000,00 24.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25)5
− 45.000,00
NPV A = (7.200,00 + 13.440,00 + 15.360,00 + 7.372,80 + 7.864,32) − 45.000,00 NPV A = $ 6.237,12 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 45.000 CHS g CF0 9.000 g CF j 21.000 g CF j 30.000 g CF j 18.000 g CF j 24.000 g CF j 25 i f NPV
Visor 0,00 -45.000,00 9.000,00 21.000,00 30.000,00 18.000,00 24.000,00 25,00 6.237,12
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa de retorno requerida Valor presente líquido (NPV)
Projeto B NPV =
FC j
n j =1
(1 + i ) j
− FC 0
12.000,00 15.000,00 18.000,00 33.000,00 39.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25)5
NPVB =
− 45.000,00
NPVB = (9.600,00 + 9.600,00 + 9.216,00 + 13.516,80 + 12.779,52) − 45.000,00 NPV B = $ 9.712,32 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 45.000 CHS g CF0 12.000 g CF j 15.000 g CF j 18.000 g CF j 33.000 g CF j 39.000 g CF j 25 i f NPV
Visor 0,00 -45.000,00 12.000,00 15.000,00 18.000,00 33.000,00 39.000,00 25,00 9.712,32
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa de retorno requerida Valor presente líquido (NPV)
Projeto C NPV =
NPVC =
FC j
n j =1
(1 + i ) j
− FC 0
24.000,00 21.000,00 15.000,00 60.000,00 135.000,00 + + + + − 75.000,00 2 3 4 (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25) (1 + 0,25)5
NPVC = (19.200,00 + 13.440,00 + 7.680,00 + 24.576,00 + 44.236,80 ) − 75.000,00 NPVC = $ 34.132,80 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 75.000 CHS g CF0 24.000 g CF j
Visor 0,00 -75.000,00 24.000,00
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1
21.000 g CF j 15.000 g CF j 60.000 g CF j 135.000 g CF j 25 i f NPV
21.000,00 15.000,00 60.000,00 135.000,00 25,00 34.132,80
Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa de retorno requerida Valor presente líquido (NPV)
c) Se os projetos forem independentes, todos os projetos poderão ser selecionados, pois apresentam uma IRR superior à taca mínima de retorno requerida e um NPV positivo. d) Se os projetos forem mutuamente excludentes, o método do valor presente líquido é aceito como o que produz as melhores recomendações. A aplicação da IRR identifica algumas dificuldades em relação à seleção das alternativas, pois o método não leva em conta a escala do investimento, conforme estudado. Portanto, o Projeto C deve ser aceito por possuir maior NPV. 10) a) Projeto I Valor presente líquido 0
36.000,00
30.000,00
24.000,00
1
2
3
52.000,00 NPV =
NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
24.000,00 4 (anos)
− FC 0
36.000,00 30.000,00 24.000,00 24.000,00 + + + 2 3 (1 + 0,30) (1 + 0,30 ) (1 + 0,30) (1 + 0,30)4
− 52.000,00
NPV = (27.692,31 + 17.751,48 + 10.923,99 + 8.403,07 ) − 52.000,00 NPV = $ 12.770,84
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 52.000 CHS g CF0 36.000 g CF j 30.000 g CF j 24.000 g CF j 24.000 g CF j 30 i f NPV
Visor 0,00 -52.000,00 36.000,00 30.000,00 24.000,00 24.000,00 30,00 12.770,84
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa de retorno exigida Valor presente líquido (NPV)
Taxa interna de retorno
FC 0 =
FC1
(1 + i )
1
52.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )
3
+
FC 4
(1 + i )4
36.000,00 30.000,00 24.000,00 24.000,00 + + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: IRR = 45,59% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 52.000 CHS g CF0 36.000 g CF j 30.000 g CF j 24.000 g CF j 24.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -52.000,00 36.000,00 30.000,00 24.000,00 24.000,00 45,59
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa interna de retorno (IRR)
Projeto II Valor presente líquido 0
12.000,00
16.000,00
54.000,00
1
2
3
52.000,00
68.000,00 4 (anos)
NPV =
NPV =
n j =1
FC j
− FC 0
(1 + i ) j
12.000,00 16.000,00 54.000,00 68.000,00 + + + 2 3 (1 + 0,30) (1 + 0,30) (1 + 0,30 ) (1 + 0,30)4
− 52.000,00
NPV = (9.230,77 + 9.467,46 + 24.578,97 + 23.808,69) − 52.000,00 NPV = $ 15.085,89 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 52.000 CHS g CF0 12.000 g CF j 16.000 g CF j 54.000 g CF j 68.000 g CF j 30 i f NPV
Visor 0,00 -52.000,00 12.000,00 16.000,00 54.000,00 68.000,00 30,00 15.085,89
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa de retorno exigida Valor presente líquido (NPV)
Taxa interna de retorno
FC 0 =
FC1
(1 + i )
52.000,00 =
1
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )
3
+
FC 4
(1 + i )4
12.000,00 16.000,00 54.000,00 68.000,00 + + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: IRR = 41,97% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 52.000 CHS g CF0 12.000 g CF j 16.000 g CF j 54.000 g CF j 68.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -52.000,00 12.000,00 16.000,00 54.000,00 68.000,00 41,97
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Taxa interna de retorno (IRR)
b) Se independentes, os dois projetos são recomendados. Se mutuamente excludentes, o projeto mais atraente é o de maior valor presente líquido (projeto II) c)
Ano 0 ($ 52.000,00) ($ 52.000,00) 0
Invest. I Invest. II ( I – II )
Ano 1 36.000,00 12.000,00 24.000,00
Ano 2 30.000,00 16.000,00 14.000,00
Ano 3 24.000,00 54.000,00 (30.000,00)
Ano 4 24.000,00 68.000,00 (44.000,00)
Apurando-se a taxa interna de retorno do investimento incremental, chega-se à taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos (intersecção de Fischer): IRR INCREMENTAL = 34,95% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 24.000 g CF j 14.000 g CF j 30.000 CHS g CF j 44.000 CHS g CF j f IRR
Visor 0,00 0,00 24.000,00 14.000,00 -30.000,00 -44.000,00 34,95
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Intersecção de Fischer
11) Representando graficamente o investimento, temos: 0
2.000,00
4.000,00
4.000,00
6.000,00
1
2
3
4
12.000,00
a) Cálculo do valor presente líquido (NPV): Taxa de retorno exigida = 15% NPV =
n j =1
FC j
(1 + i ) j
− FC 0
6.000,00 5 (anos)
NPV =
2.000,00 4.000,00 4.000,00 6.000,00 6.000,00 + + + + − 12.000,00 2 3 4 (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15)5
NPV = (1.739,13 + 3.024,57 + 2.630,06 + 3.430,52 + 2.983,06) − 12.000,00 NPV = $ 1.807,35 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 12.000 CHS g CF0 2.000 g CF j 4.000 g CF j 4.000 g CF j 6.000 g CF j 6.000 g CF j 15 i f NPV
Visor 0,00 -12.000,00 2.000,00 4.000,00 4.000,00 6.000,00 6.000,00 15,00 1.807,35
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa de retorno exigida Valor presente líquido (NPV)
b) Cálculo da taxa interna de retorno (IRR):
FC 0 =
FC1
(1 + i )1
12.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )2
+
FC 3
(1 + i )3
+
FC 4
(1 + i )4
+
FC 5
(1 + i )5
2.000,00 4.000,00 4.000,00 6.000,00 6.000,00 + + + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4 (1 + i )5
Resolvendo com o auxílio de uma calculadora financeira, tem-se: IRR = 20,2% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 12.000 CHS g CF0 2.000 g CF j 4.000 g CF j 4.000 g CF j 6.000 g CF j 6.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -12.000,00 2.000,00 4.000,00 4.000,00 6.000,00 6.000,00 20,20
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR)
c) Cálculo do índice de lucratividade (IL): IL =
PV (Entradas) PV (Saídas)
PV (Entradas) =
2.000,00 4.000,00 4.000,00 6.000,00 6.000,00 + + + + 2 3 4 (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15)5
PV (Entradas) = $ 13.807,35 IL =
13.807,35 12.000,00
IL = 1,1506 d) Cálculo da taxa de rentabilidade (IR): TR =
NPV Desembolso de Capital
TR =
1.807,35 12.000,00
TR = 0,1506 ou 15,06% 12)
Investimento W Z (Z–W)
Ano 0 - $ 280,00 - $ 280,00 $ 0,00
Ano 1 $ 70,00 $ 180,00 - $ 110,00
Ano 2 $ 110,00 $ 120,00 - $ 10,00
Ano 3 $ 260,00 $ 100,00 $ 160,00
Apurando-se a taxa interna de retorno do investimento incremental, chega-se à taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos (intersecção de Fischer): IRR INCREMENTAL = 16,14% a.a.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 110 CHS g CF j 10 CHS g CF j 160 g CF j f IRR
Visor 0,00 0,00 -110,00 -10,00 -160,00 16,14
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Intersecção de Fischer
13) Representando graficamente a dívida original, temos: $ 4.700,00 0
$ 6.400,00
60
$ 8.100,00
90
100 (dias)
Para uma taxa de juros de 1,8% a.m., temos: PV =
4.700,00
(1 + 0,018)
60 30
+
6.400,00
(1 + 0,018)
90 30
+
8.100,00 100
(1 + 0,018) 30
PV = 4.535,26 + 6.066,48 + 7.632,36 PV = $ 18.234,10 Representando graficamente a proposta, temos: 0
$ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20 $ 3.432,20
PV=$ 18.234,10
PV =
90
120
150
180
210
240(dias)
n
PMT j j = 0 (1 + i )
18.234,10 =
3.432,20
(1 + i )
Resolvendo-se: i = 2,25% a.m.
90 30
+
3.432,20 120 30
(1 + i )
+
3.432,20 150 30
(1 + i )
+
3.432,20 180 30
(1 + i )
+
3.432,20
(1 + i )
210 30
+
3.432,20 240
(1 + i ) 30
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 18.234,10 CHS g CF0 0 g CF j 89 g N j 3.432,20 g CF j 0 g CF j 29 g N j 3.432,20 g CF j 0 g CF j 29 g N j 3.432,20 g CF j 0 g CF j 29 g N j 3.432,20 g CF j 0 g CF j 29 g N j 3.432,20 g CF j 0 g CF j 29 g N j 3.432,20 g CF j f IRR 100 CHS FV 100 PV 1 ENTER 30 ÷ n i
Visor 0,00 -18.234,10 0,00 0,00 3.432,20 0,00 0,00 3.432,20 0,00 0,00 3.432,20 0,00 0,00 3.432,20 0,00 0,00 3.432,20 0,00 0,00 3.432,20 0,07 -100,07 100,00 0,03 2,25
Significado Limpa registradores Valor presente da dívida Não houve pagamento Prazo da carência Valor do primeiro pagamento Fluxo zero Prazo sem pagamento Valor do segundo pagamento Fluxo zero Prazo sem pagamento Valor do terceiro pagamento Fluxo zero Prazo sem pagamento Valor do quarto pagamento Fluxo zero Prazo sem pagamento Valor do quinto pagamento Fluxo zero Prazo sem pagamento Valor do sexto pagamento Custo efetivo diário Transformação para custo mensal Transformação para custo mensal Transformação para custo mensal Custo efetivo mensal
14) Representando graficamente a compra, temos: $ 2.200,00 0
$ 3.060,00
$ 3.060,00
2
3
$ 3.060,00 5 (meses)
$ 11.000,00
PV =
n
PMT j j = 0 (1 + i )
11.000,00 − 2.200,00 =
3.060,00
(1 + i )
2
+
3.060,00
(1 + i )
3
+
3.060,00
(1 + i )5
Resolvendo-se: i = 1,28% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 8.800 CHS g CF0 0 g CF j 3.060 g CF j 3.060 g CF j 0 g CF j 3.060 g CF j f IRR
Visor 0,00 -8.800,00 0,00 3.060,00 3.060,00 0,00 3.060,00 1,28
Significado Limpa registradores Valor da dívida menos entrada Não houve pagamento Valor do primeiro pagamento Valor do segundo pagamento Não houve pagamento Valor do terceiro pagamento Custo efetivo mensal
15) Representando graficamente o investimento, temos: 0
140.000,00 200.000,00 250.000,00 300.000,00 500.000,00 1
700.000,00
2
3
4
5 (anos)
a) Cálculo da taxa interna de retorno (IRR):
FC 0 =
FC1
(1 + i )
700.000,00 =
1
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )
3
+
FC 4
(1 + i )
4
+
FC 5
(1 + i )5
140.000,00 200.000,00 250.000,00 300.000,00 500.000,00 + + + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )4 (1 + i )5
Resolvendo-se: IRR = 22,39% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 700.000 CHS g CF0 140.000 g CF j 200.000 g CF j 250.000 g CF j
Visor 0,00 -700.000,00 140.000,00 200.000,00 250.000,00
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3
300.000 500.000 f IRR b)
•
g CF j g CF j
300.000,00 500.000,00 22,39
Fluxo de caixa no ano 4 Fluxo de caixa no ano 5 Taxa interna de retorno (IRR)
Montante da Reaplicação das Entradas de Caixa (FV): FV = 140.000,00(1,15) + 200.000,00(1,15) + 250.000,00(1,15) + 300.000,00(1,15) + 500.000,00 4
3
2
FV = $ 1.724.660,88 •
Valor do Investimento (PV): PV = $ 700.000,00
•
Rentabilidade periódica: IRR (i) =
1.724.660,88 −1 700.000,00
IRR (i) = 146,38% p/ todo o período (4 anos), Equivalendo a : IRR (i) = (1 + 1,463801)
1/ 5
− 1 = 0,1976... ou 19,76% a.a.
16) Representando graficamente os dois investimentos, temos: Projeto X 0 $ 20.000,00 Projeto W 0 $ 150.000,00
$ 15.000,00
$ 10.000,00
1
2
$ 100.000,00
$ 50.000,00
1
2
$ 5.000,00 3 (anos)
$ 40.000,00 3 (anos)
a) Cálculo da taxa interna de retorno (IRR): Projeto X
FC 0 =
FC1
(1 + i )
1
20.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )3
15.000,00 10.000,00 5.000,00 + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3
Resolvendo-se: IRR X = 28,86% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 20.000 CHS g CF0 15.000 g CF j 10.000 g CF j 5.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -20.000,00 15.000,00 10.000,00 5.000,00 28,86
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Taxa interna de retorno (IRR)
Projeto W
FC 0 =
FC1
(1 + i )
1
150.000,00 =
+
FC 2
(1 + i )
2
+
FC 3
(1 + i )3
100.000,00 50.000,00 40.000,00 + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3
Resolvendo-se: IRR W = 15,51% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 150.000 CHS g CF0 100.000 g CF j 50.000 g CF j 40.000 g CF j f IRR
Visor 0,00 -150.000,00 100.000,00 50.000,00 40.000,00 15,51
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Taxa interna de retorno (IRR)
b) Com base no método da IRR, a alternativa X é a mais rentável, com maior IRR c) Na avaliação pelo método da IRR, a característica ignorada é a diferença de escala dos investimentos d)
Projeto X W (X–W)
Ano 0 - $ 20.000,00 - $ 150.000,00 $ 130.000,00
Ano 1 $ 15.000,00 $ 100.000,00 - $ 85.000,00
Ano 2 $ 10.000,00 $ 50.000,00 - $ 40.000,00
Ano 3 $ 5.000,00 $ 40.000,00 - $ 35.000,00
Apurando-se a taxa interna de retorno do investimento incremental, chega-se à taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos: IRR INCREMENTAL = 13,43% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 130.000 g CF0 85.000 CHS g CF j 40.000 CHS g CF j 35.000 CHS g CF j f IRR
Visor 0,00 130.000,00 -85.000,00 -40.000,00 -35.000,00 13,43
Significado Limpa registradores Valor do investimento incremental Fluxo incremental no ano 1 Fluxo incremental no ano 2 Fluxo incremental no ano 3 IRR incremental
e) Taxa de desconto apropriada = 12% Projeto X NPV =
n j =1
NPV =
FC j
(1 + i ) j
− FC0
15.000,00 10.000,00 5.000,00 + + − 20.000,00 (1 + 0,12) (1 + 0,12)2 (1 + 0,12)3
NPV = (13.392,86 + 7.971,94 + 3.558,90) − 20.000,00 NPV X = $ 4.923,70
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 20.000 CHS g CF0 15.000 g CF j 10.000 g CF j 5.000 g CF j 12 i f NPV
Visor 0,00 -20.000,00 15.000,00 10.000,00 5.000,00 12,00 4.923,70
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Taxa de desconto apropriada Valor presente líquido (NPV)
Projeto W NPV =
n j =1
NPV =
FC j
(1 + i ) j
− FC0
100.000,00 50.000,00 40.000,00 + + − 150.000,00 (1 + 0,12) (1 + 0,12)2 (1 + 0,12)3
NPV = (89.285,71 + 38.859,69 + 28.471,21) − 150.000,00 NPVW = $ 7.616,62 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 150.000 CHS g CF0 100.000 g CF j 50.000 g CF j 40.000 g CF j 12 i f NPV
Visor 0,00 -150.000,00 100.000,00 50.000,00 40.000,00 12,00 7.616,62
Significado Limpa registradores Valor do investimento Fluxo de caixa no ano 1 Fluxo de caixa no ano 2 Fluxo de caixa no ano 3 Taxa de desconto apropriada Valor presente líquido (NPV)
Portanto, se a taxa de desconto apropriada para os investimentos for de 12%, o projeto W deve ser o escolhido, pois produz maior valor presente líquido. 17) Recuperação do Investimento
45.000,00 = PMT × FPV (10%, n )
Ano 1 $ 45.000,00 × 1,1 = $ 49.500,00 Ano 2
$ 45.000,00 = PMT × FPV (10%, 2) PMT = $ 25.928,60 Ano 3
$ 45.000,00 = PMT × FPV (10%, 3) PMT = $ 18.095,20 Ano 4
$ 45.000,00 = PMT × FPV (10%, 4) PMT = $ 14.196,20 Ano 5
$ 45.000,00 = PMT × FPV (10%, 5) PMT = $ 11.870,90 Ano 6
$ 45.000,00 = PMT × FPV (10%, 6) PMT = $ 10.332,30 Ano 7
$ 45.000,00 = PMT × FPV (10%, 7 ) PMT = $ 9,243,20 Ano 8
$ 45.000,00 = PMT × FPV (10%, 8) PMT = $ 8,435,00 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 45.000,00 CHS PV 10 i 1 n
Visor 0,00 -45.000,00 10,00 1,00
Significado Limpa registradores Valor de aquisição da máquina Taxa de juros anual Prazo
PMT 2 n PMT 3 n PMT 4 n PMT 5 n PMT 6 n PMT 7 n PMT 8 n PMT
49.500,00 2,00 25.928,57 3,00 18.095,17 4,00 14.196,19 5,00 11.870,89 6,00 10.332,33 7,00 9.243,25 8,00 8.434,98
Valor a recuperar – ano 1 Prazo Valor a recuperar – ano 2 Prazo Valor a recuperar – ano 3 Prazo Valor a recuperar – ano 4 Prazo Valor a recuperar – ano 5 Prazo Valor a recuperar – ano 6 Prazo Valor a recuperar – ano 7 Prazo Valor a recuperar – ano 8
Despesas de Manutenção Ano 2 6.000,00
(1,10)2
= PMT + FPV (10%, 2 )
PMT = $ 2.857,10 Ano 3 6.000,00
(1,10)
2
+
9.000,00
(1,10)3
= PMT + FPV (10%, 3)
PMT = $ 4.713,00 Ano 4 6.000,00
(1,10)
2
+
9.000,00 13.500,00 + = PMT + FPV (10%, 4) (1,10)3 (1,10)4
PMT = $ 6.606,30 Ano 5 6.000,00
(1,10)
2
+
9.000,00 13.500,00 20.250,00 + + = PMT + FPV (10%, 5) (1,10)3 (1,10)4 (1,10)5
PMT = $ 8.841,10
Ano 6 6.000,00
(1,10)
2
+
9.000,00 13.500,00 20.250,00 30.375,00 + + + = PMT + FPV (10%, 6 ) (1,10)3 (1,10)4 (1,10)5 (1,10)6
PMT = $ 11.632,10 Ano 7 6.000,00
(1,10)
2
+
9.000,00 13.500,00 20.250,00 30.375,00 45.562,50 + + + + = (1,10)3 (1,10)4 (1,10)5 (1,10)6 (1,10)7
= PMT + FPV (10%, 7 ) PMT = $ 15.208,50 Ano 8 6.000,00
(1,10)
2
+
9.000,00 13.500,00 20.250,00 30.375,00 45.562,50 68.343,75 + + + + + = (1,10)3 (1,10)4 (1,10)5 (1,10)6 (1,10)7 (1,10)8
PMT + FPV (10%, 8) PMT = $ 19.854,90 Despesas de Operação Ano 1 PMT = $ 3.200,00 Ano 2 3.200,00 5.200,00 + = PMT + FPV (10%, 2 ) 1,10 (1,10)2 PMT = $ 4.152,40 Ano 3 3.200,00 5.200,00 7.200,00 + + = PMT + FPV (10%, 3) 1,10 (1,10)2 (1,10)3 PMT = $ 5.073,10
Ano 4 3.200,00 5.200,00 7.200,00 9.200,00 + + + = PMT + FPV (10%, 4 ) 1,10 (1,10)2 (1,10)3 (1,10)4 PMT = $ 5.962,30 Ano 5 3.200,00 5.200,00 7.200,00 9.200,00 11.200,00 + + + + = PMT + FPV (10%, 5) 1,10 (1,10)2 (1,10 )3 (1,10)4 (1,10)5 PMT = $ 6.820,30 Ano 6 3.200,00 5.200,00 7.200,00 9.200,00 11.200,00 13.200,00 + + + + + = PMT + FPV (10%, 6 ) 1,10 (1,10)2 (1,10 )3 (1,10)4 (1,10)5 (1,10)6 PMT = $ 7.647,10 Ano 7 3.200,00 5.200,00 7.200,00 9.200,00 11.200,00 13.200,00 15.200,00 + + + + + + = 1,10 (1,10)2 (1,10)3 (1,10)4 (1,10)5 (1,10)6 (1,10)7
= PMT + FPV (10%, 7 ) PMT = $ 8.443,23 Ano 8 3.200,00 5.200,00 7.200,00 9.200,00 11.200,00 13.200,00 15.200,00 17.200,00 + + + + + + + = 1,10 (1,10)2 (1,10)3 (1,10)4 (1,10)5 (1,10)6 (1,10)7 (1,10)8
= PMT + FPV (10%, 8) PMT = $ 9.209,00 Assim, chegamos a seguinte tabela de valores:
Recuperação Ano do Investimento 1 49.500,00 2 25.928,60 3 18.095,20 4 14.196,20 5 11.870,90 6 10.332,30 7 9.243,20 8 8.435,00
Manutenção 2.857,10 4.713,00 6.606,30 8.841,10 11.632,10 15.208,50 19.854,90
Operação 3.200,00 4.152,40 5.073,10 5.962,30 6.820,30 7.647,10 8.443,23 9.209,00
Custo Total 52.700,00 32.938,10 27.881,30 26.764,80 27.532,30 29.611,50 32.894,93 37.498.90
18) PMT (Máq. Velha) = Custo equivalente anual = $ 6.711,60 PMT (Máq. Nova): Investimento Líquido Valor da máquina nova: Valor Residual Atualizado: $ 4.200,00 / (1,12) 10 Investimento Líquido:
$ 28.000,00 ($ 1.352,29) $ 26.647,71
Custo Equivalente Anual PV do Custo Anual do Investimento: PV = 1.000,00 × (12%,10) PV total
$ 5.650,22 $ 32.297,93
PMT (Máq. Nova): PV = PMT × FPV (i, n) 1 − (1 + i ) − n PV = PMT × i 32.297,93 = PMT × FPV (12%, 10)
32.297,93 = PMT ×
1 − (1 + 0,12) −10 0,12
32.297,93 = PMT × 5,650223 PMT =
32.297,93 5,650223
PMT = $ 5.716,22 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 28.000 ENTER 4.200 ENTER 1,12 ENTER 10 y x < ÷ > ENTER 1.000 CHS PMT 10 n 12 i PV CHS PV 10 n 12 i PMT
Visor 0,00 28.000,00 4.200,00 1,12 26.647,71 -1.000,00 10,00 12,00 5.650,22 32.297,94 -32.297,94 10,00 12,00 5.716,22
Significado Limpa registradores Valor da máquina nova Valor residual da máquina Taxa de retorno mínima Investimento líquido Custos anuais de manutenção Vida útil estimada Taxa de retorno mínima PV do custo equivalente anual PV total PV total Vida útil estimada Taxa de retorno mínima PMT da máquina nova
Então, temos: •
PMT (Máq. Velha) = $ 6.711,60
•
PMT (Máq. Nova) = $ 5.716,22
Portanto, para uma taxa de retorno mínima de 12% a.a., a empresa deve efetuar a substituição da máquina usada, pois a máquina nova tem menor custo equivalente anual. 19) Recuperação do investimento Ano 1
PMT = 25.000,00(1,14) − 17.300,00 = $ 11.200,00 Ano 2 25.000,00 −
15.000,00
(1,14)2
= PMT × FPV (14%, 2 )
PMT = $ 8.172,90 Ano 3 25.000,00 −
11.400,00
(1,14)3
= PMT × FPV (14%, 3)
PMT = $ 7.454,00 E assim sucessivamente Custo Operacional Ano 1 PMT = $ 4.800,00 Ano 2 4.800,00 5.200,00 + = PMT × FPV (14%, 2 ) 1,14 (1,14)2 PMT = $ 4.986,90 Ano 3 4.800,00 5.200,00 5.800,00 + + = PMT × FPV (14%, 3) 1,14 (1,14)2 (1,14 )3 PMT = $ 5.223,30 E assim sucessivamente. Logo, os dados são apresentados na tabela a seguir.
Ano
1 2 3 4 5
Recuperação do Investimento (1) 11.200,00 8.172,90 7.454,00 7.747,00 7.282,10
Custo Operacional Equivalente Anual (2) 4.800,00 4.986,90 5.223,30 5.523,40 6.003,90
Custo Total Equivalente Anual (1) + (2) 16.000,00 13.159,80 12.677,30 13.270,40 13.286,00
20) a) Investimento Líquido Valor da máquina nova: Valor Residual Atualizado: $ 12.400,00 / (1,12) 10 Investimento Líquido:
$ 73.000,00 ($ 3.992,47) $ 69.007,53
Custo Equivalente Anual PV do Custo Anual do Investimento: PV = 11.000,00 × (12%,10) PV total
$ 62.152,45 $ 131.159,98
PMT (Máq. Nova): PV = PMT × FPV (i, n) PV = PMT ×
1 − (1 + i ) − n i
131.159,98 = PMT × FPV (12%, 10)
131.159,98 = PMT ×
1 − (1 + 0,12) −10 0,12
131.159,98 = PMT × 5,650223 PMT =
131.159,98 5,650223
PMT = $ 23.213,24 Custo operação da máquina = Salário empregado / cap. Produtiva em horas * Quantidade Custo operação da máquina = $ 24,00 / 16 unid. * Q Custo de operação da máquina = 1,5 Q Portanto, o custo equivalente anual total da máquina é de $ 23.213,24 + 1,5 Q
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 73.000 ENTER 12.400 ENTER 1,12 ENTER 10 y x < ÷ > ENTER 11.000 CHS PMT 10 n 12 i PV CHS PV 10 n 12 i PMT
Visor 0,00 73.000,00 12.400,00 1,12 69.007,53 -11.000,00 10,00 12,00 62.152,45 131.159,99 -131.159,99 10,00 12,00 23.213,24
Significado Limpa registradores Valor da máquina nova Valor residual da máquina Taxa de desconto Investimento líquido Custos anuais de manutenção Vida útil estimada Taxa de desconto PV do custo equivalente anual PV total PV total Vida útil estimada Taxa de retorno mínima Custo equivalente anual total
b) Aplicando a formulação desenvolvida acima, temos: PMT = $ 23.213,24 + 1,5 Q PMT = $ 23.213,24 + 1,5 × 33.200 PMT = $ 73.013,24 Portanto, o custo equivalente da máquina para uma quantidade de produção de 33.200 unidades é de $ 73.013,24.
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 11 – Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa 1) a) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = b 1 + i − 1 (i b ) = 12 1 + 0,178 − 1 (i b ) = 0,0137 ou 1,37% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,1780 ENTER 12 1 x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,18 1,01
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,01 1,37
Taxa unitária Taxa percentual
Sendo a taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0137 (1 – 0,20) (i L ) = 0,011 ou 1,10% a.m. b) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = b 1 + i − 1 (i b ) = 12 1 + 0,178 5 − 1 (i b ) = 0,0706 ou 7,06% p/ 5 meses Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,178 ENTER 12 1 x y x
Visor 0,00 1,18 1,01
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
5 yx 1 100 < × >
1,07 0,07 7,06
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Sendo a taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0706 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0565 ou 5,65% p/ 5 meses c) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = b 1 + i − 1 (i b ) = 360 1 + 0,178 39 − 1 (i b ) = 0,0179 ou 1,79% p/ 39 dias Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,178 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 1,18 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
39 y x 1 100 < × >
1,02 0,02 1,79
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Sendo a taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0179 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0143 ou 1,43% p/ 39 dias d) Sendo a taxa equivalente bruta (i b ) = b 1 + i − 1 (i b ) = 360 1 + 0,178103 − 1 (i b ) = 0,0480 ou 4,80% p/ 103 dias Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,178 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 1,18 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
103 y x 1 100 < × >
1,05 0,05 4,80
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Sendo a taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0480 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0384 ou 3,84% p/ 103 dias
2) Sendo a taxa efetiva bruta de 1,7% a.m. e a taxa de IR de 20%, temos: Taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,017 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0136 ou 1,36% a.m. Taxa efetiva anual líquida
(i f ) = (1 + iL) q − 1
(i f ) = (1 + 0,0136)12 − 1 (i f ) = 0,176 ou 17,6% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0136 ENTER 12 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,01 1,18 0,18 17,6
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
3) Sendo a taxa nominal bruta de 6,12% para 82 dias e a taxa de IR de 20%, temos: Taxa líquida (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0612 (1 – 0,20) (i L ) = 0,049 ou 4,9% para 82 dias. q
Taxa líquida mensal equivalente (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) = 82 (1 + 0,0490) 30 − 1 (i q ) = 0,0176 ou 1,76% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,049 ENTER 82 1 x y x
Visor 0,00 1,05 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
30 y x 1 100 < × >
1,02 0,02 1,76
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Taxa efetiva anual líquida
(i f ) = (1 + iL) q − 1
(i f ) = (1 + 0,0176)12 − 1 (i f ) = 0,2329 ou 23,3% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0176 ENTER 12 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,02 1,23 0,23 23,3
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
4) a)
Primeiro, transformamos a taxa efetiva mensal em taxa diária: q (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) = 30 1 + 0,019 − 1 (i q ) = 0,0006% a.d.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0190 ENTER 30 1 x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,02 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,001 0,06
Taxa unitária Taxa percentual
Depois, multiplicamos a taxa diária por 30: i (linear) = 0,0628% x 30 dias i (linear) = 0,0188 i (linear) = 1,88% a.m. 5) a) Valor Bruto de Resgate Valor de Aplicação Rendimento Bruto: IR: 20% x $1.200 Rendimento Líquido:
$ 11.200,00 ($ 10.000,00) $ 1.200,00 ($ 240,00) $ 960,00
Como o IR é pago por ocasião do resgate, temos o seguinte fluxo de caixa: $11.200,00 – $ 240,00
$10.000,00 iL =
FV − IR −1 PVno min al
iL =
$10.960 −1 $10.000
iL = 0,096 ou 9,6% a.s.
iL = 6 (1 + 0,096) − 1 iL = 0,0154 ou 1,54% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,096 ENTER 6 1x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,10 1,02
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,02 1,54
Taxa unitária Taxa percentual
b) Valor Bruto de Resgate Valor de Aplicação Rendimento Bruto: IR: 9% x $1.200 Rendimento Líquido:
$ 11.200,00 ($ 10.000,00) $ 1.200,00 ($ 108,00) $ 1.092,00
Como o IR é pago no momento da aplicação, temos o seguinte fluxo de caixa: $11.200,00
$ 10.000,00 + $ 108,00
iL =
FV −1 PV + IR
iL =
$11.200 −1 $10.108
iL = 0,1080 ou 10,80% a.s.
iL = 6 (1 + 0,1080) − 1 iL = 0,0172 ou 1,72% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,108 ENTER 6 1x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,11 1,02
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,02 1,72
Taxa unitária Taxa percentual
6) Sendo:
n = 6 meses i = 9,5% a.s. (0,095) r = 1,0% a.m. (0,01) CM = ?
Temos:
(r L) = (1 + 0,01) 6 − 1 (r L) = 0,0615 ou 6,15% a.s.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,01 ENTER 6 yx 1 100 < × > (r L ) =
1 + iL −1 1 + CM
0,0615 =
1 + 0,095 −1 1 + CM
Visor 0,00 1,01 1,06 0,06 6,15
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
1,0615 =
1,095 −1 1 + CM
1,0615 + 1,0615 CM = 1,095 1,0615 CM = 0,0335 CM = 0,0315 ou 3,15% a.s. 7) Sendo a taxa prefixada bruta de 2,1% a.m. e de 0,9% a.m. a inflação estimada do período. a) Sendo a rentabilidade nominal líquida do IR (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,021 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0168 ou 1,68% a.m. b) Sendo a rentabilidade real líquida do IR (r L ) = (r L ) =
1 + 0,0168 −1 1 + 0,009
1 + iL −1 1+ I
(r L ) = 0,0077 ou 0,77% a.m. c) Sendo a taxa pura (livre de risco) de 0,5% a.m., temos: 1,0077 −1 1,005 Taxa de risco = 0,0027 ou 0,27% a.m.
Taxa de risco =
Dessa forma, a taxa bruta 2,1% a.m.do título de renda fixa pode ser decomposta da seguinte forma:
Taxa Real = 0,77% Taxa Nominal Bruta = 2,1%
Taxa Nominal Líquida = 1,68% Taxa de Inflação = 0,9%
Taxa de Risco = 0,5% Taxa Pura = 0,27%
8) Transformando as taxas mensais em taxas equivalentes a cada prazo de resgate, temos:
Título A q
Taxa equivalente (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) =
30
(1 + 0,0116)114 − 1
(i q ) = 0,0448 ou 4,48% p/114 dias Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0116 ENTER 30 1 x y x
Visor 0,00 1,01 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
114 y x 1 100 < × >
1,04 0,04 4,48
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Título B q
Taxa equivalente (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) =
30
(1 + 0,0124)171 − 1
(i q ) = 0,0728 ou 7,28% p/171 dias Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0124 ENTER 30 1 x y x
Visor 0,00 1,01 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
171 y x 1 100 < × >
1,07 0,07 7,28
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Título C q
Taxa equivalente (i q ) = 1 + iL − 1
(i q ) =
30
(1 + 0,014) 212 − 1
(i q ) = 0,1032 ou 10,32% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0140 ENTER 30 1 x y x
Visor 0,00 1,01 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
212 y x 1 100 < × >
1,10 0,10 10,32
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
O valor presente da carteira é a soma dos valores presentes dos títulos individuais. PV =
FV FV FV + + n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n
PV =
10.923,00 12.920,00 31.180,00 + + 1,0448 1,0728 1,1032
PV = $10.454,62 + $12.043,57 + $28.262,33 PV = $50.760,52 9) Sendo:
Valor de face = $ 1.000 Cupom de juros = 10% a.a.(5% a.s.) YTM = 12% a.a. (6% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) valor de negociação = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
50,00 50,00 50,00 1050,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06) 8
P0 = $937,90
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 50 PMT 6 i 8 n PV CHS
Visor 0,00 1.000,00 50,00 6,00 8,00 937,90
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
10) Sendo:
Valor de face = $ 1.000 Valor de negociação = $ 1.015,20 Cupom de juros = 12% a.a.(6% a.s.) n = 10 anos (20 semestres) YTM = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
1.015,20 =
60,00 60,00 60,00 1.060,00 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) 20
YTM = 5,87% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 1.015,20 CHS PV 60 PMT 20 n i
Visor 0,00 1.000,00 -1.015,20 60,00 20,00 5,87
11) a) Sendo:
Valor de resgate = $ 1.000 Cupom de juros = 7,5% a.s YTM = 6% a.s. n = 8 anos (16 semestres) Valor de negociação = ?
Significado Limpa registradores Valor de resgate Valor de negociação do título Cupom semestral Prazo em semestres Taxa de retorno semestral
Temos
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
75,00 75,00 75,00 1075,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06)16
P0 = $1.151,59 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 75 PMT 6 i 16 n PV CHS
Visor 0,00 1.000,00 75,00 6,00 16,00 1.151,59
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
b) Sendo:
Valor de resgate = $ 1.000 Cupom de juros = 7,5% a.s YTM = 9% a.s. n = 8 anos (16 semestres) valor de negociação = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
75,00 75,00 75,00 1075,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,09) (1 + 0,09) (1 + 0,09) (1 + 0,09)16
P0 = $875,31 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 75 PMT 9 i 16 n PV CHS
Visor 0,00 1.000,00 75,00 9,00 16,00 875,31
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
12) Valor bruto da emissão:
10.000 UMC
( - ) Deságio (6%)
( 600 )
( - ) Despesas de emissão e lançamento
( 120 )
Valor líquido recebido pelo emitente
9.280 UMC
Cálculo da taxa de juros paga semestralmente: q
Sendo a taxa equivalente (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) =
(1 + 0,18) − 1
(i q ) = 0,0863 ou 8,63% a.s. Sendo o valor de resgate de 10.000 UMC, os juros pagos semestralmente são de: Juros = 10.000 x 0,0863 Juros = 862,78 Assim, a rentabilidade real efetiva semestral é de:
P0 =
J3 J + Pn J1 J2 + + +Λ + u 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n
9.280,00 =
862,78 862,78 862,78 10.862,78 + + +Λ + 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 6
i = 10,3% a.s. Rentabilidade real efetiva anual (i f ) = (1 + 0,1029) 2 − 1 (i f ) = 0,2164 ou 21,6% a.a.
(i f ) = (1 + i ) q − 1
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 10.000 FV 9.280 CHS PV 862,78 PMT 6 n i 100 < ÷ > 1 < + > 2 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 10.000,00 -9.280 862,78 20,00 10,30 1,10 1,22 0,22 21,65
Significado Limpa registradores Valor de resgate Valor de negociação do título Juros semestral Prazo em semestres Taxa de retorno semestral Taxa decimal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
13) a) Considerando os 60 dias entre o momento da emissão dos títulos e o da subscrição, o valor nominal é corrigido pela variação da UMC verificada no período. Valor de subscrição = 35.000debêntures × $1.000,00 × (1 + 0,023) × (1 + 0,018) Valor de subscrição = $36.449.490,00 b) Valor mensal dos juros para o primeiro semestre
Mês 0 1 2 3 4 5 6
Valor Nominal Corrigido $ 35.000.000,00 35.000.000,00 x 1,023 = 35.805.000,00 35.805.000,00 x 1,018 = 36.449.490,00 36.449.490,00 x 1,021 = 37.214.929,30 37.214.929,30 x 1,017 = 37.847.583,10 37.847.583,10 x 1,009 = 38.188.211,30 38.188.211,00 x 1,012 = 38.646.469,90
Juros $
37.214.929,30 x 37.847.583,10 x 38.188.211,00 x 38.646.469,90 x
1,53% = 569.388,40 1,53% = 579.068,00 1,53% = 584.279,60 1,53% = 591.291,00
c) O valor de resgate corresponde ao valor nominal corrigido da debênture: [(1 + 0,023 ) × (1 + 0,018) × (1 + 0,021) × (1 + 0,017) × (1 + 0,009) × Variação da UMC = × (1 + 0,012) × (1 + 0,013) × (1 + 0,016) × (1 + 0,020) × (1 + 0,024) × × (1 + 0,013) × (1 + 0,011) ] = 1,2156 = 21,56% Valor de resgate = (35.000debêntures × $1.000,00) × 1,2156 = $42.546.000,00
d) Não se verificando outras despesas de emissão e colocação, deságios, prêmios, etc., o custo efetivo real é a própria taxa de juros considerada na operação, ou seja, 20% a.a. 14)
Sendo a taxa nominal líquida do IR (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0234 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0187 ou 1,87% a.m. Sendo a taxa real líquida do IR (r L ) = 1 + 0,0187 −1 1 + 0,0078 (r L ) = 0,0108 ou 1,08% a.m.
1 + iL −1 1+ I
(r L ) =
e) Sendo a taxa pura (livre de risco) de 0,5% a.m., temos: Taxa de risco =
1 + 0,0108 −1 1 + 0,005
Taxa de risco = 0,0058 ou 0,58% a.m. Dessa forma, a taxa efetiva prefixada de 2,34% a.m.do CDB pode ser decomposta da seguinte forma:
Taxa Real = 1,08% Taxa Nominal Bruta = 2,34%
Taxa Nominal Líquida = 1,87% Taxa de Inflação = 0,78%
15) Sendo:
Valor de face = $ 1.000,00 Valor do deságio = 34% × $1.000,00 = $ 340,00 Valor de negociação = $ 660,00 Cupom de juros = 5% a.s. n = 3 anos (6 semestres) YTM = ?
Taxa de Risco = 0,5% Taxa Pura = 0,58%
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
660,00 =
50,00 50,00 50,00 1.050,00 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) 6
YTM = 13,66% a.s. Taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,1366) 2 − 1 (i f ) = 0,2919 ou 29,19% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 660 CHS PV 50 PMT 6 n i 100 < ÷ > 1 < + > 2 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1.000,00 -660,00 50,00 6,00 13,66 1,14 1,29 0,29 29,19
Significado Limpa registradores Valor de resgate Valor de negociação do título Cupom semestral Prazo em semestres Taxa de retorno semestral Taxa decimal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
16) a) Sendo:
Valor de face = $ 1.000 Cupom de juros = 6% a.s. YTM = 15% a.a. (7,5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Valor de negociação = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
60,00 60,00 60,00 1.060,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,075) (1 + 0,075) (1 + 0,075) (1 + 0,075) 8
P0 = $912,14
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 60 PMT 7,5 i 8 n PV CHS
Visor 0,00 1.000,00 60,00 7,50 8,00 912,14
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
b) Sendo:
Valor de face = $ 1.000 Cupom de juros = 6% a.s. YTM = 10% a.a. (5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Valor de negociação = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
60,00 60,00 60,00 1.060,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) 8
P0 = $1.064,63 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 60 PMT 5 i 8 n PV CHS
Visor 0,00 1.000,00 60,00 5,00 8,00 1.064,63
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
17) Sendo:
Valor de face = $ 1.000,00 Valor de negociação = $ 1.019,27 Cupom de juros = 13% a.a. (6,5% a.s.) n = 2 anos (4 semestres) YTM = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
1.019,27 =
65,00 65,00 65,00 1.065,00 + + + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) 4
YTM = 5,94% a.s. Taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,0594) 2 − 1 (i f ) = 0,1224 ou 12,24% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 1.019,27 CHS PV 65 PMT 4 n i 100 < ÷ > 1 2 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1.000,00 -1.019,27 65,00 4,00 5,94 1,06 1,12 0,12 12,24
Significado Limpa registradores Valor de resgate Valor de negociação do título Cupom semestral Prazo em semestres Taxa de retorno semestral Taxa decimal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
18) Supondo-se um CDB no valor de $1.000,00, temos: Valor do depósito compulsório: $1.000,00 × 0,10 = $100,00 Valor líquido do compulsório: $1.000,00 − 100,00 = $900,00 Taxa de juro efetiva = 27,4% a.a. Prazo = 50 dias q
Taxa efetiva equivalente para o período (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) = 360 (1 + 0,274) 50 − 1 (i q ) = 0,0342 ou 3,42% p/ 50 dias Assim, o valor que deve ser pago ao investidor corresponde ao principal mais os juros efetivos incorridos no período. Portanto: Valor a ser pago = $1.000,00 × (1,0342) = $1.034,21
O fluxo de caixa dessa operação pode ser representado da seguinte forma: $1.000,00
$100,00
$100,00
$1.034,21
O fluxo mostra os $1.000,00 captados pelo banco no início do período, bem como o depósito compulsório realizado no valor de ($100,00). Ao final dos 50 dias, o banco receberá de volta o valor do depósito compulsório, mas deve pagar ao investidor o principal acrescido dos juros efetivos previstos para o período ($ 1.034,21). Assim o custo efetivo de captação do banco pode ser calculado da seguinte forma: FV = PV (1 + i ) n (1.034,21 − 100,00) = (1.000,00 − 100,00) × (1 + i ) i=
934,21 −1 900,00
i = 0,038 ou 3,8% p/ 50 dias q
Taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) =
50
(1 + 0,038) 30 − 1
(i q ) = 0,0226 ou 2,26% a.m. q
Taxa efetiva equivalente anual (i q ) = 1 + i − 1 (i f ) = (1 + 0,0226)12 − 1 (i f ) = 0,3081 ou 30,81% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,274 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 1,27 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
50 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 3,42
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
1000 x >< y % 100 < – > FV 1.000 ENTER 100 < – > CHS PV 1 n i 100 < ÷ > 1 < + > 50 1 x y x
34,21 1.034,21 934,21 934,21 1.000,00 -900,00 -900,00 1,00 3,80 1,04 1,00
Juros a pagar sobre o principal Soma do principal com os juros FV líquido do depósito compulsório Valor futuro do fluxo de caixa Valor do principal FV líquido do depósito compulsório Valor presente do fluxo de caixa Prazo da operação Taxa de juros do período Taxa decimal Fator de atualização
30 y x 1 100 < × > 100 < ÷ > 1 < + > 12 y x 1 100 < × >
1,02 0,02 2,26 1,02 1,31 0,31 30,81
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual Taxa decimal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
19) Sendo:
Valor do CDB = $ 100.000,00 Valor do depósito compulsório: $100.000,00 × 0,10 = $10.000,00 Valor líquido do compulsório: $100.000,00 − 10.000,00 = $90.000,00 Taxa de juro efetiva = 31,8% a.a. Prazo = 61 dias q
a) Sendo a taxa efetiva equivalente para o período (i q ) = 1 + i − 1 (i q ) =
360
(1 + 0,318) 61 − 1
(i q ) = 0,0479 ou 4,79% p/ 61 dias Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,318 ENTER 360 1 x y x
Visor 0,00 1,32 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
61 y x 1 100 < × >
1,05 0,02 4,79
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
A taxa líquida, portanto, é (i L ) = (i b ) (1 – IR) (i L ) = 0,0479 (1 – 0,20) (i L ) = 0,0383 ou 3,83% p/ 61 dias q
Sendo a taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) =
61
(1 + 0,0383) 30 − 1
(i q ) = 0,0187 ou 1,87% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0383 ENTER 61 1 x y x
Visor 0,00 1,04 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
30 y x 1 100 < × >
1,02 0,02 1,87
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
b) O valor que deve ser pago ao aplicador corresponde ao principal mais os juros efetivos incorridos no período depois do IR. Portanto: Valor do resgate: $100.000,00 × 1,0383 = $103.831,83 c) Para o banco, o fluxo de caixa dessa operação pode ser representado da seguinte forma: $100.000,00
$10.000,00
$10.000,00
$104.789,80
O fluxo mostra os $100.000,00 captados pelo banco no início do período, bem como o depósito compulsório realizado no valor de ($10.000,00). Ao final dos 61 dias, o banco receberá de volta o valor do depósito compulsório, mas deve pagar ao investidor o principal acrescido dos juros efetivos antes do IR previstos para o período ($ 104.789,80), uma vez
que o IR é descontado do valor recebido pelo aplicador. Assim o custo efetivo de captação do banco pode ser calculado da seguinte forma: FV = PV × (1 + i ) n (104.789,80 − 10.000,00) = (100.000,00 − 10.000,00) × (1 + i ) i=
94.789,80 −1 90.000,00
i = 0,0532 ou 5,32% p/ 61 dias q
Taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) = 61 (1 + 0,0532) 30 − 1 (i q ) = 0,0258 ou 2,58% a.m. q
Taxa efetiva equivalente anual (i q ) = 1 + iL − 1 (i f ) = (1 + 0,0258)12 − 1 (i f ) = 0,358 ou 35,8% a.a. Solução na HP-12C: Teclas 104.789,80 ENTER 10.000 < – > FV 100.000 ENTER 10.000 < – > CHS PV 1 n i 100 < ÷ > 1 < + > 61 1 x y x
Visor 104.789,80 94.789,80 94.789,80 100.000,00 -90.000,00 -900,00 1,00 5,32 1,05 1,00
Significado Valor do resgate FV líquido do depósito compulsório Valor futuro do fluxo de caixa Valor do principal PV líquido do depósito compulsório Valor presente do fluxo de caixa Prazo da operação Taxa de juros do período Taxa decimal Fator de atualização
30 y x 1 100 < × > 100 < ÷ > 1 < + > 12 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 2,58 1,03 1,36 0,36 35,80
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual Taxa decimal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
d) Primeiramente, transformamos a taxa efetiva para 61 dias corridos em taxa diária, considerando-se 40 dias úteis: (i q ) = 40 1 + 0,0532 − 1 (i q ) = 0,0013 ou 0,13% a.d. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0532 ENTER 40 1 x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,05 1,00
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,001 0,13
Taxa unitária Taxa percentual
Depois, multiplicamos a taxa diária por 30, para obter a taxa over: Taxa over = 0,0013 x 30 dias Taxa over = 0,0389 Taxa over = 3,89% a.m. 20) a) Sendo:
Valor do título de renda fixa = $ 200.000,00 Taxa de juro efetiva = 2,2% a.m. Prazo = 120 dias FV
$200.000,00
Temos:
FV = PV × (1 + i ) n FV = 200.000,00 × (1 + 0,022) 4 FV = 200.000,00 × 1,0909
FV = 218.189,37 Solução na HP-12C: Teclas Visor f FIN f REG 0,00 200.000 CHS PV -200.000,00 2,2 i 2,20 4 n 4,00 FV 218.189,37
Significado Limpa registradores Valor de aplicação do título Taxa de juros do período Prazo da operação Valor de resgate do título
b) Após 50 dias da aplicação, o investidor, desejando negociar o título, deve descontar o valor que receberia por ele na data do seu vencimento ($ 218.189,37), pela a taxa de juros vigente de 1,6% a.m., para o período de 70 dias que ainda faltam para a data do resgate. $ 218.189,37
$200.000,00 PV =
PV =
PV =
PV FV (1 + i ) n
218.189,37 (1 + 0,016)
70
30
218.189,37 1,0377
PV = 210.255,93 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,6 i 70 ENTER 30 < ÷ > n 218.189,37 FV PV CHS c)
Visor 0,00 1,60 70,00 2,33 2,33 218.189,37 210.255,93
Significado Limpa registradores Taxa de juros do período Fator de capitalização Fator de atualização Prazo da operação Valor resgate do título em 120 dias Valor de negociação do título
Representando graficamente, temos: $ 210.255,93
$200.000,00 FV = PV × (1 + i ) n 210.255,93 = 200.000,00 × (1 + i ) i=
210.255,93 −1 200.000,00
i = 0,0513 ou 5,13% p/ 50 dias q
Sendo a taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) =
50
(1 + 0,0513) 30 − 1
(i q ) = 0,03046 ou 3,046% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 20.0000 CHS PV 210.255,93 FV 1 n i 100 < ÷ > 1 < + > 50 1 x y x
Visor 0,00 -200.000,00 210.255,93 1,00 5,13 1,05 1,00
Significado Limpa registradores Valor de aplicação do título Valor de resgate do título Prazo da operação Taxa de juros do período Taxa decimal Fator de atualização
30 y x 1 100 < × >
1,03 0,03 3,05
Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
21) Supondo-se um título pós-fixado no valor de $ 1.000, temos: Valor do imposto sobre movimentação financeira: $ 1.000 × 0,004 = $ 4,00
Taxa over = 2,6% a.m. Prazo = 3 meses (63 dias úteis) Primeiramente, transformamos a taxa over de 2,6% a.m. em taxa diária, considerando-se 63 dias úteis: Taxa diária =
Taxa diária =
Taxa _ over 30dias 0,026 30
Taxa diária = 0,0009 ou 0,09% a.d. Em seguida, encontramos a taxa efetiva da operação (3 meses), considerando-se que a taxa over foi estabelecida para 63 dias úteis: Taxa efetiva mensal (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,0009) 63 − 1 (i f ) = 0,0561 ou 5,61% a.t. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0009 ENTER 63 y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,00 1,06 0,06 5,61
Significado Limpa registradores Taxa diária Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Cálculo da taxa do IGPX para o período: IGPX 3meses =
IGPX 3meses =
IGPX resgate − IGPX aplicação IGPX aplicação 189,1 − 183,4 183,4
IGPX 3meses = 0,0311 ou 3,11% a.t. Assim, o valor que deve ser pago ao investidor após os três meses corresponde ao principal ($1.000,00), descontando-se o valor do imposto sobre movimentação financeira ($4,00) mais os juros efetivos incorridos no período (5,61%), corrigido pelo IGPX do trimestre (3,11). Portanto:
Valor do resgate = ($1.000 − $4) × 1,0561 × 1,0311 = $1.084,56 Valor do ganho nominal obtido na aplicação = ($1.084,56 - $ 996,00) × 0,20 = $17,71 Assim a rentabilidade efetiva e líquida do IR, obtida pelo investidor pode ser calculada da seguinte forma: $ 1.084,56
$ 1.000,00
$ 17,71
FV = PV × (1 + i ) n (1.084,56 − 17,71) = (1.000) × (1 + i ) i=
1.066,85 −1 1.000,00
i = 0,0668 ou 6,68% a.t. q
Taxa efetiva equivalente mensal (i q ) = 1 + iL − 1 (i q ) =
3
(1 + 0,0668) − 1
(i q ) = 0,0218 ou 2,18% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 CHS PV 1.084,56 ENTER 17,71 < – > FV 1 n i 100 < ÷ > 1 < + > 3 1x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 -1.000,00 1.084,56 -1.066,85 1,00 6,68 1,07 1,02
Significado Limpa registradores Valor do principal aplicado Valor de resgate Valor de resgate líquido do IR Prazo da operação Taxa de juros do período Taxa decimal Fator de atualização
0,02 2,18
Taxa unitária Taxa percentual
Cálculo da taxa do IGPM para o período: IGPM 3meses =
IGPM 3meses =
IGPM resgate − IGPM aplicação IGPM aplicação 160,8 − 153,7 153,7
IGPM 3meses = 0,0462 ou 4,62% a.t. Sendo a taxa real líquida do IR (r L ) = (r L ) =
1 + 0,0668 −1 1 + 0,0462
1 + iL −1 1+ I
(r L ) = 0,0197 ou 1,97% a.t. q
Sendo a taxa real equivalente mensal (r q ) = 1 + rL − 1 (r q ) = 3 (1 + 0,0197) − 1 (r q ) = 0,0065 ou 0,65% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0197 ENTER 3 1x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,02 1,01
Significado Limpa registradores Taxa real trimestral Fator de atualização
0,01 0,65
Taxa unitária Taxa percentual
22) Sendo:
Valor nominal = $ 10.000,00 Cupom de juros = 11% a.a. (5,5% a.s.) YTM = 13% a.a. (6,5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Preço de compra = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
550,00 550,00 550,00 10.055,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,065) (1 + 0,065) (1 + 0,065) (1 + 0,065) 8
P0 = $ 9.391,12 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 10.000 FV 550 PMT 6,5 i 8 n PV CHS
Visor 0,00 10.000,00 550,00 6,50 8,00 9.391,12
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
23) Sendo:
Valor nominal = $ 1.000,00 Cupom de juros = 4% a.s.) YTM = 12% a.a. (6% a.s.) n = 3 anos (6 semestres) Valor de compra = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
40,00 40,00 40,00 1.040,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06) 6
P0 = $ 901,65 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 10.000 FV 40 PMT 6 i 6 n PV CHS
Visor 0,00 10.000,00 40,00 6,00 6,00 901,65
24) Sendo:
Valor nominal = $ 1.000,00
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
Valor de negociação = $ 965,30 Cupom de juros = 10% a.a. (5% a.s.) n = 2 anos (4 semestres) YTM = ? Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + + Λ + (1 + YTM ) (1 + YTM ) 2 (1 + YTM ) 3 (1 + YTM ) n
965,30 =
50,00 50,00 50,00 1.050,00 + + + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) 4
YTM = 6% a.s. ou 12% a.a. Taxa efetiva (i f ) = (1 + i ) q − 1 (i f ) = (1 + 0,06) 2 − 1 (i f ) = 0,1236 ou 12,36% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.000 FV 965,30 CHS PV 50 PMT 4 n i 100 < ÷ > 1 < + > 2 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1.000,00 -965,30 50,00 4,00 6,00 1,06 1,12 0,12 12,36
Significado Limpa registradores Valor de resgate Valor de negociação do título Cupom semestral Prazo em semestres Taxa de retorno semestral Taxa decimal Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
25) a) Sendo:
Valor nominal = $ 50.000,00 Cupom de juros = 9% a.a. (4,5% a.s.) YTM = 12% a.a. (6% a.s.) n = 6 anos (12 semestres) Valor de compra = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
2.250,00 2.250,00 2.250,00 52.250,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06) (1 + 0,06)12
P0 = $43.712,12 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 50.000 FV 2.250 PMT 6 i 12 n PV CHS
Visor 0,00 50.000,00 2.250,00 6,00 12,00 43.712,12
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
b) Sendo:
Valor nominal = $ 50.000,00 Cupom de juros = 9% a.a. (4,5% a.s.) YTM = 11% a.a. (5,5% a.s.) n = 4 anos (8 semestres) Valor de compra = ?
Temos:
P0 =
C3 C u + Pn C1 C2 + + +Λ + 2 3 (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n
P0 =
2.250,00 2.250,00 2.250,00 52.250,00 + + +Λ + 2 3 (1 + 0,055) (1 + 0,055) (1 + 0,055) (1 + 0,055) 8
P0 = $ 46.832,72 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 50.000 FV 2.250 PMT 5,5 i 8 n PV CHS
Visor 0,00 50.000,00 2.250,00 5,50 8,00 46.832,72
Significado Limpa registradores Valor de resgate Cupom semestral Taxa de retorno semestral Prazo em semestres Valor de negociação do título
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 12 – Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 1)
SAC com carência Sendo:
Valor do empréstimo = $ 660.000,00 Prazo da Operação = 8 meses Carência = 3 meses Taxa de Juros = 2,5% a.m. (0,025)
Cálculos para os 3 primeiros meses Saldo Devedor (SD): Como não há amortização nos 3 primeiros meses, o saldo devedor continua sendo o mesmo valor do financiamento. SD1 = SD2 = SD3 = PV − Amort SD1 = SD2 = SD3 = $ 660.000,00 − 0 SD1 = SD2 = SD3 = $ 660.000,00
Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos durante a carência estipulada de 3 meses sobre o saldo devedor, que permanece constante. J t = PV × i J 1 = J 2 = J 3 = 660.000,00 × 2,5% J 1 = J 2 = J 3 = $ 16.500,00
Prestação (PMT): Assim, durante os 3 primeiros meses, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros. PMTt = J t PMT1 = PMT2 = PMT3 = $ 16.500,00
Cálculos a partir do 4º mês Amortização (Amort): A partir do quarto mês, tendo sido encerrada a carência de 3 meses, inicia-se a amortização do principal, cujo pagamento ocorre em parcelas iguais. Amort =
PV n
Amort =
660.000,00 8
Amort = $ 82.500,00
Saldo Devedor (SD): O valor do saldo devedor é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante da amortização. SDt = SDt −1 − Amort SD4 = SD3 − Amort SD4 = 660.000,00 − 82.500,00 SD4 = $ 577.500,00 SDt = SDt −1 − Amort SD5 = SD4 − Amort SD5 = 577.500,00 − 82.500,00 SD5 = $ 495.000,00 SDt = SDt −1 − Amort SD6 = SD5 − Amort SD5 = 495.000,00 − 82.500,00 SD5 = $ 412.500,00 E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 11º mês.
Juros (J): Em virtude da redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se como uma PA decrescente.
J t = SDt −1 × i J 4 = SD3 × i J 4 = 660.000,00 × 2,5% J 4 = $ 16.500,00 J t = SDt −1 × i J 5 = SD4 × i J 5 = 577.500,00 × 2,5% J 5 = $ 14.437,50 J t = SDt −1 × i J 6 = SD5 × i J 6 = 495.000,00 × 2,5% J 6 = $ 12.375,00 E assim, sucessivamente, até terminarem todas as prestações.
Prestação (PMT): A prestação é constituída do valor constante da amortização somado com os juros do período. PMTt = Amort + J t
PMT4 = Amort + J 4 PMT4 = 82.500,00 + 16.500,00 PMT4 = $ 99.000,00 PMTt = Amort + J t PMT5 = Amort + J 5 PMT5 = 82.500,00 + 14.437,50 PMT5 = $ 96.937,50 PMTt = Amort + J t PMT6 = Amort + J 6 PMT6 = 82.500,00 + 12.375,00 PMT6 = $ 94.875,00 E assim, sucessivamente, até terminarem todas as prestações.
Planilha de Cálculos Períodos (Meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Saldo Devedor ($) 660.000,00 660.000,00 660.000,00 660.000,00 577.500,00 495.000,00 412.500,00 330.000,00 247.500,00 165.000,00 82.500,00 -
Amortização ($) 82.500,00 82.500,00 82.500,00 82.500,00 82.500,00 82.500,00 82.500,00 82.500,00 660.000,00
Juros ($) 16.500,00 16.500,00 16.500,00 16.500,00 14.437,50 12.375,00 10.312,50 8.250,00 6.187,50 4.125,00 2.062,50 123.750,00
Prestação ($) 16.500,00 16.500,00 16.500,00 99.000,00 96.937,50 94.875,00 92.812,50 90.750,00 88.687,50 86.625,00 84.562,50 783.750,00
2)
SAF com carência Sendo: Valor do financiamento = $ 1.200.000,00 Prazo da Operação = 6 anos Carência = 2 anos Taxa de Juros = 15% a.a. (0,15) Cálculos para os 2 primeiros anos Saldo Devedor (SD): Como não há amortização nos 2 primeiros anos, o saldo devedor continua sendo o mesmo valor do financiamento.
SD1 = SD2 = PV − Amort SD1 = SD2 = $ 1.200.000,00 − 0 SD1 = SD2 = $ 1.200.000,00 Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos durante a carência estipulada de 2 anos sobre o saldo devedor, que permanece constante. J t = PV × i
J 1 = J 2 = 1.200.000,00 × 15% J 1 = J 2 = $ 180.000,00
Prestação (PMT): Assim, durante os 2 primeiros anos, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros. PMTt = J t PMT1 = PMT2 = $ 180.000,00
Cálculos a partir do 3º ano Prestação (PMT): Neste sistema, as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Assim, seu valor é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelopadrão de fluxos de caixa. PMT = PV ×
i 1 − (1 + i ) − n
PMT = 1.200.000,00 ×
0,15 1 − (1 + 0,15) −6
PMT = 1.200.000,00 × 0,264237 PMT = $ 317.084,29 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.200.000,00 CHS PV 6 n 15 i PMT
Visor 0,00 -1.200.000,00 6,00 15,00 317.084,29
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Prazo em anos Taxa de juros anual Valor das prestações
Juros (J): Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes ao longo do tempo. J t = SDt −1 × i J 3 = SD2 × i J 3 = 1.200.000,00 × 15% J 3 = $ 180.000,00
J t = SDt −1 × i J 4 = SD3 × i J 4 = 1.062.915,71 × 15% J 4 = $ 159.437,36 J t = SDt −1 × i J 5 = SD4 × i J 5 = 905.268,78 × 15% J 5 = $ 135.790,32 E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 8º ano.
Amortização (Amort): A partir do terceiro ano, tendo sido encerrada a carência de 2 anos, inicia-se a amortização do principal, cujo pagamento ocorre em parcelas crescentes ao longo do tempo. Amort 3 = PMT − J 3 Amort 3 = 317.084,29 − 180.000,00 Amort 3 = $ 137.084,29
Amort 4 = PMT − J 4 Amort 4 = 317.084,29 − 159.437,36 Amort 4 = $ 157.646,93 Amort 5 = PMT − J 5 Amort 5 = 317.084,29 − 135.790,32 Amort 5 = $ 181.293,97 E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 8º ano.
Saldo Devedor (SD): O valor do saldo devedor é decrescente ao longo do tempo. SDt = SDt −1 − Amort t SD3 = SD2 − Amort t SD3 = 1.200.000,00 − 137.084,29 SD3 = $ 1.062.915,71
SDt = SDt −1 − Amortt SD4 = SD3 − Amort 4 SD4 = 1.062.915,71 − 157.646,93 SD4 = $ 905.268,78 SDt = SDt −1 − Amortt SD5 = SD4 − Amort SD5 = 905.268,78 − 181.293,97 SD5 = $ 723.974,81 E assim, sucessivamente, até zerar o saldo devedor, ao final do 8º ano.
Planilha de Cálculos Períodos (Anos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total
Saldo Devedor ($) 1.200.000,00 1.200.000,00 1.200.000,00 1.062.915,71 905.268,78 723.974,81 515.486,74 275.725,47 -
Amortização ($) 137.084,29 157.646,93 181.293,97 208.488,07 239.761,28 275.725,47 1.200.000,00
Juros ($) 180.000,00 180.000,00 180.000,00 159.437,36 135.790,32 108.596,22 77.323,01 41.358,82 1.062.505,73
Prestação ($) 180.000,00 180.000,00 317.084,29 317.084,29 317.084,29 317.084,29 317.084,29 317.084,29 2.262.505,73
3)
SAA Sendo:
Valor do empréstimo = $5.000.000,00 Prazo da Operação = 24 meses (8 trimestres) Taxa de Juros = 3,6% a.t. (0,036)
Saldo Devedor (SD): Como não há amortizações durante o período de empréstimo, o saldo devedor permanece o mesmo valor do financiamento até o início do 12º quadrimestre, quando o empréstimo é liquidado. SD0 = SD2 = Λ = SD7 = PV − Amort SD0 = SD2 = Λ = SD7 = $ 5.000.000,00 − 0 SD0 = SD2 = Λ = SD7 = $ 5.000.000,00
Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos periodicamente durante o prazo da operação. J t = PV × i J 1 = J 2 = Λ = J 8 = 5.000.000,00 × 3,6% J 1 = J 2 = Λ = J 8 = $ 180.000,00
Prestação (PMT): Assim, durante todo o período de empréstimos, até a penúltima parcela, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros. PMTt = J t PMT1 = PMT2 = Λ = PMT7 = $ 180.000,00 A última prestação (8ª) é constituída pela amortização total do empréstimo e a última parcela dos juros. Deste modo: PMT8 = $ 5.180.000,00
Planilha de Cálculos Períodos Saldo Devedor (Trimestres) ($) 0 5.000.000,00 1 5.000.000,00 2 5.000.000,00 3 5.000.000,00 4 5.000.000,00 5 5.000.000,00 6 5.000.000,00 7 5.000.000,00 8 Total -
Amortização ($) 5.000.000,00 5.000.000,00
Juros ($) 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 1.440.000,00
4)
SAA Sendo:
Valor do empréstimo = $ 850.000,00 Prazo da Operação = 4 anos (12 quadrimestres) Taxa de Juros = 8,5% a.q. (0,085)
Prestação ($) 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 180.000,00 5.180.000,00 6.440.000,00
a)
Saldo Devedor (SD): Como não há amortizações durante o período de empréstimo, o saldo devedor permanece o mesmo valor do financiamento até o início do 12º quadrimestre, quando o empréstimo é liquidado. SD0 = SD2 = Λ = SD11 = PV − Amort SD0 = SD2 = Λ = SD11 = $ 850.000,00 − 0 SD0 = SD2 = Λ = SD11 = $ 850.000,00
Juros (J): Nesta situação, os juros são pagos periodicamente durante o prazo da operação. J t = PV × i J 1 = J 2 = Λ = J 12 = 850.000,00 × 8,5% J 1 = J 2 = Λ = J 12 = $ 72.250,00
Prestação (PMT): Assim, durante todo o período de empréstimos, até a penúltima parcela, a prestação é constituída unicamente dos encargos financeiros. PMTt = J t
PMT1 = PMT2 = Λ = PMT11 = $ 72.250,00 A última prestação (12ª) é constituída pela amortização total do empréstimo e a última parcela dos juros. Deste modo:
PMT12 = $ 922.250,00 Planilha de Cálculos
Períodos Saldo Devedor (Trimestres) ($) 0 850.000,00 1 850.000,00 2 850.000,00 3 850.000,00 4 850.000,00 5 850.000,00 6 850.000,00 7 850.000,00 8 850.000,00 9 850.000,00 10 850.000,00 11 850.000,00 12 Total -
Amortização ($) 850.000,00 850.000,00
Juros ($) 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 867.000,00
Prestação ($) 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 72.250,00 922.250,00 1.717.000,00
b) Representando graficamente, temos: FV = $ 850.000,00
PV 0
1
PMT
2
3
PMT PMT
4
5
PMT PMT
6
7
8
9
10
PMT PMT PMT PMT PMT
11
12 (quadrimestres)
PMT PMT
(1 + i ) n − 1 FV = PMT × i (1 + 0,04)12 − 1 850.000,00 = PMT × 0,04 850.000,00 PMT = 15,025805 PMT = $ 56.569,35 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 850.000 CHS FV 12 n 4 i PMT
Visor 0,00 -850.000,00 12,00 4,00 56.569,35
Significado Limpa registradores Valor do resgate Prazo em quadrimestres Taxa de aplicação quadrimestral Valor dos depósitos quadrimestrais
5) Sendo:
SD0 = $ 480.000,00
1º semestre
Amort1 = 0 (carência de 1 semestre) SDt = SDt −1 − Amortt SD1 = SD0 − Amort1
SD1 = 480.000,00 − 0 SD1 = $ 480.000,00 J t = SDt −1 × i J 1 = SD0 × i J 1 = 480.000,00 × 8% J 1 = $ 38.400,00
PMT1 = Amort1 + Juros1 PMT1 = 0 + 38.400,00 PMT1 = $ 38.400,00 2º semestre
Amort 2 = $ 30.000,00 SDt = SDt −1 − Amortt SD2 = SD1 − Amort 2 SD2 = 480.000,00 − 30.000,00 SD2 = $ 450.000,00 J t = SDt −1 × i J 2 = SD1 × i J 2 = 480.000,00 × 8% J 2 = $ 38.400,00
PMT2 = Amort 2 + Juros 2 PMT2 = 30.000,00 + 38.400,00 PMT2 = $ 68.400,00
3º semestre Amort 3 = $ 50.000,00 SDt = SDt −1 − Amortt SD3 = SD2 − Amort 3 SD3 = 450.000,00 − 50.000,00 SD3 = $ 400.000,00 J t = SDt −1 × i J 3 = SD2 × i J 3 = 450.000,00 × 8% J 3 = $ 36.000,00 PMT3 = Amort 3 + Juros 3 PMT3 = 50.000,00 + 36.000,00 PMT3 = $ 86.000,00 4º semestre
Amort 4 = $ 70.000,00 SDt = SDt −1 − Amortt SD4 = SD3 − Amort 4
SD4 = 400.000,00 − 70.000,00 SD4 = $ 330.000,00 J t = SDt −1 × i J 4 = SD3 × i J 4 = 400.000,00 × 8% J 4 = $ 32.000,00
PMT4 = Amort 4 + Juros 4 PMT4 = 70.000,00 + 32.000,00 PMT4 = $ 102.000,00 5º semestre Amort 5 = $ 90.000,00
SDt = SDt −1 − Amortt SD5 = SD4 − Amort 5 SD5 = 330.000,00 − 90.000,00 SD4 = $ 240.000,00 J t = SDt −1 × i J 5 = SD4 × i J 5 = 330.000,00 × 8% J 5 = $ 26.400,00 PMT5 = Amort 5 + Juros5 PMT5 = 90.000,00 + 26.400,00 PMT5 = $ 116.400,00 6º semestre Amort 6 = $ 110.000,00 SDt = SDt −1 − Amortt SD6 = SD5 − Amort 6 SD6 = 240.000,00 − 110.000,00 SD6 = $ 130.000,00 J t = SDt −1 × i J 6 = SD5 × i J 6 = 240.000,00 × 8% J 6 = $ 19.200,00 PMT6 = Amort 6 + Juros 6 PMT6 = 110.000,00 + 19.200,00 PMT6 = $ 129.200,00 7º semestre Amort 7 = $ 130.000,00 SDt = SDt −1 − Amortt SD7 = SD6 − Amort 7
SD7 = 130.000,00 − 130.000,00 SD7 = 0 J t = SDt −1 × i J 7 = SD6 × i J 7 = 130.000,00 × 8% J 7 = $ 10.400,00 PMT7 = Amort 7 + Juros 7 PMT7 = 130.000,00 + 10.400,00 PMT7 = $ 140.400,00
Planilha de Cálculos Períodos Saldo Devedor Amortização (Semestres) ($) ($) 0 480.000,00 1 480.000,00 2 450.000,00 30.000,00 3 400.000,00 50.000,00 4 330.000,00 70.000,00 5 240.000,00 90.000,00 6 130.000,00 110.000,00 7 130.000,00 Total 480.000,00
Juros ($) 38.400,00 38.400,00 36.000,00 32.000,00 26.400,00 19.200,00 10.400,00 200.800,00
Prestação ($) 38.400,00 68.400,00 86.000,00 102.000,00 116.400,00 129.200,00 140.400,00 680.800,00
6) Sendo:
Entrada = $ 60.000,00 PMT = $ 24.000,00 n=6 i = 2,5% a.m. (7,7% a.t.)
Taxa efetiva trimestral
(i f ) = (1 + iL) q − 1
(i f ) = (1 + 0,025) 3 − 1 (i f ) = 0,0769 ou 7,7% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,025 ENTER 3 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1,03 1,08 0,08 7,69
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Representando graficamente, temos: PV
0
$60.000,00
1
$24.000,00
PV = 60.000,00 +
2
$24.000,00
3
$24.000,00
5
4
$24.000,00
$24.000,00 $24.000,00
24.000,00 24.000,00 24.000,00 + +Λ + 2 (1 + 0,0769) (1 + 0,0769) (1 + 0,0769) 6
PV = $172.003,50 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 24.000 PMT 6 n 7,69 i PV CHS 60.000 < + >
Visor 0,00 24.000,00 6,00 7,69 112.003,49 172.003,49
7) Sendo:
PV = $ 240.000,00 n = 30 prestações i = 4% a.m. SD19 = ? J19 = ? PMT19 = ?
Amortização (Amort): PV n 240.000,00 Amort = 30 Amort = $ 8.000,00
Amort =
Saldo Devedor (SD): SDt = PV − t × Amort SD19 = 240.000,00 − 19 × 8.000,00 SD19 = 240.000,00 − 152.000,00 SD19 = $ 88.000,00
Significado Limpa registradores Valor das prestações Prazo em trimestres Valor da taxa trimestral de juros Valor presente das prestações Base de valor a vista do imóvel
6
Juros (J): Jt = J 19 =
PV × (n − t + 1) × i n 240.000,00 × (30 − 19 + 1) × 0,04 30
J 19 = $3.840,00
Prestação (PMT): PMTt = PMT19 =
PV × [1 + (n − t + 1) × i ] n 240.000,00 × [1 + (30 − 19 + 1) × 0,04] 30
PMT19 = $ 11.840,00 8) Sendo:
Valor do financiamento = $ 4.000.000,00 Prazo da Operação = 6 anos = 24 trimestres Taxa de Juros = 9% a.t. (0,09)
a) Neste sistema, as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Assim, seu valor é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelopadrão de fluxos de caixa. PMT = PV ×
i 1 − (1 + i ) − n
PMT = 4.000.000,00 ×
0,09 1 − (1 + 0,09) − 24
PMT = 4.000.000,00 × 0,103023 PMT = $ 412.090,24
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 4.000.000,00 CHS PV 24 n 9 i PMT
Visor 0,00 -4.000.000,00 24,00 9,00 412.090,24
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Prazo em trimestres Taxa de juros trimestral Valor das prestações
b) 1 − (1 + i ) − ( n −t ) SDt = PMT × i
SD14 = 412.090,24 ×
1 − (1 + 0,09) − ( 24−14 ) 0,09
SD14 = 412.090,24 × 6,417658 SD14 = $ 2.644.654,12 J t = SDt −1 × i J 15 = SD14 × i J 15 = 2.644.654,12 × 9% J 15 = $ 238.018,87 Amort15 = PMT − J 15 Amort15 = 412.090,24 − 238.018,87 Amort15 = $ 174.071,37 c)
SDt = PMT ×
1 − (1 + i ) − ( n −t ) i
1 − (1 + 0,09) − ( 24−7 ) SD7 = 412.090,24 × 0,09 SD7 = 412.090,24 × 8,543631 SD7 = $ 3.520.747,12
9) Sendo:
Taxa de juros contratada = 24% a.a. (0,24) Taxa linear mensal = 24%/12 = 2% a.m. (0,02) Taxa efetiva anual de juros = (1,02)12 – 1 = 0,268242 = 26,82% a.a.
a)
PMT = PV ×
i 1 − (1 + i ) − n
PMT = 2.000.000,00 ×
0,02 1 − (1 + 0,02) − 24
PMT = 2.000.000,00 × 0,052871 PMT = $ 105.742,19 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2.000.000,00 CHS PV 24 n 2 i PMT b)
Visor 0,00 -2.000.000,00 24,00 2,00 105.742,19
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Prazo em meses Taxa de juros linear simples Valor das prestações
1 − (1 + i ) − ( n −t ) SDt = PMT × i
SD18 = 105.742,19 ×
1 − (1 + 0,02) − ( 24−18) 0,02
SD18 = 105.742,19 × 5,601431 SD18 = $ 592.307,59 c) SDt = PMT ×
1 − (1 + i ) − ( n −t ) i
1 − (1 + 0,02) − ( 24−9) SD9 = 105.742,19 × 0,02 SD9 = 105.742,19 × 12,849264
SD9 = $ 1.358.709,32 J t = SDt −1 × i J 10 = SD9 × i J 10 = 1.358.709,32 × 2% J 10 = $ 27.174,18
Amort
1
= PMT − J 15
Amort10 = 105.742,19 − 27.174,18 Amort10 = $ 78.568,01 10) Sendo:
PV = $ 1.600.000,00 n = 32 meses i = 3% a.m. PMT10 = ? SD20 = ? J27 = ?
a) Prestação (PMT):
SAC PMTt =
PV × [1 + (n − t + 1) × i ] n
PMT10 =
1.600.000,00 × [1 + (32 − 10 + 1) × 0,03] 32
PMT10 = $ 84.500,00
SAF Neste sistema, as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Assim, seu valor é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelopadrão de fluxos de caixa. PMT = PV ×
i 1 − (1 + i ) − n
PMT = 1.600.000,00 ×
0,03 1 − (1 + 0,03) −32
PMT = 1.600.000,00 × 0,049047 PMT = $ 78.474,59 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.600.000,00 CHS PV 32 n 3 i PMT
Visor 0,00 -1.600.000,00 32,00 3,00 78.474,59
Significado Limpa registradores Valor do financiamento Prazo em meses Taxa de juros mensal Valor das prestações
SAM PMTSAM =
PMTSAC + PMTSAF 2
PMTSAM =
84.500,00 + 78.474,59 2
PMTSAM =
162.974,59 2
PMTSAM = $ 81.487,29 b) Saldo Devedor (SD):
SAC Amort =
PV n
Amort =
1.600.000,00 32
Amort = $ 50.000,00 SDt = PV − t × Amort SD20 = 1.600.000,00 − 20 × 50.000,00
SD20 = 1.600.000,00 − 1.000.000,00 SD20 = $ 600.000,00
SAF SDt = PMT ×
1 − (1 + i ) − ( n −t ) i
SD20 = 78.474,59 ×
1 − (1 + 0,03) − (32− 20) 0,03
SD20 = 78.474,59 × 9,954004 SD20 = $ 781.136,37
SAM SDSAM =
SDSAC + SDSAF 2
SDSAM =
600.000,00 + 781.136,37 2
SDSAM =
1.381.136,38 2
SDSAM = $ 690.568,19 c) Amortização (Amort):
SAC SAF
Amort = $ 50.000,00 Amort 27 = PMT − J 27 Amort 27 = 78.474,59 − 12.753,36 Amort 27 = $65.721,23
SAM Amort SAM =
Amort SAC + Amort SAF 2
Amort SAM =
50.000,00 + 65.721,23 2
Amort SAM =
115.721,23 2
Amort SAM = $ 57.860,62
Juros (J): SAC Jt =
PV × (n − t + 1) × i n
J 27 =
1.600.000,00 × (32 − 27 + 1) × 0,03 32
J 27 = $ 9.000,00
SAF SDt = PMT ×
1 − (1 + i ) − ( n −t ) i
SD26 = 78.474,59 ×
1 − (1 + 0,03) − (32− 26) 0,03
SD26 = 78.474,59 × 5,417191 SD26 = $ 425.111,87 J t = SDt −1 × i J 27 = SD26 × i J 27 = 425.111,87 × 3% J 27 = $ 12.753,36
SAM J SAM =
J SAC + J SAF 2
J SAM =
9.000,00 + 12.753,36 2
J SAM =
21.753,36 2
J SAM = $ 10.876,68 d)
PMTSAC = PMTSAF PV i × [1 + (n − t + 1) × i ] = PV × n 1 − (1 + i ) − n 1.600.000,00 0,03 × [1 + (32 − t + 1) × 0,03] = 1.600.000,00 × 32 1 − (1 + 0,03) −32 50.000,00 × (1 + 0,96 − 0,03t + 0,03) = 1.600.000,00 × 0,049047 50.000,00 + 48.000,00 − 1.500,00t + 1.500,00 = 78.474,59 − 1.500,00t + 99.500,00 = 78.474,59 − 1.500,00t = −21.025,41 t = 14,016941
As prestações do SAC e do SAF tornam-se iguais aproximadamente na 14ª prestação (t=14,016941). 11) Sendo:
Valor do financiamento = $ 500.000,00 Prazo da Operação = 180 meses Taxa de Juros = 1% a.m. (0,01) PMTSAC = PMTSAF PV i × [1 + (n − t + 1) × i ] = PV × n 1 − (1 + i ) − n 500.000,00 0,01 × [1 + (180 − t + 1) × 0,01] = 500.000,00 × 180 1 − (1 + 0,01) −180 2.777,78 × (1 + 1,8 − 0,01t + 0,01) = 500.000,00 × 0,012002
2.777,78 + 5.000,00 − 27,78t + 27,78 = 6.000,84 − 27,78t + 7.805,56 = 6.000,84 − 27,78t = −1.804,72 t = 64,969745 Os valores das prestações apuradas pelos dois sistemas tornam-se iguais por volta da 65ª prestação (t=64,96975). 12) Sendo:
Prazo da Operação = 6 anos Taxa de Juros = 48% a.a. (0,48)
Temos:
PMT = PV ×
i 1 − (1 + i ) − n
PMT = PV ×
0,48 1 − (1 + 0,48) −6
PMT = 0,530477 × PV PV 2 1 − (1 + i ) − ( n −t ) PV PMT × = i 2
SDt =
0,530477 × PV ×
1 − (1 + 0,48) − ( 6−t ) PV = 0,48 2
1,105161 × PV × [1 − (1,48) t − 6 ] = 0,5 × PV 1,105161 × [1 − (1,48) t −6 ] = 0,5 1 − (1,48) t − 6 = 0,452423 (1,48) t −6 = 0,547577 ln(1,48) t −6 = ln(0,547577)
(t − 6) × ln(1,48) = ln(0,547577) (t − 6) × ln(1,48) = ln(0,547577) t=
ln(0,547577) +6 ln(1,48)
t=
− 0,602252 +6 0,392042
t = −1,536191 + 6 t = 4,46 O saldo devedor da dívida estará reduzido à metade entre o 4º e o 5º pagamento (t = 4,46). 13) Sendo:
a)
PV = $ 180.000,00 n = 24 prestações i = 6% a.m. SD24 = ? J24 = ? PMT24 = ? PMTSAC = PMTSAF i PV × [1 + (n − t + 1) × i ] = PV × n 1 − (1 + i ) − n 180.000,00 0,06 × [1 + (24 − t + 1) × 0,06] = 180.000,00 × 24 1 − (1 + 0,06) − 24 7.500,00 × (1 + 1,44 − 0,06t + 0,06) = 180.000,00 × 0,079679 7.500,00 + 10.800,00 − 450,00t + 450,00 = 14.342,22 − 450,00t + 18.750,00 = 14.342,22 − 450,00t = −4.407,78 t = 9,795065
As parcelas das prestações se tornam iguais nos dois sistemas em torno do 10º pagamento. b)
SAC Amortização (Amort): Amort =
PV n
Amort =
180.000,00 24
Amort = $ 7.500,00
Saldo Devedor (SD): SDt = PV − t × Amort
SD12 = 180.000,00 − 12 × 7.500,00 SD12 = 180.000,00 − 90.000,00 SD12 = $ 90.000,00 Percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAC: SD12 90.000,00 = = 0,50 = 50% PV 180.000,00
SAF SDt = PMT ×
1 − (1 + i ) − ( n −t ) i
SD12 = 14.342,22 ×
1 − (1 + 0,06) − ( 24−12) 0,06
SD12 = 14.342,22 × 8,383844 SD12 = $ 120.242.94
Percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAF: SD12 120.242,94 = = 0,668 = 66,8% PV 180.000,00 14) Sendo:
Valor do financiamento = US$ 600.000,00 Prazo da Operação = 6 trimestres Amortizações = US$ 100.000,00 Taxa de Juros = 20% a.a. Comissão de repasse = 5% sobre o valor do repasse e cobrada no ato da liberação dos recursos. Comissão de abertura de crédito = 1% sobre o valor do repasse e cobrada no momento da liberação dos recursos.
Temos:
Taxa trimestral equivalente (i q ) = 1 + iL − 1
q
(i q ) = 4 (1 + 0,20) − 1 (i q ) = 0,0466 ou 4,66% a.t. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,2 ENTER 4 1x y x 1 100 < × >
Visor 0,00 1,20 1,05
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de atualização
0,05 4,66
Taxa unitária Taxa percentual
Planilha de Cálculos (em dólar) Períodos Saldo Devedor Amortização (Trimestres) ($) ($) 0 600.000,00 1 500.000,00 100.000,00 2 400.000,00 100.000,00 3 300.000,00 100.000,00 4 200.000,00 100.000,00 5 100.000,00 100.000,00 6 100.000,00 Total 600.000,00
Juros ($) 27.960,00 23.300,00 18.640,00 13.980,00 9.320,00 4.660,00 97.860,00
Prestação ($) 127.960,00 123.300,00 118.640,00 113.980,00 109.320,00 104.660,00 697.860,00
Cálculo do custo efetivo Para se determinar o custo efetivo da operação, deve-se primeiramente projetar o seu fluxo de caixa para se encontrar a taxa interna de retorno.
Entradas 600.000,00 (trimestres) 0
1
30.000,00+ 6.000,00
2
127.960,00
3
123.300,00
4
118.640,00
113.980,00
5
109.320,00
6
104.660,00
Desembolsos
600.000,00 − 30.000,00 − 6.000,00 = +
127.960,00 123.300,00 118.640,00 113.980,00 + + + + (1 + i ) (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 (1 + i ) 4
109.320,00 104.660,00 + (1 + i ) 5 (1 + i ) 6
564.000,00 =
127.960,00 123.300,00 118.640,00 113.980,00 109.320,00 104.660,00 + + + + + (1 + i ) (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 (1 + i ) 4 (1 + i ) 5 (1 + i ) 6
i = 6,69% a.t. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 564.000 CHS g CF0 127.960 g CFj 123.300 g CFj 118.640 g CFj 113.980 g CFj 109.320 g CFj 104.660 g CFj f IRR Taxa efetiva anual
Visor 0,00 -564.000,00 127.960,00 123.300,00 118.640,00 113.980,00 109.320,00 104.660,00 6,69
Significado Limpa registradores Repasse (–) comissões do banco Valor da primeira prestação Valor da segunda prestação Valor da terceira prestação Valor da quarta prestação Valor da quinta prestação Valor da sexta prestação Custo efetivo trimestral da operação
(i f ) = (1 + iL) q − 1
(i f ) = (1 + 0,0669) 4 − 1 (i f ) = 0,2956 ou 29,6% a.a. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1,0669 ENTER 4 yx 1 100 < × >
Visor 0,00 1,07 1,30 0,30 29,56
Resp.: Custo efetivo = 6,69% a.t. ou 29,6% a.a.
Significado Limpa registradores Taxa efetiva Fator de capitalização Taxa unitária Taxa percentual
Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 13 – Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras 1) a) Carteira “X” Aplicação
A B C D Total
Valor Presente (PV) $ 250.000,00 $ 440.000,00 $ 180.000,00 $ 300.000,00 $ 1.170.000,00
FV A = 250.000,00 × (1,035)
10
FV B = 440.000,00 × (1,055)
10
FVC = 180.000,00 × (1,03)
10
FV D = 300.000,00 × (1,04 )
10
Valor Futuro (FV) $ 352.649,69 $ 751.583,56 $ 241.904,95 $ 444.073,29 $ 1.790.211,49
Juros
$ 102.649,69 $ 311.583,56 $ 61.904,95 $ 144.073,29 $ 620.211,49
=
$
352.649,69
=
$
751.583,56
=
$
241.904,95
=
$ 444.073,29 $ 1.790.211,49
Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração: $ 1.790.211,49 10 (meses)
$ 1.170.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:
( )
FV = PV × 1 + i
( )
FV = 1+ i PV
n
n
( )
10 1.790.211,49 = 1+ i 1.170.000,00
(1 + i )
10
10
= 1,530095
(1 + i )
10
= 10 1,530095
i = 0,0435
i = 4,35% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 250.000 CHS PV 3,5 i 10 n FV ENTER 440.000 CHS PV 5,5 i FV 180.000 CHS PV 3,0 i FV 300.000 CHS PV 4,0 i FV CHS FV 1.170.000 PV i
Visor 0,00 -250.000,00 3,50 10,00 352.649,69 352.649,69 -440.000,00 5,50 751.583,56 1.104.233,25 -180.000,00 3,00 241.904,95 1.346.138,20 -300.000,00 4,00 444.073,29 1.790.211,49 -1.170.211,49 1.170.000,00 4,35
Significado Limpa registradores Valor da aplicação A Taxa mensal de A Prazo da aplicação Valor Futuro de A FV acumulado da carteira (A) Valor da aplicação B Taxa mensal de B Valor Futuro de B FV acumulado da carteira (A+B) Valor da aplicação C Taxa mensal de C Valor Futuro de C FV acumulado da carteira (A+B+C) Valor da aplicação D Taxa mensal de D Valor Futuro de D FV acumulado da carteira (A+B+C+D) Valor total do resgate Valor total da aplicação Taxa média composta
b) Carteira “W” Aplicação
A B C D Total
Valor Presente (PV) $ 130.000,00 $ 480.000,00 $ 250.000,00 $ 360.000,00 $ 1.220.000,00
Valor Futuro (FV) $ 233.461,32 $ 805.008,05 $ 447.711,92 $ 642.052,02 $ 2.128.233,32
Juros
$ 103.461,32 $ 325.008,05 $ 197.711,92 $ 282.052,02 $ 908.233,32
FV A = 130.000,00 × (1,05)
12
FV B = 480.000,00 × (1,09 )
6
FVC = 250.000,00 × (1,06)
10
FV D = 360.000,00 × (1,075)
8
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 130.000 CHS PV 5 i 12 n FV ENTER 480.000 CHS PV 9 i 6 n FV 250.000 CHS PV 6,0 i 10 n FV 360.000 CHS PV 7,5 i 8 n FV
=
$
233.461,32
=
$
805.008,05
=
$
447.711,92
=
$ 642.052,02 $ 2.128.233,32
Visor 0,00 -130.000,00 5,00 12,00 233.461,32 233.461,32 -480.000,00 9,00 6,00 805.008,05 1.038.469,38 -250.000,00 6,00 10,00 447.711,92 1.486.181,30 -360.000,00 7,50 8,00 642.052,02 2.128.233,32
Significado Limpa registradores Valor da aplicação A Taxa mensal de A Prazo da aplicação A Valor Futuro de A FV acumulado da carteira (A) Valor da aplicação B Taxa mensal de B Prazo da aplicação B Valor Futuro de B FV acumulado da carteira (A+B) Valor da aplicação C Taxa mensal de C Prazo da aplicação C Valor Futuro de C FV acumulado da carteira (A+B+C) Valor da aplicação D Taxa mensal de D Prazo da aplicação D Valor Futuro de D FV acumulado da carteira (A+B+C+D)
Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração: $ 805.008,05
$ 642.052,02
$ 447.711,92
6
8
10
$ 233.461,32 12 (meses)
$ 1.220.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido: 1.220.000,00 =
805.008,05
(1 + i )
6
+
642.052,02
(1 + i )
8
+
447.711,92
(1 + i )
10
+
233.461,32
(1 + i )
12
Resolvendo-se a expressão, chega-se a:
i = 7,24% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 1.220.000 CHS g CF0 0 g CF j 5 g Nj 805.008,05 g CF j 0 g CF j 642.052,02 g CF j 0 g CF j 447.711,92 g CF j 0 g CF j 233.461,32 g CF j f IRR
Visor 0,00 -1.220.000,00 0,00 5,00 805.008,05 0,00 642.052,02 0,00 447.711,92 0,00 233.461,32 7,24
Significado Limpa registradores Valor total da aplicação Insere carência Meses sem movimentação da carteira FV da aplicação B Mês sem movimentação da carteira FV da aplicação D Mês sem movimentação da carteira FV da aplicação C Mês sem movimentação da carteira FV da aplicação A Taxa média composta da carteira
c) Carteira “Z”
Momento da Aplicação t4 t3
Valor Futuro (FV) $ 172.583,99 $ 105.254,12
Juros
A B
Valor Presente (PV) $ 115.000,00 $ 70.000,00
C
$ 20.000,00
t 0 (hoje)
$ 28.211,98
$
D
$ 250.000,00
$ 294.306,25
$ 44.306,25
Total
$ 455.000,00
t8 -
$ 600.356,34
$ 145.356,34
Aplicação
FV A = 115.000,00 × (1,07 )
6
FV B = 70.000,00 × (1,06 )
7
FVC = 20.000,00 × (1,035)
10
FV D = 250.000,00 × (1,085)
2
=
$ 172.583,99
=
$ 105.254,12
=
$ 28.211,98
=
$ 294.306,25 $ 600.356,34
$ 57.583,99 $ 35.254,12 8.211,98
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 115.000 CHS PV 7 i 6 n FV ENTER 70.000 CHS PV 6 i 7 n FV 20.000 CHS PV 3,5 i 10 n FV 250.000 CHS PV 8,5 i 2 n FV
Visor 0,00 -115.000,00 7,00 6,00 172.583,99 172.583,99 -70.000,00 6,00 7,00 105.254,12 277.838,11 -20.000,00 3,50 10,00 28.211,98 306.050,08 -250.000,00 8,50 8,00 294.306,25 600.356,33
Significado Limpa registradores Valor da aplicação A Taxa mensal de A Prazo da aplicação A Valor Futuro de A FV acumulado da carteira (A) Valor da aplicação B Taxa mensal de B Prazo da aplicação B Valor Futuro de B FV acumulado da carteira (A+B) Valor da aplicação C Taxa mensal de C Prazo da aplicação C Valor Futuro de C FV acumulado da carteira (A+B+C) Valor da aplicação D Taxa mensal de D Prazo da aplicação D Valor Futuro de D FV acumulado da carteira (A+B+C+D)
Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração: $ 600.356,34 0
3
$ 20.000,00
$ 70.000,00
4
8
$ 115.000,00
$ 250.000,00
10 (meses)
O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:
( )
20.000,00 1 + i
10
( )
7
( )
6
( )
+ 70.000,00 1 + i + 115.000,00 1 + i + 250.000,00 1 + i
Resolvendo-se a expressão, chega-se a:
i = 6,60% a.m.
2
= 600.356,34
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 20.000 CHS g CF0 0 g CF j 2 g Nj 70.000 CHS g CF j 115.000 CHS g CF j 0 g CF j 3 g Nj 250.000 CHS g CF j 0 g CF j 1 g Nj 600.356,34 g CF j f IRR
Visor 0,00 -20.000,00 0,00 2,00 -70.000,00 -115.000,00 0,00 3,00 -250.000,00 0,00 1,00 600.356,34 6,60
Significado Limpa registradores Valor da aplicação C Insere carência Meses sem movimentação da carteira Valor da aplicação B Valor da aplicação A Insere carência Meses sem movimentação da carteira Valor da aplicação D Insere carência Meses sem movimentação da carteira FV total Taxa média composta da carteira
2)
Momento da Captação t 0 (hoje)
Valor Futuro (FV) $ 242.079,99
Juros
I
Valor da Captação ($) $ 180.000,00
II
$ 130.000,00
t9
$ 135.938,19
$
III
$ 100.000,00
t7
$ 110.408,08
$ 10.408,08
IV
$ 250.000,00
$ 307.468,47
$ 57.468,47
Total
$ 660.000,00
t5 -
$ 795.894,73
$ 135.894,73
Captação
FV I = 180.000,00 × (1,025)
12
FV II = 130.000,00 × (1,015)
3
FV III = 100.000,00 × (1,02 )
5
FVIV = 250.000,00 × (1,03)
7
Solução na HP-12C:
=
$ 242.079,99
=
$ 135.938,19
=
$ 110.408,08
=
$ 307.468,47 $ 795.894,73
$ 62.079,99 5.938,19
Teclas f FIN f REG 180.000 CHS PV 2,5 i 12 n FV ENTER 130.000 CHS PV 1,5 i 3 n FV 100.000 CHS PV 2 i 5 n FV 250.000 CHS PV 3 i 7 n FV
Visor 0,00 -180.000,00 2,50 12,00 242.079,99 242.079,99 -130.000,00 1,50 3,00 135.938,19 378.018,18 -100.000,00 2,00 5,00 110.408,08 488.426,26 -250.000,00 3,00 7,00 307.468,47 795.894,72
Significado Limpa registradores Valor da aplicação I Taxa mensal de I Prazo da aplicação I Valor Futuro de I FV acumulado da carteira (I) Valor da aplicação II Taxa mensal de II Prazo da aplicação II Valor Futuro de II FV acumulado da carteira (I+II) Valor da aplicação III Taxa mensal de III Prazo da aplicação III Valor Futuro de III FV acumulado da carteira (I+II+III) Valor da aplicação IV Taxa mensal de IV Prazo da aplicação IV Valor Futuro de IV FV acumulado da carteira (I+II+III+IV)
Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração: $ 795.894,73 0
5
$ 180.000,00
7
$ 250.000,00
9
$ 100.000,00
10 (meses)
$ 130.000,00
O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:
( )
180.000,00 1 + i
12
( )
7
( )
5
( )
3
+ 250.000,00 1 + i + 100.000,00 1 + i + 130.000,00 1 + i = 795.894,73
Resolvendo-se a expressão, chega-se a:
i = 2,56% a.m.
Solução na HP-12C:
Teclas f FIN f REG 180.000 CHS g CF0 0 g CF j 4 g Nj 250.000 CHS g CF j 0 g CF j 100.000 CHS g CF j 0 g CF j 130.000 CHS g CF j 0 g CF j 2 g Nj 795.894,73 g CF j f IRR
Visor 0,00 -180.000,00 0,00 4,00 -250.000,00 0,00 -100.000,00 0,00 -130.000,00 0,00 2,00 795.894,73 2,56
Significado Limpa registradores Valor da captação I Insere carência Meses sem movimentação da carteira Valor da captação IV Insere um mês sem movimentação Valor da captação III Insere um mês sem movimentação Valor da captação II Insere carência Meses sem movimentação da carteira Valor do resgate no final Custo médio da carteira de captações
3) Sendo:
P0 = $ 1.000,00 YTM = 10% a.a. = 5% a.s. (0,05) C = $ 1.000,00 × 0,05 = $ 50,00 t = 3 anos ou 6 semestres D =? n
Temos:
Duration( D) =
j =1
C t × (t ) / (1 + YTM )
t
P0
$ 50 $ 50 × 2 $ 50 × 3 $ 50 × 4 $ 50 × 5 $ 1.050 × 6 + + + + + 3 4 5 1,05 (1,05)2 ( ( ( (1,05)6 1,05) 1,05) 1,05) D= $ 1.000,00 D=
$ 5.329,48 $ 1.000,00
D = 5,329 semestres
4)
Título
A B C D Total
Prazo de resgate 58 dias 70 dias 98 dias 112 dias -
Valor do resgate (FV) $ 37.800,00 $ 21.400,00 $ 55.400,00 $ 68.300,00 $ 182.900,00 58
Taxa de juros 1,1% a.m. 1,3% a.m. 1,5% a.m. 1,6% a.m. -
PV A = 37.800,00 / (1,011) 30
=
$ 37.008,90
PV B = 21.400,00 / (1,013)
70 30
=
$ 20.764,67
PVC = 55.400,00 / (1,015)
98 30
=
$ 52.770,03
112 30
=
$ 64.370,10 $ 174.913,70
PV D = 68.300,00 / (1,016 )
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 37.800 CHS FV 1,1 i 58 ENTER 30 < ÷ > n PV ENTER 21.400 CHS FV 1,3 i 70 ENTER 30 < ÷ > n PV 55.400 CHS FV 1,5 i 98 ENTER 30 < ÷ > n PV 68.300 CHS FV 1,6 i 112 ENTER 30 < ÷ > n PV
Visor 0,00 -37.800,00 1,10 1,93 37.008,90 37.008,90 -21.400,00 1,30 2,33 20.764,67 57.773,57 -55.400,00 1,50 3,27 52.770,03 110.543,61 -68.300,00 1,60 3,73 64.370,10 174.913,71
Juros Valor da Aplicação (PV) $ 37.008,90 $ 791,10 $ 20.764,67 $ 635,33 $ 52.770,03 $ 2.629,97 $ 64.370,10 $ 3.929,90 $ 174.913,70 $ 7.986,30
Significado Limpa registradores Valor do resgate do título A Taxa de juros do título A Prazo do resgate do título A Valor da aplicação do título A PV acumulado da carteira (A) Valor do resgate do título B Taxa de juros do título B Prazo do resgate do título B Valor da aplicação do título B PV acumulado da carteira (A+B) Valor do resgate do título C Taxa de juros do título C Prazo do resgate do título C Valor da aplicação do título C PV acumulado da carteira (A+B+C) Valor do resgate do título D Taxa de juros do título D Prazo do resgate do título D Valor da aplicação do título D PV acumulado da carteira (A+B+C+D)
Graficamente, a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração:
$ 182.900,00 0
14
42
54
$ 64.370,10
$ 52.770,03
$ 20.764,67
$ 37.008,90
112 (dias)
O cálculo da taxa média ( i ) é obtido:
( )
64.370,10 1 + i
112 30
( )
+ 52.770,03 1 + i
98 30
( )
+ 20.764,67 1 + i
70 30
( )
+ 37.008,90 1 + i
58 30
= 182.900,00
Resolvendo-se a expressão, chega-se a:
i = 1,47% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 64.370,10 CHS g CF0 0 g CF j 13 g N j 52.770,03 CHS g CF j 0 g CF j 27 g N j 20.764,67 CHS g CF j 0 g CF j 11 g N j 37.008,90 CHS g CF j 0 g CF j 57 g N j 182.900 g CF j f IRR 100 < ÷ > 1 < + > 30 < y x > 1 100
Visor 0,00 -64.370,10 0,00 13,00 -52.770,03 0,00 27,00 -20.764,67 0,00 11,00 -37.008,90 0,00 57,00 182.900,00 0,05 1,00 1,47
Significado Limpa registradores Valor da aplicação D Insere carência Dias sem movimentação da carteira Valor da aplicação C Insere carência Dias sem movimentação da carteira Valor da aplicação B Insere carência Dias sem movimentação da carteira Valor da aplicação A Insere carência Dias sem movimentação da carteira Valor total do resgate Rentabilidade média diária da carteira Transformação p/ rentabilidade mensal Rentabilidade média da carteira
Para cálculo do prazo médio têm-se as seguintes informações:
t j =1 t j =1
VBF j =
t j =1
FV j = $ 182.900,00
PV j = 64.370,10 + 52.770,03 + 20.764,67 + 37.008,90 = $ 174.913,70
i = 1,47% a.m. Aplicando-se a fórmula de cálculo, chega-se a: t j =1
VBF j =
t j =1
( )
PV j 1 + i
n
182.900,00 = 174.913,70 × (1,0147...) 182.900,00 174.913,70
(1,0147...)n
=
(1,0147...)n
= 1,045658516
n=
log 1,045658516 log 1,014749756
n=
0,044646846 0,014642036
n = 3,049223834 meses ou n = 3,049223834 × 30 n = 91,477 dias
5)
n
Sendo:
Captação A B C Total
Valor da Captação (Valor atual) $ 50.000,00 $ 120.000,00 $ 30.000,00 $ 200.000,00
Número de Pagamentos Mensais* 5 8 11 -
Taxa de Juros 3,1% a.m. 3,6% a.m. 2,5% a.m. -
* Pagamentos mensais, iguais e sucessivos (PMT). Pelos dados apresentados, são apurados os seguintes resultados:
PMT A = 50.000,00 / FPV (3,1%, 5) PMTB = 120.000,00 / FPV (3,6%, 8) PMTC = 30.000,00 / FPV (2,5%, 11)
Utilizando a expressão
(1)
PMT = PV /
PMT A = 50.000,00 /
1 − (1 + i ) − n , temos que: i
1 − (1 + 0,031) −5 0,031
PMT A = $ 10.948,92
(2)
PMTB = 120.000,00 /
1 − (1 + 0,036) −8 0,036
PMTB = $ 17.530,13
(3)
1 − (1 + 0,025) −11 PMTC = 30.000,00 / 0,025 PMTC = $ 3.153,18
Solução na HP-12C:
= = =
$ 10.948,92 (1) $ 17.530,13 (2) $ 3.153,18 (3)
Teclas f FIN f REG 50.000 CHS PV 5 n 3,1 i PMT
Visor 0,00 -50.000,00 5,00 3,10 10.948,92
Significado Limpa registradores Valor da captação de A Número de pagamentos de A Taxa de juros de A Valor da parcela mensal de A
120.000 CHS PV 8 n 3,6 i PMT
-120.000,00 8,00 3,60 17.530,13
Valor da captação de B Número de pagamentos de B Taxa de juros de B Valor da parcela mensal de B
30.000 CHS PV 11 n 2,5 i PMT
-30.000,00 11,00 2,50 3.153,18
Valor da captação de C Número de pagamentos de C Taxa de juros de C Valor da parcela mensal de C
Dessa maneira, evidenciam-se as seguintes saídas periódicas de caixa provenientes das captações financeiras realizadas: Mês 1: Mês 2: Mês 3: Mês 4: Mês 5: Mês 6: Mês 7: Mês 8: Mês 9: Mês 10: Mês 11:
10.948,92 10.948,92 10.948,92 10.948,92 10.948,92
+ + + + +
17.530,13 17.530,13 17.530,13 17.530,13 17.530,13 17.530,13 17.530,13 17.530,13
+ + + + + + + +
3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18 3.153,18
= = = = = = = = = = =
$ 31.632,23 $ 31.632,23 $ 31.632,23 $ 31.632,23 $ 31.632,23 $ 20.683,31 $ 20.683,31 $ 20.683,31 $ 3.153,18 $ 3.153,18 $ 3.153,18
De acordo com a definição proposta, a taxa média de retorno da carteira de captações é aquela que, ao descontar os fluxos de caixa, apura um valor igual ao embolso inicial. Logo:
200.000,00 =
31.632,23 31.632,23 31.632,23 31.632,23 31.632,23 + + + + + 2 3 4 5 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i
+
( )
( )
20.683,31
(1 + i )
6
+
( )
20.683,31
(1 + i )
7
+
( )
20.683,31
(1 + i )
8
+
3.153,18
(1 + i )
9
( )
+
3.153,18
(1 + i )
10
+
3.153,18
(1 + i )
11
Efetuando-se os cálculos com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa de:
i = 3,29% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 200.000 CHS g CF0 31.632,23 g CF j 5 g Nj 20.683,31 g CF j 3 g Nj 3.153,18 g CF j 3 g Nj f IRR
Visor 0,00 -200.000,00 31.632,23 5,00 31.632,23 5,00 3.153,18 5,00 3,29
Significado Limpa registradores Valor total da captação inicial Pagamento dos meses 1 a 5 Meses c/ mesmo valor de pagamento Pagamento dos meses 6 a 8 Meses c/ mesmo valor de pagamento Pagamento dos meses 9 a 11 Meses c/ mesmo valor de pagamento Taxa média de juros da carteira
6) Sendo:
P0 = $ 14.500,00 t = 12 meses C = $ 1.482,90 D =? Cálculo da YTM PV = PMT × FPV (i, n) 14.500,00 = 1.482,90 × FPV (i, 12) 14.500,00 =
1.482,90 1.482,90 1.482,90 1.482,90 1.482,90 + + + + ... + 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )12
Resolvendo-se: i = 0,033...% a.m. ∴YTM = 3,30...% a.m.
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 14.500 CHS PV 12 n 1.482,90 PMT i
Visor 0,00 -14.000,00 12,00 -1.482,90 3,30
Significado Limpa registradores Valor da operação de crédito ( P0 ) Quantidade de prestações (t) Valor das prestações (C) YTM
Cálculo do prazo médio (duration de Macaulay): n j =1
Duration( D) =
C t × (t ) / (1 + YTM )
t
P0
$ 1.482,90 $ 1.482,90 × 2 $ 1.482,90 × 3 $ 1.482,90 × 4 $ 1.482,90 × 12 + + + + ... + 2 3 4 1,033... (1,033...) (1,033...) (1,033...5) (1,033...5)12 D= $ 14.500,00 $ 1.435,53 + $ 2.779,34 + $ 4.035,84 + $ 5.209,22 + $ 6.303,51 + $ 7.322,58 D= + $ 14.500,00
+
D=
$ 8.270,10 + $ 9.149,62 + $ 9.964,50 + $ 10.717,98 + $ 11.413,16 + $ 12.052,99 $ 14.500,00
$ 88.654,37 $ 14.500,00
D = 6,11 meses 7) Sendo:
Captação Alternativa a Alternativa b
Valor da Captação (Valor atual) $ 300.000,00 $ 540.000,00
Número de Pagamentos Mensais 4 7
Taxa Forma de de Juros pagamento 6% a.m. Mensais, iguais e sucessivas 8% a.m. Resgate ao final
Pelos dados apresentados, são apurados os seguintes resultados:
Alternativa a PMTa =
300.000,00 / FPV (6%, 4)
Forma de cálculo:
PMT = PV /
=
$ 86.577,45
1 − (1 + i ) − n i
PMTa = 300.000,00 /
1 − (1 + 0,06) −4 0,06
PMTa = $ 86.577,45 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 300.000 CHS PV 4 n 6 i PMT
Visor 0,00 -300.000,00 4,00 6,00 86.577,45
Significado Limpa registradores Valor da captação de a Número de pagamentos de a Taxa de juros de a Valor das prestações de a
Alternativa b FV = PV (1 + i ) n FV = 540.000,00 (1 + 0,08) 7 FV = $ 925.465,11 Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 540.000 CHS PV 8 i 7 n FV
Visor 0,00 -540.000,00 8,00 7,00 925.465,11
Significado Limpa registradores Valor líquido captado Taxa de juros Prazo em meses Valor do pagamento no 7º mês
Representando graficamente os fluxos de caixa, temos:
Alternativa a
$ 86.577,45
$ 86.577,45
1
2
0
$ 86.577,45
$ 86.577,45
3
4 (meses)
$ 300.000,00 Alternativa b
$ 925.465,11 7 (meses)
$ 540.000,00 Soma dos fluxos a e b $ 86.577,45
$ 86.577,45
$ 86.577,45
$ 86.577,45
1
2
3
4
0
$ 925.465,11 7 (meses)
$ 840.000,00 O cálculo da taxa média ( i ) é obtido: 840.000,00 =
86.577,45 86.577,45 86.577,45 86.577,45 925.465,11 + + + + 2 3 4 7 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i
( )
( )
( )
( )
( )
Resolvendo-se a expressão, chega-se a:
i = 7,68% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 840.000 CHS g CF0 86.577,45 g CF j 4 g Nj 0 g CF j 2 g Nj 925.465,11 g CF j f IRR
Visor 0,00 -840.000,00 86.577,45 4,00 0,00 2,00 925.465,11 7,68
Significado Limpa registradores Valor total da captação inicial Pagamento dos meses 1 a 4 Meses c/ mesmo valor de pagamento Insere fluxo zero Meses sem movimentação Pagamento do mês 7 Taxa média das captações financeiras
8) Sendo:
Valor do Número de Empréstimo Empréstimo Pagamentos (Valor atual) Mensais I $ 70.000,00 4 II $ 200.000,00 7 Total $ 270.000,00 -
Valor da prestação $ 25.000,00 $ 40.000,00 -
Formato das Prestações Semestrais, iguais e sucessivas Semestrais, iguais e sucessivas -
Representando graficamente os fluxos de caixa, temos: Empréstimo I $ 25.000,00
$ 25.000,00
1
2
$ 40.000,00
$ 40.000,00
1
2
0
$ 25.000,00 3
$ 25.000,00 4 (semestres)
$ 70.000,00 Empréstimo II
0
$ 40.000,00 3
$ 40.000,00 7 (semestres)
$ 200.000,00 Dessa maneira, evidenciam-se as seguintes saídas periódicas de caixa provenientes dos empréstimos realizados: Semestre 1: Semestre 2: Semestre 3: Semestre 4: Semestre 5: Semestre 6: Semestre 7:
25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
+ + + +
40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00
= = = = = = =
$ 65.000,00 $ 65.000,00 $ 65.000,00 $ 65.000,00 $ 40.000,00 $ 40.000,00 $ 40.000,00
De acordo com a definição proposta, a taxa média de retorno da carteira de empréstimos é aquela que, ao descontar os fluxos de caixa, apura um valor igual ao embolso inicial. Logo:
270.000,00 =
65.000,00 65.000,00 65.000,00 65.000,00 40.000,00 + + + + + 2 3 4 5 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i
( )
+
( )
40.000,00
(1 + i )
6
+
( )
( )
( )
40.000,00
(1 + i )
7
Efetuando-se os cálculos com o auxílio de uma calculadora financeira, chega-se à taxa de:
i = 10,5% ao semestre (0,105) ou
i = 6 1 + 0,105 − 1 = 0,0168 i = 1,68% a.m. Solução na HP-12C: Teclas Visor f FIN f REG 0,00 270.000 CHS g CF0 -270.000,00 65.000 g CF j 65.000,00 4 g Nj 4,00 40.000 g CF j 40.000,00 3 g Nj 300 f IRR 10,50 100 CHS FV -110,50 100 PV 100,00 180 ENTER 30 < ÷ > n 6,00 i 1,68
Significado Limpa registradores Valor total do empréstimo inicial Pagamento dos semestres 1 a 4 Semestres c/mesmo valor de pagamento Pagamento dos meses 5 a 7 Semestres c/mesmo valor de pagamento Taxa média semestral de juros Transformação para taxa mensal Transformação para taxa mensal Transformação para taxa mensal Taxa média mensal de juros
Soma dos fluxos a e b
0 $ 840.000,00
$ 86.577,45
$ 86.577,45
$ 86.577,45
$ 86.577,45
1
2
3
4
$ 925.465,11 7 (meses)
O cálculo da taxa média ( i ) é obtido: 840.000,00 =
86.577,45 86.577,45 86.577,45 86.577,45 925.465,11 + + + + 2 3 4 7 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i
( )
( )
( )
( )
( )
Resolvendo-se a expressão, chega-se a:
i = 7,68% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 840.000 CHS g CF0 86.577,45 g CF j 4 g Nj 0 g CF j 2 g Nj 925.465,11 g CF j f IRR
Visor 0,00 -840.000,00 86.577,45 4,00 0,00 2,00 925.465,11 7,68
Significado Limpa registradores Valor total da captação inicial Pagamento dos meses 1 a 4 Meses c/ mesmo valor de pagamento Insere fluxo zero Meses sem movimentação Pagamento do mês 7 Taxa média das captações financeiras
Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição Resolução dos Exercícios Propostos
Capítulo 14 – Matemática Financeira e Avaliação de Ações 1) Sendo: P0 = $ 2,20 D1 = $ 0,14 P1 = $ 2,46 K=? Representando graficamente temos:
0
1 (ano)
P0 = $ 2,20 Resolvendo-se: P0 =
D1 P1 + (1 + K ) (1 + K )
2,20 =
0,14 2,46 + (1 + K ) (1 + K )
2,20 =
2,60 (1 + K )
1+ K =
2,60 2,20
K = 1,1818 − 1 K = 0,1818…= 18,18% a.a. ou
K=
(
12
D1 = $ 0,14 P1 = $ 2,46
)
1 + 0,1818... − 1
K = 0,14… ou 1,4% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 2,20 CHS PV 0,14 ENTER 2,46 < + > FV 1 n i 100 < + > CHS FV 100 PV 360 ENTER 30 < ÷ > n i
Visor 0,00 -2,20 0,14 2,60 1,00 18,18 -118,18 100,00 12,00 1,40
Significado Limpa registradores Preço de aquisição da ação ( t 0 ) Valor do dividendo em t1 Preço de venda + dividendo em t1 Prazo da operação Retorno esperado anual Transformação para taxa mensal Transformação para taxa mensal Transformação para taxa mensal Retorno esperado mensal
2) Sendo: D1 = $ 0,22 P1 = $ 4,40 K = 12% a.a. (0,12) P0 = ? Representando graficamente temos:
0 P0 = ? Resolvendo-se: P0 =
D1 P1 + (1 + K ) (1 + K )
P0 =
0,22 4,40 + 1 + 0,12 1 + 0,12
P0 =
4,62 1,12
P0 = $ 4,125
D1 = $ 0,22 P1 = $ 4,40 1 (ano)
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0,22 ENTER 4,40 < + > CHS FV 12 i 1 n PV
Visor 0,00 0,22 4,62 12,00 1,00 4,125
3) Sendo:
Temos:
D = $ 1,37 P0 = $ 10,50 K=? P0 =
D K
10,50 = K=
1,37 K
1,37 10,50
K = 0,1305... ∴ K = 13,05% a.a. 4) Sendo:
Temos:
K = 18% a.a. (0,18) D = $ 1,00 g = 3% a.a. (0,03) P0 = ? P0 =
D1 K−g
P0 =
1,00 0,18 − 0,03
P0 = $ 6,67
Significado Limpa registradores Valor do dividendo em t1 Preço de mercado + dividendo em t1 Taxa de rentabilidade esperada Prazo da operação Preço corrente da ação
5) a) Sendo:
g = 5% a.a. (0,05) D = $ 1,25 K = 12% a.a. (0,12) P0 = ?
Temos:
P0 =
D1 K−g
P0 =
1,25 0,12 − 0,05
P0 = $ 17,86 b) Sendo:
g = 5% a.a. (0,05) D = $ 1,25 K = 15% a.a. (0,15) P0 = ?
Temos:
P0 =
D1 K−g
P0 =
1,25 0,15 − 0,05
P0 = $ 12,50 6) a) Sendo:
P0 = $ 14,00 g = 6% a.a. (0,06) K = 18% a.a. (0,18) D1 = ?
Temos:
P0 =
D1 K−g
14,00 =
D1 0,18 − 0,06
D1 = 14,00 × 0,12 D1 = $ 1,68 b) Sendo:
g = 4% a.a. (0,04) K = 18% a.a. (0,18) D1 = $ 1,14 P0 = ?
Temos:
P0 =
D1 K−g
P0 =
1,14 0,18 − 0,04
P0 = $ 8,14 7) a) Sendo:
D0 = $ 0,65
Temos:
g (para os três primeiros anos) = 8% a.a. (0,08) g (indefinidamente)= 6% a.a. (0,06)
D1 = 0,65(1 + 0,08) = $ 0,70 K = 24% a.a. (0,24)
Utilizando a expressão abaixo, D0 (1 + g ) D0 (1 + g ) D (1 + g ) + + 0 2 (1 + K ) (1 + K ) (1 + K )3 2
P0 =
fluxo definido com taxa de crescimento g
3
+
D1 K−g
(1 + K )−3
×
fluxo indefinido com taxa de crescimento g
carência de 3 anos
Temos: 0,65 × (1 + 0,08) 0,65 × (1 + 0,08) 0,65 × (1 + 0,08) P0 = + + 2 (1 + 0,24) (1 + 0,24) (1 + 0,24 )3 2
3
+ ...
... +
0,65(1 + 0,08) × (1 + 0,06 ) −3 × (1 + 0,24 ) 0,24 − 0,06 3
P0 = 0,57 + 0,49 + 0,43 + 2,53 P0 = $ 4,02 b) Sendo:
D0 = $ 0,65
Temos:
g (para os cinco primeiros anos) = 12% a.a. (0,12) g (indefinidamente) = nulo
D1 = 0,65(1 + 0,08) = $ 0,70 K = 24% a.a. (0,24)
Utilizando a expressão abaixo, D0 (1 + g ) D0 (1 + g ) D (1 + g ) + + ... + 0 2 (1 + K ) (1 + K ) (1 + K )5 2
P0 =
5
fluxo definido com taxa de crescimento g
+
D6 K−g
×
(1 + K )−5
fluxo indefinido com carência taxa de crescimento nulo de 5 anos
Temos: 0,65 × (1,12 ) 0,65 × (1,12 ) 0,65 × (1,12 ) 0,65 × (1,12 ) 0,65 × (1,12 ) P0 = + + + + 2 3 4 (1,24) (1,24) (1,24) (1,24) (1,24)5 2
... +
0,65 × (1,12 ) −5 × (1,24 ) 0,24 5
P0 = 0,59 + 0,53 + 0,48 + 0,43 + 0,39 + 1,63 P0 = $ 4,05
3
4
5
+ ...
8) Sendo: P0 = $ 8,82 D1 = $ 0,53 P1 = $ 8,85 I = 1,7% a.m. (0,017) K=? Representando graficamente temos:
0 P0 = $ 8,82
D1 = $ 0,53 P1 = $ 8,85 1 (mês)
Resolvendo-se: P0 =
D1 P1 + (1 + K ) (1 + K )
8,82 =
8,85 0,53 + (1 + K ) (1 + K )
8,82 =
9,38 (1 + K )
1+ K =
9,38 8,82
K = 1,0635 − 1 K = 0,0635… K = 6,35% a.m. Sendo:
Rentabilidade Real (r ) =
Temos:
r=
1 + 0,0635 −1 1 + 0,017
1+ K −1 1+ I
r = 0,0457... ou 4,57% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 8,82 CHS PV 0,53 ENTER 8,85 < + > FV 1 n i 100 < ÷ > 1 < + > 1,017 < ÷ > 1 100 < × >
Visor 0,00 -8,82 0,53 9,38 1,00 6,35 1,06 4,57
Significado Limpa registradores Preço corrente de mercado da ação Valor do dividendo em t1 Preço da ação em t1 + dividendo em t1 Prazo da operação Retorno mensal Transformação para taxa real Retorno real esperado para o período
9) Representando graficamente, temos: 54.000,00
Venda
5
0 Compra
60.000,00
Utilizando a expressão: Temos: 0=
10
60.000,00
(1 + k )
5 30
+
48.000,00
(1 + k )
10 30
+
97.000,00
25
30 (dias)
Pt
n t =0
121.000,00
20
48.000,00
P0 =
32.000,00
(1 + K )t 97.000,00
(1 + k )
20 30
−
54.000,00
(1 + k )
20 30
−
32.000,00
(1 + k )
25 30
−
121.000,00 30
(1 + k )30
Resolvendo-se com o auxílio de uma calculadora financeira, temos: K = 2,20% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 0 g CF j 4 g Nj 60.000 g CF j 0 g CF j
Visor 0,00 0,00 0,00 4,00 60.000,00 0,00
Significado Limpa registradores Saldo inicial da carteira Não houve movimento da carteira Dias sem movimentação da carteira Compra do dia 05 Não houve movimento da carteira
4 g Nj 48.000 g CF j 0 g CF j 9 g Nj 43.000 g CF j 0 g CF j 4 g Nj 32.000 CHS g CF j 0 g CF j 4 g Nj 121.000 CHS g CF j f IRR 100 < ÷ > 1 < + > 30 < y x > 1 100
4,00 48.000,00 0,00 9,00 43.000,00 0,00 4,00 -32.000,00 0,00 4,00 -121.000,00 0,07 1,00 2,10
Dias sem movimentação da carteira Compra do dia 10 Não houve movimento da carteira Dias sem movimentação da carteira Saldo (compra – venda) do dia 20 Não houve movimento da carteira Dias sem movimentação da carteira Venda do dia 25 Não houve movimento da carteira Dias sem movimentação da carteira Valor da carteira no dia 30 Rentabilidade diária apurada Transformação p/rentabilidade mensal Rentabilidade mensal apurada
10) Representando graficamente, temos:
0
0,52
0,52
0,52
0,52
0,76
0,76
1
2
3
4
5
6
a) Sendo: K = 18% a.a. (0,18) P0 = ? Temos:
P0 = 0,52 ×
1 − (1,18) 0,18
−4
+
5 fluxos anuais, iguais e consecutivos P0 = 1,40 + 4,22 × 0,515789 P0 = $ 3,58
0,76 0,18
×
fluxo indefinido
(1,18)−4
carência 4 anos
0,76 7 (anos) ∞
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0,52 CHS PMT 4 n 18 i PV 0,76 ENTER 0,18 < ÷ > 1,18 ENTER 4 CHS < y x >
Visor 0,00 0,52 4,00 18,00 1,40 0,76 4,22 1,18 2,18 3,58
Significado Limpa registradores Valor dos dividendos fixos Próximos quatro anos Taxa mínima de atratividade PV dos fluxos iguais e consecutivos Valor dos dividendos a partir do 5º ano Valor teórico do fluxo indefinido Fator de atualização Anos de carência Preço máximo de compra dessa ação
b) Sendo: K = 18% a.a. (0,18) P0 = $ 3,58 D =? Temos:
P0 =
D K
3,58 =
D 0,18
D = 3,58 × 0,18 D = $ 0,64 11) Representando graficamente, temos:
D1 = 1,40 0
D2 = 2,00
6
P1 = ?
12
15 (meses)
P0 = 23,00
K = 3% a.m. (0,03)
Utilizando a expressão:
P0 =
Temos:
23,00 =
D1
(1 + K )
6
+
D2
(1 + K )
12
+
P1
(1 + K )15
P1 1,40 2,00 + + 6 12 (1 + 0,03) (1 + 0,03) (1 + 0,03)15
23,00 = 1,17 + 1,40 +
P1 1,56
P1 = 20,42 1,56
P1 = $ 31,82 12)
Representando graficamente, temos:
P1 = ? D2 = 1,80
D1 = 1,50 0
6
12 (meses)
P0 = 11,00 Primeiramente, devemos encontrar a taxa de desconto que será utilizada no fluxo acima. Sendo:
Rentabilidade real mínima desejada (r) = 20% a.a. (0,20) Inflação em 1999 (I) = 14% a.a. (0,14) Taxa de desconto (K) = ?
Temos:
Rentabilidade Real (r ) = 0,20 =
1+ K −1 1+ I
1+ K −1 1 + 0,14
1+ K = 1,20 1,14 1 + K = 1,3680 K = 0,3680... ou 36,80% a.a. Agora, utilizamos a expressão: P0 =
D1 6 12
(1 + K )
+
D2 P1 + (1 + K ) (1 + K )
11,00 =
1,50 6 12
(1 + 0,3680)
11,00 = 1,28 + 1,32 +
+
P1 1,80 + 1 + 0,3680 1 + 0,3680
P1 1,3680
P1 = 8,40 1,3680
P1 = $ 11,49 13) Sendo:
D1 = $ 0,58 g = 3% a.a. (0,03) acima da inflação n = 4 anos K (Real) = 20% a.a. (0,20) acima da inflação I = 15% a.a. (0,15) Valorização da ação = 7,5% a.a. acima da inflação
Temos:
g = 0,03 + 0,15 = 0,18 ou 18% a.a. K (Nominal) = [(1,20)(1,15)] − 1 = 38% a.a.
Representando graficamente, temos:
0,58 0
1
0,58(1,03)(1,15) 0,58(1,03) (1,15) 2
2
3
2
0,58(1,03) (1,15) 3
3
4 (anos)
P0 2 2 3 3 P (1,075) (1,15) 0,58 0,58(1,03)(1,15) 0,58(1,03) (1,15) 0,58(1,03) (1,15) + + + + 0 2 3 4 1,38 (1,38) (1,38) (1,38) (1,38)4 4
P0 =
P0 = 0,42 + 0,36 + 0,31 + 0,27 + 0,64 P0
4
0,36 P0 = 1,36 P0 = $ 3,78 14) a) Representando graficamente as alternativas, temos: Alternativa 1
0
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1
2
3
4
5
6
2,15
2,15
2,15
4
5
6
Sendo:
K = 20% a.a. (0,20) D = $ 1,50 P0 = ?
Temos:
P0 =
D K
P0 =
1,50 0,20
1,50 7 (anos) ∞
P0 = $ 7,50 Alternativa 2
0
1
2
3
carência de 3 anos Sendo:
K = 20% a.a. (0,20) D = $ 2,15 P0 = ?
2,15 7 (anos) ∞
Temos:
P0 =
D −n × (1 + K ) K
P0 =
2,15 −3 × (1 + 0,20 ) 0,20
P0 = $ 6,22 15) Sendo:
D0 = $ 0,80
D1 = 0,80(1 + 0,06 ) = $ 0,85 K = 12% a.a. (0,12) g (para os próximos 4 anos) = 6% a.a. (0,06) g (para os 6 anos seguintes) = 9% a.a. (0,09) g (daí em diante) = 5% a.a. (0,05)
Resolveremos esse exercício em 3 etapas. Para os períodos definidos com taxa de crescimento g, utilizaremos a expressão abaixo: D0 (1 + g ) D0 (1 + g ) D (1 + g ) D (1 + g ) + + 0 + ... + 0 2 3 (1 + K ) (1 + K ) (1 + K ) (1 + K )∞ 2
P0 =
3
∞
Para o período indefinido com taxa de crescimento g, utilizaremos a expressão abaixo: P0 =
D1 K−g
Assim, Para os próximos 4 anos: 0,8(1,06 ) 0,8(1,06 ) 0,8(1,06 ) 0,8(1,06 ) P0 = + + + 2 3 1,12 (1,12) (1,12 ) (1,12)4 2
P0 = 0,76 + 0,72 + 0,68 + 0,64 P0 = $ 2,80
3
4
Para os 6 anos seguintes: P0 =
0,8(1,06) (1,09) 0,8(1,06) (1,09) 0,8(1,06) (1,09) 0,8(1,06) (1,09) 0,8(1,06) (1,09) 0,8(1,06) (1,09) + + + + + 5 6 7 8 9 (1,12) (1,12) (1,12) (1,12) (1,12) (1,12)10 4
4
2
4
3
4
4
4
5
P0 = 0,63 + 0,61 + 0,59 + 0,58 + 0,56 + 0,55 P0 = $ 3,52 Para os fluxos daí em diante P0 =
0,8(1,06 ) (1,09 ) (1,05) −10 × (1,12 ) 0,12 − 0,05 4
6
P0 = $ 8,18 Somando os valores, temos: P0 = 2,80 + 3,52 + 8,18 ∴ P0 = $ 14,50 16) Representando graficamente a operação, temos: 31.000,00
31.000,00
20
25
0 90.000,00
31.000,00 30 (dias) K = 3,5% a.m. (0,035)
Determinando o valor presente dos fluxos de recebimento, temos:
PV =
31.000,00
(1 + 0,035)
20 30
+
31.000,00
(1 + 0,035)
25 30
+
31.000,00 (1 + 0,035)
PV = 30.297,13 + 30.123,91 + 29.951,69 PV = $ 90.372,73
4
6
Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 0 g CF0 0 g CF j 19 g N j 31.000 g CF j 0 g CF j 4 g Nj 31.000 g CF j 0 g CF j 4 g Nj 31.000 g CF j 1,035 ENTER 30 < 1 / x > < y x > 1 100 i f NPV
Visor 0,00 0,00 0,00 19,00 -31.000,00 0,00 4,00 -31.000,00 0,00 4,00 -31.000,00 1,04 1,00 0,11 90.372,73
Significado Limpa registradores Valor de aquisição das ações Não houve movimentação Dias sem movimentação Recebimento do dia 20 Não houve movimentação Dias sem movimentação Recebimento do dia 25 Não houve movimentação Dias sem movimentação Recebimento do dia 30 Transformação para taxa diária Transformação para taxa diária Transformação para taxa diária Valor presente dos recebimentos
Determinando a rentabilidade da operação, temos: 90.000,00 =
31.000,00
(1 + K )
20 30
+
31.000,00
(1 + K )
25 30
+
31.000,00 (1 + K )
Resolvendo-se: K = 4,015% a.m. Solução na HP-12C: Teclas f FIN f REG 90.000 CHS g CF0 0 g CF j 19 g N j 31.000 g CF j 0 g CF j 4 g Nj 31.000 g CF j 0 g CF j 4 g Nj 31.000 g CF j f IRR 100 < ÷ > 1 < + > 30 < y x > 1 100
Visor 0,00 -90.000,00 0,00 19,00 -31.000,00 0,00 4,00 -31.000,00 0,00 4,00 -31.000,00 0,13 1,00 4,015
Significado Limpa registradores Valor de aquisição das ações Não houve movimentação Dias sem movimentação Recebimento do dia 20 Não houve movimentação Dias sem movimentação Recebimento do dia 25 Não houve movimentação Dias sem movimentação Recebimento do dia 30 Rentabilidade diária apurada Transformação p/rentabilidade mensal Rentabilidade mensal apurada
Resposta: Sim, fez um bom negócio. O valor presente dos fluxos de recebimento é maior que o valor pago (PV = $ 90.372,73), denotando uma rentabilidade superior aos 3,5% exigidos (K = 4,015% a.m.)
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Apêndice A – Operações Básicas de Matemática A.1 Regras de sinais nas operações matemáticas 1) – 300 + 150 + 800 – 950 = 950 – 1.250 = – 300 2) 700 + (– 300) + 2.000 – (–1.200) – 200 = 700 – 300 + 2.000 + 1.200 – 200 = 3.400 3) 500 – (– 900) – 600 – (+ 100) + 400 = 500 + 900 – 600 – 100 + 400 = 1.100 4) – 1.000 – (+ 300) + 500 – (– 200) + 0 – 900 = – 1.000 – 300 + 500 + 200 – 900 = – 1.500 5) 18 × (– 5) × 10 = – 900 6) 12 × (– 6) × 4 × (– 5) = 1.400 A.2 Operações com frações 1)
2 7 5 8 + 21 + 30 59 + + = = 3 4 2 12 12
2) 2 +
6 3 72 + 24 − 27 69 23 − = = = 9 4 36 36 12
3)
1 3 7 1 × 3 × 7 21 7 = = × × = 3 4 8 3 × 4 × 8 96 32
4)
7 1 7 9 7 × 9 63 21 ÷ = × = = = 12 9 12 1 12 12 4
1 2 5−6 1 − − 1/ 3 − 2 / 5 1 84 84 28 5) = 3 5 = 15 = 15 = − × − = = 48 − 63 15 4 / 7 − 9 / 12 4 9 15 15 225 75 − − 7 12 84 84
A.3 Expressões Numéricas e Pontuação 1)
{300 − [(14 × 5) − 20 − (60 − 72)]} {300 − [70 − 20 + 12]} {300 − 62} 238
2)
120 − 70 + {10 × [30 − (17 − 7 ) + (2 × 9 × 5)] − 5} 50 + {10 × [30 − 10 + 90] − 5} 50 + {[10 × 110] − 5} 50 + {1.100 − 5} 50 + 1.095 1.145
3)
(40 + 90) × 2 − {8 + [9 × (3 + 7 ) − 10 × 6]× 4} + 40 130 × 2 − {8 + [9 × 10 − 10 × 6]× 4} + 40 260 − {8 + [90 − 60]× 4} + 40 260 − {8 + 30 × 4} + 40 260 − {8 + 120} + 40
260 − 128 + 40 172 4)
{140 − 30 × [12 − (5 − 3) + 7(2 + 1)]} − (170 − 50 × 3) × 0 {140 − 30 × [12 − 2 + 7 × 3]} − (170 − 150 ) × 0 {140 − 30 × [10 + 21]} − 20 × 0 {140 − 30 × 31} − 0
140 − 930 − 790 5)
(165 × 4) ÷ [22 + 70 − (40 − 60) + (12 ÷ 3) × 5] 660 ÷ [22 + 70 − (− 20) + 4 × 5] 660 ÷ [22 + 70 + 20 + 20] 660 ÷ 132 5
6)
{800 + [(170 × 2 − 40) − (50 × 4 − 1.200 ÷ 30) + 60 − 310] − 70 × 5} {800 + [(340 − 40) − (200 − 40) + 60 − 310] − 350} {800 + [300 − 160 − 250] − 350} {800 − 110 − 350} 340
Matemática Financeira e Suas Aplicações
Alexandre Assaf Neto – 8ª Edição
Resolução dos Exercícios Propostos
Apêndice B – Expoentes e Logaritmos B.1
Expoentes
1)
1 1 1 576 4 3 × × 3 2 × 15 = 4 × 4 × 4 × × 3 × 3 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 64 × × 9 = = 72 8 8 8 8
2)
10 × 10 2 × 10 3 = 101+ 2+ 3 = 10 6 = 1.000.000
3)
a 4 × a 6 a 4+ 6 a 10 = 5 = 5 = a 10−5 = a 5 a5 a a
4)
5)
6)
7)
(− 5)2 2 4
3
=
− 5 × (− 5) 25 25 25 25 25 = 3 = 3 = 3− 6 = − 3 = = 200 3 0,125 2 2 2 2 2 3 43 26 22
( )
(1 + r )10 × (1 + r )8 = (1 + r )10− 4 × (1 + r )8 = (1 + r )6+8 = (1 + r )14 (1 + r )4 a7 × a6 a9
5
a 7+ 6 = a9
5
a 13 = a9
5
(
= a 13−9
) = (a ) 5
4 5
= a 4×5 = a 20
a 3 × b 6 × a 5 × b 4 a 3+5 × b 6+ 4 a 8 × b10 = = 2 = a 8− 2 × b10− 4 = a 6 × b 6 2 4 2 4 4 a ×b a ×b a ×b
8)
(5 × r )
9)
5 3 − 25 × 3 4 × 2 − 12 2 ÷ 3 − 3 2 − 4 4 × 2 + 16 ÷ 2
2 3
i5
=
[(
5 3 × r 2×3 125 × r 6 = i5 i5
) (
)] (
)
25 − 25 × [(81 × 2) − (144 ÷ 3)] − (9 − 256 × 2 + 1) ÷ 2 25 − 25 × [162 − 48] − (9 − 512 + 1) ÷ 2
25 − 25 × 114 − (− 502) ÷ 2 25 − 2.850 + 251 − 2.574 B.1.2 Expoentes Zero, Negativo e Fracionário 1
1,092 = (1,092 ) 2 = 1,045
1) 2)
(1,073)2,31 = 1,177
3)
(− 5)3 = −5 × (− 5) × (− 5) = −125
4)
(5)−3 =
5)
(1,195)1 / 12 − 1 = 1,015 − 1 = 0,015
6)
(1,053)1 / 30 − 1 = 1,0017 − 1 = 0,0017
7)
(2 / 3)3 / 4
8)
(2,175)4 / 5 = (5
9)
678 × (1,09 )
−2 / 3
10)
(
− 1 = (1,0051) − 1 = 1,1642 − 1 = 0,1642
B.2
Logaritimos
1)
30 × (1,125) = 270
114
1 1 = = 0,008 3 125 5
1,782
(
=
)
4
30
2/3
=
3
2,175
4
)
4
270 30
)
= (0,9036 ) = 0,7378
3
0,6667
3
= (1,1681) = 1,8619
= 678 ×
4
1
( 1,09 ) 3
30
n
(1,125)n
) =(
2
= 678 ×
1
(1,0291)
2
= 678 ×
1 = 640,15 1,0591
(1,125)n
=9
n × ln 1,125 = ln 9 n=
ln 9 ln 1,125
n=
2,197224577 0,117783036
n = 18,65
2)
1 + 3 x = 201 3 x = 201 − 1 3 x = 200 x × ln 3 = ln 200 x=
ln 200 ln 3
x=
5,298317367 1,098612289
x = 4,82
3)
420 × (1,09 )
−n
= 80
80 420
(1,09)− n
=
(1,09)− n
= 0,190476191
− n × ln 1,09 = ln 0,190476191 −n =
ln 0,190476191 ln 1,09
−n =
− 1,658228076 0,086177696
− n = −19,24196339 n = 19,24
4)
200 × (1 + i ) = 3.000 15
(1 + i )15 = 3000 200
(1 + i )15 = 15 15
(1 + i )15
= 15 15
(1 + i ) = 1,197860058 i = 0,197860058 i = 0,1979
5)
(1,485)n − 1 = 0 0,485
(1,485)n − 1 = 0 × 0,485 (1,485)n − 1 = 0 (1,485)n
=1
n × ln 1,485 = ln 1 n=
ln 1 ln 1,485
n=
0 0,395414772
n=0
6)
1 − (1,37) − n = 2,35 0,37 1 − (1,37 )
−n
= 2,35 × 0,37
1 − (1,37 )
−n
= 0,8695
(1,37 )− n
= 1 − 0,8695
(1,37 )− n
= 0,1305
− n × ln 1,37 = ln 0,1305 −n =
ln 0,1305 ln 1,37
−n =
− 2,036382052 0,314810740
− n = −6,468591425 n = 6,47
7)
8 x = 14,5 × 3 x 8x = 14,5 3x
ln
8x = ln 14,5 3x
x × ln 8 − x × ln 3 = ln 14,5
x(ln 8 − ln 3) = ln 14,5 x(2,079441542 − 1,098612289) = 2,674148649
x × 0,980829253 = 2,674148649 x = 2,7264
8)
97,5 × log 9 ÷ 1 / 4 = 9,874208829 × 0,954243 ÷ 0,25 = 9,422381781 ÷ 0,25 = 37,6895
Obs: Optou-se por utilizar logaritmo neperiano (ln) por ser mais fácil a utilização na HP12C.
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