MATRIZES Definição

MATRIZES Definição Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.  a11  a A =  21 ...   a m1

a12 a 22 ... a m2

... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn 

Notação: A = ( a ij ) m×n com i = 1,2,..., m e j = 1,2,..., n

a ij

- elemento genérico da matriz A

i

- índice que representa a linha do elemento a ij

j

- índice que representa a coluna do elemento a ij

m × n - ordem da matriz. Lê-se “m por n”.

Representações:

A=(

)

A=[

]

A=

Exemplos: 1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 8 × 8 .  2 3 4 2) A matriz A = ( a ij ) 2×3 onde a ij = i 2 + j é  .  5 6 7 3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas: cidade A cidade B cidade C cidade D 638 1244 957  cidade A  0



 638 0 3572 2704  0 1036  cidade C 1244 3572   cidade D  957 2704 1036 0  Esta é uma matriz 4 × 4 (quatro por quatro). cidade B 

4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina distribuída nas três lojas encarregadas da venda. shorts blusas saias jeans

80 25 40    loja II  70 100 0 60  loja III  30 120 70 25    Esta é uma matriz 3 × 4 (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas. loja I  50

1

Igualdade Duas matrizes de mesma ordem A = ( a ij ) m×n e B = (bij ) m×n são iguais quando a ij = bij

para todo

i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n .

Matrizes Especiais 1. Matriz Linha Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: A = ( a ij ) 1×n

Exemplo: (− 8 3 4 )1×3

2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: A = ( a ij ) m×1  3   Exemplo:  9  1   3×1

3. Matriz Nula Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, a ij = 0 para todo i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n .

Notação: 0 m×n Exemplo:

0 0 0    0 0 0  2 ×3

4. Matriz Quadrada Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, m = n .  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2 n  Notação: A = ( a ij ) n ×n =  ... ... ... ...     a n1 a n 2 ... a nn  Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde i = j para todo i, j = 1,2,..., n . Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde i + j = n + 1 para todo i, j = 1,2,..., n . Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA. n

trA = ∑ a kk = a11 + a 22 + ... + a nn k =1

Exemplo:

2 A= 5  10 

3 4

7 0  − 1 9 3×3

Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10. trA = 2 + 7 + 9 = 18 2

5. Matriz Diagonal Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, a ij = 0 quando i ≠ j para todo i, j = 1,2,..., n .  2 0 0   Exemplo:  0 1 0   0 0 3  3×3 

6. Matriz Identidade Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um. Notação: I n

1 0 Exemplo: I 2 =    0 1  2× 2 7. Matriz Triangular Superior Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, a ij = 0 quando i > j para todo i, j = 1,2,..., n .

1 0 Exemplo:  0 0

2 5

4  7

3 6

0 −1 0  0 0 − 2 4×4

8. Matriz Triangular Inferior Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, a ij = 0 quando i < j para todo i, j = 1,2,..., n .

1 Exemplo:  4 7 

  0

0 0

8 0

−3

3×3

Operações com Matrizes 1. Adição Sejam A = ( a ij ) m×n e B = (bij ) m×n matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma C = A + B tal

que C = ( c ij ) m×n e c ij = a ij + bij para todo i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n . Exemplos:  1 2 − 1  0 − 7 2,5  1) Sejam A =   e B =  . 5  5 3 4   − 4 0,5  1 + 0 2 − 7 − 1 + 2,5  1 − 5 1,5  Então A + B =  = . 4 + 5  1 3,5 9   5 − 4 3 + 0,5

3

2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes. preço custo compra transporte

3 15    substância B 12 8  substância C  5 2   Fornecedor 1

substância A 

preço custo compra transporte

8   substância B  9 9  substância C  3 5    Fornecedor 2

substância A  6

A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por:  9 23    21 17  8 7   Propriedades da Operação de Adição A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, ( A + B ) + C = A + ( B + C ) .

A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, A + B = B + A . Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , A + B = C e B + A = D . c ij = a ij + bij = bij + a ij = d ij para todo i = 1,..., m e para todo j = 1,..., n . Assim, C = D . Logo, a operação de adição é comutativa. A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, A + 0 m×n = 0 m×n + A = A . A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem m × n existe uma matriz S de mesma ordem tal que A + S = S + A = 0 m×n . Sendo A = ( a ij ) m×n tem-se S = ( s ij ) m×n = −( a ij ) m×n . Notação: S = − A Assim, A + ( − A) = ( − A) + A = 0 m×n . Além disso, A + (− B) = A − B . A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr( A + B ) = trA + trB . Dem: Considere as matrizes de ordem n. tr ( A + B ) = ( a11 + b11 ) + ... + ( a nn + bnn ) = ( a11 + ... + a nn ) + (b11 + ... + bnn ) = tr ( A) + tr ( B )

4

2. Multiplicação por Escalar Sejam A = ( a ij ) m×n uma matriz e k ∈ R um escalar, define-se a matriz produto por escalar B = k ⋅ A

tal que B = (bij ) m×n e bij = k ⋅ a ij para todo i = 1,2,..., m e para todo j = 1,2,..., n . Exemplos: 0  1   1) Sejam A =  3 − 5  e k = −3 . −1 7  

( −3).0   − 3 0  ( −3).1     Então ( −3) ⋅ A =  ( −3).3 ( −3).( −5)  =  − 9 15   ( −3).( −1) ( −3).7   3 − 21 

2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano.

REGIÃO I REGIÃO II REGIÃO III

TRIGO

CEVADA

MILHO

ARROZ

1200 600 1000

800 300 1100

500 700 200

700 900 450

Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:  2400 1600 1000 1400     1200 600 1400 1800   2000 2200 400 900   

Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k1 , k 2 ∈ R , ( k1 + k 2 ) ⋅ A = k1 ⋅ A + k 2 ⋅ A .

E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k1 , k 2 ∈ R , ( k1 ⋅ k 2 ) ⋅ A = k 1 ⋅ ( k 2 ⋅ A) . E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k ∈ R , k ⋅ ( A + B) = k ⋅ A + k ⋅ B . Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , k ⋅ ( A + B ) = k ⋅ C = D e k ⋅ A + k ⋅ B = E + F = G . d ij = k ⋅ c ij = k ⋅ ( a ij + bij ) = k ⋅ a ij + k ⋅ bij = eij + f ij = g ij , para todo i = 1,..., m e para todo j = 1,..., n . Assim, D = G . Logo, vale a propriedade. E4. Para toda matriz A de ordem m × n , 0 ⋅ A = 0 m×n . E5. Para toda matriz A de ordem m × n , 1 ⋅ A = A . E6. Para toda matriz quadrada A e para todo k ∈ R, tr( k ⋅ A) = k ⋅ trA . 5

3. Multiplicação Sejam as matrizes A = ( a ij ) m× p e B = (bij ) p×n , define-se a matriz produto C = A ⋅ B tal que p

C = ( c ij ) m×n e c ij = ∑ a ik ⋅ bkj , isto é, c ij = a i1 ⋅ b1 j + a i 2 ⋅ b2 j + ... + a ip ⋅ b pj para todo i = 1,2,..., m e k =1

para todo j = 1,2,..., n . Exemplos:  1 0   1 2 3 1) Sejam A =  2 1 e B =   .  1 0 − 1  − 1 4   1 .3 + 0 .0 1.1 + 0.( −1)   2 3 1  1 .2 + 0 .1     Então A ⋅ B =  2.2 + 1.1 2 .3 + 1 .0 2.1 + 1.( −1)  =  5 6 1  ( −1).2 + 4.1 ( −1).3 + 4.0 ( −1).1 + 4.( −1)   2 − 3 − 5     

Observe que A = ( a ij ) 3×2 , B = (bij ) 2×3 e C = ( c ij ) 3×3 . 2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. A B C alimento I  4 3 0    alimento II  5 0 1  Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por:

(5

 4 3 0 2 ) ⋅   = (5 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 5 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1) = (30 15 2 )  5 0 1

Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Propriedades da Operação de Multiplicação M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens m × p, p × l e l × n , respectivamente, ( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) . Dem.: Considere ( A ⋅ B ) ⋅ C = D ⋅ C = E e A ⋅ ( B ⋅ C ) = A ⋅ F = G . l

l

p

k =1

k =1

t =1

eij = ∑ d ik ⋅ c kj = ∑ ( ∑ a it ⋅ btk ) ⋅ c kj =

= ( a i1b11 + ... + a ip b p1 )c1 j + ( a i1b12 + ... + a ip b p 2 )c 2 j + ... + ( a i1b1l + ... + a ip b pl )c lj = a i1b11 c1 j + ... + a ip b p1 c1 j + a i1 b12 c 2 j + ... + a ip b p 2 c 2 j + ... + a i1 b1l c lj + ... + a ip b pl c lj = a i1 (b11 c1 j + b12 c 2 j + ... + b1l c lj ) + ... + a ip (b p1 c1 j + b p 2 c 2 j + ... + b pl c lj ) p

l

p

t =1

k =1

t =1

= ∑ a it ⋅ ( ∑ btk ⋅ c kj ) = ∑ a it ⋅ f tj = g ij para todo i = 1,..., m e para todo j = 1,..., n .

Assim, E = G . Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes. 6

M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem m × p , para toda matriz C de ordem p × n e para toda matriz D de ordem l × m , ( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C e D ⋅ ( A + B) = D ⋅ A + D ⋅ B . M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, A ⋅ I n = I n ⋅ A = A M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr ( A ⋅ B ) = tr ( B ⋅ A) . M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo k ∈ R , k ⋅ ( A ⋅ B ) = ( k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ ( k ⋅ B ) M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, A.0 n ×n = 0 n ×n ⋅ A = 0 n ×n Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim, A ⋅ B ≠ B ⋅ A . Quando A ⋅ B = B ⋅ A , diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos: 1) Sejam as matrizes A = ( a ij ) 2×3 e B = (bij ) 3×2 .

A ⋅ B = C = ( c ij ) 2×2 ≠ ( d ij ) 3×3 = D = B ⋅ A . 2) Sejam as matrizes A = ( a ij ) 2×3 e B = (bij ) 3×1 .

A ⋅ B = C = ( c ij ) 2×1 e a matriz produto B ⋅ A não é definida. 1 2  − 1 0 3) Sejam A =   e B =   . 3 4  1 2 1 4   − 1 − 2  A ⋅ B =   ≠   = B ⋅ A 1 8   7 10   1 2 1 − 1 4) Sejam A =   e B =  . 1  − 2 1 1  3 1 Assim, A ⋅ B =   = B ⋅ A .  − 1 3 Logo, as matrizes A e B comutam entre si. Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. A0 = I n

A1 = A A2 = A ⋅ A ..................................... A k = A ⋅ A k −1 = A k −1 ⋅ A Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A. 7

Exemplos:  1 3 1) Seja A =   .  0 1  1 3  1 3  1 6  Então A 2 = A ⋅ A =   ⋅   =   .  0 1  0 1  0 1  2 1 2) Sejam o polinômio f ( x ) = x 2 + 2 x − 11 e a matriz A =   .  4 − 3 Determinando o valor f ( A) : f ( x ) = x 2 + 2 x − 11 = x 2 + 2 x 1 − 11x 0 f ( A) = A 2 + 2 ⋅ A1 − 11 ⋅ A 0 = A 2 + 2 ⋅ A1 − 11 ⋅ I 2 2 4   − 11 0  0 0  9 − 4 1  1 0  9 − 4  2 f ( A) =   + 2 ⋅   − 11 ⋅   =   +   +   =    − 8 17   4 − 3  0 1   − 8 17   8 − 6   0 − 11  0 0  A matriz A é uma raiz do polinômio, já que f ( A) = 0 2×2 . Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando A 2 = A . 1  2 −1   Exemplo: A matriz  − 3 4 − 3  é idempotente. (Verifique!) − 5 5 − 4  

4. Transposição Seja a matriz A = ( a ij ) m×n , define-se a matriz transposta B tal que B = (bij ) n×m e bij = a ji , isto é, é a

matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: B = A t Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução: para toda matriz A, ( A t ) t = A .

T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ( A + B ) t = A t + B t . Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , ( A + B ) t = C t = D e A t + B t = E + F = G . d ij = c ji = a ji + b ji = eij + f ij = g ij para todo i = 1,..., m e para todo j = 1,..., n . Assim, D = G . T3. Para toda matriz A e para todo escalar k ∈ R , ( k ⋅ A) t = k ⋅ A t . T4. Para toda matriz A de ordem m × p e para toda matriz B de ordem p × n , ( A ⋅ B ) t = B t ⋅ A t . T5. Para toda matriz quadrada A, tr ( A t ) = trA . 8

Classificação de Matrizes Quadradas 1. Matriz Simétrica Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando A t = A .  4 3 − 1   Exemplo:  3 2 0 −1 0 5  

Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. 2. Matriz Anti-simétrica Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando A t = − A . 3 − 1  0   Exemplo:  − 3 0 7  1 −7 0  

Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm sinais contrários. 3. Matriz Invertível ou Não-singular Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que A ⋅ B = B ⋅ A = I n . A matriz B é dita matriz inversa da matriz A.

Notação: B = A −1 A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I n Exemplos:  2 5  3 − 5 1) A matriz   é invertível e sua inversa é   pois:  1 3 −1 2   2 5  3 − 5  3 − 5  2 5  1 0    ⋅  = ⋅ =  2   − 1 2   1 3  0 1   1 3  − 1  2 − 1 2) Obtendo a matriz inversa da matriz A =    1 0  x z Considere B =   y t  2 − 1  x z   2 x − y 2 z − t   1 0  Se A ⋅ B = I n então   ⋅   =  =  z   0 1   1 0  y t   x 2 x − y = 1 x = 0  Assim,  2 z − t = 0  z = 1  0 1 Desta forma, B =    − 1 2 9

Verifica-se também que B ⋅ A = I n .  0 1 Então a matriz inversa da matriz A é A −1 =   .  − 1 2  1 2 3 3) A matriz  4 5 6  não possui inversa. 7 8 9  

Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução: ( A −1 ) −1 = A .

I2. ( A ⋅ B ) −1 = B −1 ⋅ A −1 . dem.: ( A ⋅ B ) ⋅ ( B −1 ⋅ A −1 ) = ( A ⋅ ( B ⋅ B −1 )) ⋅ A −1 = ( A ⋅ I n ) ⋅ A −1 = A ⋅ A −1 = I n . Analogamente, ( B −1 ⋅ A −1 ) ⋅ ( A ⋅ B ) = ( B −1 ⋅ ( A −1 ⋅ A)) ⋅ B = ( B −1 ⋅ I n ) ⋅ B = B −1 ⋅ B = I n . Logo, o produto é invertível. I3. ( A t ) −1 = ( A −1 ) t . Semelhança de Matrizes Duas matrizes A, B ∈ Mat n (R ) são semelhantes quando existe uma matriz invertível P∈ Mat n (R )

tal que B = P −1 AP .

 0 1 1 0   e   são semelhantes. Exemplo: As matrizes   1 0  1 − 1  13 13  1 0   13  2 − 1 −1     Considere P =   e P =  − 1 2  . Assim, 1 − 1 =  − 1 1 1    3    3 3

1 3 2 3

  0 1  2 − 1  ⋅   ⋅   . 1 0 1 1     

4. Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando A −1 = A t .

 cos θ Exemplo:   senθ

− senθ   cos θ 

5. Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é, A ⋅ At = At ⋅ A .

 6 − 3 Exemplo:   6  3

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Operações Elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j. Li ↔ L j OE2. A multiplicação da linha i por um escalar k ∈ R não nulo. Li ← k ⋅ Li OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com k ∈ R não nulo. Li ← Li + k ⋅ L j

0 0   Exemplo:  2 4  L1 ↔ L3 1 5  

 1 5  1 5     1  2 4 L2 ← L2  1 2 L2 ← L2+(-1)L1 2      0 0  0 0

5 1    0 − 3 0 0  

Matriz Equivalente por Linha Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A.  0 0 5 1     Exemplo: A matriz  2 4 é equivalente a matriz  0 − 3 , pois usando somente operações   0 0   1 5  elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda.

Matriz na Forma Escalonada Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas.

7  0 Exemplos:  0  0

1 1 0 0

0 3  0 5 2 6  0 − 1

2  0 0  0

0 0 5  1 − 2 0 5   1 2 3   0 0 3 1  1 4 0   0 0 5  0 0 0  0 0 0 0    0 0 0 0 0 0  0

 1 0 0    0 1 0    0 0 1

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Escalonamento por Linha de uma Matriz Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada:

Exemplos: 1 2  1)  4 5 7 8 

3  6  L2 ← L2 + (−4) L1 9 

2 3 1    0 − 3 − 6  L3 ← L3 + (−7) L1 7 8 9   2 3 1   L3 ← L3 + (−2) L2  0 − 3 − 6  0 0 0  

2 3 1    0 − 3 − 6  0 − 6 − 12   

2 1 2 1 2 0 0      0 3 0 0 − 6 0 0 L2 ← L2 + (−3) L1  L4 ← L4 L1 ↔ L3  2 0 0 2 0 0 2      3 3  0 − 1 3 0 − 1 0 1 2 0  0 1 2      0 0 1 0 0 1 0  1   L2 ← ( − 6 ) L 2  L ← L + ( − 2 ) L L ← L + ( − 5 ) L 3 3 2 4 4 2 0 0 0 2 0 0 0      0  0 0 5 0 0 5

0 0  3 0 2)  0 1  0 − 1

0  0 + L1  0  0 1 2  0 1 0 0  0 0

1 2  0 − 6 0 2  0 5 

A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. Posto de uma Matriz O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A. Notação: PA

Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois.

Aplicações de Operações Elementares 1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n. Passo 1: Construir a matriz ( A | I n ) de ordem n × 2n .

Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz ( A | I n ) de forma a transformar o bloco A na matriz identidade I n . Caso seja possível, o bloco I n terá sido transformado na matriz A −1 . Se não for possível transformar A em I n é porque a matriz A não é invertível.

2 1 2 2  −1 0     −1 Exemplo: Seja A =  3 1 0  . A matriz inversa é A =  3 1 − 6 . 1 1 1 − 2 −1 5     12

2 2 1  1 2 2 1 0 0 1     3 1 0 0 1 0  L2 ← L2 + (−3) L1  0 − 5 − 6 − 3  1 1 1 0 0 1 1 1 1 0    2 2 1 0 0 2 2 1 0 1 1     0 − 5 − 6 − 3 1 0  L2 ↔ L3  0 − 1 − 1 − 1 0  0 − 1 − 1 − 1 0 1 0 − 5 − 6 − 3 1    2 2 1 0 0 1   1 1 1 0 − 1 L3 ← L3 + 5L2 0  0 − 5 − 6 − 3 1 0   0 −1 0 2 1 0 1    1 1 0 − 1 L3 ← (−1) L31  0 0 1  0 0 − 1 2 1 − 5 0    2 1 0 0 −1 0   3 1 − 6 0 1 0 0 0 1 − 2 − 1 5  

2 1 2  1 0 1 0 0 − 1  0 0

−1

1 1

1

0 1 −2

0 0  1 0  L3 ← L3 + (−1) L1 0 1 0  1 L2 ← (−1) L2 0  1 0 0  1 0 − 1 L1 ← L1 + (−2) L2 2 1 − 5  0 2  0 − 1 L2 ← L2 + (−1) L3 −1 5 

Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente por linha a matriz I n . Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz I n , transforma a

matriz I n na matriz A −1 . 1 2 Exemplo: Considere a matriz A =   .  0 3 A redução da matriz A à matriz identidade é: 1 2 1 0 1 1 2   L 2 ← L 2   L 1 ← L 1 + ( −2) L 2   3 0 1  0 3 0 1 Aplicando em I n a mesma seqüência de operações: 2  1 −   1 0 1  1 0  3 1 L 1 ← L 1 + ( −2 ) L 2    L 2 ← L 2 0 1   0 1 3  0   3   3  2  1 −  3  é a inversa da matriz A. Assim, a matriz  1  0  3 

13

2. Cálculo do Determinante A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: det A ou A

É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal. b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de uma certa linha forem multiplicados por k. c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo L i ← L i + k ⋅ L j . (Teorema de Jacobi). d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima. Exemplos: 1 5 1 5 3 0 0  1 − 2 3 1 −2         1) det 3 − 6 9  = 3 det 1 − 2 3  = (−3) det 0 1 5  = (−3) det 0 1 5 = 2 2 2  0 10 − 5  6 1 6 1 6 1      3 1 −2   (−3) det 0 1 5  = (−3) ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ (−55) = 165 0 0 − 55  

2  2 2) det 1  0  1  0 det 0  0 

3 −4 1 1   0 0 − 3 2 = − ( 1 ) det 2 1 − 2 − 5   0 1 2 3   1 − 2 − 5 1 1   1 0 11 0 1 = det 0 0 −2 4 7   0 0 1 2 3  

1  0 (−2) det 0  0 

1 1 0 0

1 − 2 − 5 1 − 2 − 5 1    0 0 − 3 4 7 0 − 2 = (−1) det = 3 −4 1 0 1 0 11    0 1 2 3  1 2 3   − 2 − 5  1 1 − 2 − 5    0 11 0 11 0 1 = (−1) det = 4 29  0 0 2 − 8    0 0 2 − 8  4 29   − 2 − 5  1 1 − 2 − 5    0 11 0 11 0 1 = (−2) det = (−2) ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 45 = −90 1 − 4 0 0 1 − 4    0 0 4 29  0 45  

Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A.

14

3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo.

Exercícios b + c  8 1  a−b 1) Resolva a equação matricial   =  , indicando os valores para a, b, c e d. d c a d 3 + 2 − 4 7 6      2 − 1 3  8 − 3 − 5  0 − 2 3       2) Considere A =  0 4 5 , B =  0 1 2 , C =  1 7 4  e k = 4 . Verifique se: − 2 4 − 7 3 1 4  6  9 9     a) ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) b) k ⋅ ( B − C ) = k ⋅ B − k ⋅ C c) tr ( A + B ) = trA + trB d) tr ( A ⋅ C ) = trA ⋅ trC

1 2 3) Seja A =   . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que A ⋅ B = 0 2×2 . 3 6  2 1 4) Seja A =   . Resolva a equação matricial A ⋅ X = I 2 , onde X = ( x ij ) 2×2 .  1 1 5) Mostre que, em geral, ordem.

A 2 − B 2 ≠ ( A − B ) ⋅ ( A + B ) , sendo A e B matrizes quadradas de mesma

1 2 6) Seja A =   . Encontre A n . 0 1   0 3 7) Verifique que a matriz   é uma raiz do polinômio f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 .  8 − 1  2 0 8) Considere A =   . 4 1 a) Indique a matriz A 2 − 2 ⋅ A + I 2 b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique A −3 = ( A −1 ) 3 .  1 0 9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz    0 0  0 1 quanto com a matriz   são múltiplas de I 2 .  0 0

 1 2 10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz   .  − 2 1 15

2 1  5 0 11) Sejam A =   e B =   . Verifique a igualdade ( A ⋅ B ) t = B t ⋅ A t . 3 − 4  − 6 7 12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e A ⋅ B = A ⋅ C então B = C . (Lei do Corte)  2 − 1 3 1     13) Sejam A =  1 0 2  e B =  2  . É possível calcular X, na equação A ⋅ X = B ? 0  3 0 1   

14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, considerando X a variável. a) A ⋅ B ⋅ X = C b) C ⋅ A ⋅ X t = C c) A ⋅ X 2 ⋅ C = A ⋅ X ⋅ B ⋅ C d) A ⋅ B −1 ⋅ X = C ⋅ A e) A 2 ⋅ X t = A ⋅ B ⋅ A 15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz ( A t ⋅ A) é invertível. A matriz A ⋅ ( A t ⋅ A) −1 ⋅ A t é simétrica? E idempotente?  cos θ 16) Mostre que a matriz   senθ

− senθ   é uma matriz ortogonal. cos θ 

1  17) Determine a, b e c de modo que a matriz  0  a 

0 1 2 b

0  1  seja ortogonal. 2 c 

18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas. 20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz B ⋅ A 2 também é simétrica? Justifique. 21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique. 22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique. 23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o elemento a ij da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante.

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Gelato Delícia Suave

 0,8 0,1 0,1    Delícia  0,4 0,5 0,1  Suave  0,6 0,2 0,2    Gelato

a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas.  1 2 − 4   24) Verifique se a matriz  − 1 − 1 5  é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa.  2 7 − 3   1 2 − 1   25) Para que valores de a a matriz  0 1 1 admite inversa?  1 1 a   0 1 3   26) Dada a matriz A =  2 5 − 1 . Indique a matriz ( A | I 3 ) e determine A −1 .  0 1 2   3 − 3 1   27) Dada a matriz A =  0 − 1 2  . Indique a matriz A. 1 − 2 1  −1

1 1 1   28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz  2 1 2  seja invertível. 1 2 a  

 1 − 2 4   3 0 1     29) Calcule o determinante das matrizes  2 −3 5  e  2 4 6  .    3 −4 6  − 4 1 2  30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que det A = 5 , determine: a) det(3 ⋅ A) b) det A t c) det( − A) d) det A 2 5  a −1 31) Encontre todos os valores de a para os quais det   = 0. a + 3   0

17

Respostas 1) a = 5, b = −3, c = 4, d = 1

23) a) 0,1 e 0,6

3  − 16 − 11   7 5 24) A =  2 − 12  2 1  −5 −3 2 2  2 25) a ≠ −2

 − 2 z − 2t   3) B =   ,t,z ∈ R *  t  z 

−1

 1 − 1 4) X =    − 1 2  1 2n  6) A n =   0 1   1 0  8) a)   b)   4 0  −  x 10)   − y

 0,74 0,15 0,11    b)  0,58 0,31 0,11   0,68 0,20 0,12   

6 3  − 11   26) A =  4 − 2 − 1  −2 1 1  1  12 12 2 1 2  27) A =  3 3 − 13  1 5 − 1 6 6 6 −1

1 8 7 2

0  1

 y  ,x,y ∈ R  x 

28) a ≠ 1

 − 4   13) Sim, X =  0   3  

14) a) X = B −1 ⋅ A −1 ⋅ C b) X = ( A −1 ) t c) X = B d) X = B ⋅ A −1 ⋅ C ⋅ A e) X = ( A −1 ⋅ B ⋅ A) t 15) Sim. Sim. 17) b = 22 e c = − 22 ou b = −

29) 0 e 24, respectivamente. 30) a) 3 n ⋅ 5 b) 5  5 se n for par c)  − 5 caso contrário d) 25 31) a = 1 ou a = −3 2 2

ec=

2 2

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Apêndice A - Determinante Permutações

Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora f : A → A . Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem n! permutações possíveis. Exemplos: 1) Seja A = {a, b} e as bijeções abaixo: a

a

a

a

b

b

b

b

A notação usual é: a b   a b

a b   b a

Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos reorganizados. 2) Seja A = {1,2,3} .  1 2 3 1 2 3  1 2 3  e  são três das seis permutações possíveis em A.  ,   2 1 3 1 3 2  3 1 2 3) Seja A = {a, b, c, d } . a b c d   é uma das 24 permutações possíveis.  b c d a  Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar. Exemplos: 1) Seja A = {1,2,3} com a ordem numérica usual, isto é, 1 ≤ 2 ≤ 3 .  1 2 3 1 2 3  1 2 3  e   são permutações ímpares e   é par.  2 1 3 1 3 2  3 1 2 2) Seja A = {a, b, c, d } com a ordem lexicográfica (alfabética) usual. a b c d    é uma permutação ímpar. b c d a  Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo.

19

O Determinante Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado determinante da matriz A. Notação: det A

A

det( a ij ) n ×n

 a11  Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3, A =  a 21 a  31

a12 a 22 a 32

a13   a 23  , e as permutações a 33 

possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}. 1 2 3 A partir da permutação ímpar   associa-se o produto “ − a11 a 23 a 32 ” , tal que os índices linha 1 3 2 correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação. O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas. Assim, o determinante é dado por: det A = a11 a 22 a 33 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a13 a 23 a 31 Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos a ij da matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices {1, 2,..., n}. Exemplos: 1) det(6) = 6  − 1 0 2) det   = a11 a 22 − a12 a 21 = ( −1).7 − 0.2 = −7 2 7    2 5 − 2   3) det  − 1 0 4  = a11 a 22 a 33 − a11 a 23 a 32 − a12 a 21 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a13 a 22 a 31  0 1 0  2  1 1 = 2.0.0 − 2.4. − 5.( −1).0 + 5.4.0 + ( −2).( −1). − ( −2).0.0 2 2 = −3

20

Desenvolvimento de Laplace Seja uma matriz quadrada de ordem n,  a11  a A =  21 ....   a n1

a12 a 22 ... an2

.... a1n   .... a 2 n  ..... ....   .... a nn 

Considere um elemento a ij qualquer, com i, j = 1,..., n e a submatriz Aij de ordem ( n − 1) obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz Aij sinalizado por ( −1) i + j é denominado o cofator do elemento a ij .  2 5 − 2   Exemplo: Seja a matriz  − 1 0 4 .  0 1 0  2  2 5  1  = ( −1).1 = −1 O cofator do elemento a 23 , isto é, de 4 é : ( −1) 2 + 3 . det  0  2   5 − 2 O cofator do elemento a 31 = 0 a31 é: ( −1) 3+1 . det   = 1.20 = 20 4  0

Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por: n

det A = ∑ a ij ⋅ ( −1) i + j ⋅ det Aij j =1

A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace. Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser: n

det A = ∑ a ij ⋅ ( −1) i + j ⋅ det Aij i =1

Exemplos:  − 1 0 1) A =   fixada a linha 2.  2 7 det A = a 21 ( −1) 2 +1 det A21 + a 22 ( −1) 2 + 2 det A22 = 2.( −1) 3 . 0 + 7.( −1) 4 . − 1 = 2.( −1).0 + 7.1.( −1) = −7  2 5 − 2   2) A =  − 1 0 4  fixada a linha 1.  0 1 0  2  det A = a11 ( −1) 1+1 det A11 + a12 ( −1) 1+ 2 det A12 + a13 ( −1) 1+ 3 det A13

0 = 2 .1 . 1 2

4 0

+ 5.( −1).

−1 4 0 0

+ ( −2).1.

−1 0

0 1 2 21

Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: det A = 2.1.[0.( −1) 1+1 . det A11 + 4.( −1) 1+ 2 . det A12 ] + 5.( −1).[( −1).( −1) 1+1 . det A11 + 4.( −1) 1+ 2 . det A12 ] + ( −2).1.[( −1).( −1) 1+1 . det A11 + 0.( −1) 1+ 2 . det A12 ] 1 1 = 2.1.[0.1. 0 + 4.( −1). ] + 5.( −1).[( −1).1. 0 + 4.( −1). 0 ] + ( −2).1.[( −1).1. + 0.( −1). 0 ] 2 2 1 = 2.1.( −2) + 5.( −1).0 + ( −2).1. = −4 + 1 = −3 2

Propriedades

Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e k ∈ R não nulo. D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então det A = a11 a 22 ...a nn .  a11   0 dem: Considere a matriz A =  ...   0

a12 a 22 ... 0

a1n   .... a 2 n  . ..... ....   .... a nn  ....

Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes, n

det A = ∑ a i1 ( −1) i +1 det Ai1 = a11 ( −1) 1+1 det A11 + a 21 ( −1) 2 +1 det A21 + ... + a n1 ( −1) n +1 det An1 i =1

 a 22 a 23 ... a 2 n    n −1  0 a 33 ... a 3n  i +1 = a11 det  = a det Ai1 11 ∑ a i1 ( −1) ......................  i =1   0 0 ... a nn   1+1 = a11 [a 22 ( −1) det A11 + ... + a nn ( −1) n −1+1 det A( n −1)1 ]  a 33 a 34 ... a 3n    n −2  0 a 44 ... a 4 n  i +1 = a11 a 22 det  = a a det Ai1 11 22 ∑ a i1 ( −1)  ...................... i =1    0 0 ... a nn  = a11 a 22 [a 33 ( −1) 1+1 det A11 + ... + a nn ( −1) n − 2 +1 det A( n − 2 )1 ]

= a11 a 22 ...a nn Corolários: i) det 0 n = 0 ii) det I n = 1 iii) Se A é uma matriz diagonal então det A = a11 a 22 ...a nn . D2. D3. D4. D5. D6.

det A = 0 , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. det A = 0 , quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. det( k ⋅ A) = k n ⋅ det A det( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B

det A = det A t 22

D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares: a) Li ↔ Lj : det B = − det A b) Li ← k.Li : det B = k ⋅ det A  a11 a12 ... a1n     .........................  dem: Considere a matriz A =  a i1 a i 2 ... a in  .    ........................   a a  n1 n 2 ... a nn  Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes, n

det A = ∑ a ij ( −1) i + j det Aij j =1

 a11 a12 ... a1n     .........................  Seja a matriz B =  ka i1 ka i 2 ... ka in  obtida pela operação elementar Li ← k.Li.    ........................   a  n1 a n 2 ... a nn  n

det B = ∑ ( ka ij )( −1) j =1

i+ j

n

det Aij = k ⋅ ∑ a ij ( −1) i + j det Aij = k ⋅ det A j =1

c) Li ← Li + k.Lj : det B = det A D8. A é uma matriz invertível se e somente se det A ≠ 0 . 1 D9. Se A é uma matriz invertível então det A −1 = . det A D10. Se A e B são matrizes semelhantes então det A = det B . D11. Se A é uma matriz ortogonal então det A = ±1 .

Exercícios 1) Calcule o determinante usando permutações.  1 4 7    1 2 a)  b)  2 5 8   3 4    3 6 9 2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace.  1 0 1 1  1 4 7     5 1 1 2 a)  2 5 8 b)  3 − 1 4 1      3 6 9  1 2 0 1 3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis. 1 1 2 3  x 1     a)  4 5 6  b)  − 1 1 x  7 8 x  x 1 − 1     23