Plano inclinado de Galileo FIZ112 UC

Informe Laboratorio 1: Plano inclinado de Galileo Mauricio Gamonal, Juan Manuel González, Cristóbal Vallejos Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica de Chile Profesor: Esteban Ramos Moore Ayudante: Carlos Espinoza Hernández Viernes,11 de abril de 2014 RESUMEN: Se montó un plano inclinado, formado por un riel elevado con un ángulo de 4,6° sobre la horizontal. Se definió un sistema de referencia,

cuyo origen se localizó en el punto de lanzamiento y con sistema de coordenadas: eje i paralelo al riel y eje j perpendicular al mismo. Se soltó un carro dinámico guiado por un riel. Este descenso se realizó desde cuatro posiciones distintas, separadas por una longitud y tiempo patrones, verificando de esta forma la relación directamente proporcional entre la posición del carro y el cuadrado de los tiempos de separación entre posición y posición, determinando así un movimiento uniformemente acelerado utilizando conocimientos del siglo XVII. Utilizando las leyes del movimiento se obtuvo de manera experimental una aceleración aproximada de 0,396 m/s² en el eje i, Se llegó a la conclusión de que la fuerza de roce no es despreciable y, mediante las leyes de Newton, se llegó a un coeficiente de roce aproximado de 0,039.

I.

necesario determinar el sistema de referencia desde el cual se hará la descripción. De esta manera se definen los siguientes ejes coordenados de dos dimensiones – obviando la tercera dimensión debido a que el carro se encuentra en un riel, por lo que se desplaza en línea recta- en nuestro montaje experimental:

OBJETIVOS

Describir el movimiento de un carro dinámico en un plano inclinado con un ángulo de elevación dado utilizando los conocimientos existentes en los tiempos de Galileo. Determinar el tipo de movimiento, es decir, si es que es un movimiento con rapidez constante o si es un movimiento acelerado. Visualizar estos resultados en gráficos apropiados. Realizar la conversión entre las unidades de medida patrón y las unidades del SI. Verificar los resultados utilizando los conocimientos posteriores de Newton. Determinar el error en la medición, el tipo de error, sus fuentes y las formas en que puede ser disminuido.

II.

INTRODUCCIÓN

Durante el siglo XVII el científico italiano Galileo Galilei describió el movimiento de esferas rodando por un plano inclinado utilizando sólo medidas de longitud patrón y una clepsidra. Sus resultados fueron revolucionarios, los cuerpos caen con una velocidad que varía de manera constante en función del tiempo y que, además, esa variación de velocidad era independiente de la masa del cuerpo. Nuestra motivación experimental es la de comprobar estos resultados, verificar los postulados de Galileo en el siglo XXI. Pero antes de describir el movimiento de un cuerpo, es

Ilustración 1: Sistema de referencia usado en el montaje

1

Con el sistema de referencia definido, se puede describir el movimiento del cuerpo en función de los datos obtenidos.

La tercera ley nos dice que las fuerzas vienen de a pares, es decir, si un cuerpo A interacciona con un cuerpo B, entonces el cuerpo B -de manera automática- reacciona con el cuerpo A. Esta interacción es en la misma dirección que la primera, pero en sentido opuesto. En términos matemáticos esto implica que:

Para describir el movimiento del cuerpo hay que definir algunos conceptos cinemáticos tales como el tiempo transcurrido, la posición, la velocidad y la aceleración.

F⃗AB =− F⃗BA

La posición X⃗ se define como la magnitud vectorial que mide la distancia de un cuerpo respecto al origen de un sistema de referencia, su unidad de medida en el SI es el metro. t , en cambio, se define como el El tiempo transcurrido intervalo de tiempo en que un cuerpo realiza un movimiento, es una magnitud escalar y su unidad en el SI es el segundo.

También tenemos que tener en cuenta que la Tierra interactúa con todos los cuerpos que están sobre su superficie. Esta fuerza se define como:

⃗ P =m⋅(

v es la magnitud vectorial que La velocidad1 ⃗ relaciona el cambio de posiciones de un cuerpo en función del tiempo transcurrido en realizar tales cambios de posiciones, es decir:

v= ⃗

Δ ⃗x m Δt s

(1)

Δ ⃗v m Δ t s2

(2)

2

̂i

n

i=1

[

kg⋅m ] s2

)

(6)

•

G: Constante de Gravitación Universal

•

Mt: Masa de la Tierra

•

r: Radio al centro de la Tierra

•

m: Masa del cuerpo con el que la Tierra interactúa.

(⃗ g =9,8[

ecuación (6) se reescribe como:

m ]) . Por lo que la 2 s

⃗ P =m⋅⃗g

(7)

Finalmente, con estos datos se puede realizar un diagrama de cuerpo libre sobre el carro dinámico, obteniendo lo siguiente:

(3)

∑ F⃗ i=m⋅⃗at

2

aceleración de gravedad

Con estos conceptos definidos podremos describir de forma precisa y analítica el movimiento del carro a través del riel y así llevar a cabo el laboratorio en su totalidad. Pero nuestra curiosidad científica va más allá, por lo que además de describir el movimiento, trataremos de explicar la causa del movimiento descrito. Para eso es necesario plantear, de forma resumida, las leyes de Newton (expuestas 45 años después de la muerte de Galileo, por lo que no está dentro del intervalo temporal del laboratorio) . La fuerza -elemento principal de las leyes- se define como la interacción entre, al menos, dos cuerpos. La primera ley nos dice que un cuerpo mantendrá su velocidad si es que no se le aplican fuerzas externas. La segunda ley dice que la fuerza aplicada a un cuerpo es proporcional a la aceleración del cuerpo a masa constante, lo que implica que la suma de las n fuerzas aplicadas al cuerpo es proporcional a la aceleración total del cuerpo, es decir:

⃗ =m⋅⃗a [ kg⋅m F ] ⇒ s2

⃗r

Al reemplazar los valores del segundo factor de la ecuación (6) se llega a un resultado constante, la llamada

Estos conceptos cinemáticos se relacionan en una sola fórmula, la cual no fue conocida por Galileo, y que solo utilizaremos para comprobar los datos experimentales. Esta fórmula se conoce como ecuación itinerario, y para nuestro montaje se definirá de la siguiente manera:

a⋅t ⃗ ⃗ ( t)= X⃗ 0+ ⃗ X v⋅t+ 2

G⋅M T

Con:

La aceleración es la magnitud vectorial que mide el cambio de las velocidades de un cuerpo en un cierto intervalo de tiempo, es decir:

a= ⃗

(5)

Ilustración 2: Diagrama de cuerpo libre aplicado al carro

(4)

1.- Al no tener instrumentos de precisión adecuados, se omitirá el concepto de velocidad y aceleración instantánea

2

Como se puede notar, en el eje i de nuestro sistema de P ejercida por la referencia existen dos fuerzas: La fuerza ⃗ tierra a nuestro cuerpo -la cual se descompone en dos fuerzas P⃗ i y P⃗ j paralelas a los ejes coordenados- y la fuerza de roce, definida como la fuerza aplicada al cuerpo que se opone al sentido del movimiento del mismo y que tiene como módulo la fuerza normal ponderada por el coeficiente de roce, el cual depende de la superficie de contacto. En el eje j se tiene que, por la tercera ley de Newton, existe una interacción entre el cuerpo y la superficie del plano inclinado, por lo que hay un par acción y reacción. Una de esas fuerzas es la llamada fuerza normal, perpendicular al eje i y que tiene la misma magnitud que la fuerza P⃗ j . En el apartado IV se analizará esta situación en detalle, explicando finalmente los resultados obtenidos en el laboratorio.

de agua del vaso precipitado- para emular el reloj de agua de Galileo y así tener una unidad de medida patrón de tiempo. Es necesario acotar que la precisión con la que estos elementos cuentan dependen del usuario, quien tiene la responsabilidad de realizar una buena medición. Con lo anterior se asume automáticamente que el error humano es parte fundamental de los resultados posteriormente obtenidos. En el caso de la barra de madera, el cálculo de precisión es sumamente complejo, ya que el patrón no está graduado, así, por convención, se asumirá que la medida patrón no tendrá error de lectura. En el caso de la pipeta, al error humano se le suma el error de lectura asociado a la capilaridad de la pipeta, tal error se estimó en 0,1 ml Se debe tener en cuenta que el plano inclinado debe tener un ángulo de medición pequeño, debido a que necesitamos que la velocidad que alcance el carro sea tal, que sea factible describir su movimiento. Para conocer el ángulo de elevación es necesario conocer las medidas de los lados del triángulo que forma la vista sagital del plano inclinado. De esta forma, tenemos lo siguiente:|

Teniendo en cuenta todos los preceptos expuestos anteriormente nos formulamos algunas preguntas a investigar: ¿tendrá el carro un movimiento uniforme?, de no ser así, ¿tiene un movimiento uniformemente acelerado?, ¿cuál es la aceleración del carro?, ¿influirá el roce en la posible aceleración del cuerpo?

Nuestras hipótesis -haciendo un análisis intuitivo- se resumen en que: •

El movimiento del carro es uniformemente acelerado.

•

La aceleración del carro es menor que la aceleración gravitacional.

•

La fuerza de roce existente es despreciable.

Lado del triángulo

Barras de madera aprox.

h

0,5

Base

6,2

Tabla 2: Medidas del plano inclinado.

Es necesario destacar que las mediciones anteriores se realizaron utilizando un hilo para calcular la fracción de la barra de madera. De esta forma, usando la tabla anterior, se tiene, mediante relaciones trigonométricas, que2:

tan (α)= III.

MONTAJE Y PROCEDIMIENTO

h 0,5 ⇒ α=arctan ( ) ⇒ α≈4,6 ° (8) base 6,2

De la base del plano inclinado se toman cuatro medidas, separadas cada una por 1 barra, las cuales servirán para comprobar si el carro recorre distancias iguales en tiempos iguales, lo cual implicaría un movimiento uniforme rectilíneo. Estas cuatro medidas están representadas por los puntos X 0 , X 1 , X 2 y X 3 ya que X 4 es el pie del plano inclinado. Por lo que se tiene que se harán cinco medidas distintas desde cada uno de los cuatro puntos marcados. Es decir, el carro se X 0 , desde X 1 , desde soltará desde X 2 y desde X 3 , cinco veces cada uno.

En la siguiente tabla se enumeran los materiales del montaje: Montaje 1 Soporte universal 1 Riel de acero inoxidable 1 Carro dinámico 1 Barra de madera 1 Pipeta graduada 1 Vaso precipitado Tabla 1: Materiales usados en el montaje del experimento

Para analogar la tecnología utilizada por Galileo se utilizará una barra de madera como unidad de medida patrón de longitud. De la misma manera, se usó la pipeta -llenada con 25 ml

2.- Se tiene la certeza de que Galileo tuvo acceso a tablas de arcotangentes para calcular el ángulo del plano inclinado

3

Tomando en cuenta lo anterior, tenemos el siguiente diagrama que refleja el montaje experimental:

√

M x x Δx 2 Δy 2 = ± ⋅ ( ) +( ) N y y x y

(C)

M j= x j± j⋅x j−1⋅Δx

(D)

IV.

RESULTADOS

Los siguientes resultados fueron obtenidos al realizar mediciones exhaustivas y repetitivas de los lanzamientos desde diversas posiciones. Los cálculos del promedio de los tiempos y de la desviación estándar utilizando las fórmulas A, B, C y D. El primer lanzamiento se hizo desde X 3 dando como resultados los siguientes tiempos (extrapolando los cuadrados): Lanzamiento 1 (distancia recorrida: 1 barras)

t 1 [ml ]

Uno de los objetivos de este laboratorio es realizar las conversiones al Sistema Internacional de medidas, por lo que realizamos las medidas, según las unidades de SI, de la barra patrón de madera y del tiempo en que los 25 ml de agua caen desde la pipeta. La barra midió 0,189 m, con un error de lectura de 0,001 m y el tiempo de caída de 25 ml de agua tuvo una magnitud de 5 segundos, con un error de medición aproximado a 0,1s. De lo anterior se tiene la siguiente tabla de conversiones: Transformación de medidas patrón a SI Medida Patrón

Magnitud en SI

1 barra

0,189 ± 0,001 m

1 ml

0,2 ± 0,04 s

1 ml²

0,04 ± 0,01 s

1 barra/ml

0,95 ± 0,19 m/s

1 barra/ml²

4,75 ± 1,18m/s²

√

Δx 2 Δy 2 ) +( ) x y

1

[

m l

]

4,5 ± 0,1

20,3 ± 0,6

4,6 ± 0,1

21,2 ± 0,7

4,7 ± 0,1

22,1 ± 0,7

5,5 ± 0,1

30,3 ± 0,8

4,6 ± 0,1

21,2 ± 0,7

t̄1=4,8±0,1

t̄12=23,3±0,3 σ1=4,0±0,3

X2 El segundo lanzamiento fue hecho desde obteniendo los siguientes resultados (extrapolando los cuadrados): Lanzamiento 2 (distancia recorrida: 2 barras)

En el transcurso de las mediciones, usualmente determinaremos el error de precisión o error de lectura y lo denominaremos como ±Δx , de esta forma tendremos que una medida M es igual a x± Δx y otra medida N es igual a y± Δx , con esto, definiremos las siguientes operaciones:

M⋅N = x⋅y±x⋅y⋅ (

2

t 12 [ml ]

Tabla 4: Resultados del primer lanzamiento

Tabla 3: Tabla de conversiones al SI. Los errores asociados a la medida en SI son causados por imprecisiones humanas y por la precisión de los instrumentos.

M + N = x+ y ±√ Δx 2 + Δy 2

t

t 2 [ml ]

t 22 [ml ]

6,5 ± 0,1

42,3 ± 0,9

7,2 ± 0,1

51,8 ± 1,0

6,7 ± 0,1

44,9 ± 0,9

7,0 ± 0,1

49,0 ± 1,0

7,0 ± 0,1

49,0 ± 1,0 2

(A)

t̄2=6,9±0,1

(B)

Tabla 5: Resultados del segundo lanzamiento.

4

t̄2 =47,4±0,4 σ 2=3,8±0,4

El tercer lanzamiento fue hecho desde X 1 obteniendo los siguientes resultados (extrapolando los tiempos cuadrados):

El gráfico anterior muestra una relación de crecimiento exponencial. El programa LibreOffice utilizó la función 1,98 para modelar la línea de tendencia del f ( x)=0,05⋅x gráfico. Esta función tiene un exponente cercano a 2, por lo que se puede afirmar que la relación entre la posición y el tiempo es cuadrática, esto nos ayudará a realizar la descripción del movimiento del carro.

Lanzamiento 3 (distancia recorrida: 3 barras)

t 3 [ml ]

t 32 [ml ]

8,9 ± 0,1

79,2 ± 1,3

8,6 ± 0,1

74,0 ± 1,2

8,5 ± 0,1

72,3 ± 1,2

8,3 ± 0,1

68,9 ± 1,2

8,0 ± 0,1

El siguiente gráfico muestra la relación entre la posición del carro y el promedio de los tiempos cuadrados:

64,0 ± 1,1

Gráfico X v/s t²

2

t̄2 =71,7±0,5 σ 2=5,7±0,5

t̄3=8,5±0,1

5 4 X [barras]

Tabla 6: Resultados del tercer lanzamiento.

El último lanzamiento fue hecho desde X 0 obteniendo los siguientes resultados (extrapolando los tiempos cuadrados): Lanzamiento 4 (distancia recorrida: 4 barras)

t 4 [ml ]

t 42 [ml ]

9,2 ± 0,1

84,6 ± 1,3

9,5 ± 0,1

90,3 ± 1,3

10,0 ± 0,1

100,0 ± 1,4

9,8 ± 0,1

96,0 ± 1,4

10,0 ± 0,1

100,0 ± 1,4

2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t² [ml²]

Gráfico 2: Posición en función del cuadrado del tiempo. La línea amarilla corresponde a la línea de tendencia hecha por el programa libreoffice.

El gráfico anterior muestra una relación de crecimiento lineal de la posición respecto del cuadrado del tiempo. El programa LibreOffice utilizó la función g ( x)=0,04⋅x para modelar la línea de tendencia del gráfico.

t̄42=9,4±0,6 σ 4=6,7±0,6

t̄4=9,7±0,1

3

V.

Tabla 7: Resultados del cuarto lanzamiento

Para analizar los resultados sólo se tomará en cuenta el movimiento del carro en el eje i, ya que en el eje j no existe movimiento alguno. A partir del gráfico 1 y en especial del gráfico 2 se puede inferir que la posición del carro es directamente proporcional al cuadrado del tiempo, es decir:

El siguiente gráfico muestra la relación entre la posición del carro y el promedio de los tiempos transcurridos:

X ∝ t

Gráfico X v/s t

2

4 3 2

X ΔX ∝t ⇒ ∝ Δt t Δt

1 0 0

2

4

6

8

(9)

Lo cual tiene una implicancia fundamental: Demuestra que el carro no tiene un movimiento uniforme, ya que su posición no es directamente proporcional al tiempo, sino que es proporcional al cuadrado del tiempo. Además, no solo no es un movimiento uniforme, sino que es un movimiento acelerado, ya que:

5 X [barras]

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

10

12 t [ml]

Gráfico 1: Posición en función del tiempo. La línea amarilla corresponde a la línea de tendencia hecha por el programa libreoffice.

(10)

Lo anterior dice que la rapidez del carro es proporcional al tiempo de desplazamiento, es decir, la rapidez del carro varía

5

de manera uniforme, lo cual es la definición misma de movimiento acelerado. Por lo tanto, comprobamos que nuestra primera hipótesis es cierta utilizando solo los conocimientos existentes en tiempos de Galileo.

m 4=

∣X⃗ 4∣−∣ X⃗ 3∣ t 4−t 3

=

4 −3 barra =0,042±0,001[ ] 94,7±0,6−71,7±0,5 ml 2

Por lo tanto, la pendiente promedio será:

Sin embargo, para calcular la aceleración es fácil pensar que aquella es la constante que aparece en las funciones dadas por el programa, en este caso, un valor entre 0,04 y 0,05 barras/ml². Para comprobar si esto es cierto ocupamos las ecuaciones del movimiento, las que fueron obtenidas mediante el descubrimiento del Cálculo diferencial e integral décadas después de la muerte de Galileo. Así, y teniendo en cuenta la fórmula 3 -anulando la posición inicial y velocidad inicial- y haciendo una inspección a las pendientes del gráfico 2, se tiene que:

m= ̄

m 1 +m 1 +m3 +m4 b =0,042±0,001 2 4 ml

(13)

De esta manera, la ecuación itinerario del movimiento del carro dinámico queda de la siguiente manera3:

⃗ (t)=(0,042±0,001)⋅t 2 ̂i X

(14)

De (11) se tiene que la aceleración del carro es:

ai⋅t 12 a 1⋅t 22 ⇒ X 1= ∧ X 2= 2 2 2 2 a ⋅t a ⋅t ⇒ X 1− X 2 = i 1 − 1 2 2 2 ai 2 ⇒ X 1− X 2= ⋅(t 1 −t 22 ) 2 X − X 2 ai ⇒ 12 = t 1 −t 22 2

⃗ ∣=∣a⃗i∣⋅t ∣X 2

2

a⃗i=0,084±0,001

ai ⇒ ai =2⋅m 2

a⃗i=0,396±0,100

(11)

P⃗ i=m⋅⃗ ai ⇒ m⋅⃗g⋅sin (α)=m⋅⃗ ai a⃗i ∣⃗ g∣= sin (α)

m 3=

∣⃗ g∣=

(12)

t3 −t 2

=

0,396±0,100 m ⇒ ∣⃗ g exp∣≈4,95±1,25 2 sin (4,6 ° ) s

(18)

Claramente, este resultado tiene casi un 50% de error respecto al valor teórico. Analizando nuevamente la situación planteada, nos cuestionamos la insignificancia de la fuerza de roce. Si tenemos que la fuerza de roce no es despreciable, entonces, conforme al diagrama de cuerpo libre, la fuerza roce es:

⃗ r= N⋅ ⃗ μ r =m⋅⃗g⋅cos (α)⋅μ r F

2−1 barra = =0,041±0,001[ ] 47,4±0,4−23,0±0,3 ml 2

∣X⃗3∣−∣X⃗ 2∣

(17)

Reemplazando los valores de (16), se tiene que:

∣X⃗ 2∣−∣X⃗ 1∣ t 2−t 1

(16)

Para poder demostrar lo anterior debemos recurrir a las leyes de Newton, de esta manera y, si despreciamos el roce, tenemos que la única fuerza aplicada al carro es la de la interacción terrestre. Por lo que tenemos que:

Para determinar la ecuación itinerario del carro es necesario encontrar la pendiente del gŕafico 2. Teniendo en cuenta los resultados de las tablas 3,4,5 y 6 podemos realizar el cálculo de una pendiente promedio: ∣X⃗ 1∣−∣X⃗0∣ 1−0 barra m 1= = =0,043±0,001[ ] t1−t 0 23,0±0,3−0 ml 2 m 2=

m̂ i s2

Con (16) se comprueba nuestra segunda hipótesis, ya que la aceleración del carro es casi 25 veces menor que la aceleración gravitacional.

La ecuación (11) dice que la pendiente de la recta del gráfico (2) es igual a la mitad de la aceleración total en el eje de movimiento. Por lo tanto, la ecuación itinerario del carro queda de la siguiente forma:

X ( t)=m⋅t 2

(15)

Realizando la conversión a unidades del Sistema Internacional según la tabla 3:

Pero el lado izquierdo de la última ecuación es igual a la pendiente m del gráfico 2, por lo tanto:

m=

b ̂ i ml 2

(19)

Pero según la segunda Ley de Newton, planteada en la ecuación (4), la suma de las fuerzas aplicadas en el carro a lo largo del eje i es igual a la masa del cuerpo por la aceleración en el eje i, es decir:

3−2 barra =0,041±0,001[ ] 71,7±0,5−47,4±0,4 ml 2

3.- Note que el margen de error fue desestimado porque teniendo en cuenta la precisión de nuestros instrumentos, el margen de error es despreciable.

6

P⃗ i + F⃗ r =m⋅a⃗i ⃗ ∣=m⋅∣a⃗i∣ ∣P⃗ i∣−∣N m⋅∣⃗g∣⋅sin (α)−m⋅∣⃗g∣⋅cos( α)⋅μ r =m⋅∣a⃗i∣ m⋅∣⃗g∣⋅cos(α)⋅μ r =m⋅∣⃗ g∣⋅sin( α)−m⋅∣a⃗i∣ m(∣⃗g∣⋅sin(α )−∣⃗ai∣) μ r= m⋅∣⃗g∣⋅cos( α) ∣⃗ g∣⋅sin( α)−∣⃗ai∣ μr = ∣⃗g∣⋅cos (α)

de Galileo. Entonces, usando (3), se tiene que la aceleración del carro en unidades del SI es:

∣a⃗i∣≈0,396±0,100

Esta aceleración es casi 25 veces menor que la aceleración causada por la interacción terrestre. Para encontrar la causa de este fenómeno utilizamos la mecánica Newtoniana, definiendo las fuerzas aplicadas al carro mientras describe su movimiento. En una primera instancia se presume que el roce es despreciable, pero a partir de lo anterior se llega a un resultado incoherente en relación a la aceleración gravitatoria, por lo que se presume finalmente que el roce no es despreciable. De esta manera, se tiene que sobre el carro existen 2 fuerzas de sentido opuesto a lo largo del eje i, la fuerza de roce y la componente i de la fuerza de gravedad. Aplicando la segunda Ley de Newton, se tiene que para que la aceleración del carro medida experimentalmente tenga consistencia con la realidad, debe existir un coeficiente de roce perteneciente a la superficie del riel, el cual es:

(20)

De la ecuación anterior podemos reemplazar los valores obtenidos para el ángulo de elevación, para ∣a⃗i∣ y, asumiendo g∣ , obtenemos un valor para el coeficiente de el valor real de ∣⃗ roce aproximado de:

μ r≈0,0399

(21)

Este valor es razonable4 teniendo en consideración los materiales del riel y de las ruedas del carro dinámico (aluminio y plástico respectivamente), por lo que podemos afirmar que la fuerza de roce es un factor que afecta a la aceleración del cuerpo que baja por el plano inclinado, refutando así nuestra tercera hipótesis.

μ r≈0,0399 Estos datos tuvieron un error de lectura determinado por el tiempo de reacción de quien realizó la medición del tiempo y de quien se encargó de soltar el carro. Además de lo anterior, se le suma la propagación del error a medida que se realizan operaciones entre datos con error de lectura, sin embargo, en algunos datos fueron desestimados debido a que el margen de error era muy pequeño en comparación al valor obtenido. Es necesario notar que el error asociado a la aceleración experimental no alcanza a tomar el valor real de g, esto nos motiva a considerar el roce. También es necesario notar que las fuentes de error pueden ser mejoradas utilizando mejores instrumentos de medición, tanto de tiempo como de longitud, como pueden ser un cronómetro o una huincha, pero debido a que el experimento se enmarcó dentro de los conocimientos y la tecnología existente en los tiempos de Galileo, no existe mayor mejora que la aumentar la precisión de la medición del tiempo utilizando otros métodos, tales como relojes de agua mucho más precisos que una pipeta además de adoptar un mejor mecanismo para soltar el carro casi al mismo tiempo que el contador de tiempo.

Es interesante notar que de (20) se desprende que la aceleración de un cuerpo que cae por un plano inclinado es independiente de la masa de éste, por lo que se verifica lo expuesto por Galileo en sus experimentos.

VI.

m 2 s

CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos en las tablas 4,5,6 y 7, además del gráfico 1, muestran cómo las posiciones del carro son proporcionales al cuadrado del tiempo en transcurrido entre cada cambio de posición, por lo tanto se comprobó que:

distancia recorrida ∝ tiempotranscurrido2 De la relación anterior es posible concluir que:

Finalmente se concluye que, según los datos obtenidos experimentalmente y considerando el error de lectura en la medición, el carro dinámico sufre una aceleración positiva de valor constante en el eje i de nuestro sistema de referencia, aceleración que es causada por la fuerza resultante entre la suma vectorial de la fuerza de roce y la componente en el eje i de la fuerza peso. Cabe destacar que la masa del carro en la ecuación (20) se cancela a los dos lados de la ecuación, por lo que la aceleración causada por la fuerza resultante no depende de la masa del objeto, lo cual fue propuesto por Galileo en el siglo XVII en sus experimentos hechos en la torre de Pisa y que concuerda con el análisis mecánico de Newton.

rapidez ∝ tiempotranscurrido Esta ecuación muestra que la rapidez del carro cambia de forma constante conforme avanza el tiempo, lo que indica que existe una aceleración constante, provocando que el carro describiera un movimiento uniformemente acelerado. En este punto terminan los conocimientos de Galileo, ya que para poder encontrar la aceleración del carro, es necesario utilizar la ecuación (3), la cual fue descrita utilizando herramientas matemáticas creadas décadas después de la muerte

4.- Serway R. A..Física.Editorial McGraw-Hill. (1992)

7