Propagação do Fogo e Dinâmicas Florestais
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FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO
Propagação do Fogo e Dinâmicas Florestais
Maria da Graça de Andrade Oliveira
Licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de mestre em Estatística Aplicada e Modelação
Dissertação realizada sob a supervisão de Professor Doutor Francisco José Lage Campelo Calheiros, da Secção de Matemática e Física do Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Porto, Setembro de 2005
Resumo
Os incêndios, especialmente durante a época estival, destroem extensas áreas florestais por todo o planeta. Portugal é, todos os anos, fustigado por inúmeros fogos florestais com consequências graves a nível social, ambiental e económico. Não parece haver sucesso nas medidas tomadas relativamente à prevenção e combate dos fogos florestais, já que estes são recorrentes.
A comunidade científica tem-se mobilizado para este problema sendo, a nível nacional e internacional, inúmeros os trabalhos de investigação orientados para a prevenção e combate do fogo florestal descontrolado e indesejável. No entanto, a simulação da propagação do fogo é ainda um desafio, devido à complexidade dos modelos físicos implicados, à grande exigência computacional e às dificuldades em estimar os parâmetros.
Neste trabalho construiu-se e testou-se um modelo que simula a propagação do fogo em florestas em evolução, usando autómatos celulares, baseado em regras matemáticas elementares. O modelo é simples, podendo, por isso, ser usado e compreendido pelos alunos do Ensino Básico e do Ensino Secundário.
Factores mal caracterizados ou insuficientemente conhecidos estão integrados no modelo através de modelação estocástica.
Construiu-se de raiz um simulador em Visual Basic com cuidadosa interface para poder ser usado em investigação e em sessões com alunos. Testou-se o programa com alunos do 8º e 12º anos de escolaridade com algum sucesso. Para a validação do modelo recuperou-se alguns resultados ligados à percolação.
Palavras chave: simulação, autómatos celulares, incêndios florestais, modelação matemática no ensino.
Abstract
Forests are destroyed all over the world by unexpected and uncontrolled fire, specially in summer time. In Portugal a very large number of forest fires occur with severe social, environmental and economical consequences. It seems that the actions taken until now, to prevent and fight forest fires, haven’t been successful.
Forest fires became a major research subject among Portuguese and international researchers. Many simulation models have been developed in an effort to prevent these fires. Nevertheless fire propagation models are until now a challenge due to the complexity of physical models, the high computational requirements, and the difficulty to define the input parameters.
In the scope of this research a model was developed for simulation of forest fires propagation in evolving forests, using cellular automata. The model is simple, and so it can be tested and understood by high-school students.
The model integrates by stochastic modelling factors that are not well known.
The simulation was implemented, from the beginning, in Visual Basic, with a carefully designed graphical user interface. This simulation was also tested by students of the 8th and 12th grade. The model was validated by recovering some percolation results.
Keywords: simulation, cellular automata, forest fires, teaching mathematical modelling.
Agradecimentos
Os agradecimentos especiais são para o meu orientador, Professor Doutor Francisco Calheiros. Esta tese nunca teria sido escrita sem a sua ajuda, persistência e motivação!
Agradecimentos também muito especiais para a Teresa Mota (que como eu se aventurou neste tipo de trabalho!) e para o João Henrique pela incansável disponibilidade e preciosa colaboração na implementação informática dos algoritmos em Visual Basic.
Agradeço aos professores da Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de S. João da Madeira (Nº 3), em particular, à Salomé Aleixo e ao João Matos pela colaboração e ajuda na organização das sessões com alunos que realizei na escola; à Goreti e à Anisabel pela pronta colaboração; ao Presidente, Mário Coelho, e restantes membros do Conselho Executivo pela forma como disponibilizaram os meios necessários para a realização das sessões. Os meus agradecimentos estendem-se a todos os alunos que participaram nas sessões, cuja presença foi essencial e a carinhosa participação me encheu de coragem.
Quero dirigir o meu reconhecimento à Direcção-Geral dos Recursos Humanos da Educação, por me ter concedido a Licença Sabática que me permitiu desenvolver este trabalho ao longo do ano lectivo.
À FEUP, em especial à Professora Doutora Teresa Arede, quero expressar os meus agradecimentos pelas oportunidades que me foram concedidas. Agradeço também à Professora Doutora Fernanda Sousa pela forma como sempre me recebeu.
Quero expressar os meus agradecimentos à Valquíria pelas conversas partilhadas e à Cristina Marques pela pronta colaboração na revisão do texto.
Agradeço a todos os familiares e amigos que de alguma forma me apoiaram durante este percurso, em particular, à Fatinha pelos incentivos que me ajudaram a acreditar ser capaz e, em especial, ao meu marido e ao meu filho, pelo apoio e amor que ambos me deram e que serviu de consolo nas más alturas e de motivação nas boas, tornando possível a conclusão deste trabalho.
Índice
1 Introdução........................................................................................................................1 1.1 Contexto e apresentação do problema ....................................................................1 1.1.1 A importância da floresta ..............................................................................1 1.1.2 Gestão dos recursos florestais........................................................................1 1.1.3 Os incêndios florestais...................................................................................2 1.2 Objectivos e limitações do estudo ..........................................................................6 1.3 Estrutura e organização da dissertação...................................................................7
2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos..........................................................8 2.1 Breve contextualização sobre modelação ambiental ..............................................8 2.1.1 O conceito de modelo ..................................................................................10 2.1.2 Classificação dos modelos matemáticos em Ecologia ................................11 2.2 Dinâmicas florestais: modelos de simulação........................................................14 2.3 Incêndios florestais: modelos de propagação .......................................................15
3 Conceitos Básicos..........................................................................................................18 3.1 Autómatos Celulares ............................................................................................18 3.1.1 O domínio ....................................................................................................18 3.1.2 A vizinhança ................................................................................................19 3.1.3 O conjunto dos estados ................................................................................20 3.1.4 A função de transição ..................................................................................21 3.2 Percolação.............................................................................................................22 3.2.1 Introdução....................................................................................................22 3.2.2 A transição de fase em percolação ..............................................................24
3.3 Caminhos aleatórios .............................................................................................26 3.3.1 Caminhos aleatórios sobre rede...................................................................26 3.3.2 SAW .............................................................................................................28
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo e implementação informática.....................................................................................................................29 4.1 Descrição sumária do modelo integrado ..............................................................29 4.1.1 Geometria celular ........................................................................................29 4.1.2 A rede ..........................................................................................................30 4.2 Modelo de evolução da floresta............................................................................30 4.2.1 Apresentação do modelo .............................................................................30 4.2.2 Aplicação do modelo ao estudo de florestas ...............................................32 4.3 Modelo de propagação do fogo ............................................................................34 4.3.1 Parâmetros do modelo .................................................................................34 4.3.2 Características do modelo............................................................................34 4.3.3 Visualização do fogo ...................................................................................36 4.3.4 O foco de incêndio.......................................................................................37 4.3.5 Obstáculos à propagação do fogo................................................................37 4.4 Utilização do programa ........................................................................................37
5 Algumas explorações do modelo ..................................................................................41 5.1 Forma da área queimada.......................................................................................42 5.2 Probabilidade de propagação em função da densidade florestal ..........................48 5.3 Área ardida final e tempo de fogo em função do parâmetro p. Dependência do tamanho da malha.................................................................................................50
6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário ..............................57 6.1 Metodologia..........................................................................................................57 6.2 Reacção dos alunos ao simulador.........................................................................58 6.3 Algumas considerações sobre esta experiência ....................................................60
Conclusões........................................................................................................................62
Referências bibliográficas ................................................................................................63
Anexos ..............................................................................................................................69 Anexo A: A fórmula de Stirling. ................................................................................70 Anexo B: Programa FlorestaSim................................................................................75 Anexo C: Inquérito. ....................................................................................................89
Índice de figuras
Figura 1 – Área ardida total e número total de ocorrências registados anualmente em Portugal Continental, entre 1980 e 2004...............................................................................3 Figura 2 – Dois tipos de vizinhança mais utilizados: (a) vizinhança de Von Neumann; ( b) vizinhança de Moore..........................................................................................20 Figura 3 – Exemplo de percolação bidimensional. ..................................................................23 Figura 4 – A tracejado, as arestas da rede dual da rede quadrangular regular. ........................23 Figura 5 – Diagrama das fases da água: P – pressão; T – temperatura; t – ponto triplo; c – ponto crítico. Retirado de Calheiros (1985).......................................................24 Figura 6 – Rede com malha quadrangular regular ...................................................................29 Figura 7 – Transições do autómato celular (determinista). Adaptado de Elmoznino (1999)...32 Figura 8 – Interpretação “florestal” do autómato. Adaptado de Elmoznino (1999). ..............32 Figura 9 – Exemplos de florestas criadas pelo simulador ( a = 10 v = 12 n = 16 ). .................33 Figura 10 – Grafo das transições numa célula..........................................................................35 Figura 11 – Interface do simulador FlorestaSim: evolução da floresta. ..................................37 Figura 12 – Interface do simulador FlorestaSim: floresta gerada pelo simulador. ..................38 Figura 13 – Interface do simulador FlorestaSim: propagação de um incêndio........................39 Figura 14 – Interface do simulador FlorestaSim: resultados finais obtidos após a extinção do fogo iniciado na figura anterior. ............................................................................40 Figura 15 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................43 Figura 16 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................45 Figura 17 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................46 Figura 18 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................47 Figura 19 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo..........................................................48 Figura 20 – Probabilidade de propagação do fogo, em função da densidade florestal. ...........49 Figura 21 – Percentagem de área queimada e tempo de simulação em função do parâmetro p. ............................................................................................................................51
Figura 22 – Percentagem de área queimada em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio. ......................................................53 Figura 23 – Duração do fogo em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio. ..........................................................................54 Figura 24 – Percentagem de área queimada e duração do fogo em função do parâmetro p, em malha 200*200. .....................................................................................................54 Figura 25 – Percentagem de área queimada: (a) Desvio padrão em função da média, para p compreendido entre 0,3 e 0,4; (b) Assimetria em função do achatamento. ..........56 Figura 26 – Segunda parte da sessão realizada a 16 de Março de 2005...................................59 Figura 27 – Segunda parte da sessão realizada a 13 de Abril de 2005.....................................59 Figura 28 – Esquema da sala. ...................................................................................................60
Índice de tabelas
Tabela 1 – Os estados e a respectiva interpretação na interface do simulador FlorestaSim....36 Tabela 2 – Relação entre a percentagem de área queimada e o tempo de duração do fogo, para diferentes valores do parâmetro p...................................................................55 Tabela 3 – Erro absoluto e erro relativo da fórmula de Stirling. ..............................................74
Lista de abreviaturas
ADAI – Associação para o Desenvolvimento da Aerodinâmica Industrial CEIF – Comissão Eventual para os Incêndios Florestais DGRF – Direcção Geral dos Recursos Florestais MS – Microsoft max - máxino SAW – Self Avoiding Walks SIG – Sistemas de Informação Geográfica
“Conhecer é ser capaz de prever para prover.”
Augusto Comte
1 Introdução
1 Introdução 1.1 Contexto e apresentação do problema 1.1.1 A importância da floresta A floresta é cada vez mais reconhecida como um espaço de extrema importância para a manutenção dos recursos naturais e para a qualidade de vida no planeta. Cerca de 38% do território português e quase um terço da superfície terrestre estão cobertos por floresta. O importante património natural que a floresta integra tem enorme relevância do ponto de vista ambiental, económico e social.
Do ponto de vista ambiental, a paisagem florestal encerra grande biodiversidade e garante o necessário equilíbrio ecológico. A floresta tem um papel determinante, nomeadamente, na protecção dos solos contra a erosão, na regularização do ciclo hidrológico, bem como no enriquecimento das camadas superficiais do solo.
Na perspectiva económica, o sector florestal é de relevante importância. Em Portugal, a diversidade e a quantidade dos produtos florestais (cortiça, lenho, resina, frutos, cascas e essências) (Macedo & Sardinha, 1985a) fazem do sector um forte exportador (11% do valor global no ano de 1999) que contribui para a manutenção de mais de 7000 empresas, gerando cerca de 300 mil empregos (directa ou indirectamente ligados ao sector) (CEIF, 2004).
É importante destacar o papel da floresta do ponto de vista social. A qualidade do espaço físico que as zonas florestais proporcionam é um factor de motivação para a prática de desportos e actividades de recreio e lazer, bem como um catalizador para o turismo.
1.1.2 Gestão dos recursos florestais A utilização inadequada da floresta conduziu à degradação ecológica e socioeconómica em muitas regiões do mundo, sendo evidentes as consequências negativas destas intervenções ao nível local e do respectivo impacto ao nível global (o efeito de estufa, entre outros) (Borges, 2000). As florestas tropicais são um exemplo desta perniciosa situação. Segundo 1
1 Introdução
Laurance & Vasconcelos (2000), as florestas da Amazónia estão a sofrer mudanças rápidas que terão forte impacto sobre a biodiversidade, a hidrologia e o ciclo global do carbono. A destruição da floresta, para dar lugar a grandes fazendas, e a exploração de madeiras exóticas estão a transformar a paisagem florestal nesta região do globo, produzindo sobre ela diversos efeitos nefastos, sendo, um deles, a vulnerabilidade ao fogo.
Durante um incêndio florestal, o dióxido de carbono armazenado pelas árvores durante décadas, é libertado para a atmosfera em poucas horas, desencadeando de forma gradual alterações climáticas a nível planetário (Castillo et al., 2003). Os fogos controlados são uma forma de gestão florestal (Águas, 2000), por permitir a eliminação de vegetação arbustiva, subarbustiva e herbácea, actuando como um factor de prevenção contra os incêndios florestais (Macedo & Sardinha, 1985a).
A captação de resíduos florestais que estão em excesso nas matas, isto é, a “limpeza” das matas, contribui para a diminuição da probabilidade de risco de incêndio florestal. A utilização dos restos florestais (biomassa florestal) para a produção de energia eléctrica é uma técnica bem conhecida e comercialmente viável em vários países. A Central Termoeléctrica de Mortágua, a primeira realização significativa em Portugal nesta forma de produção de energia, está em actividade desde 1999 (Machado, 2004).
Segundo Silva (2004), “a prevenção e o combate a incêndios florestais são questões centrais no processo de planeamento florestal, na medida em que delas depende a concretização de todos os objectivos da gestão”.
1.1.3 Os incêndios florestais O fogo é um elemento da natureza, sendo utilizado pelo ser humano em diversas actividades. Os fogos florestais são uma componente natural de muitos ecossistemas e, por isso, um elemento necessário na manutenção do seu equilíbrio (Lopes et al., 2002). Quando ocorre um fogo que não é controlado pelo homem tem lugar aquilo que se entende por incêndio e, quando este afecta a vegetação que cobre os terrenos florestais, ocorre o que se entende por incêndio florestal (Lopéz, 2004).
2
1 Introdução
Mundialmente, os incêndios florestais destroem, todos os anos, extensas áreas de floresta, sendo um dos maiores riscos ambientais em todos os países do Mediterrâneo em consequência das altas temperaturas e das baixas precipitações registadas, especialmente durante o verão (Abdalhap, 2004). No entanto, para além desta situação quase endémica da zona mediterrânica, ocorrem também grandes incêndios florestais em outros continentes. São exemplos os grandes incêndios ocorridos em 2003 na Califórnia e na Austrália e os que fustigaram a Indonésia e a Amazónia, no biénio 1997-1998 (Lopéz, 2004). Quando intacta, a floresta equatorial e tropical resiste bem ao fogo e às flutuações do clima, mas a associação dos efeitos das alterações climáticas com os do uso da terra, faz dos incêndios uma ameaça para muitas florestas e para a respectiva biodiversidade (Laurance & Vasconcelos, 2000).
Em Portugal, os incêndios são um dos principais problemas da floresta. No verão de 2003, o nosso país foi particularmente fustigado pelos incêndios florestais, tendo a área ardida atingido valores verdadeiramente alarmantes. A figura 1 mostra a evolução anual dos totais da área ardida e do número de ocorrências1, nos últimos 25 anos, de acordo com os dados da
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Número de ocorrências
Total de área ardida (em hectares)
Direcção Geral dos Recursos Florestais (DGRD, 2005 a).
Nº de ocorrências
Figura 1 – Área ardida total e número total de ocorrências registados anualmente em Portugal Continental, entre 1980 e 2004.
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“Incêndio, queimada ou falso alarme que origina a mobilização de meios dos Bombeiros.”(definição da DGRF) 3
1 Introdução
De facto, os dados relativos a 2003 surpreendem, não pelo número de incêndios, mas sim pelo total de área queimada (425 716 hectares). Apesar do número de ocorrências em 2003 ter sido inferior (apenas cerca de 90%) à média verificada no quinquénio de 1998 a 2002, esse número tem vindo a aumentar regularmente ao longo das últimas décadas, sendo esse aumento mais acentuado a partir da década de 90. A partir do início deste século tem-se verificado a tendência de descida deste número.
Para além da destruição de extensas áreas de floresta e de todos os prejuízos económicos e ecológicos que daí advêm, os incêndios florestais têm frequentemente consequências muito graves relativamente à perda de vidas humanas. Em Portugal, em acções directa ou indirectamente relacionadas com os fogos florestais, perderam a vida vinte e uma pessoas durante o ano de 2003 (Viegas, 2004).
O problema dos fogos florestais em Portugal poderá vir a agravar-se. Vários autores (Carvalho, 2002; Santos, 2005) afirmam que, em termos climáticos, as alterações em curso serão prejudiciais à nossa floresta. Por exemplo, Carvalho (2002) refere que “a previsão de menores precipitações conduzirá a menores taxas de crescimento dos povoamentos florestais e a um muito significativo aumento do risco de incêndio”.
A grande maioria dos incêndios florestais em Portugal é causada por acção humana (Vieira, 2003; Viegas, 2004): as queimadas feitas por agricultores e por pastores são uma das principais causas identificadas; o número de fogos deflagrados por incendiários tem vindo a aumentar, sendo um dos motivos de crescente preocupação ao nível da prevenção; o uso de foguetes tem causado, nos últimos anos, alguns incêndios, apesar de existir legislação específica nesse campo (Vieira, 2003).
As trovoadas são a principal causa natural capaz de provocar incêndios florestais, principalmente as “trovoadas secas” que ocorrem durante os meses de verão (Macedo & Sardinha, 1985b). Em Portugal, este fenómeno teve especial relevo no ano de 2003, tendo sido apontado como a causa de cerca de 12% dos 187 grandes incêndios (com área superior a 100 hectares) que ocorreram durante o verão (Viegas, 2004).
O facto de se originar um foco de ignição, seja qual for a sua causa, não significa que o fogo se propague, pois as condições ambientais são decisivas na sua evolução (Macedo & 4
1 Introdução
Sardinha, 1985b). De forma geral, a topografia, a vegetação e a meteorologia são factores físicos que influenciam o comportamento do fogo, tanto ao nível da sua eclosão como da sua propagação (Catarino, 2004; Viegas, 2004).
As alterações que, de uma forma geral, a floresta tem sofrido ao longo das últimas décadas, em função das mudanças do clima e das actividades humanas, parecem aumentar o risco de catástrofes ecológicas, como grandes incêndios florestais. Esta situação manifesta a necessidade premente de se implementar medidas de fundo para fazer frente à proliferação deste tipo de catástrofe.
A comunidade científica tem-se mobilizado para o problema dos fogos florestais sendo, a nível nacional e internacional, inúmeros os trabalhos de investigação orientados para a prevenção e o combate deste tipo de fenómeno. No entanto, a simulação da propagação do fogo é ainda um desafio devido à complexidade dos modelos físicos implicados, à grande exigência computacional e às dificuldades em estimar os parâmetros (Lopes et al., 2002). Há parâmetros que não se podem medir directamente podendo, no entanto, ser estimados a partir de medidas indirectas (por exemplo, a humidade contida na vegetação). Outros parâmetros, como a direcção e a velocidade do vento, podem medir-se em determinados locais, sendo necessário interpolar esses mesmos parâmetros para todo o terreno. Atendendo a estas dificuldades, torna-se complicado encontrar valores para estes parâmetros (Abdalhap, 2004). Todos estes factores implicam que, na maioria dos casos, os resultados obtidos pelos simuladores se desviem dos resultados da propagação do fogo numa situação real (Águas, 2000; Lopes et al., 2002; Abdalhap, 2004; Lopéz, 2004).
Na fase final da redacção desta tese, Agosto de 2005, os incêndios florestais que ocorrem em Portugal, na França e, o caso aparentemente mais grave, em Espanha, mostram que continuamos muito desprovidos de meios para tratar a ameaça do fogo à floresta.
Em Portugal, entre 1 de Janeiro e 31 de Julho deste ano, ocorreram 91 grandes incêndios (área ardida superior a 100 hectares), o maior dos quais deflagrou em Seia a 19 de Julho, tendo afectado os concelhos da Covilhã, Fundão, Arganil, Oliveira do Hospital e Pampilhosa da Serra, com uma área ardida total de 15 837 hectares (DGRD, 2005 b).
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1 Introdução
A origem do grande incêndio deste ano em Espanha – um descuido num churrasco – provocou enorme catástrofe em Guadalajara. Isto justifica que se invista tudo o que for possível na sensibilização das pessoas, especialmente nas camadas jovens da população.
1.2 Objectivos e limitações do estudo
O objectivo principal deste trabalho é avaliar o estado da arte, ao nível mundial, sobre a gestão de fogos florestais e procurar explicações para as dificuldades encontradas que levam à recorrência de fogos descontrolados em diversos países, nomeadamente em Portugal. Com este trabalho pretendemos também construir, testar e avaliar um modelo que simule a propagação do fogo em florestas em evolução, baseado em regras simples da Matemática Aplicada. Pretende-se um modelo bastante simplificado, na perspectiva de poder ser usado e compreendido pelos alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário.
Um dos objectivos específicos deste trabalho visa a divulgação, ao nível do Ensino Básico e Secundário, da investigação científica na área da simulação de fogos florestais, proporcionando o contacto com um trabalho de aplicação da disciplina de Matemática a situações concretas, fomentando o interesse pela investigação e pelas ciências.
A simulação foi feita recorrendo a autómatos celulares, sendo implementado em MS Visual Basic 6.0. A escolha desta linguagem deve-se à facilidade de desenvolvimento e robustez e, em especial, à facilidade na criação de interfaces gráficas com o utilizador. Todas as simulações foram efectuadas numa plataforma com o sistema operativo MS Windows XP 2002 Professional.
A autora deste trabalho, deliberadamente decidiu limitar ao máximo os aspectos contínuos da propagação do fogo e da evolução da floresta. Esta escolha é corroborada por muitos autores, sobretudo aqueles que estudam sistemas dinâmicos, entre os quais todos os que utilizam os autómatos celulares (ver página 13).
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1 Introdução
1.3 Estrutura e organização da dissertação A dissertação pode ser dividida em duas partes. Na primeira parte, constituída pelos capítulos 2 e 3, faz-se uma revisão de alguns termos e conceitos ligados à modelação ambiental, em particular aos modelos de propagação de fogos florestais. A segunda parte é composta pelos restantes capítulos e trata da construção e análise do modelo desenvolvido neste trabalho destinado à simulação de incêndios florestais.
No segundo capítulo, faz-se uma breve contextualização sobre modelação ambiental e apresenta-se uma revisão bibliográfica dos modelos de simulação de dinâmicas florestais e, sobretudo de propagação de fogos florestais.
No terceiro capítulo, faz-se uma exposição de conceitos básicos com possível ligação à simulação de fogos florestais.
No quarto capítulo, faz-se a descrição do modelo desenvolvido neste trabalho em paralelo com a sua implementação informática. Na última secção deste capítulo, apresenta-se a interface do programa FlorestaSim, bem como algumas explicações sobre o seu funcionamento.
Nos capítulos 5 e 6 apresentam-se explorações do modelo. No quinto capítulo, faz-se a análise de algumas características do modelo, recuperam-se alguns resultados de percolação e faz-se uma interpretação dos resultados no contexto florestal. No sexto capítulo, apresenta-se os resultados das experiências realizadas, com o simulador, com alunos do 8º e 12º anos da Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de S. João da Madeira (Nº3).
Este texto termina com a apresentação das conclusões gerais do estudo e são apresentadas algumas ideias para desenvolvimento futuro.
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2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos
2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos 2.1 Breve contextualização sobre modelação ambiental Desde sempre, os ecologistas tentaram compreender a complexidade temporal, espacial e estrutural dos sistemas ecológicos, apesar dos métodos de análise se mostrarem pouco adequados para o efeito, pelo menos do ponto de vista actual. O aparecimento dos computadores permitiu desenvolver novos métodos para o estudo destes sistemas (ver, por exemplo: (Malone et al., 1967), (Legendre & Legendre, 1979)).
Estes dois últimos autores já são de uma segunda geração de ecologistas que, por um lado, perceberam as novas possibilidades que o computador trouxe, permitindo os estudos multidimensionais (análise em componentes principais (ACP) e suas variantes, métodos de classificação e de ordenação, análise de sucessões temporais e o uso de processos de Markov), por outro lado, mantêm a enorme desconfiança entre ecologistas e estatísticos, confirmada pelo que escreve Ramón Margalef
2
(ver também (Margalef, 1982)) no prefácio aos dois
tomos do livro de Legendre & Legendre (1979):
“Este livro é feito por ecologistas e para ecologistas, diferindo dos numerosos livros redigidos por estatísticos procurando vender a sua mercadoria que se satisfazem a tomar e a retomar exemplos imaginários e que consideram que o reportório das respostas deve condicionar a escolha dos problemas a estudar”.
“Os sistemas vivos são antes de tudo sistemas físicos e não seres imaginários e há um grande avanço se a aplicação das matemáticas à biologia for feita através do filtro da física”.
A primeira citação leva a alguns reparos. De facto, os matemáticos, em particular os estatísticos, muitas vezes com grande ignorância dos fenómenos em estudo, fazem “Toy models” que são completamente disparatados (por exemplo, um rio com caudais negativos, na montanha). Por outro lado, os modelos empíricos, muito bem justificados em relação a
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Ecologista. 8
2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos
aspectos parcelares da realidade, mas muitas vezes não conseguem deixar de ser uma “manta de retalhos” em que o essencial se perdeu (por exemplo, o facto de no meio de um fogo catastrófico e descontrolado haver preocupações com algum animal ou algum detalhe sobre o tipo de árvore que está a ser consumida pelo fogo). Aqui, os modelos simplificados da matemática dão uma resposta global muito mais rápida e, por isso mesmo, muito mais útil (Calheiros, 2005).
A Mecânica Estatística consegue modelar, com alguma capacidade de predição, fogos numa floresta considerando como aleatório o que se passa em cada ponto. De facto, hoje consegue descrever-se o comportamento colectivo de grandes grupos, mesmo que a descrição individual não seja muito precisa (sabe descrever-se globalmente uma floresta ou a propagação de um fogo, usando regras muito simplicistas ao nível individual). Foi aqui que o computador permitiu fazer grandes avanços (simulando florestas inteiras, fogos em florestas inteiras, etc.) em que o detalhe dos comportamentos individuais não é muito influente no comportamento colectivo (Calheiros, 2005). A simulação computacional é, naturalmente, uma consequência directa da construção dos primeiros computadores electrónicos na década de 1940-50 (Fernandes, 2003), mas o desenvolvimento foi lento e, só talvez nos anos 80 se atingiu a maturidade.
Para ser completamente eficaz, a Mecânica Estatística de modelos sobre rede deve permitir comparar a rede teórica (rede em estudo) com os valores do terreno, avaliar a unidade de comprimento da rede e também ligar o tempo real ao tempo de simulação – é o que é feito com sucesso por Calheiros (ver (Calheiros, 1993, 1998)) no caso da difusão de poluentes no mar. Para o tamanho da rede elementar, Calheiros (1993 e 1998) obteve 51 metros e, em muitos dos problemas ambientais a grande escala, são usados 50 metros ((Hargrove et al., 2000), por exemplo). A modelação ambiental estuda a representação de fenómenos complexos, onde factores económicos, sociais, climáticos e ecológicos, entre outros, podem ser considerados. Os primeiros modelos ambientais não eram espacialmente explícitos, isto é, não se preocupavam com o padrão espacial das mudanças ocorridas ou com o prognóstico do local onde as mudanças deveriam ocorrer (Carneiro, 2004). De facto, os modelos não espacialmente explícitos tratavam apenas de quantidades que pareciam ser médias, isto é, se fosse uma selva tigrada do modelo de Thiéry et al. (1995) era uma mancha cinzenta, não sendo nada claro o 9
2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos
tipo de padrão (listas pretas e brancas como as de uma zebra ou quadrados como num tabuleiro de xadrez ou, ainda, como um cinzento uniforme).
Actualmente, existe uma grande variedade de modelos espacialmente explícitos, aplicáveis a uma grande diversidade de áreas, tais como: difusão de epidemias, dinâmicas populacionais, mudanças do uso do solo, dinâmicas florestais e propagação de fogo (SoaresFilho et al., 2003). Muitos destes métodos são apoiados pela introdução de dados provenientes de Sistemas de Informação Geográfica (SIG) e da monitorização por satélite.
Neste capítulo, apresenta-se uma revisão dos modelos ambientais destinados ao estudo das dinâmicas florestais (secção 2.2) e da propagação de incêndios (secção 2.3). Consoante as suas características, os modelos podem ser classificados por diversos critérios. Pretendendo dar uma ideia da grande diversidade de modelos existentes nesta área, apresenta-se, na secção 2.1.2, uma dessas classificações.
2.1.1 O conceito de modelo
“Um modelo é uma representação abstracta de um sistema ou processo” (Turner et al., 2001). Os modelos podem ser formalizados de várias maneiras e em vários contextos. Os modelos físicos são correntemente usados em muitos ramos do conhecimento (por exemplo, modelos de rios (Magalhães, 2005), modelos de pontes (Henriques, 1998), etc.). Os ecologistas também constroem modelos físicos (por exemplo, modelos demográficos, modelos meteorológicos, modelos de florestas, modelos de contágio, etc.). Os modelos, muitas vezes abstractos, utilizam símbolos para representarem características do sistema em estudo (por exemplo, um modelo matemático pretende descrever ou representar a realidade mediante o uso da linguagem matemática). Os modelos matemáticos são comummente usados em Ecologia (Legendre & Legendre, 1979; Turner et al., 2001).
O ponto de partida em qualquer ciência natural é uma descrição, tão cuidadosa quanto possível, da realidade. Os modelos apoiam-se nessas descrições e tentam filtrar o que é essencial do que é detalhe. Após a construção de um modelo é necessário regressar às descrições para analisar se este é ou não adequado para descrever essa realidade. Assim, um 10
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modelo, antes de ser verificada a sua adequação, não é mais do que um mero exercício matemático que pode estar fora da realidade (Calheiros, 2005). Os modelos ajudam a definir os problemas com maior precisão e os conceitos com maior clareza. No entanto, só são úteis se permitirem fazer algum tipo de previsão (Oliveira, 1992).
A componente estocástica é, cada vez mais, integrada como uma forma pragmática de lidar com a incerteza e com o desconhecimento do detalhe da realidade (Oliveira, 1992). Como os dados são sempre discretos e os computadores são discretos, cada vez mais o protagonismo tem sido dos autómatos celulares estocásticos, que parecem ser um bom instrumento de modelação em muitas circunstâncias, justificando assim o não uso dos métodos contínuos (ver secção 1.2).
2.1.2 Classificação dos modelos matemáticos em Ecologia
Um modelo matemático diz-se um isomorfismo, em relação ao objecto de modelação, se satisfizer as seguintes condições: todo o elemento pertencente ao objecto é representado por um elemento correspondente no modelo e vice-versa; toda a função, definida por elementos do objecto, é representada por uma função correspondente, definida pelos correspondentes elementos do modelo, e vice-versa; toda a relação entre os elementos do objecto é representada por uma relação correspondente nos elementos do modelo.
Em Ecologia, os objectos (populações, comunidades, ecossistemas) são muito complexos, sendo impossível reproduzir no modelo todas as características do objecto de modelação. Assim, perde-se a correspondência entre o objecto de modelação e o modelo, pelo que todos os modelos matemáticos em Ecologia são, no máximo, homomorfismos (Gertsev & Gertseva, 2004), daí se justificar, um pouco, as “reticências” de Margalef (ver secção 2.1). Há características que não passam do modelo para o real e vice-versa. São elementos ou relações que estão no conjunto final (modelo) e que não correspondem a nenhum elemento ou relação no conjunto inicial (objecto de modelação). Por outro lado, poderemos encontrar características no modelo ainda não detectadas no conjunto inicial, sendo assim, predições a serem confirmadas, ou não, por novas observações. São estas predições, se confirmadas, que tornam a modelação fecunda (Calheiros, 2005). 11
2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos
A grande diversidade de modelos matemáticos em Ecologia originou diversas descrições e classificações por parte de vários autores, entre os quais Turner et al. (2001) e Gertsev et al. (2004). Segue-se uma revisão de alguns termos usados na classificação deste tipo de modelos segundo Turner et al. (2001):
Deterministas versus Estocásticos Um modelo é determinista se produz, para repetidas simulações, resultados iguais a partir de um mesmo conjunto de condições iniciais. Estes modelos, geralmente baseados em equações diferenciais e em derivadas parciais, não incorporam variáveis aleatórias, caracterizando um dado fenómeno através das variáveis e parâmetros do próprio modelo. No entanto, se o modelo incorpora elementos probabilísticos então diz-se que o modelo é estocástico. Por exemplo, “numa floresta, o conjunto de factores que contribuem para a variação no espaço da produtividade ou da vitalidade de uma espécie, é de tal ordem complexo que a incerteza daí resultante torna difícil a sua integração num modelo determinista” (Soares, 2000). É claramente o mesmo que afirma Oliveira (1992) ao dizer que é céptico e pragmático, usando o estocástico como modelo quando há incerteza ou ignorância. Os modelos de índole estocástica são de uso relativamente recente porque as técnicas estocásticas estavam pouco desenvolvidas (por exemplo, equações diferenciais estocásticas) e porque com o computador é possível fazer extensas simulações estocásticas (Monte Carlo), havendo também técnicas para interpretação das simulações (Calheiros, 2005).
Analíticos versus Simulação A equação que descreve o crescimento exponencial numa população é um exemplo de um modelo analítico. Muitos modelos ecológicos, especialmente os que são usados em ecossistemas e na Ecologia da Paisagem, são modelos de simulação. Simular é imitar, passo a passo, o comportamento do sistema ou fenómeno em estudo. Os modelos de simulação incorporam regras matemáticas locais com a intenção de reproduzir, o melhor possível, o sistema, utilizando o computador para obter os resultados. De facto, a maioria das vezes, os modelos analíticos são usados via integrações e iterações, o que faz com que a sua utilização seja idêntica à das simulações estocásticas. Os métodos analíticos muitas vezes são globais (correspondem a análises globais do sistema), não são espacialmente explícitos, não permitindo, muitas vezes, a análise das variações espacio-temporais (Calheiros, 2005).
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2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos
Dinâmicos versus Estáticos Os modelos podem ser classificados como dinâmicos ou estáticos conforme as características em estudo variam ou não com o tempo. Nos sistemas dinâmicos, a avaliação da relação entre o tempo no modelo e o tempo real é muito importante, sendo necessário avaliar as escalas do tempo. Por exemplo: nos estudos de evolução das florestas a unidade de tempo é relativamente grande (um ano, ou mais) enquanto que para fogos florestais é uma unidade pequena (um minuto, por exemplo). Os modelos de simulação são dinâmicos (mesmo que, por vezes, as dinâmicas sejam só formais).
Discretos versus Contínuos Se um modelo é dinâmico, então as alterações em função do tempo podem ser descritas de diferentes maneiras. Se o modelo usar equações diferenciais, então a alteração com o tempo dá-se em pequenos passos (infinitesimais), tratando-se de um modelo contínuo. Modelos com intervalos de tempo discretos avaliam as condições actuais e depois passam para o instante seguinte, considerando-se inalterados no intervalo entre dois instantes. Os intervalos entre instantes podem ser constantes (é obtida uma solução a cada minuto, a cada hora, a cada ano) ou irregulares. Os modelos de perturbação da paisagem (incêndios, por exemplo) podem ser discretos. A simulação em computadores impõe a discretização dos modelos contínuos.
Empíricos Um modelo empírico baseia-se directamente na observação ou na experiência, isto é, os parâmetros das equações deste tipo de modelo são determinados directamente a partir dos dados. Por exemplo, num modelo de propagação de incêndios florestais deste tipo (entre os quais está o modelo de (McAthur, 1966) ), os dados são obtidos em fogos ocorridos em terrenos reais ou em laboratório, donde as previsões obtidas são, geralmente, boas para condições similares. A adopção deste tipo de modelos para condições que se afastem daquelas para as quais os modelos foram construídos deve ser feita com muitas reservas (Águas, 2000; Lopéz, 2004). Espaciais Os modelos espaciais incluem vários pontos simultaneamente, podendo ser dinâmicos ou estáticos. O processo de modelação de fenómenos espaciais dinâmicos envolve, para além da construção do modelo, inúmeras observações que se arrumam com a construção de uma adequada base de dados. Os Sistemas de Informação Geográfica (SIG) são, muitas vezes, 13
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ferramentas adequadas para armazenamento e tratamento desses dados. A avaliação do tamanho da malha é crucial para a realização de predições úteis (Calheiros, 2005).
2.2 Dinâmicas florestais: modelos de simulação
Os aspectos mais relevantes das populações de organismos fixos e com ciclos de vida longos (como, por exemplo, as árvores de uma floresta) dizem respeito à sua Estrutura Espacio-Temporal, isto é, à forma como os indivíduos se dispersam pelo espaço e pelo tempo (Rosado, 1992). De facto, uma floresta é um conjunto de espécies vegetais com as suas interacções.
Nas últimas décadas, têm sido desenvolvidos numerosos modelos de simulação com o objectivo de investigar as dinâmicas florestais. Para uma revisão, o leitor mais interessado poderá ver diferentes abordagens em trabalhos recentes (ver, por exemplo:(Berger & Hildenbrandt, 2000), (Monserud, 2003), (Mladenoff, 2004), (Weisberg et al., 2005)).
Os modelos de dinâmicas florestais são usados para tentar prever a evolução de algumas quantidades: produção de biomassa e determinação do seu máximo (clímax de floresta), produção de matéria lenhosa, risco de incêndio, entre outras. Estas quantidades podem ser apenas de variação natural ou induzida pelo Homem.
No capítulo 4 desta tese, é apresentado um modelo de evolução de floresta (baseado nos trabalhos de Elmoznino (1996 e 1999)). O seu desenvolvimento e análise mais detalhada serão realizados noutro trabalho, sendo de particular interesse para o estudo da recuperação da floresta após a ocorrência dum fogo.
Deve notar-se que, neste campo, a intervenção dos físicos parece mais limitada e tem sido limitada a florestas monoespecíficas e, dadas as dificuldades de publicação, têm publicado “apenas” artigos de combinatória (de que é exemplo (Elmoznino, 1999) em autómatos celulares). Segundo Duarte (1996), os físicos preocupam-se com o fogo médio numa floresta média.
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2.3 Incêndios florestais: modelos de propagação A investigação das dinâmicas dos incêndios florestais está a tornar-se um dos desafios com maior importância científica no campo dos estudos ambientais (Lasaponara et al., 2005). A importância da modelação matemática dos incêndios florestais radica na possibilidade de previsão do comportamento destes fenómenos e dos seus efeitos. Os modelos de propagação dos incêndios florestais podem ser ferramentas valiosas na decisão dos métodos de ataque, estimação e desenvolvimento de recursos, medidas de segurança dos combatentes do fogo e das populações na zona do sinistro, bem como em diversas decisões destinadas a minimizar os custos materiais e económicos (Lopéz, 2004). Sendo possível conhecer a velocidade de propagação, a direcção e a intensidade de um fogo florestal, seria possível decidir qual a frente a atacar e a maneira mais adequada para efectivar esse ataque. Os casos conhecidos fazem supor que este conhecimento não existe em tempo útil.
A predição no campo dos fogos florestais tem vindo a desenvolver-se nos últimos anos existindo, na literatura, uma grande quantidade de modelos desenvolvidos com essa finalidade. Apesar dos progressos, há muitos problemas por resolver no que diz respeito à simulação deste tipo de fenómeno, sendo frequentes as divergências entre os resultados obtidos através dos modelos e a realidade. Muito mais frequentes parecem ser as controvérsias entre os diferentes intervenientes, não parecendo que se tenham obtido técnicas universalmente aceites de previsão e ataque para fogos florestais. Por isso, algum consenso tem vindo a formar-se sobre a necessidade de concentrar esforços na prevenção deste tipo de fenómeno.
Concretizando, na situação actual não parece haver consenso sobre o que foram avanços em modelação de fogos florestais. Duarte (1996) é particularmente céptico, referindo que “as simulações significam muitas coisas para muita gente”. Assim, realizou-se um percurso dirigido pela bibliografia disponível (neste campo está muito longe de definitivo), mas cujas escolhas são pessoais. Existem diversas classificações da modelação matemática dos incêndios florestais, consoante os elementos considerados pelos investigadores neste campo (Lopéz, 2004). Na literatura, esta classificação para além de muito variada é, antes de mais, pouco consistente. Deve notar-se que os modelos e a respectiva classificação estão muito ligados às posições filosóficas e políticas e à formação científica dos seus autores.
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2 A modelação ambiental: elementos bibliográficos
Dada a grande quantidade e variedade de modelos destinados ao estudo do comportamento dos fogos florestais, torna-se incomportável fazer referência a todos eles neste trabalho. Das diferentes revisões destes modelos conservam-se apenas duas (Hargrove et al., 2000; Pastor et al., 2003), deixando ao leitor interessado a leitura de outras revisões em (Lopes et al., 2002; Keane et al., 2004; Lopéz, 2004).
No artigo de Pastor et al. (2003) é apresentada uma revisão bastante ampla dos diversos tipos de modelos matemáticos sobre fogos florestais, onde a natureza das “equações” de propagação, as variáveis em estudo e os “sistemas físicos modelados” são considerados como os principais factores de distinção entre modelos. Consoante a natureza e a origem das “equações” de propagação, os modelos de propagação de incêndios florestais podem ser agrupados em três grupos: modelos estatísticos (ou empíricos), modelos físicos (ou deterministas) e aqueles que se encontram numa situação intermédia (modelos semi-empíricos ou semi-físicos) (Águas, 2000; Pastor et al., 2003; Lopéz, 2004).
Lopéz (2004) apresenta, no capítulo 4, um resumo das principais características de alguns dos modelos de propagação de fogos florestais “mais representativos” na literatura, nomeadamente o modelo semi-físico de Rothermel (1972) que tem sido incluído em muitos outros modelos (alguns exemplos, citados em Lopes et al. (2002): DYNAFIRE (Kalabokidis et al., 1991); FIREMAP (Ball & Guertin, 1991); FARSITE (Finney, 1998); FireSation (Lopes et al., 1998) ) e constitui a base dos sistemas BEHAVE e NEXUS (sistemas de previsão do comportamento dos incêndios, utilizados pelo Serviço Florestal do Departamento de Agricultura dos Estados Unidos).
A muito complexa interacção entre as condições atmosféricas, a forma de ignição, a topografia do terreno, o tipo de vegetação e a humidade contida nessa mesma vegetação faz com que o fogo seja um fenómeno difícil de modelar com sucesso. Muitos dos modelos (por exemplo: (Rothermel, 1972, 1983), (Albini, 1976), (Kessel, 1976), (Van Wagner, 1977), (Burgan & Rothermel, 1984), (Albini & Stocks, 1986)) que simulam a propagação do fogo, baseiam-se nos princípios da termodinâmica que requerem informação detalhada sobre velocidade do vento, topografia, humidade relativa do ar, humidade da vegetação e a estrutura e densidade da vegetação (Hargrove et al., 2000). Ora, aparentemente, o uso mais sistemático das regras da termodinâmica sugerem fortemente o uso de modelos de fenómenos colectivos –
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que é designado por Mecânica Estatística (percolação, sistemas sobre rede, conjunto de estados discreto) (Calheiros, 1985).
A contribuição portuguesa nesta área tem vindo a ganhar destaque na literatura. Entre os modelos mais divulgados citam-se aqui apenas quatro: Firegis (Almeida et al., 1997), Geofogo (Vasconcelos et al., 1998), FireStation (Lopes et al., 1998) e Spread (Mendes-Lopes & Águas, 2000).
O modelo de simulação espacial DINAMICA (Soares-Filho et al., 2002), baseado em autómatos celulares, apresenta diversas potencialidades, entre as quais a possibilidade de simular propagação de fogo. Surpreendentemente, a contribuição brasileira, muito reconhecida e divulgada na literatura ao nível da América Latina, parece ser ignorada fora desse contexto.
Não seria comportável no espaço-tempo desta tese, uma versão mais crítica ou detalhada pois imporia o teste dos modelos e a análise de dados de fogos, que estão fora deste âmbito. Entre muitos outros aspectos relevantes, também não foi aqui falado da recolha de dados de fogos florestais e no estudo de casos (ver, por exemplo, (ADAI, 1997), particularmente lição nº 12 e suplemento de Xavier Viegas e Miguel Cruz).
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3 Conceitos Básicos
3 Conceitos Básicos Neste capítulo, serão apresentados alguns conceitos que serviram de base ao desenvolvimento e análise dos modelos de simulação apresentados no capítulo 5.
3.1 Autómatos Celulares Os autómatos celulares surgiram no início dos anos 70, sob a forma de um jogo de computador – O Jogo da Vida (The Game of Life) – inventado por Jonh Conway. Por definição, os autómatos celulares são sistemas dinâmicos discretos no espaço e no tempo, usualmente implementados em malhas regulares. A sua vantagem, relativamente a outros métodos, é serem discretos e por isso facilmente implementáveis em simulação computacional. Quase sempre, os autómatos celulares são apresentados na literatura de forma informal3 (do ponto de vista matemático), referindo-se as suas principais características. Elmoznino (1999) apresenta uma formalização matemática dos autómatos celulares que serve de base a modelos por ele desenvolvidos. Nesta secção são apresentadas algumas das características dos autómatos celulares formalizadas pelo referido autor, as quais se pretendem implementar nos modelos desenvolvidos neste trabalho. Este autor foi escolhido porque trata dos autómatos celulares com a intenção do estudo de dinâmicas florestais.
3.1.1 O domínio
As células que compõem um autómato celular podem ser de diferentes formas, devendo constituir uma pavimentação do plano (caso infinito) ou de uma parte do plano (caso finito). A geometria celular influencia a aplicabilidade e a eficiência do método a utilizar (Águas, 2000), optando-se pela discretização do plano com células quadradas de igual tamanho.
3
Só a literatura sobre teoria dos autómatos celulares apresenta definições explícitas. 18
3 Conceitos Básicos
Definição 3.1.1: Chama-se domínio, e denota-se por D, de um autómato celular A, ao conjunto das células do autómato.
Define-se ainda um conjunto de índices, I, tal que exista uma bijecção de D em I, que a cada célula faz corresponder o seu índice. Assim:
D = { ci }i∈I Exemplos: - Domínio unidimensional, de tamanho infinito, indexado por .
…
c −3
c−2
c−1
c0
c1
c2
c3
…
- Domínio bidimensional, de tamanho finito, indexado por I = {1,...,100}× {1,...,100} .
c1,100
…
c1 00 ,100
…
…
...
c1 ,1
c1 00,1
Neste trabalho será, quase sempre, utilizado o domínio apresentado neste último exemplo. Os físicos teóricos insistem nos tamanhos infinitos, na obtenção de quantidades independentes em relação ao tamanho da malha e, se possível, da forma como a malha converge para infinito.
3.1.2 A vizinhança
Uma função de vizinhança de interacção é definida, associando cada célula aos seus “vizinhos”.
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3 Conceitos Básicos
Definição 3.1.2: Chama-se função de vizinhança4 à função V definida da seguinte forma:
V : D → P(D) c a em que
( sendo P(D) o conjunto das partes de D )
V (c)
V (c) é o conjunto das células vizinhas da célula c.
Esta definição é muito geral, permitindo variadas funções de vizinhança. Geralmente, as vizinhanças de interacção mais utilizadas, para estudos de fogos e de dinâmicas florestais, são as que se seguem (Figura 2): - A vizinhança de Von Neumann: V N (c ( i , j ) ) = {c ( i −1, j ) , c ( i +1, j ) , c (i , j −1) , c ( i , j +1) } - A vizinhança de Moore: V M (c ( i , j ) ) = V N (c ( i , j ) ) ∪ {c ( i −1, j −1) , c ( i −1, j +1) , c ( i +1, j −1) , c ( i +1, j +1) }
c
c
(a)
(b)
Figura 2 – Dois tipos de vizinhança mais utilizados: (a) vizinhança de Von Neumann; ( b) vizinhança de Moore.
Neste trabalho só serão utilizadas vizinhanças destes dois tipos.
3.1.3 O conjunto dos estados Considere-se o conjunto, E, dos estados de um autómato celular. A cada célula do autómato é associado um elemento do conjunto E. Geralmente, E é um conjunto finito. Alguns autómatos celulares, como por exemplo “The Game of Life”, de Jonh Conway, dispõem apenas de dois estados: E = {0,1} . O número de estados dos autómatos utilizados neste estudo será referido no capítulo seguinte, aquando da descrição dos modelos.
4
Elmoznino (1999), em que nos baseamos, chama apenas vizinhança, porém este termo tem outro sentido em matemática. 20
3 Conceitos Básicos
Pode definir-se a noção de estado do sistema ou configuração: é a aplicação U, que a cada elemento de D associa um elemento de E. Assim:
U(.) :
3.1.4
D → E c a U (c)
A função de transição
Falta ainda definir as regras que definem a dinâmica dos autómatos celulares, ou seja, a função de transição entre os diferentes estados do sistema.
A função de transição do sistema toma como argumento uma configuração, transformando-a noutra configuração. Pode estender-se esta definição de função de transição a todo o domínio de autómato. Seja N o número total de células do domínio. Tem-se:
T:
EN → EN U(.) a U ' (.)
Para cada c, U ' (c) é uma função de U (c ) e de U (V (c )) , em que V(c) são os “vizinhos” de c.
Em geral, V(c) tem a mesma forma para todo o c, com a excepção das células que pertencem ao bordo do domínio que não têm o mesmo número de células na sua vizinhança que as restantes. Este problema pode ser resolvido de duas formas: definir condições específicas de vizinhança para as células do bordo (que, em termos de algoritmo, será pouco eficiente), ou “emoldurar” o domínio do autómato com células, destinadas unicamente para elementos da vizinhança das células do bordo. Estas questões do bordo não vão ser aqui discutidas.
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3 Conceitos Básicos
3.2 Percolação 3.2.1 Introdução O termo percolação foi apresentado, no final da década de 50, por Broadbent e Hamersley com um sentido oposto ao termo difusão. O modelo de percolação baseia-se na descrição do meio poroso que é visto como uma rede de canais aleatórios, por onde escoa um fluído determinístico (por exemplo, água a atravessar - ou percolar – uma massa de areia), enquanto que no modelo de difusão, o fluído pode ser visto como aleatório, sendo o meio determinístico (por exemplo, quando partículas dum fluído se movimentam num dado meio, não seguem trajectórias lineares uma vez que ocorrem colisões aleatórias entre elas (Marques, 2001)) (Sok, 1994; Braga et al., 2002). Na difusão, os movimentos têm, em geral, todas as direcções e sentidos enquanto que na percolação, usualmente, há uma direcção e um sentido bem definidos. Em certo sentido, o fogo também é um processo difusivo: a partir do foco (como uma mancha de óleo no mar), o fogo propaga-se à floresta. O fogo não costuma voltar para trás (isto é, não queima o que já está queimado) e em difusão há essa hipótese.
Existem vários tipos de modelos de percolação, sendo um dos factores da distinção o tipo de rede utilizada (triangular, quadrangular, hexagonal, etc.). Distingue-se percolação de nós (sítios) de percolação de arestas: na percolação de nós, um sítio (célula) pode estar ou não ocupado (está ocupado com probabilidade p e vazio com probabilidade 1 − p ) e apenas existem ligações com células próximas; na percolação de arestas, todos os sítios estão ocupados e há arestas entre os sítios vizinhos (cada aresta tem uma probabilidade p de existir e uma probabilidade 1 − p de não existir) (Sok, 1994).
Na figura 3 pode ver-se um exemplo de percolação bidimensional de sítios em rede quadrangular. Para p ≈ 0,60 (Figura 3 (b)) há percolação, isto é, existe passagem (caminhos) de um bordo ao bordo oposto, enquanto que para p ≈ 0,45 (Figura 3 (a)) não há percolação.
Para fogos, o conceito de percolação foi, neste trabalho, adaptado significando um caminho de um ponto (foco do incêndio) até à fronteira.
22
3 Conceitos Básicos
Entrada
(a)
(b)
Saída
Figura 3 – Exemplo de percolação bidimensional numa rede quadrangular de dimensões 20 × 20 com: (a) p ≈ 0,45; (b) p ≈ 0,60 . Os sítios estão assinalados com ou sem • , conforme estão ou não ocupados. Retirado de Sok (1994).
Por dualidade, numa rede quadrangular regular, a percolação de sítios está naturalmente ligada à percolação de arestas, uma vez que a rede dual5 é a própria rede (Figura 4).
Figura 4 – A tracejado, as arestas da rede dual da rede quadrangular regular.
5
Chama-se rede dual à rede que tem como nós os centros das faces e como arestas as linhas que unem os centros de faces adjacentes. 23
3 Conceitos Básicos
Os modelos de percolação encontram aplicações em diversos fenómenos. Entre muitos outros, alguns exemplos são: a passagem da água através do café moído, o alastramento de epidemias (tais como a propagação do vírus da SIDA), a formação de galáxias, a prospecção de petróleo e a propagação de fogos florestais (Oliveira & Braga, 2002; Krüger, 2003).
Em relação aos incêndios florestais, muitas vezes o fogo só se propaga num sentido. Por exemplo: numa encosta, o fogo só se propaga para cima, não se propaga para baixo; se houver vento, o fogo só se propaga na direcção do vento. Nestes casos a percolação é dirigida (directed percolation).
3.2.2 A transição de fase em percolação Muito embora o significado da expressão transição de fase não seja do conhecimento geral, o mesmo não se aplica ao conhecimento de situações onde este fenómeno ocorre. O exemplo mais comum é a passagem da água no estado líquido para a água no estado sólido (fusão do gelo) ou para a água no estado gasoso (vaporização ou evaporação), em função da sua temperatura (Figua 5) (Calheiros, 1985). Menos familiar é a transição de fase num material magnético. Por exemplo, um íman perde a propriedade de atrair limalhas de ferro quando, ao ser aquecido, atinge temperaturas muito altas, isto é, o íman muda da fase ferromagnética para a fase paramagnética (Oliveira & Braga, 2002).
P sólido
líquido t
c
gás Tc
T
Figura 5 – Diagrama das fases da água: P – pressão; T – temperatura; t – ponto triplo; c – ponto crítico. Retirado de Calheiros (1985).
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3 Conceitos Básicos
Uma definição de transição de fase é apresentada, na página 59, por Calheiros (1985): “Intuitivamente diz-se que um sistema tem uma transição de fase quando é macroscopicamente instável, isto é, “pequenas” modificações nas condições exteriores (campo magnético, temperatura, etc.) provocam “grandes” modificações em variáveis macroscópicas do sistema (magnetização, densidade, etc.)”.
O primeiro artigo publicado com o objectivo de provar a existência duma transição de fase parece dever-se a Peierls (Peierls, 1936) e, apesar das incorrecções, o método utilizado mostrou-se muito fecundo (Calheiros, 1985). As teorias modernas sobre este assunto tiveram a sua origem nos anos 60, quando foram introduzidos os conceitos básicos de universalidade e escala de funções termodinâmicas (Queiroz, 2000). De todos os modelos da Física que apresentam o fenómeno de transição de fase, o modelo de percolação é, provavelmente, um dos mais simples (Oliveira & Braga, 2002).
Os processos percolativos parecem ter todos comportamento crítico para algum parâmetro
θ associado ao modelo, existindo uma transição de fase de um estado de não alastramento para o estado de alastramento descontrolado para um certo θ crítico (Green, 1994; Marques, 2001). Segundo Oliveira & Braga (2002), a existência de transição de fase nos modelos de percolação está relacionada com a dimensão da rede: em rede unidimensional não há transição de fase enquanto que, para modelos de percolação em duas ou mais dimensões, é garantida a existência de transição de fase, para um certo valor crítico. Estes autores apresentam as demonstrações dos resultados anteriores para modelos de percolação de arestas.
O conceito de universalidade, que os físicos tanto procuram, está relacionado com o facto de, para várias classes de universalidade, existir um grande conjunto de resultados (Teoremas) que são automaticamente aplicáveis se for possível incluir um fenómeno numa determinada classe. Daí a preocupação de, por exemplo, Duarte (1996) em tentar enquadrar a propagação do fogo em modelos gerais de percolação e de Elmoznino (1999), e outros, em tentarem enquadrar a evolução de florestas em modelos gerais de contágio, etc.. Por outro lado, as simulações baseadas em muito detalhe (do terreno, do vento, etc.) são impraticáveis em tempo real.
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3 Conceitos Básicos
3.3 Caminhos aleatórios Caminho (ou passeio) aleatório é o termo genérico usado para classificar qualquer trajectória produzida por uma sequência aleatória de passos em diferentes direcções e/ou sentidos. Os caminhos aleatórios usuais são caminhos temporalmente ilimitados. Quando aqui se falar em caminhos aleatórios está a fazer-se a restrição a caminhos aleatórios sobre rede.
3.3.1 Caminhos aleatórios sobre rede A uma dimensão, o espaço de estados é e há uma probabilidade p para avançar e uma probabilidade q = 1 − p para recuar. Num instante par, o móvel está numa posição par e num instante ímpar, o móvel está numa posição ímpar.
Seja X n (t ) o acontecimento estar no instante t na posição n. Considere-se n avanços do móvel. A expressão t − n é um número par, sendo metade de avanços e a outra metade de recuos, que os compensam. Assim, no total o móvel avança n +
t−n t−n e recua passos. 2 2
Então: P ( X n (t )) = C n + t − n t
p
n+
t −n 2
q
t −n 2
=
2
n+ t! p = t−n t−n (n + )! ( )! 2 2
t −n 2
q
t −n 2
.
Sendo uma lei binomial, para t grande vai obter-se por limite uma lei normal. Esta lei binomial tem como média t ( p − q ) . Os caminhos mais usados e estudados são os caminhos “simétricos” em que p = q =
1 . Para este caminho aleatório o desvio padrão, isto é, a 2
distância média quadrática à origem, é proporcional a
t , por isso aumenta com o tempo, ou
seja, há espalhamento. Para percorrer uma distância d são precisos t ≈ d 2 passos.
26
3 Conceitos Básicos
Um dos estudos clássicos é a avaliação do regresso à origem. P( X 0 (t )) é a probabilidade do móvel estar na origem no instante t. Então: t
P ( X 0 (t )) =
t
⎛ 1 ⎞2 ⎜ ⎟ t t 2 ( )! ( )! ⎝ ⎠ 2 2
⎛ 1 ⎞2 ⎜ ⎟ = ⎝2⎠
t!
⎛1⎞ = ⎜ ⎟ t t 2 ( )! ( )! ⎝ ⎠ 2 2
t!
t
.
Usando a fórmula de Stirling,
n ! = 2 π n e − n n n e Rn , em que Rn → 0 quando n → ∞ ou seja, para n grande,
n! ≈ 2π n e −n n n
(ver Anexo A)
vem
P ( X 0 (t )) ≈
2 π t e −t t t t ⎡ ⎤ t − ⎛ t ⎞2 t ⎢ 2π e 2 ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 2 ⎝2⎠ ⎥ ⎣ ⎦
t
2
⎛1⎞ ⎜ ⎟ = ⎝2⎠
2π t t t ⎛ 1 ⎞ = = t ⎜ ⎟ ⎛ t ⎞ ⎝2⎠ πt ⎜ ⎟ ⎝2⎠ t
=
=
2π t
πt
1 t π 2
=
, quantidade que tende para zero, lentamente.
27
3 Conceitos Básicos
Para duas dimensões, os estados do sistema são elementos de 2 , isto é, os pontos do plano com coordenadas inteiras, tendo quatro probabilidades associadas p1 , p 2 , p3 e p 4 tais que p1 + p 2 + p3 + p 4 = 1 , em que os p i ' s são as probabilidades de avanços em direcções aos pontos cardeais (para cima, para baixo, para a direita e para a esquerda). Aqui a distribuição é multinomial e, quando n → ∞ , aproxima-se de uma lei normal bidimensional. Como refere Weisstein (Weisstein, 2005a), “espantosamente” provou-se que, numa rede bidimensional, o caminho aleatório tem probabilidade de atingir qualquer ponto (incluindo a origem) quando o número de passos (tempo) tende para infinito. Quando a dimensão aumenta, a probabilidade de regressar à origem diminui e, por isso, deixa de ser 1: o caminho aleatório pode não regressar à origem.
3.3.2 SAW O caminho do fogo, se não houver obstáculos, é um caminho aleatório como os anteriores. Porém, o fogo não vai queimar o que já está queimado. Assim, os caminhos relevantes para o fogo são os self-avoinding walks 6 (SAW) que param quando encontram um ponto duplo, isto é, o fogo não avança pois já está queimado.
Para o fogo, os caminhos interessantes podem não ter duração infinita, uma vez que o fogo pode esbarrar numa zona em que não pode propagar-se mais. Assim, torna-se necessário estudar caminhos aleatórios usuais até ao primeiro ponto duplo, sendo preciso fazer o estudo destes caminhos. É natural a ligação aos SAW’s pois o fogo só se propaga enquanto encontrar sítios com vegetação não queimada. Para mais informações sobre caminhos aleatórios e SAW’s ver (Slade, 1994; Weisstein, 2005a, 2005b).
A matemática associada a estes estudos é todo um campo ainda não explorado por completo. Sobretudo, não é a matemática dos modelos regulares, isto é, dos modelos sobre rede regular que se mantém regular – todos os sítios equivalentes – em todos os momentos. Este problema está ligado aos problemas de volume excluído.
6
Caminhos que se auto-evitam, isto é, caminhos sem pontos múltiplos. 28
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo e implementação informática
O modelo desenvolvido neste trabalho (FlorestaSim) é uma integração de dois submodelos que pretendem simular o fogo numa floresta em evolução. A simulação foi feita recorrendo a autómatos celulares.
4.1 Descrição sumária do modelo integrado A simulação espacial de uma floresta em evolução é feita numa paisagem abstracta, que pretende representar uma floresta em vários estados de evolução.
4.1.1 Geometria celular Um autómato celular bidimensional é composto por células, polígonos dispostos no plano, que devem constituir uma pavimentação desse plano. A geometria celular influencia sobretudo a eficiência do método utilizado, não tendo influência relevante em muitas quantidades. Neste trabalho a discretização do terreno é feita em células quadradas com igual tamanho (Figura 6), sendo cada célula caracterizada por dois índices. O estado do sistema pode assim ser caracterizado por uma matriz cujo elemento (i, j ) é o estado da célula c ( i , j ) .
Figura 6 – Rede com malha quadrangular regular.
29
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
4.1.2 A rede A floresta é aqui representada numa rede bidimensional quadrada, quase sempre100×100 (excepto para a avaliação da dependência do tamanho da rede), dando origem a uma matriz com 10 000 células. Hargrove et al. (2000) sugerem uma rede 300× 300 , mas os estudos relativos à geometria do fogo apresentados (figura 1, página 246) foram obtidos em rede
200 × 200 . Elmoznino (1996, 1999) utiliza uma rede 128× 128 para a simulação de evolução de uma floresta.
Muitas vezes, os físicos insistem que estes números são muito pequenos. No entanto, Hargrove et al. (2000) sugerem um comprimento de 50 metros para cada célula, o que para uma rede 100×100 equivale a uma área de 2500 hectares. Sendo esse o caso, dificilmente se encontrará uma floresta homogénea muito maior.
Considera-se que cada célula representa um bloco homogéneo de vegetação.
A implementação computacional deste modelo encontra-se, sucintamente comentada, no Anexo B.
4.2 Modelo de evolução da floresta Este submodelo pretende simular a evolução de uma floresta com n estados de vegetação, tendo sido desenvolvido com base no modelo de Elmoznino (1996), que é uma “generalização do modelo de Greenberg-Hastings” (Elmoznino, 1996). As características deste modelo são descritas nesta secção seguindo, muito de perto, dois dos trabalhos de Elmoznino nesta área (Elmoznino, 1996, 1999).
4.2.1 Apresentação do modelo Este modelo é um autómato celular que, para além das características gerais do modelo integrado, apresenta as seguintes características específicas:
30
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
A vizinhança utilizada é a vizinhança de Von Neumann (ver Figura 2 (a)).
É um autómato com n estados por célula, sendo E = /n = {0,1,..., n − 1} .
A função de transição é definida da seguinte forma:
Sejam a, v, e n três números inteiros, tais que a< n ,
v< n
e
a ≤ v.
Considere-se o conjunto de estados E dividido em quatro subconjuntos:
N = {0} : estado neutro (vazio) J = {1,..., a − 1} : conjunto dos estados jovens A = {a,..., v − 1} : conjunto dos estados adultos V = {v,..., n − 1} : conjunto dos estados velhos A “regra”, isto é, a função de transição que determina o estado da célula c para cada instante
t + 1 , a partir do seu estado e do estado da sua vizinhança no instante t, encontra-se esquematizada na figura 7, é definida da seguinte forma: se A (c, t ) ≠ 0 então A (c, t + 1) = A (c, t ) + 1 mod n senão se ∃ d ∈ V (c) tal que A (d , t ) ∈ A então A (c, t + 1) = 1 senão A (c, t + 1) = A (c, t ) = 0
Esta regra pode, ainda, ser descrita do seguinte modo:
Se o estado de uma célula é diferente de 0, passa ao estado seguinte (módulo n), isto é:
se o seu estado está compreendido entre 1 e n − 2 , inclusive, passa ao estado seguinte;
se o seu estado é n − 1 , o seu ciclo de vida chegou ao fim, logo regressa ao 0.
31
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
Se o estado de uma célula é 0, a passagem ao estado 1 está condicionada pela presença de, pelo menos, uma célula no estado adulto na sua vizinhança. Isto é, assumirá o valor 1 se o estado de um dos seus vizinhos pertence ao conjunto A, caso contrário o seu estado não é alterado.
0
1
2 ... a − 1
a
estados jovens
... v − 1
estados adultos
v …
n −1
estados velhos
Figura 7 – Transições do autómato celular (determinista). Adaptado de Elmoznino (1999).
4.2.2 Aplicação do modelo ao estudo de florestas Considere-se a seguinte interpretação (Figura 8) deste autómato: a cada célula do autómato corresponde, potencialmente, uma árvore, cujo estado de maturidade é representado pelo estado dessa célula. Assim:
o estado 0 representa um lugar vazio;
os estados jovens não produzem sementes;
os estados adultos produzem sementes que vão cair nos lugares vizinhos vazios;
os estados velhos já não produzem sementes, mas continuam a ocupar a célula.
•
•
•
•
•
Figura 8 – Interpretação “florestal” do autómato. Adaptado de Elmoznino (1999).
32
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
Este autómato foi implementado em MS Visual Basic 6.0 para simular a evolução de uma floresta. Para ser possível visualizar a dinâmica florestal fez-se corresponder a cada estado uma cor. Adoptaram-se as seguintes cores:
estado neutro: cinzento;
estados jovens: verde claro;
estados adultos: verde escuro;
estados velhos: verde acastanhado.
As condições iniciais adoptadas são do seguinte tipo: a cada célula é atribuído aleatoriamente um valor do conjunto {1, ... , n − 1} caso se pretenda criar uma “floresta” com densidade 100%; caso contrário, a cada célula é atribuído aleatoriamente um valor do conjunto E. Por defeito, o programa assume a = 10 , v = 12 e n = 16 , sendo possível ao utilizador atribuir outros valores a estes parâmetros.
A figura 9 representa duas imagens obtidas pelo simulador FlorestaSim: a da esquerda representa o estado inicial de uma “floresta” com densidade 100%, cuja vegetação se encontra em diferentes estados; ao fim de 50 iterações foi obtida a situação representada na imagem da direita (densidade 83,75%).
t =1
t = 50
Figura 9 – Exemplos de florestas criadas pelo simulador ( a = 10
v = 12 n = 16 ).
33
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
4.3 Modelo de propagação do fogo O submodelo de propagação do fogo foi desenvolvido tendo como base o algoritmo apresentado por Ceredig Jones (Jones, >=1996). Como foi já referido, pretendia-se um modelo baseado em regras simples. Assim, nem todos os factores que influenciam a propagação de um fogo foram integradas no algoritmo.
4.3.1 Parâmetros do modelo O modelo funciona de acordo com os seguintes parâmetros: p – probabilidade de propagação do fogo (em cada unidade de tempo) q – probabilidade condicional de acabar de queimar (e, por isso, apagar) se estava a arder (em cada unidade de tempo) d – densidade florestal
4.3.2 Características do modelo
A vizinhança utilizada é a vizinhança de Moore (ver Figura 2(b)).
E = { 0 ,1, 2 , 3 }. Cada célula do autómato pode encontrar-se em um dos seguintes estados:
estado 0: com vegetação ilesa (que não foi atingida pelo fogo)
estado 1: a arder
estado 2: queimado
estado 3: sem vegetação (vazio)
A função de transição pode ser descrita da seguinte forma:
Apenas as células com vegetação ilesa (estado 0) podem ser contaminadas pelo fogo. Para que uma célula no estado 0 passe ao estado 1, é necessário que, na sua vizinhança, exista pelo menos uma célula no estado 1. Esta passagem pode ser automática (p = 1 ) ou funcionar de acordo com uma probabilidade p (a definir pelo utilizador). A passagem do estado 1 ao estado 2 é automática, podendo o utilizador definir uma probabilidade q para essa passagem. Sendo automática (q = 1 ), significa que cada célula arde 34
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
completamente numa única iteração, ficando sem fogo. À medida que diminui o valor de q, aumenta o tempo de queima (tempo de latência do fogo num dado local).
Na figura 10 encontra-se esquematizada a regra de transição, para cada célula, entre os estados deste autómato. A seta azul significa que a passagem do estado 0 ao estado 1 depende do estado das células da vizinhança. Os arcos a tracejado representam o facto da passagem ao estado seguinte estar condicionada pelos valores dos parâmetros p e q. Na evolução da floresta a passagem duma árvore com x anos para o ano seguinte é determinista: no ano seguinte a árvore tem x + 1 anos. No fogo, a propagação é um modelo estocástico, isto é pode ou não passar do estado x ao estado x + 1 segundo os parâmetros p, q, etc..
p 0
q 1
2
3
Figura 10 – Grafo das transições numa célula.
Para p = 0 e q = 0 , não há transição entre estados, isto é, não há evolução, sendo esta uma situação sem interesse. Para p = 1 e q = 1 , a função de transição pode ser definida do seguinte modo:
se A (c, t ) = 0 então se ∃ d ∈ V (c) tal que A (d , t ) = 1 então A (c, t + 1) = 1 senão A (c, t + 1) = A (c, t ) = 0 senão se A (c, t ) = 1 então A (c, t + 1) = 2 senão A (c, t + 1) = A (c, t )
Os dois casos anteriores são determinísticos.
35
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
Para p e q ambos em ] 0 ,1 [ , o modelo é estocástico, podendo a função de transição ser assim definida: se A (c, t ) = 0 então se ( ∃ d ∈ V (c) tal que A (d , t ) = 1 e (1 − p ) × R(c, t ) < a ) então A (c, t + 1) = 1 senão A (c, t + 1) = A (c, t ) = 0 senão se ( A (c, t ) = 1 e b < q ) então A (c, t + 1) = 2 senão A (c, t + 1) = A (c, t ) se A (c, t ) > 1 então A (c, t + 1) = A (c, t ) onde, a e b são números aleatórios compreendidos entre 0 e 1 e R(c, t ) é o número de elementos “a arder” em V (c) .
No capítulo seguinte são apresentados alguns estudos realizados com o simulador com o objectivo de analisar a influência destes parâmetros na propagação do fogo.
4.3.3 Visualização do fogo Para permitir visualizar a propagação do fogo, foi atribuída uma cor a cada um dos estados, conforme a tabela 1:
Tabela 1 – Os estados e a respectiva interpretação na interface do simulador FlorestaSim.
Estado
Cor
Verde Claro 0
Verde Escuro Verde Acastanhado
1
Vermelho
2
Preto
3
Cinzento
36
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
4.3.4 O foco de incêndio O fogo tem início numa única célula, podendo o local do foco de incêndio ser seleccionado pelo utilizador ou ocorrer aleatoriamente.
4.3.5 Obstáculos à propagação do fogo Os corta-fogos, as estradas, os pontos de água (rios, lagos, charcos) e os locais sem vegetação são obstáculos à propagação de um incêndio. Neste programa, é possível construir uma barreira que pretende simular uma forma de impedir que o fogo se propague.
4.4 Utilização do programa O programa foi construído de raiz. A interface gráfica do simulador (Figura 11) foi preparada com botões, caixas de texto e janelas de visualização que permitem flexibilidade e facilidade de utilização, lembrando que o simulador vai ser usado para investigação fundamental mas também para o uso de alunos nas escolas.
Figura 11 – Interface do simulador FlorestaSim: evolução da floresta.
37
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
O programa inicia-se com a construção de uma floresta aleatória (Figura 12), construída a partir de uma probabilidade, especificada à partida, de ocupação dos diferentes sítios. É possível decidir sobre algumas condições iniciais para a floresta bem como sobre a duração da simulação.
Figura 12 – Interface do simulador FlorestaSim: floresta gerada pelo simulador.
O número de sítios ocupados por árvores segue uma lei binomial com parâmetros ( n × n , d ), em que n é o comprimento do lado do terreno e, para cada árvore existente, o seu estado segue uma lei uniforme sobre os diferentes estados da vegetação (ver figura 8).
A floresta inicial é homogénea, no sentido da probabilidade dos diferentes estados para a vegetação serem todos idênticos. De seguida, esta floresta evolui de forma natural: pelo envelhecimento da vegetação (passagem para o estado seguinte), pela morte da vegetação, completando-se com o nascimento.
A todo o momento é possível determinar o estado global da floresta, mas este aspecto não é explorado neste trabalho. Também não é aqui explorado o caso de uma floresta cultivada com grupos de vegetação todos no mesmo estado.
38
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
Numa floresta assim criada, é possível iniciar um fogo em qualquer momento e em qualquer lugar da floresta (Figura 13). Para a propagação do fogo, o simulador necessita das quantidades p e q (ver secção 4.3). Note-se que estes dois parâmetros não foram, ainda, ligados ao estado da vegetação, considerando-se, por agora, que o aleatório da população fica modelado por esses parâmetros.
Figura 13 – Interface do simulador FlorestaSim: propagação de um incêndio.
A simulação termina quando deixar de haver células a arder (Figura 14). À saída, por um lado tem-se um filme animado da evolução do fogo e, por outro lado é apresentado todo o historial numérico da simulação do fogo em cada iteração (número de células ilesas, a arder e queimadas), utilizável para estudos (estatísticos) de ciência fundamental.
39
4 Fogo numa floresta em evolução: desenvolvimento de um modelo
Figura 14 – Interface do simulador FlorestaSim: resultados finais obtidos após a extinção do fogo iniciado na figura anterior.
O código do programa é facilmente modificado para integrar novas variantes.
40
5 Algumas explorações do modelo
5 Algumas explorações do modelo 7
Neste capítulo são apresentados alguns estudos estatísticos realizados com o simulador de fogos florestais referido no capítulo anterior. Outros estudos como por exemplo, a envolvente convexa, a velocidade de propagação e o perímetro do fogo, ficam para outra oportunidade.
Nestes estudos escolheu-se o fogo a iniciar-se numa única célula (foco do incêndio), ou seja, para t = 0 , a célula onde se der a ignição vai arder com probabilidade 1. O fogo propaga-se às células vizinhas com probabilidade p (processo estocástico markoviano). Retoma-se o modelo do capítulo anterior e nesse modelo define-se densidade florestal o quociente entre o número de sítios ocupados com vegetação e o número total de sítios. A probabilidade de propagação do fogo (parâmetro p) influencia a área queimada final. Se a probabilidade de propagação for muito grande quase todos os vizinhos vão ser queimados no passo seguinte, se for muito pequena, poucos vizinhos vão ser queimados. Note-se que alguns vizinhos podem ser queimados posteriormente por outros caminhos do fogo ou devido à latência. Se a propagação for a oito vizinhos (que é o caso do modelo de fogo aqui apresentado) o número de vizinhos que vão ser queimados na primeira iteração é dado por uma lei binomial com parâmetros n (= 8) e p. Assim, em média, haverá
8 p vizinhos
queimados, na iteração seguinte.
Inúmeras desigualdades de correlação (Stauffer, 1979) permitem combinar os valores de p e de d num p efectivo. Por isso, vamos limitar a maior parte dos estudos a d igual a 1. Assim, se a densidade for diferente de 1, a probabilidade de propagação ao vizinho é uma lei binomial de parâmetros n (= 8) e p ', em que p ' = pd , sendo p' o p efectivo.
Parece não ser necessário, para estudos de propagação do fogo, florestas com densidades diferentes de 1. Para a propagação do fogo, uma floresta mais espaçada é como uma floresta mais húmida.
7
(Duarte, 1996) usou a expressão “estudos de casos de propagação” porque ainda não existe consenso sobre estes modelos e sobre a sua ligação ao que se observa. 41
5 Algumas explorações do modelo
Se o parâmetro q (probabilidade de apagar se estava a arder) for diferente de 1, pode haver sucessivas tentativas de pegar fogo ao vizinho, o que significa que há maiores hipóteses do fogo se propagar. Tudo isto leva a um aumento das oportunidades de propagação do fogo, não aumentando, no entanto, o seu alcance. Por exemplo, para p e q pequenos, a velocidade de propagação é pequena mas, como a latência é grande, o fogo pode ser muito duradouro. Esta capacidade de latência pode fazer o fogo ter uma enorme duração temporal mesmo avançando lentamente. Se a latência for grande, pode este avanço ser rápido numas direcções e lento noutras. Isto leva-nos à primeira experiência.
5.1 Forma da área queimada Neste ponto faz-se apenas uma análise qualitativa.
Um incêndio florestal, quase sempre, tem início num pequeno foco (fósforo aceso, faúlha, pequena fogueira, faísca, etc.) e inicialmente tende a propagar-se em todas as direcções, de forma aproximadamente circular, sendo esta geometria alterada pela acção do vento e da topografia. No modelo aqui apresentado, a geometria do fogo é influenciada pelos parâmetros p, q e d.
Segue-se a apresentação de alguns estudos efectuados com o simulador para analisar o seu comportamento em relação à forma da área queimada. Nestes estudos o foco do incêndio tem origem no centro do terreno, ou seja, para t = 0 , a célula c( 50,50 ) vai arder com probabilidade 1. Todas as simulações têm a duração de 50 iterações.
Estudo da influência do parâmetro p:
Considera-se d = 1 e q = 1 , isto é, a floresta tem densidade 1 e toda a célula que for “contagiada” pelo fogo arde completamente numa única iteração. Assim, para t = 1 , o fogo irá propagar-se às oito células vizinhas com probabilidade p e a célula onde se deu a ignição do fogo ficará queimada. Se p = 1 : na primeira iteração todas as 8 células na vizinhança do foco serão incendiadas; na segunda iteração, todas as 16 células com vizinhos a arder serão incendiadas; na terceira 42
5 Algumas explorações do modelo
iteração, todas as 24 células com vizinhos a arder serão incendiadas; etc. Isto é, na n-ésima iteração, todas as (2n + 1) 2 − (2n − 1) 2 células com vizinhos a arder serão incendiadas e haverá (2n − 1) 2 células queimadas, sendo a geometria do fogo um quadrado. Se p ∈ ]0,1[ , a forma da área queimada deixa de ser um quadrado (Figuras 15, 16, 17, 18 e 19). Para q = 1 , à medida que o valor de p diminui (até um valor próximo de 0,45), a forma da área queimada vai ficando cada vez mais arredondada. Para valores de p entre 0 e 0,45, a geometria do fogo passa a ter formas pouco definidas (pouco “redondas”) e pouco previsíveis, sendo as figuras 15 (a) e 15 (b) exemplo das situações mais representativas para os correspondentes valores do parâmetro em estudo.
Não foram considerados valores de p inferiores a 0,3 uma vez que, na grande maioria das vezes, o fogo rapidamente se extingue (ver secção 5.3).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(d)
Figura 15 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro p: (a) p=0,3 ; (b) p=0,4 ; (c) p=0,45 ; (d) p=0,5 ; (e) p=0,6 ; (f) p=0,8. Resultados obtidos com q=1.
43
5 Algumas explorações do modelo
Chamando, como é usual, diâmetro da área queimada ao valor dado por max d ( A1 , A2 ) , em que A1 e A2 são sítios queimados, verifica-se que o diâmetro aumenta com p, mas muito pouco, apesar da percentagem de área queimada aumentar muito, pela conjugação do pequeno aumento de diâmetro com a grande aproximação à forma circular.
Para valores de p mais pequenos, o valor do perímetro também depende pouco de p. Assim, a conjugação destes efeitos significa, para p pequeno, por um lado a formação de dendrites, por outro lado a existência de áreas não queimadas no interior da região queimada, como se observou em fogos com muitas rajadas de vento na zona de Lisboa, em Julho de 2005.
O estudo da variação destas quantidades significa a realização de algumas dezenas de simulações para cada valor de p e de q, para se obter a média, a variação (desvio padrão), a assimetria e o achatamento, que deixamos para outra oportunidade. Na zona crítica (ver secção 5.3), a maior parte destas quantidades apresenta grandes flutuações. Pode dizer-se que esta é a característica típica da zona crítica. Em volume infinito, estas flutuações são, geralmente, ilimitadas (não têm média definida, isto é, a variância é infinita).
Estudo da influência do parâmetro q:
Neste estudo considera-se d = 1 . Se q = 1 , cada célula, após ser incendiada, queima completamente numa única iteração. Conforme o valor de q diminui, aumenta a probabilidade de uma célula a arder, permanecer a arder para além de uma iteração. Assim, o estudo deste parâmetro só faz sentido para um valor de p inferior a 1.
Na figura 16 são apresentados resultados obtidos com o simulador para diferentes valores de q, tendo-se fixado p = 0,3 . Comparando os resultados obtidos com o da figura 15(a), pode concluir-se que quanto menor for o parâmetro q mais “circular” se torna a região dominada pelo fogo. Além disso, para valores de q menores que 0,5, a forma mantém-se semelhante.
44
5 Algumas explorações do modelo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 16 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro q: (a) q=0,2 ; (b) q=0,3 ; (c) q=0,4 ; (d) q=0,5 ; (e) q=0,6 ; (f) q=0,7. Resultados obtidos com p=0,3.
Da análise dos resultados anteriores (Figura 16), é notória a influência do parâmetro q na propagação do fogo, principalmente em relação à geometria e à área queimada. Note-se que a linha do fogo não é contínua, sendo o fogo disperso, como o fogo de Portel na madrugada de 4 de Agosto de 2005.
No entanto, nem sempre esta influência é relevante. Nas figuras 17 e 18 são apresentados padrões obtidos com o simulador para p = 0,5 e p = 0,2 , respectivamente, mantendo-se os mesmos valores de q.
Na primeira situação (Figura 17), o parâmetro q não tem importância relevante na forma da área queimada (é sempre aproximadamente circular), no entanto, para valores de q
45
5 Algumas explorações do modelo
pequenos (Figuras 17 (a), (b) e (c)), isto é, para fogos com grande latência, a percentagem de área queimada é significativamente maior.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 17 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro q: (a) q=0,2 ; (b) q=0,3 ; (c) q=0,4 ; (d) q=0,5 ; (e) q=0,6 ; (f) q=0,7. Resultados obtidos com p=0,5.
Na segunda situação (Figura 18), o parâmetro q influencia a forma da área queimada e a duração do fogo, sendo esta influência tanto maior quanto menor for o valor de q. Se p for pequeno ( p < 0,3 ) e q = 1 , o fogo extingue-se rapidamente, a maior parte das vezes (ver secção 5.3). Por exemplo, para p = 0,2 , o fogo tem a duração média de 7 iterações, sendo a percentagem de área queimada, em média, inferior a 0,2.
46
5 Algumas explorações do modelo
Considerando p = 0,2 , à medida que o valor de q diminui, aumenta a duração e a área atingida pelo fogo. Para valores de q superiores a 0,6, o fogo extingue-se rapidamente. Na figura 18 (f) a duração do fogo foi de apenas 38 iterações.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 18 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações ou até o fogo se auto-extinguir, para diferentes valores do parâmetro q: (a) q=0,2 ; (b) q=0,3 ; (c) q=0,4 ; (d) q=0,5 ; (e) q=0,6 ; (f) q=0,7 (o fogo extinguiu-se ao fim de 38 iterações). Resultados obtidos com p=0,2.
Um estudo semelhante a este é apresentado por Hargrove et al. (2000), página 246. Os resultados obtidos pelo simulador EMBYR são idênticos aos resultados obtidos pelo simulador desenvolvido neste trabalho (Figura 19).
47
5 Algumas explorações do modelo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 19 – Exemplos de padrões produzidos pelo fogo numa floresta com densidade 1,após 50 iterações, para diferentes valores do parâmetro p: (a) p=0,25 ; (b) p=0,3 ; (c) p=0,4 ; (d) p=0,5 ; (e) p=0,6 ; (f) p=0,8. Resultados obtidos com q=0,6.
Note-se que estes padrões não são fractais, isto é, não há auto-semelhança.
5.2 Probabilidade de propagação em função da densidade florestal Pretende-se estudar, no modelo, a relação entre a densidade florestal e a propagação do fogo e a ligação entre diferentes quantidades e diferentes formas.
Interessa-nos avaliar a probabilidade do fogo atingir a orla da floresta que depende, entre outros factores, da densidade de árvores. Para florestas densas o fogo queima rapidamente
48
5 Algumas explorações do modelo
quase todas as árvores, enquanto que para florestas com baixa densidade de árvores, o fogo extingue-se, queimando apenas uma pequena percentagem.
Parece existir uma densidade crítica para a qual o fogo se propaga, pela primeira vez, até à orla da floresta. Esse valor crítico depende de várias condições (regras de propagação, quantidade e localização do foco de incêndio, tipo de vizinhança, entre outras) e do tamanho da rede.
Para estudar a transição da propagação, vamos recorrer a simulações para diferentes densidades e comparar valores para dois tipos de vizinhança. Na figura 20 são apresentados resultados obtidos para duas situações: A. O fogo propaga-se automaticamente aos quatro vizinhos mais próximos; B. O fogo propaga-se automaticamente aos seus oito vizinhos;
Em ambas as situações anteriores, o fogo tem início numa única célula, no centro do terreno, de coordenadas (50,50). Para cada valor de densidade são feitas 30 simulações.
Este tipo de análises é da família da percolação – existência de um caminho do centro até à orla. Em percolação (ver secção 3.2), seria mais usual a procura dum caminho de um dos lados até ao lado oposto.
Probabilidade
1 0,8 0,6
A
0,4
B
0,2 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Densidade Florestal (%)
Figura 20 – Probabilidade de propagação do fogo, a pelo menos uma das orlas da floresta, em função da densidade florestal.
49
5 Algumas explorações do modelo
Para a situação A, o valor “crítico” da densidade para o qual o fogo se propaga pela primeira vez até à orla da floresta é aproximadamente 51 %. Isto é, se a densidade florestal for inferior a 51%, o fogo extingue-se antes de atingir a orla do terreno. Acima deste valor, a probabilidade do fogo se propagar até à orla vai aumentando até atingir o valor 1 por volta dos 68%.
Em B, o fogo atinge pela primeira vez a orla da floresta para valores de densidade próximos de 38%. Para valores de densidade superiores a 50% o fogo propaga-se sempre até à orla.
Em ambas as situações estudadas, a transição de fase ocorre num intervalo muito curto de densidade.
A comparação com a secção seguinte confirma que a densidade pode ser incorporada num p efectivo, o que se pode provar rigorosamente usando desigualdades de correlação (Stauffer,
1979).
5.3 Área ardida final e tempo de fogo em função do parâmetro p. Dependência do tamanho da malha
Vários factores influenciam a propagação dos incêndios florestais, entre eles: o material combustível, a humidade do material combustível, as condições climáticas, a topografia e, claro, a densidade florestal. À excepção do vento e da topografia, que criam anisotropia espacial, os restantes factores são aqui modelados pelos parâmetros p, q e d.
Aquando da extinção de um fogo florestal, um dos elementos de registo é sempre a área florestal queimada pelo incêndio. Apesar de nos fogos com grande duração (dias ou até semanas) a área ardida ser naturalmente grande, nem sempre um incêndio com grande extensão de área queimada resulta do facto dessa floresta ter estado a arder durante muito tempo. Há registos de situações concretas (ver (ADAI, 1997), nomeadamente, lição nº 12 e suplemento de Xavier Viegas e Miguel Cruz) em que a velocidade de propagação do fogo foi
50
5 Algumas explorações do modelo
tão grande (chegou a atingir 4 km/h) que queimou 400 hectares de floresta, em apenas uma hora.
Nos estudos que se seguem optou-se por fazer a análise da área queimada e da duração do fogo em função do parâmetro p, tendo-se atribuído sempre o valor 1 aos parâmetros q e d.
Análise da influência do parâmetro p na percentagem de área ardida final e no tempo de duração do fogo.
Testou-se o comportamento do simulador relativamente à influência do parâmetro p na duração e na percentagem de área ardida dum fogo florestal (Figura 21). Os valores apresentados foram obtidos com base em 30 repetições para cada valor do parâmetro p, tendo o foco de incêndio origem no centro do terreno. Considerou-se p = 0,1; 0,2 ; ... ; 0,9 . Em função dos resultados obtidos (valores médios e variância) para 0,3 e 0,4, tornou-se necessário
220
100
200
90
180
80
160
70
140 60 120 50 100 40 80 30
60
Área queimada (%)
Duração do fogo (nº de iterações)
refinar a variação do parâmetro p para valores compreendidos entre estes.
20
40
10
20 0
0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p Duração do fogo(nº de iterações)
Área Queimada ( %)
Figura 21 – Percentagem de área queimada e tempo de simulação em função do parâmetro p, em malha 100*100.
De entre os diferentes aspectos, salientamos os seguintes:
51
5 Algumas explorações do modelo
- parece clara a existência de uma transição de fase no intervalo [0,3;0,4]: para p = 0,3 a percentagem de área queimada é inferior a 2%, enquanto que para p = 0,4 essa percentagem é superior a 67%. - para valores de p entre 0,3 e 0,4 existe grande variabilidade, tanto na duração do fogo como na percentagem de área queimada, podendo considerar-se que o fogo é pouco previsível neste intervalo. - a duração de fogo é máxima para p ≈ 0,38 : no intervalo [0,3;0,38] aumenta rapidamente (acompanhando o aumento da percentagem de área queimada); no intervalo [0,38;0,4] diminui rapidamente (sendo inferior, quando comparada com o intervalo anterior, a velocidade com que a percentagem de área queimada aumenta); para p > 0,4 , o aumento de p provoca uma diminuição da duração (temporal) do fogo e simultaneamente um aumento da área ardida.
Notar que, no intervalo crítico, a variabilidade é muito maior do que fora desse intervalo, tanto para a área queimada como para a duração do fogo. Parece indicar que: para p superior a p c o fogo se propaga descontroladamente até ao fim da malha; para p inferior a p c o fogo vai
avançando e, caso se conseguisse por algum método diminuir o p, esse fogo poderia ser controlado. Em p c , qualquer pequena flutuação pode levar o fogo para uma das duas situações.
Como se pode diminuir o p? Aumentando a humidade (água, caldas retardantes, …) ou, o que está fora do nosso alcance, alterando as condições atmosféricas (baixar a temperatura, diminuir a intensidade do vento, …).
Independência do tamanho da malha e dependência da localização do foco do incêndio.
Impedir a propagação do fogo em x células é uma medida eficaz para controlar incêndios florestais. Porém, para ter uso prático, é indispensável estimar o tamanho de uma célula. A estimativa do tamanho das células para o modelo ser adequado à realidade, obriga a observações que não sabemos se são realizáveis. Por isso, insiste-se na avaliação do modelo 52
5 Algumas explorações do modelo
para diferentes malhas e, quando os comportamentos se repetem independentemente da malha, podem considerar-se “universais”. A procura, pelos físicos, desta universalidade está relacionada com a possibilidade de usar resultados conhecidos para outros modelos, o que, na prática, parece ser complicado. Nos estudos seguintes consideram-se três tamanhos diferentes para a malha: 50 × 50 , 100 × 100 e 200 × 200 . O foco do incêndio tem origem no centro ou num dos cantos do
terreno. Os resultados foram obtidos com 30 repetições para cada valor de p considerado.
No estudo relativo à percentagem de área queimada (Figura 22), parece não existir dúvidas relativamente à pouca dependência do tamanho da malha, principalmente em relação às simulações com foco de incêndio a partir do centro. No caso das duas malhas com maior dimensão, a diferença é praticamente nula (para os valores de p considerados).
100 90
Área queimada (%)
80 70 Malha 100*100 canto 60
Malha 100*100 meio Malha 50*50 canto
50
Malha 50*50 meio
40
Malha 200*200 meio 30 20 10 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p
Figura 22 – Percentagem de área queimada em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio.
Para a duração do fogo (Figura 23), é visível a diferença entre os resultados obtidos em fogos com foco a partir do centro e com foco a partir do canto, o que leva a considerar que existe dependência do local onde o fogo tem origem, que está relacionado com as limitações das possibilidades de propagação de fogo ao iniciar-se num canto. No entanto, mantém-se a ideia de pouca dependência relativamente ao tamanho da malha. Para p grande ou pequeno, a dependência do foco é pequena.
53
5 Algumas explorações do modelo
Para os fogos com início no canto, a duração é muito mais curta (pelas dificuldades de propagação já referidas).
Duração do fogo (nº de iterações)
250
200
Malha 100*100 canto 150
Malha 100*100 meio Malha 50*50 canto Malha 50*50 meio
100
Malha 200*200 meio
50
0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p
Figura 23 – Duração do fogo em função do parâmetro p, para diferentes malhas e diferentes localizações do foco de incêndio.
No intervalo “crítico” [0,3;0,4], o modelo apresenta algumas características já aqui analisadas (Figura 21). Como complemento apresenta-se o gráfico da figura 24 e a tabela 2 com resultados obtidos em malha 200 × 200 e com foco no centro. Dada a existência da anomalia (para p = 0,37 ), foram efectuadas mais trinta simulações para todos os valores entre 0,3 e 0,4, não se tendo atenuado a anomalia.
350
100 90 80
250
70 60
200
50 150
40
Área queimada (%)
Duração do fogo (nº de iterações)
300
30
100
20 50 10 0
0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p Duração do fogo(nº de iterações)
Área Queimada ( %)
Figura 24 – Percentagem de área queimada e duração do fogo em função do parâmetro p, em malha 200*200.
54
5 Algumas explorações do modelo
Tabela 2 – Relação entre a percentagem de área queimada e o tempo de duração do fogo, para diferentes valores do parâmetro p.
p
Área queimada (%) média desvio padrão
Duração do fogo média desvio padrão
0
0
0
0
0
0,1
0,01
0,004
2
1,26
0,2
0,04
0,04
7,6
5,88
0,3
2,34
5,52
68,77
85,58
0,31
4,9
7,12
107,38
119,22
0,32
10,04
13,46
149,78
147,05
0,33
14,08
15,56
189,75
159,73
0,34
27,11
21,63
241
184,54
0,35
39,37
22,69
294,82
160,95
0,36
50,88
26
278,45
153,73
0,37
58,2
22,61
261,2
106,83
0,38
61,51
19,52
267,13
97,83
0,39
62,97
23,13
250,12
96,15
0,4
69,54
18,94
230,3
66,37
0,45
76,57
14,36
188,18
38,25
0,5
79,5
0,98
171,6
7,05
0,6
89,66
0,78
136,5
4,07
0,7
93,88
0,26
121,13
1,63
0,8
96,09
0,74
113,47
1,48
0,9
98,52
0,12
106,6
0,72
1
100
0
101
0
Na região “crítica” (a saber 0,3 ≤ p ≤ 0,4 ), e para a percentagem de área queimada, a relação entre o desvio padrão e a média (tirando a anomalia) é um arco de circunferência (Figura 25 (a)), o que sugere fortemente que se trata de uma mistura binária de dois tipos de área ardida: as muito grandes e as pequenas (comparável a blocos de gelo a boiar em água líquida). Assim, numa das fases (estados do sistema), a área ardida é muita, na outra a área ardida é bem mais pequena. Estas duas fases, podem coexistir, em p c , da mesma forma que a água líquida pode coexistir em todas as proporções com o gelo, desde que a temperatura seja zero graus (Calheiros, 1985).
A relação entre a assimetria e o achatamento (Figura 25 (b)), sendo uma “cardióide”, reforça muito essa ideia (Calheiros, 2002, 2003).
55
5 Algumas explorações do modelo
Não foi possível esclarecer completamente a anomalia (que também aparece no texto de Krüger (2003)) e não se tem a certeza que sejam flutuações da amostragem, por aparecer repetidamente em situações diferentes, sempre no máximo das flutuações.
(a)
(b)
Figura 25 – Percentagem de área queimada: (a) Desvio padrão em função da média, para p compreendido entre 0,3 e 0,4, com forma aproximadamente de arco de circunferência; (b) Assimetria em função do achatamento. Na construção do arco de circunferência usou-se, empiricamente, um ponto a meio e os dois pontos extremos.
Um resultado que nos parece forte, é que os fogos que duram mais tempo não são aqueles a que corresponde maior área queimada, isto é, não há uma grande área queimada por unidade de tempo. Tais situações podem ser perigosas no caso de se levantar vento ou se por alguma razão o valor de p aumentar (por aumentar a temperatura do ar ou diminuir a humidade).
56
6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário
6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário
A utilização das novas tecnologias no ensino da Matemática é uma recomendação expressa dos programas desta disciplina desde 1991. Nos novos programas das disciplinas de Matemática A (Carvalho et al., 2000a) e Matemática B (Carvalho et al., 2000b), “Aplicações e Modelação Matemática” é um dos “temas transversais” a ser tratado ao longo dos três anos do Ensino Secundário. Nas indicações metodológicas dos referidos programas (páginas 20 e 17, respectivamente) pode ler-se: “Sempre que possível, o professor deve evidenciar aplicações da Matemática e deve estabelecer conexões entre os diversos temas matemáticos do currículo e com outras ciências”. “Deve ser discutido com os estudantes o processo de modelação matemática e a sua importância no mundo actual”. Os computadores, por
permitirem abordar determinados assuntos de forma bastante diferente, são recursos que motivam os alunos, despertando-lhes muito mais interesse.
A forma, mais interessante, encontrada para relacionar este trabalho com a actividade docente da autora, foi realizar sessões de apresentação do programa FlorestaSim com alunos da escola onde lecciona – Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de S. João da Madeira (Nº 3). Fomentar o interesse pela investigação e pelas ciências, proporcionar o contacto com um trabalho de aplicação da disciplina de Matemática a situações concretas e sensibilizar os alunos para a importância da floresta e da sua preservação, foram alguns dos objectivos definidos para esta actividade.
6.1 Metodologia
Planificar esta actividade suscitou algumas dúvidas em relação à forma de abordar este assunto. Como reagiriam os alunos se fossem convidados a experimentar o programa sem terem uma explicação, ainda que sumária, sobre o seu funcionamento? Como introduzir o tema, despertando o interesse e a motivação dos alunos para a realização de simulações com o programa?
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6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário
O número de sessões bem como os seus destinatários foram também equacionados. Optou-se pela realização de duas sessões, sendo a primeira destinada a alunos do 12º ano e a segunda a alunos do 8º ano. Analisar possíveis diferenças de atitude em relação a este tipo de trabalho foi a razão principal da escolha de alunos com faixas etárias distintas.
A sala destinada para a realização da actividade tinha disponíveis, para os participantes, doze computadores. Optou-se por organizar sessões limitadas a cerca de vinte e cinco alunos, pois demasiados alunos por computador não parecia ser apropriado e o trabalho em pares permite, à partida, partilhar conjecturas e conclusões.
Cada sessão foi estruturada em duas partes: na primeira parte foi apresentada uma introdução ao tema “fogos florestais”, seguida de uma explicação sobre o funcionamento do simulador; a segunda parte foi completamente destinada à exploração do programa pelos estudantes, orientados por uma proposta de actividade. Apesar da estrutura das duas sessões ser a mesma, há algumas diferenças a registar. Na primeira sessão, a explicação sobre o funcionamento do simulador compreendeu uma descrição do modelo com referência alargada aos parâmetros e regras de propagação. Atendendo às idades dos participantes na segunda sessão, a explicação de funcionamento do programa foi consideravelmente encurtada com receio que pudesse desmotivar os alunos, dado conter conceitos de difícil compreensão para estes.
Sendo esta uma actividade extracurricular, foi calendarizada de forma a não interferir com o trabalho dos alunos. Dado que no estabelecimento de ensino, referido no início deste capítulo, não há actividades lectivas nas tardes de quarta-feira, as sessões foram realizadas a 16 de Março e a 13 de Abril de 2005. Este trabalho foi registado em vídeo com a finalidade de permitir rever as sessões, possibilitando uma reflexão sobre possíveis alterações em futuras apresentações.
6.2 Reacção dos alunos ao simulador
Os vinte e quatro alunos do 12º ano que participaram na primeira sessão de apresentação do programa FlorestaSim, mostraram muito interesse pelo tema desde o início da actividade, tendo alguns dos discentes feito várias intervenções ao longo de toda a primeira parte. No 58
6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário
entanto, o entusiasmo foi geral quando lhes foi solicitada a realização de experiências com o simulador (Figura 26). Constatou-se que os alunos não tiveram qualquer problema em realizar as simulações pedidas tendo, de uma forma geral, tirado as conclusões esperadas. Pensa-se poder concluir que os alunos, não só têm grande apetência para o uso do computador, como ficam automaticamente motivados para aprendizagem se estiverem a fazer uso desta tecnologia.
Figura 26 – Segunda parte da sessão realizada a 16 de Março de 2005, com alunos do 12º ano.
A segunda sessão contou com a participação de vinte e três alunos do 8º ano, todos da mesma turma, e com diferentes aptidões para a disciplina de Matemática. Todos demonstraram interesse na realização das experiências com o simulador, colocando algumas dúvidas sobre o seu funcionamento (Figura 27). Algumas das questões estavam directamente relacionadas com a manipulação da interface do programa, outras, porém, referiam-se a dúvidas sobre o funcionamento do mesmo.
Figura 27 – Segunda parte da sessão realizada a 13 de Abril de 2005, com alunos do 8º ano.
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6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário
A geometria da sala foi determinante para algumas situações verificadas no decorrer das sessões. Na primeira parte, os alunos ocupavam os lugares disponíveis nas secretárias dispostas em forma de U, no centro da sala (Figura 28). Esta disposição fomentou o diálogo com o orientador e os participantes, ocasionando momentos de boa disposição geral. Para experimentarem o simulador os alunos ocuparam os computadores que se encontravam em secretárias encostadas às paredes da sala, o que favorece a concentração dos alunos no trabalho mas impede a comunicação com os outros participantes e com o orientador da sessão. Assim, houve necessidade de se fazer um acompanhamento quase individualizado, sendo esta situação mais exigida na sessão realizada com os alunos do Ensino Básico.
C
C
C
C
C
C J a n e l a
C C C
J a n e l a
C C C
P o r t a
PM
C
Secretária do Professor
J a n e l a
Legenda:
C – Computador PM – Projector Multimédia
Quadro
Figura 28 – Esquema da sala onde teve lugar a actividade.
6.3 Algumas considerações sobre esta experiência
Com a finalidade de se poderem tirar mais algumas conclusões sobre esta experiência, foi solicitado aos alunos o preenchimento de um pequeno inquérito (Anexo C) no final da sessão. Dos quarenta e sete alunos que participaram nas duas sessões, apenas três referiram ter conhecimento da existência de programas de computador destinados à simulação de fogos 60
6 Exploração do modelo por alunos do Ensino Básico e Secundário
florestais. Apesar de ser um assunto desconhecido pela quase totalidade dos participantes, a grande maioria destes alunos manifestou interesse em participar em outras sessões sobre simulação. Foi gratificante verificar que, grande parte dos alunos, em resposta à questão “Sobre esta sessão, o que pensas poder ser melhorado para a tornar mais interessante?”,
referiram que gostariam de ver simulados mais factores que influenciam a propagação dos incêndios florestais, nomeadamente o vento. Embora a questão não fosse correctamente interpretada por todos os alunos, concluímos, com satisfação, que a maioria dos participantes gostou do que viu e gostaria de ver ainda mais sobre este assunto.
Despertar o interesse dos alunos é sempre mais fácil quando se planificam actividades destinadas ao uso do computador. Tirar partido desta tecnologia poderá ser um dos caminhos a seguir no sentido de inverter a situação desastrosa em que se encontra o nosso país no que diz respeito à aprendizagem da Matemática, entre outras disciplinas, ao nível do Ensino Básico e Secundário.
Um trabalho mais detalhado sobre a metodologia e a organização da sala com recursos informáticos será apresentado futuramente. Elaborar uma ficha para, no final das sessões, avaliar as competências adquiridas pelos participantes é outro objectivo que será posteriormente concretizado.
61
Conclusões
Conclusões
Na prevenção de incêndios florestais é possível exercer influência na densidade florestal, na diminuição da probabilidade de propagação (limpando as florestas), na criação de descontinuidades (corta-fogos e plantação de zonas com árvores mais resistentes ao fogo).
No momento dum incêndio, é muito difícil intervir, de forma global, sobre o parâmetro p (seria necessário ser capaz de mudar a temperatura, a humidade, a topografia, o vento, entre outros factores) mas tem que se combater o fogo diminuindo o p nas orlas.
O valor efectivo de p controla, praticamente, o fogo.
O essencial continua a ser a prevenção!
Para desenvolvimentos futuros propõe-se:
Outras explorações do programa relativas à geometria do fogo (área e perímetro) e à velocidade de propagação.
Ligações à combinatória, aos caminhos self-avoinding e ao volume excluído (que são claramente os temas de mais fácil publicação (ver trabalhos de Elmoznino).
Dar continuidade ao trabalho com alunos.
62
Referências bibliográficas
Referências bibliográficas
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68
Anexos
Anexo A
Anexo A: A Fórmula de Stirling A definição de factorial, usando integrais, é dada pela equação seguinte (Weisstein, 2005c): ∞
n ! = ∫ x n e − x dx . 0
De facto, sendo ∞
I n = ∫ x n e − x dx 0
vem ∞
I n = − e −x x n
0
+
∫
∞ 0
e − x n x n −1 dx =
= 0 + n I n −1 = = n I n −1 .
Para n = 0 , tem-se que ∞
I 0 = ∫ e − x dx = 0
= − e −x
∞ 0
= −0 + 1 = 1
Donde I0 = 1 I1 = 1× I 0 = 1
I 2 = 2 × I1 = 2
…
I 3 = 3 × I 2 = 6 = 3!
I n = n!
70
Anexo A
A fórmula de Stirling dá um valor aproximado para a função factorial:
n! ≈ 2π n e −n n n
(n → ∞) .
Uma versão, menos precisa, pode também ser obtida pelo seguinte processo intuitivo (Weisstein, 2005c): log n ! = log 1 + log 2 + ... + log n = n
= ∑ log k ≈ k =1
= x log x − x
∫
n
1
n 1
log x dx =
=
= n log n − n + 1 ≈ n log n − n .
Ou seja, n! ≈ n n e −n × constante.
Uma demonstração da fórmula de Stirling pode ser obtida em Ostrowski (1971). Segue-se os traços gerais dessa demonstração:
De ( x log x − x )' = log x
conclui-se que
∫
n
1
log x dx = x log x − x
n 1
= n log n − n + 1 , para n ≥ 2 .
Para k = 1,..., n − 1 vem, usando a fórmula dos trapézios,
∫
k +1 k
log x dx =
1 [log k + log(k + 1)] + rk 2
71
Anexo A
onde rk é o resto da regra dos trapézios e (k + 1 − k ) 3 rk = − f ' ' (θ ) 12 em que θ é um ponto entre k e k + 1 e, assim
rk =
1 . 12 (k + θ ) 2
Então n −1
n −1 1 n log n − n + 1 = ∑ log k + log n + ∑ rk . 2 k =1 k =1
Adicionando
1 log n e subtraindo 1 a ambos os membros da igualdade anterior, vem 2
1 (n + ) log n − n = log n !+ 2
n −1
∑r k =1
k
−1.
∞
A série infinita
∑ rk é convergente pois é majorada pela série k =1
(1)
∞
1
∑ 12k k =1
2
.
Fazendo ∞
∑ rk = 1 − c k =1
∞
e
∑r k =n
k
= Rn
Então (1) pode escrever-se
1 (n + ) log n − n = log n !− c − Rn 2
72
Anexo A
ou, equivalentemente
log
n
1 (n+ ) 2
en
= log n !− c − Rn
ou ainda n
1 ( n+ ) 2
en
= n ! e −c e − Rn .
Fazendo e c = γ , obtém-se (para n ≥ 2 ),
n!= γ
n
1 ( n+ ) 2
e
n
e Rn
ou ainda,
n!= γ n n n e − n e Rn .
Quando n → ∞ , Rn → 0 . O valor da constante1 γ =
2π , foi obtido por Wallis (ver (Ostrowski, 1971), páginas
370-374).
Assim:
n! ≈ 2π n e −n n n
1
(n → ∞) .
Esta constante também pode ser obtida por manipulação de gaussianas.
73
Anexo A
A fórmula de Stirling é, assim, uma boa aproximação para a função factorial (ver Tabela 3), em muitas situações. Tabela 3 – Erro absoluto e erro relativo da fórmula de Stirling. n
2π n n n e − n
n! 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 3628800 50 3,04141E+64 100 9,3326E+157
2π n n n e − n
S n = n !−
0,922137009 1,919004351 5,836209591 23,50617513 118,019168 710,0781846 4980,395832 39902,39545 359536,8728 3598695,619 3,03634E+64 9,3248E+157
0,077862991 0,080995649 0,163790409 0,493824867 1,980832042 9,921815358 59,60416839 417,6045473 3343,127158 30104,38126 5,06473E+61 7,7739E+154
S n n! 0,077862991 0,040497824 0,027298401 0,020576036 0,016506934 0,013780299 0,011826224 0,010357256 0,009212762 0,00829596 0,001665256 0,000832983
Como esta tese também pretende ser pedagógica, fica aqui um exemplo de verificação:
(n + 1)! ≈
2π (n + 1) (n + 1) n +1 e − ( n +1) 2π n n n e − n
n!
1
=
⎛ n +1⎞ 2 ⎛ n +1⎞ −1 =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (n + 1) e . ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n
Assim, vem 1
n
⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ e ≈ ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ , fórmula que se toma exacta quando n → ∞ . ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
74
Anexo B
Anexo B: Programa FlorestaSim
Dim X, Y As Integer Dim xi, yi As Integer Dim matriz(0 To 101, 0 To 101) As matrizp Dim aux(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim mz(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim contagem(0 To 500, 0 To 3) As Integer Dim anos, u, v, n As Integer Dim estados(0 To 101, 0 To 101) As matrizp Dim estaux(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim maux(0 To 101, 0 To 101) As Integer Dim contador, contb, ncinzentos, nverdes As Integer Dim i As Integer Dim p, q As Double Dim a, b, d, e As Double Dim k As Double Dim exfogo As Boolean
Private Sub cmdExp_Click() FlexGrid_To_Excel Grid1, Grid1.Rows, Grid1.Cols, , "Dados" End Sub ‘Pintar o “terreno” de verde claro Private Sub Command2_Click() For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 If matriz(Y, X).Cor = 0 Then estados(Y, X).Valor = 0 estados(Y, X).Cor = 7 End If Next Y Next X For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 estaux(Y, X) = 0 Next Y Next X Timer2.Enabled = True End Sub
Private Sub Command4_Click() Timer1.Interval = Slider1.Value Frame3.Enabled = False 75
Anexo B
Option7.Enabled = False Frame6.Enabled = False For X = 0 To 100 Step 1 For Y = 0 To 100 Step 1 matriz(Y, X).Valor = 0 aux(Y, X) = 0 mz(Y, X) = 0 matriz(Y, X).Cor = 10 Next Y Next X contador = 0 For X = 0 To 3 For Y = 0 To 500 contagem(Y, X) = 0 Next Y Next X ‘Atribuir aos parâmetros p e q os valores indicados, na interface, pelo utilizador p = MaskEdBox1.Text q = MaskEdBox2.Text ‘Copiar os valores da matriz de estados na evolução da floresta para a matriz de estados da propagação do fogo For X = 1 To 100 Step 1 For Y = 1 To 100 Step 1 If estados(Y, X).Valor = 0 Then matriz(Y, X).Valor = -2 matriz(Y, X).Cor = 7 End If If estados(Y, X).Valor >= 1 And estados(Y, X).Valor = u And estados(Y, X).Valor = v And estados(Y, X).Valor = 1 And k = u And k = v And k 100 Then MsgBox "o valor de 'x' tem que ser superior a 0 e inferior a 100", vbExclamation, "Erro" Text4.SetFocus End If End Sub Private Sub Text5_LostFocus() If Text5.Text < 1 Or Text5.Text > 100 Then MsgBox "o valor de 'y' tem que ser superior a 0 e inferior a 100", vbExclamation, "Erro" Text5.SetFocus End If
81
Anexo B
End Sub Private Sub Text8_LostFocus() Dim kjc As Integer Dim kjc2 As Integer kjc = Text8.Text kjc2 = Text9.Text If (kjc > kjc2) Or (kjc < 1) Then Text7.Enabled = False Text9.Enabled = False MsgBox "Tem que cumprir as condições: 1
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