Radiação Térmica, Lei de Stefan-Boltzmann e as duas constantes, σ e h

Radiação Térmica, Lei de Stefan-Boltzmann e as duas constantes, σ e h Geferson Lucatelli Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Universidade Federal do Rio Grande - FURG 13 de maio de 2015 Resumo Para que uma teoria física se torne uma lei, ela precisa enfrentar a experimentação. Se for verificada sua validade, lhe é dado o atributo de lei, se não válida, ainda continua sendo uma teoria, mas necessita ser verificada e modificada. O presente trabalho tem por objetivo analizar a lei de Stefan-Boltzmann, que diz respeito a intesidade de radiação ser dependente da quarta potência da temperatura de um certo corpo. Neste trabalho, o corpo escolhido é uma lâmpada fluorescente com um filamento de tungstênio. A partir disso é montado um circuito e sao feitas medições de valores de corrente elétrica e voltagem sobre a lâmpada. Sobre esses dados, é encontrado a resistência elétrica do filamento, mas é preciso também vericar qual é essa resistência a uma temperatura ambiente. A variação da resistência, na medida que as anotações vão sendo feitas, nos possibilitará saber qual é a temperatura em que o filamento se encontra. A partir disso, avaliamos a potência dissipada pela mesma e encontramos a intensidade ou fluxo de radiação. Em paralelo com essas etapas, usa-se uma termopilha como segunda forma de captar esse mesmo fluxo, assim façamos comparações das medidas. Porém é necessário fazer a calibração deste último equipamento. Com os dados coletados, utilizando as equações físicas envolvidas neste assunto, métodos computacionais, tal como códigos em python e e gráficos, avaliaremos o expoente da temperatura, como foi mencionado anteriormente. Utilizaremos os resultados para inferir a constante de Stefan-Boltzmann σ, e ainda, a constante de Planck h.

1

Introdução

A física sempre está acompanhada de ideias, e em cima disso tudo, de teorias. As teorias, depois de comprovadas, mudam o mundo ao nosso redor, pois se transformam em leis. Mas há casos em que essas leis, precisam ser reformuladas, pois não conseguem descrever completamente tudo sobre a teoria original da qual foi formulada. Isso ocorre porque novas “teorias secundárias” são elaboradas em cima da primeira, para testá-la, que nada mais é do que uma forma de verificar sua validade. Apesar de certas leis terem períodos finitos de validade, não devemos desprezá-las, pois são elas que trazem ao mundo, a vontade dos cientistas em pesquisarem ainda mais novas formulações da física, que descrevam melhor os fenômenos do que as anteriores. A mecânica quântica surgiu assim. Inicialmente com elementos de termodinâmica e de magnetismo empregados para estudar a radiação térmica. A teoria proposta não coincidia com os dados observados. Surgiu então Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947), que acabou por revolucionar e dar início a uma nova física. Sua ideia incrível se resume em poucas palavras. A natureza não é contínua, e sim discreta, tudo se baseia em quantidades definidas de energia, e tal como ele disse, pacotes de energia, ou quantas de energia.

2 2.1

Radiação Térmica Teoria da radiação de corpo-negro

O que podemos estudar sobre um corpo que possui uma certa temperatura? Quando falamos que um corpo está com uma certa temperatura, queremos dizer que os átomos que o compõe estão com uma dada energia cinética. Esta energia os fazem se moverem com uma velocidade e se colidirem uns com os outros. Devido a 1

2

RADIAÇÃO TÉRMICA

2

tudo isso, o corpo transforma a energia cinética dos átomos em uma outra forma de energia que é a térmica, assim, por conservação, o corpo adquire uma determinada temperatura T . Todo corpo com uma temperatura T emite um espectro. O espectro se origina da radiação eletromagnética que é emitida pelo objeto. O espectro é uma “impressão digital” dos componentes químicos da qual o corpo é formado. Para um dado tipo de material, é emitido um tipo de espectro, ou um conjuto de linhas espectrais. Mas, como veremos adiante, existe um tipo de espectro emitido que independe do tipo de material envolvido. Esse espectro é chamado de espectro universal. O corpo que emite este tipo de espectro não exite na natureza, mas pode ser idealizado em laboratório. Também existe uma idealização natural dele, que são as estrelas. Cada espectro contém linhas espectrais, que correspondem a um dado material. Agumas vezes, essas linhas estão tão unidas, próximas umas das outras, que o espectro obsevado é contínuo. Isto ocorre quando um gás está super-aquecido, e a pressão está bem alta. A colisão entre os átomos é muito grande e muitos níveis de energia estão envolvidos. Dessa forma ocorre o alargamento e sobreposição das linhas espectrais. Então, o espectro de um gás com alta temperatura e pressão, apresenta um espectro contínuo. A teoria da radiação térmica pode ser muito bem estudada a partir de um ente chamado de corpo-negro. Este corpo absorve toda a radiação que inside sobre ele, e não reflete nada da radiação. É como se ele emitisse uma certa quantidade de radiação, mas ao mesmo tempo, a absorve totalmente. Então, um corpo negro é um emissor perfeito, e também um absorsor perfeito. Como na natureza não exite nada perfeito, este objeto não exite no mundo real. O que podemos ter dele é uma idealizacão.

2.2

Radiação de cavidade

Os alemães Wilhelm Wien (1864-1928) e Otto Richard Lummer (1860-1925), propuseram em 1895, que um corpo negro não exite na vida real. Mas que pode ser construído um objeto que o ideali-ze. Este deve conter seu interior vazio. Imagine uma esfera oca, ou até um cubo oco. Em algum lugar da superfície, é feita uma pequena abertura de modo que a área desta abertura seja muito menor do que a área superficial do corpo. Dessa maneira, é deixada entrar uma quantidade de radiação por este orifício. Toda a radiação que fica concentrada lá dentro, é refletida inúmeras vezes (interiormente), fazendo com que as paredes internas absorvam toda a radiação. Em um dado tempo, quando o corpo possui uma certa temperatura, e interrompemos a entrada de radiação pela abertura, as paredes internas ainda continuam a absorver radiação. Mas que radiação é essa? E é exatamente isso a idéia que os alemães tiveram. A própria parede interna emite a radiação que absorveu, e volta a absorvê-la. A energia envolvida fica contida dentro da cavidade. Ou seja, fazendo uma grosseira aproximação, quase toda radiação emitida é aborvida, ou toda radiação absorvida é emitida. A aproximação é requerida porque este corpo não existe na natureza. Por causa da existência da pequena abertura, sempre alguma pequena quantidade radiação escapa por ela. Bom, já que o corpo se comporta como um corpo negro, então o que podemos dizer da pouca radiação que está saindo pelo orifício? De fato, quando analizada essa radiação, ela é de certa forma igual à radiação de um corpo negro. O espectro também o é, onde ele apresenta ser contínuo. Este espectro independe do material do qual o objeto é feito, e apresenta-se ser universal. Ou seja, podemos ter uma cavidade de ouro, de zinco, tanto faz, o espectro é o mesmo para ambos e para qualquer outro. Uma forma de medir e estudar a radiação térmica é através do conceito da radiância espectral. A radiância espectral (seção (3)) é a energia emitida por segundo, por metro quadrado e por comprimento de onda (ou por frequência) de um corpo que possui uma temperatura T em um intervalo de frequência ν e ν + dν. Ela é representadada por IT (ν) ou IT (λ). Suas primeiras medidas experimentais foram feitas por Lummer e Pringsheim em 1899. Além de descrevermos a radiação em termos de IT (ν), podemos descrevê-la em termos de uma densidade de energia ρT (ν) que está contida dentro do corpo-negro idealizado. O matemático e físico John William Strutt (1842-1919), terceiro Barão de Rayleigh, a partir da física clássica, obteve uma expressão que tentava descrever de modo clássico esta radiação, a partir da densidade de energia (radiância espectral emitida por unidade de volume). Isso foi feito contando o número de ondas eletromagnéticas estacionárias contidas dentro do objeto, e apartir disso, calcular energia associada as ondas por meio do teorema de equipartição de energia. Sem apresentar deduções, ele obteve essa expressão, em termos da frequência ν, como sendo 8πν 2 kT ρT (ν)dν = dν (1) c3

3

LEI DE STEFAN-BOLTZMANN

3

onde k é a constante de Boltzmann e c é a velocidade de propagação da onda. Ou também em termos do comprimento de onda λ, 8πkT ρT (λ)dλ = dλ (2) λ4 O resultado dessas duas equações é de que não válidas. Note que que se a frequência da onda eletromagnética começar a crescer, ou o comprimento de onda diminuir, a densidade de energia começa a aumentar, e muito. Se integrarmos essa última expressão (seção (3), equação (7)) sob todos comprimentos de onda, de 0 a ∞ temos   ∞ Z ∞ Z ∞ 8πkT 8πkT 1 ρT (λ)dλ = dλ = − 3 λ4 3 λ 0 0 0   8πkT 1 = −0 + = +∞ 3 0 A densidade de energia é infinita, e isso não pode ser possível. Essas expressões são apenas válidas para comprimentos de onda altos ou frequências baixas. Esse problema foi resolvido por Planck, em 1900. Para isso, ele tratou a física de modo não clássico. As expressões anteriores foram tiradas de modo clássico. Ele considerou que a energia deveria ser discretizada. Ele apresentou uma solução para descrever a radiância espectral, mas nem mesmo ele sabia qual o sentido que estava por trás dela. A equação que ele deduziu, que substitui as equações (1) e (2) é 8πh ν3 ρT (ν) = 3 hν (3) c e kT − 1 onde h é a constante de Planck. Essa distribuição concorda exatamente com os resultados experimentais. Esse formulação dos quantas de energia, contradiz profundamente a formulação da física clássica.

3

Lei de Stefan-Boltzmann

A intensidade específica monocromática (energia por unidade de tempo e por unidade de área por comprimento de onda) de um corpo é dada pela lei de Planck Iν (T ) =

2hν 3 1 c2 ehν/(kT )−1

(4)

onde k é a constante de Boltzmann, c é a velocidade da luz, T é a temperatura, e ν é a frequência. A lei de Stefan-Boltzmann afirma que o fluxo luminoso, energia por unidade de tempo e por unidade de área, é proporcional a quarta potência da temperatura do corpo de que é emitida essa energia. Ou seja F ∝ T4

(5)

Essa proporcionalidade indica que temos uma constante de calibração entre essas duas quantidades. Essa constante é definida como sendo a constante de Stefan-Boltzmann σ, e tem o valor de 5, 6697×10−8 Wm−2 K−4 . Essa lei foi descoberta empiricamente em 1884, por Josef Stefan (1835-1893) e Ludwing Boltzmann (18441906). Essa relação é escrita da forma Z ∞ F =π Iν (T )dν = σT 4 (6) 0

que é a integral da intensidade específica monocromática sobre todas as frequências. Também, se quisermos saber a mesma coisa, o fluxo, em termos de λ basta integrarmos a lei de Planck para esta, então Z ∞ Z ∞ 2hc2 dλ F =π Iλ (T )dλ = (7) 5 ehc/(λkT ) − 1 λ 0 0 onde é integrado sobre todos os comprimentos de onda. Essa expressão descreve a mesma coisa que a equação (4), mudando apenas para a variável do comprimento de onda. Mas, para deduzirmos a lei de

4

INSTRUMENTOS

4

Stefan-Boltzmann, trocamos a variável de integração de λ para ν, ou seja utilizamos a expressão (4), então temos Z ∞ 2h ν 3 dν (8) F =π hν c2 e kT 0 −1 hν kT

e ainda fazendo

≡ α, ν =

kT h

α, com dα =

h kT dν → dν = dα kT h

obtemos 

3

ν dν =

kT α h

3 



kT h

 dα =

kT h

4

α3

então podemos escrever como F =π

2h c2



kT h

4 Z

∞

0

α3 dα − e−α )

eα (1

(9)

O resultado da integral é π 4 /15, então é obtido F =π ou

2h c2



kT h

4

π4 15

 4 2h kπ T4 15c2 h Com tudo isso, comparamos essa equação com a equação (6) e tiramos que F =π

(10)

2π 5 k4 (11) 15c2 h3 No fluxo luminoso, a quantidade energia por segundo (Watts [W]), por metro quadrado, é exatamente a potência, e está sendo dissipada em uma área. Imaginemos que essa energia se espalha de forma homogênea e isotrópica a partir de uma fonte circular, então a potência espalhada até uma distância d da fonte é σ=

P = Ad σT 4

(12)

2

com Ad = 4πd , onde é a área da esfera de raio d. Essa quantidade também é tratada como sendo a luminosidade de um corpo. O fluxo nada mais é do que a potência ou a energia o segundo dissipada na área Ad , P P F = = (13) Ad 4πd2 Depois de um pouco de teoria, será apresentado a parte experimental do trabalho, o qual iremos analizar a lei de Stefan-Boltzmann.

4

Instrumentos

Vários instrumentos serão utilizados para serem feitas as medidas relacionadas a radiação térmica. Os instrumentos são: • Multímetro digital; • Voltímetro digital; • Lâmpada com filamento de tungstênio; • Fonte geradora de eletricidade; • Detector de radiação, termopilha; • Cabos conectores; • Termômetro;

5

METODOLOGIA EXPERIMENTAL

5

Metodologia Experimental

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Os passos que devemos seguir no experimento são os seguintes: 1. Todas as medidas devem ser feitas soba a variação da corrente elétrica, pois esta se estabiliza mais rapidamente para um certo valor; 2. Medir a resistência interna r do circuíto; 3. Medir a resistência Ro do filamento da lâmpada pra um comportamento ôhmico (linear), ou seja, na temperatura ambiente To ; 4. Medir o fluxo luminoso proveniente da dissipação da energia do filamento da lâmpada, (gerada pela diferença de potencial do circuito), a partir de duas formas: • A partir do fluxo Fz detectado na termopilha; • A partir do fluxo Fd distribuído até a região onde se encontra a termopilha, equação (13); 5. Ao mesmo tempo com as medições do item anterior, fazer as medições as voltagens e correntes sobre o circuíto, para poder ser feito o cálculo da resistência R, que como veremos não será mais linear, e dependerá da temperatura do filamento; 6. Fazer a calibração do instrumento termopilha; 7. Calcular o expoente da dependência de P ou F em relação a temperatura; 8. Calcular a constante de Stefan-Boltzmann; 9. Calcular a constante de Planck;

5.1

Resistência interna r e resistência Ro da lâmpada

Para começar o experimento, vamos medir a resistência interna r do circuito. O circuíto montado contém um amperímetro e um voltímetro. Sob variações da corrente elétrica entre valores de 0, 5A, anotamos os valores de V . Sendo feitas 10 medidas, construímos a Tabela (1). A resistência do circuito causará uma queda de potencial nele, assim é possível calcular a resistência do circuito. Essa relação é dada por V = rI −→ r =

V I

(14)

Para o cálculo de r, podemos neste caso tomar a média da resistêcia r da Tabela (1), pois os valores são próximos um do outro, e assim obter um valor médio. 1X 1, 8252 r¯ = r= = 0, 1825Ω −→ r ≈ 0, 1825Ω (15) k 10 Essa resistência se deve aos fios condutores, pois não são ideais contutores e apresentam uma resistência a condução da corrente elétrica. Feito o cálculo da resistência interna r, vamos executar o mesmo procedimento com o cálculo da resistência Ro do filamento da lâmpada, a uma temperatura ambiente To , que foi marcado no laboratório como sendo To = 294K. Da mesma forma, colocamos um amperímetro em série com a lâmpada, para medirmos de forma precisa a corrente, e um voltímetro em paralelo com a lâmpada, para medirmos a diferença de potencial V nos terminais da mesma. Novamente, faremos variações discretas de corrente de 0, 05A. Esses dados estão contidos na Tabela (2). Desses resultados, como anteriormente, tomamos a média, X ¯o = 1 R Ro = 0, 3420Ω −→ Ro ≈ 0, 3420Ω (16) k Para pequenas variações de I, a temperatura T do filamento é praticamente a mesma temperatura que a ambiente To , e nesse intervalo, R não varia.

5

METODOLOGIA EXPERIMENTAL

5.2

6

Variação de R com a temperatura T

Na medida que o filamento é submetido a uma diferença de potencial maior, mais sua resitência vai aumentando. Dessa forma, a resistência será uma função da temperatura T , ou seja R = R(T ). Como a resistência vai ser medida com os aparelhos, podemos determinar a temperatura se invertemos a equação para de R(T ) para T = T (R). Vamos utilizar uma equação polinomial de segunda ordem em T para R(T ), que e é dada por R(T ) = Ro + αRo (T − To ) + βRo (T − To )2 (17) onde α e β são constantes calibrantes que dependem do material de que o filamento é feito, To é a temperatura ambiente do laboratório e Ro é a resistência do filamento da lâmpada na temperatura ambiente, que já foi medida anteriormente. Os valores das constantes são α = 4, 71×10−2 K −1 e β = 3.52823×10−7 K −3 , obtidas de [6]. Verificamos, que quando T = To , R = Ro . Lembramos que não sabemos qual é a temperatura do filamento, por enquanto, e o que queremos saber é T , então vamos inverter a equação (17) para T (R). Executando os passos temos R = 1 + αT − αTo + βT 2 − 2βT To + βTo2 Ro T 2 (β) + T (α − 2βTo ) + βTo2 − αTo − Agora, definindo a = β, b = α − 2βTo e c = βTo2 − αTo −

R Ro

R +1=0 Ro

(18)

+ 1, vamos calcular as raízes do polinômio

aT 2 + bT + c = 0 Temos T = 2βTo − α ±

−b ±

(19)

√

b2 − 4ac 2a

q α2 + 4β 2 To2 − 4αβTo − 4β(βTo2 − αTo + 1 −

=

R ) Ro

2β q 2βTo − α ± α2 + 4β 2 To2 − 4β 2 To2 − 4αβTo + 4αβTo − 4β +

=

T (R) = To −

2β q α ± α2 + 4β( RRo − 1) 2β

4βR Ro

(20)

onde devemos escolher a raíz negativa, de forma de o s sinais negativos se cancelarem, pois não tem sentido a temperatura diminuir com o aumento da resistência. Assim, medida a resistência para uma dada corrente I e voltagem V sobre o filamento da lâmpada, sabemos de uma “certa maneira” a qual temperatura ele se encontra. O porque de “certa maneira” se deve ao fato de não sabermos com exatidão a precisão dos dados, pois sempre está incluído erros de medição e impresisão dos aparelhos. Outros gráficos que podemos considerar de nossos dados são os da voltagem e corrente em função da resistência do filamento.

5.3

Fluxo luminoso Fz medido na termopilha

Partimos agora para o segundo passo, que é coletar a radiação térmica com o fluxo luminoso que a lâmpada emite, a partir da termopilha. Esse instrumento tem a capacidade de detectar não somente radiação luminosa, mas também radiação não visível, na banda do infravermelho. Se a lâmpada for homogênea ela distribui a radiação de forma igual em todas as direções. Veremos que ela não é homogênea, e sem ter feito a análise dos gráficos que serão apresentados, já se poderia ser feita essa afirmação devido ao formato do filamento, ele é cilíndrico, portanto não apresenta ter caráter homogêneo dem todas as direções, ou seja simetria esférica. Para medir o fluxo Fz vamos prosseguir de duas formas. Uma medida será feita com a termopilha posicionada ao longo do mesmo eixo correspondente ao formato cilíndrico do filamento, ou seja paralelamente,

5

METODOLOGIA EXPERIMENTAL

7

Figura 1: Variação da corrente elétrica aplicada sobre a lâmpada, com a resistêcia. Note que essa dependência é linear.

Figura 2: Variação da voltagem aplicada sobre a lâmpada, com a resistência.

5

METODOLOGIA EXPERIMENTAL

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||

que será designado por Fz , e a outra medida será feita com a termopilha posicionada perpendicularmente ao eixo do filamento, e esse fluxo será designado por Fz⊥ . Vamos variar a corrente eĺetrica I varias vezes, e para cada variação coletamos uma medida do fluxo. Durante essas medidas anotamos os valores de corrente e voltagem. Para cada dado anotado é obtido diretamente a resistência R a partir da equação R=

V I

(21)

O circuito está montado com dois voltímetros e um amperímetro. O amperímetro está ligado em série com o circuito. Um voltímetro está ligado em paralelo com a lâmpada, e o outro está ligado à termopilha. Este último medirá uma quantidade física que será designada por f , e será medida em milivolts. Para descobrirmos qual é o fluxo Fz a partir disso, utilizemos a propriedade da termopilha em questão, no qual para cada 22mV detectados, está contido nisso 1mW de potência. Essa é uma constante da termopilha, que é designada por s. A razão f /s é a potência, então o que for medido em volts, poderá ser convertido para uma quantidade em Watts. Designarei as medidas paralelas e perpendiculares de f com relação ao filamento por f || e f ⊥ respectivamente. Se uma quantidade f de voltagem ser detectada, a conversão a ser feita para descobrirmos a potência é (s × 10−3 )Pz = (f × 10−3 )(1 × 10−3 ) −→ Pz =

f × 10−3 W. s

(22)

onde Pz é a potência no detector da termopilha. Agora dividindo a equação anterior pela área total do detector temos o fluxo luminoso que é recebido pela mesma. A minúscula placa contida no detector é quadrada, e o tamanho do lado a é de aproximadamente a ≈ 0, 003m, então a área é Az = a2 . Esse valor foi medido com muito cuidado por meio de um paquímetro. Portanto o fluxo é Fz =

Pz f f = × 10−3 = 2 × 10−3 W/m2 Az sAz sa

(23)

Agora, se quisermos saber qual é a potência total que o filamento emite, basta multiplicar a equação anterior pela área total em que o fluxo está se dissipando, que é Ad , equação (13). Isso nos dá P = Ad Fz

(24)

Os resultados dessa equação serão comparados depois com a equação (27). Mas como podemos saber se a termopilha está fazendo medidas corretas, ou seja se ela está calibrada? Para calibrar esse instrumento, podemos usar o Sol como ferramenta. Sabemos com quase exatidão o fluxo luminoso solar sobre a Terra, L F = = 1360, 0W/m2 . (25) 4πS 2 Utilizando a termopilha para medir esse fluxo, foi verificado que ela mede F = 153, 54 W/m2 , que não é o valor real. Logo é necessário então um fator de coreção, para reajustar esse valor ao valor real. Esse fator será designado por η. Então para calcular seu valor, consideramos que o valor real F a ser encontrado é proporcional à η multiplicado pelo fluxo F medido na termopilha, então, F = ηF −→ η =

F 1360, 0 = = 8, 8579 F 153, 54

(26)

portanto esse valor irá corrigir possíveis, mas não todos, erros do fluxo medido pela termopilha da lâmpada.

5.4

Fluxo luminoso Fd

O fluxo luminoso Fd ou a potência Pd emitida pela lâmpada pode ser calculada de outra maneira, e essa maneira vai ser utilizada para comparação a medida feita pela termopilha e para a verificação da lei de Stefan-Boltzmann. Consequêntemente em cima disso, calcularemos a constante de Stefan-Boltzmann e a

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METODOLOGIA EXPERIMENTAL

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constante de Planck. Essa potência é medida através da energia dissipada pela resistência R do filamento da lâmpada. Essa relação é dada pela expressão Pd =

V2 R

(27)

Agora devemos relacionar essa expressão com a equação (12). Não existe um material que seja um emissor perfeito, pois o único objeto que seria um emissor perfeito (e absorsor perfeito) é o corpo negro. Mas como foi afirmado, tal objeto não existe na natureza. O filamento da lâmpada é feito de tungstênio, e tem uma capacidade de emissão característica. Essa propriedade é definida como sendo a emissividade do material, e é designada pela letra . Essa quantidade é adimensional, e varia de 0 a 1. O valor 0 significa que o material não tem capacidade de emitir, e 1 significa que o material é um emissor perfeito, o corpo negro tem  = 1. Com isso, a equação (12) fica corrigida com esse fator, P = AσT 4

(28)

A emissividade também é um fator que depende da temperatura, conforme a temperatura aumenta, esse fator também aumenta dando ao material uma capacidade maior de emitir radiação em comparação a baixas temperaturas, assim  = (T ). Buscando na literatura [5], uma expressão para (T ) do tungstênio é dada por  = 0.02992 − 3, 36979 × 10−5 T + 1, 72838 × 10−7 T 2 − 6, 3862 × 10−11 T 3 + 7, 04804 × 10−15 T 4

(29)

Para o cálculo do fluxo na mesma região onde se encontra a termopilha, basta saber quanta potência inside sobre a área A = 4πd2 que a área de uma esfera que tem como raio a distância até a termopilha d. Então dividindo a equação (27) por A temos o fluxo Fd , Fd =

V2 4πd2 R

(30)

que é o fluxo a uma distância d da fonte.

5.5

Dados e comparação de Fz com Fd e de P com Pd

Sob a variação da corrente elétrica de 0, 05 A, 0,01A e 0,02A, foi obtida a Tabela (3) que está mista sob essas variações. Esta tabela representa as medidas feitas para a termopilha estando posicionada perpendicularmente em relação ao filamento. A coluna k é o número de medidas, a coluna I é a corrente, a coluna V e a voltagem aplicada sob o circuito, e por último, a coluna f ⊥ é a medida para este caso feita em milivolts do multímetro conectado a termopilha. A figura (3) mostra o gráfico da comparação de Fz⊥ com Fd . Note que os resultados divergem muito. Isso ocorre pois estamos tratando a lâmpada como se ela fosse homogênea, sendo que de fato ela não é. Veja também, na Figura (4) a comparação das potências P com Pd . A partir desses gráficos não podemos tratar a lâmpada como sendo homogênea. Mas podemos supor algo. Se observarmos o filamento paralelamente, podemos considerá-lo como sendo uma seção de área, uma minúscula área. Dessa forma ele se torna simétrico no ponto de vista observacional. Portanto podemos considerar dentro de um limite que a radiação se espalha de forma simétrica até atingir a termopilha. Precisamos fazer || novas medidas para a quantidade f que é f || e com isso calcular as potências e fluxos, que agora são Pz e || || Fz , e depois com Pz inferir a potência P que o filamento dissipa, equação (24). Sob variação da corrente elétrica em intervalos de 0, 02A e 0, 05A, foi construída a Tabela (4). Com esses dados vamos fazer os gráficos para fluxos e potências. A Figura (5) mostra a comparação dos fluxos e a Figura (6) a comparação das potências. Os resultados dos últimos dois gráficos são bem satisfatórios. A respeito da homogeneidade da lâmpada, se compararmos as quantidades f ⊥ da Tabela (3) e f || da Tabela (4), observamos que temos uma relação entre essas quantidades. De modo aproximado temos f || ≈ 1/2f ⊥ . O que nos diz que o filamento emite o dobro de radiação se o observarmos perpendicularmente em relação se o observarmos paralelamente.

6

VERIFICANDO A LEI DE STEFAN-BOLTZMANN E σ

10

Figura 3: Os pontos pretos mostram o fluxo Fz⊥ detectado pela termopilha, e os pontos em verde mostram o cálculo do fluxo Fd utilizando a equação (30). O fator η está incluído.

Figura 4: Os pontos pretos mostram a potência P inferida pela termopilha, equação (24), e os pontos em verde mostram o cálculo do da potência Pd utilizando a equação (27). O fator η está incluído.

6

Verificando a Lei de Stefan-Boltzmann e σ

O próximo passo deste trabalho é verificar a lei de Stefan-Boltzmann com todos os dados obtidos até então. Com eles verificamos as medidas de fluxo e potência das duas formas possíveis. Foi definido na equação (17) uma expressão para a dependência de T em relação a R. A resistência do filamento é facilmente calculada pela relação R = V /I, para obtermos T . Também as equações (27) e (28) nos dão uma relação entre a potência P e a temperatura. O porque de escolher a equação (27) em vez da equação (24) se deve ao fato de tentarmos reduzir erros de medidas que poderiam ser causado pelas medições da termopilha. O que queremos descobrir é se o fluxo ou a potência serão proporcionais a quarta potência da temperatura. Vamos designar essa potência por n. Por simplicidade não incluiremos, na expressão (28) a dependência de P em relação a uma constante que é a temperatura To do laboratório, assim temos a expressão Pd = σAT n

(31)

6

VERIFICANDO A LEI DE STEFAN-BOLTZMANN E σ

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||

Figura 5: Em preto temos o fluxo Fz medido paralelamente ao filamento da lâmpada, também está incluído o fator de correção η. Veja que o resultado quase coinside com o valor do fluxo calculado pela equação (30), que são os pontos em verde no gráfico.

Figura 6: Da mesma forma que o fluxo, temos a comparação entre P e Pd . Em preto o que foi inferido pela termopilha P , equação (24), e em verde o que foi medido diretamente pela equação (27), Pd . O fator η está incluído.

6

VERIFICANDO A LEI DE STEFAN-BOLTZMANN E σ

12

Agora A é a área total superficial do filamento de tungstênio e tem um valor aproximado1 . de A = 0.000164m2 Tomando o logaritmo natural da última equação em ambos os lados temos ln(Pd ) = ln(σAT n ) e pela propriedade do logaritmo natural, ln(xy ) = y ln(x),

ln(a ∗ b) = ln(a) + ln(b)

temos ln(Pd ) = ln(σA) + n ln(T ) a quantidade ln(σA) seria constante, mas tem uma pequena variação devido à . Podemos definir esse valor de ξ = ln(σA). Assim é obtido ln(Pd ) = n ln(T ) + ξ (32) Esta última equação é uma equação linear, com deslocamento ξ e coeficiente angular n, onde n pode ser escrito como ln(Pd /eξ ) n= (33) ln(T ) Se plotarmos o gráfico e fizermos uma interpolação, podemos achar o valor de n e ξ. Veja o gráfico abaixo de ln(Pd ) versus ln(T ).

Figura 7: Interpolação da uma curva, em vermelho, sobre os resultados o plot da equação (32), pontos em verde. A interpolação nos deu uma equação do tipo y(x) = 3, 848x − 25, 85

(34)

assim indentificamos ξ = −25, 85 e n = 3, 848. Essa inclinação n que foi encontrada é uma valor que fica fica próximo do verdadeiro valor que é 4. Vamos agora usar ξ para inferir σ. Temos que ξ = −25, 85 = ln(σA) → e−25,85 = σA ou seja σ=

e−25,85 A

(35)

1 A maneira de que foi calculada essa área, foi considerar de que sabemos o valor de σ e o valor do expoente n, portanto P foi usado a expressão A = σT 4 para calcular o valor de A. Isso foi feito devido a dificuldade de se fazer esta medida com o paquímetro.

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MEDINDO A CONSTANTE DE PLANCK

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Nessa última equação o valor de  muda, pois depende da temperatura, Figura (8). Então teremos os valores de σ variando um pouco devido a . A tabela (6) mostra os valores 15 primeiros valores de σ para cada . Conforme a temperatura aumenta, efeitos não lineares começam a surgir, e não temos um valor definido de σ, no experimento.

Figura 8: Variação da emissividade  do tungstênio com a temperatura T . Fazendo um cálculo estatístico de todos os dados encontramos um valor aproximado da constante de Stefan-Boltzmann de σ = 9, 4589(±0, 2237) × 10−8 W m−2 K −4 (36) Este valor está um pouco longe do valor real que é σreal = 5, 670400 × 10−8 W m−2 K −4 . O erro percentual é 68,76% de erro. Podemos agora voltar para a equação (33) e verificar o valor de n a partir desta. Também fazendo um tratamento estatístico, o valor para n encontrado é n = 3, 9295 ± 0, 002

(37)

com um erro percentual de 1,7220%. Discutindo esses dados, fica claro que não é possível obter valores exatos em relação ao que esperávamos, no entanto, o que foi encontrado não diverge tanto assim. Erros se acumulam em cima de erros, tais como de anotações, má medições dos equipamentos, dificuldade de calibração dos mesmos, não linearidade das quantidades. Não se pode afirmar que f seja linear em relação a V no circuíto. Nota-se isso nas figuras (5) e (6). A medida que aumentamos V , as anotações tanto de fluxo como potência na termopilha começam a divergir em relação ao que é medido no próprio circuito.

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Medindo a constante de Planck

Vamos agora partir para a última etapa do experimento, que é medir a constante de Planck h. Para isso, voltamos a equação (11), e isolamos h obtendo r 5 4 3 2π k h= (38) 15c2 σ Usando os dados obtidos e fazendo um tratamento estatístico, o valor de h encontrado é 5, 5877(±0, 04) × 10−34 m2 kg/s.

(39) −34

onde se tem um erro percentual de 15,67% em relação a teoria que é h = 6, 6260 × 10

2

m kg/s

8

CONCLUSÃO

8

Conclusão

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Depois de todas as considerações nas formas de medidas e nos dados obtidos a partir disso, tentou-se mostrar a dependência do fluxo luminoso à quarta potência da temperatura. O resultado mostrou uma boa aproximação, equação (37). Depois desse resultado, foi extraído o valor da constante de Stefan-Boltzmann e como consequência o valor da constante de Planck. Observou-se que os erros desses resultados divergiram mais ainda do que n, mais σ do que h. As possíveis fontes de erro que possam ter gerado essa discrepância são primeiramente os aparelhos imprecisos, pois no caso de se trabalhar com essas duas constantes, elas estão numa ordem de grandeza muito, e muito inferior à ordem de precisão dos aparelhos. Uma leve alteração numa medida feita em n, altera de forma mais brusca o valor dessas duas constantes. É claro, que esses erros ocorrem também no momento da medição, e são provocados por quem está fazendo essa tarefa. Efeitos não lineares entre temperatura, resistência e emissividade também são as possíveis fontes de erro. Essas não linearidades foram consideradas, equações (20) e (29), mas até que ponto elas são validas? Dissipação de energia no meio também é uma forma de perda de dados, e essa dependência foi desconsiderada em (31), Ton . A partir disso a relação T 3,93 ≈ T 3,93 − To3,93 é de certa forma válida. Isso porque, as medidas iniciais de corrente, giraram em torno de I = 1, 6A, onde nesse momento o filamento já se tornava incandecente, implicando em T bem maior que To . Para essa corrente a temperatura é T = 1286, 84K, bem maior que To = 295K. Então, a energia emitida por unidade de tempo, sobre alguma unidade de área, por um dado corpo a uma certa temperatura T é proporcional a quarta potência da temperatura em que ele se encontra.

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Referências Bibliográficas

[1] Cook and Rabinowicz, Physical Measurement and Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, INC, Estados Unidos da América, 1963. [2] Eisberg e Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, ed. 8, editora John Wiley & Sns, INC, Estados Unidos da América, 1974. [3] Mahon, José R. P., Mecânica Quântica - desenvolvimento contemporâneo com aplicações, editora LTC, UERJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2011. [4] Young e Freedman, Física III - Eletromagnetismo, ed. 12, editora Pearson, Estados Unidos da América, 2009. [5] www.if.ufrj.br/ wania/lab1/laboratorio.pdf. Acessado em 17/04/2015. [6] www.cce.ufes.br/jair/web/rot_radterm.pdf. Acessado em 07/04/2015. [7] https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikipédia.

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TABELAS

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Tabelas k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

V 0,0917 0,1811 0,2710 0,3600 0,4520 0,5450 0,6400 0,7370 0,8310 0,9290

r = V /I 0,1834 0,1811 0,1806 0,1800 0,1808 0,1816 0,1829 0,1842 0,1846 0,1858

Tabela 1: Medidas da correte elétrica e da voltagem do circuíto, e logo após, o cálculo da resistência interna r.

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

I 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55

V 0,0181 0,0322 0,0461 0,0641 0,0807 0,0977 0,1189 0,1388 0,1612 0,1842 0,2140

r = V /I 0,3620 0,3220 0,3073 0,3205 0,3224 0,3257 0,3397 0,3470 0,3582 0,3684 0,3891

Tabela 2: Medidas da correte elétrica e da voltagem do circuíto, e logo após, o cálculo da resistência interna r.

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TABELAS

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k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

I [A] 1,65 1,66 1,7 1,7 1,74 1,75 1,78 1,8 1,82 1,85 1,86 1,9 1,9 1,94 1,95 1,98 2 2 2,02 2,04 2,05 2,06 2,08 2,1 2,1 2,12 2,14 2,15 2,16 2,18 2,2 2,2 2,22 2,24 2,25 2,26 2,28 2,3 2,3 2,32

V [V] 3,76 3,81 4,02 4,0 4,22 4,28 4,38 4,5 4,59 4,76 4,83 5,0 5,03 5,21 5,29 5,45 5,6 5,57 5,66 5,78 5,86 5,89 6,01 6,1 6,15 6,23 6,37 6,44 6,47 6,58 6,69 6,68 6,81 6,92 7,03 7,04 7,19 7,31 7,29 7,44

f ⊥ [mV] 1,98 1,7 2,2 1,93 2,1 2,49 2,38 2,7 2,58 3,07 2,8 3,0 3,38 3,3 3,6 3,68 4 3,8 3,9 4,1 4,4 4,25 4,4 4,58 4,8 4,7 4,9 5,1 5 5,2 5,35 5,4 5,6 5,71 5,98 5,9 6,1 6,35 6,3 6,43

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

2,34 2,35 2,36 2,38 2,4 2,4 2,42 2,44 2,45 2,46 2,48 2,5 2,5 2,52 2,54 2,55 2,56 2,58 2,6 2,6 2,62 2,64 2,65 2,66 2,68 2,7 2,7 2,71 2,72 2,73 2,74 2,75 2,75 2,76 2,77 2,78 2,79 2,8 2,8 2,81

7,54 7,63 7,71 7,83 7,93 7,94 8,04 8,19 8,27 8,29 8,47 8,56 8,57 8,68 8,83 8,89 8,95 9,11 9,25 9,28 9,37 9,55 9,62 9,65 9,78 9,93 9,93 10 10,05 10,15 10,2 10,27 10,26 10,36 10,42 10,53 10,6 10,62 10,68 10,69

6,65 6,88 6,92 7,17 7,3 7,3 7,48 7,72 7,89 7,88 8,1 8,389 8,3 8,5 8,8 8,9 8,98 9,2 9,5 9,57 9,72 10,02 10,18 10,2 10,45 10,75 10,9 10,82 10,95 11,15 11,25 11,3 11,34 11,5 11,6 11,8 11,96 12,05 12,1 12,15

Tabela 3: Dados obtidos da corrente I e voltagem V do circuito aplicado a lâmpada de tungstênio, e da quantidade f captado pela termopilha provindo da lâmpada.

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TABELAS

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k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

I [A] 1,6 1,6 1,62 1,64 1,65 1,66 1,68 1,7 1,7 1,72 1,74 1,75 1,76 1,78 1,8 1,8 1,82 1,84 1,85 1,86 1,88 1,9 1,9 1,92 1,94 1,95 1,96 1,98 2,0 2,0 2,02 2,04 2,05 2,06 2,08 2,1 2,1 2,12 2,14 2,15 2,16 2,18 2,2 2,2 2,22

V [V] 3,52 3,54 3,6 3,68 3,79 3,81 3,9 3,98 4,0 4,1 4,18 4,24 4,29 4,39 4,49 4,48 4,61 4,69 4,78 4,82 4,92 4,99 5,0 5,14 5,21 5,29 5,35 5,45 5,56 5,55 5,66 5,79 5,83 5,88 6,01 6,12 6,12 6,2 6,32 6,42 6,45 6,58 6,67 6,7 6,79

f || [mV] 0,8 0,9 0,9 0,98 1,0 1,05 1,1 1,18 1,1 1,22 1,29 1,2 1,35 1,39 1,45 1,3 1,5 1,57 1,4 1,6 1,68 1,74 1,6 1,79 1,85 1,8 1,9 1,97 2,04 1,9 2,1 2,18 2,1 2,23 2,3 2,4 2,3 2,48 2,54 2,5 2,61 2,7 2,79 2,6 2,85

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

2,24 2,25 2,26 2,28 2,3 2,3 2,32 2,34 2,35 2,36 2,38 2,4 2,4 2,42 2,44 2,45 2,46 2,48 2,5 2,5 2,52 2,54 2,55 2,56 2,58 2,6 2,6 2,62 2,64 2,65 2,66 2,68 2,7 2,7 2,72 2,74 2,75 2,76 2,78 2,8 2,8 2,82 2,84 2,86 2,88

6,92 7,0 7,03 7,17 7,29 7,31 7,42 7,55 7,62 7,64 7,79 7,89 7,89 8,01 8,19 8,27 8,32 8,44 8,53 8,56 8,71 8,81 8,89 8,96 9,08 9,23 9,27 9,35 9,5 9,58 9,67 9,81 9,93 9,94 10,07 10,22 10,27 10,32 10,45 10,64 10,67 10,79 10,89 11,1 11,24

2,91 2,8 3,01 3,1 3,2 3,1 3,3 3,38 3,3 3,44 3,5 3,6 3,5 3,76 3,82 3,8 3,91 4,05 4,12 4,0 4,22 4,3 4,3 4,4 4,55 4,67 4,6 4,78 4,9 4,8 5,03 5,15 5,26 5,1 5,38 5,51 5,4 5,63 5,72 5,84 5,8 5,95 6,05 6,2 6,35

Tabela 4: Dados obtidos da corrente I e voltagem V do circuito aplicado a lâmpada de tungstênio, e da quantidade f || em milivotls captado pela termopilha provindo da lâmpada.

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TABELAS

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k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

σ [W m−2 K −4 ] 8,8017×10−8 8,9148×10−8 8,7824×10−8 8,7589×10−8 9,1203×10−8 8,9950 ×10−8 9,0094 ×10−8 8,9677 ×10−8 9,0692 ×10−8 9,1216 ×10−8 9,0696 ×10−8 9,1390 ×10−8 9,1582 ×10−8 9,1919 ×10−8 9,2198 ×10−8

 0,1560 0,1570 0,1576 0,1592 0,1630 0,1630 0,1648 0,1662 0,1671 0,1691 0,1706 0,1721 0,1731 0,1751 0,1771

Tabela 5: Relação entre a constante de Stefan-Boltzmann e a emissividade do tungstênio.

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

h [m2 kg/s] 5,7227 ×10−34 5,6984 ×10−34 5,7269 ×10−34 5,7320 ×10−34 5,6553 ×10−34 5,6814 ×10−34 5,6784 ×10−34 5,6872 ×10−34 5,6660 ×10−34 5,6550 ×10−34 5,6658 ×10−34 5,6514 ×10−34 5,6475 ×10−34 5,6405 ×10−34 5,6349 ×10−34

 0,1560 0,1569 0,1576 0,1592 0,1630 0,1629 0,16483 0,1662 0,1671 0,1693 0,1706 0,1721 0,1731 0,1751 0,1771

Tabela 6: Relação entre a constante de Stefan-Boltzmann e a emissividade do tungstênio.