Simulação do Resfriamento de Chapas de Aço em Laminação Controlada

Matéria, Vol 9, Nº 1 (2004) 43 - 54

http://www.materia.coppe.ufrj.br/sarra/artigos/artigo10306

Simulação do Resfriamento de Chapas de Aço em Laminação Controlada Sanderson L. G. de Oliveira, Jorge C. Araújo, Ivan N. Bastos, João Flávio V. de Vasconcellos e Antônio J. Silva Neto Instituto Politécnico, UERJ, Caixa Postal 97282, CEP 28601-970, Nova Friburgo RJ Brasil. RESUMO Neste trabalho é desenvolvida uma solução analítica do resfriamento forçado de uma chapa de aço a diferentes velocidades de laminação. A solução da equação diferencial governante da transferência de calor foi obtida usando o método da variação dos parâmetros, adaptada às condições de contorno de laminação controlada. A solução numérica foi desenvolvida por diferenças finitas, com diferenças centradas para a derivada segunda e diferenças atrasadas para a derivada primeira para a situação de regime permanente. Os resultados obtidos dos dois procedimentos foram comparados entre si, com ótima concordância. Esta formulação pode, em princípio, ser empregado no monitoramento de temperatura durante o processamento de laminação controlada de aços. Palavras-Chaves: simulação de resfriamento, laminação controlada, solução analítica, solução numérica.

ABSTRACT In this work an analytical solution of forced cooling of a steel plate at different rolling speeds was obtained. A solution of the governing differential equations of heat transfer employed the method of parameter variations, adapted to control rolling boundary conditions. The numerical solution was obtained by finite differences, with centered differences for the second derivative and backward differences for the first derivative for steady state situation. The results obtained from both procedures were compared, and good agreement was attained. This procedure may be, at first, be employed in the monitoring of temperature during the controlled rolling process of steels. Key Words: cooling simulation, controlled rolling, analytical solution, numerical solution.

1

INTRODUÇÃO

Durante a fabricação e o processamento dos aços, o controle estrito da temperatura exerce um papel fundamental na garantia das propriedades destes materiais. Os desempenhos mecânico, elétrico, magnético, de resistência à corrosão, dentre outras propriedades, são afetados por este controle, pois a microestrutura depende fortemente das condições termocinéticas existentes durante o processamento. Em geral os resfriamentos forçados de aço objetivam a formação de martensita [1], a precipitação ou não de fases [2], e assegurar propriedades mecânicas satisfatórias. Em aços submetidos à laminação controlada a predição local da temperatura a cada região da placa, torna-se primordial na obtenção da microestrutura desejada [3,4,5]. A solução das equações de transferência de calor governantes envolve a resolução de equações diferenciais [6, 8] adaptada ao caso real. Atualmente, pela facilidade de se empregar soluções numéricas, poucos pesquisadores são motivados a desenvolver a Solução Analítica (SA), que em geral requer um conhecimento mais aprofundado de métodos matemáticos e conseqüentemente demandam mais esforço. Ainda assim, quando é possível encontrá-la, deve-se buscá-la, pois, a solução analítica geralmente descreve melhor o problema. O resultado final pode até mesmo ser simples, o que a torna ainda mais atraente e utilizável. Desta forma, neste trabalho é desenvolvida uma solução analítica da equação diferencial ordinária de transferência de calor por condução e convecção. O resultado analítico para as condições semelhantes à de laminação controlada é comparada com uma Solução Numérica (SN). Os métodos foram aplicados para obtenção das temperaturas para o problema de condução de calor, em regime permanente, em uma placa unidimensional sem geração de energia e com condições de contorno de 1º (Dirichlet) e 2º (Neumann) tipos [6]

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d 2T ( x ) 2h u dT ( x ) − [T ( x ) − T∞ ] = ,0 < x < L 2 dx kt α dx

(1)

T ( x) | x =0 = T0

(2)

dT ( x) = 0, x = L dx

(3)

Os símbolos empregados nas Eqs. 1-3 são descritos na Tabela 1. Na Fig. 1 pode-se observar uma representação esquemática do problema que está sendo resolvido neste trabalho.

2

MATERIAIS E MÉTODOS

A resolução proposta considerou as condições de contorno existentes para uma placa de aço-carbono sob laminação sujeita à troca térmica pelos mecanismos de convecção e condução, quando submetido a um resfriamento forçado de uma cortina d’água com comprimento de 0,7 m. Embora uma chapa real seja contínua, considerou-se aqui que ao final de 6m a temperatura alvo para qualquer velocidade de laminação deveria ser obtida. Na Tabela 1 estão apresentados os parâmetros adotados nas soluções numérica e analítica. Tabela 1 – Valores dos Parâmetros Empregados na Simulação Parâmetros do Processo Comprimento da chapa, L Temperatura ambiente,

Valores 6m 35oC, 308 K

T∞ Temperatura em

1100oC, 1373 K

x = 0, T0 Condutividade térmica,

63,9 W/mK

k Espessura da chapa, t Difusividade térmica,

α

Coeficiente de troca térmica, h1 Coeficiente de troca térmica, h2 Coeficiente de troca térmica, h3 Velocidade de laminação, u Posição dos resfriadores, l1 e l2

0,01 m 18,8.10-6 m2/s 100 W/m2K 2500 W/m2K 25 W/m2K 0; 0,036; 0,1; 0,36; 0,50; 1,0; 3,6; 5,0m/s 0,3 e 1,0 m

Os teoremas matemáticos utilizados na a obtenção da solução analítica da equação diferencial governante do problema estão referenciados ao longo do desenvolvimento. A solução numérica foi implementada na linguagem de programação C++, empregando o método de diferenças finitas.

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3

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA E SOLUÇÕES ANALÍTICA E NUMÉRICA

3.1

Desenvolvimento Analítico da Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem Não-Homogênea As Eqs. 1 a 3 formam um problema de valor inicial [7]. A Eq. 1 pode ser escrita conforme a Eq. 4

y' ' -

u

α

y '−

2h 2h y = − T∞ , onde y = T(x) kt kt

(4)

Sendo a Eq. 4 uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes, pode-se escrever uma equação característica para encontrar as raízes linearmente independentes associadas à Eq. 5

ay ' '+by '+ cy = 0

(5)

Onde

a = 1, b = −

u

α

, c=−

2h = −3,13h , conforme Tabela 1. kt

(6a, b, c)

As raízes da equação homogênea são dadas por

u u u 2 2 + ( )2 + 4 * h − ( )2 + 4 * h α α kt e r = α kt r1 = α 2 2 2 u

(7a, b)

A Eq. 1 pode ser transformada em uma equação homogênea empregando

θ = T − T∞ ∴

d 2T d 2θ dT dθ = 2 e = 2 dx dx dx dx

(8a, b, c)

No entanto, a solução analítica foi desenvolvida diretamente, conforme demonstração a seguir. Desta forma, obtém-se

y1 ( x) = c1e r1 x

(9a)

y 2 ( x) = c 2 e r2 x

(9b)

y ( x) = c1e r1x + c 2 e r2 x + y p ( x)

(10)

Onde y (x) é a solução geral da Eq. 1. Pelo teorema a seguir, encontra-se y p (x ) : Seja y p (x ) uma solução particular de uma equação diferencial

y1 ( x) e y 2 ( x) soluções linearmente independentes da equação homogênea associada, então toda solução de uma EDONH é da forma y ( x ) = c1 y1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) + y p ( x ) [7]. De fato, ordinária não homogênea (EDONH) e sejam

y ( x) − y p ( x ) = c1 y1 ( x ) + c 2 y 2 ( x) é solução da equação diferencial ordinária homogênea e y(x) é solução da EDONH. Para encontrar y p (x ) foi utilizado o método da variação dos parâmetros [7]

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y p (x) = - y1 (x)∫ Onde,

b( x ) =

b(x)y 2 ( x) b(x)y1 ( x) dx +y 2 (x)∫ dx W ( y1 , y 2 ) W ( y1 , y 2 )

(11)

W ( y1 , y 2 ) é o Wronskiano de y1 e y 2 e

2T∞ h = −109,546h kt

(12)

Devido à solução geral de uma equação diferencial ordinária ser feita da combinação linear das suas soluções, o

W ( y1 , y 2 ) será sempre diferente de 0 (zero) [7] W ( y1 , y 2 ) = c1c 2 r2 e ( r1 + r2 ) x − c1c 2 r1e ( r1 + r2 ) x = c1c 2 e ( r1 + r2 ) x (r2 − r1 )

(13)

Substituindo as Eqs. 12 e 13 na Eq. 11,tem-se:

2T∞ 2T∞ h h r1 x − r1 x r2 x − r2 x e e e e 1 1 y p (x) = kt (− + ) = kt ( − ) r2 − r1 r1 r2 r2 − r1 r2 r1

(14)

Substituindo a Eq. 14 na Eq. 10, obtemos a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem nãohomogênea

y ( x) = c1e r1 x + c 2 e r2 x + κ

(15)

Onde:

2T∞ h 1 1 kt κ= ( − ) r2 − r1 r2 r1

(16)

A Eq. 15 fornece uma família de soluções para a equação original, porém o que interessa é a solução particular, dada pelas condições de contorno dadas pelas Eqs. 2 e 3 que constituem uma função escada (vide Eq. 17). Assim, não é possível resolvê-las aplicando as condições de contorno dada pela Eq. 15. { 100 W/m2K para 0 < x ≤ l1 h(x) = { 2500 W/m2K para l1 < x < l2 { 25 W/m2K para l2 ≤ x ≤ L

(17)

Portanto, devem-se encontrar as constantes c1 e c2 para cada uma das três regiões. Então, têm-se 6 constantes a serem determinadas, que serão as incógnitas de um sistema linear determinado. Para simplificar a notação, chama-se a função da região anterior à zona de resfriamento como TI(x), para a zona de resfriamento como TII(x) e a região após a zona de resfriamento como TIII(x) rI x

I

TI (x) = c1I e 1 + c I2 e r2 x + κ I r II x

TII (x) = c1II e 1

II

+ c II2 e r2 x + κ II

(18a)

(18b)

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Matéria, 9, 1 (2004) Sanderson L. G. de Oliveira, Jorge C. Araújo, Ivan N. Bastos, João Flávio V. de Vasconcellos e Antônio J. Silva Neto r III x

III

+ c III e r2 x + κ III 2

TIII (x) = c1III e 1

(18c)

Os parâmetros κ (Eq. 16),

r1 (Eq. 7a) e r2 (Eq. 7b) dependem de h, e este assume um valor diferente em cada uma I I das três regiões. Para a generalização do problema tem-se então κ I , r1 , r2 que se referem à região anterior à zona de II II III III resfriamento; κ II , r1 , r2 referentes à zona de resfriamento; e κ III , r1 , r2 referentes à região após à zona de resfriamento. Logo, as incógnitas são c1 , c 2 , c1 , c 2 , c1 , c 2 . A primeira equação é obtida usando a Eq.(18 a) com a condição de contorno da Eq. 2. I

I

II

II

III

III

c1I + c 2I = T0 − κ I

(19)

Onde a constante κi é dada pela Eq.16 trocando-se h por hi. A segunda equação é dada pela continuidade de temperaturas, isto é, a temperatura no nó l1 da região anterior à zona de resfriamento (vide Fig. 1) deve ser igual à temperatura no nó l1 da zona de resfriamento. Das Eqs. 18a-b, tem-se I

I

TI (l1 ) = c1I e r1 l1 + c 2I e r2l1 + κ I II

(20)

II

TII (l1 ) = c1II e r1 l1 + c 2II e r2 l1 + κ II

(21)

Igualando as Eqs. 20 e 21, obtém-se I

I

II

II

c1I e r1 l1 + c 2I e r2l1 - c1II e r1 l1 + c 2II e r2 l1 = κ II − κ I

(22)

A terceira equação também é dada pela condição de continuidade de temperaturas, isto é, a temperatura no nó l2 da zona de resfriamento (vide Fig. 1) deve ser igual à temperatura no nó l2 da região após a zona de resfriamento. Da Eq. 18c, tem-se III

T III (l 2 ) = c 1III e r1

l2

III

+ c 2III e r2

+κ

l2

III

(23)

Igualando as Eqs. 21 e 23, tem-se II

II

III

c1II e r1 l1 + c 2II e r2 l1 - c1III e r1

l2

III

− c 2III e r2 l2 = κ III − κ II

(24)

A quarta equação é dada pela condição de contorno fornecida pela Eq. 3. Empregando a Eq. 18c, III III r1III L III III r2III L dTIII ( L) = 0 , ou c1 r1 e + c 2 r2 e = 0 dx

(25)

A quinta equação é dada pela continuidade do fluxo de calor, fornecida pela lei de Fourier [6], aplicada no nó l1

−k

dTI (l1 ) dT (l ) = − k II 1 dx dx

(26)

A constante k da Eq. 26 é a constante de proporcionalidade [6], isto é, a condutividade térmica. Derivando as Eqs. 20e 21 em função de x e substituindo-se na Eq. 26, obtém-se I

I

II

II

c1I r1I e r1 l1 + c 2I r2I e r2l1 − c1II r1II e r1 l1 − c 2II r2II e r2 l1 = 0

(27) 47

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A sexta e última equação também é dada pela condição de continuidade do fluxo de calor, fornecida pela lei de Fourier [6], agora aplicada no nó l2 II

II

III

c1II r1II e r1 l2 + c 2II r2II e r2 l2 − c1III r1III e r1

l2

III

− c 2III r2III e r2 l2 = 0

(28)

O conjunto das Eqs. 19, 22, 24, 25, 27 e 28 formam um sistema linear determinado, com seis equações e seis incógnitas, pois o conjunto das linhas da matriz desse sistema é linearmente independente [7]. Levando as Eqs. 7a-b na Eq. 16, obtém-se após algumas manipulações algébricas

κ=

8T∞ ( ktb 2 + 8) = T∞ 8ktb 2 + 64

(29)

Desse modo foram encontradas as três soluções dadas pelas Eqs. (18a-c), cada uma representando uma das seguintes regiões: zona de resfriamento e as regiões anterior e posterior. 3.2

Condição de Convergência

Uma solução numérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solução foi validada comparando-a com a solução analítica. O método numérico escolhido foi por diferenças finitas [6]. Existem diversas aproximações das derivadas por diferenças finitas, como, por exemplo, pode-se escolher diferenças centradas, com ordem de erro de aproximação O(∆x)2, ainda diferenças atrasadas e diferenças avançadas, com ordem de erro de aproximação O(∆x) (∆x é a distância entre dois nós da malha computacional empregada na discretização do domínio físico). Optou-se inicialmente por escolher diferenças centradas, tanto para a derivada primeira, quanto para a derivada segunda. Isto faz com que resulte no seguinte conjunto de equações:

ATi +1 + BTi + CTi −1 = D,1 ≤ i ≤ L − 1

(30a)

Onde L é o número de nós da malha computacional, Ti é a temperatura nestes nós, e

A=

2hT∞ u 1 2 2h 1 u B C D , , − = + = − − , = kt 2α∆x (∆x) 2 (∆x) 2 kt (∆x) 2 2α∆x

(30b, c, d, e)

Onde B é o elemento da diagonal principal e A e C são os elementos fora da diagonal principal, na mesma linha de B . Utilizando-se a condição de contorno fornecida pela Eq. 2, obtém-se

( A + C )TL +1 + BTL = D

(30f)

Obtendo-se um sistema linear tridiagonal L x L . Para que o sistema linear tenha uma solução iterativa, ou seja, ao se obter uma matriz de coeficientes de um sistema linear determinado do tipo tridiagonal [6], para que o sistema convirja, deve-se usar o critério de Scarborough, que estipula a seguinte condição suficiente para a convergência do método de Gauss-Seidel [8]

| Anb | ≤1 e p |

∑|A

| Anb | ∑ | Anb | para os nós interiores (pela própria definição destes números) e na linha L-1, |B+C| > |A|.

Logo, o sistema linear é determinado e incondicionalmente estável (convergente) pelo critério de Scarborough [8]. 3.4

Resultados

As soluções implementadas consideram uma chapa submetida a um resfriamento forçado como apresentado na Fig. 1 para oito velocidades de laminação 0,0; 0,036; 0,1; 0,36; 0,5; 1,0; 3,6 e 5,0 (m/s). Para cada velocidade de laminação, é apresentada a comparação dos resultados da solução analítica com a numérica. Na Fig. 2, observa-se que as menores velocidades de laminação apresentam maior decaimento da temperatura (u = 0,0; 0,036 m/s) e assim por diante. As soluções representando o decaimento das temperaturas para as soluções analítica e numérica, para uma mesma velocidade, estão, ou muito próximas, ou superpostas quando a diferença entre ambas é muito pequena.

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Figura 1 – Esquema da chapa num processo de laminação submetido a um resfriamento forçado As soluções foram testadas e comparadas com uma discretização de 70 nós na malha computacional, sendo 40 nós na região anterior à zona de resfriamento, 20 nós na zona de resfriamento e 10 nós na região posterior à zona de resfriamento. Como esperado, com uma discretização maior, obtém-se aproximações melhores. Por exemplo, com discretização de 1000 nós para cada uma das três regiões, o erro absoluto ficou muito próximo a 0 (zero), isto é, 10-8. Testes para h (coeficiente de troca térmica) constante deram erro absoluto também próximo a 0 (zero), mesmo com a discretização grosseira de 70 nós. Testes com diferentes temperaturas ambientes (T∞=25oC, 20oC, 5oC) apresentaram os mesmos desempenhos. Isto pode ser mais bem observado para a velocidade de laminação (u=0,0 m/s), pois as temperaturas decaem para T∞. Observa-se na Fig. 2 que quanto maior a velocidade de laminação mais próximas são as temperaturas obtidas com a solução analítica e com o método numérico. Quando a velocidade de laminação é lenta, a região após a Zona de Resfriamento é a que apresenta maior diferença de temperaturas entre a solução analítica com o método numérico. Mesmo assim, as diferenças não ultrapassam 19o C, o que pode ser considerado desprezível para aplicações de controle em laminação. Os resultados da Fig. 2 encontram apoio nas seguintes propriedades matemáticas. Se multiplicarmos a Equação por α obteremos (após troca de notação da Eq. 4) αy’’ – 2hα (y – t) = uy’

(48)

Fazendo α = 18,8 x 10 –6 m2K ≈ 0 , obteremos uma simplificação da equação acima uy’ = 0

(49) Cuja solução, considerando–se as condições de contorno dadas pelas Eqs. 1 e 2 resultam em

y(x) = T0 (ºC)

(50)

Esta solução matemática limite parece se ajustar parcialmente ao problema físico com as considerações anteriormente feitas, pois um material com valor de difusibilidade térmica igual a zero, significa que a capacidade de armazenamento térmico é elevada enquanto a condutividade térmica é baixa. Deste modo, as temperaturas da chapa no domínio físico em questão, responderiam de forma lenta (ao equilíbrio de temperatura) às mudanças nas condições térmicas que o problema impõe. Este fato parece sugerir a temperatura constante de T0 como uma solução adequada para o problema proposto quando a velocidade é elevada (por exemplo, u >5,0 m/s). Embora a velocidade de resfriamento (dT/dt) nó a nó da chapa não tenha sido apresentada ela pode ser facilmente obtida de ambas as soluções apresentadas. Esta velocidade tem grande interesse, pois permite avaliar as reações metalúrgicas no estado sólido decorrentes do resfriamento, que determinam a microestrutura final do aço. Além disto, tendo

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sido validada a consistência física da solução, a adaptação para valores de parâmetros operacionais torna-se uma tarefa corriqueira.

1200

5,0 m/s

1,0 m/s 0,5 m/s 0,36 m/s

o

Temperatura ( C)

1000

3,6 m/s

800 600 400

0,10 m/s

200 0

0,036 m/s 0,00 m/s 0

1

2

3

4

5

6

Espaçamento (m), - analítica, - numérica Figura 2 – Soluções analítica (SA – curva contínua) e numérica (SN – curva tracejada) com diferentes velocidades (em m/s) de laminação

3.4.1

Discussão sobre o efeito das velocidades de laminação

Para a velocidade de laminação u=0,0 m/s, pode-se visualizar que as soluções analítica e numérica, a partir da zona de resfriamento, tiveram respostas iguais para as temperaturas nos nós da malha computacional. Esse fato pode ser justificado pelo efeito elíptico da difusão, isto é, as temperaturas nos extremos do domínio físico do problema contribuíram igualmente para o perfil das temperaturas na malha computacional. Para a velocidade limite de u=0,0, as temperaturas caem para T∞=35oC já ao final da região anterior à zona de resfriamento. A Tabela 2 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença não ultrapassa 16oC, para u=0,036 m/s, 22oC para u=0,1 m/s, 10oC para u=0,36 m/s, 4oC para u =1,0 m/s, 1,1oC para u=3,6 m/s. Na velocidade de laminação u=0,5 m/s, observa-se que as temperaturas dominantes (T0) refletem a condução de calor da temperatura fixa da região após a zona de resfriamento. Mesmo a velocidade u=0,5 m/s pode ser considerada elevada para o problema em questão, pois os 6 metros da chapa são percorridos em menos de 10 segundos. Neste caso, o efeito difusivo da temperatura na lâmina no nó extremo x=6,0m não é transmitido de forma intensa no sentido oposto à velocidade u. A Tabela 2 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a maior diferença para a velocidade u=0,5 m/s fica em 7,14oC. As observações da seção 3.4.5 estão de acordo com os resultados obtidos para os testes da velocidade de laminação u=5,0 m/s. Para esta velocidade, as soluções analítica e numérica tiveram resultados com uma diferença máxima menor que 1ºC na região após a zona de resfriamento. Na Fig. 2 é possível notar que com o aumento da velocidade de laminação, o efeito térmico do resfriamento (mesmo com um coeficiente de troca térmica elevado h2) na lâmina foi reduzido. Isto é, os valores de temperaturas caem menos. A Tabela 8 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença é de 0,74oC.

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Tabela 2: Comparação entre soluções analítica e numérica para oito velocidades de laminação nó extremo da região (m/s) anterior à zona de resfriamento (0,3m) ,0

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m) anterior à zona de resfriamento (0,3m)

,036

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m) anterior à zona de resfriamento (0,3m)

,1

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m) anterior à zona de resfriamento (0,3m)

,36

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m) anterior à zona de resfriamento (0,3m)

,5

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m) anterior à zona de resfriamento (0,3m)

,0

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m) anterior à zona de resfriamento (0,3m)

,6

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m) anterior à zona de resfriamento (0,3m)

,0

final da zona de resfriamento (1,0m) final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)

4

so lução analítica 40 ,3oC 35 o C 35 o C 10 49oC 10 2,23oC 83 ,59oC 10 81,4oC 42 8,41oC 38 4,81oC 10 94,8oC 84 2,61oC 81 6,64oC 10 96,24oC 90 7,66oC 88 7,36oC 10 98,1oC 99 9,04oC 98 7,76oC 10 99,5oC 10 70,93oC 10 67,56oC 10 99,6oC 10 78,98oC 10 76,56oC

so lução numérica 3 6,3oC 3 5oC 3 5oC 1 049,8oC 1 13,2oC 9 8,9oC 1 080,1oC 4 34,9oC 4 06,6oC 1 094,7 oC 8 42,5oC 8 26,2oC 1 085,4 oC 9 07,2oC 8 94,5oC 1 098,1 oC 9 98,6oC 9 91,5oC 1 099,5 oC 1 070,7oC 1 068,6oC 1 099,6 oC 1 078,9oC 1 077,3oC

diferença analítica numérica 4oC 0oC 0oC -0,8oC -10,97oC -15,31oC 1,3oC -6,49oC -21,79oC 0,1oC 0,11oC -9,56oC 10,84oC 0,46oC -7,14oC 0,0oC 0,44oC -3,74oC 0,0oC 0,23oC 1,04oC 0,0oC 0,08oC -0,74oC

CONCLUSÕES

Foi desenvolvida uma solução analítica da transferência de calor sob condições de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica sob regime permanente. A solução analítica para o problema proposto foi resolvida pelo método 53

Matéria, 9, 1 (2004) Sanderson L. G. de Oliveira, Jorge C. Araújo, Ivan N. Bastos, João Flávio V. de Vasconcellos e Antônio J. Silva Neto

da variação dos parâmetros. Uma solução numérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solução foi validada comparando-a com a solução analítica. O método numérico escolhido foi por diferenças finitas. No caso da velocidade de laminação u=0,0 m/s, as soluções analítica e numérica tiveram resultados praticamente idênticos em toda a malha computacional. Entretanto, com a velocidade u=0,36 m/s os algoritmos descreveram temperaturas com uma diferença inferior a 10oC (temperaturas desta ordem de grandeza podem ser consideradas negligenciáveis para o processo de laminação). Mesmo para uma discretização grosseira com 70 nós e com L=6 m, isto com relação às temperaturas da solução analítica no nó central da chapa, mostrando ser uma solução robusta para tratar o problema. Desde modo, estes resultados podem ser empregados no monitoramento da temperatura do processo de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica permitindo inferir as transformações de fases dependentes do ciclo térmico. 5

AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq e à FAPERJ pelo apoio financeiro.

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REFERÊNCIAS

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