Sucessões de números naturais que permitem determinar algumas das incertezas numéricas de raízes quadradas de números naturais por operações do tipo √a/n*n, com a,n∈N

Sucessões de números naturais que permitem determinar algumas das incertezas numéricas de raízes quadradas de números naturais por operações do tipo

√𝒂 𝒏, 𝒏

com 𝒂, 𝒏 ∈ 𝑵 Pereira, F.1 & Rodrigues, A.F.2 2-Departamento de Ciências Agrárias-Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo

Resumo Este trabalho de investigação em matemática baseia-se na definição de incerteza numérica de Rodrigues & Martins (2014) e tem um caracter totalmente teórico. Procurou-se encontrar regras que permitissem quantificar e comparar as incertezas numéricas de raízes quadradas de números naturais, usando como critérios de incerteza o desvio padrão de uma distribuição estatística de uma população de resultados de cálculos do tipo

√𝑎𝑖 𝑏𝑗

𝑏𝑗 com 𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 e j a variar também de 1 a

1000. O tratamento empírico de dados permitiu-nos encontrar um bom conjunto de regras que foram sintetizadas sob a forma de sucessões de números naturais, sem que se tenham inventariado todas as regras subjacentes às incertezas algébricas das raízes quadradas de números naturais.

Palavras-Chave: Incerteza Numérica, Radiciação, Desvio Padrão, Incerteza Quântica, Sucessões de Números Naturais.

1-Introdução

As raízes quadradas de números naturais, do tipo √𝑛, são números reais algébricos irracionais na maioria dos casos. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é considerado um número algébrico. Assim sendo pretende-se abordar neste trabalho a incerteza numérica ou algébrica que se associa a uma distribuição de resultados do tipo

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√𝑎𝑖 𝑏𝑗

𝑏𝑗 que na teoria resultaria sempre no valor real de √𝑛 por trabalharmos aqui apenas

com raízes quadradas de números naturais. Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind introduziu na aritmética, usando um formalismo rigoroso, os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos (Hazewinkel, 2001). Assim sendo, e de acordo com esse matemático um número irracional não se pode expressar como o quociente de dois números inteiros, o que quer dizer que são irracionais números como √2, √3, √5……√𝑛, com n natural e diferente de um quadrado perfeito. Um problema não solucionado na época de Pitágoras era a determinação das relações entre os lados de um triângulo retângulo. Perante tal problema, Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos era igual ao quadrado da hipotenusa (Kahn, 2007). O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras a um triângulo cujos catetos mediam uma unidade. A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais (Kahn, 2007). Na matemática, particularmente na ciência da computação teórica e na lógica matemática, os números computáveis, também conhecidos como números recursivos ou reais computáveis, são os números reais que podem ser calculados com qualquer precisão desejada, por um algoritmo finito, produzindo um número finito. Definições equivalentes podem ser dadas recorrendo a funções μ-recursivas, máquinas de Turing ou ao cálculo-λ como representação formal de algoritmos. Os números computáveis formam um campo real fechado e podem ser usados em matemática no lugar de números reais para a resolução de alguns problemas específicos (Bishop & Bridges, 1985). Ora a lógica deste trabalho prende-se exatamente com a aproximação realizada na produção de um número real, por algoritmos, quer estes estejam associados ao desempenho de uma máquina quer ao desempenho ou à limitação de memória de um indivíduo, e que limita a precisão do número real, precisão essa que depende, tal como Rodrigues & Martins (2014) afirmam, da trajetória de cálculo. Um número real a é computável se poder ser aproximado por uma função computável do seguinte modo:

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Dado qualquer inteiro n≥1, a função computável produz um inteiro k tal que:(

𝑘−1 𝑛

)≤

𝑘+1

𝑎≤(

𝑛

) (Bishop & Bridges, 1985).

Enquanto o conjunto de números reais é incontável, o conjunto de números computáveis é apenas contável e por conseguinte quase todos os números reais são não-computáveis (Bishop & Bridges, 1985). O trabalho que aqui se apresenta bebe um pouco dessa problemática, mas centra-se essencialmente em torno da questão do que é um número exato. Apesar da raiz quadrada de 2, ser uma dízima infinita não periódica, o número √2 é considerado um número exato. Tentaremos provar ao longo deste trabalho que mesmo √2, com os pressupostos que esta notação assume, não é um número exato.

2- Metodologia

Para avaliar a incerteza numérica associada às raízes quadradas de números naturais, teoricamente equivalentes a números irracionais, assumiu-se que essa incerteza seria função do desvio padrão da distribuição estatística de uma sucessão de resultados do tipo

√𝑎𝑖 𝑏𝑗

𝑏𝑗 , com 𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 e j também a variar de 1 a 1000.

Apesar do desvio padrão variar com a dimensão da amostra, as amostras utilizadas são suficientemente grandes para as aceitarmos como representativas da população dos resultados das distribuições de números como √1, √2, √3, √4, √6, √8…..√𝑛. O desvio padrão a que nos referimos é uma medida do grau de dispersão dos valores em relação ao valor médio (a média), que no caso em apreço e para cada uma das distribuições vale √1, √2, √3, √4, √6, √8…..√𝑛. O desvio padrão foi calculado pela ∑(𝑎𝑖 −𝑎̿)2

expressão habitual (√

(𝑛−1)

) em que a é a média da amostra, que assume neste caso os

valores √1, √2, √3, √4, √6, √8…..√𝑛, e onde n coincide com a dimensão da amostra. Considerou-se então neste trabalho que qualquer número real escrito na forma √𝑛, aparentemente coincidente com um número real exato √𝑛, resulta de uma infinidade de operações do tipo √𝑛

𝑄 = { 1 1,

√𝑛 𝑚, 𝑚

ou seja, qualquer número real √𝑛 é representado pelo conjunto

√𝑛 √𝑛 √𝑛 √𝑛 2, 3, 4 … … … … 𝑚}. 2 3 4 𝑚

Neste contexto, haverá uma dispersão em

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torno do número √𝑛, medida pelo desvio padrão, que fará com que o conjunto Q não seja singular.

3-Resultados

Depois de se terem calculado em Excel os desvios padrões de mil cálculos do tipo mil cálculos do tipo

√2 𝑚, 𝑚

mil cálculos do tipo

√3 𝑚,....até 𝑚

mil cálculos do tipo

√1 𝑚, 𝑚

√1000 𝑚, 𝑚

começou-se por comparar os desvios padrões das diferentes distribuições obtidas, com o √1 𝑚. 𝑚

desvio padrão da distribuição de números resultantes dos cálculos de Sejam então 𝜎√1 o desvio padrão da distribuição de resultados de padrão da distribuição de resultados de resultados de

√3 𝑚,………..e 𝑚

√2 𝑚, 𝑚

√1 𝑚, 𝑚

𝜎√2 o desvio

𝜎√3 o desvio padrão da distribuição de

𝜎√1000 o desvio padrão da distribuição de resultados de

√1000 𝑚. 𝑚

Para se puder comparar ainda os desvios padrão das distribuições de números irracionais com o desvio padrão do equivalente ao número real 1, efetuaram-se mil 1

cálculos do tipo 𝑚 𝑚. De imediato se verificou que 𝜎√1 ≠ 𝜎1. Encontrou-se uma dependência do desvio padrão de determinados números irracionais, tais como: 𝜎√2 = 2𝜎√1 , 𝜎√4 = 4𝜎√1 , 𝜎√8 = 8𝜎√1 , 𝜎√16 = 16𝜎√1, 𝜎√32 = 32𝜎√1…. Tais relações permitem-nos generalizar os resultados sobre a forma de sucessão, pela expressão 1: 𝜎√2𝑛 = 2𝑛 𝜎√1

Expressão 1

Uma vez que não se encontra qualquer relação inteira entre 𝜎√3 , 𝜎√5 , 𝜎√7 ……𝜎√15 com 𝜎√1 , procuraram-se relações com o 𝜎1 . Verificou-se ser: 𝜎√3 = 4𝜎1 , 𝜎√6 = 8𝜎1 , 𝜎√12 = 16𝜎1, 𝜎√24 = 32𝜎1, 𝜎√48 = 64𝜎1 …. Quando passamos à generalização obtem-se a expressão 2: 𝜎√2𝑛−1 𝑥3 = 2(𝑛+1) 𝜎1

Expressão 2

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Quando comparamos os vários desvios padrões com o desvio padrão da distribuição de raiz quadrada de 5, verifica a existência de uma relação à primeira vista complexa, onde se tem: 𝜎√10 = 2𝜎√5 , 𝜎√15 = 4𝜎√5 , 𝜎√16 = 4𝜎√5 , 𝜎√35 = 8𝜎√5 , 𝜎√37 = 8𝜎√5 , 𝜎√75 = 16𝜎√5, 𝜎√79 = 16𝜎√5, 𝜎√155 = 32𝜎√5, 𝜎√163 = 32𝜎√5, 𝜎√315 = 64𝜎√5, 𝜎√328 = 64𝜎√5…… Esses resultados parecem traduzir duas relações possíveis na medida em que aparecem dois grupos de números que possuem exatamente a mesma relação. Designemo-los por grupo a) e grupo b). O grupo a) é constituido pelos elementos 𝜎√10 = 2𝜎√5 , 𝜎√15 = 4𝜎√5 , 𝜎√35 = 8𝜎√5 , 𝜎√75 = 16𝜎√5, 𝜎√155 = 32𝜎√5, 𝜎√315 = 64𝜎√5…………..e, O grupo b) pelos elementos 𝜎√16 = 4𝜎√5 , 𝜎√37 = 8𝜎√5 , 𝜎√79 = 16𝜎√5 , 𝜎√163 = 32𝜎√5, 𝜎√328 = 64𝜎√5 , 𝜎√331 = 64𝜎√5………, Generalizando a sequência do grupo a) obtêm-se a expressão 3 por recorrência: {

𝜎√𝑢1 =√10 = 2𝜎√5 𝜎√𝑢𝑛=2𝑢𝑛−1 +5 = 2𝑛+1 𝜎√5

Expressão 3

Ao tentarmos encontrar uma expressão geral para o grupo b) verifica-se que mesmo por recorrência não é possível gerar a relação 𝜎√328 = 64𝜎√5 , constituindo-se este ponto o início de outra sequência. Com excepção desse ponto obtêm-se para o conjunto b) a expressão 4: {

𝜎√𝑢1 =√16 = 4𝜎√5 𝜎√𝑢𝑛=2𝑢𝑛−1 +5 = 2𝑛+2 𝜎√5

Expressão 4

Novas sequência se obtêm a partir do 𝜎√328 = 64𝜎√5 , que desencadearia a sucessão 𝜎√661 = 128𝜎√5, 𝜎√1327 = 256𝜎√5…… Existe assim uma infinidade de sequências que traduzem relações entre a incerteza de determinado número com a incerteza numérica de raiz quadrada de 5. O mesmo tipo de lógica aparece com a incerteza numérica das raizes quadradas de números como o 7, 21, 29, 49….. que de forma geral se traduzem por recorrência por expressõs da mesma natureza das anteriores. Enquanto com a incerteza numérica da raiz quadrada do número 5 partíamos de um determinado número u1 e obtinhamos o número un por 2un-1+5, partindo de um número da série das raizes quadradas de 7 a que possamos chamar v1, obtêm-se um vn definido por 2vn-1+7 e assim sucessivamente, com Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

sequências de incertezas que começam com dois números, em que um é o dobro do outro, exceptuando o caso do 1 e o 2. Pelo que se acaba de referir, as incertezas numéricas de raizes quadradas de números naturais são quânticas, tal como afirmam Rodrigues & Martins (2014), porque iniciam novas séries a partir de cada incerteza de números do tipo √2𝑛 . Não confundir a incerteza numérica de um número do tipo √2𝑛 que é representada por 𝜎√2𝑛 , com o que é designado por valor exato de √2𝑛 . No gráfico 1, que de seguida se apresenta, verifica-se claramente o comportamento quântico das incertezas numéricas da raiz quadrada de um número natural. O comportamento observado nesse gráfico é inequivocamente semelhante ao de Rodrigues & Martins, (2014).

Figura 1 – Comportamento quântico das incertezas numéricas de operações do tipo √𝑎 𝑛 𝑛

4- Conclusões

Neste trabalho encontraram-se expressões que permitem quantificar a incerteza algébrica associada a operações do tipo

√𝑎 𝑛, 𝑛

em que o numerador é um número

irracional.

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A expressão 1: 𝜎√2𝑛 = 2𝑛 𝜎√1

assemelha-se à expressão obtida por Rodrigues &

Martins, (2014) para numeradores naturais (𝜎𝑛 = 2𝑛 𝜎1 ), no entanto fica claro que 𝜎1 ≠ 𝜎√1. Não é clara a razão pela qual as incertezas algébricas das raízes de números como 3, 6, 12, etc, se relacionam com a incerteza numérica de 1 e não com a incerteza numérica da raiz de 1. A expressão que permite relacionar essas incertezas algébricas é descrita pela equação 2: 𝜎√2𝑛−1 𝑥3 = 2(𝑛+1) 𝜎1 . Verificam-se saltos quânticos de incerteza que são descritos por sucessões definidas por recorrência como as traduzidas pela equação 3, {

equação 4: {

𝜎√𝑢1 =√16 = 4𝜎√5 𝜎√𝑢𝑛=2𝑢𝑛−1 +5 = 2𝑛+2 𝜎√5

𝜎√𝑢1 =√10 = 2𝜎√5 𝜎√𝑢𝑛=2𝑢𝑛−1 +5 = 2𝑛+1 𝜎√5

e pela

.

Muitas outras regras ainda podem ser obtidas para a comparação de incertezas da raiz quadrada de números naturais, especialmente aquelas que minimizam a incerteza ou aquelas que a maximizam, como facilmente depreendemos pela existência de máximos e mínimos em cada um dos conjuntos que aparecem no gráfico 1. O gráfico 1 é em tudo análogo àquele que foi publicado por Rodrigues & Martins, (2014) para números naturais e que demonstra claramente a natureza quântica da incerteza numérica de números irracionais do tipo √𝑛.

4- Bibliografia

Bishop, E. & Bridges, D. 1985. Constructive Analysis. Springer. New York.

Hazewinkel, M. (Editor). 2001. Dedekind cut. In Encyclopedia of Mathematics. Springer. New York.

Kahn, C. H. 2007. Pitágoras e os Pitagóricos. Coleção Filosofia. Editora Loyola. São Paulo.

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Rodrigues, A.F. & Martins, N. 2014. Numerical uncertainty and its implications. Journal of Applied Mathematics and Physics. Vol. 2, Number 3: 33-44DOI: 10.4236/jamp.2014.23004

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