Tema 8. Ondas progresivas

Tema 8. Ondas progresivas 1. Solución general de la ecuación de ondas • La solución general puede escribirse como la suma de dos funciones arbitrarias y (x , t ) = f1 ( x + Vt ) + f 2 ( x − Vt ) La primera función representa una onda progresiva que se propaga con velocidad V hacia la izquierda, y la segunda función representa otra onda progresiva que se propaga hacia la derecha con la misma velocidad. En general, la velocidad de propagación de una onda es la velocidad a la que varía la fase de la onda. Con esto, para determinarla basta la condición d ( x ± Vt ) = 0 dt y obtenemos las velocidades dx = −V para la onda con fase ( x + Vt ) dt dx =V para la onda con fase ( x − Vt ) dt • Así, la primera fase se propaga hacia la izquierda y la segunda fase hacia la derecha. La naturaleza de las funciones f1 , f 2 es arbitraria. Pueden ser funciones sinusoidales o pueden describir pulsos de ondas. De hecho, las dos funciones siempre pueden escogerse de forma que su suma represente cualquier estado inicial de desplazamiento y ( x ,0 ) y velocidad y& ( x ,0 ) , siendo y& ( x, t ) la velocidad de oscilación vertical del punto del medio material que soporta la onda situado en la coordenada x.

2. Soluciones armónicas simples • La solución más general es de la forma y (x , t ) = A sen ( kx − ω t ) + B cos ( kx − ω t )

+ C sen ( kx + ω t ) + D cos ( kx + ω t ) para una oscilación de frecuencia ω en el tiempo y de frecuencia k en el espacio. Los períodos de oscilación están dados por 2π T= ω 2π λ= k El primero corresponde a la oscilación vista en el tiempo t, y el segundo, la longitud de onda, corresponde a la oscilación vista en el espacio x.

• La relación entre la frecuencia de oscilación temporal y la frecuencia de oscilación espacial se llama relación de dispersión

ω = ω (k )

En el caso de la cuerda vibrante, la relación de dispersión es

ω = Vk V=

T ρ

La relación de dispersión determina la dispersión de la energía entre los distintos modos de vibración, definidos por el vector de onda k. Si la relación de dispersión es lineal en k, como ocurre en la cuerda tensa, todos los modos se propagan con la misma velocidad, y la energía mecánica de la onda se propaga de forma homogénea. Se trata de un medio no dispersivo. Si la relación no es lineal, la velocidad de distintos modos es diferente y la energía no se propaga homogéneamente, sino que se divide en paquetes de energía cada uno propagándose con la velocidad del modo de vibración asociado. La energía se ha visto dispersada y el medio se llama dispersivo.

3. Velocidad de fase, dispersión • Nos limitamos al caso de ondas progresivas de tipo armónico, con una frecuencia angular bien definida. La velocidad de fase V = ω k es la velocidad a la que se propaga la fase de la onda, el contorno de la onda. Sólo puede hablarse de esta velocidad cuando la función de onda tenga la misma forma a lo largo de toda su longitud. Si la onda cambia de forma en función del tiempo o de la distancia a lo largo de su dirección de propagación, la medida de la velocidad de fase no daría siempre el mismo resultado. Cuando V = V (k ) en un medio dado, se dice que el medio es dispersivo y que la onda presenta dispersión.

4. Propagación de un grupo de ondas, velocidad de grupo • Nuestro objetivo ahora es averiguar si existe alguna definición de velocidad de propagación de ondas que sea útil cuando no se cumplan las condiciones que nos permiten definir la velocidad de fase de forma unívoca.

a) Superposición de dos ondas armónicas

• Estudiamos por simplicidad la propagación de dos ondas armónicas en la misma dirección con la misma amplitud pero con frecuencias angulares y vectores de onda ligeramente diferentes. Las conclusiones que se pueden obtener de este modelo simple son aplicables a la propagación de cualquier grupo de ondas. La onda que se propaga en nuestro medio es la superposición de dos ondas armónicas y (x , t ) = A cos ( kx − ωt ) + A cos ( ( k + dk ) x − (ω + dω ) t )

donde los diferenciales se toman como cantidades pequeñas respecto del valor de las variables k , ω . De la relación trigonométrica suma de dos funciones coseno, obtenemos dω   dk y (x , t ) = 2 A cos  x− t cos ( kx − ω t ) 2   2 con la aproximación dk 1 tanh kh ≈ 1 La velocidad de la onda es en esta aproximación g gλ V= = k 2π Las olas que se observan en mar abierto corresponden a este tipo. La velocidad de grupo en este caso es dV 1 Vg = V + k = V dk 2

menor que la velocidad de fase, de forma que las crestas de ola que aparecen son capaces de adelantar al grupo, para desaparecer delante de él. • Ondas en aguas poco profundas En este caso, kh