Termoresistência – Aproximação linear e quadrática
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Termoresistência – Aproximação linear e quadrática UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA Centro de Tecnologia – CT Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE DPEE1045 – Instrumentação de Processos Industriais
Professor: Dr. Claiton Moro Franchi Acadêmico: João Pedro Castro Curso: 310 – Eng. de Controle e Automação
Santa Maria, novembro de 2012
Termoresistência – Aproximação linear e quadrática T(0C) R(Ω) 40 86,0 45 87,6 50 89,1 55 90,2 60 91,1 65 91,7 70 92,2 Tabela 1 – Valores de resistência em função da temperatura para um determinado metal. Para a realização das aproximações dos valores tabelados, será utilizado o método dos quadrados mínimos (tanto para linear, quanto para quadrática). Segue abaixo o método: i
xi
f(xi) = yi
xi2
xiyi
1
40
86,0
1.600
3.440
2
45
87,6
2.025
3.942
3
50
89,1
2.500
4.455
4
55
90,2
3.025
4.961
5
60
91,1
3.600
5.466
6
65
91,7
4.225
5.960,5
7
70
92,2
4.900
6.454
385
627,9
21.875
34.678,5
∑
Tabela 2 Ao aproximarmos linearmente, procuramos uma equação do tipo: ( )
( )
Neste caso o sistema será: [
∑
∑
∑
∑
] [ ]
[
∑ ∑
]( )
Utilizando-se os valores da tabela 2 nos seus respectivos espaços nas matrizes da equação (2), teremos o seguinte: [
] [ ]
Realizando os cálculos necessários obtemos:
[
]( )
[ ]
]( )
[
Substituindo (4) em (1), teremos a aproximação linear seguinte: ( )
( )
Para o caso quadrático, teremos uma tabela mais complexa, segue a mesma abaixo: i
xi
f(xi) = yi
xi2
xi3
xi4
xiyi
xi2 yi
1
40
86,0
1.600
64.000
2.560.000
3.440
137.600
2
45
87,6
2.025
91.125
4.100.625
3.942
177.390
3
50
89,1
2.500
125.000
6.250.000
4.455
222.750
4
55
90,2
3.025
166.375
9.150.625
4.961
272.855
5
60
91,1
3.600
216.000
12.960.000
5.466
327.960
6
65
91,7
4.225
274.625
17.850.625
5.960,5
387.432,5
7
70
92,2
4.900
343.000
24.010.000
6.454
451.780
385
627,9
21.875
1.280.125
76.881.875
34.678,5
1.977.767,5
∑
Tabela 3 Ao aproximarmos quadraticamente, procuramos uma equação do tipo: ( )
( )
Neste caso o sistema será: ∑
∑
∑
∑
∑
∑
[∑
∑
∑
∑ ∑
[ ]
( )
[∑
]
]
Substituindo os valores da tabela 3 na equação (7), tem-se: [
] [ ]
]( )
[
Realizando os cálculos necessários, teremos: [ ]
[
]( )
Substituindo (9) em (6), tem-se: ( )
(
)
Agora, vamos analisar o erro no ponto T(0C) = 50. Para tal, iremos utilizar as equações (5) e (10) e substituirmos o devido valor. ( )
(
)
( )
(
)
O próximo passo é utilizar a equação seguinte para o cálculo do erro: ( ( )
( )) (
), onde pn(T) é o polinômio que aproximou os dados tabelados.
Portanto, olhando a tabela 1, vemos que 50 oC = 89,1 Ω. (
)
(
(
)
)
(
)
Utilizando o Microsoft Excel é possível criar linhas de tendência e ver tanto o erro quanto a equação. Como podemos ver logo abaixo:
Termoresistência 94
Série1
93 92.2 91.7 91.1
Resistência (Ω)
92 91
Linear (Série1) Polinômio (Série1)
90.2
90
89.1
89 88
Linear y = 0.2057x + 78.386 R² = 0.958
87.6
87 86
Quadrática y = -0.005x2 + 0.7505x + 63.9 R² = 0.9997
86
85 0
10
20
30
40
Temperatura
50
60
70
80
(0C)
Gráfico 1 – Linhas de tendência
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