TÓPICOS DE MATEMÁTICA

TÓPICOS DE MATEMÁTICA BÁSICA

GUIA DE ESTUDIO BECA 18 – 2014-01

2

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Conjuntos numéricos.  Operaciones aritméticas.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Ordene en la recta real los siguientes números:

8 5  5 14;  ; 0; 7,1333;1, 24; ; ; 3 4 6 4 EJERCICIO 2 Inserte los números en el diagrama, según corresponda:

4; 6;  1;



8 7 2 ; 4,5;  ; 49;  3 ;  ; 3,1416; 0 5 2 9

Q

I

Z N

EJERCICIO 3 Relacione mediante flechas los números con su respectiva clasificación Número Clasificación -7 Irracional No es real 7 Entero 2 Racional positivo 1 / 13 EJERCICIO 4 Marque con una (X) para completar la tabla según corresponda. En caso contrario dejar en blanco.

 7



5 9

11 6, 6

16

 3

2

1 2

3

27 16 3,1416 4

N Z Q

I R 3

EJERCICIO 5 Indiqueel valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) N  Z  Q  R b) I  R c) Cero es un número real. d) Q  I = R e) Q  Z = Q f) R  Q = Q g) La suma de dos números racionales es siempre otro número racional. h) El producto de dos números reales es otro número real. i) Entre dos números racionales diferentes siempre hay otro número racional. j) La suma de un número racional y un irracional es un número racional. k) El producto de un entero y un irracional es siempre un irracional l)

3 es un número racional.

m)

9 es un número irracional.

n)

9  3 .

o) 3  1 es un número entero. p) A todo punto sobre la recta numérica le corresponde un número racional.

2  2 da como resultado un número racional. q) r) 70 es un número racional. s) Si a  0 y b  0 , entonces a  b es negativo. t)

24 es un número irracional.

EJERCICIO 6 Efectúelas siguientes operaciones:

A  4  120 : 23  5 (2) B  4  12 : 6 : 2  251/ 2 (1/ 3)2  1 EJERCICIO 7 Del gráfico:

Indiquela verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, si las letras representan números: a) d  b c) bc  ad 2 d) d  c b) c  d EJERCICIO 8 En cada caso, si n  R-, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) n  200  0 c) n  0 1 b) 0 d) 1  n  0 n

4

EJERCICIO 9 En cada ejercicio determine el valor de E , indicando el (los) conjunto(s) numérico(s) al que pertenece.

a) E  288 12  3  2  641/2  (1/ 4)2  6  25 b) E  15  (18  20  52  2  4)  (3) 2  (52 ) 4

c) E  36  3  (4  22  2  (3  4)  4) d) E  (22  5)1/2  3  (2 3  36 12  3  2  1)



e) E  35  23  18   23  21  10   18  9 f)





E   15  3  10   11  12   3  13  32

g) E  12   4    8   5   8 10  4  5  12   3  12 h) E   2    3   1   3   10   5  42 i) E   12  6   6   1   21  3  8   10    6    3

2

2



3



EJERCICIO 10 Escribe en notación científica:

a) 78 000 000 b) 312 700 000

c) 0,0008 d) 0,0000235

EJERCICIO 11 Efectúey exprese en notación científica

0, 00008 0, 002 250 000 000 b) 0, 0005 900 000 c) 0, 00003 0, 0015 d) 0, 000025

h)

a)

e) f)

i) j)

42

12

15

5

l)

13

3

7 2

2, 7 1017  4, 6 1013   0, 00065 3

k)

 2,5 10   310  9 10   8 10  8

 7 10   5 10  0,5   9,110   1, 2 10 

27 1036

 0, 000144   4 1018  2,35  5,86 : 0, 62 0, 42  6,5  0, 025

g) 4, 24  6,5  0,065  0,002 EJERCICIO 12.Aplicación a la Ingeniería Un satélite gira en una órbita circular de 820 000 km sobre la superficie terrestre. Exprese esta cantidad en notación científica. EJERCICIO 13.Aplicación a la Ingeniería La velocidad de un automóvil es de 120 Km/h y la de un gusano 80 cm/ min. Exprese el cociente de ambas velocidades, en notación científica. 5

EJERCICIO 14.Aplicación a la Biología El corazón de Juan Carlos da aproximadamente 83 latidos por minuto. ¿Cuántos latidos darán su corazón durante 35 años? Exprese su resultado en notación científica. EJERCICIO 15.Aplicación a la Biología Se dice que de las 1010 neuronas que tenía al nacer una persona, 20 000 se deterioran irreversiblemente cada día. Al cabo de 60 años, (1 año = 365 días). Exprese en notación científica, responda a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas se habrán deteriorado? b) ¿Qué fracción del cerebro estará entonces inservible? EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Marque con una (X) para completar la tabla según corresponda. En caso contrario dejar en blanco.

  1 1 2         4  



3

7 1, 4142

 2 

36

3

1 3

3

64

12   3,1416 3

N Z Q

I R

EJERCICIO 17 En cada ejercicio determine el valor de E , indicando el (los) conjunto(s) numérico(s) al que pertenece.



a) E   16  3   2  3 16   6  4   5  10





b) E  22  5  2  3  1   3  2  1   3  5   4   1

c) E   2    3  5  2  32  4   2   9   3   4    2  6  2

3

3

5



d) E   12    13    12       

 

5 3

3   1   



5 8

3   1   

9

EJERCICIO 18.Aplicación a la Ingeniería Convierte y expresa en notación científica a) 25 km a mm b) 54 500 Kg a g c) 2,35 mm a km EJERCICIO 19.Aplicación a la Biología El ser vivo más pequeño es un virus que pesa 10

21

kg y el más grande es la ballena azul que pesa

aproximadamente 1,38 10 kg. ¿Cuántos virus serían necesarios para conseguir el peso de una ballena? 5

6

EJERCICIO 20 Exprese en notación científica y redondeando con aproximación a centésimas, el número de segundos que ha vivido una persona que recientemente cumplió 100 años. (Considere 1año = 365 días).

Respuesta a los ejercicios pares Ejercicio 6. 8.

10.

Respuesta

A  2 B  46 a) b) c) d)

F V F V

a) 7,8 107 b) 2,35 106 c) 8 104 d) 2,35 105

12.

8, 2 105

14.

1,526868 109

18.

a) 2,5 107 b) 5, 45 107 c) 2,35 106

20.

3,1536 109

7

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Sistemas de los números reales.  Operaciones con números reales.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Simplifique a) 3x  8x

k) 9a3b2c  5a 2bc2  12a3b2c  3a2bc2  4a3b2c

b) 6a b  7a b 2

c)

2

l)

6 xy 2  xy 2  3xy 2

m) x2a 1  3x3a 2  7 x2 a 1  4 x3a 2  8x2 a 1  12 x3a 2

d) 4 xy z  4 xy z 4 3

n) 3am5  10 xm2  2a m5  3xm2  8a m5

4 3

e) 3a x1  2a x1  a x1  2a x1 f) 0, 25b  0, 4b  0, 2b

1 3 3 3 ab c  ab c  ab3c 2 2 h) 12m  3n  4m 10n  5m  n i) 8x  3 y  9 x  5 y  2 x  y g)

j)

3x2  2 y 2  7  10 x2  12 y 2  15

5 4

3 1 1 ab  a 2  5ab  3a 2  ab 2 2 2 2 m1 1 m2 1 m1 3 m2 p) x  b  x  b  4 x m1 3 10 2 4 1 2 q) 0,5 x  2,5 y  0, 4 x  y  x 2 5 o)  a 2 

12a2b  3ab2  8a 2b 10ab2  3a 2b  6ab2

EJERCICIO 2 Encuentre el valor numérico para cada una de las siguientes expresiones

R 6  2 5 , cuando R  5 . 4 4 b) V   R 3 , cuando R  11 . 3 a)

A

d  a 2  b2  c 2 , cuando a  3, b  4, c  5 . 1 d) V  A1  A2  A1  A2 , cuando A1  30, A2  20 . 3 1 e) A  4 R 2  L2 , cuando R  7 y L  5 . 3 c)





b  b 2  4ac , cuando a  1, b  2, c  3 . 2a g) A  P (1) P(2)  P(1)  2 , sabiendo que P( x)  6 x 2  4 . f)

x

8

EJERCICIO 3 Despeje la variable solicitada a)

A de V 

2 T

R 2  A2

[Velocidad en un movimiento armónico simple]

4 2 x T2 c) T1 de L2  L1[1   (T2  T1 )] b) T de F  m

2 1 2 2

[Fuerza recuperada de un movimiento armónico simple] [Dilatación lineal]

d) d 2 de

I1 d  I2 d

[Intensidades de luz]

e)

R1 de

1 1 1   (n  1)    f  R1 R 2 

[Ecuación de los lentes]

f)

d de F  k

q1  q2 d2

[Ley de Coulomb]

g) c de E = mc2 h) V2 de

[Ecuación de Einstein]

PV PV 1 1  2 2 T1 T2

[Ecuación general de los gases ideales]

V1 M2  V2 M1

i)

M 1 de

j)

t de h  v0t 

[Difusión de los gases]

1 2 gt 2

[Caída libre]

1 4 R 2  L2 3 l) p de A  p  prt 1 m) B de A  ( B  b)h 2 n) d de an  a1  (n  1)d k) L de A 

[Apotema de un polígono] [Monto acumulado] [Área de un trapecio] [Progresión aritmética]

o) h de S  2  Lw  hw  hL 

9 C  32 5 A q) A de c  d A  12 1 1 1 r) R2 de   R R1 R2 p) C de F 

s) t)

w b  35 p q de S  q  p(1  q)

b de h 

3

[Superficie de una caja rectangular cerrada] [Conversión Fahrenheit-Celsius]

[Regla de Young] [Resistencia total de un circuito paralelo] [Fórmula de O’Carroll’s] [Ley de Amdahl para computadoras]

EJERCICIO 4 Dado el siguiente monomio E ( x; y)   5a 2b3 x 7 y12 a) Indique el coeficiente. b) Calcule el GR(x) y GR(y) c) Calcule el GA(E) 9

EJERCICIO 5 Calcule el grado absoluto de los siguientes polinomios

a) R( x)  5x  4 b) P( x)  12 x  7 x  8x  21 4

3

12

d) N ( x; y ) 

3 22 3 1 x y  2a 31 y 3  x9 y 20 4 3

c) M ( x; y)  3x3 y 2  9 x7  y 2  16 x6 y 7 EJERCICIO 6 Dados los polinomios A( x)  5 x 2  3x3  4 y B( x)  2 x2  7 x  3 Calcule: a) El grado del producto. b) La suma de los coeficientes del polinomio A( x)  B( x) . c) La suma de coeficientes del producto de A( x) y B( x) . d) El término independiente del producto de A( x) y B( x) . EJERCICIO 7 Dados A( x)  4 x m  5x m1  7 x3  1 y B( x)  2 x n  3x n1  8 . Halle m y n sabiendo que los grados de

 A( x)

2

 B( x) y A( x)   B( x) , son 12 y 21, respectivamente. 3

EJERCICIO 8 Calcule el término independiente en el polinomio:

ab  7a  P( x)    13  xb5  (a  38) x 2 m15  m  11 

de modo que sea completo, ordenado y que tenga como coeficiente del término de mayor grado la unidad EJERCICIO 9 Para los polinomios

P( x)  x 2  x  1 Q( x)  ax  b R( x)  x 3  6 x 2  4 x  5 Encuentre los coeficientes a y b de manera que el polinomio resultante de multiplicar P( x) con Q( x) , sea idéntico al polinomio R( x) . EJERCICIO 10. Aplicación a la Economía Las ganancias mensuales de una empresa se muestran en la siguiente gráfica:

a) ¿Cuánto disminuyó la ganancia de Enero a Abril? b) ¿Cuál fue la ganancia acumulada en los cuatro meses? 10

c) Calcule la diferencia de los meses Enero-Abril y Febrero-Marzo. EJERCICIO 11 Un estudiante de USIL obtiene las siguientes notas en los controles del curso de nivelación: Primer control:

x2  y 2

Segundo control:

x2 + 2xy + y2

Tercer control:

y 2  x 2 y2 – x 2

Cuarto control:

x x  2y

Determineel promedio obtenido. EJERCICIO 12 Al dividir un polinomio entre

x

2

 2 x  1 , nos deja como cociente

x

3

 2  y como residuo  2 x  3 .

Halle el dividendo. EJERCICIO 13 Calcule el cociente y el residuo de:

a)

x

 4 x 3  5 x 2  4 x  6    x  3

4

6 x5  20 x 4  13x3  25 x 2  13x  9 b) 3x 2  x  1 c)  4 x2  4 x 4  3x3  4 x5  1  4 x  :  3x 2  x  2 x3  1 x 6  6 x3  2 x5  7 x 2  4 x  6 x 4  3x 2  2 e)  2 x 4  3x3  2 x  1 :  x  2  d)

f) g)

 3x  4x

6

 x 2  3x  1 :  x  1

5

 3x 2  2 x3  2 x  1 :  x  3

h)  x  3 x  2  x  4  x  5  1   x 2  7 x  5 i) j)

 x  1 x  6  x  2  x  5  3   x 2  7 x  3

x

8

 x7  2 x6  x5  x 4  x 2  10  :  x 2  2 

EJERCICIO 14 2 2 2 Calcule (a  b)  (c  d)  (e  f  g) en la siguiente división: (h  i)( j  k)

EJERCICIO 15

11

2 x 4  3x 2  Ax  B Calcule A  B si la división: deja resto nulo. 2 x2  2 x  3 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16

 x  1 personas donaron  x  1 billetes de  x 2  1 soles cada billete. ¿Cuánto se recaudó?

EJERCICIO 17 Exprese como un polinomio ordenado en x, el área de las siguientes figuras planas:

EJERCICIO 18 Calcule los valores de m y n si la siguiente división

6 x5  7 x 4  18 x3  mx 2  n deja como residuo 3x3  x 2  2

x2  6 x  13 . EJERCICIO 19 Dado

ax5  2 x3  bx 2  a ,halle a y b si la división deja como residuo x 2  5 . x3  1

EJERCICIO 20 Calcule el residuo de las siguientes divisiones: a)

2 x38  3x17  5 x 2  x  1 x 1

b)

x n  2 x n 1  3x n 2  4 x n 3    50 x n 49 x 1

x3  2 x 2  5 x  3 2x 1 5 2 x  3x 4  5 x  4 d) x2 c)

12

e)

x3  2ax 2  a3 xa

Respuesta a los ejercicios pares Ejercicio 2.

Respuesta

e) f) g)

5 62 5 4 5324  3 5 2 1 50  10 6 3 19 1 y 3 4

a) b) c) a) b) c) d)

 5a 2 b 3 7 y 12 19 5 10 24 12

a) b) c) d)

4.

6.

8. 10.

A





29 8 a) 2 Miles de dólares b)

 4x

2

 10  Miles de dólares

c) 2 Miles de dólares 12. 14. 16. 18. 20.

x5  2 x 4  x3  2 x 2  6 x  1 41 28 x4 1 m  10

n3 a ) 12 b) 1275 7 c)  8 d ) 22 e) 2 a 3

13

FACTORIZACIÓN Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Operaciones con números reales.  Binomio al cuadrado.  Binomio al cubo.  Diferencia de cuadrados.  Diferencias de cubos.  Suma de cubos. EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Verifique las siguientes identidades: a) b)

 a  b   2  a  b  a  b    a  b   4a 2  x  a  x  b  x  c   x3   a  b  c  x2   ab  ac  bc  x  abc 2

2

EJERCICIO 2 Halle el resultado de dividir el área de un cuadrado de  x  y  lado entre su perímetro. EJERCICIO 3 Indiquela verdad (V) o falsedad (F) para cada una de las siguientes expresiones: a)

 a  b

b)

a

c)

 a  2b  a  2b   a2  4ab  4b2

i)

d)

2  8 

j)

e) f)

3

2

g) x 2  a 2   x  a   2ax

 a 2  b2

2

 b3   a6  2a3b3  b6 2

2

h)

 10  8 2

 a  b    a  b   x  a  x  b   x2  ab 3

k)

3

l)



2 1 x





2  1  x  3  2 2  x2

 a  b  c   a 2  b2  c 2 3 a 3  b3   a  b   x  5 x  9  x2  45 2 2  a  b    a  b   4ab 2

EJERCICIO 4 Utiliza los productos notables para calcule el valor de a)

A



2 3  2 3







2





b) B  4 5  32  22  34  24  38  28  216 c) C  ( x  y)( x  y)( x 2  y 2 )( x 4  y 4 )  y8







 





d) D   a  x  a 2  ax  x 2    a  x  a 2  ax  x 2   a 6  x 6  a12  x12  x 24    

 a  2b 

e) E  f)

F



2



 8ab

a  b   a 2  ab  b2  



a b

 14





2 2 g) G  a 2  b2   a  b    a  b  





h)

 4x  3 y    4x  3y  H

i)

 ax  by    ax  by  I

j)

J   x 2  xy  y 2  x 2  xy  y 2 

2

2

xy

2

2

x2  y 2

    L   a  1   a  1  2a M   x  1   x  1   x  1   x

k) K  a x  1  a x  1  a 2 x  1  1 l) m)

2

x

4

x

2

4

n) N  ( x  y )2   x  y 





2x

2

2

2

 1

2

2

 



o) O  x 2  x  3  x 2  x  2  x 2  x  1  x 2  x  4



EJERCICIO 5 Si x 

1  3 , calcule x

1 x2 1 b) x 3  3 x a) x 2 

1 x4 1 d) x 5  5 x c)

x4 

e) x 6 

1 x6

EJERCICIO 6 Una caja con fondo cuadrado está hecha de una pieza cuadrada de 12 cm de lado, se cortan cuadrados de lado x en las esquinas, y los lados se doblan hacia arriba. Exprese el volumen y el área de la superficie de la caja en términos de x .

EJERCICIO 7 Un cono circular recto tiene una altura de  x  2  unidades, y un radio en la base de  x  2  unidades, calcule en términos de x , el volumen de este cono. EJERCICIO 8 Una canaleta tiene su sección en forma de trapecio isósceles, la base menor es tres unidades menos que la altura, y la base mayor es tres unidades más que la altura. Exprese el área de la canaleta en términos de la altura x. Desarrolle esta expresión.

15

EJERCICIO 9. FACTOR COMÚN Factorice: a) 5c 4  15c 2

e)

 a  b  x  y  z    a  b  x  2 y  2z 

b) 6 x  15 x

f)

x7 n2 y 6m3 z8m2  x7 n3 y 6m2 z8m3  x7 n1 y 6 m4 z8m1

g)

a b

2

c) 2m  6m  4m 4

2

d) 24 x y  12 xy  36 x y 2

3

4

3 4

 a 4b3    a5b6  a6b5    a6b8  a8b6 

EJERCICIO 10. AGRUPACIÓN Factorice: a) mx  m2  xy  my

c) 5a  3b  3bc5  5ac5

b) a5  a 4  a  1

d) 9 xm2  3m3  3x  m

EJERCICIO 11. DIFERENCIA DE CUADRADOS Factorice: a) 4 x 2  9 y 2

c)

x 2 y 4  81

b) x 4  y 4

d) x8  y8

EJERCICIO 12. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Factorice: a) a 2  2 ya  y 2

e) m2  mn 

b) 16a10b2  8a5b4  b6 c) 4 x 2  12 xy  9 y 2

f)

1 2 n 4

x2  2x  x  y    x  y 

2

d) 4 x 2  8 xy  4 y 2 EJERCICIO 13. ASPA SIMPLE Factorice: a) n2  9n  18

d) m10  3m5  28

b) x 2  2 x  15

e) 2 x 2  (b  2c) x  bc

c)

y4  5 y2  6

EJERCICIO 14. COMPLETAR CUADRADOS Factorice: a) x 2  4 x  7

d) y 2  30 y  675

b) 2 y 2  4 y  6

e) z 2  6 z  4

c) 8x  x 2  33

f)

g) 2 x 2  8 x  3

3x 2  6 x  1

EJERCICIO 15. EVALUACIÓN BINÓMICA Factorice: a) x3  2 x2  3x  6

e) x3  5x2  2 x  24

b) 2 x3  3x2  11x  6

f)

x4  2 x2  8 d) 2 x3  5x2  14 x  8 c)

x4  7 x3  17 x2  17 x  6 g) x4  7 x3  8x2  28x  48 h) x3  6 x2  11x  6

16

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Factorice:



 



 x  1 x  4  x

a) b a 2  a  1  a b2  b  1  a 2  b2

d)

b) b2  c2  a 2  d 2  2ad  2bc

3 2 e) x  9 x  26 x  24





c) abx 2  a 2  b2 x  ab EJERCICIO 17 Relacione las expresiones algebraicas con el método a emplear para factorizarla. A) 2.x  1  x.x  1

I) BINOMIO AL CUADRADO

B) x  6x  9

II) FACTOR COMÚN

C) x  8

III) ASPA SIMPLE

2

3

D) 2x 2  3x - 2

IV) DIFERENCIA DE CUBOS

E) 4x  11x  25

V) SUMA Y DIFERENCIA

4

2

EJERCICIO 18 Calcule el valor de k, si el siguiente trinomio es cuadrado perfecto x 4   k  1 x 2 y 3  25 y 6 EJERCICIO 19 Exprese el área de la región sombreada de forma factorizada, si se sabe:

a) ABCD y EFGH son cuadrados

b) BC = 10x

EJERCICIO 20 En un banco,  a  b  personas retiran

 a  b  soles

c)

r  x3

cada una y posteriormente entre todos ellos

depositan 2b 2 soles. Si inicialmente había a 2 soles en dicha cuenta, ¿cuál es el saldo?

17

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio Respuesta 2. 0, 25  x  y  4.

a) 6 b) 81 c) x8 d ) a 24 e) a  2b f ) a 3  b3 g ) 2a 4  2b 4 h) 48 4abxy i) x2  y 2 j) x4  x2 y 2  y 4 k ) a4x l) a4x  1 m) 2 x 4  2 n) 4 xy o) 2

6.

12  2x 

8.

x2

10.

2

x

a) (m  x)(m  y ) b) (a  1)(a 4  1) c) (c  1)(c 4  c3  c 2  c  1)(5a  3b) d ) ( 3m  1)( 3m  1)(m  3 x)

12.

a ) (a  y ) 2 b) b(4a 5  b 2 )  c) (2 x  3 y ) 2 d) 4 x  y

16.

2

2

e)

1 2  2m  n  4

f)

 2x  y 

2

a) (a  1)(b  1)(a  b) b) (b  a  c  d )(b  a  c  d ) c) (a  bx)(ax  b) d ) ( x  2) 2 e) ( x  2)( x  3)( x  4)

18. 20.

9 3b 2

18

FRACCIONES ALGEBRAICAS Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Calcular el mcm de números y expresiones algebraicas.  Operar con números racionales.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Encuentre para que valor o valores de la variable, cada expresión racional no está definida.

4 x  11 x5 x3  x 2  3x  211 b) 7  4x

c)

a)

w  15  w  8 4w  9 

6t 3  17t  4 d)  2t  7  3t  21

EJERCICIO 2 Simplifique indicando las restricciones.

4 x  20 3x  15 c 2  4c  4 b) 2  c  2   3c  1

x 2  16 x  64 x 2  5 x  24 z 2  13z  12 d) z 2  144

a)

c)

EJERCICIO 3 Simplifique indicando las restricciones.

 x 2  3x  18   x 2  25    2  2  x  2 x  15   x  12 x  36 



c)  x 

a) 

 

b)  x  3 



x3  6 x   8     x 1  2 x  25   x3

5   5   x  2   x 1   x4

EJERCICIO 4 Simplifique indicando las restricciones. a)

x 1 x  2  2 x x

b)

3x 2  4 x  4 x2  5x  6 9 x 2  12 x  4 x2  4

c)

5  x 1 x  x 1

2x x3 7 x3

EJERCICIO 5 Simplifique

2a x  3abx  2 x3  3bx 2  2b 2 x  3b3 M 2 x 2  2cx  3bx  3bc

EJERCICIO 6 Efectúe

N

4 xy  2 y 2  12 x 2 2 x  y 7x   2 2 3( x  y ) x  y 3( x  y ) 19

EJERCICIO 7

( x  a)2  2(a 2  x 2 )  ( x  a) 2 ( x  a)2  ( x  a) 2

Simplifique

y dar como respuesta el valor numérico para x  3  1 y a  3  1 EJERCICIO 8 Reduce a)

x  1 x 1 4x   x 1 x  1 x2 1

b)

8 3x 3x 2  16   x  4 4  x 16  x 2

EJERCICIO 9 Reduce a)

8 8  x 3 x 3 6 6  x 3 x 3

8

b)

2

3

6

8 x

EJERCICIO 10 Simplifique

( a  b) 2 ( x  y ) 2  ( a  b ) 2 ( x  y ) 2 ab( x 2  y 2 )  xy (a 2  b 2 )

EJERCICIO 11 Simplifique

m(m3  n3 )(m2  mn  n2 ) n(m3  n3 )(m2  mn  n 2 )  m(m  n) m(m  n)

EJERCICIO 12 Simplifique

1 1 1   (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)

EJERCICIO 13 Calcule los valores de A y B en cada caso

1 A B   x 9 x 3 x 3 2x 1 A B   d) 2 x  2x x x  2

1 A B   ( x  1)( x  3) x  1 x  3 3 A B   b) x( x  3) x x  3

c)

a)

2

EJERCICIO 14 Descomponer en fracciones parciales

x2 ( x  1)( x  2) 3x  2 b) x2  4 3x  1 c) x2  9 a)

7 x 1 x  x6 5x2  3 e) ( x 2  1)( x  2) d)

f)

2

2 x  11 x2  x  2 1 h) 2 x  5x  6 g)

2 x 2  3x  7 x( x  3)( x  4) 20

EJERCICIO 15 Descomponer en fracciones parciales a)

x 1 ( x  2)( x  1)2

b)

6 x 2  13x  6 c) ( x  2)( x  1) 2

9 ( x  1)( x  2) 2

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Efectúe a)

2 3 x5   2 x  1 x 1 x 1

b) 

2 2 4x   x  2 2  x 4  x2

EJERCICIO 17 Simplifique las expresiones algebraicas, indicando las restricciones, si existen:

 x2  9 x  8   4  x  a)  2  2   x  2x  8   x  x  2 

x 4  16 x2  2x  b) x2  4x  4 2  x

x 2  5 x  14 x 2  9 x  18 x 2  3x  28 x 2  8 x  15

c)

EJERCICIO 18 Simplifique

x x 1 x 1 x 1

1 a)

b)

5  x 1 x  x 1

2x x3 7 x3

EJERCICIO 19 Calcule los valores de A y B en cada caso a) b)

2 A B C   2 x  x  2 x x x2

c)

2

2 x

 x  1 x  1

2



2x  6 A B C    2 2 ( x  2) ( x  3) x  2 ( x  2) x  3

A B C   x  1 x  1 ( x  1)2

EJERCICIO 20 Descomponer en fracciones parciales

5x  1 x  x2 6 x2  x 1 b) x3  x a)

2

x4 x ( x 2  1) 2 d) ( x  2)( x  4)2 c)

2

e)

2x 1 ( x  1)( x  3)2

21

Respuesta a los ejercicios pares Ejercicio 2.

4.

Respuesta 4 , x5 3 1 1 b) , c ,c2 3c  1 3 x 8 c) , x  8, x  3 x 3 z 1 d) , z  12, z  12 z  12 x2  x a) , x  0, x  2 x2 ( x  2) 2 2 b) , x  3, x  2, x   , x  2 (3 x  2)( x  3) 3 a)

c)

2 x 2  7 x  15 , x  1, x  3 x 2  10 x  7

6.

1 3

8.

a) 0 b) 

10. 12. 14.

a)

c) d) e) f) g) h)

18.

4 / 3 1/ 3  x  2 x 1 2 1  x2 x2 4/3 3  x3 x3 4 3  x3 x 2 1/ 3 1 1/ 3   x 1 x 1 x  2 16 / 3 7 /12 27 / 4   x3 x x4 3 5  x 1 x  2 1 1  x3 x 2

6 x 1 4 b) x2 a) 2 x  1 a)

b)

20.

x 2  16

4 0

b)

16.

2  3x 2  2 x  24 

a) b) c) d) e)

2 x 2  7 x  15 x 2  10 x  7 2 3  x 1 x  2 3 1 2   x 1 x x 1 5/ 2 1 2/3 4    x 1 x x  1 x2 1/ 2 1/ 2 1   x  4 x  2 ( x  4) 2 3 /16 3 /16 5/ 4   x  1 x  3 ( x  3) 2

22

PORCENTAJE Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las fracciones y su representación gráfica.  Calcular las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división de fracciones.  Expresar números decimales a fracciones y viceversa.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Al congelarse el agua aumenta su volumen en un 9%. ¿Qué cantidad de agua (expresar en litros) se debe congelar para obtener 5450 cm3 de hielo? EJERCICIO 2 Después de distribuir el 27% de las cajas que había en un depósito han quedado 146. ¿ Cuántas cajas había?. EJERCICIO 3 De 450 alumnos el 20% viven en Surco y el 50% del resto en La Molina. Si el nuevo resto vive en San Borja, ¿cuántos alumnos viven San Borja? EJERCICIO 4 Renzo gana mensualmente S/ 1 850 y su empresa le aumenta el sueldo a S/ 2 250. ¿En qué porcentaje se incrementó su sueldo? EJERCICIO 5 En el letrero de una farmacia aparece el siguiente cartel: DESCUENTO A JUBILADOS 70% + 30% a) b) c) d)

¿Qué intentan decir?. ¿Son gratis los medicamentos?. ¿Cuánto deberá abonar un jubilado por un medicamento que cuesta $84?. ¿Cuál es el porcentaje de descuento?

EJERCICIO 6 En una tienda de artefactos, se anuncia el siguiente descuento Si Alonso compra un equipo de sonido que cuesta S/.1 000. ¿Cuánto pagará con el descuento que ofrecen?

20%+20%

EJERCICIO 7 Álvaro compró un Ipod de 9na generación con el 20% de descuento a S/. 672. ¿Cuánto hubiera pagado sin el descuento? EJERCICIO 8 Un teléfono móvil en la tienda A cuesta S/. 82 + IGV(18%). En la tienda B vale S/.95 (IGV incluido) y en la tienda C vale S/.117 (IGV incluido). Sabiendo que en la tienda C aplican un descuento del 20 %, ¿dónde nos saldría más barato? y ¿a cuánto?

23

EJERCICIO 9 Busca su fracción equivalente con denominador 100 3/5

0,85

2/5

9,8

¼

0,36

13/25

13,4

½

0,5

0,73

0,06

1/25

¾

1,2

0,0007

EJERCICIO 10 El 24% de los habitantes de un pueblo tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años? EJERCICIO 11 Calcule los siguientes porcentajes El 5% de 320

El 18% de 400

El 36% de 480

El 90% de 180

El 8% de 500

El 17% de 200

El 48% de 900

El 95% de 120

El 3% de 140

El 19% de 344

El 82% de 361

El 105% de 1000

El 7% de 800

El 15 % de 256

El 62% de 550

El 120% de 148

EJERCICIO 12 En una familia la madre cobra un sueldo de 811,37 €, y el padre 961,98 €. Este mes tienen unos gastos fijos de piso, agua, luz, teléfono, ... que ascienden al 25 % de los ingresos. Un 40 % se gasta en manutención. Un 15 % en vestido y calzado. Un 5 % en gastos varios. Pagan un recibo mensual de 199,92 € por la compra de un coche a plazos. ¿Podrá ahorrar algo este mes la familia? EJERCICIO 13 ¿Qué porcentaje es 24 de 1200?

¿Qué porcentaje es 40 de 1800?

¿Qué porcentaje es 16 de 640?

¿Qué porcentaje es 60 de 80?

¿Qué porcentaje es 18 de 160?

¿Qué porcentaje es 0,4 de 2?

¿Qué porcentaje es 10 de 1800?

¿Qué porcentaje es 3/5 de 1?

EJERCICIO 14 Una persona va al casino con S/. 480 y empieza ganando el 25% de lo que tiene. Luego vuelve a jugar, perdiendo esta vez el 20% del nuevo monto. Finalmente, de lo que le queda vuelve a perder, esta vez el 60%. ¿Cuánto dinero le quedó? EJERCICIO 15. Aplicación a la arquitectura Se desea construir un edificio y para ello se debe considerar que el primer piso debe ser de 3.00m de altura por ser comercial y los demás piso por ser de uso de vivienda debe tener por lo menos 10% menos del piso inmediato inferior siempre y cuando no sea menor del 80% de la altura del primer piso, que debe ser la altura mínima, y según certificado de parámetros, la altura máxima de edificación debe ser de 10.50m. ¿Cuál es la altura del último piso y cuantos pisos se puede construir? 24

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Si el (20% del 10% de 10 000) es el (40% del 10% del 20% de 4000) % de un numero N, ¿Cuál es ese número? EJERCICIO 17 Complete el siguiente cuadro: 10%

12,5%

20%

25%

1 33 % 3

50%

75%

12 3 30 3 120 4,8 EJERCICIO 18 Un hombre al morir dispone que sus ahorros consistente en 20 000 dólares, se reparta en 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a su ahijado. ¿Cuántos dólares le correspondió a este último? EJERCICIO 19 En un comercio, un artículo que en diciembre estaba valorado en 1500 €, nos ha costado el 15 de enero 1620 €. ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida? Si en marzo le van a aumentar un 14 % su precio con respecto al de enero, ¿cuánto valdrá en ese mes? EJERCICIO 20 En la fiesta de cumpleaños de Juan, en un determinado momento un observador calculó que el 20% de los hombres sacaron su pareja para bailar, las mujeres que no bailaban representaban el 36% del total de personas que no bailaban; si en la fiesta había 8 mujeres que bailaban a) ¿Cuántos invitados habían? b) ¿Qué porcentaje del total representan las personas que no estaban bailando?

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

Respuesta 200 21.62% S/. 640 en la c y a S/93.6 375 Ahorra 66.08€ S/.192 625 S/. 7800 a) 65 invitados b) 75.76% 25

REGLA DE TRES Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.  Calcular las operaciones básicas.  Razonar e interpretar un enunciado reconcomiendo la incógnita.  Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños a la acampada? EJERCICIO 2 Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? EJERCICIO 3 Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? EJERCICIO 4 Doce limpiadores barren todo un teatro en ocho. ¿Cuántos limpiadores hacen falta para hacerlo en seis horas? EJERCICIO 5 Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. EJERCICIO 6 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? EJERCICIO 7 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? EJERCICIO 8 Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? EJERCICIO 10 Si abro tres desagües de una piscina, esta tarde en vaciarse dos horas. ¿Cuánto tardaré en vaciarla abriendo doce desagües? EJERCICIO 11 Se han pagado 144 000 € a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto se abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día? EJERCICIO 12 Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias? 26

EJERCICIO 13 A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2 hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿qué tiempo empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 k/h? EJERCICIO 14 Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30días ¿cuántos obreros deberán aumentarse?

EJERCICIO 15. Aplicación a la Ingeniería 3 albañiles hacen 6 casas adosadas (muros exteriores e interiores) en 4 meses y 10 días. ¿Cuánto tardarán en hacer 5 albañiles 8 casas del mismo tipo?

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43200 envases en 5 días. Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600 envases, que deben ser entregados a los 2 días. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el pedido? EJERCICIO 17 5 murciélagos se comieron cada uno 72 mosquitos una noche de verano, desapareciendo así todos ellos. Si hubieran sido 6 murciélagos, ¿a cuántos mosquitos habrían tocado? EJERCICIO 18 Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros abandonan el trabajo. ¿Cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? EJERCICIO 19 Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 días, debe fabricar 2000 prendas cada día. Si por una avería en las máquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, ¿cuántas prendas diarias debe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido? EJERCICIO 20 En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 chaquetas en 10 días. a) ¿Cuántas prendas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días? b) ¿Cuántas máquinas habría que poner en producción para fabricar 750 prendas en 15 días? c) Si se trabajara solamente con 5 máquinas, ¿cuántos días se tardaría en fabricar 750 prendas?

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

Respuesta 100 vueltas 16 limpiadores 21 obreros 5dias 30 min 14 k/h 32 obreros 10horas 27 horas 750 chaquetas, 5 maquinas, 15 días 27

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las expresiones algebraicas y su clasificación  Calcular las operaciones combinadas de expresiones algebraicas lineales.  Reconocer y calcular la teoría de exponentes, los productos notables y factorización algebraica.  Calcular las operaciones combinadas de números racionales.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Determineel conjunto solución de las ecuaciones: a) 2(3 – 4x) – 3(x + 4) = -28 b) (4x – 1)(x + 1) = 4x2

c) 2(x – a) – 4 = 2(ax – 3) d) (x – 3a)2 – (x+a)2 = a(3a – 7x)

EJERCICIO 2 Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias:

x  4 3x 2 x  4   6 4 3 2 x  xr b) a  1 r a)

x 1 x 1 x 1   1 2 3 4 xa xa  a 2 3

c) d)

EJERCICIO 3 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: x 2x  1 14   2 3 x3 x3 x 9 1 1 4 b)   2 x  b x  b x  b2 2 2 1 11    c) x 5 x 10 x3 x4 13 d)   2 x x  6 x  6x

a)

e)

x  8 x 2  1 4x  11   7 7x  3 14

f)

x 1 x  4 3x  5   x x  5 x 2  5x

g)

5 3 1,5  2  2 x  x  6 x  4 x  5x  6

h)

2 3 5   2 x  a x  a x  a2

i)

2 1 13  2  2 x  2 x  8 x  x  12 x  5x  6

j)

x2 x 1 4  2  2 x  2x  3 x  9 x  4 x  3

2

2

2

EJERCICIO 4 Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: a)

x3 5

d)

x  5  x  2  4x  5

b)

5x  1  2 x  1

e)

x3  x2 5

c)

x2  x7 1

EJERCICIO 5 ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5? EJERCICIO 6 28

Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número? EJERCICIO 7 Un automóvil tiene “4x” km/h de velocidad y otro las tres cuartas partes de la velocidad anterior. ¿Cuál es la diferencia de dichas velocidades? EJERCICIO 8 La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números? EJERCICIO 9 El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número? EJERCICIO 10 Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? EJERCICIO 11 El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? EJERCICIO 12 A un alambre se le da dos cortes y cada trozo resultante es igual a la longitud del anterior aumentado en su cuarta parte. si la longitud del lado mayor es 25 cm, calcular la longitud del lado menor en cm. EJERCICIO 13 Se reparte “D” dólares entre tres personas de tal manera que al primero le toque $30 más que al segundo y a éste la cuarta parte de lo que le toca al tercero. ¿Cuánto le toca al segundo?. (Dar la respuesta en términos de “D”). EJERCICIO 14 Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres? EJERCICIO 15: Aplicación a la Arquitectura Se desea construir una casa con techo utilizando un material rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z si el perímetro de la base resultante de la caja debe ser de 7 pies para maximizar el volumen de la caja?.

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 29

EJERCICIO 16 Un rectángulo de 56 m de perímetro tiene triple de longitud en la base que en la altura. Si llamamos x a la altura del rectángulo, ¿qué ecuación relaciona los datos del problema? a) x + 3x + x + 3x = 56 b) x + 3x = 56

c) x • 3x = 56 d) x + (x + 3) + x + (x + 3) = 56

EJERCICIO 17 Un triángulo isósceles tiene perímetro 55 m. Si la longitud de los lados iguales es el doble de la del lado desigual, la medida de cada uno de los lados es: a) b) c) d)

15, 15 y 25 19, 19 y 17 22, 22 y 11 11, 11 y 33

30

EJERCICIO 18 Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello S/. 1180. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más S/. 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más S/.8, ¿cuánto cuesta cada material? EJERCICIO 19 La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años, halle la edad de cada una EJERCICIO 20 Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio 2.

4

6 8 10 12 14 16 18 20

Respuesta a)8/5 b)a/(1+r) c)10/7 d) 9a a)22 b)3 c)Ǿ d)11 e)6 5 51 4 16 $4 a Goma 2, cuader 26 y lap 12 38 ciruelas

REGLA DE TRES Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer la proporción geométrica entre dos cantidades.  Aplicar las propiedades de proporcionalidad.  Identificar magnitudes directamente e inversamente proporcionales.  Efectuar operaciones con magnitudes directas e inversamente proporcionales.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA EJERCICIO 1 Juan sale en su automóvil a las 9 am rumbo al norte del país hacia una ciudad que se encuentra a 594 km de distancia, si a las 12 del mediodía se detiene para almorzar y observa que ya ha recorrido 324 km, entonces ¿cuanto tiempo más tendrá que conducir su auto a la misma velocidad para llegar a su destino? EJERCICIO 2 Un jardinero debe realizar trabajos de mantenimiento a las áreas verdes de un club campestre y tarda 21 días en hacer los 7/12 del trabajo. Calcule en cuantos días más terminará el trabajo que se le encomendó. EJERCICIO 3 Para pintar una pared de forma cuadrada de 3 m de lado, un pintor ha requerido de 5 horas. Calcule cuanto tiempo requerirá para pintar otra pared de forma cuadrada pero de 6 m de lado.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA EJERCICIO 4 Un sastre se comprometió a confeccionar un terno y entregarlo en una semana, pero debido a los cortes de energía eléctrica en su localidad, generada por los trabajos de mantenimiento por parte de la empresa de EDELNOR, lo entregó 4 días después porque tuvo que trabajar 4 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó cada día? EJERCICIO 5 Se ha requerido de 15 especialistas para realizar la perforación de un pozo en 8 días. Cuántos especialistas más serán necesarios contratar para realizar en 5 días la perforación de otro pozo de iguales dimensiones.

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EJERCICIO 6 En un cuartel hay una población de 13 500 soldados con una provisión de víveres para 8 meses. El comandante a cargo recibe órdenes de trasladar x soldados a otro cuartel de modo que los víveres puedan durar 4 meses más, dándoles siempre la misma ración. ¿Cuántos soldados deberán ser trasladados?

REGLA DE TRES COMPUESTA EJERCICIO 7 Un agricultor siembra un terreno de forma cuadrada de 15 m de lado en 10 días. En cuántos días sembrará otro terreno cuadrado de 10 m de lado. EJERCICIO 8 Durante 12 días de trabajo, 8 albañiles han hecho las 2/3 partes de una obra, abandonando la obra 6 de ellos por motivos de salud, Calcule el número días que demorarán los albañiles restantes para terminar la obra. EJERCICIO 9 15 personas se comprometen a realizar una obra en 24 días. Al cabo de 18 días han avanzado 5/11 de la obra. Determine el número de personas que se deberán integrar a las 15 anteriores para terminar la obra en el tiempo fijado. EJERCICIO 10 Cinco agricultores siembran en 14 días, trabajando 10 horas diarias, un terreno de forma cuadrada de 20 m de lado. Determine el número de agricultores que se necesitan para sembrar otro terreno de forma cuadrada de 40 m de lado, trabajando 7 horas diarias, durante 20 días. EJERCICIO 11 (APLICACIÓN A LA INGENIERÍA CIVIL) Un ingeniero civil se compromete a realizar la construcción de dos secciones de las vías de un ferrocarril, con igual dificultad para el trabajo. En cada sección emplea 80 trabajadores y al cabo de 50 días, observa que mientras los primeros han hecho 3/8 de su trabajo, los otros han construido los 5/7 del suyo y deseando terminar la primera sección en 120 días, decide pasar x trabajadores de la segunda a la primera sección. Determine el valor de x.

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EJERCICIO 12

(APLICACIÓN A

LA

INGENIERÍA

INDUSTRIAL) En una embotelladora de gaseosas, se trabaja 10 horas diarias con 5 maquinas durante 20 días embotellándose 2 400 gaseosas con una eficacia del 80% por máquina. Determine el número de gaseosas

que se podrán

embotellar trabajando con 7 máquinas con una eficacia del 75%, si trabaja 24 días a razón de 9 horas diarias.

EJERCICIO 13 En 180 kg de aceite comestible hay 5 kg de aceite puro de pescado y el resto es aceite de soya. Determine cuantos kilogramos de aceite de soya habrá que agregar a estos 180 kg para que en cada 5 kg de la mezcla haya tan sólo 1/12 de kg de aceite de pescado.

EJERCICIO 14 Una guarnición de 1 300 hombres tiene víveres para 4 meses, si se quiere que los víveres duren 10 días más. ¿En cuántos hombres habrá que disminuir la guarnición? EJERCICIO 15 En una fábrica de calzado veinte operarios pueden producir 120 zapatos en 18 días. Determine el número de operarios que serán necesarios para lograr producir 160 zapatos en 24 días.

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Un albañil al construir una pared observa que a las 6 horas de haber iniciado el trabajo ha construido los 3/5 de la pared. Determine el tiempo que debe seguir trabajando para terminar la obra. EJERCICIO 17 En un estudio contable se estima que cinco contadores pueden hacer un balance en 6 días, calcule el número de contadores que deberán ser contratados para que el trabajo se termine en solo 2 días.

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EJERCICIO 18 Un grupo de excursionistas lleva víveres para 24 días, pero en el inicio del camino se incorporan a ellos tres personas más, y por ello, los víveres sólo alcanzaron para 20 días. Determine el número de excursionistas que partieron llevando víveres para 24 días. EJERCICIO 19 Dos albañiles se comprometen para hacer una obra en 15 días, trabajando 8 horas diarias. Si después del tercer día se incorpora al trabajo un albañil más, terminando la obra antes del tiempo estipulado. Determine el número de días que trabajó el albañil que se integró al tercer día EJERCICIO 20 Un hombre y dos mujeres pueden hacer una obra en 10 días. Determine el tiempo necesario para que dos hombres y una mujer puedan hacer un trabajo el cuádruple de considerable que el anterior; sabiendo que el trabajo de un hombre y de una mujer están en relación de 3 a 2. Respuestas a los problemas pares: Ejercicio

Respuesta

2.

15 días

4.

7 horas

6.

4 500 soldados

8.

24 días

10.

20 agricultores

12.

3 402 gaseosas

14.

100 hombres

16.

4 horas

18.

15 excursionistas

20.

35 dias

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las expresiones algebraicas y su clasificación  Calcular las operaciones combinadas de expresiones algebraicas lineales.  Reconocer y calcular la teoría de exponentes, los productos notables y factorización algebraica.  Calcular las operaciones combinadas de números racionales.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones enteras: e) 2(3 – 4x) – 3(x + 4) = -28

g) 2(x – a) – 4 = 2(ax – 3)

f) (4x – 1)(x + 1) = 4x2

h) (x – 3a)2-(x+a)2 = a(3a – 7x)

EJERCICIO 2 Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias: e)

x  4 3x 2 x  4   6 4 3

f)

a

x  xr 2 1 r

g)

x 1 x 1 x 1   1 2 3 4

h)

xa xa  a 2 3

EJERCICIO 3 Resolver las siguientes ecuaciones racionales: k)

x 2x  1 14   2 3 x3 x3 x 9

p) x  1  x  4  32x  5

l)

1 1 4   2 x  b x  b x  b2

q)

5 3 1,5  2  2 x  x  6 x  4 x  5x  6

m)

2 2 1 11    x 5 x 10

r)

2 3 5   x  a x  a x 2  a2

n)

x3 x4 13   2 x x  6 x  6x

s)

2 1 13  2  2 x  2 x  8 x  x  12 x  5x  6

o)

x  8 x 2  1 4x  11   7 7x  3 14

t)

x2 x 1 4  2  2 x  2x  3 x  9 x  4 x  3

x

x5

x  5x

2

2

2

EJERCICIO 4 Resolver las siguientes ecuaciones con radicales: f)

x3 5

i)

x  5  x  2  4x  5

g)

5x  1  2 x  1

j)

x3  x2 5

h)

x2  x7 1

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EJERCICIO 5 ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5? EJERCICIO 6 Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número? EJERCICIO 7 Un automóvil tiene “4x” km/h de velocidad y otro las tres cuartas partes de la velocidad anterior. ¿Cuál es la diferencia de dichas velocidades? EJERCICIO 8 La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números? EJERCICIO 9 El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número? EJERCICIO 10 Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? EJERCICIO 11 El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? EJERCICIO 12 A un alambre se le da dos cortes y cada trozo resultante es igual a la longitud del anterior aumentado en su cuarta parte. Si la longitud del lado mayor es 25 cm, calcular la longitud del lado menor en cm. EJERCICIO 13 Se reparte “D” dólares entre tres personas de tal manera que al primero le toque $30 más que al segundo y a éste la cuarta parte de lo que le toca al tercero. ¿Cuánto le toca al segundo? (Dar la respuesta en términos de “D”). EJERCICIO 14 Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres?

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EJERCICIO 15 (Aplicación a la Arquitectura) Se desea construir una casa con techo utilizando un material rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z si el perímetro de la base resultante de la caja debe ser de 7 pies para maximizar el volumen de la caja?

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Un rectángulo de 56 m de perímetro tiene triple de longitud en la base que en la altura. Si llamamos x a la altura del rectángulo, ¿qué ecuación relaciona los datos del problema? a) x + 3x + x + 3x = 56

c) x • 3x = 56

b) x + 3x = 56

d) x + (x + 3) + x + (x + 3) = 56

EJERCICIO 17 Un triángulo isósceles tiene perímetro 55 m. Si la longitud de los lados iguales es el doble de la del lado desigual, la medida de cada uno de los lados es: a) 15, 15 y 25

c) 22, 22 y 11

b) 19, 19 y 17

d) 11, 11 y 33

EJERCICIO 18 Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello

S/. 1180. Si cada

cuaderno cuesta el triple de cada goma, más S/. 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más S/. 8, ¿cuánto cuesta cada material? EJERCICIO 19 La edad de María es el triple de la de Esther y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años, hallar la edad de cada una

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EJERCICIO 20 Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú? Respuestas a los problemas pares: Ejercicio

Respuesta

2.

a)8/5

b) a/(1+r)

4.

a)22

b) 3

6.

5

8.

51

10.

4 unidades

12.

16 cm

14.

$4

16.

Alternativa (a)

18.

Gomas de borrar 2 , cuadernos 26 y lápices 12

20.

38 ciruelas

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c)10/7 c)Ǿ

d) 9a d)11

e)6

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las expresiones algebraicas.  Calcular las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, potenciación y radicación de números reales y de expresiones algebraicas.  Ecuaciones de primer con una incógnita.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 1. Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2 – 7x +12 = 0

g) 2x2 + 5x + 1 = 0

b) x2 – 2x = 0

h) 4x2 + 2x = 1

c) 3x2 = 9x

i) 5x2 + 3x = 2

d)

x2

+ 15x + 56 = 0

j)

25x2

+ 49 = 70x

e) 2 = 12x2 + 5x

k) 3x2 + x = 6

f) 25x2 – 64 = 0

l) 7,63x2 + 2,79x = 5,32

m)

x2 x   3(x  5) 6 2

n)

1 2 1 (x  4)  (x  5)  (x 2  53) 4 5 5

EJERCICIO 2 2.

Resolver las siguientes ecuaciones:

2 1 x3

c)

1 1  x x 1 2

d)

a) x  b)

x2

e)

x  1 x  1 2x  9   x 1 x 1 x3

x  3 5x  1  0 2x  1 4 x  7

f)

x 1 x 2  3 x 1 x  2

x 1 2



2 2x  3

EJERCICIO 3 3. Resolver las siguientes ecuaciones: a)

3  5 x  13

d)

x  25  x 2  7

g)

2  x  x  36

b)

11  3 x  5

e)

x  25  x 2  1

h)

2x  x  1  3x  7

c)

x  4x  1  5

f)

2

x  x  5 1

EJERCICIO 4 4. Resolver las siguientes ecuaciones literales: a) x 2  2ax  35a 2  0

d)

3a 2x  1 x a

f)

a  x a  2x   4 ax ax

e)

3x a x 2   0 4 2 2a

g)

x2 a2  x  1 2a  4

b) 10x 2  36a 2  3ax c)

x 2  2ax  6ab  3bx

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EJERCICIO 5 5. Encuentra y corrige el error:

7x 2 3 9 9 x 2  9  7 x 2  27 x2  1 

a)

b)

(3 – x)2 – (2 + x2) = x2 9 – 6x + x2 – 2 – x2 = x2 x2 + 6x – 7 = 0 (x - 1) (x + 7) = 0

9 x 2  7 x 2  27  9 x + 1 = 0 por lo tanto: x = -1 x – 7 = 0 por lo tanto: x = 7

x2  9 x3

c)

3x  7 = x + 3 3x + 7 = x2 + 9 0 = x2 – 3x + 2 0 = (x – 2)(x – 1) x – 2 = 0 por lo tanto x = 2 x – 1 = 0 por lo tanto x = 1

C.S. = {-1 ; 7}

C.S = { 3 }

C.S. = {1; 2}

EJERCICIO 6 Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2 = 64

l)

b)

x2

– 2x – 1 = 0

c)

x2

– 6x + 4 = 0

m)

d) x2 – 14x + 49 = 0 e) x 2  3 x 

3 0 4

f) a2x2 – b2 = 0 g)

2x  7  x  2

h)

2x  6  x  4  1

i)

4

( x 2  x  4)3  8

j)

x  1  3x  1

k)

x  x  20  10

n) o) p) q) r)

x  5  x  5  10 20  x x x 1 1  3 x x 1 x 1  3 2 x 4 x2 1 4  1 x x 1 3 4x  1  x 4 5 x   x 3 6

4 3  1 x 1 x  2 9 t) x  5 x 1 x 1 x 1 u)  0 3 x2 s)

v)

3

( x 2  5)2  16

w)

3

( x 2  x  22)4  16

x) ( x 2  2)5 / 2  32

EJERCICIO 7 Calcula dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor. EJERCICIO 8 El cociente de dividir 84 entre cierto número excede en 5 a éste número. Calcula dicho número. EJERCICIO 9 La longitud de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 metros y el ancho en 6 metros, el área se duplica. Calcular las dimensiones del terreno. EJERCICIO 10 Ana tiene tres años más que Betty, y el cuadrado de la edad de Ana aumentado en el cuadrado de la edad de Betty equivale a 317. Calcula dichas edades.

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EJERCICIO 11 Para cada par de ecuaciones de oferta y demanda en los ejercicios siguientes, “x” representa la cantidad demandada (en unidades de millar) y “p” es el precio unitario (en dólares). Indique en cada caso la cantidad y el precio d equilibrio: 1) p = - 2x2 + 80 p = 15x + 30

2) p = - x2 – 2x+ 100 p = 8x + 25

3) 11p + 3x – 66 = 0 2p2 + p – x = 10

EJERCICIO 12 Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus tres lados forman una progresión aritmética de razón 4. EJERCICIO 13 La edad de un niño será dentro de 3 años un número que es cuadrado perfecto y hace 3 años, su edad era precisamente la raíz de ese mismo cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá el niño dentro de 15 años? EJERCICIO 14 En un torneo de ajedrez cada maestro juega una vez con cada uno de los restantes. Si en total se juegan 210 partidas. ¿Cuántos maestros había en el torneo? EJERCICIO 15 Por cada $100 que interviene en préstamos comerciales de seguros, un banco recibe $116.64 después de 2 años. Esta cantidad representa el capital y los intereses compuestos anualmente. ¿Cuál es la tasa de interés?

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Un distribuidor de licores compra whiskey a $2 la botella y la vende a $p. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas a la semana) está dado por x = 24 – 2p, cuando el precio es p. ¿Qué valor de p da ingresos totales de $7 millones semanales? ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de $4,8 millones a la semana? EJERCICIO 17 El gerente de una tienda de bicicletas sabe que el costo en dólares de vender q bicicletas es C = 20q + 60 y el ingreso de vender q bicicletas es I = q2 – 8q. Encuentre el punto de equilibrio. EJERCICIO 18 Un padre con su hijo trabajando juntos pueden terminar un trabajo en 12 días. Trabajando separadamente el hijo demoraría 7 días más que el padre en hacer el mencionado trabajo. ¿Cuántos días demora el padre trabajando solo?

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EJERCICIO 19 Al multiplicar dos números que se diferencian en 10 unidades, un estudiante comete un error disminuyendo en 3 la cifra de las decenas en el producto. Al dividir el producto obtenido por el menor de los factores obtuvo por cociente 20 y residuo 9. Hallar el verdadero producto. EJERCICIO 20 Un terreno rectangular se desea cercar con 40m de alambre. ¿Cuál es el área máxima que puede tener el terreno? . Suponga que se utiliza todo el alambre.

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio Respuesta 2.

  4  14  a) c.s    b) c.s.= { 1/3; -1} c) c.s  4 d) c.s.= {-2/3 ;5} e) c.s   5 / 3; 3 2  

4.

a) c.s   7a,5a

6.

a) c.s   8,8 i) c.s   4,5

a a   2 a  2

c) c.s   3b,2a e) c.s   a / 2,2a g) c.s   ,



c) c.s  3  5



e)

k) c.s  36 m) c.s   5,4

q) c.s   1,3 / 4 s) c.s   3,1 u) c.s   1,1 8.

El número es 7

10.

Ana = 14 años , Betty 11 años

12.

Hipotenusa = 20

14.

21 maestros

16.

a) p = $5 ó $7

18.

x = 17

20.

100 m2

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  3  12  c.s    2  

g)





c.s   3

1  31    3 

o) c.s  

w) c.s   5,6

b) $6 ó $8

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las incógnitas de una ecuación.  Utilizar las variables para modelar una ecuación.  Resolver ecuaciones de primer grado.  Modelar una ecuación lineal.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 1. Resuelve los siguientes sistemas:  4 x  5 y  0 a)  2x  y  6

x  2 y  3   d)  3 2 x  y  4

4p  3q  0 b)  3p  4q  6

xy

xy

  8 e)  2 3  x  y  x  y  1 4  3

3v  6t  12 c)  5v  4t  6

EJERCICIO 2 Las siguientes ecuaciones lineales de dos variables: (a + b)x + (a – b)y = 15 (2a – 3b)x + (2a – 5b)y = a + 2b Admite como soluciones: x = 3 é y = -7. Calcula: 2(b – a) EJERCICIO 3 Los lados de un triángulo equilátero miden: (y +2) cm, (x + 2y) cm y (y – 2x)cm. Calcule el perímetro de dicho triángulo. EJERCICIO 4 Resuelve los siguientes sistemas:

2x  4y  6z  22  a) 3x  8y  5z  27  x  y  2 z  2 

3x  2y  8z  9  b)  2x  2y  z  3  x  2y  3z  8 

2y  3z  7  c) 3x  6y  12z  3 5x  2y  2z  7 

2x  y  z  180  d) x  3y  2z  300 2x  y  2z  240 

EJERCICIO 5 En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, luego las patas, son 134. a) Determine el sistema de ecuaciones lineales que permita calcular el número gallinas y conejos. b) Calcule el número de gallinas y conejos que hay en la granja.

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EJERCICIO 6 Resuelve los siguientes sistemas: a)

 x  1    x  1  

1 2y 1 y

 b) 2x  3 y  16

8 x  2 y  36

1 1 1  x  y  12  c)  1 1 1     y z 20 1 1 1     x z 15

5 x  2 y  31 d)  25 x  4y  589

EJERCICIO 7 En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros.

a) Determine el sistema de ecuaciones lineales que al resolverlanos permita conocer el número de botellas de dos y cinco litros.

b) Calcule el número de botellas de dos y cinco litros que se han utilizado. EJERCICIO 8 En una nevera hay 22 latas de refresco, unas de 1/3 de litro y otras de 1/5 de litro de capacidad. Si en total contienen 6 litros de refresco. Calcule el número de latas que hay de cada tipo. EJERCICIO 9 (Aplicación a la ingeniería Química) Un químico tiene dos concentrados de ácidos clorhídrico en el almacén: una solución al 50% y otra al 80% .Qué cantidad de cada solución debe mezclar para obtener 100 mililitros de solución al 68%? EJERCICIO 10 De un grupo de niños y niñas, se retiran once niños y ocho niñas, quedando dos niños por niña, luego se retiran catorce niños y retornan cuatro niñas, quedando entonces tantos niños como niñas.

a) Deduzca el sistema de ecuaciones lineales que permita conocer el número de niños y niñas. b) Calcule el número de niños que quedaron finalmente. EJERCICIO 11 (Aplicación a la Geología) Un temblor de tierra emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie de la tierra la onda primaria viaja a unas 5 millas/segundo, y la onda secundaria a unas 3 millas/ segundo. Por el retraso de tiempo entre la llegada de las dos ondas a una estación dada es posible estimar la distancia del temblor. (El epicentro puede ser localizado al obtener las marcaciones de distancias a tres o más estaciones). Supongamos que una estación mida una diferencia de tiempo de 16 segundos entre la llegada de las dos ondas. ¿Cuánto tiempo viajó cada onda y qué tan lejos de la estación se originó el temblor?

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EJERCICIO 12 Se han comprado 96 prendas entre chompas y camisas, cada chompa costó 68 soles y cada camisa 47 soles ascendiendo el importe total a 5 562.

a) Modele el sistema de ecuaciones lineales que al resolverla permita conocer el número de chompas y camisas que se compraron.

b) Calcule el número de chompas y camisas que se compró. EJERCICIO 13 Una caja de monedas contenía sólo monedas de 5 y 10 centavos por un valor de $6,05(dólares). Si en total había 89 monedas, ¿Cuántas eran de cada tipo? EJERCICIO 14 Las dos terceras partes de la edad de Juan exceden en 4 años a la de Susana, y hace 8 años, la edad de Juan era el doble que la de Susana.

a) Modele el sistema de ecuaciones lineales que al resolverla permita conocerlas edades de Juan y Susana.

b) Calcule las edades de Juan y Susana. EJERCICIO 15 Dentro de 12 años la edad de Pepito será el doble de la edad que tenía hace 4 años. ¿Cuál es la edad actual de Pepito?

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Calcule el valor de “m” para que el siguiente sistema tenga solución única: 14x + 3y = 13 3x – 2y = 16 mx + y = 7

EJERCICIO 17 Resuelve los siguientes sistemas: 1 1 7  x  y  12  a)  1 1 3    y z 4 1 1 5    x z 6

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3x  2 y  15 b)  6 x  3 y  9

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EJERCICIO 18 Una familia consta de varios hijos entre niños y niñas, alguien preguntó cuántos eran, y la niña mayor respondió que tenía tantas hermanas como hermanos a lo que el niño mayor añadió que tenía el doble de hermanas que hermanos. a) Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el número de niños y niñas de dicha familia. b) Calcule el número de niñas que hay en dicha familia. EJERCICIO 19 Una de las salas de un cine de la ciudad de Lima tiene 900 asientos y cobra $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto. En cierta función, con dicha sala llena, había la mitad de adultos con respecto del número de niños y estudiantes juntos. Los ingresos totales fueron de $2 800. ¿Cuántos niños fueron a la función? a) Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el número de niños, estudiantes y adultos que asistieron a la función en dicha sala. b) Calcule el número de niños que asistieron a la función del cine en dicha sala. EJERCICIO 20 En la realización de una obra, se observa que el maestro de obra gana el doble de lo que gana un albañil y el triple de lo que percibe su ayudante. Entre los tres perciben 11 000 soles.

a) Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione lo que ganan el maestro de obra, el albañil y el ayudante.

b) Calcule la cantidad que gana el maestro de obra.

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio

Respuesta

2.

75

4.

a) c.s.={7/2; ½ ; 5/2}

6.

a)c.s.= {7/3; ¾}

8.

12 latas de 1/3 de litro y 10 latas de 1/5 de litro

10.

a) 2y –x = 5 ; x-y = 21

12.

a) x + y= 96 ; 68x + 47y = 5562

14.

a) 2/3J = 4 + S ; J – 8 = 2(S-8)

16.

6

18.

a) y – 1 = x ; y= 2(x -1)

20.

a) Maestro: 2x ; albañil= x ; ayudante= 2/3 x

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b) c.s.= {3;4;1}

b) c.s.={5; 4}

c) c.s.= {-1; 2,1}

c) c.s.= {20; 30; 60} d) c.s.={25; 9}

b) 22 niños b) chompas= 50 ; camisas= 46 b) J= 48 años ; S = 28 años b) 4 niñas b) 6000 soles

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INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las ecuaciones de primer grado con una incógnita.  Realiza operaciones de suma y resta de fracciones.  Modelar ecuaciones de primer grado a partir de enunciados.  Resolver ecuaciones de primer grado.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Identifique cuáles de las siguientes inecuaciones son lineales. c) 𝑥 2 + 3𝑥 – 2 < 𝑥 + 1 𝑥 + 2

a) 3𝑥 + 2 > 0 b) 5𝑥 + 3 > 1 −

1 5𝑥

−1

d) 3𝑥 2 − 2𝑥 > (𝑥 − 2)(2𝑥 + 1)

EJERCICIO 2 Resolver las siguientes inecuaciones lineales: a) 7x + 5 < 2x – 10

2 e) ( x  2)  ( x  2)(x  2)  8 f) (x+1)(x–2) – (4x–1)(3x+5) – 6 < 8x – 11(x – 3)(x + 7)

b) x – (4 + 2x) + 3 < 2x + 3 c) 3,25 + 6,82x > 0,76x + 6,28 d) 10 – {2x – 5(x + 1) + 7}  2(1 – 2x) EJERCICIO 3 Resolver las siguientes inecuaciones: a)

3 1 (2x  3)  (5x  1) 5 10

e)

x2 x3  5 3 2

b)

3x  4 6x  7  2 5

f)

3 x 1 2x 1    4 2 3 4

c)

2 1 x5x 3 2

g)

3 x 1 2 (x  2)    (3x  2) 5 3 2 3

h)

x2 x3 x4   3 2 4

d) 3x 

2x x 7   5 10 4

i)

2x  5 2x  2 3 x  2   1 2 3 8

EJERCICIO 4 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales: a) –7 < x – 2 < 4 b) –6 < 2x – 3  5 c) 9  2x  3  x  9 d) –4 

2x  1 2 3

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3x  8 2  6 3 1  3x f )3  10 4 g) x  3  2x  2  x  5

e)  1 

h) x  5  i)

2x  6  x2 3

x2  4  x  2  3x 5

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EJERCICIO 5 Escribe una inecuación lineal de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 , cuya solución sea el intervalo ] − 2; +∞[. EJERCICIO 6 Al resolver la inecuación lineal:

3x 3 20 5  ( x  2)  2   ( x  1) 4 2 3 2

Hallar el número de valores enteros positivos del conjunto solución. EJERCICIO 7 Un laboratorio que produce perfumes encuentra que el costo total C de producir x unidades está dado por C = 20x + 100 dólares. Si cada unidad producida se vende a 24 dólares. a) Modele la inecuación lineal que exprese obtener alguna utilidad en la venta de los perfumes. b) Determine el nivel de producción para obtener alguna utilidad. EJERCICIO 8 (APLICACIÓN A LOS NEGOCIOS) La utilidad

mensual

(en dólares)

por

la

venta de polos exclusivos se puede expresar como

13𝑥 − 4500, donde 𝑥 representa la cantidad de polos producidos y vendidos. a) Modele la inecuación lineal que permita obtener alguna utilidad en la venta de los polos. b) Determine el número de polos que deben producirse y venderse para obtener utilidades comprendidas entre $2000 y $5500, inclusive. EJERCICIO 9 Un fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo; gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos fijos de $3 000 a la semana en la operación de la planta.

a) Modele la expresión que permita conocer la utilidad en las ventas de dicho artículo. b) Determine el número de unidades que deberá producir y vender para obtener utilidades. c) Determine el número de unidades que deberá producir y vender para obtener utilidades de al menos $1000 a la semana. EJERCICIO 10 La compañía MATE. SA. tiene costos fijos totales de 100 000 dólares y costos variables totales iguales al 80% de los ingresos totales. a) Modele la expresión que permita conocer la utilidad en las ventas de la compañía MATE. SA. b) Determine el nivel de ingresos que debe tener la empresa MATE. SA. para obtener una ganancia no menor a 40 000 dólares EJERCICIO 11 Un fabricante de repuestos puede vender todas las unidades producidas al precio de $0,3 cada uno. Tiene costos fijos a la semana de $300 y costos por unidad de $0,1 en materiales y mano de obra.

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a) Modele las expresiones que permitan conocer el Ingreso, Costos totales y Utilidad que obtiene el fabricante en la ventas de q repuestos.

b) Determine el número de repuestos que deberá fabricar y vender diariamente con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $120. EJERCICIO 12 (APLICACIÓN A LOS NEGOCIOS) En una tienda pequeña se emplean dos trabajadores de tiempo parcial. Los sueldos totales que tienen van de $128 a $146 por semana. Si uno de ellos gana $18 más que el otro. Determinar: a) La desigualdad que me permita encontrar el sueldo de cada empleado. b) Los sueldos semanales posibles de cada uno de ellos. Una compañía de publicidad determina que el costo de cada ejemplar de una revista es de $1,5. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1,4 por revista. El ingreso por publicidad es el 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares por arriba de 10 000 ejemplares. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que se deben vender para que la compañía obtenga utilidades? EJERCICIO 13 Una compañía vende escritorios de oficina a $100 cada uno. Si el costo es de $60 y la empresa tiene costos fijos de $1200. Determine: a) Las expresiones que representan el costo total, los ingresos y las correspondientes utilidades. b) ¿Cuántos escritorios tendrá que vender la compañía para tener utilidades de al menos $2400? EJERCICIO 14 Resolver: a)

2 x  1 2 x  1 2 3x  2    5 2 3 6

b) 2(x – 3) + 4 < 4 – x 

5x  4 3

EJERCICIO 15 Una compañía de publicidad determina que el costo de cada ejemplar de una revista es de $1,5. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1,4 por revista. El ingreso por publicidad es el 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares por arriba de 10 000 ejemplares. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que se deben vender para que la compañía obtenga utilidades?

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Resolver las siguientes inecuaciones:

a)

2 x  1 x  13 5   3x  ( x  1) 3 24 8

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b)

x7 3x  14  2x  1  2 4

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EJERCICIO 17 Resolver las siguientes inecuaciones literales:

a) ax  2  6  2bx , si a  b  0

b)

x b x a    , a a b b

si: 0 < a < b

EJERCICIO 18 Lorenzo tiene un negocio de menús y ha estimado su ecuación de costo como 𝐶 = 1600 + 2,7𝑥 y su ecuación de ingresos como 𝐼 = 5,7𝑥 ; donde 𝑥 es el número de menús vendidos en un mes.

a) Estime la ecuación de la utilidad en el negocio de Lorenzo. b) Determine el número mínimo de menús que deberá vender para que sus utilidades superen los S/.2300 mensuales. EJERCICIO 19 Suponga que los consumidores comprarán “q” unidades de un producto al precio de

100  1 dólares la q

unidad.

a) Modele la expresión que permita conocer los ingresos por las ventas de dicho producto. b) Determine el número mínimo de unidades que se debe vender para que el ingreso por ventas sea mayor a $5 000. EJERCICIO 20 Una microempresa fabricante de polos deportivos tiene costos fijos mensuales de S/.20 000, y producir una unidad cuesta S/.8. Si cada polo se vende a S/.18.

a) Modele las expresiones que permitan conocer el Ingreso, Costos totales y Utilidad que obtiene el fabricante en las ventas de q polos.

b) Determine el número de polos que deben producirse y venderse al mes para que la microempresa genere alguna utilidad.

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

Respuesta a) ]-∞;-3[ b) ]-4/3; ∞[ c) ]0,54;∞[ d) [-6/7 , ∞[ e) ]-∞; 0[ a) ]-5; 6[ b) ]-3/2 ;4] c)  d) [-11/2; 7/2] e) ]2/3; 4] 2 a) 13x -4500>0 b) 500 y 769 inclusiva a) U = 20%I – 100 000 b) más de 700 000 dólares

a)128  x  x  18  146

b) El sueldo del empleado que gana menos es de $55 a $64. a) ]-∞; -17[ b) [1;2[ a) ]-∞; -5/36[ b) ]3; 3,6] a) U= 3x – 1600 b) 1301 a) I = 18x ; C = 8x + 20 000 ; U= 10x – 20 000 b) más de 2000 unidades

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INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Reconocer las ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.  Realiza operaciones de suma y resta de fracciones.  Modelar ecuaciones de primer y segundo grado a partir de enunciados.  Resolver ecuaciones de segundo grado.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones y sustente su respuesta. I.

ax 2 + bx + c < 0(a, b, c  ℝ) es una inecuación cuadrática

II. (x − 2) (x + 1)  (x – 5) (x + 2) es una inecuación cuadrática III. Los valores extremos del conjunto solución de x 2 − 5x + 2 0 sonnúmeros racionales EJERCICIO 2 Resolver las siguientes inecuaciones: a) x – x2 – 9  0

c) 6x2< 10 – 11x

e) x 2  8x  16  0

b) 4x2 – 9 < 0

2 d) x  10  7x  0

f)

x 2  4x  4  0

EJERCICIO 3 Resolver las siguientes inecuaciones: a) 3x 2  2 x( x  4)  x  12 b) ( x  5)( x  5)  7

c)

x2 x  9 3   3 6 2

d)

x 2  5 4 x 2  1 14 x 2  1   0 3 5 15

c)

(a – x)(x – b) < 0 , si a < 0 < b

EJERCICIO 4 Resolver las siguientes inecuaciones: a) x2 – ax – bx + ab  0, si: a < b < 0 b) x2 + ax – bx – ab  0, si: 0 < a < b EJERCICIO 5 Si A = {x  R/ x2 – 5x + 6 > 0}

B = {x  R/ x + 3 > 2} Hallar el intervalo solución para A  B

EJERCICIO 6 Si el conjunto solución de la inecuación (𝑥 – 1) (𝑥 + 3) < 0, es ]𝑎; 𝑏[ , halle el valor de (𝑎 + 𝑏).

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EJERCICIO 7 Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p = 200 – x.

a) Modele la ecuación que represente el ingreso para x unidades vendidas. b) Determine el número de unidades que deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $ 9900. EJERCICIO 8 Si el precio 𝑝 de cierto artículo depende de la cantidad demandada 𝑞 y está dada por 𝑝 = 150 − 3𝑞 .

a) Modele la ecuación que represente el ingreso por la venta de 𝑞 unidades. b) Determine el número de unidades que deben producirse y venderse para obtener ingresos de al menos $ 1800. EJERCICIO 9 Un fabricante de cierto producto artesanal puede producir y vender x unidades cada semana al precio de p nuevos soles por unidad, en donde p = 200 – x. El costo de producir x unidades es 2800 + 45x nuevos soles.

a) Modele la expresión que permita conocer la utilidad en las ventas de dicho producto artesanal. b) Determine el número de unidades que deberá producir y vender por semana para obtener utilidades de al menos 3200 nuevos soles. EJERCICIO 10 El precio 𝑝 de cierto tipo de muebles depende de la cantidad demandada 𝑥 de acuerdo a la siguiente ecuación: 𝑝 = 180 − 3𝑥 . Por otro lado, el costo 𝐶 puede ser expresado como 𝐶 = 200 +

60𝑥 . a) Modele las ecuaciones que representen el ingreso y la utilidad por las ventas de los muebles a un precio de 𝑝 soles. b) Determine los posibles precios que podrán tener los muebles para obtener utilidades de al menos 700 soles. EJERCICIO 11 Un vendedor de periódicos atiende en promedio a 120 clientes a la semana, cobrándoles 4 soles por el servicio a domicilio. Por cada incremento de 0,5 soles en el precio, el vendedor pierde 8 clientes.

a) Modele la ecuación cuadrática que permita conocer los ingresos del vendedor de periódicos. b) Determine el precio máximo que deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos 520 soles.

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EJERCICIO 12 (APLICACIÓN A LOS NEGOCIOS) Los ingresos diarios de una empresa por la venta de x artículos está dada por (x 2 – 30x) y los costos totales son de (10x – 500) dólares. ¿Cuántos artículos debe vender como mínimo para obtener una utilidad de por lo menos 1000 dólares? EJERCICIO 13 Una compañía dedicada a la fabricación y venta de zapatos produce y vende mensualmente “q” pares de zapatillas y su precio de venta unitario es de (110 - q ) dólares ; el costo total mensual en dólares es de 375-40q+2q2

¿ cuántos pares de zapatos se debe producir y vender al mes para obtener una

ganancia comprendida entre 300 y 1200 dólares inclusive? EJERCICIO 14 Un fabricante de cierto producto artesanal puede producir y vender x unidades cada semana al precio de p nuevos soles por unidad, en donde p = 200 – x. El costo de producir x unidades es (2800 + 45x) nuevos soles. ¿Cuántas unidades debería producir y vender el fabricante por semana para generar utilidad de al menos 3200 nuevos soles? EJERCICIO 15 La utilidad mensual de una empresa que confecciona y vende gorros está dada por: U=x 2+50x-500, siendo x la cantidad mensual de gorros vendidos. ¿Qué cantidad mínima de gorros debe vender para que la utilidad se mayor de 14500 soles?

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIO 16 Resolver las siguientes inecuaciones: a) 2𝑥 2 + 6 ≤ 0

b) −3𝑥 2 − 5 > 0

EJERCICIO 17 Resolver las siguientes inecuaciones:

a) ( x  3) 2  (2 x  5)2  16

b) 𝑥 2 − 8𝑎𝑥 + 15𝑎2 ≥ 0 (𝑎 < 0)

EJERCICIO 18 El costo fijo de producir x artículos es S/. 100 y el costo unitario es 40 

x . Si éstos se pueden vender al 2

80% del costo fijo.

a) Modele la ecuación que represente la utilidad. b) Determine el número de artículos que deben producirse y venderse para obtener utilidades de al menos 5 veces el costo fijo.

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EJERCICIO 19 Si 𝑥 árboles producen 80 − 𝑥 frutos cada uno.Determine el número de árboles que habrán de plantarse para que la próxima cosecha supere los 1500 frutos. EJERCICIO 20 El costo de producir x lámparas está dado por C = 200 + 80x + x 2 . Si éstas se pueden vender a S/.160.

a) Modele las ecuaciones para el ingreso y la utilidad en la venta de x lámparas. b) Determine el número de lámparas que deben producirse y venderse para obtener utilidades semanales de al menos S/.1000.

Respuestas a los problemas pares: Ejercicio

Respuesta

2.

a) R

4.

a) -∞; ab; ∞ b) -a; b

6.

-2

8.

a) I = 150q – 3q2

10.

a) I= 180x – 3x2 ; U= 120x -3x2-200

12.

Al menos 50 artículos

14.

Entre 75 y 80 inclusive

16.

a) 

18.

a) U= 40x – 0,5x2-100

b) entre 20 y 60 inclusive

20.

a) I= 160x ; U=80x- 200-x2

b) entre 20 y 60 inclusive

b) -3/2; 3/2

c) -5/2; 2/3

d) 2;5 e)  f) {2}

c) -∞; ab; ∞

b) Entre 20 y 30 unidades inclusive b) 10 y 30 inclusive

b) 

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INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÒGNITAS Lo que debemos saber para iniciar este tema:  Resolver sistemas de ecuaciones lineales.  Utilizar las propiedades de un plano cartesiano.  Codificar situaciones de texto en el lenguaje algebraico EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO 1 Represente gráficamente la región limitada por las siguientes desigualdades:

a) 2