Transformada Z cap6

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6 – Transformadas z 6.1 – Introdução às Transformadas z

4

6.2 – Transformadas z – definição

7

6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos

8

Sinal x[n] = a ⋅u1[n] (exponencial discreto)

8

Exemplo 6.1

8

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto)

9

n

Exemplo 6.2

10

Exemplo 6.3

12

6.4 – Pólos discretos

13

Exemplo 6.4

13

6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos

15

Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta)

15

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto)

16

Exemplo 6.5

17

Exemplo 6.6

17

6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos

18

Exemplo 6.7

18

Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial

19

Sinais seno e co-seno discretos

20

Exemplo 6.8

21

1

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6.8 – Tabela das Transformada z de alguns sinais discretos conhecidos

22

6.9 – Propriedades da Transformada z

24

Homogeneidade (“homogeneity”)

24

Aditividade (“additivity”)

24

Linearidade (“linearity”)

24

Translação (“time shifting”)

24

Mudança de escala no domino z (“z-domain scaling”)

26

Expansão no tempo (“time scaling”)

27

Conjugado (“conjugate”)

27

Convolução (“convolution”)

28

Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”)

28

6.10 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF)

29

Teorema do Valor Inicial (TVI)

29

Teorema do Valor Final (TVF)

29

Exemplo 6.9

29

Exemplo 6.10

30

6.11 – Transformada z inversa

31

Caso 1 – Pólos reais e distintos

32

Exemplo 6.11

32

Caso 2 – Pólos complexos conjugados

33

Exemplo 6.12

35

Exemplo 6.13

35

Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.)

36

Exemplo 6.14

38

Exemplo 6.15

38

Exemplo 6.16

39

Caso 4 – Pólos múltiplos na origem

39

2

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z

41

Exemplo 6.17

42

Exemplo 6.18

43

Exemplo 6.19

45

Exemplo 6.20

47

Exemplo 6.21

48

Exemplo 6.22

50

Exemplo 6.23

52

Exemplo 6.24

53

Exemplo 6.25

54

Exemplo 6.26

55

Exemplo 6.27

56

Exemplo 6.28

57

6.13 – A resposta impulsional h[n] e H(z)

58

Exemplo 6.29

59

Exemplo 6.30

60

Exemplo 6.31

61

Exemplo 6.32

61

3

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Transformadas z 6.1 – Introdução às Transformadas z

Na análise de sistemas contínuos por vezes é mais vantajoso o uso da frequência complexa ‘s’ (Transformadas de Laplace, capítulo 5). No caso de sistemas discretos, uma ferramenta bastante comum usada para passar um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência é a Transformada z. A Transformada z também faz o uso de uma frequência complexa que neste caso é ‘z’, e portanto, ela é uma espécie de Transformadas de Laplace para sistemas discretos. Entretanto, as Transformadas z são baseadas em séries de potências, nas “Séries de Laurent”, publicadas em 1843 pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent (1813-1854). Mas, tudo indica que, embora não tivessem sido publicadas anteriormente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes, em 1841, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), um matemático alemão que frequentemente é citado como sendo o pai da análise moderna. As séries de Laurent são uma representação de um sinal por séries de potências, generalizando a conhecida expansão em séries de Taylor para casos em que esta não pode ser aplicada. As séries de Taylor tinham sido criadas pelo matemático inglês Brook Taylor (1685-1731). As transformadas z têm grande importância nos métodos actuais de análise de sistemas de controlo discreto, em processos de amostragem, no processamento de sinais digitais, etc. 4

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Fig. 6.1 – Brook Taylor (1685–1731) à esquerda, Karl Weierstrass (1815–1897) ao centro e Pierre Alphonse Laurent (1813–1854), à direita. Da expansão em série de Taylor sabemos os seguintes resultados clássicos: e

ν

=

∞

∑ n =0

log (1 + ν) =

∞

∑ n =1

νn , n!

∀ν

(−1) n +1 ⋅ ν n , n

eq. (6.1)

ν < 1, ν ≠ −1

eq. (6.2)

resultados que serão utilizados mais adiante.

Como trataremos de séries de potência infinitas, será útil relembrar aqui nesta introdução a conhecida fórmula do limite da soma de ‘progressões geométricas’ (P.G.) de razão q ≠ 0, Isto é, se xn = { a1 : a2 : a3 : … : an : … } = { a1 : a1 q: a1 q2 : a1 q3 :… }, ou seja,

ou, equivalentemente

an+1 = an ⋅ q , ∀n = 1, 2, 3, … ; an = a1 ⋅ qn-1 , ∀n = 1, 2, 3, … 5

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

A soma Sn dos n primeiros termos da P.G. é dada por:

Sn

= a1 + a1 ⋅ q + L + a1 ⋅ q n

n

∑ ak

=

k =0

=

a 1 ⋅ (q n − 1) , (q − 1)

eq. (6.3)

enquanto que, se a P.G. for ilimitada (ou infinita) e a razão q satisfaz q < 1 , isto é –1 < q < 1 , então, a soma S de todos os termos é dada por:

S = a1 + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + a1 ⋅ q 3 + L =

∞

an ∑ n =0

=

a1 , (1 − q )

eq. (6.4)

Outro resultado conhecido é o limite da série infinita abaixo:

α + 2 ⋅ α2 + 3⋅ α3 + 4 ⋅ α4 + L =

6

+∞

n ⋅αn ∑ n =0

=

α . (1 − α ) 2

eq. (6.5)

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6.2 – Transformadas z – definição Para representar as transformadas z de um sinal discreto x[n] usa-se seguinte a notação:

Z { x[n] }

X(z)

ou

que é semelhante à notação adoptada para as Transformadas de Laplace no capítulo anterior. A definição das Transformada z unilateral de um sinal discreto x[n] é: +∞

Z { x[n ] } = X ( z) = ∑ x[ n ] ⋅ z −n n =0

eq. (6.6)

onde z ∈ C é um número complexo. A eq. (6.6) acima é chamada de Transformada z unilateral pois é definida para sinais x[n] onde

x[n] = 0

para n < 0

e é a definição de Transformada z adoptada aqui pois, a exemplo da Transformada de Laplace (capítulo 5), é esta a que tem maior aplicação para sistemas dinâmicos.

Fig. 6.2 – Um sinal x[n] com valor nulo para n < 0 ( x[n] = 0, n = –1, –2, … ). Além desta definição de Transformada z unilateral (para n = 0, 1, 2, …) que adoptamos aqui, há também a Transformada z bilateral (que é definida para ∀n, ou seja: n = 0, ±1, ±2, …). 7

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos Nesta secção serão apresentados as Transformadas z do sinal discreto x[n] = an, assim como de x[n] = u1[n] = degrau unitário, partindo da definição de X(z) dada em eq. (6.6). Sinal x[n] = a ⋅u1[n] (exponencial discreto) n

Considere o sinal discreto:

x[ n ] = a n ⋅ u 1[ n ] onde u1[n] é o degrau unitário discreto. Usando a definição eq. (6.6) vemos que a Transformada z deste sinal é:

X(z) = =

∞

a n ⋅ u [ n ] ⋅ z −n ∑ n =0 1

∞

∑ (a ⋅ z n =0

−1

)n

que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = 1 e a razão q = a⋅z–1. Usando eq. (6.4), obtém-se:

X(z) =

+∞

1 , (1 − a ⋅ z −1 )

∑ (a ⋅ z −1 )n =

n =0

eq. (6.7)

ou

Z

{ a n ⋅ u1[n ] } =

z , (z − a )

eq. (6.8) 

Exemplo 6.1: Considere o sinal x[n] x[ n ] = 5 u o [ n + 1] + 3 u o [ n ] − 2 u o [ n − 1] + 4 u 0 [ n − 2] ou seja, 8

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

se n = −1  5,  se n = 0  3,  x[n ] = − 2, se n = 1  se n = 2  4,   0, ∀ outro valor de n que se encontra ilustrado na figura 6.3.

Fig. 6.3 – O sinal x[n] do exemplo 6.1.

Agora, usando a definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que: X(z) =

3 − 2 z −1 + 4 z −2

Note que o termo com valor 5, para n = –1 desaparece pois está à esquerda da origem [eq. (6.6), definição de Transformada z unilateral]. 

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) No caso particular de a = 1 no sinal anterior, corresponde ao sinal

x[n] = u1[n] que é o degrau unitário discreto. 9

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Logo, do resultado obtido no sinal anterior, obtemos que a Transformada z de u1[n] é:

X (z) =

1 , (1 − z −1 )

ou,

Z

{ u 1[ n ] }

=

z , ( z − 1)

eq. (6.9) 

Exemplo 6.2: Considere o sinal discreto. n

n

1 1 x[ n ] = 5 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] − 2 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] 2 3

A Transformada z deste sinal é:

  1  n Z { x [ n ] } = X ( z ) = ∑ 5 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] n = −∞   2 +∞

n  1 2 ⋅   ⋅ u 1 [ n ] ⋅ z − n  3

−

n

+∞

1 = 5 ∑   ⋅ u 1[ n ] ⋅ z − n n = −∞ 2  +∞

1  = 5 ⋅ ∑  ⋅ z −1   n =0  2

n

−

−

n

∞

1 2 ∑   ⋅ u 1[ n ] ⋅ z −n n = −∞ 3 

∞

1  2 ⋅ ∑  ⋅ z −1   n =0  3

n

ou seja,

X (z) =

5 1 1 − z −1 2

−

2 1 1 − z −1 3

Usando as equações eq. (6.7) para a = ½ e 1 = 1/3, descobre-se que: 10

eq. (6.10)

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

 1  n  Z   ⋅ u 1[ n ]  2  

=

1  1 −1  1 − z  2  

=

 1  n  Z   ⋅ u 1[n ] =  3  

1  1 −1  1 − z   3 

=

z 1  z −  2 

e que z 1  z −  3 

e logo, o resultado obtido na eq. (6.10) acima significa que: n   1  n  1 Z 5 ⋅   ⋅ u 1[ n ] − 2 ⋅   ⋅ u 1[ n ] =   2    3

 1  n  = 5 ⋅ Z   ⋅ u 1 [n ]  2  

−

 1  n  2 ⋅ Z   ⋅ u 1[ n ]  3  

Este resultado obtido se dá devido à propriedade da linearidade da Transformada z , a semelhança das Transformadas de Laplace no capitulo 5, e será visto mais adiante na secção 6.9 (Propriedades da Transformada z). Agora, continuando os cálculos a partir da eq. (6.10) temos que:

Z { x[ n ] }

 2   3 − z −1  3   =  1 −1  1 −1  1 − z 1 − z   2  3 

que também equivale a:

Z { x[n ] }

 2 z ⋅  3z −  3  =  1  1   z −  z −  2  3 

eq. (6.11) 

11

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Exemplo 6.3: Considere a Transformada z do sinal x[n] = a ⋅u1[n] já vista nas eq. (6.7) e eq. (6.8), ou seja, n

X (z) =

1 z = . z−a 1 − az −1

eq. (6.12)

Fazendo a divisão de z por (z – a) temos que:

Logo,

X(z) =

z = 1 + az −1 + a 2 z − 2 + L z−a

Comparando com eq. (6.6), a definição de Transformada z, temos

para n < 0 para n = 0

 0,  1,   a , x[ n ] =  2 a ,   n  a ,

para n = 1 para n = 2 M para ∀ n ≥ 0

e portanto,

x[n] = a n ⋅ u1[n] que de facto corresponde ao sinal x[n] que tem como Transformada z este X(z) da eq. (6.12).  12

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

6.4 – Pólos discretos Conforme visto no capítulo anterior [na secção 5.8, eq. (5.20) ], uma fracção racional é uma fracção em que ambos o numerador e o denominador são polinómios: p(s) q (s)

p( z ) q ( z)

ou

As raízes do polinómio do denominador [ q(s) ou q(z) ] são chamados de “pólos”.

A Transformada z do sinal x[n] do Exemplo 6.2, dada pela eq. (6.11), é uma fracção racional cujos pólos são: z=

1 2

z=

e

1 3

As Transformadas z dos sinais x[n] = a ⋅u1[n] e x[n] = u1[n], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9) , são fracções racionais cujo único pólo é: n

z=a no caso eq. (6.8), e

z=1 no caso eq. (6.9) .

Exemplo 6.4: Considere o sinal discreto da exponencial truncada

a n , 0 ≤ n ≤ N − 1, 0 < a < 1 x[n ] =   0, ∀n < 0, ∀n ≥ N que encontra-se esboçado na figura 6.4. 13

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Fig. 6.4 – O sinal x[n] do exemplo 6.4, 0 < a < 1.

A Transformada z deste sinal é:

X(z) = = =

+∞

∑ a n ⋅ z−n

=

n =0

N −1

∑ a n ⋅ z−n

=

n =0

∑ (a ⋅ z

N −1

−1

n =0

)

n

e portanto X(z) é a soma SN dos N primeiros termos da progressão geométrica com o

(

)

−1 primeiro termo a1 = 1 e a razão q = a ⋅ z . Logo, usando a eq. (6.3) tem-se que

X( z) = = =

(a ⋅ z )N −1

−1 = a ⋅ z −1 − 1

(

)

z −N ⋅ a N − 1 z −1 (a − 1)

(z N − a N ) ⋅ (z − a ) 14

1 z N −1

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Em principio esta Transformada z parece ter um pólo em z = a e (N–1) pólos em z = 0 (ou seja, pólos múltiplos na origem). Entretanto, analisando agora o numerador desta Transformada z zN − aN = 0

ou seja

zN = a N que nos dá a seguinte solução: j  2 π k   N  

z = a ⋅e



,

k = 0,1, 2,..., N − 1

eq. (6.13)

que são N pontos igualmente espaçados no círculo de raio a, e são as raízes (ou zeros) do numerador desta Transformada z. Portanto, para k = 0 na equação eq. (6.13) acima temos que: z = a. Ou seja, z = a é um pólo e um zero do numerador ao mesmo tempo. Logo eles se cancelam e esta Transformada z só tem (N – 1) pólos em z = 0. 

6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta)

x[ n ] = u 2 [ n ] = n ⋅ u 1[ n ] tem a seguinte Transformada z :

15

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

X(z) =

+∞

∑n ⋅z n =0

−n

=

= 0 + z −1 + 2z −2 + 3z −3 + L que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = z–1 e a razão q = z–1 também. Logo, usando a eq. (6.5) temos que:

z −1 Z {n ⋅ u1[n ] } = X(z) = 1 − z −1

(

)

2

ou

Z { n ⋅ u1[n ] } =

z ( z − 1) 2 

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto)

x[n ] = u o [n ] n=0

 1, =   0,

∀n≠0

tem a seguinte Transformada z : Z {u o [ n ]} = X (z ) =

+∞

∑u n= 0

o

[n ] ⋅ z −n = 1 ⋅ z 0 = 1

ou seja,

Z { u o [n ] } = 1 que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Laplace no capítulo anterior: L { u o ( t ) } = X (s) = 1 .  16

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Exemplo 6.5: Considere o sinal discreto x[n],

x[n] = uo[n −1] que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de uma unidade de tempo para a direita. A Transformada z deste sinal é:

X (z ) =

+∞

∑ n =0

u o [ n − 1] ⋅ z −n = 1 ⋅ z −1 = z −1

ou seja,

Z { u o [ n ] } = z −1 =

1 z

eq. (6.14) 

Exemplo 6.6: Considere o sinal discreto x[n], x[n ] = u o [n − m ] ,

m≥0

que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de m unidades de tempo para a direita. A Transformada z deste sinal é:

X(z) =

+∞

∑ n =0

u o [ n − m] ⋅ z − n = 1 ⋅ z − m = z − m

ou seja,

Z { u o [ n ] } = z −m =

1 zm

eq. (6.15)

Note que a eq. (6.15) só é válida para m ≥ 0 pois a Transformada z adoptada aqui é a unilateral [eq. (6.6)].  17

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

A expressão encontrada no Exemplo 6.1 poderia ser obtida usando a Transformada z do impulso uo[n] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados nas equações eq. (6.14) e eq. (6.15), ou seja, Z {u o [n ] } = 1 ,

Z { u o [n − m] } = z − m , m ≥ 0

e

Z { u o [ n + 1] } = 0

6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos Inicialmente vamos ver um exemplo do sinal discreto de uma exponencial multiplicada por um seno.

Exemplo 6.7: Considere o sinal discreto: n

1 π  x[ n ] =   ⋅ sen  ⋅ n  ⋅ u 1[ n ]  3 4 

Usando a equação de Euler temos: n

n

π π 1  1 j⋅ 4  1  1 − j⋅ 4  x[ n ] = ⋅  e  ⋅ u 1[ n ] − ⋅  e  ⋅ u 1[ n ] 2 j  3 2 j  3 

A Transformada z deste sinal é: n  1  1 j⋅ π  n  − j⋅ π   1 1 4 4  ⋅ u 1[ n ] ⋅ z − n Z {x[ n ]} = X ( z ) = ∑  ⋅  e  ⋅ u 1[ n ] − ⋅  e  2j  3 n = −∞  2 j  3     +∞

π 1 +∞  1 j⋅ 4 −1   = ⋅ ∑ e ⋅ z  2 j n =o 3 

=

n

π 1 + ∞  1 − j⋅ 4 −1   − ⋅∑ e ⋅ z  2 j n =o  3 

1 1 1 1 ⋅ − ⋅ π 2 j  1 j⋅ 4 −1  2 j  1 − j⋅ π4 −1  1 − e ⋅ z  1 − e ⋅ z   3   3    

ou seja, 18

n

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

1 X(z) =

3 2

⋅z

 1 jπ   1 − jπ  z − ⋅ e 4 ⋅z − ⋅e 4      3 3    

eq. (6.16)

Note que os dois pólos desta Transformada z são: π

1 ±j z = ⋅e 4 3



A exemplo da Transformada z do degrau discreto, visto na secção 6.3, em que primeiramente apresentamo-lo multiplicado pela exponencial discreta, também aqui vamos inicialmente apresentar a Transformada z para os casos de seno e co-seno multiplicados por exponenciais discretas an.

Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial

x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n]

x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n]

têm as seguintes Transformadas z :

{

}

Z a ⋅ sen (ωo n ) ⋅ u 1[n ] = X (z) = n

a ⋅ z −1 ⋅ sen (ωo )

1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2

eq. (6.17)

e

1 − a ⋅ z −1 ⋅ cos(ωo ) Z a ⋅ cos(ωo n ) ⋅ u 1[n ] = X( z) = 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2

{

n

}

eq. (6.18)

que equivalem a

{

}=

X (z) =

a ⋅ z ⋅ sen (ωo ) z 2 − 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos( ωo ) + a 2

eq. (6.19)

{

}=

X(z) =

z ⋅ [ z − a ⋅ cos( ωo )] z 2 − 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos( ωo ) + a 2

eq. (6.20)

Z a n ⋅ sen (ωo n ) ⋅ u 1[ n ] e

Z a n ⋅ cos( ωo n ) ⋅ u 1[ n ]

19

J. A. M. Felippe de Souza

6 – Transformadas z

Note agora que o sinal que tinha sido visto no exemplo 6.7 é x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] com π 1 ωo =   a =   e eq. (6.21) 4  3 e a Transformadas z encontrada naquele exemplo, dada pela eq. (6.16), pode ser reescrita como:

 1     3  3 2 = X(z) = π π −j   j π4 1  j4 1 2 4 z − ⋅  e + e  + 1 e 2 − ⋅ ⋅ z 2 3  9  3  

1

⋅z

2 

⋅z 2  +e 2

−j

π 4

   1 2 +    3 

eq. (6.22)

que, usando as equações de Euler (secção 1.5) e substituindo sen (π / 4 ) = 2 / 2 , a eq. (6.22) se torna em 1 π   ⋅ sen   ⋅ z  3 4 X ( z) = 2 1  π 1 2 z − 2 ⋅ ⋅ cos   +   3  4  3 que corresponde à eq. (6.19) com a e ωo dados em eq. (6.21).

Sinais seno e co-seno discretos

x[n] = sen(ωon)⋅u1[n]

y[n] = cos(ωon)⋅u1[n]

têm as seguintes Transformadas z :

z −1 ⋅ sen (ωo ) Z {sen (ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } = 1 − 2 ⋅ cos( ωo ) ⋅ z −1 + z −2

eq. (6.23)

1 − z −1 ⋅ cos( ωo ) Z {cos( ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } = 1 − 2 ⋅ cos( ωo ) ⋅ z −1 + z −2

eq. (6.24)

e

20

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6 – Transformadas z

que equivalem a

Z { sen (ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } =

z ⋅ sen (ωo ) z 2 − 2 ⋅ z cos( ωo ) + 1

eq. (6.25)

Z { cos( ωo n ) ⋅ u 1[ n ] } =

z ⋅ [ z − cos( ωo )] z 2 − 2 ⋅ z ⋅ cos( ωo ) + 1

eq. (6.26)

e

Exemplo 6.8: Considere o sinal x[n]

− ( −λ ) n x[n ] = ⋅ u1[n − 1] n ou seja,

 λn + n 1  x[ n ] = ( −1) ⋅ n ,  0,

n = 1,2,3, L n = 0,−1,−2, L

Pela definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que: ∞

Z { x[n ] } = X(z) = ∑

n =1

(−1) n +1 ⋅ λn ⋅ z − n n

e da expansão em série de Taylor, eq. (6.2), obtém-se que a Transformada z deste sinal é:

(

)

X (z ) = log 1 + λz −1 ,

z >a

eq. (6.27) 

As Transformadas z introduzidas nesta secção assim como nas duas secções anteriores (uo[n], uo[n-m], u1[n], n u1[n], n2 u1[n], sen(ωon), cos(ωon) , an sen(ωon), an cos(ωon), etc.) estão reunidas numa tabela na secção a seguir. 21

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6 – Transformadas z

6.8 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos Da mesma forma que foi feito na secção 5.7 para Transformadas de Laplace, nesta secção apresentamos uma Tabela das Transformadas z de alguns sinais discretos. Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos

x[n]

X(z) = Z { x[n] }

x[n] = uo[n]

X(z) = 1

X(z ) = z −m =

x[n] = uo[n – m] , m = 0, 1, 2, …

x[n] = u1[n–1]

= n⋅u1[n] x[n] = n2⋅u1[n]

x[n] = n3⋅u1[n] x[n] = an–1⋅u1[n–1] x[n] = an⋅u1[n]

(1− z ) −1

X(z) =

x[n] = u1[n–2] x[n] = u2[n]

1

X( z ) =

x[n] = u1[n]

X(z) = X( z ) =

X(z) =

X(z) =

z ( z − 1)

=

1

(1 − z ) −1

(1 − z ) −1

(1− z )

−1 2

z −1 (1 + z −1 )

(1 − z )3 −1

(1 − z )

−1 4

z −1

z

( z − 1)2

=

=

(1 − a ⋅ z )

=

1 1 − a ⋅ z −1

=

−1

(

z (z − 1)

=

z −1 (1 + 4z −1 + z −2 )

X( z ) =

(z − 1) 1

=

z −1

X(z) =

22

=

z −1

z −2

1 zm

)

z ( z + 1)

(z − 1)3

z (z 2 + 4z + 1)

(z − 1)4

1

(z − a ) z (z − a )

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6 – Transformadas z

Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos (continuação)

X(z) = Z { x[n] }

x[n] x[n] = an⋅u2[n] = an⋅n⋅u1[n] x[n] = a ⋅n ⋅u1[n] n

2

x[n] = sen(ωon)⋅u1[n]

X( z ) =

a ⋅ z −1

(

1− a ⋅z

a ⋅ z −1 ⋅ (1 + a ⋅ z −1 )

X(z ) =

(1 − a ⋅ z )

−1 3

( z − a )2 a ⋅ z ⋅ (z + a ) (z − a ) 3

(

z ⋅ sen(ωo ) z 2 − 2 ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + 1

)

(z

z ⋅ [ z − cos(ωo ) ] 2

)

− 2 ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + 1

a ⋅ sen(ωo ) ⋅ z −1 X( z ) = 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2 =

x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n]

=

a ⋅z

1 − cos(ωo ) ⋅ z −1 X( z ) = 1 − 2 ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + z −2 =

x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n]

=

z −1 ⋅ sen(ωo ) X( z ) = 1 − 2 ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + z −2 =

x[n] = cos(ωon)⋅u1[n]

)

−1 2

(z

a ⋅ z ⋅ sen(ωo ) 2

− 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + a 2

)

1 − a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 X( z ) = 1 − 2 ⋅ a ⋅ cos(ωo ) ⋅ z −1 + a 2 z −2 =

23

(z

z ⋅ [ z − a ⋅ cos(ωo ) ] 2

− 2 ⋅ a ⋅ z ⋅ cos(ωo ) + a 2

)

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6 – Transformadas z

6.9 – Propriedades da Transformada z A seguir vamos ver algumas propriedades que são satisfeitas pela Transformada z . Homogeneidade (“homogeneity”) Z  k · x n k · Z  x n k · X z

eq. (6.28)

Aditividade (“additivity”)

Z { x 1 [n ] + x 2 [ n ] } = Z { x 1[ n ] } + Z { x 2 [ n ] } eq. (6.29)

= X1 ( z ) + X 2 ( z ) Linearidade (“linearity”)

Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade, eq. (6.29), e da homogeneidade eq. (6.28) juntas:

Z { α ⋅ x1[ n ] + β ⋅ x 2 [n ] } = α ⋅ Z { x1[ n ] } + β ⋅ Z { x 2 [ n ] } eq. (6.30)

= α ⋅ X1 ( z) + β ⋅ X 2 ( z)

onde α, β ∈ C são constantes e x1[n], x2[n] são dois sinais discretos com Transformadas z dadas por X1(z) e X2(z) respectivamente. Conforme já mencionado anteriormente (no Exemplo 6.2), a propriedade da linearidade da Transformada z permite escrever n   1  n  1 Z 5 ⋅   ⋅ u 1 [n ] − 2 ⋅   ⋅ u 1 [n ] =   2    3

 1  n  = 5 ⋅ Z   ⋅ u 1[ n ] − 2 ⋅ Z  2   = 5⋅

=

1 1

  1 − z −1   2  5

 1  z −   2

−

24

−

2⋅

2  1  z −  3 

1 1

 1  n    ⋅ u [ n ]    1   3 

  1 − z −1   3 

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6 – Transformadas z

Translação (“time shifting”): Se x[n] é um sinal discreto definido apenas para n = 0, 1, 2, … , ou seja x[n] = 0, n < 0, e com Transformada z dada por X(z), uma translação de m = 1 (shift de 1 unidade para direita):

Z { x[n − 1] } = z −1 ⋅ X(z) + x[−1]

eq. (6.31)

Para m = 2 (shift de 2 para direita):

Z { x[n − 2] } = z −2 ⋅ X(z) + x[−2] + x[−1] ⋅ z −1

eq. (6.32)

e no caso geral, m = 1, 2, 3, … (shift de m > 0 para direita)

Z { x[ n − m ] } = z − m ⋅ X ( z ) + x[− m ] + x[− m + 1] ⋅ z −1 + + x[ − m + 2] ⋅ z

−2

+ L + x[−2] ⋅ z

−m+ 2

+ x[−1] ⋅ z

− m +1

eq. (6.33)

Os termos x[–1], x[–1]⋅z-1, x[–2], x[–m+1]⋅z-1, … etc. correspondem aos “resíduos” na propriedade da derivada em Transformadas de Laplace (capítulo 5, secção 5.4). Estes termos aparecem pois estamos considerando a Transformada z unilateral, conforme a definição na eq. (6.6), assim como no capítulo 5 (secção 5.4) consideramos a Transformadas de Laplace unilateral. Note que se x[n] tem condições iniciais nulas (x[n] = 0, n < 0), isto é, se x1 0, x2 0, x3 0,  , etc.

eq. (6.34)

então estes termos residuais são todos nulos e uma translação de m > 0 (shift de m m para direita) equivale a multiplicar por z – (no domínio z, da frequência).

Isto é, no caso de condições iniciais nulas [eq. (6.34)], temos que os termos residuais desaparecem e as eq. (6.31), eq. (6.32) e eq. (6.33) se transformam na forma bem mais simplificada, resumidas na eq. (6.35).

25

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6 – Transformadas z

Z { x[ n − 1] } = z −1 ⋅ X (z ) = X (z ) z Z { x[ n − 2] } = z −2 ⋅ X ( z) = X (z ) z 2 eq. (6.35) M

Z { x[n − m] } = z − m ⋅ X (z ) = X ( z ) z m

No caso de translação de m = –1 (shift de 1 unidade para esquerda):

Z { x[n + 1] } = z ⋅ X(z) − x[0] ⋅ z

eq. (6.36)

para m = –2 (shift de 2 para esquerda):

Z { x[n + 2] } = z m ⋅ X (z) − x[1] ⋅ z − x[0] ⋅ z 2

eq. (6.37)

e no caso geral, m = –1, –2, –3, … (shift de |m| para esquerda):

Z { x[n + m] } = z m ⋅ X( z) − x[m − 1] ⋅ z − x[m − 2] ⋅ z 2 + − x[m − 3] ⋅ z 3 − L − x[1] ⋅ z m−1 − x[0] ⋅ z m

eq. (6.38)

Mudança de escala no domínio z (“z-domain scaling”):

{

}

z Z α n ⋅ x[ n ] = X   α onde α ∈ C é uma constante e x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Portanto, a mudança de escala no domínio z equivale à multiplicação por αn no domínio do tempo. jω

jω

Em particular, se α = e , então, como e  = 1, ∀ ω,

{

Z e

jωn

}

⋅ x[n ] = X e  26

jω

⋅ z  

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6 – Transformadas z

Expansão no tempo (“time scaling”): Para um sinal discreto x[n] considere o sinal expandido x(k)[n] definido abaixo.

x[n / k] , x ( k ) [n] =  0 ,

se n é múltiplo de k se n não é múltiplo de k

o qual está ilustrado na figura 6.5 para k = 2 e x[n] = 1, n = 1, 2, …

Fig. 6.5 – x[n] = 1, ∀ n = 0, 1, 2,… e x ( k ) [n] para k = 2.

Estes sinais expandidos x(k)[n] satisfazem a seguinte propriedade:

{

}

( )

{

}

( )

Z x ( k ) [n ] = X z k

Conjugado (“conjugate”)

Z x ∗ [ n ] = X∗ z ∗

Onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Note que, se x[n] for um sinal real (x[n] ∈ R) então: X(z) = X*(z*) logo, se X(z) tem um pólo em z = a também terá em z = a*.

27

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6 – Transformadas z

Convolução (“convolution”) Semelhantemente às transformadas de Fourier e de Laplace, também na Transformada z temos que a transformada da convolução é o produto das Transformadas z:

Z { x1[ n ] * x 2 [ n ] } = X1 (z ) ⋅ X 2 ( z )

eq. (6.39)

Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”)

Z

{ n ⋅ x[n ] } =

−z⋅

dX(z ) dz

onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Portanto a derivada do domínio de z equivale à multiplicação por n no domínio do tempo.

Esta propriedade permite generalizar alguns sinais da tabela Tab 6.1 das Transformadas z na secção 6.8. Por exemplo, nessa tabela pode-se ver as Transformadas z dos sinais:

x[n] = u1[n] ,

x[n] = n⋅u1[n]

x[n] = n2⋅u1[n]

e

e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais:

x[n] = n3⋅u1[n] ,

x[n] = n4⋅u1[n] ,

… , etc.

Nessa mesma tabela também se encontram as Transformadas z dos sinais:

x[n] = an⋅u1[n] ,

x[n] = an⋅n⋅u1[n]

e

x[n] = an⋅n2⋅u1[n]

e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais:

x[n] = an⋅n3⋅u1[n] ,

x[n] = an⋅n4⋅u1[n] ,

28

… , etc.

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6 – Transformadas z

6.10 – Teorema Valor Inicial (TVI) e Teorema Valor Final (TVF) A exemplo dos teoremas TVI e TVF para Transformadas de Laplace (secção 5.5), estes teoremas para Transformadas z permitem que se descubra o valor inicial x[0] e o valor final x[∞] de um sinal x[n] cujo X(z), a Transformada z, seja conhecida. Teorema do valor inicial (TVI):

x[0] = lim X (z ) z→∞

Teorema do valor final (TVF):

x[∞] = lim ( z − 1) ⋅ X ( z ) z →1

Exemplo 6.9: Considere o sinal discreto do exemplo 6.2, xn 5 · 1⁄2  2 · 1⁄3  · u n cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (6.11). Aplicando-se os teoremas TVI e TVF obtemos:

2 &3z '  z( 3 x0 lim X z lim

3 1 1 #$% #$% &z  ( &z  ( 2 3 e

2 &3z '  z( 3 x∞ lim z  1 · X z lim z  1 ·

0 1 1 #$ #$ &z  ( &z  ( 2 3

que estão de acordo com o esperado pois que como temos x[n], claro, sabemos que neste caso são de facto x[0] = 3 e x[∞] = 0. 

29

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6 – Transformadas z

Exemplo 6.10: Se tomarmos o sinal degrau unitário discreto xn u n cuja Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz 1⁄ 1  z * , então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: x0+  lim X z lim #

%$#

%$1

1 1  z * 

e x∞ lim z  1 · X z lim z  1 · #$

#$

1

1 1  z * 

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o degrau unitário discreto x0 1 e x∞ 1. Por outro lado, se tomarmos o sinal rampa unitária discreta xn u' n cuja Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz z⁄ z  1' , então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: x0+  lim X z lim #

%$#

%$e x∞ lim z  1 · X z lim z  1 · #$

#$

z

0 z  1' z z

lim ·

∞ z  1' #$ z  1

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para a rampa unitária discreta x0 0 e x∞ ∞. Finalmente, se tomarmos o sinal impulso unitário discreto xn u, n cuja Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz 1, então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos: x0+  lim X z lim 1 1 #

%$e

#

%$x∞ lim z  1 · X z lim z  1 · 1 0 #$

#$

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o impulso unitário discreto x0 1 e x∞ 0. 

30

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6 – Transformadas z

6.11 – Transformada z inversa Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x[n] para os quais X(z), a Transformada z, é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada z inversa de X(z).

Z*  X z xn As Transformadas z dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma fracção do tipo: - # eq. (6.40) . # onde p(z) e q(z) são polinómios em z. Conforme podemos observar na tabela Tab 6.1 da secção 6.8, as Transformadas z de muitos sinais vêm todas na forma eq. (6.40) onde p(z) e q(z) são polinómios menores, isto é, do primeiro ou segundo grau, como por exemplo:

#

#*/

,

/·#

ou

#*/0

,

etc.

De forma semelhante a que é feita para se achar a Transformadas inversas de Laplace (capítulo 5, secção 5.8), aqui também, para se achar a Transformadas z inversa é necessário desmembrar o X(z) na forma eq. (6.40) em fracções menores, ou seja, é preciso fazer a expansão de X(z) em fracções parciais. Assim como nas Transformadas inversas de Laplace da secção 5.8, vamos apresentar aqui, através de exemplos, três casos de expansão em fracções parciais: pólos reais e distintos, pólos complexos e pólos múltiplos. Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos, como veremos nos exemplos das próximas secções.

31

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6 – Transformadas z

Caso 1 – Pólos reais e distintos Vamos ilustrar o caso de pólos reais e distintos com um exemplo: Exemplo 6.11: Considere a Transformada z abaixo com 2 pólos distintos: z = 1/3, e z = 1/2,

18z 2 − 8z 2 z (9 z − 4 ) X(z) = 2 = , 6(z − 1 / 3)(z − 1 / 2 ) 6 z − 5z + 1

eq. (6.41)

que, separando-se em duas fracções temos: X(z) z

=

A 1  z −  3 

+

B 1  z −  2 

e, de forma semelhante a que foi feita no capítulo 5, secção 5.8, facilmente calculamos que A = 2 e B = 1. Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8,

Z

-1 

n

 1 z   =   u1[ n ]  (z − 1 / 3)   3 

Z

-1 

n

 1 z   =   u 1[ n ]  (z − 1 / 2 )   2 

e podemos escrever a Transformada z inversa de X(z)

1 x[n ] = 2 ⋅    3

n

1 ⋅ u 1[ n ] +   2

n ⋅ u 1[n ]

eq. (6.42)

Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.41) na forma: 4 −1   3 − z  3   X (z) = ,  1 −1  1 −1  1 − z 1 − z   3  2 

que, separando-se em duas fracções temos:

32

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6 – Transformadas z

X(z)

=

A  1 −1  1 − z   3 

B  1 −1  1 − z   2 

+

e, novamente calculamos que A = 2 e B = 1. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.42), chegando ao mesmo resultado. 

Caso 2 – Pólos complexos conjugados Considere X(z), a Transformada z de x[n], dada abaixo:

z2 X(z) = 2 z − (2ρ cos θ)z + ρ 2

eq. (6.43)

onde ρ>0

00

e

0