UM MODELO UNIVARIADO PARA ESTIMAR O CRESCIMENTO DO PIB: O caso do Brasil
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UM MODELO UNIVARIADO PARA ESTIMAR O CRESCIMENTO DO PIB: O caso do Brasil
RAFAEL CATTAN ______________________________________________________________________ Resumo Este trabalho tem como objetivo estimar um modelo univariado para o crescimento do Produto Interno Bruto (PIB) brasileiro durante o período de 1999 a 2015 a fim de se realizar previsões sobre seu comportamento. Para tanto utilizou-se o procedimento
ARIMA, capaz de prever valores de uma série temporal a partir da combinação de seus
valores passados e dos termos de erro estimados. Assim, a partir da identificação do modelo mais apropriado, estimou-se seus parâmetros e realizou-se uma previsão de seus valores futuros.
Palavras-Chave: Previsão; PIB; ARIMA; Modelo.
______________________________________________________________________ Introdução O PIB corresponde à soma monetária de todos os bens e serviços finais produzidos dentro de um país. Dessa forma, seu valor representa uma estatística agregada e de fundamental importância para se medir a atividade econômica de um país. Sendo assim,
seu valor é vital como referência das demais variáveis econômicas, sendo sua dinâmica
determinante não apenas de políticas econômicas, mas também das decisões individuais dos agentes privados. No caso do Brasil, por exemplo, o Plano Plurianual (PPA),
importante instrumento de planejamento e de formulação das diretrizes políticas do
governo federal, depende da previsão de uma série de variáveis orçamentárias. Como o PIB é um importante determinante das receitas do governo, sua dinâmica é balizadora das metas e objetivos de política econômica de um governo (Ministério do Planejamento, 2014).
Neste sentido, este trabalho buscará identificar, estimar e gerar previsões da variação do
PIB brasileiro com dados de 1996 a 2015. A escolha do período justifica-se pela base de
dados do PIB trimestral disponibilizada pelo IBGE, além de cobrir a maior parte do
chamado tripé macroeconômico, regido por metas de superávit primário, inflação e pelo câmbio flutuante.
Para tanto optou-se pelo uso do procedimento ARIMA, que descrevem processos de
séries temporais capazes de gerar previsores, sem necessidade de incluir demais variáveis econômicas. Assim, este procedimento utiliza apenas valores passados da série
observada, assim como os termos de erros estimados, para inferir sobre os valores futuros da série. Sua representação pode ser descrita como
yt = 0 + ∑i yt-i + xt (1) Onde yt representa uma variável aleatório no periodo t, a0, é um coeficiente de intercepto, i denota o coeficiente angular que relaciona as séries passadas ao seu valor
presente e xt refere-se a um processo ruido-branco. Este processo é definido por ser uma sequência aleatória de média zero, variância constante e correlação entre os valores
da série ao longo do tempo nulos. O ruido branco é derivado de um processo de médias móveis [MA(q)], que por sua vez, pode ser definido como
xt = ∑i t-i (2) Definindo-se xt como outra variável aleatória no período t, percebe-se que sua construção é resultado de uma sequência de ruidos-brancos associados a um parâmetro
i. Assim, o modelo ARIMA é a combinação de um processo auto-regressivo AR (p), no caso determinado pelo valores passados de yt, com um processo de médias móveis,
gerado a partir de termos aleatórios definidos como ruidos-brancos (Enders, 2015). Como o modelo de séries temporais depende da defasagem escolhida como geradora da
série, a notação q e p, definem a ordem de defasagens que melhor ajusta a série em questão.
Para a correta estimação e previsão dos valores futuros de um processo ARIMA deve-se partir de séries estacionárias, de forma que se possa fixar seus parâmetros ao longo do tempo. Caso as raízes características do modelo não sejam estacionárias, procede-se com a diferenciação, em d vezes até que se torne a série estatística estacionária.
A seleção, estimação e previsão do modelo ARIMA (p,d,q) ou Método Box-Jenkins (1976) depende, assim, constrói estimativas do comportamento de uma série somente a
partir de seus próprios valores e os termos de erros associados à estimativa de seus valores. Como não se sabe o real processo de determinação de qualquer processo de
variável aleatória a partir de uma amostra limitada da população, este método nos fornece as ferramentas necessárias para se estimar um modelo de temporal para
descrever o processo de geração de valores da série, em especial quando o objetivo do mesmo é a previsão econométrica (Granger & Newbold, 1977).
Assim, a título de análise da capacidade preditiva do modelo escolhido, optou-se por realizar um ajuste com a primeira metade dos dados da série do PIB observada. Daí, a
partir do modelo estimado, realizou-se a previsão dos valores da segunda metade da
série, tornando possível a comparação com os valores observados. Os resultados mostraram-se consistentes com o esperado e em acordo com os valores observados.
Este trabalho, além desta introdução contém quatro sessões: a primeira destinada à apresentação do método de inferência, a segunda apresenta os teste de estacionariedade,
a terceira apresenta os critérios o método de seleção do modelo apropriado, a quarta sessão apresenta os resultados da previsão realizada. Em seguida apresenta-se a conclusão do modelo estimado e dos resultados encontrados. 1.1 Método Como o objetivo do trabalho foi estimar um modelo para o crescimento do PIB,
utilizou-se série em de crescimento do PIB trimestral, com ajuste sazonal, disponibilizada pelo IBGE. Os dados cobrem do segundo trimestre de 1996 ao terceiro trimestre de 2015.
O primeiro passo foi a verificação de estacionaridade da série em questão. Assim,
aplicou-se o teste de raiz unitária de Dick-Fuller (1979) e de Phillip-Perron (1992). Em seguida, como indicativo do modelo apropriado à série em questão, analisou-se a função
de autocorrelação (FAC) e autocorrelação parcial (FACP) dos resíduos. Daí, estimou-se
um conjunto de modelos possíveis, a fim de se selecionar aquele que minizava os critérios de informação apropriados.
Após a seleção do modelo, estimou-se os parâmetros desejados. A partir daí, verificou-
se a adequação dos resultados a partir dos testes de heterocedasticidade, autocorrelação e normalidade dos resíduos.
Então, optou-se por dividir a série em dois períodos iguais, por ordem de tempo, a fim
de se analisar a capacidade preditiva do modelo selecionado. Dessa forma, uma previsão
dinâmica e uma previsão estática foram realizadas e comparadas com os dados observados.
1.2 Testes de estacionaridade Como prevê a metodologia de Box-Jenkins (1970), deve-se, antes de se identificar o
melhor modelo para análise de séries temporais, observar a propriedade de estacionaridade da série.
O gráficos 1 ilustra o comportamento do crescimento trimestral do PIB brasileiro. Nele,
observa-se tanto uma série com alta volatilidade, além de um pico recessivo durante a crise de 2008, além de uma tendência declinante a partir de 2010, quando a economia começa a desacelerar.
Gráfico 1 -
-4
-2
pib 0
2
4
PIB (em % a.t)
1995q1
2000q1
2005q1 time
Fonte: IBGE
2010q1
2015q1
A partir da série observada, dois testes foram utilizados para se verificar a presença de
raiz unitária: o teste de Dick-Fuller aumentado (ADF) (1979) e o teste de Phillip-Perron
(PP) (1988). Com relação ao primeiro, considerando-se o valor da estatística z(t) de
teste concluiu-se pela estacionaridade da série, mesmo para um nível de 1% de significância. O teste PP, parte de procedimento semelhante ao ADF, com a diferença
que sua estatística de teste é robusta à autocorrelação serial, ao usar-se o estimador de
matriz de covariância de Newey-West (1987). Da mesma forma, não rejeita-se a hipótese de estacionaridade.
Tabela 1 Teste de Dickey Fuller Estatística de Teste Z (t) -6,781
Valores críticos
1% -3,542
5% -2,908
10% -2,258
P-valor da estatística de teste Z (t) = 0,000
Tabela 2 Teste de Phillip - Perron Estatística de Teste Z (t) -6,778
1% -3,542
Valores críticos 5% -2,908
10% -2,589
P-valor da estatística de teste Z (t) = 0,000
Vale notar que os valores da estatística de teste, Z (t), são interpolados de Fuller (1996), enquanto o p-valor da estatística é derivado de MacKinnon (1994), tendo em vista que as estatística t, normalmente utilizadas para se testar a hipótese nula, não são apropriadas neste teste.
1.3 Correlograma e Critério de Seleção O procedimento seguinte foi a análise das FAC e FACP dos resíduos como meio de identificação do modelo apropriado ao processo gerador da série em questão. Este procedimento permite identificar evidências do modelo ARMA (p, q), que melhor se
ajusta aos dados, tendo em vista que não necessidades de se diferenciar à série . Assim, tanto o tipo de modelo, quando a ordem podem ser melhor identificadas, a partir dessas funções.
Gráfico 3 -
-0.40
Autocorrelação serial -0.20 0.00 0.20
0.40
Função de Autocorrelação dos resíduos
0
10
20 Lag
30
40
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
Percebe-se que o gráfico da autocorrelação apresenta valores dentro do intervalo de confiança de 95% em todas as defasagens expostas, com exceção da primeira defasagem. Além de não apresentar tendência clara de decaimento dos valores, nem
truncamento em valores após a primeira defasagem. No entanto, observa-se um padrão
sazonal dos coeficientes de autocorrelação, evidenciando um padrão cíclico do
crescimento do produto agregado. O gráfico 4, por seu turno, ilustra a FACP. Como
pode-se observar, além de coeficientes que extrapolam o intervalo de confiança durante mais defasagens, também evidencia-se um padrão cíclico, em especial até a trigésima defasagem.
Gráfico 4 -
-0.60
Autocorrelação Parcial -0.40 -0.20 0.00
0.20
Função de Autocorrelação Parcial
0
10
95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]
20 Lag
30
40
A interpretação que se pode fazer, ao observar as funções de autocorrelação e autocorrelação parcial da série, é que apesar de não haver evidência clara de
truncamento, nem decaimento claro ao longo do tempo, nota-se um padrão de ciclo. Além disso, levando-se em
consideração as evidências de baixa correlação e
sazonalidade, há indicativos de que a série pode ser determinada por um processo SARMA (p,q) (P,Q,)s.
Para via de comparação, realizou-se diversas opções de modelos com e sem
sazonalidade. Assim, optou-se por estimar modelos AR(p), MA(q), ARMA(p,q) e SARMA (p,q) (P,Q,S) com até 4 defasagens, para captar o efeito do ciclo com duração
de até um ano. Como era esperado, em todos os modelos, aqueles que incluíam apenas uma defasagem mostraram-se melhor ajustados, se considerarmos o critério bayesiano de informação (BIC) de Schwartz (1978) e o critério de Akaike (1974).
Assim, a tabela 3 ilustra os melhores ajustes para cada tipo de modelo estimado. O critério de parcimônia também foi respeitado, tendo em vista o efeito de redução do grau de liberdade da inclusão de mais variáveis ao modelo (Enders, 1995).
Tabela 3 Seleção de modelos Critérios de Informação BIC AKAIKE
SARIMA (1,0,1,1) 266,55 254,772
AR (1) 266.081 259,011
Modelos
MA (1) 258,738 265,808
ARMA (1,1) 258,345 251,275
Dessa forma, a partir dos dados dos critérios de informação, selecionou-se o modelo ARMA (1,1) como o melhor modelo de descrição do processo da série do PIB.
Em seguida, procedeu-se com a análise de adequação do modelo proposto. O primeiro
passo foi a verificação de autocorrelação dos resíduos. Para tanto, realizou-se o teste de Portmanteau (Q) que verifica se a série, no caso os resíduos do modelo estimados seguem um processo ruido-branco.
Tabela 4 Teste de Pormanteau Portmanteau test for white noise Portmanteau (Q) statistic 0.0219 Prob > chi2(1)
0.8823
Como pode-se observar, não rejeita-se a hipótese de que os resíduos estimados seguem um processo ruído branco. Este resultado corrobora o bom ajustamento do modelo proposto. Em seguida realizou-se o testou-se a normalidade e homocedasticidade da distribuição dos resíduos. Para tanto, realizou-se o teste de curtose e assimetria proposto por
D’Agostino, Belanger e D’Agostino (1990). A tabela 5 ilustra os resultados
encontrados.
Tabela 5 - Teste de Normalidade p (Assimetria) 0,0018
Teste de Normalidade p (Curtose) χ2 0,0059 13,92
p > χ2 0,0009
Como se observa, rejeita-se a hipótese de normalidade dos resíduos encontrados a um nível de 5% mas não para um nível de 1% para ambos critérios, curtose e assimetria.
Para a probabilidade conjunta, no entanto, pode-se rejeitar a hipótese de normalidade de
resíduos mesmo para um nível de 1% de significância. No entanto, ao analisar sua função de densidade, observa-se que a distribuição aproxima-se da normal, evidenciando seu grau de aleatoriedade.
Gráfico 5 -
0
.1
Densidade .2
.3
.4
Função de Distribuição de Probabilidade dos resíduos
-4
-2
0 resíduos
2
4
Mais evidências do comportamento dos erros podem ser extraídas a partir da análise de
heterocedasticidade dos mesmo. Assim, realizou-se uma versão1 do teste de
heterocedasticidade dos resíduos proposto por Breusch-Pagan (1979) e Cook -Weisberg (1983). A estatística χ2 calculada foi de 34,46 e seu p-valor nulo. Assim, rejeitou-se a
hipótese nula de que os resíduos apresentaram-se homocedásticos, ou seja, encontrou-se evidências de variância não constante dos mesmos.
1
Esta versão é implementada pelo Software StataTM.
No entanto, como a presença de heterocedasticidade na série não altera a estimativa dos
coeficientes, ou seja, não traz viés ao modelo encontrado, e, portanto, não altera a previsão que se pretende realizar, optou-se por manter o modelo já estimado2.
1.4 Previsão A fim de se verificar a qualidade do ajuste em termos de previsão, optou-se pelo
seguinte procedimento. Em primeiro lugar dividiu-se o período de tempo pela metade e
ajustou-se a previsão apenas para a segunda metade do período total. Assim, pôde-se analisar a qualidade do ajuste tanto em termos de previsão estática, quanto dinâmica.
O cálculo da previsão dinâmica, tem a propriedade de ajustar a tendência, enquanto que
a previsão estática tem o poder de comparar as diferenças ponto- a - ponto, mostrandose uma medida mais aproximada dos dados observados da série em questão. Gráfico 6 -
-4
-2
0
2
4
Previsão Dinâmica
1995q1
2000q1
2005q1 time
2010q1
Previsão Dinâmica ( PIB crescimento % a.t)
2015q1 pib
Como pode-se observar, a série apresenta valores constantes a partir do segundo
período, equivalente à previsão. Como esperado, a média dos valores estimados, 0,658, aproxima-se da média dos valores observados totais para o mesmo período, 0,639535,
Como meio de se verificar a possível ausência de informação no modelo ARMA (1,1) selecionado, optou-se por outros modelos ARMA, de forma a incluir até quatro defasagens a mais. Da mesma, o teste de Breusch-Pagan rejeitou a hipótese de homocedasticidade. Assim, considerando-se o critério de parcimônia, manteve-se o modelo ARMA (1,1). 2
Gráfico 7 -
-4
-2
0
2
4
Previsão Estática
1995q1
2000q1 PIB - previsão estátitca (% a.t)
PIB - previsão estátitca (% a.t)
2005q1
2010q1
2015q1
PIB - valores observados (% a.t)
PIB previsão estática (ajuste linear)
A previsão estática, como é determinada por apenas um período adiante, tem valores mais próximos dos observados. Nota-se, que apesar de não se prever os picos com
acurácia, a série capta a tendência declinante do crescimento, em especial nos quatro
trimestres de 2015, quando o PIB brasileiro registrou queda de 3,8% relativamente ao ano anterior.
Foi realizado, ainda, uma análise da qualidade da previsão realizada. Para tanto, utilizou-se o índice de desigualdade de Theil, denotado por TIC, e que pode ser descrito pela seguinte formulação
(3) TIC = 1/N ∑ yi /μ ln (yi / μ)
Onde yi denota as i observações da série em questão e μ representa sua média. O valor
encontrado foi de 0,179. Levando em consideração que o índice, quanto mais próximo de zero, menor é a desigualdade, pode-se concluir pela relativa qualidade da previsão estimada a partir do ajuste proposto.
Conclusão Este trabalho se propôs a estimar um modelo de séries temporais para o comportamento
do crescimento do PIB trimestral brasileiro. Utilizando-se os dados disponíveis entre 1996 e 2015, verificou-se que a série pode ser representada por um processo
ARMA(1,1). Ou seja, o comportamento do crescimento do PIB, a cada trimestre, depende do comportamento do crescimento do trimestre passado e de um termo de erro,
também com uma defasagem de diferença. A previsão, medida apenas para os valores
da segunda metade da amostra, mostrou-se acurada, se levarmos em consideração os
valores observados, ainda que tenha superestimado a taxa de crescimento médio do período de previsão.
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