02 Distância Entre dois pontos

Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos A (x A , y A ) e B ( x B , y B ) , situados num plano cartesiano, pode ser determinada em função das suas coordenadas. Caso o segmentos AB seja paralelo ao eixo Ox, temos: * A distância d AB é diferença entre abscissas: d AB=x B −x A

y

y A ≡ yB

0

d AB A

B

xA

xB

x

Caso o segmento AB seja paralelo ao eixo Oy, temos: * A distância d AB é diferença entre ordenadas: y

d AB= y B− y A

yA

A

d AB yB 0

B x

x A=x B

Caso o segmento AB seja qualquer, temos: * A distância d AB depende da diferença entre abscissas e entre ordenadas, de tal forma que, ao aplicarmos o teorema de Pitágoras no Δ ABC , temos: ( d AB )² = (d AC )2 + ( d BC )2 (d AB )² = ( x B−x A )2 + ( y B − y A )2 d AB =

√( x

B

−x A )2 + ( y B − y A )2

yB

B

d AB yA 0

Exemplos:

y

A

xA

C

xB

x

1) Determinar a distância entre os pontos A(8, 3) e B(-4, 8): A (8, 3) e B (−4, 8) d AB= √( x B−x A )2 +( y B− y A )2 d AB= √(−4−8)2+(8−3)2 d AB= √(−12)2+(5)2 d AB= √( 144)+(+25) d AB= √ 144+ 25 d AB= √ 169 d AB=13 2) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas A(1, 5), B(-2, 1) e C(4, 1): y A (1, 5) e C ( 4, 1) A (1, 5) e B(−2, 1) 5 A(1 ,5) d AC =√( x C −x A )2 +( y C − y A )2 d AB= √( x B−x A )2 +( y B− y A )2 d AB= √(−2−1)2 +(1−5)2 d AB= √(−3)2 +(−4 )2 d AB= √(+ 9)2+(+16) d AB= √9+16 d AB= √25 d AB=5

d AC =√( 4−1)2 +(1−5)2 d AC =√(3)2 +(−4)2 d AC =√( 9)+(+16) d AC =√ 9+16 d AC =√ 25 d AC =5

B(-2, 1) -2

B (−2, 1) e C(4, 1) d BC = √( x C −x B )2+( y C − y B )2 d BC = √(4−(−2))2+(1−1)2

1 0

C(4, 1) 1

4

O perímetro é : d AB +d AC +d BC O perímetro é : 5+5+6 O perímetro é : 16

d BC = √(4 +2)2+(0)2 d BC = √(6)2+(0) d BC = √36+ 0 d BC = √36 d BC =6 3) Sabendo que o ponto P pertence ao eixo das abscissas e está equidistante dos pontos A(4, 2) e B(8, -2), determinar suas coordenadas. Como o ponto P está no eixo das abscissas, então y=0; P( x , 0) Como ele é equidistante, então a distância dele para A ou B é a mesma, temos; d AP =d PB sendo; A (4, 2) , B (8, −2) e P( x ,0) d AP =d PB Escrevemos as duas fórmulas da distância; √( x P−x A )2 +( y P− y A )2 =√(x B −x P )2 +( y B − y P )2 Operação inversa de radiciação é a potenciação, fazendo isso a fórmula fica mais simples; 2

2

( √ (x P −x A )2+( y P − y A )2) =( √( x B−x P )2 +( y B− y P )2 )

x

Pronto; 2 2 2 2 (x P −x A ) +( y P − y A ) =( x B−x P ) +( y B− y P ) (x−4)2+(0−2)2 =(8−x)2 +(−2−0)2 Temos que resolver o produtos notáveis(x−4 )2 e (8−x)2 ; (x 2−8x+ 16)+(−2)2=(64−16x+ x2 )+(−2)2 x 2−8x +16+(+4 )=(64−16x + x 2)+(+4) x 2−8x +16+ 4=64−16x+ x 2 +4 Agrupamos os semelhantes; 2 2 x −8x−x +16x=64+ 4−4−16 8x=48 48 x= 8 x=6 Logo : P(6, 0)

Exercícios 1) Determine a distância entre os seguintes pares de pontos: a) A (0, −2) e B(−6, −10) ; c) E(−3, 7 ) e F (5, 1) ; b) C(−3, −1) e D( 9, 4);

d) G(−2, 5) e H ( 4, −3);

2) Obtenha o valor de m sabendo que a distância entre os pares de pontos seguintes é d: a) A (6, m), B (1, −2) e d=13 b) C( 1, −2), D(m , −2) e d=5 3) Calcule o perímetro dos triângulos formados pelos vértices, cujas coordenadas são as seguintes: a) A (6, 8) , B(1, −4) e C (6, −4) b) D(0, 0) , B(6, 8) e C( 8, 6) 4) Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das abscissas e está equidistante dos pontos A(2, 4) e B(-2, 0).

5) Verifique se o triângulo formado pelos vértices A(6, 0), B(4, 2) e C(8, -2) é isósceles.

6) Obtenha o valor de m para que o triângulo ABC seja retângulo em B. Considere A(m, -4), B(-2, 0) e C(7, 1).

7) A distância entre os pontos B(-2b, b) e C(3, 1) é

√ 5 . Determine as coordenadas do ponto B.

8) Qual é a distância entre os pontos C( 4 √ 5 , 5) e B(6 √ 3 , 3) .