2do Parcial de Estadisticca

Proporcion defectuosa
Probabilidad de Aceptacion

TRABAJO DE ESTADÍSTICA



PLAN DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN


PRESENTADO POR:

Yuliza Canchila Jiménez
Jennifer Rubio De la Hoz
Juliana Parra Barraza


PRESENTADO A: Ing. José De la Hoz








Barranquilla, Noviembre 5 de 2014

PLAN DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN
En el muestreo de aceptación participan tanto el productor (proveedor) de materiales como el consumidor (o comprador). Los consumidores necesitan el muestreo de aceptación para limitar el riesgo de rechazar materiales de buena calidad o aceptar otros de mala calidad; en consecuencia el consumidor, a veces en combinación con el productor por medio de acuerdos contractuales, especifica los parámetros del plan. Por lo tanto, cualquier compañía puede ser la productora de bienes que otra empresa compra, como la consumidora de bienes o materias primas suministradas por otra compañía.
Al elaborar un plan de muestreo de aceptación, se toman en cuenta dos niveles de calidad. El primero es el nivel de calidad aceptable (AQL) (acceptable quality level), es decir, el nivel de calidad deseado por el consumidor. El productor del artículo se esfuerza por lograr el AQL, el cual aparece especificado comúnmente en los contratos o las órdenes de compra. El segundo nivel de calidad es la proporción defectuosa tolerable en el lote (LTPD) (lot tolerance proportion defective), es decir, el peor nivel de calidad que el consumidor puede tolerar.
PROBLEMA
Diseñar un plan de muestreo que cumpla con las siguientes especificaciones:

N = 170
α = 5%
AQL= 1%
β = 25%
TPDL = 4%

Dónde:
N= Tamaño del lote
AQL= Nivel aceptable de calidad
TPDL= Tolerancia de porcentaje defectuoso del lote.
α = Error tipo I (Probabilidad de rechazar un lote bueno)
β= Error tipo II (Probabilidad de aceptar un lote malo)
Se requiere hallar el valor de n (muestra representativa) y c (número de artículos defectuosos aceptados), para finalmente construir la curva O.C (curva de operación característica).


SOLUCIÓN
Selección de distribución de probabilidad
Como se nos entregó el tamaño del lote (N) es necesario usar la distribución de probabilidad hipergeométrica, aplicándola para ambos puntos; Si se sabe qué punto 1: {AQL, 1- α}, punto 2: {TPDL, β}.
La fórmula general es:
PA=x=0ckxN-kn-xNn
k=p N
Se halla la probabilidad de aceptación para el punto 1
PA=x=0ckxN-kn-xNn= 1-
Donde K1 = AQL x N, Reemplazando
PA=x=0cAQL NxN-AQL Nn-xNn= 1-
Reemplazando los valores dados:
K1= 0,01 x 170 = 1,7 2
PA=Px c=x=0c2x168n-X170n=0,95
Tomando la primera iteración con c = 0
PA=Px=0=20168n170n=0,95
Si se toman valores arbitrarios de n, es posible seleccionar aquel cuya P(A) sea cercano a 0,95.
N
P(A)
1
0,9882
2
0,9765
3
0,9649
4
0,9533
5
0,9418
Tabla 1. Valores de n para hallar la probabilidad de aceptación con k1 y c=0
Se escoge el valor más cercano al 0,95 que esta entre n=4 y n=5, donde los errores correspondientemente son 3,47x10-3 y 8,63x10-3, por lo tanto n1=4.
Se halla la probabilidad de aceptación para el punto 2
PA=x=0ckxN-kn-xNn= β
Donde K2 = TPDL x N, Reemplazando
PA=Px c=x=0cTPDL NxN-TPDL Nn-XNn= β
Reemplazando los valores dados:
K2= 0,04 x 170 = 6,8 7
PA=Px c=x=0c7x163n-X170n=0,25
Primera iteración con c = 0
PA=Px=0=70163n170n=0,25
Si se toman valores arbitrarios de n, es posible seleccionar aquel cuya P(A) sea cercano a 0,25.
n
P(A)
1
0,9588
12
0,5932
20
0,4093
29
0,2630
30
0,2499
Tabla 2. Valores de n para hallar la probabilidad de aceptación con k2 y c=0

Se escoge el valor más cercano al 0,25 que en este caso sería n2= 30.
Ahora se comparara la razón entre n2 y n1 que se encuentre en el intervalo de 1 n2n1 1,6
n2n1=304=7,5
Como se puede ver este valor se encuentra muy lejano de estar en el intervalo establecido por lo tanto se iterara nuevamente, para un valor de c=1.
Segunda iteración con c=1
Se halla la probabilidad de aceptación para el punto 1

PA=AQL N0N-AQL NnNn+AQL N1N-AQL Nn-1Nn= 1-α

Reemplazando los valores, se obtiene:

PA=20168n170n+21168n-1170n= 0,95
Si se toman valores arbitrarios de n, es posible seleccionar aquel cuya P(A) sea cercano a 0,95.
N
P(A)
20
0,98677
30
0,9697
38
0,9510
39
0,9484
Tabla 3. Valores de n para hallar la probabilidad de aceptación con k1 y c=1
Se escoge el valor más cercano al 0,95 que esta entre n=38y n=39, donde los errores correspondientemente son 1,05x10-3 y 1,68x10-3 , por lo tanto se escoge n1=38.
Se halla la probabilidad de aceptación para el punto 2

PA=TPDL N0N-TPDL NnNn+TPDL N1N-TPDL Nn-1Nn=β
Reemplazando los valore, se obtiene:
PA=70163n170n+71163n-1170n=0,25
Si se toman valores arbitrarios de n, es posible seleccionar aquel cuya P(A) sea cercano a 0,25.
n
P(A)
50
0,3370
54
0,2879
56
0,2651
57
0,2542
58
0,2435
Tabla 4. Valores de n para hallar la probabilidad de aceptación con k2 y c=1
Se escoge el valor de n2=57
Ahora se comparara la razón entre n2 y n1 que se encuentre en el intervalo de 1 n2n1 1,6
n2n1=5738=1,5
Como se puede ver este valor se encuentra dentro del intervalo, por lo cual se acepta.
Al no ser n1= n2 se tomará un valor promedio de las n, el cual será :
n=57+382=47,5 48
Obteniendo finalmente:
n= 48
c=1
Lo cual indica que para cada lote de 170 se toma una muestra representativa de 48 y el lote es aceptable si hay hasta solo un artículo defectuoso.


CURVA OC
La representación gráfica del rendimiento de un plan de muestreo, se construye trazando la probabilidad de que el lote sea aceptado, para una gama de proporciones de unidades defectuosas. Ésta gráfica, llamada curva característica de operación (OC) (operating characteristic), describe el grado en que un plan de muestreo permite distinguir entre los lotes buenos y los malos. Sin duda alguna, todo gerente desea disponer de un plan que acepte el 100% de las ocasiones los lotes cuyo nivel de calidad sea mejor que el AQL y acepte lotes con un nivel de calidad peor que el AQL, el 0% de las veces.
La curva OC ideal para un solo plan de muestreo se puede apreciar en la siguiente figura. Sin embargo ese rendimiento sólo se logra con el 100% de inspección. La curva OC típica para un plan de un solo muestreo, muestra la probabilidad α de rechazar un lote bueno (riesgo del productor) y la probabilidad β de aceptar un lote malo (riesgo del consumidor). Por ende, anteriormente fue necesario hallar un tamaño de muestra n y un número de aceptación c para alcanzar el nivel de rendimiento especificado por el AQL, el α, el TPDL y el β.
Figura 1. Curvas características de operación

Teniendo en cuenta la información anterior y que el valor de muestra calculado fue n= 48 y la cantidad de artículos defectuosos aceptables fue c =1 se procede a hallar la curva OC a partir de la siguiente fórmula:
PA=Px c=x=0cp NxN-p Nn-xNn
Dónde:
p: proporción defectuosa
N= 170
n = 48
c =1
Reemplazando los valores, obtenemos:
PA=170 p0170-170 p4817048+170*p1170-170 p4717048
Para ello tomamos un determinado rango de valores de p, donde incluimos
p = AQL = 0,01
p = TPDL= 0,04
P
P(A)
0
1
0,01
0,9215
0,02
0,5780
0,03
0,4022
0,04
0,3247
0,05
0,2022
0,06
0,1202
0,07
0,0983
0,08
0,0550
0,09
0,0283
0,1
0,0220
Tabla 5. Valores de p para hallar P(A)
Con estos datos se llevó a cabo la construcción de la curva OC donde comprobamos que los valores de α y β dieran cercanos a lo especificado por el plan de muestreo y se muestran igualmente en el gráfico 1.


Gráfico 1. Curva OC correspondiente al plan de muestreo con n = 48 y c = 1

Es notorio que el valor de α y β se alejan un poco de los propuestos para el plan de muestreo debido a que n1 n2 donde se escogió un n promedio entre 38 y 57, ya que son valores cercanos y la razón n2/n1 fue de 1,5, en el siguiente gráfico se presentan las curvas OC para n1=38, n2=57 y n=48 y se observa como varían éstas para un c=1 (constante).

Gráfico 2. Curvas OC correspondiente al plan de muestreo c=1, variando n

En la gráfica se pueden observar las 3 curvas OC correspondientes para distintos valores de n, con c=1 e indican lo siguiente:
Cuando se incrementa el valor de n, mientras c se mantiene constante aumenta el riesgo del productor y reduce el riesgo del consumidor. En el caso de un fabricante, el hecho de mantener c=1 e incrementar el tamaño de muestra hace más difícil que un lote sea aceptado por el cliente, ya que bastará con que haya 1 artículo defectuoso para que éste lote sea rechazado. Además la probabilidad de encontrar 1 defectuoso es mayor en una muestra de 50 que en una de 43, por lo tanto el riesgo del productor aumenta. Al tomar como n al promedio de las muestras halladas para un k1 y un k2 el porcentaje de artículos defectuosos es intermedio, por lo tanto, se ajusta a un plan de muestreo más cercano al requerido para el tamaño del lote.

Plan 1
Plan 2
Plan 3
n
38
48
57
c
1
1
1
% art defectuosos
2,63
2,08
1,75
Tabla 6. Comparaciones de planes de muestreo con diferentes valores de muestra.


CONCLUSIONES
Cada plan de muestreo esta caracterizado por una curva OC.
Es necesaria una selección optima de la distribucion de probablidad que se le aplica al plan de muestreo destinado para el análisis.
Si n aumenta y c se mantiene constante, como en el presente trabajo, la curva OC se desplaza hacia la izquierda, disminuyendo su probablidad P(A) y alejandose de la curva OC ideal.
Si se cuenta con diferentes planes de muestreo, correspondientes a distintos valores de n (Gráfico 2), será mas exigente aquel cuya probabilidad de aceptación sea más baja, es el caso para el mayor de los n que se citan en dicho gráfico (n=57).
Si un proveedor requiriese seleccionar un plan de muestreo, entre muchos, en los cuales c se mantiene constante y n aumenta (Gráfico 2), le convendría aquel en donde se aceptara hasta una cantidad mayor de porcentaje de artículos defectuosos.
Por el contrario, si un comprador requiriese seleccionar un plan de muestreo, entre muchos, en los cuales c se mantiene constante y n aumenta (Gráfico 2), le convendría aquel en el cual se aceptara hasta una cantidad menor de porcentaje de artículos defectuosos.
BIBLIOGRAFÍA
CARRO Paz Roberto, GONZÁLEZ Gómez Daniel. Muestreo de aceptación. Facultad de ciencias económicas y sociales. Universidad nacional del mar de Plata.