439 Pela Difusão do Conhecimento Crítico I N N N N NÚMEROS ÚMEROS ÚMEROS ÚMEROS ÚMEROS N N N N NA A A I I I INTEIROS NTEIROS NTEIROS NTEIROS NTEIROS

NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS

I Nesta aula vamos rever os algoritmos das quatro operações básicas – Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão. Primeiro, vamos relembrar características importantes que usamos dentro do Sistema de Numeração Decimal. Tome como exemplo o número 482 (quatrocentos e oitenta e dois). Ele é formado pelos algarismos 4, 8 e 2, nessa ordem. Se alterarmos a ordem dos algarismos, podemos obter outros números diferentes, como por exemplo, 248 (duzentos e quarenta e oito). O que faz essa diferença é o Valor de Posição dos algarismos que formam o número. Partindo da esquerda para a direita, temos primeiro a casa das unidades, depois a casa das dezenas, em seguida a casa das centenas, das unidades de milhar, das dezenas de milhar, e assim por diante. Então, pelo valor de posição dos algarismos no número 482 temos: 2 unidades = 2+ 8 dezenas = 80+ 4 centenas = 400 482 E para o número 248 temos: 8 unidades = 8+ 4 dezenas = 40+ 200 2 centenas = 248 O valor de posição ou a característica de sistema posicional classifica os algarismos no que chamamos de valores absolutos ou relativos. O valor absoluto de um algarismo qualquer é ele mesmo, enquanto que o valor relativo depende da posição que ele ocupa. Vejamos o número 1037:

Por outro lado, podemos escrever quaisquer números que quisermos com o conjunto de dez algarismos indo-arábicos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Esse conjunto finito permite a construção de uma seqüência ordenada de números chamados Conjunto dos Números Inteiros. Um subconjunto dos Números Inteiros constitui o Conjunto dos Números Naturais, que são aqueles que usamos naturalmente para contar, ou seja, os inteiros positivos. {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... } Conj. Números Naturais Esta seqüência é infinita e cresce de uma em uma unidade, ou seja, para obter o número seguinte, basta somar 1. Dois números são ditos consecutivos se a diferença entre eles for de uma unidade. Como exemplo: 9 e 10 são consecutivos e

9 é menor que 10, ou 9 < 10, e 9 é o antecessor de 10 10 é maior que 9, ou 10 > 9, e 10 é o sucessor de 9 -5 e -4 são consecutivos e -5 é menor que -4, ou -5 < -4, e -5 é o antecessor de -4 -4 é maior que -5, ou -4 > -5 e -4 é o sucessor de -5 Após essa revisão podemos começar com as operações. Adição → idéia de aumentar, acrescentar, unir, juntar, reunir, ganhar, receber... Subtração → idéia de diminuir, tirar, reduzir, perder, descontar, cortar, encontrar a diferença...

As idéias que se relacionam com as operações são identificadas no contexto da situação - problema a ser resolvido. Para não errar operações de adição e subtração basta dispor os números envolvidos de forma que unidades fiquem embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas, e assim por diante formando colunas. Vamos estudar alguns exemplos e explorar as regras e propriedades que regem a adição e a subtração no conjunto dos números inteiros. É importante que se observe, além dos sinais que definem a operação, os sinais que acompanham os números. 175 + 37 = +175 + (+37) O que está de um lado da igualdade é o mesmo que está do outro lado. A ausência de sinal em um número qualquer indica, por convenção, que se trata de um número positivo. Logo, temos uma soma de dois números positivos que resultará em um número também positivo. No caso, a soma é 212 ou +212. 175 + (-37) = + 175 + (-37) = 175 - 37 Temos agora a soma de um número positivo com um número negativo que “se transforma” numa subtração, pois somar um valor negativo é o mesmo que subtraí-lo. Então o resultado dessa soma é 138 ou +138. -175 + 37 = -175 + (+37) = 37 - 175 Novamente temos uma soma de um número positivo com um negativo, que se transforma numa subtração como no exemplo anterior. No entanto, o número negativo é maior que o positivo. Efetuamos a subtração 175 - 37, ou seja, subtraímos o valor positivo do negativo que é maior, e obtemos uma resposta negativa: -138. -175 + (-37) = -175 - 37 Agora temos a soma de dois números negativos, e da mesma forma que somamos os dois números positivos no primeiro exemplo, somaremos neste e o resultado será 212. 175 - 37 = +175 - (+37) A subtração de dois números positivos resolve-se como uma subtração comum, e o resultado é 138 ou +138. 439

Pela Difusão do Conhecimento Crítico

Cad01MatAlgebraModulo01.pmd

439

7/3/2009, 16:09

175 - (-37) = +175 + 37 Subtrair um número negativo de um número positivo é o mesmo que somar esse número, tal qual podemos ver acima. Logo, o resultado dessa operação é 212 ou +212. -175 - 37 = -175 - (+37 ) = - 175 + (-3 7) Temos aqui um número negativo subtraindo um número positivo. Observe que já tivemos um exemplo como esse e o que fizemos foi somar os valores negativos, cujo resultado é -212. -175 - (-37) = -175 + 37 = 37 - 175 Finalmente, já vimos um exemplo análogo de subtrair um número positivo que é menor que o número negativo. O resultado já visto é -138. Vejamos um pouco das propriedades pertinentes à adição: Comutativa: Dados quaisquer dois números a e b, temos a + b = b + a. Exemplo: 1.908 + 2.275 = 2.275 + 1.908 Obs: A comutatividade só vale para números positivos. Elemento neutro: O zero é o elemento neutro da adição, ou seja, para qualquer número a, temos que a + 0 = a Exemplo: 251 + 0 = 251 Associativa: a, b, c ∈ IR, temos que (a + b) + c = a + (b + c). Dados três números a, b, c. Se somarmos a e b e depois somamos c ao resultado, obtemos o mesmo valor fazendo primeiro a soma de b e c e ao seu resultado somarmos a. Exemplo: (324 + 476) + 77 = 324 + (476 + 77) A subtração não possui todas essas propriedades como a adição, podendo ser considerado apenas o Elemento Neutro, ou seja, subtraindo qualquer número por zero, temos o mesmo número. Estudaremos agora as operações de multiplicação e divisão separadamente. Multiplicação → idéia de soma de parcelas iguais

Exemplo: Passeando pelo shopping você encontra aquela TV que gostaria de ter em seu quarto. No cartaz o anúncio: “15 pagtos. mensais de R$40,00 s/juros”. Uma forma de você saber quanto lhe custará a TV é somar R$40,00 com ele mesmo 15 vezes. 40 + 40 + 40 + 40 +...+ 40 = R$600,00 15 parcelas No entanto, esse tipo de soma onde todas as parcelas são iguais pode ser substituída eficientemente pela multiplicação. Vejamos: 40 ou 15 x15 x40 200 600 40+ 600 As duas operações acima apresentam o mesmo resultado, seja fazendo 40 x 15 ou 15 x 40. Isto mostra que a ordem dos fatores (40 ou 15) não altera o produto (600) ou o resultado. Aqui já podemos perceber que a multiplicação possui a propriedade comutativa, ou seja, a.b = b.a,

a, b ∈ IR.

Observação: Note que podemos denotar a multiplicação por ( . ) ao invés de ( x ). Da comutatividade da multiplicação, deriva a propriedade associativa: Dados três números a, b, c ∈ IR , temos que a. (b . c) = (a . b) .c.

Exemplo: (10 x 5) x 2 = 10 x (5 x 2) = 100. Voltando ao exemplo anterior. Podemos observar também que uma delas “ocupa menos linhas”, ou seja, se resolve mais rapidamente. Por que? O que temos de diferente é que na primeira o fator 40 está sendo multiplicado por 15. Isto faz com que você faça a multiplicação, da direita para a esquerda, do 5 por 40 e em seguida, do 1 por 40. Na segunda, o fator 15 está sendo multiplicado por 40, e, da direita para a esquerda, temos o 0 multiplicado por 15 que é o próprio zero. Isto faz com que se torne desnecessário esta etapa, bastando apenas multiplicar o 4 por 15 e adicionar o zero no resultado. Vale usar a propriedade abordada acima em relação ao zero: Qualquer número multiplicado por zero dá zero, junto com a propriedade do Elemento Neutro, ou seja, o número 1. Observe que Qualquer número multiplicado por 1 dá ele mesmo, ou seja, a x 1 = a, a ∈ IR. Exemplo: Quanto é 437 x 10? A resposta é 4370 e quanto será 437 x 100? É 43700 e 437 x 1000? É 437000 Usando as propriedades acima mencionadas temos a mesma quantidade de zeros do multiplicador (10, 100, 1000,.. ) sendo acrescentados no número 437 e formando o resultado que buscamos. Faremos agora uma análise de como se comportam os sinais ( + ) e ( - ) na multiplicação: 15 x 40 = +15 x (+40) Já sabemos que um número sem nenhuma anotação de sinal indica que este número é positivo. E o produto de dois números positivos é positivo. No caso, é 600 ou +600. 15 x (-40) = +15 x (-40) -15 x 40 = -15 x (+40) Neste exemplo temos a multiplicação de um número positivo por um número negativo, e o inverso, um número negativo por um número positivo. As duas operações estão juntas porque se resolvem pela mesma regra e têm a mesma resposta que é -600. Portanto, o produto de um número positivo com um negativo, ou vice-versa, resulta num número negativo. -15 x -40 = -15 x (-40) Finalmente temos dois números negativos sendo multiplicados. Não vamos nos aprofundar o porquê, mas o produto de dois números negativos é um número positivo. Logo, podemos estabelecer uma regra para a multiplicação.

440

Cad01MatAlgebraModulo01.pmd

Pela Difusão do Conhecimento Crítico

440

7/3/2009, 16:09

Se os dois números que estão sendo multiplicados possuem o mesmo sinal, ou seja, os dois são positivos ou os dois são negativos, o produto é positivo. Se, no entanto, os dois números possuírem sinais diferentes, ou seja, um é positivo e o outro negativo, o produto será sempre negativo.

Vamos trabalhar agora na Divisão. Divisão → idéia de partir, repartir, separar, formar grupos, encontrar quantidades iguais, dividir, etc...

Também é o desfazer da multiplicação. 5 x 10 = 50, então, 50 : 10 = 5 ou 50 : 5 = 10 A apresentação mais comum para a resolução de uma divisão é:

Temos nesse exemplo uma divisão onde: 50 é o dividendo, 5 o divisor, 10 o quociente o 0 é o resto. O resto deve ser sempre menor que o divisor. No exemplo acima temos o resto igual a zero que define esta operação como uma divisão exata. Se o resto for diferente de zero, a divisão será não exata. A continuação de uma divisão não exata na parte inteira ocorre com a parte decimal, que veremos em uma aula mais adiante. Se tivéssemos 54 ao invés de 50 dividido por 5 ficaria assim:

Neste exemplo temos que o resto é 4, ou seja, 54 dividido por 5 é igual a 10 e resta 4. Pelo algoritmo da divisão de Euclides temos: Para a divisão exata, o resto é 0 (zero). a:b=c⇔c.b=a

Se a divisão possuir resto, então: a : b = c e sobra resto r ⇔ c . b + r = a

Continuando com os exemplos:

De início, temos 5 dividido por 5, que é igual a 1, pois fazendo a operação inversa, 1 x 5 = 5, e resto zero. Acrescentando o algarismo seguinte do dividendo, 0 , temos que zero dividido por qualquer número é igual a zero, pois 0 x 5 = 0, e o resto é zero. Acrescentando o último algarismo do dividendo, o 4, teremos 4 que dividido por 5 também dá zero pois 4 é menor que 5 e resta 4. A divisão da parte inteira terminou: 540 : 5 = 10 e resta 4.

Neste outro exemplo não basta apenas o primeiro algarismo para iniciarmos a divisão porque 1 é menor que 5. Então tomamos o 10 e, 10 : 5 = 2 com resto zero pois, 2 x 5 = 10. Acrescentamos o algarismo seguinte do dividendo, o 4, e como já vimos 4 : 5 = 0 e resta 4. Acrescentamos então o zero que é o último algarismo do dividendo e obtemos 40. Fazendo 40 : 5 obtemos 8 e resto zero pois 5 x 8 = 40, e terminamos a divisão. Faremos agora um estudo dos sinais na divisão, que inclusive não é diferente do que ocorre com a multiplicação. 50 : 5 = +50 : +5 = (+50) : (+5) Temos dois números positivos sendo divididos e, como na multiplicação, o resultado também é positivo, 10 ou +10. 50 : -5 = +50 : -5 = (+50) : (-5) -50 : 5 = -50 : +5 = (-50) : (+5) Agora, a divisão é de um número positivo por um número negativo ou, de um número negativo por um positivo. O resultado, como na multiplicação, é negativo, -10. -50 : -5 = (-50) : (-5) E por último, temos dois números negativos sendo divididos. Logo, o resultado é positivo: 10 ou +10. Observação: Podemos substituir o sinal (:) por ( / ), ou seja, 50 : 5 = 50 / 5 = 10.

1) Complete com o número inteiro correto:

2) O gráfico a seguir representa o número de nascimento de cães Rottweiler no Brasil, entre 1990 e 2000, responda:

441

Pela Difusão do Conhecimento Crítico

Cad01MatAlgebraModulo01.pmd

441

7/3/2009, 16:09

: 3 e 458624 : 12. Determine o valor x.y + z. 7) Em um jogo de perguntas e respostas cada participante ganha 3 pontos por acerto, perde 2 pontos por erro e perde 1 ponto se não responder. Veja o desempenho dos cinco participantes em cada jogo com 20 perguntas para cada um. Silas: 9 acertos, 8 erros e 3 sem responder. Moacir: 6 acertos, 5 erros e 9 sem responder. Jonas: 7 acertos, 8 erros e 5 sem responder. Costinha: 8 acertos, 3 erros e 9 sem responder. Dida: 7 acertos, 10 erros e 3 sem responder. Determine a pontuação de cada um e escreva a classificação final de acordo com a ordem decrescente de pontos. a) Qual o número de nascimentos da raça em 2000? b) Em que ano ocorreu o maior número de nascimentos de Rottweiler no Brasil, nesse período?

8) Sabendo que P dividido por 4 resulta em 7 e deixa resto 3; e D dividido por 11 resulta em 12 e deixa resto 10. Determine o valor de P - D.

3) Coloque dentro de cada retângulo o número inteiro correspondente:

9) Um camelô faz 4 vendas. Na primeira teve prejuízo de R$ 4,00, na segunda teve prejuízo de R$ 11,00, na terceira teve lucro de R$ 13,00 e na última venda teve lucro de R$ 5,00. Calcule o saldo resultante desses quatro negócios. 10) Completa a tabela abaixo:

4) Resolva as seguintes Expressões numéricas: a) 13 + 8 - [1 - (-15 + 3 - 12) + 8] - (12 - 8) b) 18 - (-8 + 31) + {-7 - [-4 + (8 - 1) - (16 - 3 + 7) + 2] - 4} 5) Sejam os números a, b e c, representados pelas expressões: a = -3 - [1 - (5 + 2) + 4] b = 48 + {52 - [14 + (-17 + 82)] - 18} c = -20 - [4 + 3 - (12 - 19) - (35 - 15) + 2] + 82 Determine o valor de a.b.c. 6) Sejam x, y e z os respectivos restos das divisões 14589 : 5; 87596 1) 20 → 22 → 14 → 19; 38 → 26 → 33 → 0 2) a) 14061 b) 1997 3)

11) (FGV) Numa divisão, o quociente é 8 e o resto 24. Sabe-se que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 344. Então a diferença dividendo menos divisor é: a) 127 b) -127 c) 100 d) 248 e) -248 12) (Fuvest) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396, resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

4) a) -16 b) -1 5) -198 6) 12 7) Costinha 30; Moacir 17; Silas 14; Jonas 10 e Dida 4. 8) -101 9) R$ 3,00 10)

11) d 12) c 442

Cad01MatAlgebraModulo01.pmd

Pela Difusão do Conhecimento Crítico

442

7/3/2009, 16:09