A ACELERAÇÃO E A SOLUÇÃO DO PARADOXO DOS GÊMEOS. (The acceleration and the solution of the twin paradox)
Ney Rebelo Afonso1 Engenharia de Equipamentos Dinâmicos, Refinaria Duque de Caxias, Petrobras.
RESUMO O paradoxo dos gêmeos é um “gedanken-experiment”2, envolvendo o fato de existir, na Teoria da Relatividade Restrita (TRR), uma perfeita simetria nas transformações de coordenadas entre referenciais inerciais. Este fato leva a uma situação aparentemente contraditória devido aos erros conceituais frequentemente cometidos. Para explica-la, costuma considerar que a assimetria do problema está na aceleração do gêmeo viajante e, portanto, este estará mais jovem no retorno. Embora o resultado final esteja certo, a explicação correta não é esta como será explicitado neste trabalho. Mostraremos através da correta aplicação dos conceitos da TRR como é possível explicar adequadamente este “pseudo-paradoxo”. Palavras-chave: epistemologia relativística, cinemática relativística, paradoxo dos gêmeos, paradoxo dos relógios, simultaneidade, relatividade especial, dilatação do tempo.
ABSTRACT The twin paradox is a “gedanken-experiment”, involving the fact that there is, in the special theory of relativity (STR), a perfect symmetry in the coordinate’s transformations between inertial frames. This fact leads to an apparently contradictory situation in your solution due to conceptual errors often committed. To explain that, it is usually to say that the asymmetry of the problem is in the traveler twin´s acceleration so, therefore he is younger twin in return. Although the result is correct, the explanation is not as we will show in this paper. We will demonstrate, applying the correct concepts of the special theory of relativity (STR), how is possible to explain correctly this "pseudo-paradox". Keywords: relativistic epistemology, relativistic kinematics, twins paradox clock paradox, simultaneity, special relativity, time dilation.
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1. INTRODUÇÃO Se um gêmeo viaja no espaço para um planeta distante a uma velocidade comparável à da luz verifica que, no regresso, seu irmão gêmeo idêntico, que permaneceu na Terra, envelheceu mais do que ele. Mas como, segundo a TRR, todo o movimento é relativo, podemos considerar, inversamente, o gêmeo viajante como imóvel e o seu irmão (junto com a Terra e todo o Universo) se deslocando no sentido oposto e assim deveria ser ele o menos envelhecido. Como estas duas situações aparentemente não podem ser simultaneamente verdadeiras, estaríamos diante de um paradoxo. Mas o paradoxo é apenas aparente porque, como vamos demonstrar neste trabalho, é o gêmeo viajante quem realmente envelheceu menos. Este problema também é conhecido como “Paradoxo dos Relógios”. Um histórico completo sobre o mais famoso “paradoxo” da relatividade pode ser encontrado na referencia [1].
2. OS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA TRR3 A TRR se baseia em dois postulados fundamentais: 1 – Princípio da Relatividade: “As leis da Física são as mesmas em qualquer referencial inercial” 2 – Princípio da Invariância da Velocidade da Luz: “A velocidade da luz no vácuo tem sempre o mesmo valor em todos os referenciais inerciais”.
3. AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ4 Devido à isotropia da propagação da luz no espaço vazio, uma vez emitido um sinal luminoso num dado ponto do espaço e num dado instante, tomados respectivamente como a origem dos referenciais inerciais S e S’, deve verificarse:
𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 𝑐2𝑡 2 𝑥′2 + 𝑦′2 + 𝑧′2 = 𝑐 2 𝑡′2
(1)
(2)
Note-se que, pelo postulado da constância da velocidade da luz, a frente de onda se propagará como uma esfera com centro na origem dos dois referenciais S e S’. Isso parece provocar uma contradição. Como é possível que a mesma esfera tenha dois centros diferentes? A contradição desaparece se não se tratar da mesma esfera. O que é uma frente de onda? Num dado referencial, é o lugar 2
geométrico dos pontos atingidos pela onda simultaneamente nesse referencial. Se o que é simultâneo em relação a S não é necessariamente simultâneo em relação a S', as frentes de onda nos dois referenciais são formadas de pontos diferentes no espaço-tempo, o que é compatível com centros diferentes. A partir das equações acima é possível demonstrar que (veja a dedução no apêndice):
𝑥 ′ = 𝛾 (𝑥 − 𝑣𝑡)
(3)
𝑣𝑥 ) 𝑐2
(4)
𝑡 ′ = γ (𝑡 −
𝛾 =
𝑦′ = 𝑦
(5)
𝑧′ = 𝑧
(6)
1 2
√1 − 𝑣 2 𝑐
(7)
O parâmetro acima, equação (7), é conhecido como Fator de Lorentz (FT). As equações (3), (4), (5) e (6) acima são conhecidas como Transformações de Lorentz (TL). Como só existem movimentos relativos e não existem na TRR referenciais privilegiados, todos os observadores inerciais são equivalentes. Assim as TL são simétricas entre referenciais inerciais (invertendo-se o sinal da velocidade). A partir das equações acima é possível demonstrar que (veja a dedução no apêndice):
𝑥 = 𝛾 (𝑥 ′ + 𝑣𝑡 ′ )
(8)
𝑣𝑥 ′ 𝑡 = 𝛾(𝑡 + 2 ) 𝑐
(9)
′
As equações (8) e (9) acima são conhecidas como Transformações Inversas de Lorentz.
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4. CONCEITOS FUNDAMENTAIS Um evento é qualquer fenômeno que ocorre no espaço e no tempo sendo representado por três coordenadas espaciais e uma temporal. Pode ser simplesmente a indicação de um relógio em um determinado ponto do espaço. Referencial é todo o sistema de coordenadas em que observadores dispõem de réguas e relógios para medir a posição e o tempo de objetos em movimento. Todo o referencial se estende infinitamente em todas as direções e todos os observadores estão em repouso em relação ao seu próprio referencial. Uma classe especial de referenciais de grande importância na TRR é o chamado referencial inercial5, que é aquele no qual uma partícula qualquer não está sujeita a forças de qualquer natureza, logo, ou está parada ou se movimentando em linha reta e com velocidade constante. Chama-se de tempo próprio ao tempo inferido por um relógio estacionário na origem de um referencial inercial. Chama-se de comprimento próprio ao comprimento medido no referencial inercial em que o corpo está em repouso. A simultaneidade é a propriedade de que dois ou mais eventos possam acontecer de forma coincidente, ou seja, em um mesmo instante de tempo, em pelo menos um sistema de referência. Na Física sabemos que toda a medida de tempo sempre se baseia numa verificação de simultaneidade de eventos. Por exemplo, quando dizemos que um avião aterrissou às sete horas da manhã estamos na verdade dizendo que o evento do pouso do avião é simultâneo a uma posição específica dos ponteiros de um determinado relógio. “Planos de simultaneidade” podem ser definidos como o conjunto de todos os eventos que são simultâneos a um determinado observador num determinado instante de tempo. O espaço para um determinado observador é o lugar de todos os eventos associados a um mesmo valor de tempo, ou seja, é um “plano de simultaneidade”. Os diagramas espaço-tempo de Minkowiski são essencialmente uma representação gráfica da posição e do instante de tempo de um determinado objeto em movimento, conforme visto por um observador em repouso no seu próprio referencial inercial. A história de um ente qualquer pode ser considerada como uma sucessão contínua de eventos sendo representada nos diagramas espaço-tempo por uma linha contínua, chamada linha de mundo do ente e indica a variação da posição do ente como função do tempo. Por simplificação, mas sem perda de generalidade, representamos o espaço nestes diagramas em apenas uma dimensão. Num diagrama de espaço-tempo de Minkowski, um evento é representado por um ponto, cujo tempo de ocorrência está dado na ordenada e a posição na abscissa. Nestes diagramas os eventos simultâneos em um determinado referencial inercial estão sobre linhas paralelas ao eixo das abscissas, que são chamadas de “planos de simultaneidade”. Podemos visualizar o espaço-tempo como uma “grade” formada por relógios conectados por barras rígidas.
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5. A RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE Suponha a ocorrência de dois eventos A e B que acontecem em um referencial inercial S em dois instantes 𝑡1 e 𝑡2 . Vamos verificar como um observador em outro referencial inercial S’ em movimento irá descrevê-lo. Partindo da equação (4) temos:
𝑡1 ′ = γ (𝑡1 −
𝑣𝑥1 ) 𝑐2
𝑣𝑥2 𝑡2 ′ = γ (𝑡2 − 2 ) 𝑐 𝑣𝑥𝑐 ′ 𝑡𝑐 = γ (𝑡𝑏 −
𝑐2
(10)
(11) )
Diminuindo (10) de (11) temos: 𝑡𝑐′ = γ (𝑡𝑏 −
𝑡2 ′ − 𝑡1 ′ = γ [(𝑡2 − 𝑡1 ) −
𝑣𝑥𝑐 ) 𝑐2
𝑣(𝑥2 − 𝑥1 ) ] 𝑐2
(12)
Se considerarmos que esses eventos são simultâneos para o observador em S’ 𝑣𝑥𝑐 temos: 𝑡𝑐′ = γ (𝑡𝑏 − 2 ) 𝑐 𝑡2 ′ − 𝑡1 ′ = 0 (13)
E assim:
𝑡2 = 𝑡1 +
𝑣(𝑥2 − 𝑥1 ) 𝑐2
(14)
Pela equação (14) podemos verificar que eventos simultâneos em um referencial 𝑣𝑥𝑐 referencial inercial que se inercial, não serão mais simultâneos em 𝑡𝑐′ =nenhum γ (𝑡𝑏 − outro ) 𝑐2 mova com relação ao primeiro. Logo podemos concluir: “Um conjunto de relógios estacionários sincronizados distribuídos ao longo de um determinado referencial inercial estarão necessariamente dessincronizados em relação a outro referencial inercial que se mova com relação ao primeiro. ” Assim, 2 referencias inerciais em movimento não irão mais concordar sobre a sincronização de seus relógios e aquilo que um observador entende ser o espaço em um referencial inercial não é mais equivalente ao que o outro observador no outro referencial inercial percebe como sendo o espaço.
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6. O “PARADOXO” Usando as transformações de Lorentz no referencial S, podemos escrever:
𝑡′ = γ (𝑡 −
𝑣𝑥 ) 𝑐2
𝑥 = 𝑣𝑡
(15) (16)
Substituindo a equação (16) em (15) temos:
𝑣2 𝑡′ = γ 𝑡(1 − 2 ) 𝑐 Logo:
𝑡 = γ 𝑡′
(17)
(18)
Usando as TL inversas no referencial S’, podemos escrever: 𝑡𝑐′ 𝑣𝑥 ′ ′ γ (𝑡 = 𝑡 = 𝛾(𝑡 + 𝑏2 ) 𝑣𝑥𝑐𝑐 − 2) 𝑐
𝑥 ′ = −𝑣𝑡′
(19)
(20)
Substituindo a equação (20) em (19) temos:
𝑣2 𝑡 = γ 𝑡′(1 − 2 ) 𝑐
(21)
𝑡′ = γ 𝑡
(22)
Logo:
Podemos ver que as equações (18) e (22) parecem ser incompatíveis. 𝑡𝑐′ Entretanto o que elas realmente indicam é que os observadores em ambos os = γ (𝑡𝑏 referenciais inerciais medem um tempo próprio. 𝑣𝑥𝑐 − 2) 𝑐 Devido ao fenômeno da dilatação do tempo cada referencial “vê” o relógio do outro funcionar num ritmo mais lento, uma vez que este último está em movimento em relação ao primeiro e vice-e-versa, e é isto que parece configurar o “paradoxo” em questão. 6
7. A ACELERAÇÃO A aceleração é um conceito cinemático, sendo matematicamente definida como a taxa de variação da velocidade com relação ao tempo. Ela é tão relativa quanto à velocidade e, uma vez que esta última varia em ambos os referenciais, concluímos que ela existe para ambos os gêmeos. Logo podemos concluir: A espaçonave acelera em relação à Terra assim como a Terra acelera em relação à espaçonave. Na verdade, a assimetria normalmente utilizada para justificar a diferença de idades dos gêmeos está relacionada com as forças fictícias ou forças de inercia, sendo que, apenas o gêmeo viajante sentirá esse efeito 6. Entretanto este efeito não é relevante para justificar a diferença de idades dos gêmeos tendo um caráter apenas acidental neste problema. Um argumento simples pode revelar esta questão. Consideremos então duas situações: Na primeira situação, o gêmeo viajante acelera, viaja a uma velocidade constante de 60% da velocidade da luz por 8 anos marcados em seu relógio, desacelera, faz a volta, acelera mais uma vez para retornar, viaja novamente a uma velocidade constante de 60% da velocidade da luz por mais 8 anos marcados em seu relógio e finalmente desacelera no final da viagem para o reencontro dos gêmeos na Terra. Para o gêmeo terrestre terão passados 20 anos marcados pelo seu relógio logo, a diferença de idades será de 4 anos. Na segunda situação, o mesmo gêmeo viaja estritamente com as mesmas acelerações e velocidades que a situação anterior, mas por apenas 4 anos na ida e 4 anos na volta marcados pelo seu relógio. Neste caso para o gêmeo terrestre terão passados 10 anos marcados pelo seu relógio logo, a diferença de idades será de 2 anos. Dessa forma, apesar do gêmeo viajante de estar submetido às mesmas acelerações nos 2 casos a diferença de idades foi menor no segundo caso. Por isso podemos concluir que não é a aceleração em si, ou melhor, as forças de inércia que causam a diferença de envelhecimento, mas sim o tempo dispendido em velocidade constante durante a viagem. Este mesmo raciocínio vale para o argumento utilizado por alguns autores que afirmam ser a variação do tempo causada pela aceleração conforme calculado pela Teoria da Relatividade Geral (TRG) que provocaria a diferença de idades. Mesmo porque, se a espaçonave for acelerada de um valor aproximadamente igual a 2g, a diferença de tempo devido à TRG será desprezível se comparada com o tempo de viagem total. Para visualizarmos o verdadeiro papel da aceleração neste problema, vamos considerar as figuras de 1 a 6, onde estão representados os períodos de tempo de aceleração e desaceleração da viagem de um dos gêmeos a um planeta distante em uma espaçonave com uma velocidade da ordem da velocidade da luz enquanto o outro gêmeo permanece na Terra. Os eventos indicados nelas são simplesmente indicações de relógios idênticos na espaçonave, na Terra e no espaço exterior em determinados pontos da viagem. Consideremos ainda que o referencial da Terra está praticamente parado em relação ao ponto de retorno
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porque as velocidades envolvidas nos movimentos dos planetas são desprezíveis quando comparadas com a velocidade da espaçonave que é da ordem da velocidade da luz. Antes da partida, os relógios da Terra, dos planetas e da espaçonave estão todos sincronizados, uma vez que estão em um referencial inercial comum e no momento da ignição da espaçonave todos os relógios são zerados. Consideremos ainda que o período de tempo de aceleração, por exemplo, alguns dias não é significativo em comparação com o tempo total de viagem, por exemplo, 20 anos, e assim podemos desconsiderá-lo por simplificação sem alterar o resultado final do problema7. Dessa forma, logo após o período de aceleração, podemos admitir que os relógios da Terra e da espaçonave ainda estão aproximadamente zerados. Pela figura 1 podemos ver que no referencial da Terra, que esta representado na figura pelos planetas, régua e relógios, mesmo depois da aceleração, os relógios ainda estarão todos sincronizados, pois, como vimos acima, eles são praticamente estacionários neste referencial. Tampouco haverá mudança nas distâncias entre os planetas e o ponto de retorno da viagem neste referencial. No entanto, como pode ser visto na figura 2, no referencial da espaçonave, os planetas, a régua e os relógios estarão se movendo em relação à espaçonave com uma velocidade da ordem da velocidade da luz e, portanto, para esta última, todas as indicações dos relógios no referencial da Terra estarão dessincronizadas. Esta perda de sincronismo não ocorre abruptamente e sim progressivamente em função do aumento da velocidade e da distância. A perda de sincronismo em questão está indicada na figura pela variável ∆ que é uma função da velocidade e da distancia como será deduzido posteriormente. Além disso, neste ultimo referencial as distancias entre os planetas e o ponto de retorno estarão todas contraídas. Quando a espaçonave se aproxima do ponto de retorno, começa o período de desaceleração que, da mesma forma que o período de aceleração, também pode ser desconsiderado em relação ao tempo total de viagem. Aqui podemos ver que, neste local, a desaceleração também não irá causar alterações significativas no tempo, em ambos os referenciais. Contudo, no referencial da espaçonave, antes da desaceleração, havia uma perda de sincronização ∆ entre os relógios no referencial da Terra e da espaçonave além das distâncias entre a Terra, os planetas e a espaçonave estarem todas contraídas. Esta perda de sincronismo e a contração das distâncias vão diminuindo, também progressivamente com a redução da velocidade e, no final do período de desaceleração, os relógios voltam a estar sincronizados e as distâncias entre a Terra os planetas, o ponto de retorno e a espaçonave voltam a serem as mesmas que as do início da viagem. Na viagem de retorno, o raciocínio é o mesmo. Portanto, podemos concluir que, o papel relevante da aceleração neste problema é, conforme a própria definição de aceleração, apenas o da variação da velocidade, que ocorrerá tanto no referencial da espaçonave como no referencial da Terra. O fato de estes referenciais serem ou não inerciais não tem influencia direta no problema da diferença de idades.
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Figura 1- (a) Plano de simultaneidade no referencial da Terra antes da aceleração da espaçonave. (b) A mesma situação após a aceleração.
Figura 2- (a) Plano de simultaneidade no referencial da espaçonave antes da aceleração da Terra. (b) A mesma situação após a aceleração. 9
Figura 3 - (a) Diagrama espaço-tempo no referencial da Terra depois da aceleração da espaçonave. (b) Diagrama espaço-tempo no referencial da espaçonave depois da aceleração da Terra.
Figura 4 - (a) Plano de simultaneidade no referencial da Terra antes da desaceleração da espaçonave. (b) A mesma situação após a desaceleração.
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Figura 5 - (a) Plano de simultaneidade no referencial da espaçonave antes da desaceleração da Terra. (b) A mesma situação após a desaceleração.
Figura 6 - (a) Diagrama espaço-tempo no referencial da Terra antes e depois da desaceleração da espaçonave. (b) Diagrama espaço-tempo no referencial da espaçonave antes e depois da desaceleração da Terra.
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8. A SOLUÇÃO DO PARADOXO Inicialmente, temos que entender que só faz sentido comparar indicações de relógios que são simultâneos entre si, ou seja, estão no mesmo plano de simultaneidade. Quando cada um dos gêmeos aplicam as TL, eles comparam a indicação de seu relógio, isto é, é um tempo próprio em seu referencial inercial, com a indicação de outro relógio idêntico que é simultâneo a ele no referencial de seu irmão. Portanto, para o observador na espaçonave, a indicação de um relógio na Terra que está a uma distância 𝑥 da espaçonave e é simultânea à indicação de um relógio na espaçonave, não é mais simultânea aos relógios que ainda estão sincronizados com o horário do início da viagem no referencial da Terra. Assim, uma comparação direta das idades dos gêmeos no reencontro não é mais possível enquanto eles estiverem em movimento, pois estaríamos comparando indicações de relógios em momentos diferentes, por exemplo, uma indicação no passado com outra no futuro, etc. Durante a viagem em velocidade constante, como vimos na seção 6, ambos os observadores irão medir um tempo próprio e isso faz com que cada um deles, em seu respectivo referencial, meça um intervalo de tempo maior do que o seu irmão gêmeo, uma vez que cada um deles estará em movimento em relação ao outro e vice-e-versa. Entretanto devido à relatividade da simultaneidade, o fato do ritmo do tempo ser menor para ambos os gêmeos nos seus respectivos referenciais não implica em uma incompatibilidade física uma vez que estas indicações não são mais simultâneas entre si, pois os eventos que cada observador considera serem simultâneos não são mais os mesmos em ambos os referenciais inerciais. Logo, para comparar a idade que os gêmeos terão quando se reencontrarem novamente a qualquer momento, é necessário levar em conta a perda de sincronismo com o horário da partida da viagem somente no referencial da espaçonave, uma vez que no referencial da Terra os relógios ainda estão todos sincronizados com o horário da partida porque neste último referencial eles são todos estacionários. Pelas figuras 7,8 e 9, podemos ver que os eventos G e H são simultâneos para os observadores da Terra, mas não são simultâneos para os observadores da espaçonave que se movem em relação à Terra. Para estes últimos são simultâneos os eventos F e H. A diferença de tempo entre os eventos F e G no referencial da Terra é calculada de acordo com a equação (14), fazendo 𝑡2 = 𝑡, 𝑡1 = 𝜏, 𝑥1 = 0 e 𝑥2 = 𝑥 . E assim:
𝑡 =𝜏+
𝑣𝑥 𝑐2
𝑡𝑐′ = γ (𝑡𝑏 𝑣𝑥𝑐 − 2) 𝑐
(23)
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Vamos chamar de ∆ a perda de sincronismo com o horário da partida entre os referenciais inerciais considerados devido ao movimento.
∆=
𝑣𝑥 𝑐2
(24)
Logo: 𝑡𝑐′ 𝑡 ==𝜏γ+(𝑡∆ 𝑏 𝑣𝑥𝑐 − 2) 𝑐
(25)
Agora podemos ver claramente a aparente 𝑡𝑐′ incompatibilidade entre as equações (18) e (22). A equação (25) mostra que=a γvariável 𝑡, que é um tempo próprio no (𝑡𝑏 referencial da Terra, não é igual à variável𝑣𝑥𝜏𝑐, que é o intervalo de tempo após a ) partida da espaçonave no referencial− da 𝑐 2 Terra, calculado pelo gêmeo da espaçonave a partir da aplicação das TL ao seu tempo próprio medido desde o início da viagem. Assim, a variável 𝜏 é fisicamente a indicação de um relógio na Terra que está a uma distância de 𝑥 unidades de comprimento da espaçonave e que é simultânea a indicação 𝑡′ do relógio da espaçonave no referencial desta última. Em outras palavras, estes relógios estão no mesmo plano de simultaneidade. Reescrevendo então a equação (22) teremos:
𝑡′ = γ 𝜏
(26)
Substituindo a equação (26) em (23) e eliminando o termo 𝜏 teremos:
𝑡𝑐′ (𝑡𝑏 𝑡′= γ𝑣𝑥 𝑡 = +𝑣𝑥𝑐2 γ − 𝑐2 ) 𝑐
(27)
Substituindo agora a equação (16) em (27) e organizando termos comuns, 𝑣𝑥𝑐 ′ 𝑡 = γ (𝑡 − ) 𝑐 𝑏 teremos: 𝑐2
𝑡′ 𝑣2 = 𝑡(1 − 2 ) γ 𝑐
(28)
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Substituindo finalmente a equação (7) em (28) teremos:
𝑡′ 𝑡 = 2 γ γ
(29)
E então voltamos à equação (18). Observe que a espaçonave estará sempre na interseção dos planos de simultaneidade de ambos os referenciais, indicado pelo evento F nas Figuras 7, 8 e 9. Portanto, a indicação de um relógio ligado ao referencial da Terra nesse ponto (este relógio estará em movimento em relação à espaçonave, e cruzará com a mesma neste instante) manterá a sincronização com a hora de partida da viagem. Essa é a razão pela qual na partida e na chegada da espaçonave, a aceleração e a desaceleração não causam mudanças na idade do reencontro dos gêmeos. Finalmente, podemos concluir que não há nenhum paradoxo.
Figura 7 - (a) Plano de simultaneidade no referencial da Terra após a aceleração da espaçonave. (b) A mesma situação antes da desaceleração.
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Figura 8 - (a) Plano de simultaneidade no referencial da espaçonave após a aceleração da Terra. (b) A mesma situação antes da desaceleração.
Figura 9 - (a) Diagrama espaço-tempo no referencial da Terra depois da aceleração e antes da desaceleração da espaçonave. (b) Diagrama espaçotempo no referencial da espaçonave depois da aceleração e antes da desaceleração da Terra.
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9. EXEMPLO DE UMA VIAGEM A 60% DA VELOCIDADE DA LUZ A UM PLANETA DISTANTE 6 ANOS-LUZ DA TERRA. Vamos considerar agora uma viagem para um planeta distante 6,0 anos-luz da Terra em uma espaçonave que se move com 60% da velocidade da luz conforme mostrado nas figuras 10 e 11. 60% da velocidade da luz corresponde a um fator de Lorentz de 1,25. Na nave e nos planetas existem relógios fisicamente idênticos. Antes da partida os relógios estão todos sincronizados, pois estão em um referencial comum e, no momento da ignição da espaçonave, eles são zerados. O evento A indica o final do período de aceleração da espaçonave em relação à Terra e vice-e-versa, isto é, o fim do período de aceleração da Terra em relação a espaçonave. Após a aceleração, no referencial da Terra, os eventos A e B são simultâneos e distância entre eles é de aproximadamente 6,0 anos-luz. Entretanto no referencial da espaçonave os eventos A e B não são mais simultâneos. Neste último referencial, o evento A é simultâneo ao evento C que esta a 3,6 anos no futuro em relação ao evento B no referencial da Terra. Além disso, no referencial da espaçonave, a distância entre os eventos é de aproximadamente 4,8 anos-luz. Quando a espaçonave se aproxima do ponto de retorno, ocorre o evento F que corresponde ao início do período de desaceleração em ambos os referenciais. No referencial da Terra a espaçonave estará a aproximadamente 6,0 anos-luz da Terra e terão passado 9,99 anos desde o início da viagem. Neste último referencial os eventos E e F são simultâneos. Entretanto, no referencial da espaçonave os eventos E e F não são simultâneos. Neste último referencial são simultâneos os eventos F e D sendo que a distancia entre eles é de aproximadamente 4,8 anos-luz e terão passados 7,99 anos desde o início da viagem. O evento D no referencial da Terra corresponde a 6,40 anos a partir do início da viagem e pode ser calculado no referencial da espaçonave aplicando as transformações inversas de Lorentz, ou seja, 8,00 / 1,25 = 6,40 anos. No entanto, como vimos anteriormente, a perda de sincronismo de acordo com a equação (24) será igual a 6,00 x 0,6 = 3,6 anos. Se somarmos os dois valores acima teremos: 6,4 + 3,6 = 10,00 anos. Na viagem de retorno, o raciocínio é o mesmo. Assim, podemos concluir que as transformações de Lorentz são sempre válidas em ambos os referenciais e, consequentemente, não há nenhum paradoxo.
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Figura 10 - Diagrama espaço-tempo no referencial da Terra de uma viagem de ida e volta a uma galáxia distante 6 anos-luz com uma velocidade de 60% da velocidade da luz.
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Figura 11 - Diagrama espaço-tempo no referencial da espaçonave de uma viagem de ida e volta a uma galáxia distante 6 anos-luz com uma velocidade de 60% da velocidade da luz.
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10. O PARADOXO DOS TRIGÊMEOS Alguns autores costumam utilizar três gêmeos na resolução deste problema por motivos didáticos. Partindo dos dados do exemplo anterior, vamos considerar que os gêmeos João e Maria têm um primo, José, que nasceu no mesmo dia que eles, mas vive em um planeta distante 6,0 anos-luz da Terra. João parte em uma espaçonave que se move com 60% da velocidade da luz para uma visita ao primo José. No momento da ignição da nave os relógios dos três, fisicamente idênticos, são zerados. Após 10,00 anos da partida, Maria na Terra sabe que João chegou ao planeta de José, pois 10,00 x 0,6 = 6,0 anos-luz. Ela também sabe que para João se passaram apenas 10,00 / 1,25 = 8,00 anos uma vez que este se move em relação a ela com 60% da velocidade da luz. João também concorda que em seu relógio passaram só oito anos, pois a distancia entre os planetas no referencial da espaçonave estará contraída, 6,0 / 1,25 = 4,8 anos-luz que, a uma velocidade de 0,6c leva 4,8 / 0,6 = 8,00 anos para ser vencida. João também sabe calcular a idade do primo José. Uma vez que em seu relógio se passaram oito anos desde a partida, no relógio de Jose devem ter passado 8,00 / 1,25 = 6,40 anos dado que este se move em relação a ele com 60% da velocidade da luz. Entretanto ao encontrar José ele verifica que no relógio deste último também se passaram 10,00 anos. Onde estaria o erro? A resposta é que o João não levou em conta que os relógios dele e do José perderam o sincronismo na partida da espaçonave. Vamos ver como. Após a aceleração, os relógios da Maria e do João ainda estarão marcando praticamente o mesmo valor, por volta de 3 meses, de forma a garantir uma aceleração constante de 2g compatível com o ser humano. Como vimos a aceleração não vai provocar alterações nas idades do João e da Maria próximo a Terra em ambos os referenciais. O relógio do José ainda estará sincronizado com o da Maria, marcando exatamente os mesmos valores no referencial da Terra, pois neste referencial o planeta do José e a Terra estão praticamente estacionários (se compararmos suas velocidades relativas com 60% da velocidade da luz). Entretanto, no referencial da espaçonave, o relógio do José no planeta distante que agora é simultâneo ao do João na espaçonave, não será mais simultâneo ao relógio da Maria. Ele estará marcando 6 x 0,6 = 3,60 anos após a partida da nave no referencial da Terra. Logo para calcular a idade correta do José quando se reencontrarem, João deve somar essa diferença a idade de José calculada pela TL aplicada a sua própria idade na espaçonave. Assim se somarmos a diferença acima com o valor calculado pelo João aplicando as TL ao seu tempo próprio teremos: 6,40 + 3,60= 10,00 anos. Ou seja, não existe paradoxo algum. Repare que a aceleração, além de presente nos dois referenciais, só tem influencia na variação da velocidade e não na diferença de idades dos gêmeos. No retorno o raciocínio é o mesmo.
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11. COMENTÁRIOS SOBRE A EXPLICAÇÃO DO PARADOXO USANDO O EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO. Alguns autores acreditam ser possível explicar o paradoxo dos gêmeos usando o efeito Doppler. O efeito Doppler é um fenômeno no qual as frequências das ondas eletromagnéticas mudam devido ao movimento relativo da fonte e do observador. O efeito Doppler relativístico é esta mudança de frequência para objetos que se movem em velocidades relativísticas. Levando em conta as características relativísticas, é possível demonstrar que o período medido por um observador Tr e o período emitido pela fonte Tp (dito período próprio) estão relacionados pelas seguintes expressões. Para o movimento de afastamento temos:
𝛵𝑟 𝑐−𝑣 =√ 𝛵𝑝 𝑐+𝑣
(30)
Para o movimento de aproximação temos:
𝛵𝑟 𝑐+𝑣 =√ 𝛵𝑝 𝑐−𝑣
(31)
Vejamos a seguir como normalmente é descrita a solução do paradoxo dos gêmeos usando o efeito Doppler relativístico. Vamos partir do exemplo visto na seção 9. Como foi visto, o gêmeo da espaçonave vê seu relógio marcar 8 anos na ida e na volta totalizando 16 anos e o seu irmão na Terra vê respectivamente 10 anos na ida e na volta totalizando 20 anos. Vamos desprezar os períodos de aceleração e desaceleração conforme o mesmo exemplo. A explicação dada pelo efeito Doppler se baseia na comparação que cada gêmeo faz do tempo marcado pelo seu próprio relógio e pelo relógio do outro gêmeo durante a viagem. Vamos supor que cada gêmeo tenha um transmissor muito poderoso que emita um pulso eletromagnético em um determinado período. O método em questão explica o paradoxo considerando o tempo que o pulso leva para se propagar entre os dois gêmeos. Pelas equações (30) e (31) vemos que para 𝑣/𝑐 = 0,6 teremos que a relação de períodos é 0,5 no afastamento e 2,0 na aproximação. Os gêmeos zeram seus relógios quando a nave parte. O gêmeo da nave emite 8 pulsos, um pulso a cada ano de seu relógio e quando ele chega ao seu destino, seu relógio marca oito anos. Mas o gêmeo na Terra recebe cada pulso em 20
intervalos de 2 anos no seu relógio, conforme calculado pela equação (30) uma vez que o movimento é de afastamento. Logo ao fim de 8 pulsos o seu relógio terá marcado 16 anos. Na viagem de volta, o gêmeo da nave emite mais 8 pulsos, um pulso a cada ano e quando ele retorna a Terra, seu relógio marca 16 anos. Mas o gêmeo na Terra recebe agora cada pulso em intervalos de 0,5 anos do seu relógio, conforme calculado pela equação (31), uma vez que agora o movimento é de aproximação. Logo ao fim de 8 pulsos o seu relógio terá marcado 4 anos. Somando os percursos de ida e volta, teremos 16 anos marcados no relógio do gêmeo da espaçonave e 20 anos marcados no relógio do gêmeo da Terra. Reciprocamente o gêmeo da Terra emite 10 pulsos, um pulso a cada ano de seu relógio também. Mas o gêmeo da espaçonave na ida recebe cada pulso em intervalos de 2 anos do seu relógio, conforme calculado pela equação (30) uma vez que o movimento é de afastamento. Logo ele receberá apenas 4 pulsos antes de iniciar o movimento de retorno. Na viagem de volta, o gêmeo da espaçonave começa a receber cada pulso em intervalos de meio ano, conforme calculado pela equação (31), uma vez que agora o movimento é de aproximação. Logo ele vai receber no percurso de volta 16 pulsos. Novamente somando os percursos de ida e volta, teremos 16 anos marcados no relógio do gêmeo da espaçonave e 20 anos marcados no relógio do gêmeo da Terra. Podemos perceber que, apesar do resultado final estar correto, este método não explica o paradoxo, apenas confirma as idades corretas. Conforme visto anteriormente, pela relatividade da simultaneidade, de acordo com as equações (18) e (22), cada observador, enquanto estivesse em movimento, veria seu intervalo de tempo próprio dilatado tanto no afastamento quanto na aproximação, ou seja, o ritmo do tempo para cada um deles não dependeria do sentido do movimento. Além disso, a constante de proporcionalidade entre os intervalos de tempo é o fator de Lorentz. Já pelo método do efeito Doppler cada observador veria seu intervalo de tempo próprio dilatado no afastamento e contraído na aproximação, ou seja, o ritmo do tempo dependeria do sentido do movimento. Além disso, a constante de proporcionalidade entre os intervalos de tempo não é o fator de Lorentz e sim os índices das equações (30) e (31) acima. Assim podemos concluir que as equações (30) e (31) apenas transmitem a informação entre os referenciais em movimento sobre a duração de um determinado intervalo de tempo em cada um deles e não indicam como realmente o tempo passa em cada referencial, ou seja, não explica o paradoxo, apenas confirma a sua solução.
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12. CONCLUSÃO Na TRR, a simultaneidade de eventos não é mais absoluta entre referenciais inerciais movendo-se uns em relação aos outros conforme era na mecânica de Newton. Logo, para compararmos a idade que os gêmeos terão quando se reencontrarem precisamos levar em consideração a perda de sincronismo dos relógios entre os referenciais inerciais considerados. Devido à relatividade da simultaneidade, durante a viagem a um planeta distante com velocidade relativística, cada um dos gêmeos pode afirmar que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão no outro referencial quando medido no seu próprio referencial e vice-e-versa, sem violar as leis da Física, uma vez que, cada um deles estará medindo um tempo próprio no seu respectivo referencial. A situação dos gêmeos é totalmente simétrica o que está de acordo com as TL. Entretanto a comparação das idades que os mesmos terão quando se reencontrarem não pode ser feita diretamente, sem levar em conta a perda de sincronismo dos seus relógios entre os seus respectivos referenciais inerciais enquanto eles estiverem em movimento, uma vez que neste caso, o que cada gêmeo considera ser simultâneo a ele não é mais simultâneo para o outro e vicee-versa. Quando o movimento cessa a dessincronização também acaba e aí pode ser feita novamente a comparação direta do tempo. Neste trabalho mostramos como comparar as idades dos gêmeos durante a viagem levando em conta a relatividade da simultaneidade e com isso explicamos este “pseudo-paradoxo”. Também mostramos que a aceleração ocorre em ambos os referenciais, do gêmeo terrestre e do viajante, uma vez que a velocidade varia em ambos e a aceleração nada mais é do que a variação da velocidade com o tempo. Mostramos que não é a aceleração em si mesma que provoca uma das assimetrias do problema, sendo esta apenas responsável pela variação da velocidade que vai ocorrer em ambos os referenciais inerciais. As forças devido à inércia que aparecem em apenas um dos referenciais quando acelerado não são responsáveis pelo envelhecimento díspar, tendo um caráter apenas acidental neste problema. Da mesma forma, dizer que apenas um dos gêmeos ficou sempre em um referencial inercial enquanto o outro passou por um não inercial também não tem influencia no problema pelo mesmo motivo acima. Este mesmo raciocínio vale para o argumento utilizado por alguns autores que afirmam ser a variação do tempo causada pela aceleração conforme calculado pela Teoria da Relatividade Geral (TRG) que provocaria a diferença de idades. Também demonstramos que utilizar trigêmeos para elucidar o problema apesar de ser didático não é essencial. Finalmente, discutimos sobre a possibilidade de explicar o paradoxo dos gêmeos usando o Efeito Doppler da luz, onde mostramos que o efeito Doppler relativístico não pode explicar teoricamente razão para a diferença de idades dos gêmeos, podendo apenas transmitir a informação sobre a duração de um determinado intervalo de tempo entre os referenciais em movimento e isso não explica como o tempo realmente passa em cada um deles.
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AGRADECIMENTOS Gostaria de agradecer a Petróleo Brasileiro S.A. onde desfruto de um excelente ambiente de trabalho. Também sou grato a minha esposa e filha que me apoiaram na realização deste artigo.
REFERÊNCIAS [1] Shuler Jr., R.L. (2014) the Twins Clock Paradox History and Perspectives. Journal of Modern Physics, 5, 1062-078. http://dx.doi.org/10.4236/jmp.2014.512108 [2] A. Einstein, Rev. Bras. Ens. Fís. 27 n.1, (2005). http://ref.scielo.org/67q995 [3] R.A. Martins, Rev. Bras. Ens. Fis. 27, n.1, (2005). http://ref.scielo.org/vtc8gt [4] A. Barros et. al., Sobre a contração de Lorentz-Fitzgerald, Rev. Bras. Ens. Fís. 27, n.4, (2005). http://ref.scielo.org/wpfysg [5] Einstein, A. (1905). Zur Elektrodynamik bewegter Korper. Annalen der Physik, 17, 891-921. English Translation in: The Collected Papers of Albert Einstein, Volume 2, English translation. Princeton University Press, New Jersey (1989) [6] Rafael Ferraro, ‘From http://arxiv.org/abs/1302.6965v1
aether
[7] Anders Månsson, ‘Understanding http://arxiv.org/abs/0901.4690v2
theory the
to
special
Special theory
of
Relativity’, relativity’,
[8] FALCIANO, F.T.. Cinemática relativística: paradoxo dos gêmeos. Rev. Bras. Ensino Fís., São Paulo , v. 29, n. 1, p. 19-24, 2007 http://ref.scielo.org/w6gg2q [9] Porto, C.M., & Porto, M.B.D.S.M.. (2008). Uma visão do espaço na mecânica newtoniana e na teoria da relatividade de Einstein. Revista Brasileira de Ensino de Física, 30(1), 1603.1-1603.8. http://ref.scielo.org/zw3r99 [10] Stachel, John. (2005). O manuscrito de Einstein de 1912 como pista para o desenvolvimento da teoria da relatividade restrita. Scientiae Studia, 3(4), 583-596. http://ref.scielo.org/k4zzv7 [11] Conto, G. De, Lima, A., Ortega, P.H., & Schmitz, E.R.. (2013). Cálculo K: uma abordagem alternativa para a relatividade especial. Revista Brasileira de Ensino de Física, 35(4), 1-1 http://ref.scielo.org/h5wg77
23
1
[email protected] 2 Em 1897, o físico Ernst Mach usou o termo “gedanken-experiment” para denotar uma conduta imaginaria de investigação cientifica análoga aos procedimentos que deveriam ser utilizados para realizar um experimento físico num laboratório real. É uma descrição de procedimento experimental e de seus possíveis resultados, deduzidos por raciocínio consistente com uma determinada teoria. O procedimento experimental descrito não implica na possibilidade de sua realização, seja por empecilhos tecnológicos, que poderiam eventualmente ser superados ou, ate mesmo por dificuldades técnicas insuperáveis. No entanto, as premissas dos argumentos utilizados na experiência imaginária devem pertencer a alguma teoria física que se pretenda comprovar ou invalidar. 3 Segundo R.A. MARTINS [2], a maior parte dos resultados da teoria da relatividade já estava presente no trabalho de Poincaré, entretanto o trabalho de Einstein trouxe novidades. Uma delas foi a estruturação da teoria tornando-a muito mais simples do que os trabalhos de Lorentz e Poincaré. Einstein deduziu a cinemática relativística a partir de dois postulados, o princípio da relatividade e o princípio da constância da velocidade da luz que, embora fossem aceitos pelos físicos anteriores, foi ele quem mostrou que todas as deduções se tornavam muito mais simples se eles fossem assumidos como o ponto de partida, ou seja, se fossem assumidos como postulados. Outra novidade foi epistemológica, ele negou a validade da ideia de éter, alegando que a física apenas deveria lidar com aquilo que pode ser observado e medido. Um postulado na teoria física tem o mesmo papel que um axioma na matemática. É uma afirmação fundamental que não pode ser demonstrada logicamente. Na Física o postulado é o resultado da generalização de fatos experimentais. As referências [2], [3], [4], [5], [6] e [7] apresentam uma boa base teórica da TRR. 4. As transformações de Lorentz foram o resultado do trabalho de Lorentz e outros cientistas para explicar as propriedades da luz propagando-se no que se presumia ser o éter luminífero. Desde Galileu e Newton que se sabia que medidas laboratoriais de processos mecânicos nunca podiam mostrar diferenças entre um equipamento em repouso e outro que estivesse em movimento com velocidade constante e em linha reta, era o chamado princípio da relatividade. Mas nem todas as leis da física eram consideradas universais e independentes do observador. De acordo com a teoria eletromagnética de Maxwell a luz não devia obedecer a este princípio da relatividade e devia mostrar o efeito do movimento. Se a velocidade da luz fosse igual a 300.000 km/s somente num sistema vinculado ao éter, então, medindo-a em qualquer outro sistema inercial, poder-seia observar o movimento deste sistema em relação ao éter e determinar a velocidade deste movimento. Tal como num sistema que se mova em relação ao ar surge vento, quando se dá o movimento em relação ao éter deveria surgir "vento de éter". A experiência para verificação do "vento de éter" foi realizada em 1881 pelos cientistas americanos Michelson e Morley. Nesta experiência compara-se a velocidade da luz na direção do movimento da Terra e numa direção perpendicular. A medição foi feita com grande exatidão com o auxílio de um instrumento especial, o interferômetro de Michelson. As experiências foram realizadas a diferentes horas do dia e em diferentes épocas do ano, entretanto
24
obteve-se sempre um resultado negativo: não foi possível observar o movimento da Terra em relação ao éter. Assim o valor da velocidade da luz não se alterava quando se alterava a velocidade do equipamento experimental, o que estava em desacordo com os modelos da Física Clássica. Fitzgerald sugeriu que talvez fosse uma contração do próprio equipamento experimental, quando atravessava o éter, que fazia com que a mudança na velocidade da luz não fosse detectável, ou seja, sugeriu que os corpos se contraíam quando se moviam à velocidade perto da velocidade da luz. Independentemente, Lorentz sugeriu uma hipótese do mesmo tipo, porém mais detalhada, em que, para assegurar a completa impossibilidade de detecção do éter, acrescentava a hipótese de haver uma mudança no “tempo local” marcado pelos relógios usados na experiência. As transformações de Lorentz, introduzidas por ele em 1904, descrevem esse efeito de diminuição do comprimento e dilatação do tempo para objetos que se movem a velocidades perto da velocidade da luz. Einstein propôs que as transformações de Lorentz não fossem entendidas como transformações de objetos físicos, mas sim como transformações do espaço e do tempo em si. Na sua Teoria da Relatividade Restrita, propôs que a razão pela qual não se conseguiam detectar diferentes velocidades da luz era simplesmente porque a velocidade da luz é uma constante universal. E mostrou que isso tornava o princípio da relatividade compatível com a teoria eletromagnética de Maxwell. Deste modo, a hipótese da existência de um sistema de referência privilegiado também foi rejeitada experimentalmente. Por sua vez, isto significava que não existe nenhum meio especial, "éter", ao qual se possa vincular esse tal sistema privilegiado. 5. Na mecânica newtoniana, referencial inercial, também chamado sistema de referência inercial, é um referencial para o qual a primeira lei de Newton é verdadeira, ou seja, é um referencial para o qual se uma partícula não está sujeita a forças, então ou está parada ou se movimentando em linha reta e com velocidade constante. Na TRR, de acordo com o princípio da relatividade especial, se um sistema de coordenadas K é escolhido de tal forma que, em relação a ele, as leis da física se apresentam com a forma mais simples, as mesmas leis são válidas em relação a qualquer outro sistema de coordenadas K' se movendo em translação uniforme em relação a K, ou seja, este postulado define um referencial inercial. De acordo com este princípio, referenciais inerciais são identificados pela propriedade de que compartilham as mesmas e mais simples leis da Física. Em termos práticos, esta equivalência de referenciais inerciais significa que não existe nenhum experimento em um sistema movendose uniformemente possam fazer para descobrir sua velocidade absoluta, pois de outra maneira seria possível determinar um sistema de referência absoluto. Logo referenciais inerciais e não inerciais podem ser distinguidos pela ausência ou presença de forças fictícias. A presença de forças fictícias indica que as leis físicas não são as leis mais simples disponíveis, então, em termos do princípio da relatividade especial, um referencial onde forças fictícias estão presentes não é um referencial inercial. As forças fictícias (ou “pseudo-forças”) são forças provenientes da aceleração do próprio referencial e não de forças físicas atuando no corpo. Exemplos de forças fictícias são a força centrífuga e a força de Coriolis em referenciais girantes. Entretanto identificar se um referencial é inercial ou não é uma tarefa complicada porque a sua caracterização não é muito clara. Por 25
exemplo, imagine duas pedras caindo em um campo gravitacional uniforme. Se considerarmos uma pedra em relação à outra, teremos um par perfeito de referenciais inerciais. Mas se considerarmos cada uma delas com relação à fonte da gravidade (um planeta, por exemplo), estas estarão aceleradas, mas as forças fictícias não existirão. Nesse caso, esses referenciais são inerciais ou não inerciais? 6. A assimetria que é relacionada com a aceleração no paradoxo dos gêmeos está diretamente ligada ao fenômeno da inércia e não a aceleração em si, sendo que, apenas o gêmeo da espaçonave sentirá o seu efeito, são as chamadas “forças inerciais”. Assim quando é dito que apenas um dos gêmeos “sente” a aceleração significa que apenas um deles sente o efeito da inércia, ou seja, a resistência à mudança do seu estado de repouso ou movimento retilíneo e uniforme. Essas forças, também chamadas de “forças fictícias”, são acrescentadas de forma a "transformar" um referencial fisicamente não inercial em um teórico "referencial inercial", de forma que as leis de Newton forneçam, então, uma correta descrição do que se observa a partir do citado referencial. Newton acreditava que a inércia era uma propriedade intrínseca aos corpos materiais, que podia ser medida através da chamada massa inercial que é uma medida da resistência oferecida pelos corpos à mudança de seus estados iniciais de repouso ou de movimento retilíneo uniforme. Caso uma força atue sobre um corpo, quanto maior for sua massa inercial, maior será a sua resistência à mudança desses estados e, por conseguinte, menor será a sua aceleração em relação a um referencial inercial. Para Newton, referencial inercial é qualquer sistema de referência que se encontra em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao espaço absoluto e, portanto, qualquer sistema em que não se podem constatar quaisquer efeitos produzidos por forças sem agente causador aparente. Diferentemente de Newton, Mach entendia inércia como sendo uma força de interação gravitacional entre os corpos materiais e o conjunto das estrelas fixas e que somente atua sobre eles no caso de se tentar acelerá-los em relação a elas (princípio de Mach). Einstein inspirou-se nessa última ideia para formular a Teoria da Relatividade Geral (TRG). Nela Einstein modifica a Teoria da Gravitação de Newton de modo que ela se ajustasse à TRR. Através do princípio da equivalência, que estabelece que “um referencial acelerado é idêntico a um referencial em repouso em um campo gravitacional”, Einstein associa a inércia dos corpos à gravitação. Assim, o campo que define a inércia dos corpos deve ser a própria gravitação o que nos leva a concluir que é a estrutura dinâmica do espaço-tempo que determina a inércia dos corpos. Além do mais, sabemos que matéria é fonte de gravitação e por isso ela deve alterar a estrutura do espaçotempo. Ou seja, gravitação e inércia são duas palavras para uma mesma coisa. A daí vem a igualdade da massa gravitacional e da massa inercial. 7. Se espaçonave for acelerada a 2g, para atingir a velocidade de 0,6c, o gêmeo viajante levará pouco mais de 100 dias, no entanto, se ele fosse um robô, poderia ser acelerado até 0,6c em um tempo bem menor, alguns dias ou mesmo horas dependendo da tecnologia disponível. Por isso, o tempo gasto para atingir 0,6c não é essencial para a discussão.
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APÊNDICE DEDUÇÃO DAS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Partindo das transformações de Galileu (TG):
𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑣𝑡
(A1)
𝑦′ = 𝑦
(A2)
𝑧′ = 𝑧
(A3)
As transformações de Lorentz (TL) são um conjunto de equações que relacionam as coordenadas de um referencial inercial para outro que esteja em movimento em relação ao primeiro mantendo a mesma forma das frentes de onda de um pulso eletromagnético em ambos, logo elas devem atender as equações (A4) e (A5) abaixo:
𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 𝑐2𝑡 2
(A4)
𝑥′2 + 𝑦′2 + 𝑧′2 = 𝑐 2 𝑡′2
(A5)
A TL é linear porque as frentes de onda se movem com velocidade constante e quando 𝑥 ′ = 0 temos 𝑥 = 𝑣𝑡 logo podemos escrever:
𝑥 ′ = 𝛾 (𝑥 – 𝑣𝑡)
(A6)
𝑡 ′ = 𝛼 𝑡 + Ω𝑥
(A7)
Substituindo as equações (A6) e (A7) em (A4):
𝛾 2 (𝑥 – 𝑣𝑡)2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑐 2 (𝛼𝑡 + Ω𝑥)2 = 0
(A8)
Reescrevendo a equação (A4): (A9) 2
2
2 2
𝑦 +𝑧 =𝑐 𝑡 −𝑥
2
27
Substituindo a equação (A9) em (A8):
𝛾 2 (𝑥 2 − 2𝑥𝑣𝑡 + 𝑣 2 𝑡 2 ) + 𝑐 2 𝑡 2 − 𝑥 2 − 𝑐 2 (𝛼 2 𝑡 2 + 2𝛼Ω𝑥𝑡 + Ω2 𝑥 2 ) = 0
(A10)
Rearranjando os termos comuns:
(𝛾 2 − 𝑐 2 Ω2 − 1)𝑥 2 − 2(𝛾 2 𝑣 + 𝑐 2 𝛼Ω)𝑥𝑡 + (𝛾 2 𝑣 2 − 𝑐 2 𝛼 2 + 𝑐 2 )𝑡 2 = 0
(A11)
Para resolver a equação (A11), seus coeficientes deverão ser zero, logo:
𝛾 2 𝑣 + 𝑐 2 𝛼Ω = 0
(A12)
𝛾 2 + 𝑐 2 Ω2 = 1
(A13)
𝑣2 2 𝛼 − 2𝛾 =1 𝑐
(A14)
2
Rearranjando a equação (A12):
𝑐2 𝛾 = − 𝛼Ω 𝑣 2
(A15)
Substituindo a equação (A15) em (A13):
−𝑐 2
Ω (𝛼 + 𝑣Ω) = 1 𝑣
(A16)
Substituindo a equação (A15) em (A14):
𝛼 2 + 𝑣𝛼Ω = 1 𝛼(𝛼 + 𝑣Ω) = 1
(A17) (A18)
Substituindo a equação (A18) em (A16):
𝑐2 𝛼=− Ω 𝑣
(A19)
28
Substituindo a equação (A15) em (A19):
𝛾2 = 𝛼2
(A20)
Substituindo a equação (A20) in (A14):
𝑣2 𝛾 (1 − 2 ) = 1 𝑐 2
(A21)
Rearranjando a equação (A19):
Ω=−
𝑣 𝛼 𝑐2
(A22)
Substituindo a equação (A20) em (A22):
Ω=−
𝑣 𝛾 𝑐2
(A23)
Substituindo as equações (A20) e (A23) em (A7):
𝑡 ′ = 𝛾(𝑡 −
𝑣 𝑥) 𝑐2
(A24)
O parametro 𝛾 (gama) é conhecido como Fator de Lorentz, assim rearranjando a equação (A21):
𝛾 =
1 √1 −
𝑣2
(A25)
𝑐2
Para baixas velocidades: 𝑣≪𝑐 𝑣2 ≅0 𝑐2 𝛾 = 1
29
Logo retornamos as TG. Como na TRR só existem movimentos relativos e não existem referenciais privilegiados, todos os observadores inerciais são equivalentes. Assim as TL deverão ser simétricas entre referenciais inerciais (invertendo-se o sinal da velocidade). Partindo de (A6) e (A24) temos:
𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 𝛾
(A26)
𝑥′ 𝑥 = + 𝑣𝑡 𝛾
(A27)
𝑡′ 𝑣 = 𝑡 − 2𝑥 γ 𝑐
(A28)
𝑡′ 𝑣 𝑡 = + 2𝑥 γ 𝑐
(A29)
Eliminando-se 𝑡:
𝑥′ 𝑡′ 𝑣 𝑥 = + 𝑣 ( + 2 𝑥) 𝛾 γ 𝑐
(A30)
𝑥 ′ 𝑣𝑡 ′ 𝑣 2 𝑥= + + 2𝑥 𝛾 γ 𝑐
(A31)
𝑣2 𝑥 ′ 𝑣𝑡 ′ 𝑥 ( 1 − 2) = + 𝑐 𝛾 γ 𝑥 𝑥 ′ 𝑣𝑡 ′ = + 𝛾2 𝛾 γ 𝑥 = 𝛾 (𝑥 ′ + 𝑣𝑡 ′ )
(A32)
(A33)
(A34)
30
Eliminando-se 𝑥 :
𝑡′ 𝑣 𝑥′ 𝑡 = + 2 ( + 𝑣𝑡) γ 𝑐 𝛾
𝑡 ′ 𝑣𝑥 ′ 𝑣 2 𝑡 = + 2+ 2𝑡 γ 𝛾𝑐 𝑐
𝑣2 𝑡 ′ 𝑣𝑥 ′ 𝑡( 1 − 2 ) = + 2 𝑐 γ 𝛾𝑐
1 𝑡 ′ 𝑣𝑥 ′ 𝑡 2= + 2 𝛾 γ 𝛾𝑐
𝑡 = 𝛾(𝑡 ′ +
𝑣 ′ 𝑥) 𝑐2
(A35)
(A36)
(A37)
(A38)
(A39)
As equações (A34) e (A39) acima são conhecidas como Transformações Inversas de Lorentz.
31
