A afinação pitagórica

A afinação pitagórica Texto por Igor da Silva Livramento1 Seguindo a linha do texto anterior2, exploraremos o mundo das afinações por outros vieses. Neste texto nos aproximamos das afinações que utilizam frações para determinar os intervalos entre frequências (notas). A essas afinações podemos chamar por dois nomes, um deles estabelecido historicamente, o outro recente e apropriado, porém longe de se estabelecer. Para compreender do que se fala abordemos a questão historicamente. #01 – Pitágoras e algumas descobertas Pitágoras, o sábio da antiguidade grega, considerava a música tão importante quanto as outras disciplinas de sua escola: aritmética, geometria e astronomia, pensava ser a música, então, a ciência dos sons e da harmonia3 entre os sons. Avancemos com ele em suas descobertas e nos maravilhemos com a sabedoria já presente na antiguidade clássica. Descobriram os gregos, à época, que uma corda, presa em suas duas pontas, vibrando, gera uma um certo som4, ao qual chamariam nota5. Descobriram também que notas produzidas por múltiplos inteiros6 da frequência da corda inteira eram eufônicas, isto é, soavam bem – em nomenclatura musical chamaremos, não eufonia, mas consonância. Pitágoras, então, em sua sabedoria, começou a explorar esses múltiplos inteiros, medidos como tamanhos de corda7, ou seja, pressionando a corda a certa distância produzia novas notas, relacionadas de maneira consonante à frequência fundamental, isto é, à frequência da corda vibrando sem interferência, apenas presa em suas duas pontas. Pitágoras então tomou nota que metade da corda (1:2) produzia uma nota extremamente similar à corda sem interferência, porém mais aguda – é claro que estamos falando da famosa oitava8. Em seguida, um dos intervalos mais consonantes percebido por Pitágoras ficava a um terço (1:3) da corda – atualmente esse intervalo recebe o nome de quinta justa, base de acordes junto à fundamental, tão importante que recebe o nome de dominante (pela sonoridade bastante proeminente sobre a fundamental). A terceira sonoridade mais consonante percebida por Pitágoras foi 1:4 de corda – modernamente chamada quarta justa ou subdominante. A partir dessas relações uma dedução foi feita, dedução que será de fundamental importância neste texto:

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Graduando do curso de Letras-Português da Universidade Federal de Santa Catarina. Explicação geral da afinação padrão ocidental atual composta de 12 tons equidistantes, do presente autor, disponível em: , acesso em 26 de janeiro de 2016. 3 Para os estudantes de música de cursos contemporâneos o termo harmonia pode ter sentido um pouco diferente daquele atribuído hoje à palavra, mas as relações que se construirão ao longo do texto devem esclarecer suficientemente quaisquer dúvidas. 4 De maneira resumida, podemos dizer que um som é uma onda (ou um conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa frequência; a audição humana alcança apenas as ondas com frequências entre aprox. 20 e 20.000 Hz, captando a informação e produzindo sensações neurais, às quais chamamos som. 5 Chamaremos por nota uma frequência específica associada a um nome (musical), portanto o famoso A (leia-se: lá) oscilando a 440 Hz, utilizado como base para a afinação de instrumentos, constitui a nota A 440. 6 Mais recentemente chamada série harmônica (cf. nota 2). 7 Doravante os tamanhos de corda serão expressos em frações. 8 Uma formalização matemática das oitavas foi provida no texto anterior do presente autor (cf. nota 3). 2

A frequência do som produzido por uma corda vibrando é inversamente proporcional ao comprimento da corda. Podemos escrever isso matematicamente da seguinte forma:

𝑓2 𝐿1 = 𝑓1 𝐿2 Onde fa é a frequência da corda e La é o comprimento (lenght, em inglês) da corda. Exemplifiquemos com as notas obtidas pelos intervalos que já temos, para que fique mais claro, antes, porém, diremos que a frequência da fundamental (f1), isto é, da corda vibrando sem interferências, é 1. Agora, aos exemplos: a) No primeiro caso temos a oitava da fundamental. Para obtê-la Pitágoras precisava pressionar a corda a 1:2, o que nos diz que só metade da corda vibra quando tocada. Temos, então, f1 = 1, L1 = 1 e L2 = 1/2, só nos resta saber f2, que podemos descobrir calculando:

𝑓2 1 2 2 𝑓2 = = 1 ∗ = = , 𝑑𝑎í 𝑓2 = 2. 1 1 1 1 1 2 De fato, uma oitava é sempre duas vezes a frequência de sua respectiva fundamental9. b) Temos a quinta justa em relação à fundamental, onde Pitágoras pressionava a corda de seu instrumento a uma distância de 1:3, fazendo com que 2:3 (dois terços) da corda vibrassem. Temos, então, f1 = 1, L1 = 1 e L2 = 2/3, só nos resta saber f2, que obteremos calculando:

3 𝑓2 1 3 3 𝑓2 3 = = 1 ∗ = = , 𝑑𝑎í 𝑓2 = 2 = . 2 1 2 2 1 1 2 3 Sabemos, então, que uma quinta justa vibra 3:2 mais rápido que sua respectiva fundamental, em decimais: 1,5, ou seja, vibra uma vez e meia mais rápido. c) Por fim, temos a quarta justa, que soava quando Pitágoras pressionava sua corda a 1:4, o que nos diz que 3:4 da corda soavam, portanto L2 = 3/4, então:

4 𝑓2 1 4 4 𝑓2 4 = = 1 ∗ = = , 𝑑𝑎í 𝑓2 = 3 = . 3 1 3 3 1 1 3 4 Sabemos, portanto, que uma quarta justa vibra 4:3 mais rápido que sua respectiva fundamental, o que nos dá 1,333... (infinitos 3s) em decimais. Parece óbvio que o problema se trata sempre de descobrir f2 a partir de L2, porém, como ambos são inversamente proporcionais e f1 = L1 = 1, então f2 = 1/L2, ou, que é o mesmo, L2 = 1/f2, que é o mesmo que dizer que são inversos, ou, já que estamos falando de frações e queremos manter algum rigor, chamemo-las frações recíprocas.

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Cf. nota 8.

#02 – Afinação pitagórica A partir daqui construiremos a afinação pitagórica, para tanto nos referiremos aos intervalos que formam as notas em relação à fundamental sempre pela fração f 2, ou seja, o recíproco do tamanho da corda em vibração, portanto deve estar claro que para obter a nota definida pelo intervalo é preciso pressionar a corda no complemento10 de L2. Pitágoras, percebendo que a quinta justa era um intervalo de extrema consonância11, decidiu construir uma afinação pela repetida iteração desse intervalo, deduzindo que seria uma afinação simples, elegante e, mais importante, consonante. Sigamos o mestre grego e façamos a afinação. Se começarmos com um F (leia-se: fá) – a uma frequência de 177 Hz, apenas para exemplo – podemos deduzir as notas da seguinte maneira: Tabela 01 Nota

Intervalo e frequência 0

F (fá) C (dó) G (sol) D (ré) A (lá) E (mi) B (si) F’ (fá)

3 ( ) = 1 ∗ 177 = 177,00 𝐻𝑧 2 3 1 3 ( ) = ∗ 177 = 265,50 𝐻𝑧 2 2 2 3 9 ( ) = ∗ 177 = 398,25 𝐻𝑧 2 4 3 3 27 ∗ 177 = 597,38 𝐻𝑧 ( ) = 2 8 3 4 81 ∗ 177 = 896,06 𝐻𝑧 ( ) = 2 16 3 5 243 ∗ 177 = 1344,09 𝐻𝑧 ( ) = 2 32 3 6 729 ∗ 177 = 2016,14 𝐻𝑧 ( ) = 2 64 2 1 ( ) = 2 ∗ 177 = 354,00 𝐻𝑧 1

Como se pode ver, as notas são as mesmas da escala de dó maior: –

F, C, G, D, A, E, B = C, D, E, F, G, A, B.

Todavia, um problema sério surge rapidamente: a segunda potência de 3/2, ou seja, a segunda quinta justa adicionada, supera a oitava (177×2 = 354 Hz < 398,25 Hz). Lembrando, todavia, que as oitavas são percebidas como repetições da mesma nota e são meramente as

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Ex.: para uma quinta justa temos f2 = 3/2, seu recíproco é (3/2)-1 = 2/3, e o complemento de 2/3 é dado por 2/3 + x/y = 1, o que é o mesmo que dizer 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1, portanto é preciso pressionar a corda a 1:3 para que 2:3 vibrem, criando uma frequência 3/2 da corda solta, atingindo assim uma quinta justa como esperado. 11 Excetuando-se a oitava pela razão já óbvia de ser percebida como repetição da fundamental, portanto não fornecendo variedade musical suficiente para composições, mesmo as mais simples.

potências inteiras de 2, podemos dividir todas as quintas justas que superaram o dobro da fundamental para que elas fiquem na primeira gama12. Portanto, reescrevamos a tabela: Tabela 02 Nota

Intervalo e frequência 0

F (fá) C (dó) G (sol)

D (ré)

A (lá)

E (mi)

B (si)

F’ (fá)

3 ( ) = 1 ∗ 177 = 177,00 𝐻𝑧 2 3 1 3 ( ) = ∗ 177 = 265,50 𝐻𝑧 2 2 2 3 (2) 9 = ∗ 177 = 199,12 𝐻𝑧 2 8 3 3 ( 2) 27 = ∗ 177 = 298,69 𝐻𝑧 2 16 3 4 ( 2) 81 = ∗ 177 = 224,01 𝐻𝑧 22 64 3 5 (2) 243 = ∗ 177 = 336,02 𝐻𝑧 22 128 3 6 (2) 729 = ∗ 177 = 252,02 𝐻𝑧 22 512 2 1 ( ) = 2 ∗ 177 = 354,00 𝐻𝑧 1

Colocando os intervalos em ordem crescente de frequências, temos: Tabela 03 Nota Frequência

F 177,00

G 199,12

A 224,01

B 252,02

C 265,50

D 298,69

E 336,02

F’ 354,00

Notemos que, agora, ao impormos a limitação das notas à gama, elas não ascendem mais por quintas, mas se ordenam de maneira reconhecível, seguindo o chamado modo lídio, ou simplesmente ir de F a F numa escala de dó maior (modo jônio), que é o mesmo. O total de notas, como se vê, é sete, daí se derivam os nomes das classes de intervalos – também chamados intervalos genéricos ou intervalos diatônicos – conforme sua posição na escala, portanto, podemos expor os intervalos e nomeá-los, conforme aparecem na escala13:

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Chamaremos por gama a coleção de intervalos entre f1 e 2×f1, no caso, entre 177 Hz e 354 Hz, ou simplesmente entre a corda soando sem interferências e a nota atingida ao pressionar-se 1:2 da corda, entre a fundamental e sua respectiva oitava. 13 Assumimos aqui f como a fundamental – não f , que seria de maior rigor matemático – para manter a 1 0 nomenclatura utilizada na primeira sessão.

Tabela 04 Classe de Intervalo Relação entre frequências Fundamental Segunda

Terça

Quartaa

Quinta Sexta

Sétima

Oitava

3 0 ( ) = 1 ∗ 𝑓1 2 3 2 (2) 9 = ∗ 𝑓1 2 8 4 3 (2) 81 = ∗𝑓 2 2 64 1 3 6 ( 2) 729 = ∗𝑓 22 512 1 3 1 3 ( ) = ∗ 𝑓1 2 2 3 3 (2) 27 = ∗𝑓 2 16 1 3 5 ( 2) 243 = ∗𝑓 22 128 1 2 1 ( ) = 2 ∗ 𝑓1 1

#02a – Sobre a quarta na afinação pitagórica Um conflito interessante surgiu em relação à quarta: na primeira sessão dissemos que Pitágoras encontrou esse intervalo na relação de frequências 4/3, todavia, pela escala produzida da iteração da quinta justa chegamos a uma quarta de relação de frequências 729/512, o que aconteceu de errado no caminho? De errado nada aconteceu, mas uma diferença bastante sutil surgiu: Pitágoras utilizou a quarta a partir da inversão da quinta (reduzida à gama), ou seja, em vez de 729/512, ele utilizou 4/314. A diferença entre as frações pode parecer realmente pequena, veja-se:

729 4 − ≈ 0,0905. 512 3 Contudo, é uma diferença bastante perceptível. Se você não está convencido, pegue seu instrumento musical (seja um teclado, sintetizador, piano ou violão, etc.) e toque o dicorde15 F+B,

Nada mais que 2/3, recíproco da quinta 3/2, multiplicando por 2 – daí 4/3 – para que fique na gama, isto é, entre f1 e 2×f1, tal qual fizemos da tabela 01 para a tabela 02. 15 Acorde composto por apenas duas notas. Não o chamamos acorde propriamente porque, na tradição ocidental, esse nome ficou associado fortemente a tricordes, isto é, acordes de três notas com dois intervalos, um de terça, seja maior ou menor, e um de quinta justa (ambos sobre a fundamental). 14

esse é aproximadamente o intervalo 729/512. Agora toque o dicorde F +A, esse é aproximadamente o intervalo 4/3. Sim, a diferença entre uma quarta justa e um trítono, em nosso caso, um trítono pitagórico, especificamente. Se quisermos emular a afinação pitagórica em toda sua historicidade, temos de fazer a substituição do trítono pitagórico pela quarta justa. Não é uma substituição terrivelmente complexa de se fazer, mas não seria isso trair a premissa16 da afinação pitagórica exposta anteriormente? Em verdade, não, não seria uma “traição da premissa”, pois seria, simplesmente, utilizar o inverso da quinta justa. Além de tornar a afinação mais simples e elegante, a inversão é uma prática comum na música. O inverso de um intervalo é a mera descendência do intervalo ascendente17, daí, subir 3/2 é equivalente a descer 4/3. Se aplicarmos ao B obtido anteriormente, teremos:

3 6 (2) 729 4 = ∗ 177 = 252,02 𝐻𝑧 ≠ ∗ 177 = 236,00 𝐻𝑧. 22 512 3 De fato, a diferença é consideravelmente próxima à distância entre E e F’, duas notas separadas por uma segunda menor18: (𝐹 ′ )354,00 − (𝐸)336,02 = 17,98 𝐻𝑧 > (𝐵1)252,02 − (𝐵2 )236,00 = 16,02 𝐻𝑧. O que parecia ser uma distância mínima entre frações é, na verdade, uma distância bastante audível quando tocadas na prática. Assim, a afinação pitagórica real seria: Tabela 05 Nota F G

A

B C D

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Intervalo e frequência

3 0 ( ) = 1 ∗ 177 = 177,00 𝐻𝑧 2 3 2 (2) 9 = ∗ 177 = 199,12 𝐻𝑧 2 8 4 3 (2) 81 = ∗ 177 = 224,01 𝐻𝑧 22 64 3 −1 2 1 2 2 4 ( ) ∗ ( ) = ∗ = ∗ 177 = 236,00 𝐻𝑧 2 1 3 1 3 1 3 3 ( ) = ∗ 177 = 265,50 𝐻𝑧 2 2 3 3 (2) 27 = ∗ 177 = 298,69 𝐻𝑧 2 16

Uma afinação derivada pelo encadeamento de quintas justas. Em nosso caso, as frações que representam as relações entre frequências estão sempre reduzidas à gama. 18 B1 = nota B obtida pela afinação proposta nas Tabelas 01 e 02; B 2 = nota B obtida pela quarta justa (4/3), ou seja, pelo inverso da quinta justa (3/2). 17

3 5 (2) 243 = ∗ 177 = 336,02 𝐻𝑧 22 128 2 1 ( ) = 2 ∗ 177 = 354,00 𝐻𝑧 1

E

F’

Finalmente obtivemos a legítima afinação pitagórica, utilizada pelo sábio grego em seu instrumento19 e podemos, enfim, resumir o modo lídio a: Tabela 06 Nota Frequência

F 177,00

G 199,12

A 224,01

B 236,00

C 265,50

D 298,69

E 336,02

Podemos, portanto, reconstituir a Tabela 04 corrigindo o intervalo de quarta: Tabela 07 Intervalo Fundamental Segunda

Terça

Quarta Quinta Sexta

Sétima

Oitava

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Referimo-nos aqui ao monocórdio grego.

Relação entre frequências

3 0 ( ) = 1 ∗ 𝑓1 2 3 2 (2) 9 = ∗ 𝑓1 2 8 4 3 (2) 81 = ∗𝑓 22 64 1 3 −1 2 1 4 ( ) ∗ ( ) = ∗ 𝑓1 2 1 3 1 3 3 ( ) = ∗ 𝑓1 2 2 3 3 (2) 27 = ∗𝑓 2 16 1 3 5 ( 2) 243 = ∗𝑓 22 128 1 2 1 ( ) = 2 ∗ 𝑓1 1

F’ 354,00

Deve ser óbvio aqui que para obtermos os intervalos relativos a uma fundamental que compõem seu modo grego, basta multiplicarmos a fundamental pelas razões fornecidas acima20. Portanto, se quisermos obter o modo jônio já referido (escala de dó maior), basta multiplicarmos a frequência de C (aqui utilizaremos 262 Hz por razões de simplicidade, mas o famoso dó central, ou dó da chave do piano é aproximadamente 261,63 Hz) pelos intervalos fornecidos na Tabela 07, o que nos dará: Tabela 08 Nota

Intervalo e frequência 0

C D

E

F G A

B

C’

3 ( ) = 1 ∗ 262 = 262,00 𝐻𝑧 2 3 2 ( 2) 9 = ∗ 262 = 294,75 𝐻𝑧 2 8 4 3 (2) 81 = ∗ 262 = 331,60 𝐻𝑧 22 64 3 −1 2 1 4 ( ) ∗ ( ) = ∗ 262 = 349,34 𝐻𝑧 2 1 3 1 3 3 ( ) = ∗ 262 = 393,00 𝐻𝑧 2 2 3 3 (2) 27 = ∗ 262 = 442,12 𝐻𝑧 2 16 3 5 (2) 243 = ∗ 262 = 497,39 𝐻𝑧 22 128 2 1 ( ) = 2 ∗ 262 = 524,00 𝐻𝑧 1

Como trabalho de casa para o leitor, fica a proposta para desenvolver tabelas com todos os outros modos. #03 – Intervalos na escala diatônica pitagórica e uma espécie de conclusão Para observarmos os tamanhos dos intervalos na escala diatônica pitagórica faremos uma matriz intervalar21, a qual mostrará as classes intervalares e seus respectivos tamanhos, vejase:

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Em texto futuro do presente autor construir-se-á a escala cromática de 12 tons a partir de relações pitagóricas, por ora, contudo, foca-se nas escalas diatônicas, também chamadas modernamente por modos gregos (mas mais precisamente modos da Igreja). 21 A matriz intervalar mede todos os intervalos em relação a cada tom da escala, fornecendo os intervalos específicos (linha) subtendidos por cada classe intervalar (coluna), desse modo caracterizando e descrevendo a escala com precisão. Também cf. nota 22.

Tabela 09 Tom/Classe 1/1 – C 9/8 – D 81/64 – E 4/3 – F 3/2 – G 27/16 – A 243/128 – B

1 (fund.) 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1 1/1

2 (seg.) 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

3 (ter.) 81/64 32/27 32/27 81/64 81/64 32/27 32/27

4 (qua.) 4/3 4/3 4/3 729/512 4/3 4/3 4/3

5 (qui.) 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 1024/729

6 (sex.) 27/16 27/16 128/81 27/16 27/16 128/81 128/81

7 (sét.) 243/128 16/9 16/9 243/128 16/9 16/9 16/9

8 (oit.) 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1

Pela matriz apresentada percebemos que a escala diatônica pitagórica possui algumas propriedades características de escalas diatônicas22, a saber: a) é uma coleção gerada bemformada23; b) é uniformemente distribuída24; c) é uma estrutura constante25. Em verdade, é dela que se derivam as escalas diatônicas contemporâneas, afinadas minimamente diferente 26. Talvez o mais interessante seja que, apesar da complexidade de algumas frações (27/16, 81/64, 243/128), essa afinação é facilmente atingida de ouvido, sem medições. É claro que se faz necessário um instrumento sem trastes ou outras maneiras de fixar a afinação – isto é, maneiras de fixar os intervalos entre notas, as distâncias entre elas – à parte isso, provavelmente uma das primeiras afinações a que se chegaria seria a pitagórica. É mesmo sabido que quartetos de cordas tocam bastante próximos da afinação pitagórica, numa afinação chamada entonação justa, mas isso é assunto para outro dia27.

22

Cf. Propriedades das escalas diatônicas, também do presente autor, disponível em: , acesso em 28 de janeiro de 2016. 23 Pela iteração repetida da quinta justa (3/2). 24 Trata-se do modo jônio, já considerado e dissecado (cf. nota 23), obviamente o padrão LLsLLLs separa ao máximo os intervalos pequenos. 25 Nenhuma classe intervalar (coluna da matriz) possui intervalos específicos (frações presentes nas linhas) presentes em outra classe, não havendo repetições significa que não há ambiguidade, de fato a condição necessária para que uma escala seja particionada, ou, o que é o mesmo, para que tenha estrutura constante. 26 Cf. nota 2. 27 Cf. nota 20.