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A ASSOCIAÇÃO DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM GEOMETRIA FRACTAL APLICADA NO ENSINO MÉDIO Rita Maria Eufrazio Florentino (IFCE –
[email protected]) Guttenberg Sergistótanes Santos Ferreira (IFCE –
[email protected]) RESUMO O que se apresenta em sala de aula em relação à geometria sempre é o básico, mas não percebemos que ao nosso redor existe uma geometria de figuras não regulares, que apresenta auto similaridade fragmentada, essas figuras chamadas de fractais podem entrar no âmbito escolar como uma forma de aplicar a matemática. E é com o objetivo de trabalhar a geometria fractal associando ao conteúdo de Progressão Geométrica (PG) que se propôs este trabalho. Para a realização deste estudo foi feito um levantamento bibliográfico com o intuito de colher material necessário para apresentar adequadamente aos discentes, por meio de uma oficina para os estudantes da Escola de Ensino Médio Presidente Geisel (Polivalente) parceira do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), trabalhando a relação do Fractal com as PG, permitindo que eles possam usar a imaginação e construir seus próprios fractais. Concluindo que a geometria fractal é de fato um ramo da Matemática com grande atuação e importância, além de atrair a curiosidade e interesse dos estudantes quando apresentados em sala de aula. Palavras-chave: Fractal. Progressão Geométrica. Geometria.
INTRODUÇÃO
O estudo de fractais pode ilustrar diversos conceitos básicos da Matemática (área, volume, perímetro, progressões, números complexos, logaritmos, polinômios, etc.). Tradicionalmente, nas escolas, é trabalhada uma geometria apenas com medições, distâncias, cálculos de área e volume, ou seja, preceitos da geometria plana e espacial. Em prédios, ruas e objetos notam-se formas geométricas, e logo se percebe alguma figura da geometria euclidiana como quadriláteros, esferas, entre outros. Porém nem toda forma existente é uma figura regular, ou seja, que possua formas retas, alinhadas ou iguais. A ideia de um fractal pode ser tomada a partir de definições feitas pelo seu próprio criador Benoît B. Mandelbrot(1924 – 2010),matemático francês, tomando como uma figura geométrica de auto similaridade, ou seja, uma pequena secção ampliada é muito similar a uma grande secção ao longo de diferentes escalas e que se fragmenta daí o nome fractal.A geometria fractal além de um tema matemático também é considerada como uma forma artística. Devido à relação com a visualização, o campo da Matemática que está mais
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relacionada com a Arte é a Geometria, de modo que este campo fértil é uma forma de trabalhar situações e problemas que o próprio estudante vivencia, estimulando-o a perceber semelhanças e diferenças, trabalhar com medidas e projeções, permitindo-o correlacionar o conteúdo de Progressão Geométrica (PG) com geometria fractal. A geometria fractal cobre algumas deficiências que encontramos na geometria euclidiana, tais como as formas estranhas dos fractais descrevem alguns fenômenos naturais, como o desenvolvimento das árvores, a estrutura de sua casca, a linha de uma costa marítima, as nuvens, montanhas dentre outros; e ao introduzir essa forma de geometria no ensino existe a possibilidade de despertar a curiosidade nos estudantes, de modo que eles possam entender e perceber geometrias diversas, ao passo em que as associam com o estudo de PG discutido em sala de aula. O problema norteador desta pesquisa é perceber de que forma os estudantes podem reconhecer a PG presente em um fractal, pode-se responder a isto, hipoteticamente, apresentando a ideia de como o conteúdo de PG já é aplicado em sala normalmente, mostrar a correlação dele com a geometria fractal através de imagens de fractais, como o Triminó e o Triângulo de Sierpinsk, e em cálculos que utiliza a PG para construção de fractais, que propiciam aos discentes o reconhecimento de uma PG no fractal. Afinal, instigar os estudantes a terem mais atenção nas aulas de matemática, através da diversificação de metodologias de ensino, superando o preconceito de que a matemática não faz parte do cotidiano do discente, traz no estudo dos fractais uma forma de viabilizar a aprendizagem em matemática de forma mais simples e aprazível. Pesquisar sobre a relação de PG com a geometria fractal, aplicando-as no ensino médio, possui significativa relevância acadêmica e pessoal de modo que este trabalho pode fomentar as discussões sobre metodologias de ensino de matemática, diversificando o ensino e fornecendo novas perspectivas à aprendizagem. Primeiramente pode-se observar que a geometria fractal é uma forma de Arte e podemos dizer que a mesma está entrelaçada com a matemática, pois ambas são formas de manifestações da inteligência humana, da criatividade, da simetria, do dinamismo, da habilidade, entre outros modos de se expressar. A beleza que é procurada na arte, também se encontra na matemática, pois a beleza faz parte do raciocínio e das demonstrações matemáticas, com isso, pode-se evidenciar que esses dois campos do conhecimento,
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inicialmente desconexos, possuem uma forte e precisa ligação que será evidenciada ao longo deste trabalho. No que se atribui ao conhecimento acadêmico, a pesquisa mostrará aos discentes, que se pode aplicar a geometria fractal em salas de aula e que se podem trazer aplicações cotidianas, de forma atrativa, onde os discentes possam sentir maior interesse pela matemática. Essa pesquisa também vem ressaltar uma geometria que não é muito visível no ensino, mas que está presente nas formas irregulares que presenciamos em nosso meio, evidenciando que as construções da geometria fractal podem ser construídas pelos discentes através de softwares, jogos matemáticos ou por trabalhos manuais.
OBJETIVOS
Evidenciar a associação do conteúdo de PG com a geometria fractal é o objetivo deste trabalho, buscando como forma de desenvolvimento da pesquisa mostrar aos estudantes várias situações do dia-a-dia em que ocorre o uso de um fractal, apresentar a existência de PG implícitas1 em alguns fractais e realizar uma oficina com estudantes do ensino médio sobre a relação de PG com a geometria fractal.
REFERENCIAL TEÓRICO
Segundo Spadotto (2000), os fractais podem ser representados por figuras geométricas com pequena infinidade de microestruturas. Apresentam características como irregularidades, auto-similaridade, mesma dimensão em qualquer escala, complexidade infinita e são gerados por processos simples de realimentação. Mandelbrot (1975), em seu livro A Geometria Fractal da Natureza formaliza o assunto apresentando os fractais com as seguintes características fundamentais: auto similaridade, mesma dimensão em qualquer escala e lacunaridade. Dio (2007, p. 9) afirma que “a palavra fractais baseia-se no latim, do adjetivo fractus, cujo verbo frangere correspondente significa quebrar; criar fragmentos irregulares, fragmentar. FRACTAL é uma nova linguagem geométrica descoberta através da Teoria do Caos”. O fractal é um objeto que não perde a sua definição formal à medida que é ampliado, mantendo a sua estrutura idêntica à original, conforme Figura 1. 1
Progressões geométricas implícitas são progressões já subentendidas, presentes em alguma aplicação, nesse caso, presentes em um fractal.
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Figura 1 – Fractal do Conjunto de Mandelbrot Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal
Os fractais podem ser classificados em três categorias principais: Sistema de funções iteradas, fractais gerados por computadores e fractais aleatórios. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ougerado, e a categoria que será usada são o de sistema de funções iteradas. Segundo Fernandes (2007), no sistema de funções iteradas os fractais determinísticos, também conhecidos como fractais geométricos, que por sua vez são subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio objeto nele mesmo, ou seja, possuem uma regra fixa de substituição geométrica aplicada a cada iteração. Como exemplos, pode-se citar a curva de Peano (Figura 2),o floco de neve de Koch (Figura 3),a esponja de Menger(Figura 4), uma rede aparentemente sólida com uma área de superfície infinita e volume nulo e o Triângulo de Sierpinski (Figura 5).
Figura 2 – Curva de Peano Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Peano
Figura 3 – Floco de neve de Koch Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal
Figura 5 – Triângulo de Sierpinski Fonte: Figura 4 – Esponja de Menger Fonte:https://kairosart.files.wordpress.com/2007/1 1/menger1.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/Sierpinsky
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Ao se discutir a inserção da geometria fractal em sala de aula, sobretudo no ensino médio, Barbosa (2005) justifica tal fato devido à existência de conexões com outras ciências, e que a geometria fractal cobre algumas deficiências da Geometria Euclidiana para a compreensão de fenômenos que ocorrem diversos ambientes, tais como a existência de belos fractais e descoberta do senso artístico aplicado à construção dos mesmos, juntamente com a percepção e a observação da ordem diante de uma aparente desordem. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):
A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de Arte, pinturas, desenhos, esculturas e Artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1997, p. 39).
Os PCN recomendam à valorização da geometria em criações humanas por meio de atividades em que se possam explorar as “[…] formas em obras de Arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc.” (BRASIL, 1997, p. 83).Na geometria, podemos encontrar diversas formas de polígonos que nos possibilitam o uso de recursos visuais, tais quais recursos servem de ótimo atrativo no ensino da matemática onde podem contribuir com o desenvolvimento da temática das PA e PG, e junto com a utilização da geometria fractal podemos mostrar que as sequências, de um modo geral, não são somente operações algébricas, mas sim exemplos geométricos e possibilitando tambémque os estudantes possam enxergar a beleza indiscutível dos fractais. A associação do fractal com as progressões geométricas se dá através de imagens apresentadas aos estudantes, mostrando que na construção de um fractal há uma PG e que esta pode ser utilizada como forma de calcular a proporção de um fractal. Ainda que a utilização de imagens não substitua a aprendizagem tradicional dos fundamentos matemáticos de acordo com (BARBOSA, 2002), o uso dos fractais em sala pode estimular o estudante, o futuro professor para se engajar em pesquisar textos e conteúdos da matemática, para ter uma boa compreensão sobre conceitos que possibilitem os efeitos visuais.
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METODOLOGIA
Esta pesquisa tem uma abordagem de estudo bibliográfica e estudo de caso já que foram utilizadas varias literaturas sobre o conteúdo aqui apresentado, obtidas através de pesquisas e coletas de dados para melhor formatação do caso estudado neste trabalho, com objetivo de se obter todas as informações essenciais para referente pesquisa. Pretende-se aplicar este trabalho junto à turma do 1º A do ensino médio, no total de 30 alunos, da Escola de Ensino Médio Presidente Geisel (Polivalente) parceira do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), onde a mesma é oferecida pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) campus Juazeiro do Norte e através de observações, aplicação de questionários e de uma aula teórica - pratica sobre a associação de PG e a geometria fractal, obtermos os dados necessários para complemento desta pesquisa.
RESULTADOS ESPERADOS
Perceber que existe uma relação de PG com geométrica fractal, e entender o que o mesmo significa, é um dos resultados mais esperado para esta oficina, juntamente com a ideia de proporcionalizar aos discentes uma maior amplitude de conhecimento matemático abordando um tema não muito contextualizado em sala. Espera-se também que após a oficina os discentes possam ter boa aceitação do conteúdo e obter uma melhor concepção de tudo que foi discutido na esfera teórica e na pratica, em que os próprios estudantes puderam construir os fractais através de cálculos apresentados e também por trabalhos manuais, fazendo com que os objetivos da pesquisa sejam contemplados de forma clara e resultante. Essa pesquisa será uma ferramenta de grande valia para se estimular a diversificação de metodologias de ensino em sala de aula, com intuito de promover aos discentes uma aplicação de conteúdo mais abrangente e apresentando novos temas matemáticos em que os mesmos possam perceber a matemática presente em seu cotidiano.
CONCLUSÃO
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Concluindo-se que a aplicação de uma geometria não convencional, associando-a ao um conteúdo já estabelecido na grade educacional, pode sim ser trabalhada em sala de aula como uma forma interativa e interdisciplinar, em busca de permitir que o discente participe da aula, possibilitando uma troca de aprendizagem. Afinal a geometria fractal um ramo da Matemática e que apresenta sua importância e que deve ser sim empregada em escolas podendo ser interessante para os alunos quando apresentados em sala de aula.
REFERÊNCIAS BARBOSA, R. M. Aprendendo com padrões mágicos. São Paulo: SBEM, 2000. BARBOSA, R.M. Descobrindo a geometria fractal para a sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal – para a sala de aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. BRASIL. PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais). Ensino Fundamental – Bases Legais, v.1. Brasília, Brasília: Ministério da Educação / Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 1997 DIO, R. G. Diversão na Matemática ou Matemática na diversão? Foz do Iguaçu: Unioeste, 2007. FERNANDES, J. A. Fractais: uma nova visão da Matemática. (Monografia). Disponível em:. Acesso em 05 mai 2015. MANDELBROT, B. The Fractal Geometry of Nature, 3 ed. New York: W. H. Freeman, 1983 SPADOTTO, A. J. Base de dados para pesquisa básica. Journal of the Fractal Food. Disponível em: . Acesso em 05 mai 2015. BALDOVINOTTI, N. J. O estudo de fractais para futuros professores de matemática. Disponível em: . Acesso em 05 mai 2015.
