A CRIAÇÃO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: RELATO DE UMA ATIVIDADE PEDAGÓGICA REALIZADA NA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA NO IFCE – CAMPUS DE CEDRO Patrícia de Souza Moura (IFCE -
[email protected]) Amanda Soares Bento (IFCE –
[email protected]) Emília Gonçalves de Lima Neta (IFCE -
[email protected]) Guttenberg Sergistótanes Santos Ferreira (IFCE –
[email protected])
RESUMO Este trabalho faz referência a uma prática de ensino realizada pelos estudantes do curso de Licenciatura em Matemática junto ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE – campus de Cedro. A atividade consistiu de exposição da criação do Cálculo Diferencial e Integral realizada por Newton e Leibniz a fim de discutir junto ao público presente sobre a patente do Cálculo, a partir dos fatos pesquisados. Este evento contou com a presença de cerca de 50 estudantes do curso de Licenciatura em Matemática, além de professores e convidados, que puderam decidir ao fim do evento, sobre quem criou o Cálculo. Com essa atividade pedagógica, evidenciou-se que a inovação e dinâmica em ambientes de aprendizagem podem despertar o apreço pela pesquisa e busca pelo conhecimento. Palavras-chave: Cálculo diferencial. História da matemática. Práticas de ensino. INTRODUÇÃO
O processo de ensino e aprendizagem em matemática encontra dificuldades que contribuem para que o estudante não demonstre desejo de se apropriar do conhecimento lógico matemático. Um exemplo disto pode ser percebido quando o estudante imagina, erroneamente, que a matemática está pronta e acabada ou que foi criada sem falhas ou estudos exaustivos por parte dos matemáticos ao longo dos tempos. A inovação nas práticas pedagógicas e desenvolvimento de projetos em sala de aula, neste caso em matemática, podem mostram ao estudante o lado humano da disciplina. No nível superior, especificamente na licenciatura em matemática, diversas ações podem propiciar maior interação entre professores e estudantes e o desenvolvimento da matemática ao longo da história, despertando o desejo de investigação e contribuindo para que haja evolução
do
processo
contextualizadas.
ensino-aprendizagem
através
de
atividades
dinâmicas
e
2 A matemática lecionada no ensino superior, principalmente a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, traz consigo consideráveis índices de reprovação e/ou evasão, com isso, trabalhar está disciplina não é tarefa fácil. A novidade nas operações matemática que envolve o ensino do Cálculo faz com que os estudantes tenham bastante dificuldade no aprendizado, o que culmina no desânimo e desistência no aprender. Esta matemática proposta através do Cálculo se faz presente em vários campos do conhecimento e oferecem ao estudante inúmeros exemplos de aplicação, tais como em economia, geografia, biologia, física, química, engenharias etc. A proatividade dos estudantes é uma condição fundamental para que ocorra a aprendizagem. A interação entre os envolvidos no processo de ensino e aprendizagem com o conhecimento proposto deve se dar de forma ampla e contínua, mostrando inclusive em quais condições este conhecimento foi concebido. Entende-se que o professor pode e deve fornecer subsídios para que os estudantes se apropriem deste conhecimento, aprimorando a forma de ver o desenvolvimento da matemática, especificamente do Cálculo Diferencial e Integral. A partir do proposto acima, houve a realização de uma atividade contextualizada de aprendizagem em educação matemática com o intuito de propiciar aos estudantes do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE – campus de Cedro, a discussão sobre a inclusão da Educação Matemática e do desenvolvimento do raciocínio lógicomatemático através de atividades reflexivas sobre a criação ou descoberta da matemática. Houve, previamente, uma consulta aos estudantes sobre os principais motivos para que haja pouca afinidade com a disciplina do Cálculo Diferencial e Integral. Relatos destes alunos indicaram sobre o escasso conhecimento ou a pouca discussão sobre o desenvolvimento do Cálculo, no próprio campus, e muitos questionaram sobre o porquê da criação e estudo dessa ferramenta, que muitos entendem ser de importância fundamental para o desenvolvimento de toda e qualquer ciência que recorra à matemática. Como uma tentativa de reverter esse quadro desfavorável ao ensino e aprendizado do Cálculo Diferencial e Integral, a atividade proposta contava de um estudo histórico sobre a criação do Cálculo e posterior apresentação aos estudantes da Licenciatura em Matemática do campus de Cedro, culminando no julgamento, por parte do público presente, sobre quem realmente criou o Cálculo no século XVII: Newton ou Leibniz.
OBJETIVOS
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Atividade mediadora de aprendizagem teve como objetivo maior a realizar reflexões sobre a criação do Cálculo Diferencial e Integral proposta por Newton e Leibniz, e de forma específica, fomentar a discussão sobre ensino e criação da matemática, levantar estudos nas mais diversas fontes sobre o tema e ainda proporcionar uma atividade com estudantes de Licenciatura em Matemática do IFCE campus de Cedro, a fim de concluir este estudo.
REFERENCIAL TEÓRICO
Desde os primórdios, o Cálculo é visto como uma ferramenta de bastante importância, sendo utilizado mais precisamente para a quantificação de áreas e volumes. Segundo Carvalho (2007, p.4) “Os problemas envolvendo cálculo de áreas e volumes se fazem necessários e fascinam matemáticos desde 200 a.C. Os gregos naquela época já faziam cálculos de áreas e volumes de figuras; entretanto, as áreas das figuras eram denominadas quadraturas.” Estudiosos diversos analisaram meios para conseguir resolver tais problemas. Após dedicarem boa parte de suas vidas a esses estudos, conseguiram êxito e obtiveram uma ferramenta que, posteriormente, ficou conhecida com o nome de Cálculo, de origem latina “calculus, que na Roma antiga era uma pequena pedra ou seixo usado para contagem e jogo, e o verbo latino calculare passou a ter significado mais amplo como sendo calcular” (SIMMONS, 1987, p.70). O Cálculo surgiu mais precisamente na idade moderna na metade do século XVII, segundo a história, originou-se de estudos feitos por matemáticos naquela época sobre a reta tangente, reta que passa por apenas um ponto de uma curva, e sobre as taxas de variação que ocorrem entre grandezas associadas. De acordo com Pires (2014, p.08): “Surge no século XVII pelas mãos de dois eminentes matemáticos, Newton (1642-1727) e Leibniz (16461716). De uma forma quase simultânea e independente, descobrem um método geral para a resolução de problemas associados”. Segundo Almeida (2013, p.2) “podemos dizer que eles foram os primeiros a entenderem profundamente o Teorema Fundamental do Cálculo, o que diz que a solução do problema da tangente pode ser utilizada para resolver o problema da área”. Uma vez que a origem do Cálculo está diretamente relacionada a Newton e Leibniz, faz-se necessário um breve comentário sobre ambos. De acordo com Boyer (2010), Isaac
4 Newton nasceu prematuramente no dia de natal em 1642, curiosamente o ano da morte de Galileu e, tempos depois, ingressou no Trinity College, em 1661, ao longo de sua vida estudou Física, Matemática, Astronomia, Alquimia, Filosofia e Teologia; enquanto que Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig, entrando na universidade aos quinze anos de idade e, dois anos mais tarde, obtendo o grau de bacharel, sendo considerado o último sábio a conseguir o conhecimento universal, devido a seus estudos em Teologia, Direito, Filosofia e Matemática. Newton e Leibniz deram origem ao estudo das taxas de variação através do estudo das funções derivadas e do cálculo de áreas e volumes através das integrais de funções reais. Mas no decorrer da história, houve vários embates entre estes dois matemáticos, pois Leibniz foi acusado de plagiar o trabalho não publicado de Newton. Entretanto, apesar de não publicar seus trabalhos, Newton os compartilhava com membros da sociedade real britânica. Segundo Boyer (2010), a primeira exposição do Cálculo Diferencial foi publicada por Leibniz em 1684, sob o título de: Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur, cuja tradução aproximada é: Um método para máximos e mínimos e também para tangentes, que não é obstruído por quantidades irracionais. Devido à disputa pela patente do Cálculo, houve vários embates entre Newton e Leibniz, mas sempre havendo o reconhecimento mútuo da importância dos seus trabalhos, implicando inclusive em certa afirmação de Leibniz: “Tomando a matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade.” (BOYER, 2010, p.269). O Cálculo Diferencial, abordado por Leibniz, tomou a forma que é hoje conhecido devido a suas viagens a Londres, em demonstração da sua máquina de calcular e em contato com outros matemáticos da época, de modo que suas notações são até hoje usadas para se abordar o tema. Enquanto que Newton acreditava que o fundamento ao qual o Cálculo Diferencial estava fortemente ligado era ao movimento, com isso acreditava que os movimentos vertical e horizontal eram fluxos dos eixos coordenados em relação ao tempo.
METODOLOGIA
Este trabalho contou com uma vasta pesquisa bibliográfica sobre a origem do Cálculo Diferencial e Integral, de natureza exploratória. Para coleta de dados se recorreu ao estudo de caso, através de uma única apresentação feita aos estudantes do curso de Licenciatura em
5 Matemática do IFCE campus de Cedro. Nesta oportunidade, foi realizado um debate entre os estudantes do curso, em que uma equipe defendia a patente de Newton e outra equipe a patente de Leibniz, a fim deque todos os presentes pudessem decidir qual equipe melhor desempenhou sua apresentação. Esta prática de ensino contou com, aproximadamente 50 pessoas, entre estudantes da licenciatura, professores de áreas afins e demais convidados, demonstrando que o ensino reflexivo repercutiu de forma positiva, pois tratou a matemática de uma forma até então nunca trabalhada com aqueles estudantes.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS A partir da realização da atividade diversificada de ensino, obteve-se êxito quanto à participação e interação dos estudantes da licenciatura em matemática, proporcionando aos mesmos uma avaliação qualitativa de aprendizagem. Aquele conhecimento não foi tratado apenas como um repasse de conteúdo, mas sim como uma sistematização de ideias, que fluíram de forma natural, espontânea e reflexiva. A atividade propunha uma discussão contextualizada sobre a criação do Cálculo Diferencial e Integral, em que o público presente teve poder de decisão sobre esta discussão, se matemático e físico inglês Isaac Newton ou o filosofo e matemático Gottfried W. Leibniz. Para tanto, houve a formação de duas equipes compostas por estudantes do curso de Licenciatura em Matemática, na disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, que tiveram a responsabilidade de defender ou Newton ou Leibniz, e com isso, prover de informações o público presente a fim de que pudessem decidir sobre a patente da criação do Cálculo. O tema foi dividido em tópicos, datando de início a história da matemática, consequentemente do Cálculo, no século XVII. Posteriormente, foi destacado o relato da vida pessoal e particular de cada um desses matemáticos, procurando elucidar componentes que os levaram a propor a criação daquela ferramenta que iria revolucionar de forma tão significativa a matemática da época. As equipes apresentaram dois estudantes devidamente caracterizados como Newton e Leibniz, e houve também a ornamentação do local da apresentação, na tentativa de recriar espaços de estudo com as cores e bandeiras da Inglaterra e Alemanha. Dentre os fatores que mais chamaram a atenção dos espectadores, pode-se destacar o empenho na exposição das informações, seja através dos argumentos ou representados através do cenário, bem como a defesa destas informações, contrapondo as equipes e proporcionando a dúvida sobre a criação do Cálculo ao público presente.
6 O clímax do debate ocorreu justamente quando se aproximava a pergunta central da atividade: Quem realmente criou o cálculo diferencial e integral, Newton ou Leibniz, pois a defesa mais bem feita, os melhores argumentos poderiam convencer os expectadores, que tiverem esquecidas suas informações prévias sobre o assunto, a fim de não interferir na proposição dos estudantes palestrantes. Após a exposição das equipes, de toda a discussão e defesa envolvidas, o público presente decidiu em favor de Newton pela criação do Cálculo Diferencial e Integral. Entretanto, estima-se que os expectadores não se ativeram apenas ao evento, tendo considerado suas informações prévias sobre o assunto, o que influenciou na decisão. No desfecho desta atividade, foi exposto que tanto Newton quanto Leibniz, ambos contribuíram para a criação do Cálculo e chegaram de formas distintas ao que hoje é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo. Esta competição matemática e argumentativa objetivou estimular os estudantes a mostrar seu desempenho no domínio de fatos históricos e curiosidades de sociedade científica de uma época. Vários foram as situações propostas pelos estudantes em que o público pode se deparar com a dúvida que sobre a criação do Cálculo, de modo que a decisão não foi facilmente conseguida, exigindo maior desenvoltura dos proponentes da atividade. Esta atividade obteve êxito através da aprendizagem do tema abordado e da capacidade de difundir e refletir sobre tais conhecimentos. Vale ressaltar que o essencial em um evento deste nível se dá pelo despertar no estudante do senso de coletividade e argumentação, aliado ao desenvolvimento da matemática e do trabalho científico.
CONCLUSÃO
A atividade realizada no IFCE campus de Cedro, pelos alunos do curso de Licenciatura em Matemática, contribuiu para o aprofundamento do conhecimento dos discentes sobre a História da Matemática, destacando a importância e relevância da discussão sobre a criação do Cálculo Diferencial e Integral. Foi possível proporcionar um momento significativo de aprendizagem fora do ambiente comum, ou seja, fora da sala de aula, capaz de prender a atenção dos presentes e despertar o desejo de investigar sobre os moldes em que se desenvolve a matemática.
7 Vale ressaltar, que os alunos que apresentaram este evento, puderam vivenciar uma experiência única, em que usufruíram de lógica argumentativa e da criatividade para a exposição principal, a defesa sobre a criação Cálculo por Newton ou Leibniz, além de assumirem, por alguns instantes, o papel de facilitador de aprendizagem, ou seja, de professor, uma vez que foram capazes de expor todos os temas abordados no evento de forma clara e precisa. Através do trabalho em grupo e organização de ideias ao longo de todo o evento, os estudantes apoiaram-se uns aos outros como integrantes do grupo responsável pela educação, cumprindo o ideal de inserir estes estudantes no meio educacional, estimulando-os à pesquisa e à preparação multidisciplinar para o exercício da docência. Concluímos, portanto, que a utilização de métodos dinâmicos é capaz de proporcionar o ensino, e com isso favorecer tanto interlocutor quanto ao locutor que compartilham uma troca de informações e aprendizados viáveis. Dessa forma, o discente certamente se sente estimulado a pesquisar e se apropriar de todo o conhecimento que não está explicitamente listado no mais diversos programas curriculares.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, S. G. M. História da Matemática Newton e Leibniz. (Monografia). Disponível em: http://jorgecabral.planetaclix.pt/monografia_susana.pdf>. Acesso em 18 de junho de 2014. BOYER, C. B. História da matemática. 3 ed. São Paulo: Blucher, 2010. CARVALHO, R. M. A invenção do Cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o Cálculo Contemporâneo. (Monografia). Disponível em: . Acesso em 20 de junho de 2014. PIRES, J. A. L. Cálculo Diferencial Estudo histórico sobre a evolução do Cálculo Diferencial no século XVII. (Dissertação de Mestrado). Disponível em: . Acesso em 02 de agosto de 2014. SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. THOMAS, C. E. F. A crítica de Leibniz à questão espaço-tempo de Newton baseado nas correspondências com Clarke. Disponível em: . Acesso em 29 de agosto de 2014.
8 ANEXOS
Proponentes da Atividade
Discussão sobre a criação do Cálculo Diferencial e Integral
