A Geometria do Campo Paleomagnético sua descrição em Harmônicos Esféricos (in portuguese)

George Caminha-Maciel

A Geometria do Campo Paleomagnético sua descrição em Harmônicos Esféricos

1ª Edição

São Paulo Edição do Autor 2010

ISBN 978-85-911134-0-8

Universidade de São Paulo Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas Departamento de Geofísica

A Geometria do Campo Paleomagnético

George Caminha-Maciel

Monografia apresentada como Exame de Qualificação de Doutorado Setembro/2006

Índice

O Campo Paleomagnético ......................................... ......................................... 1 Uma Nota sobre Funções Ortogonais e Expansões Expansões . 12 Análise em Harmônicos Esféricos ............................ 18 Harmônicos Esféricos Ylm(θ,, φ).................................. .................................. 23 Teorema da Adição, para Harmônicos Esféricos ... 28 Ajustando aos Dados ............................................... ............................................... 31 O modelo do “Giant Gaussian Process (GGP)”. ....... 39 Dados do Campo Atual versus Dados Paleomagnéticos ...................................................... ...................................................... 42 Buscando Geometrias de Transição Recorrentes ... 43 Conclusões ................................................................ ................................................................ 47 Referências e Bibliografia....................................... ....................................... 52

Caminha-Maciel

O CAMPO PALEOMAGNÉTICO O campo magnético da Terra é um vetor, isto é, uma grandeza física definida pela magnitude e direção. A unidade da magnitude ou intensidade do campo no sistema SI é o Tesla (T), sendo que, para medidas geofísicas usa-se o nanotesla (1nT=10-9 T), compatível com a ordem das variações observadas nas medidas usuais do campo em superfície (campo principal ~6.10-5T).

Figura 1. A aurora polar é um fenômeno óptico caracterizado por um brilho observado nos céus noturnos em regiões próximas a zonas polares. Decorre do impacto de partículas de vento solar e poeira espacial (principalmente elétrons) encontrados na Via Láctea contra a alta atmosfera da Terra (~100km de altitude), canalizadas pelo campo magnético terrestre e ocorre na forma de uma emissão de luz (uma cortina de cor verde ou rósea) bem parecida com uma descarga elétrica. O fenômeno não é exclusivo à Terra, é também observado em outros planetas do sistema solar como Júpiter, Saturno, Marte e Vênus. Sendo também um fenômeno reproduzível artificialmente, através de explosões nucleares ou em laboratório (Foto: Picture of the Year 2006).

1

A Geometria do Campo Paleomagnético

Usa-se também o Gauss (1G = 10-4 T) e o gama (1γ = 10-9 T = 1nT). O vetor campo magnético terrestre é naturalmente definido como três componentes cartesianas paralelas a um conjunto de eixos ortogonais. Usualmente definimos os elementos geomagnéticos como as projeções do campo nas direções para o Norte geográfico, para Leste e, verticalmente, para baixo, (XNS, YEW, Zp/Baixo).

Norte

meridiano magnético

ܺ

D

Leste ܻ I

‫ܨ‬ ܼ

Figura 2. O vetor campo magnético em coordenadas geográficas e esféricas

Observe-se que neste caso, as duas primeiras direções possuem vetores diretores contidos no plano tangente à esfera, no ponto de observação considerado (meridiano e paralelo geográfico). Também podemos defini-lo em coordenadas esféricas, a intensidade representando a componente radial, e 2

Caminha-Maciel

dois ângulos, a declinação magnética, ângulo entre o vetor campo magnético e o meridiano geográfico, e a inclinação magnética, ângulo entre o vetor campo magnético e a normal ao plano tangente (para dentro da esfera), no ponto considerado, (F, D, I). As duas representações relacionam-se através das fórmulas:

(

X = F cos I cos D

F = X 2 +Y 2 + Z 2

Y = F cos I sin D

D = arctg (Y

Z = F sin I

I = arctg( Z

X

)

1

2

)

X 2 +Y 2

)

As análises do campo atual em harmônicos esféricos, a partir de dados dos observatórios magnéticos e satélites, mostram um dipolo e componentes não-dipolares variando lentamente com o tempo. O dipolo apresenta uma deriva para Oeste à taxa de 0,044-0,14°/ano, o que corresponde a um circuito completo a cada 2500-8000 anos. O campo não-dipolar apresenta uma deriva para Oeste à taxa de 0,022-0,66°/ano, o que corresponde a um circuito completo a cada 550-1650 anos. Lembremos que estes resultados baseiam-se em dados dos últimos 400 anos, não cobrindo o tempo relativo a um circuito 3

A Geometria do Campo Paleomagnético

completo e, portanto, não possuindo conteúdo de informação necessária para confirmar a ciclicidade e estimar um período completo. Registros anteriores do campo geomagnético podem ser obtidos através dos métodos do Arqueomagnetismo e do Paleomagnetismo. Arqueomagnetismo é o estudo do campo geomagnético registrado em artefatos históricos datáveis. Note-se que, em alguns casos, as idades de artefatos históricos como fornos e tijolos,

podem

ser

obtidas

com

grande

precisão

e

confiabilidade. Os fornos e tijolos foram, em geral, “cozidos” adquirindo uma magnetização (magnetização termorremanente - TRM) ao resfriar. A direção da magnetização pode ser medida e, se a atitude do vaso durante o aquecimento (e resfriamento) puder ser estimada, a inclinação do antigo campo ambiente é deste modo determinada. Uma técnica desenvolvida por Thellier em 1937 permite estimar a intensidade do antigo campo ambiente (paleointensidade) a partir da TRM adquirida pelo artefato (ou fragmento de rocha), assumindo ser esta somente devida a um dipolo. Obviamente esta hipótese não é inteiramente

justificável,

especialmente

no

caso

do

arqueomagnetismo, quando sabemos que o tempo de resfriamento do artefato é relativamente curto, não permitindo eliminarem-se, no tempo, as componentes não-dipolares do 4

Caminha-Maciel

campo local. Estimativas a partir de dados arqueomagnéticos sugerem uma ciclicidade de 1300 anos para uma volta completa, com uma taxa média de deriva para Oeste de 0,38°/ano, mais rápida que a deduzida a partir de dados de observatórios magnéticos e satélites.

Pólo Norte Geográfico Pólo Norte Geomagnético

Equador Geomagnético

S

Equador

N

Pólo Sul Geomagnético

Pólo Sul Geográfico

Figura 2. Campo dipolar terrestre, que representa 99% do campo total e está inclinado aproximadamente 12° em relação ao eixo geográfico.

Paleomagnetismo é o estudo do campo geomagnético registrado nas rochas. A hipótese fundamental do método paleomagnético é a de que o campo geomagnético, na média para intervalos de tempo longos, corresponde a um dipolo geocêntrico axial. Deve-se esclarecer que a média, neste caso, refere-se à posição média dos “dipolos virtuais” inferidos a 5

A Geometria do Campo Paleomagnético

partir das direções de magnetização medidas. A hipótese do dipolo geocêntrico axial (DGA ou em inglês GAD), apoia-se em análise de variações de longo período em dados de observatórios e observações paleomagnéticas em lavas jovens e sedimentos. Neste ponto devemos lembrar algumas definições úteis: Variação Secular é o conjunto das oscilações do campo geomagnético, com periodicidades superiores a algumas dezenas de anos; Pólos magnéticos são os pontos, na superfície terrestre, onde as linhas do campo magnético medido apresentam-se

perpendiculares

à

superfície;

Pólos

Geomagnéticos são os pontos, na superfície terrestre, onde o eixo do dipolo geocêntrico de melhor ajuste aos dados do campo atual cruza a superfície; Pólos Geomagnéticos Virtuais (PGVs) são os pólos geomagnéticos inferidos a partir de uma única medida pontual (no espaço e, aparentemente, também no tempo). Para se obter o PGV deve-se supor que a magnetização medida na rocha foi devida a um campo puramente dipolar. A deriva para Oeste do campo dipolar implica em mudanças sistemáticas nas componentes equatoriais do dipolo. Se as mudanças são aproximadamente cíclicas, a média (de longo período) da intensidade dos componentes equatoriais do dipolo seria zero, dentro de algumas dezenas de milhares de 6

Caminha-Maciel

anos. Da mesma forma, se assumirmos que a variação secular da componente não-dipolar do campo é aproximadamente periódica, esta se anularia na média de alguns milhares de anos, vista por um dado ponto fixo na superfície. De modo que, através destes argumentos heurísticos, mostra-se que a única componente do campo geomagnético que não é levada a zero, na média dentro de algumas dezenas de centenas de anos (>104anos), é um dipolo axial demonstrando-se assim, a razoabilidade da hipótese do GAD. Mais uma definição útil: Pólo Paleomagnético é a (posição) média dos PGVs para um longo período (>104anos), eliminando-se, na média, os efeitos da variação secular e obtendo-se assim, uma estimativa do dipolo geocêntrico axial, ao qual se refere à hipótese do GAD. A diferença entre as direções do pólo paleomagnético obtido e o GAD é geralmente atribuída a movimentos tectônicos, sendo esta a base do método paleomagnético de reconstrução dos deslocamentos continentais. A

imposição

de

que

a

localização

do

pólo

paleomagnético derivado de uma coleção de amostras de rocha deve representar o dipolo geocêntrico axial é um fator importante na metodologia do paleomagnetismo. Isto implica numa metodologia que se inicia com a amostragem das formações geológicas dentro de um esquema hierárquico, 7

A Geometria do Campo Paleomagnético

projetado para minimizar (ou eliminar) erros não-sistemáticos, e eliminar, na média, os efeitos da variação secular do campo paleomagnético. Em cada nível hierárquico, obtêm-se médias e aplicam-se análises estatísticas aos vetores de magnetização medidos. Na prática, por muitas razões, dispõe-se normalmente apenas de 6 a 10 amostras por sítio (unidade temporal geológica de amostragem) e cerca de 10 a 20 sítios para a estimativa do pólo paleomagnético para uma formação. Notemos desde já, que estamos tratando de uma ciência de “pequenas amostras”, em que resultados assintóticos (válidos para n → ∞ ) devem ser aplicados com cautela. Outra hipótese do paleomagnetismo é a de que a componente primária da magnetização remanente natural (MRN) de uma rocha, adquirida no momento de sua formação ou em algum momento bem definido de sua história, se manteve inalterada. Usualmente, a MRN possui várias componentes, adquiridas em diferentes instantes do tempo, incluindo durante a amostragem e preparação em laboratório. Aplicam-se técnicas paleomagnéticas de laboratório para eliminar as componentes indesejáveis e isolar a componente primária

da

MRN,

um

processo

conhecido

como

desmagnetização ou “lavagem magnética”. Na “lavagem magnética” aplicam-se campos alternados sucessivamente mais 8

Caminha-Maciel

intensos, medindo-se a magnetização remanente a cada passo. Com isto, desmagnetizam-se os grãos, sucessivamente, com maior coercividade (da menor para a maior), resultando no final apenas a magnetização devido aos grãos de maior coercividade. Um método alternativo de lavagem magnética é a desmagnetização térmica, onde a amostra é aquecida a uma temperatura T(°C), de modo que as componentes magnéticas que possuírem temperaturas de bloqueio inferiores a T tornamse aleatórias termicamente. Se as amostras são resfriadas em ambiente magneticamente blindado esta parte da MRN permanecerá anulada. A cada passo a MRN resultante é medida, e se prossegue no ciclo de aquecimento-resfriamentomedida da MRN resultante, subindo gradualmente o valor de T, atingindo componentes com temperaturas de bloqueio progressivamente maiores. Os dois métodos têm como objetivo determinar a componente primária da MRN de uma amostra de rocha, o registro que dispomos do campo paleomagnético. Para

fins

de

análise

estatística,

cada

direção

paleomagnética em uma coleção de amostras é considerada individualmente como um vetor unitário. Os pontos finais dos vetores estão sob a superfície de uma esfera de raio unitário. Os métodos estatísticos utilizados para descrever os vetores supracitados, inclusive o cálculo de médias amostrais e 9

A Geometria do Campo Paleomagnético

parâmetros

descritivos

da

dispersão

amostral

foram

desenvolvidos em 1953, por Sir Ronald Fisher. Fisher propôs que a densidade de probabilidade P(θ,κ) do ângulo θ entre uma direção amostral individual e a direção média da distribuição poderia ser dada por:

κ   κ cos θ P (θ , κ ) =  e  4 π sinh κ 

onde o parâmetro “κ” é chamado “parâmetro de precisão”, ou “parâmetro de concentração”, que descreve a dispersão das direções em torno da média, sendo inversamente proporcional à variância da distribuição. “κ” é bem determinado apenas nos casos em que o número de amostras é infinitamente grande (eis um resultado assintótico). A estimativa “k” do parâmetro κ para pequenas amostras ainda não é um problema fechado do ponto de vista estatístico. O próprio Fisher mostrou que a melhor estimativa para o parâmetro κ (válida quando κ > 3) é dada por

κ~k=

10

N -1 N-R

Caminha-Maciel

onde R é o módulo do vetor soma dos N vetores unitários. Um conjunto de direções muito espalhadas possui um valor de κ pequeno, enquanto valores grandes de κ implicam em direções mais concentradas. Em algumas situações, pretende-se representar o espalhamento como uma propriedade da distribuição das direções, sendo este descrito pelo desvio angular, proporcional a

1

κ

. No entanto, é normalmente mais importante descrever

quão bem uma direção média está definida, tendo em mente que

desconhecemos

a

direção

média

verdadeira

(da

distribuição), dispondo apenas de uma estimativa da média, baseada nos dados (amostras) disponíveis. A verdadeira direção média deve, certamente, diferir em alguns graus da nossa estimativa. Contudo, se sabemos que com 95% de certeza a média verdadeira estará dentro de um cone de direções com um semi-ângulo de 7° em torno da nossa estimativa da média, por exemplo, o cone definirá os limites de confiança da direção média com 95% de probabilidade. O semi-ângulo do cone de confiança é conhecido como α 95 e é dado aproximadamente por

α 95 = 140 11

Nκ

A Geometria do Campo Paleomagnético

Poderíamos utilizar qualquer nível de confiança para descrever

quão

bem

a

média

está

definida.

Em

paleomagnetismo utiliza-se, normalmente, o nível de 95% de probabilidade como nível de confiança. Isto significa, tão somente, que há 95% de chance de que a média verdadeira da distribuição esteja dentro deste cone, ao redor da direção média estimada.

UMA NOTA SOBRE FUNÇÕES ORTOGONAIS E EXPANSÕES A representação da solução de problemas físicos, por meio de expansão em funções ortogonais, é uma técnica poderosa cuja utilização é aplicável a uma ampla classe de problemas. Um conjunto de funções ortogonais deve ser escolhido tendo-se em vista as simetrias, ou quase-simetrias, aparentes no problema físico em questão. Para relembrar as principais propriedades das funções ortogonais e expansões consideremos um intervalo (a, b) numa variável t e um conjunto de funções reais, ou complexas, Un(t), t = 1, 2, ..., funções de quadrado integrável e ortogonais, no intervalo (a, b). A condição de ortogonalidade pode ser expressa como

12

Caminha-Maciel b

∫U a

* n

(t )U m (t ) dt = 0 , se m ≠ n.

Se m = n a integral não se anula, igualando-se a um, no caso das funções estarem normalizadas. Estas funções formam um conjunto ortonormal se satisfazem b

∫U a

* n

1, m = n (t )U m (t ) dt = δ nm ; δ nm =  0, m ≠ n

Qualquer função de quadrado integrável no intervalo (a, b) pode ser expandida em uma série de funções ortonormais Un(t). Se o número de termos da série é finito (digamos N) então N

f (t ) ↔ ∑ anU n (t ) n =1

e fazemos a escolha dos “melhores” coeficientes para ajustar a função f(t). Aqui o “melhor” ocorre no sentido da minimização do erro quadrático médio, εN. N

2

ε N = ∫ f (t ) − ∑ a nU n (t ) dt b

a

n =1

Os coeficientes são dados por b

a n = ∫ U n* (t ) f (t ) dt a

13

A Geometria do Campo Paleomagnético

sendo este um resultado padrão, válido para os coeficientes da expansão em quaisquer conjuntos de funções ortonormais. Intuitivamente se o número de termos tomados na expansão finita tende a crescer, a representação em termos do conjunto de funções ortonormais se tornará cada vez melhor, pois uma série de funções ortonormais é um conjunto completo. Uma série de funções ortonormais é dita um conjunto completo se existe um N0, tal que, para qualquer número positivo pequeno ε1, sempre poderemos fazer o erro quadrático médio ε menor que ε1, para algum N > N0. ∞

∑a U n

n

(t ) = f (t )

n =1

A grande parte dos conjuntos de funções normalmente utilizados nos problemas da física-matemática são conjuntos completos. Reescrevendo a série, em termos da representação dos coeficientes: b ∞  f (t ) = ∫ ∑U n* (t ' )U n (t ) f (t ' )dt ' a  n=1 

Aqui observamos que se a série representa a função f(t) no intervalo (a, b), então a soma dos termos bilineares U n* (t ' )U n (t ) deve ser uma boa aproximação, ao menos nas

vizinhanças dos pontos da função original, t’ = t. 14

Caminha-Maciel ∞

∑U

* n

(t ' )U n (t ) = δ (t '−t )

n =1

Esta relação é chamada de relação de completude. É análoga à relação de ortogonalidade, exceto pelo fato de que o papel da variável continua t e do conjunto de índices discretos n foram trocados. Exemplo: As séries de funções ortogonais mais famosas e amplamente utilizadas são os senos e cossenos, numa expansão conhecida como séries de Fourier. Se o intervalo em x é (-a/2, a/2), as funções ortonormais se escrevem:  2   2πmx   2   2πmx    sen   e   a  a   a  cos a     

onde m é inteiro não-negativo e, para m = 0, o coeficiente da função cosseno é 1

a . A representação da função em série

(expansão) é:

f ( x) =

∞  1  2πmx   2πmx  A0 + ∑  Am cos  + Bm sen  2  a   a  m =1 

onde

Am =

2 a/2  2πmx  f ( x ) cos dx ∫ a −a / 2  a 

15

A Geometria do Campo Paleomagnético

Bm =

2 a/2  2πmx  f ( x) sen dx ∫ a −a / 2  a 

Se o intervalo e as funções que se quer expandir possuírem mais de uma dimensão, as fórmulas anteriores possuem a seguinte generalização:

f (t ,η ) = ∑∑ anmU n (t )Vm (η ) n

m

onde b

d

a

c

a nm = ∫ dt ∫ dηU n* (t )Vm* (η ) f (t ,η )

Se o intervalo (a, b) torna-se infinito, o conjunto de funções ortogonais Un(t) pode tornar-se um continuum de funções. Neste caso, o delta de Kronecker torna-se uma função delta de Dirac. O exemplo agora é a integral de Fourier, que se define a partir do seguinte conjunto de exponenciais complexas:

U m ( x) =

1 a

e i ( 2πmx / a )

Onde m = 0, ±1, ±2, ±3, ..., e a expansão no intervalo (-a/2, a/2) é

16

Caminha-Maciel

1 a

f ( x) =

∞

∑A e

i ( 2πmx / a )

m

m = −∞

com

Am =

1

∫ a

a/2

e −1( 2πmx'/ a ) f ( x' )dx'

−a / 2

No limite em que o intervalo vai para infinito, isto é

a → ∞ , ocorrem as transformações:

2mxπ →k a

∑→ ∫ m

Am →

∞

dm =

−∞

a 2π

∫

∞

dk

−∞

2π A( k ) a

Resultando na Integral de Fourier:

f ( x) =

1

∫ 2π

∞

−∞

onde

17

A(k )e ikx dk

A Geometria do Campo Paleomagnético

A(k ) =

1

∫ 2π

∞

−∞

e −ikx f ( x)dx

cuja condição de ortogonalidade é

1 2π

∫

∞

e i ( k −k ') x dx = δ (k − k ' )

−∞

e a condição de completude

1 2π

∫

∞

eik ( x − x ') dk = δ ( x − x' )

−∞

ANÁLISE EM HARMÔNICOS ESFÉRICOS Precisamos resolver as equações de Maxwell do campo eletromagnético sob as condições de contorno, existentes na superfície terrestre. As condições de contorno mais importantes são: variações desprezíveis do campo elétrico na superfície r r  ∂E    e o fluxo através desta desprezível J = 0 . = 0  ∂t   

(

)

Assim, as equações de Maxwell para o campo magnético resultam em

r r  ∂B ∂B   ∂B ∂B   ∂B ∂B  ∇ × B =  Z − Y iˆ +  X − Z  ˆj +  Y − X kˆ = 0 ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y   ∂y e 18

Caminha-Maciel

r r  ∂B ∂B ∂B  ∇o B =  X + Y + Z  = 0 ∂y ∂z   ∂x o que implica, entre outras coisas, que o campo pode ser obtido como o gradiente de um potencial escalar, isto é

r r  ∂Φ ∂Φ ˆ ∂Φ ˆ  B = −  iˆ + j+ k  = −∇Φ ∂y ∂z   ∂x ⇒

r r ∇ o ∇Φ = ∇ 2 Φ = 0

Ou seja, o Laplaciano do campo escalar Φ é igual a zero. Esta função potencial (função harmônica) é válida sobre qualquer superfície esférica (casca) através da qual não fluem correntes. Em coordenadas esféricas (r , θ , φ ) , onde r é o raio, θ é a colatitude (ângulo azimutal) e φ é a longitude (ângulo meridional), podemos escrever a equação anterior como 1 ∂2 1 ∂  ∂Φ  1 ∂ 2Φ ( ) θ r Φ + sin + =0   ∂θ  r 2 sin 2 θ ∂φ 2 r 2 ∂r 2 r 2 sin θ ∂θ 

Resolvendo por separação de variáveis, temos:

19

A Geometria do Campo Paleomagnético

Φ= PQ

U (r ) P(θ )Q(φ ) ⇒ r

d 2U UQ d  dP  UP d 2 Q θ + sin + =0   dθ  r 2 sin 2 θ dφ 2 dr 2 r 2 sin θ dθ 

Multiplicando por (r2sinθ/UPQ), obtém-se  1 d 2U UQ d  dP  1 d 2 Q r sin θ  + 2 =0  sin θ  + 2 dθ   Q dφ 2 Pr sin θ dθ  U dr 2

2

A dependência em φ agora pode ser isolada no último termo da equação, implicando que este termo deve ser igual a uma constante, que chamaremos (–m2). 1 d 2Q = −m 2 2 Q dφ

⇒

Q = e ± im φ

Para obtermos Q unívoca, com domínio em toda a faixa de variação azimutal (± 90 o ) , devemos tomar valores inteiros de m. Deste mesmo modo obtemos as equações separadas para P(θ) e U(r). 1 d  dP   m2  θ sin + l ( l + 1 ) −    P = 0 sin θ dθ  dθ   sin 2 θ 

20

Caminha-Maciel

d 2U l (l + 1) − U =0 dr 2 r2 onde l(l+1) é outra constante real. A solução da parte radial é U ( r ) = Ar l +1 + Br − l , onde l é ainda indeterminado. A equação

em P(θ) é normalmente expressa em termos de x = cosθ , ao invés de θ propriamente. Assim, esta toma a forma:  d  m2  2 dP  ( 1 − x ) + l ( l + 1 ) −  P = 0 dx  dx   1− x2 

Esta equação é chamada equação generalizada de Legendre, e suas

soluções

as

funções

associadas

de

Legendre.

Consideremos a solução, por série de potências, da equação generalizada de Legendre com m2 = 0, isto é

d  dP  1− x2 + l (l + 1) P = 0  dx  dx 

(

)

Assumindo que imagem da função cosθ, incluindo os pólos N e S, é a região de interesse, a solução desejada deve ser uma função unívoca, finita e contínua no intervalo, para que possa representar um potencial físico. A solução é usualmente obtida em série de potências da forma

21

A Geometria do Campo Paleomagnético ∞

P( x) = x α ∑ a j x j j =0

onde α é um parâmetro a ser determinado. Por convenção, estes polinômios, chamados de Polinômios de Legendre de ordem l, Pl(x), são normalizados ao valor unitário, em x = +1. Os primeiros polinômios de Legendre são:

P0 ( x ) = 1

P1 ( x ) = x

) P ( x ) = (5 x − 3 x ) P (x ) = (35 x − 30 x + 3) P2 ( x ) =

(3x

1 8

2

−1

3

1 2

3

4

1 2

4

2

Uma representação compacta dos polinômios de Legendre é a conhecida fórmula de Rodrigues:

Pl ( x ) =

1 dl ( x 2 − 1) l l l 2 l! dx

Os polinômios de Legendre formam um conjunto de funções ortogonal e completo, no intervalo -1 ≤ x ≤ 1. Portanto, 22

Caminha-Maciel

qualquer função f(x), pode ser expandida em termos de representação em séries de Legendre, no intervalo -1 ≤ x ≤ 1: ∞

f ( x) = ∑ Al Pl ( x) l =0

onde

Al =

2l + 1 1 f ( x) Pl ( x)dx 2 ∫−1

HARMÔNICOS ESFÉRICOS YLM(Θ, φ) O problema de determinação da função potencial, no caso geral, possui variações azimutais (variações em θ), tais que m ≠ 0. Nós então necessitamos de generalizações das funções de Legendre para l e m quaisquer. Precisamos de soluções finitas, no intervalo -1 ≤ x ≤ 1, com l = 0, 1, 2, ..., e m = -l, -(l-1), ..., 0, ..., (l-1), l. As funções que têm essas propriedades

são

chamadas

funções

generalizadas

de

Legendre, e para m positivo podem ser escritas como 2 m/ 2

Pl ( x) = (−1) (1 − x ) m

m

dm Pl ( x) dx m

Se usarmos a fórmula de Rodrigues, obtemos uma expressão válida para valores de m positivos e negativos:

23

A Geometria do Campo Paleomagnético l +m (−1) m 2 m/2 d Pl ( x) = l (1 − x ) ( x 2 − 1) l l +m 2 l! dx m

Podemos demonstrar que,

Pl −m ( x) = (−1) m

(l − m) m Pl ( x) (l + m)

Este conjunto de funções forma um conjunto ortogonal, no índice l, dentro do intervalo

-1 ≤ x ≤ 1 . As condições de

ortogonalidade podem ser escritas como: 1

∫

−1

Pl m' ( x)Pl m ( x)dx =

2 (l + m)! δ l 'l 2l + 1 (l − m)!

A solução da equação de Laplace foi decomposta num produto de fatores, para as três variáveis r, θ e φ. É conveniente combinar-se os fatores com dependência angular e construir funções ortonormais sobre a esfera unitária, as quais chamaram Harmônicos Esféricos (embora a nomenclatura seja mais precisamente aplicada às soluções da equação Legendre propriamente dita, em θ). As funções Qm (φ ) = e imφ , formam um conjunto de funções ortogonais completo, no índice m, dentro do intervalo m 0 ≤ φ ≤ 2π . Da mesma forma, as funções Pl (cosθ ) também

formam um conjunto de funções ortogonais completo, no 24

Caminha-Maciel

índice l, para cada valor de m, e dentro do intervalo

− 1 ≤ cosθ ≤ 1 . Portanto o produto Pl m Qm forma um conjunto ortogonal completo, nos dois índices, l e m, dentro da superfície da esfera unitária. Uma possível normalização vem da aplicação direta da condição de ortogonalidade supracitada, levando à expressão:

Ylm (θ ,φ ) =

2l + 1 (l − m)! m Pl (cosφ )e imϕ 4π (l + m)!

e

Yl , −m (θ ,φ ) = (−1) m Ylm* (θ ,φ ) , Assim, as condições de ortogonalidade e normalização ficam

∫

2π

o

dφ ∫ senθ dθYl*'m ' (θ , φ )Ylm (θ , φ ) = δ l 'l δ m 'm φ

Quanto à relação de completude: ∞

l

∑ ∑Y

* lm

(θ ' ,φ ' )Ylm (θ ,φ ) = δ (φ − φ ' )δ (cosθ − cosθ ' )

t =0 m = − l

Vejamos alguns exemplos dos harmônicos para valores pequenos de l e m ≥ 0:

25

A Geometria do Campo Paleomagnético

l =0

1 4π

Y00 =

3 senθ e iφ 8π

Y11 = −

l =1

3 cos θ 4π

Y10 = Y22 =

l =2

1 4

Y21 = −

15 sen 2θ e 2iφ 2π 15 sen θ cos θ e iφ 8π

Y20 =

5 (3 2 cos 2 θ − 1 2) 4π

Y33 = −

1 35 sen 3θ e 3iφ 4 4π

Y32 =

l =3

1 105 sen 2θ cos θ e 2 iφ 4 4π

Y31 = −

1 21 sen θ (5 cos 2 θ − 1)e iφ 4 4π

Y30 =

7 (5 2 cos 3 θ − 3 2 cos θ ) 4π

26

Caminha-Maciel

Para m = 0, Yl 0 (θ , φ ) =

2l + 1 Pl (cos θ ) 4π

Uma função qualquer g (θ , φ ) pode ser expandida em harmônicos esféricos: ∞

g (θ , φ ) = ∑

l

∑A

lm

Ylm (θ , φ )

l = 0 m = −l

onde os coeficientes são dados por, Alm = ∫ dΩ Ylm* (θ , φ ) g (θ , φ )

Um resultado interessante é o da expansão, em harmônicos esféricos, de uma função qualquer, g (θ , φ ) , em torno do ponto θ = 0 : ∞

[g (θ ,φ )]θ =0 = ∑ l =0

2l + 1 Al 0 4π

onde Al 0 =

2l + 1 dΩPl (cos θ ) g (θ , φ ) 4π ∫

Note que todos os termos com m ≠ 0 se anulam em θ = 0 .

27

A Geometria do Campo Paleomagnético

A solução geral para os problemas de valores de contorno, em coordenadas esféricas – inclusive nos casos que apresentam simetria azimutal – pode ser escrita como expansão em séries de harmônicos esféricos e potências de r: ∞

l

[

]

Φ (r , θ , φ ) = ∑ ∑ Alm r l + Blm r −(l +1) Ylm (θ , φ ) l =0 m = −l

TEOREMA DA ADIÇÃO, PARA HARMÔNICOS ESFÉRICOS r r Outro resultado interessante: sejam dois vetores x e x , com

coordenadas

(r ,θ ,φ )

esféricas

e

(r ,θ ,

,

)

,φ , ,

respectivamente, com um ângulo γ entre eles. O teorema da adição diz que o polinômio de Legendre, de ordem l, no ângulo azimutal γ, pode ser escrito como o produto de harmônicos esféricos nos ângulos θ , φ e θ , , φ , .

Pl (cos γ ) =

4π l * ∑ Ylm (θ ' ,φ ' )Ylm (θ ,φ ) 2l + 1 m=−l

onde, cos γ = cos θ cos θ , + sin θ sin θ , cos( φ − φ , ) . r

Consideremos um dos vetores, x , , fixo no espaço. Assim, Pl (cos γ ) é uma função dos ângulos θ e φ , tendo os ângulos

θ , e φ , como parâmetros, podendo ser expandida em série: 28

Caminha-Maciel l'

∞

Pl (cos γ ) = ∑ l '= 0

∑A

l 'm

(θ ' ,φ ' )Yl 'm (θ ,φ )

m=−l '

Observe-se que só aparecem os termos para os quais l’ = l. Para saber o porquê, basta notar que o sistema de r

coordenadas foi escolhido de modo que x , coincide com o eixo z, fazendo com que o ângulo γ coincida com o ângulo polar, e Pl (cos γ ) satisfaz a equação:

∇ '2 Pl (cosγ ) +

l (l + 1) Pl (cosγ ) = 0 , r2

2

onde ∇ ' é o Laplaciano neste novo sistema de coordenadas. Se rotacionarmos o sistema de referência de volta à posição original, o laplaciano se mantém invariante (todos os operadores de produto escalar são invariantes sob rotações). Consequentemente, Pl (cos γ ) satisfazendo a equação anterior é um harmônico esférico de ordem l. Ou seja, pode ser escrito como uma combinação linear de Ylm’s de ordem (até) l.

Pl (cosγ ) =

l

∑A

m

(θ ' ,φ ' )Yl 'm (θ ,φ )

m= −l

Os coeficientes Am (θ , φ ) são dados por: Am (θ ' , φ ' ) = Ylm* (θ , φ ) Pl (cos γ )dΩ

29

A Geometria do Campo Paleomagnético

Se m’= 0, o coeficiente de uma expansão de

4π /(2l + 1)Ylm* (θ ,φ ) em uma série de Ylm' (γ , β ) , referente ao r

sistema de coordenadas em que o vetor x , coincidia com o eixo z, é dado por (note que só temos um valor de l):

Am (θ ' , φ ' ) =

4π Ylm* [θ (γ , β ),φ (γ , β )] γ =0 2l + 1

{

}

No limite γ → 0 temos

[(θ , φ )](γ , β ) → (θ ' , φ ' ),

o que

prova o teorema. O teorema também pode ser escrito em termos dos polinômios generalizados de Legendre Pl m (cosθ ) ao invés dos parâmetros Ylm : (l − m)! m Pl (cos θ ) Pl m (cos θ ' ) cos[m(φ − φ ' )] ( l + m )! m = −l l

Pl (cos γ ) = Pl (cos θ ) Pl (cos θ ' ) + 2 ∑

Se fizermos γ → 0 , obtemos uma “normalização” para os quadrados dos Ylm ’s: l

∑Y

lm

2

(θ ,φ ) =

m =− l

30

2l + 1 4π

Caminha-Maciel

AJUSTANDO AOS DADOS Seguindo o formalismo inicialmente desenvolvido por Gauss, omitindo os termos relativos ao campo externo e utilizando os polinômios de Schimdt (associados aos polinômios generalizados de Legendre), apresentamos a forma comumente utilizada para descrever o campo interno da Terra. Os polinômios de Schimdt com l = 0 são idênticos aos generalizados de Legendre. A diferença entre os polinômios de Legendre de ordem maior e os de Schimdt vem dos métodos utilizados para normalizá-los. Quando o quadrado de um polinômio de Legendre é integrado sobre a superfície da esfera, o valor da integral é a unidade. Neste caso, dizemos que a função é completamente normalizada (“fully normalized”). No entanto, os polinômios de Schimdt com l ≠ 0 integram, sobre a superfície esférica, para o valor de 1 (2n + 1) . Neste caso, dizemos que a função é parcialmente normalizada.

a V = a∑   n =1  r  ∞

n +1 n

∑ [g

m n

]

cos(mφ ) + hnm sen( mφ ) Pnm (θ )

m =0

Os coeficientes desta expansão são conhecidos como coeficientes de Gauss de grau n e ordem m. Esta é uma expansão em multipolos do campo interno da Terra. Ela permite que um campo com uma geometria 31

A Geometria do Campo Paleomagnético

complexa seja dividido em contribuições de campos com geometrias mais simples, que se superpõem. Por exemplo, para n = 1 temos três termos na série (l = 0, 1, -1). O primeiro correspondendo a um dipolo alinhado com o eixo “z” azimutal, os outros dois correspondendo a dipolos alinhados aos eixos “x” e “y” (plano equatorial). Os termos com n = 2 descrevem um campo quadrupolar, os termos com n = 3 um campo octupolar, de modo que os termos com n = N descrevem um campo que seria originado por 2N “polos magnéticos”. Assim, pela superposição de muitos termos, campos geometricamente complexos podem ser representados. Observe que os Pnm são funções apenas da colatitude, θ. Eles são oscilações quasi-senoidais exibindo n-m+1 ondas (ou apenas n, se m = 0), à medida que θ varia de 0 a 360° dentro de um grande círculo de longitude. À medida que m aumenta obtemos um ajuste cada vez “rugoso”, isto é, com maior conteúdo de “altas frequências”. Com as seguintes fórmulas de recorrência, o conjunto inteiro das funções é calculado a partir dos primeiros termos da série: R nm = n 2 − m 2

32

Caminha-Maciel

Poo = 1 P10 = cos( θ ) , P11 = sen (θ )

Pnm

2m − 1 sen (θ ) Pmm−−11 2m

[

para m > 1, n = m

]

Pnm = (2n − 1)cos(θ ) Pnm−1 − Rnm−1 Pnm− 2 / Rnm

para n > m

dPnm = (n cos(θ ) Pnm − Rnm Pnm−1 ) / sen(θ ) (exceto para θ = 0° ou 180°) dθ Em análise de harmônicos esféricos, para funções que ajustam dados reais, os coeficientes g e h são as amplitudes das oscilações harmônicas (senoidais), cos(mφ) e sen(mφ), como séries de Fourier ao longo de um círculo de latitude. Os polinômios de Legendre Pnm são oscilações harmônicas ao longo de um grande círculo de longitude. Os harmônicos esféricos usados para produzir as funções potenciais e ajustar os dados de campos medidos em superfície são adicionados da mesma maneira que as funções senos e cossenos da série de Fourier. A natureza destes polinômios requer que n seja maior ou igual a m. São m ondas

33

A Geometria do Campo Paleomagnético

seno e cosseno ajustadas ao redor de cada círculo de latitude – os chamados “harmônicos setoriais”. Ao redor de cada círculo de longitude, existem os chamados “harmônicos zonais” ou “ondas polinomiais de Legendre”: serão n se m = 0 e n-m+1 se m > 0 (porque, se m = 0 um semi-ciclo estará sobre cada hemisfério). Notemos que a simetria (ou assimetria), em relação ao equador, será determinada pela paridade (ou nãoparidade) dos valores de (n-m). A resolução (menor comprimento de onda do ajuste) ao longo de uma linha de latitude é encontrada dividindo-se 360° pelo maior valor de m, enquanto ao longo de uma linha de longitude é encontrada dividindo-se 360° pelo maior valor de n. Se usarmos grau e ordem iguais a 12 as resoluções ficarão em torno de 30°. O pólo (eixo de simetria azimutal) da análise deve ser escolhido de modo a representar um aspecto dominante (simetria azimutal) pelo qual o conjunto de dados é, naturalmente, organizado. Neste caso, a expansão se dará por meio de uma série de funções que convergirá rapidamente – os termos de graus superiores têm suas amplitudes reduzidas rapidamente, à medida que n aumenta. Se o pólo da análise não foi escolhido convenientemente, serão necessários muitos termos de alto grau e ordem para representar o campo. Logicamente, no caso de um campo extremamente complexo, 34

Caminha-Maciel

no qual é necessário grande número de termos na expansão, a escolha do pólo da análise é irrelevante. Como então, calculamos os coeficientes da expansão em harmônicos esféricos a partir das medidas X, Y e Z do campo em superfície? Existem muitas rotinas, para os diferentes

casos

de

dados

com

diferentes

origens:

observatórios, satélites, entre outros. Em primeiro lugar, os dados são ajustados para uma mesma elevação (mesmo r), em seguida se estabelece um instante comum. Ou seja, os dados são ajustados a um estado estacionário, um “mapa” do campo, num determinado instante t. Sabemos que as medidas do campo que dispomos usualmente são distribuídas irregularmente na superfície da esfera. Assim, necessitamos de técnicas de extrapolação (e suavização) para que as medidas das três componentes do campo

sejam

representadas

em

intervalos

igualmente

espaçados em toda superfície do globo. Em seguida, realiza-se uma análise de Fourier a cada linha de latitude, para cada uma das componentes do campo, X, Y e Z separadamente. Designamos por X sm e X cm os coeficientes do seno e cosseno, respectivamente.

Procedemos

da

mesma

forma

para

componentes Y e Z, e estamos prontos a calcular alguns valores intermediários: 35

A Geometria do Campo Paleomagnético

a n0 =

2 n + 1 180 0 dPn0 Xc sen (θ ) dθ 2 n ( n + 1) ∫0 dθ

para n > 0, m = 0

 2n + 1 180  m dPnm a = sen(θ ) + Ysm mPnm  dθ X c ∫ 0 4n(n + 1) dθ   m n

bnm =

 2n + 1 180  m dPnm sen(θ ) − Ycm mPnm  dθ X s ∫ 0 4n(n + 1) dθ  

cnm =

2n + 1 180 m m Z c Pn sen(θ )dθ 4 ∫0

para m > 0

para m > 0

para m > 0

(mas se m = 0, c n0 = 2c nm )

d nm =

cn0 =

2n + 1 180 m m Z s Pn sen(θ )dθ 4 ∫0

2n + 1 180 0 0 Z c Pn sen(θ )dθ 4 ∫0

para m > 0

para n > 0, m = 0

Em cada caso, a integral pode ser convenientemente substituída por um somatório sobre toda faixa de θ, em passos de ∆θ (incremento finito). O incremento, neste caso, deve ser

36

Caminha-Maciel

compatível com a resolução que se pretende alcançar. Calculemos agora os coeficientes do polinômio de Legendre:

anme =

(n + 1)anm + cnm 2n + 1

anmi =

nanm − cnm 2n + 1

me n

b

(n + 1)bnm + d nm = 2n + 1

bnmi =

nbnm − d nm 2n + 1

Em cada caso, e e i representam os campos externo e interno, respectivamente. No caso do campo terrestre, os coeficientes do campo interno são bem maiores. Segundo a nomenclatura comumente encontrada na literatura: g nm = a nmi e hnm = bnmi . Devemos lembrar que obtivemos uma expressão para o potencial do campo na superfície, assim, devemos derivar espacialmente para se chegar aos valores do campo propriamente dito. Calculamos a função potencial: 37

A Geometria do Campo Paleomagnético M

[

V (θ , φ ) = ∑ Vcm (θ ) cos(mφ ) + Vsm (θ ) sen(mφ )

]

m =0

Onde as partes cosseno e seno da soma são N

Vcm (θ ) = Re ∑ anm Pnm n=m

e N

Vsm (θ ) = Re ∑ bnm Pnm n=m

Onde os valores de N e M são os valores máximos de n e m, respectivamente. A partir da função potencial obtemos as componentes do campo:

1 δV Re δθ

X (θ , φ ) = − Bθ =

Y (θ ,φ ) = − Bφ = −

Z (θ , φ ) = − Br =

1 δV Re sen(θ ) δφ

δV δr

Poderíamos perguntar por que temos necessariamente de lidar com funções complicadas como polinômios de 38

Caminha-Maciel

Legendre? Por que não podemos representar os dados simplesmente com um ajuste em ondas senos e cossenos (numa grade de latitude X longitude) ou qualquer outra representação funcional mais simples? Não podemos porque precisamos de funções que sejam soluções das equações de Maxwell no meio, pois estas funções contêm a informação sobre o comportamento do campo eletromagnético nas condições de contorno do problema.

O MODELO DO “GIANT GAUSSIAN PROCESS (GGP)”. (GGP)”. Trata-se de um modelo estatístico para variação secular, baseado em dados dos últimos 5 Milhões de anos e do campo atual (Constable & Parker, 1988; Hulot & Le Mouël, 1994; Khokhlov et al., 2001; Bouligand et al., 2005; Hulot & Bouligand, 2005). O modelo fornece uma função de densidade de probabilidade (fdp) geral, a partir da qual a distribuição estatística de qualquer conjunto de medidas paleomagnéticas pode ser deduzida. Baseia-se na observação histórica de que o espectro espacial do campo não-dipolar pode ser explicado pela existência de uma fonte gerando ruído branco gaussiano no contorno manto-núcleo. Assim, após um escalonamento 39

A Geometria do Campo Paleomagnético

conveniente, os coeficientes de Gauss do campo não-dipolar são postulados como amostras estatísticas de um processo gaussiano multivariado. Este é o modelo para o campo nãodipolar. Assumindo que esta caracterização valeria para o campo no passado (campo paleomagnético), adicionamos uma descrição estatística arbitrária para o campo dipolar e este é o modelo do GGP. Posteriormente, tentou-se ajustar (fixar), não só o dipolo, como também termos de graus mais elevados, com o objetivo de melhorar o ajuste geral do modelo aos dados paleomagnéticos disponíveis. O modelo permite calcular as funções de distribuição de probabilidade (fdp) e funções de distribuição acumulada (FD) para a declinação e inclinação que seriam observadas em qualquer ponto da superfície. No entanto, essas expressões são muito complexas e não iremos apresentá-las aqui. A principal vantagem do modelo está na simplicidade e na capacidade de descrever muitas das características observadas no campo, apesar do pequeno número de parâmetros envolvidos. Resumindo: 1 – Com exceção dos termos do dipolo axial e do quadrupolo axial, os demais coeficientes de Gauss são postulados como variáveis aleatórias distribuídas normalmente 40

Caminha-Maciel

com média zero e desvio padrão compatível com uma fonte de ruído branco na superfície do núcleo. 2 – A parte dipolar do campo não tem a mesma distribuição estatística que a parte não-dipolar. O dipolo axial predomina e as partes não axiais do dipolo, bem como a magnitude da parte axial, têm variância inferior àquelas aplicadas à parte não-dipolar do campo. 3 – A hipótese baseada no campo atual de que todos os coeficientes de Gauss do campo não-dipolar possuem média zero é inconsistente com os dados paleomagnéticos. A variação estatística dos coeficientes de Gauss não é suficiente para explicar a anomalia de inclinação observada nos dados paleomagnéticos, em relação ao que se esperaria no caso de um dipolo puro (Tauxe, 2005). Contudo, adicionando um termo de quadrupolo cuja magnitude média seja 6% da magnitude do dipolo, obtemos um ajuste melhor aos dados paleomagnéticos. Assim, o modelo descrito por apenas quatro parâmetros livres: 1 – A variância α2 do processo estatístico, que gera as variâncias σl2 para cada termo de ordem l; 2 – σl2, a variância dos termos do dipolo;

41

A Geometria do Campo Paleomagnético 0

3 – γ 1 , a magnitude média do campo dipolar; 0

4 – γ 2 , a magnitude média do campo quadrupolar. Este modelo dos coeficientes de Gauss nos permite calcular as fdp’s para qualquer dos elementos observáveis do campo. Demonstra-se que as componentes Br, Bθ e Bφ possuem distribuições

gaussianas

com

variâncias

iguais

nas

componentes horizontais (localmente), mas diferentes da variância na componente vertical.

DADOS DO CAMPO ATUAL VERSUS DADOS PALEOMAGNÉTICOS

Obviamente o intervalo de tempo histórico não é suficiente para fornecer a descrição estatística para o campo paleomagnético (dipolar e não-dipolar). Necessitamos de estudos que esclareçam o comportamento do dipolo equatorial para intervalos de tempo mais longos. Mary & Courtillot (1993), por exemplo, notaram que a maior parte das reversões poderia ser interpretada como resultado da reversão do dipolo axial sozinho, enquanto o restante do campo, em termos de variação secular, comporta-se de forma típica.

42

Caminha-Maciel

Alguns trabalhos recentes (Bouligand et al., 2005; Hulot & Bouligand, 2005) buscam identificar simetrias inferidas no comportamento de longo período do campo, através de análises estatísticas de conjuntos de dados paleomagnéticos, bem como através do estudo de simulações do geodínamo. Outros trabalhos recentes buscam generalizações do modelo GGP, inclusive extensões para termos com valores médios não nulos. Neste caso, observou-se que as fdp’s decorrentes são essencialmente não Fisherianas. Segundo os próprios autores, os dados são provavelmente afetados localmente por tendências (“biases”) não Fisherianas nas suas fdp’s. Neste caso, as amplitudes destes desvios dependem mais dos efeitos da variação secular que das variâncias do modelo GGP (Constable & Parker, 1988).

BUSCANDO GEOMETRIAS DE TRANSIÇÃO RECORRENTES Na execução das atividades relacionadas ao projeto de Doutorado, buscamos inicialmente, atacar o problema da investigação por possíveis geometrias recorrentes para os períodos transicionais do registro geomagnético. Abordamos a questão através de um ponto de vista metodológico, visando desenvolver um método aplicável a uma ampla categoria de 43

A Geometria do Campo Paleomagnético

dados paleomagnéticos – no caso, trabalhamos numa metodologia de busca por fases de transição recorrentes nas trajetórias

exibidas

em

séries

múltiplas

de

PGV’s,

contemporâneas, aleatoriamente espaçadas e oriundas de sequências de derrames vulcânicos (registros pontuais e em sequência). Inicialmente, trabalhamos com as séries de dados da Formação Serra Geral, da Bacia do Paraná (Ernesto et al., 1990). A Bacia Sedimentar do Paraná foi recoberta por intenso magmatismo no início do período Cretáceo. Essa intensa atividade ígnea ocorreu no Cretáceo Inferior, principalmente na forma de derrames de lava de composição básica, formando a extensa Província Magmática do Paraná (PMP). Os sucessivos derrames de lava da Formação Serra Geral formam pacotes com espessura total variável, excedendo 1.529 m de espessura. A ideia inicial era ajustar por meio de séries de Fourier, as trajetórias dos PGV’s. O problema principal aqui foi determinar um conjunto de frequências fk, sobre o qual aplicar a análise de Fourier, uma vez que as séries possuem abscissas aleatoriamente espaçadas, não permitindo que se defina uma taxa de amostragem (ainda que média). Apesar de todas as limitações de uma estimativa inicial, conseguimos encontrar periodicidades, boas candidatas à determinação de amplitudes e 44

Caminha-Maciel

fases. Conseguimos determinar valores dos parâmetros (amplitudes e fases) para cada série. Entretanto, ainda não conseguimos determinar uma curva “média” que ajustasse bem os dados (este tipo de ajuste teria muitas aplicações em magnetoestratigrafia), porém conseguimos “colher” os zeros dos diferentes ajustes e observar o comportamento da “anisotropia meridional” dos mesmos. Embora ainda seja muito cedo para qualquer afirmativa, parece que existe alguma anisotropia persistente nos zeros das séries de Fourier ajustadas para cada série, comportamento este que também aparece no somatório de todas as ocorrências. Entre as duas diferentes situações de transição, N-R e R-N, não parece haverem diferenças significativas. Vale lembrar que todo este esquema de ajustes (inclusive os programas) está em fase de testes, principalmente no que diz respeito à procura pelos ótimos dos parâmetros numéricos dos programas. Pulamos algumas pequenas etapas, por curiosidade e a fim de buscar uma visão mais geral da (possível) eficiência do método.

Detalhes

do

design

numérico

precisam

ser

aprimorados, mas principalmente, precisamos realizar um teste estatístico que nos responda à pergunta básica: Qual a probabilidade de se encontrar este mesmo padrão (distribuição) de “longitudes preferenciais” oriundo de flutuações aleatórias? 45

A Geometria do Campo Paleomagnético

Não sabemos ainda como atacar a questão diretamente: Talvez se possa realizar um teste-F comparando a distribuição encontrada com outra, por exemplo, uma uniforme. Uma alternativa seria realizar um experimento de bootstrapping, embora mais complicado. Uma vez que tivermos estabelecido os resultados apresentados com segurança numérica (encontrando os ótimos de funcionamento dos programas); após uma análise estatística que permita, por exemplo, comparar resultados de ajustes diferentes,

conjuntos

de

dados

diferentes;

poderemos

interpretar a informação geofísica contida nas nossas análises.

Figura 4. Distribuição das fases de transição aparentes nas trajetórias dos PGV’s da Formação Serra Geral – Bacia do Paraná.

46

Caminha-Maciel

Posteriormente, a questão será retomada: buscaremos outros conjuntos de dados de outros períodos no tempo, procurando estabelecer os limites das nossas conclusões tanto do ponto de vista da metodologia empregada quanto das informações geofísicas obtidas. Então estaremos aptos a estudar as possíveis consequências na geometria do campo paleomagnético de longo período, como o concebemos, e na estatística

atualmente

empregada

nos

trabalhos

paleomagnéticos, conforme projeto inicial proposto.

CONCLUSÕES Qual é o intervalo de tempo mínimo para que possamos obter, na média, o campo paleomagnético? Alguns acreditam que 1700 anos já é um intervalo suficiente (Carlut et al., 1999) outras estimativas, entre 10.000 a 100.000 anos (Merrill & McFadden, 2003; McElhinny, 2004), resultando num campo essencialmente dipolar, com uma pequena contribuição quadrupolar (< 6%; Tauxe & Kent, 2004). Enquanto alguns (Courtillot & Besse, 2004) advogam a presença de um pequeno octupolo (< 2 - 4%).

47

A Geometria do Campo Paleomagnético

Acreditamos que o primeiro passo na direção da resposta certa é tentar entender o que significa “campo paleomagnético”

e

qual

significado

geométrico

desta

estimativa da média (média amostral) que utilizamos. Vejamos a questão do “campo paleomagnético”. Inicialmente, podemos afirmar que não se trata de um campo magnético real, no sentido físico. Isto é, não é solução da equação de Laplace para nenhum instante do tempo. Como resolvemos a equação de Laplace estacionária, não dispomos de informação sobre a evolução temporal do campo (nem postulamos nada a respeito), não podemos, portanto, afirmar sequer que a média temporal das soluções é também uma solução. Ou seja, o “campo paleomagnético” não representa as configurações das linhas do campo magnético na superfície da Terra para nenhum instante do tempo geológico. Quanto à média amostral, comecemos reconhecendo que esta se dá em dois níveis de agrupamento temporal dos dados: 1 – Em nível de sítio, que definimos como sendo a unidade temporal de amostragem (em termos dos marcadores estratigráficos), medimos direções que se espalham ao redor de uma média, principalmente devidos a erros de medida sistemáticos e não-sistemáticos e componentes não-dipolares 48

Caminha-Maciel

locais. Aqui, a média obtida representa a medida (virtual) do campo magnético (X, Y, Z) em um determinado ponto da superfície terrestre, em um instante de tempo não tão bem determinado. Para se obter a estimativa do PGV a média é invertida diretamente usando-se a “fórmula do dipolo”: tgI = 2tgλ. Neste caso, não acreditamos que seja realmente necessário postular a hipótese do GAD para que possamos usar a fórmula do dipolo a fim de determinar a posição do pólo azimutal (eixo de simetria azimutal do campo), escolhido de modo que a expansão em harmônicos esféricos convirja rapidamente, e necessariamente coincidente com o pólo do dipolo – primeiro termo da expansão. Ou seja, cada vez que estamos aplicando a fórmula do dipolo partindo de uma direção média, para obter um PGV, o que estamos fazendo, na realidade, é uma expansão “em primeira ordem” de harmônicos esféricos do campo terrestre, para o instante considerado. Acreditamos que este resultado é estatisticamente compatível com a cobertura espacial que dispomos (uma medida pontual do campo, num determinado instante), em termos de taxa de amostragem (frequência de Nyquist). Pensemos agora por um instante: para obter os coeficientes de Gauss, para algum instante do tempo, 49

A Geometria do Campo Paleomagnético

precisamos da informação das três componentes do campo em toda a superfície do globo com uma cobertura bem definida (uma grade). Ou seja, antes de podermos estimar os coeficientes de Gauss para um conjunto de dados precisamos passar por uma etapa de construção de cartas magnéticas (grade). Aqui está a etapa mais problemática e mais obscura na determinação dos coeficientes dos modelos existentes na literatura: precisa-se antes estimar cartas magnéticas ou, na verdade, sequências delas. Agora, podemos pensar que, se dispomos de uma única medida do campo de superfície (espacial e temporal) e queremos saber: como seria a geometria deste campo? Podemos aplicar o resultado, já apresentado, da expansão em harmônicos esféricos de uma função qualquer, g (θ , φ ) , em torno do ponto θ = 0 : ∞

[g (θ ,φ )]θ =0 = ∑ l =0

2l + 1 Al 0 4π

onde Al 0 =

2l + 1 dΩPl (cos θ ) g (θ , φ ) 4π ∫

Que mostra claramente como o dipolo aparece naturalmente como o único termo que não se anula, na expansão do campo 50

Caminha-Maciel

em torno do azimute (pólo, no sentido que temos usado). Devese lembrar de que este azimute é exatamente o eixo de simetria (azimutal) do campo, portanto, se o campo é decomposto em harmônicos esféricos sobre este pólo, os termos que se sucedem na série diminuirão progressivamente (convergência mais rápida). 2 – Em nível de formação geológica, calculamos a média temporal

das

direções de PGVs

anteriormente

determinadas, a fim de obter uma estimativa do “campo médio” (dependendo do intervalo de tempo considerado, teremos

o

“campo

paleomagnético”)

contemporâneo

à

formação. Fazendo uso da direção média dos PGVs e apoiando-se na hipótese do GAD, afirma-se que qualquer desvio entre as duas direções deve-se unicamente a deslocamentos tectônicos. Esta é a base para a técnica de reconstruções paleocontinentais.

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A Geometria do Campo Paleomagnético

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