A INTRODUÇÃO DA TEORIA FRACTAL NA MECÂNICA DA FRATURA Lucas Máximo Alves(*), Bernhard Joachim Mokross(**) (*) Estudante do Programa de Doutorado da Interunidades (**) Orientador Instituto de Física de São Carlos -IFSC/USP,
[email protected] 1.0 - Introdução A Mecânica da Fratura Clássica (MFC) é um importante ramo da ciência dos materiais que trata da descrição da formação e da propagação de trincas e superfícies de fratura. A sua formulação matemática tem sido desenvolvida com base na geometria euclidiana, levando em conta apenas a area projetada da superfície de fratura. Porém, as superfícies geradas por uma fratura são na maioria das vezes irregulares ou rugosas e de difícil descrição matemática, o que tem limitado a MFC na descrição do fenômeno da fratura real. A teoria fractal trata da descrição de estruturas geométricas irregulares como as superfícies de fratura. Ela sugere uma revisão dos conceitos da MFC que inicialmente foram estabelecidos com base na geometria euclidiana. Por meio da teoria fractal, é possível contornar os problemas existentes na descrição geométrica euclidiana da fratura com a finalidade de proporcionar uma descrição mais autêntica do fenômeno. A principal preocupação é entender como a teoria fractal se insere neste contexto. A partir da introdução da geometria fractal na descrição da superfície rugosa é possível, do ponto de vista teórico, entender, com mais clareza, os processos de dissipação da energia na fratura. A rugosidade existente na superfície de fratura pode ser vista como um processo de interação da ponta da trinca com a microestrutura do material, e também como um processo de dissipação de energia.
2.0 - O modelamento fractal da fratura O método sand-box [1] de determinação da dimensão fractal é conveniente ao estudo do crescimento de trincas pois ele admite uma origem fixa O (ponto onde o fractal se iniciou) e medidas de comprimento projetado Lr que se ampliam a partir deste ponto como está esquematizado na Figura - 1. Este método, apesar de ser comumente usado sobre uma estrutura fractal já formada, pode ser adequado ao estudo da propagação da fratura
sem abrir mão da sua dinâmica. Escolhendo-se como origem fixa o ponto em que se iniciou a trinca e considerando o comprimento projetado Lr ampliado sucessivamente, de forma a acompanhar de maneira figurada a fronteira da trinca, obtém-se uma descrição dinâmica a partir da fratura produzida em um ensaio. a)
1
2
O b)
L1 u
L2
Lf
3
L3
L
Figura - 1. Medida da dimensão fractal de uma estrutura longitudinal (trinca). a) Seccionamento da estrutura em medidas de comprimento projetado Lr ampliados desde uma origem O fixa, e múltiplos de um valor unitário u. b) Segmento de valor unitário u utilizado como “régua de medida” para determinação do comprimento projetado Lr e real Lf.
A medida real Lf da estrutura fractal é dada pela relação abaixo [2]: Lf = Lr rE-D ,
(1)
onde E é a dimensão euclideana da projeção que no caso de uma linha reta é E =1. D é a dimensão fractal da estrutura e r é a resolução da medida, que na teoria matemática de fractais pode ter qualquer valor. Contudo, no caso de fractais físicos esta resolução é limitada superior e inferiormente [3], por causa da semente que gera o fractal e do tamanho macroscópico da estrutura. Escolhendo-se convenientemente a resolução, r, na determinação do comprimento da fratura Lf como sendo a razão entre o segmento u utilizado como “régua” e o comprimento Lr , ou seja: r = (u/Lr)1/E, o comprimento projetado da trinca Lr que acompanha instantaneamente a sua fronteira, torna-se consequentemente uma função do tempo, isto é, Lr = Lr(t). Portanto o comprimento real da trinca, de acordo com a equação (1), também passa a ser descrito por uma função: Lf = Lf(t)
(2).
A partir deste resultado é que a MFC podem ser reescritas via geometria fractal generalização da MFC via geometria fractal é evidenciando a superfície real de fratura ao invés da efetuada. superfície projetada [5]. A partir da derivada em relação ao tempo desta equação, deduz-se, para o Ac caso de propagação instável, uma relação entre a Ar velocidade de propagação da fratura real e a a) velocidade da fratura projetada (aquela normalmente medida nos experimentos da MFC). Ac Af Inserindo esta equação juntamente com a expressão Ar da velocidade real de fratura obtida, no formalismo b) matemático da propagação instável de trincas, obtém-se uma teoria dinâmica da fratura para o Figura - 2. Escalonamento de uma trinca usando o “tamanho crítico de Griffith” como uma régua de medida do caso em que a superfície rugosa é computada [5]. comprimento real da trinca Af. a) caso - 1: uma trinca em linha reta, caso não-fractal E = D; b) caso - 2: uma trinca nãoretilínea, caso fractal E D.
Para o caso bi-dimensional, a relação entre área projetada Ar e a área rugosa Af, conforme esquematizado na Figura - 2, é dada de forma análoga à equação (1): Af = ArE - D ,
(3)
onde E é a dimensão euclidiana da área projetada (lisa) de fratura, D é a dimensão fractal da área verdadeira (rugosa) de fratura. A semente fractal para o caso da fratura é escolhida adequadamente como sendo o tamanho da área da fratura crítica, Ac, dada pelo balanço energético de Griffith [4], ou como sendo a face fraturada de um poliédro de mínima energia de fratura mineff, que corresponderá ao o limite inferior de resolução de uma trinca real, dentro do nível hirarquico de estrutura sob consideração. Portanto a precisão da medida r da trinca fica sendo: r (Ac/Ar)1/E ,
(4)
3.0 - Discussão e Conclusão O procedimento descrito acima é uma abordagem inédita ao problema da propagação da trinca e que é objeto detalhado da tese de doutoramento em elaboração. Ao longo do trabalho de doutorado, está sendo explorado todas as implicações matemáticas da introdução da geometria fractal na MFC inclusive com simulações em computador e ensaios experimentais.
4.0 - Referências bibliográficas [1]. Armin Bunde, Shlomo Havlin, Fractals in Science, Springer-Verlag 1994. [2] Rodrigues, José Anchieta; Pandolfelli, Victor Carlos, “Insights on the fractal-fracture behaviour relationship”, Materials Research, Vol.1, No. 1, 47-52, 1998. [3] Tanaka, M. Fracture toughness and crack morphology in indentation fracture of brittle materials. Journal of Materials Science 31,749755,1996. [4] Anderson, T. L. FRACTURE MECHANICS, fundamentals and applications, CRC Press, 2th Edition, 1995. [5] Alves, Lucas Máximo; Mokross, Bernhard Joachim, Modelamento Dinâmico da Propagação de trincas em Materiais Frágeis, I Simpósio da Interunidades de Ciências e Engenharia de Materiais SICEM-98, de 2 a 4 de Setembro, CETEPE, EESC-USP-São Carlos, Sessão 2, Comunicação ORAL, 03/09/98, 12:15hs, Sala 1, In: Anais .. p. 30, 1998.
onde Ac = 2/fY(), é o módulo elástico, f é a tensão de fratura local e Y() é uma função geral que depende da forma da falha crítica de área Ac e da sua posição no interior do material. O procedimento descrito no parágrafo anterior evita qualquer arbitrariedade na escolha da “régua” de tamanho u mencionada anteriormente e ainda inclui propriedades microestruturais do O estudante agradece ao programa PICDT-CAPES material dado pelo tamanho crítico de Griffith. pela concessão de uma bolsa de estudo. Substituindo-se (4) em (3) a área verdadeira tornase uma função da área projetada e do tempo, ou seja: Af (t) = Ar(t)[Ac/Ar(t)](E - D)/E,
(5)
Com a equação (5) todas as equações da
