A Introdução da Teoria Fractal na Mecânica da Fratura Clássica

SICEM 99 Interunidades -USP São Carlos

A Introdução da Teoria Fractal na Mecânica da Fratura Clássica Lucas Máximo Alves (Doutorando)

Orientador: Bernhard Joachim Mokross Co-Orientador: José de Anchieta Rodrigues São Carlos - 1999

1

I) O MODELO FRACTAL DA SUPERFÍCIE DE FRATURA AR

AR = AP2 - D

(1) AP

c P0 TP a) cR0 c P0

TR TP

b) Figura - 1. Escalonamento de uma trinca usando o tamanho crítico de Griffith como régua de medida a) caso - 1: uma linha reta (não-fractal), D = 1; b) caso -2: uma linha não-reta (fractal), 1  D  2. TR = TP1 - D

(2)

 c P0      TP 

(3)

cP0 = 2effE/fY()

(4)

 c P0  TR = TP    TP  2

1 D

(5)

II) FRATURA ESTÁVEL A taxa de energia elasto-estática liberada, GE, é definida como: GPE 

d (F - U) dA P

(6)

F  Xdu é o trabalho realizado pela força externa X, U é a energia gasta para formar as superfícies de fratura, AP é a área projetada da fratura. GRE

d  (F - U) dA R

d d G E= (F - U) A dA R dA P R P

P

G E=

GRE

d T dTP R

 c P0  d T = D  dTP R  TP 

(7)

(8)

(9)

1 D

 c P0  GRE = GPE / D    TP 

(10)

1 D

(11)

O critério de fratura de Griffith é dado por: GPE  RP

(12)

GREC (TP cP0) = GPEC = RP

(13)

onde RP  dU/dAP

3

 c P0  RP = GRE D    TP 

1 D

(14)

11 10

D = 1,0 D = 1.1 D = 1.3

E

Taxa de Energia Elástica Liberada GR (Joules/m2)

cujo gráficos de (11) e (14) são:

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

2

4

6

8

10

Comprimento da Trinca T (mm) P

100

D = 1,0 D = 1,3 D = 1,7

P

Curva - R (Joules/m2)

80

60

40

20

0 0

2

4

6

8

Comprimento da Trinca T (mm) P

4

10

III) FRATURA INSTÁVEL OU DINÂMICA

A taxa de energia elasto-dinâmica liberada, GD, é definida por: GPD =

d [F - (U + T)] dA P

(15)

T é a energia cinética de propagação da trinca.

d  [F - (U + T)] dA R

(16)

d d = [F - (U + T)] A dA R dA P R

(17)

GRD

GPD

GPD = GRD

VR VP

P  c 0 VR = D  VP  TP 

(18)

1 D

(19)

 c P0  GRD = GPD / D    TP 

1 D

(20)

De acordo com a aproximação de Freund nós temos que: GPD = GPE (1 -

VP ) cr

onde cr é a velocidade das ondas Rayleigh no material.

5

(21)

 c P0  V GRD = GPE (1 - P )/ D    TP  cr

1 D

(22)

A versão dinâmica para o critério de fratura de Griffith é dado por: GPD  RP

(23)

GRDC (TP cP0 , VP 0) = GPEC = RP

(24)

onde RP  dU/dA

IV) O PRINCÍPIO DA MÁXIMA DISSIPAÇÃO DE ENERGIA O excesso no fluxo de energia na ponta da trinca é dado por: M(VP) = (GRD - Rp)VP

(25)

De acordo com alguns autores o caminho seguido pela trinca é aquele que maximiza o excesso de energia M(VP), onde:



M(VP)ds =





(GRD - Rp)VPds

(26)



maximizando a expressão (26) em relação a VP temos:

 c P0  cr VP = [1 - P D   G E  TP  2 RP

1 D

]

(27)

de acordo com (19) temos:

 c P0  cr VR = [1 - P D   G E  TP  2 RP

substituindo (27) em (22) temos: 6

1 D

 c P0  ]D    TP 

1 D

(28)

 c P0  GRD = 1/ 2 [GPE / D    TP 

1 D

+ RP]

(29)

V) A INATINGIBILIDADE DA VELOCIDADE DAS ONDAS DE RAYLEIGH POR UMA TRINCA De acordo com o modelo de trinca ramificada de Xie-Heping a dimensão fractal, D, é dada por: D = ln3/ln(2cos)

(30)

De acordo com Slepyan o angulo de desvio de uma trinca é dado por:  = máxcos(wt)

(31)

substituindo (31) em (30) temos: D(t) = ln3/ln[2cos(máxcos(wt))]

(32)

substituindo (32) em (27) temos:

 c P0  cr VP = [1 - P D(t)   GE 2  TP  RP

1 D ( t )

]

(33)

logo (28) torna-se: P  c 0 c VR = r [1 - P D(t)   GE  TP  2

RP

1 D ( t )

 c P0  ] D(t)    TP 

1 D ( t )

(34)

e (29) torna-se:

 c P0  GRD = 1/ 2 [GPE / D(t)    TP 

1 D ( t )

Os gráficos de (33), (34) e (35) são:

7

+ R P]

(35)

400

P

Velocidade de Propagação V (m/s)

500

300

Vp(0.001/Tp,D(t)) Vp(0.01/Tp,D(t)) Vp(0.05/Tp,D(t)) Vp(0.5/Tp,D(t))

200

100

0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Comprimento da Trinca T (mm)

VR(0.001/Tp,D(t)) VR(0.01/Tp,D(t)) VR(0.05/Tp,D(t)) VR(0.5/Tp,D(t))

5000

R

Velocidade de Propagação V (m/s)

P

4000

3000

2000

1000

0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

Comprimento da Trinca T (mm) P

8

1,0