A relatividade da simultaneidade e a solução do paradoxo dos gêmeos.

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EXPLICAÇÃO DETALHADA DA SOLUÇÃO DO PARADOXO.

O paradoxo parece se estabelecer devido a seguinte questão: Como pode o tempo estar dilatado para ambos os observadores? Devido ao fenômeno da dilatação do tempo, somente durante a viagem, ou seja, enquanto eles estiverem em movimento relativo, cada gêmeo “verá” o relógio do outro funcionar num ritmo mais lento que o seu e vice-e-versa, uma vez que cada um deles estará em movimento em relação ao outro e vice-e-versa. Em seus respectivos referenciais inerciais cada um deles mede o chamado “tempo próprio”, pois em relação a cada um deles, o seu relógio neste referencial estará em repouso enquanto o relógio do seu irmão no outro referencial estará em movimento. Considere que no instante 𝑡 = 𝑡 ′ = 0 dois sistemas de referência inerciais e S e S’ possuem eixos e origens coincidentes, e que S’ se movimente com velocidade 𝑣 em relação à 𝑆. O intervalo espaço-temporal entre dois acontecimentos (considerando um deles como origem dos referenciais adotados) é uma quantidade invariante pelas transformações de Lorentz, sendo definido por:

𝑠2 = 𝑐2𝑡 2 − 𝑥 2 − 𝑦2 − 𝑧 2

(A1)

Partindo da equação (A1) para o movimento na direção 𝑥 , podemos escrever:

𝑐 2 𝑡 2 − 𝑥 2 = 𝑐 2 𝑡′2 − 𝑥′2

(A2)

Da definição de velocidade, temos:

(A3)

𝑥 = 𝑣𝑡 𝑥 ′ = −𝑣𝑡′

(A4)

Aplicando o conceito de tempo próprio no referencial S, temos:

𝑐 2 𝑡 2 = 𝑐 2 𝑡′2 − 𝑥′2

(A5)

Substituindo a equação (A4) em (A5) temos:

𝑣2 𝑐 𝑡 = 𝑐 𝑡′ (1 − 2 ) 𝑐 2 2

2 2

(A6) 1

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Logo:

𝑡 = γ 𝑡′

(A7)

Aplicando o conceito de tempo próprio agora no referencial S’, temos conforme podemos ver nas figuras 1 e 2: 𝑡𝑐′ (A8) 𝑥 = =𝑣𝜏γ (𝑡𝑏 𝑣𝑥𝑐 − 2) 𝑐 (A9) 𝑐 2 𝑡′2 = 𝑐 2 𝜏 2 − 𝑥 2

Substituindo a equação (A8) em (A9) temos:

𝑣2 𝑐 𝑡′ = 𝑐 𝜏 (1 − 2 ) 𝑐 2 2

(A10)

2 2

Logo:

𝑡′ = γ 𝜏

(A11)

Como podemos ver as equações (A7) e (A11) só seriam incompatíveis se 𝜏 = 𝑡. 𝑡′ Vamos considerar a viagem de um dos 𝑐gêmeos para o planeta Gliese 581 C distante = γ (𝑡𝑏 𝑥 ∗ anos-luz da Terra em uma espaçonave que se move com uma velocidade da 𝑣𝑥𝑐 − outro ) gêmeo permanece na Terra, conforme ordem da velocidade da luz enquanto o 𝑐2 mostrado nas figuras 1 e 2. Os eventos marcados nas figuras são simplesmente as indicações de relógios fisicamente idênticos na espaçonave, na Terra e no planeta Gliese 581 C em determinados pontos da viagem. Imagine que existe uma régua rígida fixada entre a Terra e Gliese 581 C. Consideremos ainda que a Terra está praticamente parada em relação à Gliese 581 C porque as velocidades envolvidas nos movimentos dos planetas são desprezíveis quando comparadas com a velocidade da espaçonave que é da ordem da velocidade da luz.

* Gliese 581 C (apelidado pelos astrônomos de "Super Terra") é um planeta extrassolar que orbita a estrela anã vermelha Gliese 581 da constelação de Libra, localizado a 20,5 anos-luz da Terra. A estrela em que gira ao redor possui 1/3 da massa do Sol e emite 50 vezes menos energia. Este planeta aparenta orbitar na zona habitável, tal como a Terra no sistema solar, o que significa que poderá conter água no estado líquido. É o primeiro planeta extrassolar possivelmente habitável encontrado na história.

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Antes da partida, os relógios da Terra, do planeta Gliese 581 C e da espaçonave estão todos sincronizados, uma vez que estão em um referencial inercial comum e no momento da ignição da espaçonave todos os relógios são zerados. Relógios simultâneos são aqueles que estão no mesmo plano de simultaneidade (instantânea ou permanentemente), podendo estar sincronizados ou não e zerados ou não. Relógios sincronizados são aqueles fisicamente iguais e permanentemente simultâneos, pois seus ritmos são sempre iguais, ou seja, estão no mesmo referencial inercial e são estacionários entre si podendo estar zerados ou não. Relógios zerados significa que apresentam uma mesma indicação em um determinado momento, sendo que estes podem estar sincronizados ou não. Consideremos ainda que o período de tempo de aceleração, por exemplo, alguns dias não é significativo em comparação com o tempo total de viagem que é da ordem de vários anos e assim podemos desconsiderá-lo por simplificação sem alterar o resultado final do problema.

Figura 1- Diagrama espaço-tempo no referencial da Terra de uma viagem de um dos gêmeos para o planeta Gliese 581 C distante 𝑥 anos-luz da Terra em uma espaçonave que se move com uma velocidade da ordem da velocidade da luz enquanto o outro gêmeo permanece na Terra.

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Figura 2- Diagrama espaço-tempo no referencial da espaçonave, de uma viagem de um dos gêmeos para o planeta Gliese 581 c distante 𝑥 anos-luz da Terra. Neste referencial a espaçonave está parada e a Terra, a régua e Gliese 581 c estão se movendo com uma velocidade da ordem da velocidade da luz.

Dessa forma, logo após o período de aceleração, podemos admitir que os relógios da Terra e da espaçonave ainda estão aproximadamente zerados, pois a mesma ainda está próxima à Terra, isso considerando o percurso total. O evento A indica o final do período de aceleração da espaçonave em relação à Terra e vice-e-versa, isto é, o fim do período de aceleração da Terra em relação a espaçonave. No referencial da Terra e do planeta Gliese 581 C, mesmo depois da aceleração, os relógios ainda estarão todos sincronizados, pois, como vimos acima, eles são praticamente estacionários entre si neste referencial. Também não haverá mudança nas distâncias entre os planetas neste referencial. No entanto, como pode ser visto na figura 2, no referencial da espaçonave, os planetas, a régua e os relógios estarão 4

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se movendo em relação à espaçonave com uma velocidade da ordem da velocidade da luz e, portanto, as distancias entre os planetas estarão contraídas neste referencial. Partindo da Transformação inversa de Lorentz para o espaço, sabemos que ambos os gêmeos deverão concordar que 𝑥 é um comprimento próprio, pois a régua estará em repouso no referencial da Terra e em movimento no referencial da espaçonave e, portanto para calcularmos 𝑥 ′ temos que realizar as medidas em S’ simultaneamente, assim basta fazermos 𝑡 ′ = 0 na equação (A55): (A12)

𝑥 = − γ𝑥 ′ ′ Substituindo as equações (A3) e (A4) 𝑡em (A12) temos: 𝑐 𝑣𝑥𝑐 = γ (𝑡𝑏 − 2 ) 𝑐

(A13)

𝑣𝑡 = γ𝑣𝑡′

Logo:

𝑥 ′ 𝑡 = γ 𝑥′𝑡′

(A14)

𝑡 = γ 𝑡′

(A15)

Vemos pelo resultado acima que não existe paradoxo algum, pois os dois gêmeos concordam com a equação (A15) que mostra que o gêmeo da nave estará mais jovem ao retornar, uma vez que, a distância a ser percorrida na viagem estava contraída para ele e a velocidade é a mesma em ambos os referenciais. Logo podemos argumentar que é a diferença de percursos dos gêmeos em seus respectivos referenciais inerciais a verdadeira assimetria neste problema e não a aceleração em si, ou a mudança de referenciais, etc. Neste ponto cabe a seguinte questão: como podem ambos os gêmeos concordarem com as suas respectivas idades no reencontro na Terra quando cada um deles apurou um intervalo de tempo menor que o do outro gêmeo enquanto estavam em movimento nos seus respectivos referenciais inerciais como mostram as equações (A7) e (A11)? Veremos a seguir que a chave para entender porque não existe paradoxo está na relatividade da simultaneidade, visto que, estas medidas só seriam incompatíveis se fossem simultâneas o que não é o caso. Para explicar esta questão vamos considerar o evento F que é o inicio do período de desaceleração. Pelas figuras 1 e 2, podemos ver que os eventos E e F são simultâneos para o gêmeo da Terra, mas não são simultâneos para o gêmeo da espaçonave que se move em relação à Terra. Para este último são simultâneos os 5

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eventos F e D. Aplicando o conceito de tempo próprio no referencial S’, onde substituímos a equação (A11) em (A15) e eliminando 𝑡′ temos:

𝑡 = γ2 𝜏

(A16)

Substituindo a equação (A46) em (A16) temos: 𝑡𝑐′ = γ (𝑡 1𝑏 −

𝑡 =

𝑣𝑥𝑐 ) 𝑐2

𝑣2 (1 − 2 ) 𝑐

𝜏

(A17) (37)

𝑡 𝑣2 𝑡 − 2 = 𝜏 𝑐 𝑡− 𝜏=

(A18)

(𝑡𝑣)𝑣 𝑐2

(A19)

Substituindo a equação (A3) em (A19) temos:

𝑡−𝜏 =

𝑣𝑥 𝑐2

(A20)

𝑡 =𝜏+𝛿

(A21)

Como podemos ver pela equação acima, a variável 𝛿, conforme pode ser visto pela equação (A21) é a perda de sincronismo 𝑡𝑐′ com o horário da partida no referencial da espaçonave e é isso que compensa a possibilidade dos ritmos iguais apurados por = γ (𝑡𝑏 ambos os gêmeos enquanto em movimento 𝑣𝑥𝑐 relativo de forma a manter a perfeita − 2) simetria das equações de Lorentz. 𝑐 Podemos observar pela figura 2 que, em relação ao referencial da espaçonave, todas as indicações dos relógios no referencial da Terra estarão dessincronizadas entre si devido ao movimento. Esta perda de sincronismo não ocorre abruptamente e sim progressivamente em função do aumento da velocidade durante o período de aceleração e da distância ao relógio considerado, ou seja, quanto mais rápido e mais distante da nave estiver do relógio em questão no outro referencial mais dessincronizado ele estará. Na desaceleração ocorre o inverso e os relógios 6

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distantes voltam a se sincronizarem progressivamente conforme a velocidade diminui. Quando cada um dos gêmeos aplica a transformação de Lorentz do tempo, eles estão comparando a indicação de seu relógio, isto é, um tempo próprio em seu respectivo referencial inercial, com a indicação de outro relógio idêntico que é simultâneo a ele no referencial de seu irmão. Portanto, para o gêmeo na espaçonave, a indicação de um relógio na Terra que está a uma distância 𝑥 da espaçonave (indicado nas figuras 1 e 2 pelo evento D) e é simultânea à indicação de um relógio na espaçonave (evento F), não é mais simultânea aos relógios que ainda estão sincronizados com o horário do início da viagem no referencial da Terra (evento E). Dessa forma o fato do ritmo do tempo ser menor para ambos os gêmeos nos seus respectivos referenciais enquanto eles estiverem em movimento não implica em uma incompatibilidade física uma vez que estas indicações não são mais simultâneas entre si, pois os eventos que cada observador considera serem simultâneos não são mais os mesmos em ambos os referenciais inerciais. Logo, para comparar a idade que os gêmeos terão quando se reencontrarem novamente, a qualquer momento, enquanto eles estiverem em movimento, é necessário levar em conta a perda de sincronismo 𝛿 com o horário da partida da viagem somente no referencial da espaçonave, uma vez que no referencial da Terra os relógios ainda estarão todos sincronizados entre si com o horário da partida porque neste último referencial eles são todos estacionários uns em relação aos outros. Agora é possível ver claramente que não existe incompatibilidade entre as equações (A7) e (a11). Pelas figuras 1 e 2 podemos ver que a variável 𝑡, que é um tempo próprio no referencial da Terra, não é igual à variável 𝜏, que é o intervalo de tempo após a partida da espaçonave no referencial da Terra, calculado pelo gêmeo da espaçonave a partir da aplicação da transformação de Lorentz (inversa) ao seu tempo próprio medido desde o início da viagem. Assim, a variável 𝑡 é fisicamente a indicação de um relógio na Terra que está a uma distância de 𝑥 unidades de comprimento da espaçonave e que é simultânea a indicação 𝜏′ do relógio da espaçonave no referencial desta última ou, em outras palavras, estes relógios estão no mesmo plano de simultaneidade, isto é, são simultâneos entre si. O erro frequente cometido é confundir as variáveis 𝜏 e 𝑡, que como pode ser observado nas figuras 1 e 2 estão em planos de simultaneidades diferentes no referencial S enquanto os gêmeos estiverem em movimento. Observe que a espaçonave estará sempre na interseção dos planos de simultaneidade de ambos os referenciais, que está indicado pelo evento F nas figuras 1 e 2, isto é, neste ponto, temos 𝛿 = 0 e 𝑥 = 0. Portanto, a indicação de um relógio ligado ao referencial da Terra nesse ponto do espaço-tempo manterá a sincronização com a hora de partida da viagem. Observe ainda que este relógio estará em movimento em relação à espaçonave, e cruzará com a mesma neste instante. Essa é 7

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a razão pela qual na partida e na chegada da espaçonave, a aceleração e a desaceleração não causam mudanças nas idades do reencontro dos gêmeos. Pelo exposto acima, podemos concluir que não há nenhum paradoxo.

DEDUÇÃO DAS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Partindo das transformações de Galileu (TG):

𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑣𝑡

(A22)

𝑦′ = 𝑦

(A23)

𝑧′ = 𝑧

(A24)

As transformações de Lorentz (TL) são um conjunto de equações que relacionam as coordenadas de um referencial inercial para outro que esteja em movimento em relação ao primeiro mantendo a mesma forma das frentes de onda de um pulso eletromagnético em ambos, logo elas devem atender as equações (A4) e (A5) abaixo:

𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2 = 𝑐2𝑡 2

(A25)

𝑥′2 + 𝑦′2 + 𝑧′2 = 𝑐 2 𝑡′2

(A26)

A TL é linear porque as frentes de onda se movem com velocidade constante e quando 𝑥 ′ = 0 temos 𝑥 = 𝑣𝑡 logo podemos escrever:

𝑥 ′ = 𝛾 (𝑥 – 𝑣𝑡)

(A27)

𝑡 ′ = 𝛼 𝑡 + Ω𝑥

(A28)

Substituindo as equações (A27) e (A28) em (A26):

𝛾 2 (𝑥 – 𝑣𝑡)2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑐 2 (𝛼𝑡 + Ω𝑥)2 = 0

(A29)

Reescrevendo a equação (A25):

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𝑦2 + 𝑧 2 = 𝑐2𝑡 2 − 𝑥 2

(A30)

Substituindo a equação (A30) em (A29):

𝛾 2 (𝑥 2 − 2𝑥𝑣𝑡 + 𝑣 2 𝑡 2 ) + 𝑐 2 𝑡 2 − 𝑥 2 − 𝑐 2 (𝛼 2 𝑡 2 + 2𝛼Ω𝑥𝑡 + Ω2 𝑥 2 ) = 0

(A31)

Rearranjando os termos comuns:

(𝛾 2 − 𝑐 2 Ω2 − 1)𝑥 2 − 2(𝛾 2 𝑣 + 𝑐 2 𝛼Ω)𝑥𝑡 + (𝛾 2 𝑣 2 − 𝑐 2 𝛼 2 + 𝑐 2 )𝑡 2 = 0

(A32)

Para resolver a equação (A32), seus coeficientes deverão ser zero, logo:

𝛾 2 𝑣 + 𝑐 2 𝛼Ω = 0

(A33)

𝛾 2 + 𝑐 2 Ω2 = 1

(A34)

𝑣2 2 𝛼 − 2𝛾 =1 𝑐

(A35)

2

Rearranjando a equação (A33):

𝛾2 = −

𝑐2 𝛼Ω 𝑣

(A36)

Substituindo a equação (A36) em (A34):

−𝑐 2

Ω (𝛼 + 𝑣Ω) = 1 𝑣

(A37)

Substituindo a equação (A36) em (A35):

𝛼 2 + 𝑣𝛼Ω = 1

(A38)

9

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𝛼(𝛼 + 𝑣Ω) = 1

(A39)

Substituindo a equação (A39) em (A37):

𝑐2 𝛼=− Ω 𝑣

(A40)

Substituindo a equação (A40) em (A36): (A41)

𝛾2 = 𝛼2

Substituindo a equação (A41) em (A35):

𝑣2 𝛾 (1 − 2 ) = 1 𝑐

(A42)

2

Rearranjando a equação (A40):

Ω=−

𝑣 𝛼 𝑐2

(A43)

Substituindo a equação (A41) em (A43):

Ω=−

𝑣 𝛾 𝑐2

(A44)

Substituindo as equações (A41) e (A44) em (A28):

𝑡 ′ = 𝛾(𝑡 −

𝑣 𝑥) 𝑐2

(A45)

O parametro 𝛾 (gama) é conhecido como Fator de Lorentz, assim rearranjando a equação (A42):

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𝛾 =

Para baixas velocidades:

1

(A46) 2

√1 − 𝑣 2 𝑐 𝑣≪𝑐 𝑣2 ≅0 𝑐2 𝛾 = 1

Logo retornamos as TG. Como na TRR só existem movimentos relativos e não existem referenciais privilegiados, todos os observadores inerciais são equivalentes. Assim as TL deverão ser simétricas entre referenciais inerciais (invertendo-se o sinal da velocidade). Partindo de (A6) e (A24) temos:

𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 𝛾

(A47)

𝑥′ 𝑥 = + 𝑣𝑡 𝛾

(A48)

𝑡′ 𝑣 = 𝑡 − 2𝑥 γ 𝑐

(A49)

𝑡′ 𝑣 𝑡 = + 2𝑥 γ 𝑐

(A50)

𝑥′ 𝑡′ 𝑣 𝑥 = + 𝑣 ( + 2 𝑥) 𝛾 γ 𝑐

(A51)

Eliminando-se 𝑡:

(A52)

𝑥 ′ 𝑣𝑡 ′ 𝑣 2 𝑥= + + 2𝑥 𝛾 γ 𝑐 𝑣2 𝑥 ′ 𝑣𝑡 ′ 𝑥 ( 1 − 2) = + 𝑐 𝛾 γ

(A53)

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𝑥 𝑥 ′ 𝑣𝑡 ′ = + 𝛾2 𝛾 γ

(A54)

𝑥 = 𝛾 (𝑥 ′ + 𝑣𝑡 ′ )

(A55)

Eliminando-se 𝑥 :

𝑡′ 𝑣 𝑥′ 𝑡 = + 2 ( + 𝑣𝑡) γ 𝑐 𝛾

(A56)

𝑡 ′ 𝑣𝑥 ′ 𝑣 2 𝑡 = + 2+ 2𝑡 γ 𝛾𝑐 𝑐

(A57)

𝑣2 𝑡 ′ 𝑣𝑥 ′ 𝑡( 1 − 2 ) = + 2 𝑐 γ 𝛾𝑐

(A58)

1 𝑡 ′ 𝑣𝑥 ′ 𝑡 2= + 2 𝛾 γ 𝛾𝑐

𝑡 = 𝛾(𝑡 ′ +

(A59)

𝑣 ′ 𝑥) 𝑐2

(A60)

As equações (A55) e (A60) acima são conhecidas como Transformações Inversas de Lorentz.

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