A TEORIA DA PLASTICIDADE
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Capítulo –X A TEORIA DA PLASTICIDADE RESUMO Neste capítulo será visto
10. 1 - Objetivos do capítulo i) Entender
10. 2 - Introdução
359
10. 3 – Conceitos Básicos
2.2.1 – O Vetor Tensão e o Tensor Tensão Considere e tensor das tensões dado por:
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
(10. 1)
Onde o tensor das tensões é simétrico
ij ji
(10. 2)
Figura - 10. 1.
O vetor tensão no plano ABC é dado por:
t1 t2 t 3 n
(10. 3)
e n é o vetor unitário normal ao plano ABC
360
n1 n n2 n3
(10. 4)
t1 11 12 13 n1 t2 21 22 23 n2 t 3 31 32 33 n3
(10. 5)
ti ji n j
(10. 6)
e
Onde
Figura - 10. 2.
361
2.2.2 – Tensões e Direções Principais As tensões principais em um meio contínuo são definidas como:
Figura - 10. 3.
Figura - 10. 4.
t n
(10. 7)
escolhendo um valor de escalar e tomando t na direção de n , temos:
ji n j ni 0
(10. 8)
e
ji
ij n j 0
Logo
362
(10. 9)
ji ij 0
(10. 10)
Então
11 21 31
12 13 22 23 0 32 33
(10. 11)
Onde são as tensões principais. Logo
11 12 13 21 22 23 0 31 32 33
(10. 12)
Desta forma obtemos a equação característica:
3 I1 2 I 2 I 3 0
(10. 13)
Onde I1 , I 2 e I 3 são os invariantes do estado de tensão. I1 11 22 33
(10. 14)
2 I 2 11 22 22 33 33 11 122 23 132
(10. 15)
2 I 3 11 22 33 11 23 22 132 332 122 2 12 23 13
(10. 16)
e
e
363
2.2.3 – Tensor Tensão Desviador e Tensor Tensão Hidrostático
Figura - 10. 5.
1 ij kk ij sij 3
(10. 17)
Onde o tensor hidrostático é dado por: 1 ij kk ij 3
(10. 18)
e sij
2.2.4 – Estado de Tensão Hidrostático O estado de tensão hidrostático é definido como:
0 m 0 ij 0 m 0 0 0 m
(10. 19)
e
m
11 22 33 I1 3 3
364
(10. 20)
Figura - 10. 6.
2.2.4 – Estado de Tensão Desviador
s11 sij s21 s31
s12 s22 s32
s13 s23 s33
(10. 21)
onde 1 sij ij kk ij 3
365
(10. 22)
Figura - 10. 7.
2.2.4 – Estado de Cisalhamento Puro Um estado de tensão é dito ser de cisalhamento puro se existem eixos x '1 , x'2 e x '3 tais que:
1'1' 2'2' 3'3' 0
(10. 23)
e
i' j'
0 1'2' 1'3' 2'1' 0 2'3' 3'1' 3'2' 0
366
(10. 24)
Figura - 10. 8.
A condição necessária e suficiente para um estado mde tensão ser de cisalhamento puro é: I1 0 ii 0
(10. 25)
O estado de tensão desviador corresponde a um estado de tensão de cisalhamento puro. 1 sij ij kk ij 3
(10. 26)
11 22 33 2 11 22 33 3 3 11 22 33 2 22 11 33 s22 22 Sii 0 3 3 11 22 33 2 33 11 22 s33 33 3 3
(10. 27)
e s11 11
Existem eixos x '1 , x '2 e x '3 tal que s1'1' s2'2' s3'3' 0 Tensões Principais do Estado de Tensão Desviador sij s ij 0
Onde s são as tensões principais do estado de tensão desviador A equação característica do Estado Desviador é dada por: 367
(10. 28)
s1 s 3 J 1 s 2 J 2 s J 3 0 s2 s 3
(10. 29)
J1 , J 2 e J 3
(10. 30)
onde
São os invariantes de tensor desviador. O primeiro invariante J1 s11 s22 s33 s1 s2 s3
(10. 31)
E o segundo invariante 1 1 2 sij s ji s11s22 s22 s33 s33 s11 s122 s23 s132 2 2 1 s12 s22 s32 2
J2
(10. 32)
E o terceiro invariante 2 2 J 3 s11s22 s33 s11s23 s22 s13 s332 s122 2 s12 s23 s13
(10. 33)
1 sij s jk ski s1s2 s3 3
Tensões Octaédricas O plano octaédrico é o plano cuja normal forma ângulos iguais com os eixos principais de tensão
368
Figura - 10. 9.
oct , oct tensões octaédricas
(10. 34)
toct oct oct
(10. 35)
e
e 1 nT 3
1 3
1 3
(10. 36)
e
1 0 toct 0 2 0 0
0 0 3
1 1 3 3 1 2 3 3 1 3 3 3
(10. 37)
Onde a componente na direção n é dada por:
oct toct .n
(10. 38)
E
369
oct
1 2 3 3
(10. 39)
Esta é proporcional ao primeiro invariante I oct m 1 3
(10. 40)
E a componente de cisalhamento é dada por: 2 2 oct toct oct
(10. 41)
Figura - 10. 10.
oct
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 9
(10. 42)
2 J2 3
(10. 43)
Como
oct É também um invariante
No estaco das tensões principais temos:
370
1 1 1 e , , 3 3 3
(10. 44)
e
(10. 45) e
ON .e
(10. 46)
I1 3 m 3 oct 3
(10. 47)
e
Logo
m , m , m
(10. 48)
r
(10. 49)
r 1 , 2 , 3 m , m , m s1 , s2 , s3
(10. 50)
r s1 s2 s3 2 J 2
(10. 51)
OP 1 , 2 , 3 ON m , m , m r NP s1 , s2 , s3
(10. 52)
e
e
onde
É outro invariante.
OP vetor de tensões do estado original; ON vetor de tensões do estado hidrostático; r NP vetor de tensões do estado desviador.
371
10. 4 – Introdução à teoria da plasticidade A teoria da plasticidade foi desenvolvida inicialmente para os metais. Seja a seguinte amostra metálica:
Figura - 10. 11.
O desecarregamento é sempre elástico, ou seja quando se descarrega a peça a curva será paralela a do carregamento na fase elástica.
Figura - 10. 12.
Se carregarmos a amostra, de G F, F se torna um novo ponto escoamento assim chamamos o trecho CD de trecho de endurecimento ou “strain hrdening”, pois se houver descarregamento voltando-se a qualque ponto pertencnte a este trecho, tem-se uma nova tensão de escoamento mmaior do que a do primeiro carregamento. Já o trecho DE, trecho de amolecimento, a nova tensão de escoamento será menor do que a anterior. A deformação total de um carregamento descarregamento é:
372
e
p
deformação recuperável ( elástica )
deformação irrecuperável ( plástica )
(10. 53)
Com o recarregamento (de G F) não ocorrerão deformações plásticas até que a tensão
n
atinja novamente o valor anterior do ponto F. Assim o ponto F pode ser considerado em um novo ponto de escoamento o que implica no endurecimento (“strain hardening”). OBS Porque o recarregamento não segue a trajetória original do carregamento, as defomações plásticas são dependentes da história de tensão. Por exemplo, os pontos H e I esão sob diferentes tensões elas apresentam o mesmo estado de deformação.
n
F A o
tensão nominal ou de engenharia
(10. 54)
area inicial da sec ção da amostra
e
deformação de engenharia
l lo lo
(10. 55)
F A
(10. 56)
e
tensão verdadeira
area real da sec ção da amostra
Em metais, e assumindo que as deformações volumétricas são nulas (incompressibilidade), isto é:
Ao .lo A.l
(10. 57)
logo
F F .l l n. A Ao .lo lo 373
(10. 58)
Portanto,
n .(1 )
(10. 59)
Esta é a relação entre a tensão verdadeira e a tensão nominal no ensaio uniaxial. No caso de deformações infintesimais, temos:
n
(10. 60)
A deformação verdadeira, também chamada de deformação natural introduzida por Ludwick (1909), é dada por:
dl l
(10. 61)
l dl ln l lo lo
(10. 62)
d Logo l
Seta é a deformação verdadeira para o caso unidimensional. Como l / lo 1 , logo:
ln1
(10. 63)
Esta é a relação entre a deformação natural e a deformação de engenharia. No caso de deformações infinitesimais, temos:
(10. 64)
Vamos agora estudar um efeito que existe em plasticidade de metais.
Efeito Bauschinger O efeito Baushinger é um efeito de histerese de deformação que acontece nos metias dúcteis, conforme mostra a Figura - 10. 13.
Figura - 10. 13.
374
Modelos Reológicos
375
Relações Empíricas (relações funcionais) para o caso 1D
1) Relação de Ludwick (1909)
o H . n onde
(10. 65)
o , H, n são parâmetros do material obtido por ajuste por mínimos quadrados com
resultados do ensaio uniaxial. Esta relação se aplica para um material rígido-plastico.
2) Relação de Vore (1948)
a (b a )(1 e n )
(10. 66)
Oonde a, b, n são constantes do material. Esta relação se aplica para um material rígidoplastico.
3) Relação de Swift
c(a ) n
(10. 67)
com 0 n 1 . Esta relação se aplica para um material rígido-plastico.
4) Relação de Prager
E n o tanh o
(10. 68)
onde E é o módulo de Young. Esta relação se aplica para um material elasto-plastico nãolinear.
5) Relação de Ramberg-Osgood n
k para o E E para o E Esta relação se aplica para um material elasto-plastico não-linear. 376
(10. 69)
6) Relação de Richard
E E p E p n 1/ n E E p
1
o
(10. 70)
Este modelo pode representar o amolecimento (“strain softening”). Esta relação se aplica para um material elasto-plastico não-linear.
Figura - 10. 14.
Maiores detalhes obre modelos funcionais 1D podem ser encontrados em: RICHARD, R. M. & ABBOT, B. J. (1975) – “Versatile Elastic-Plastic Stress-Strain Fórmula”, Technical Note, J. Enginerring Mechanics Division, ASCE, pp. 511-515. No caso do ensaio uniaxial, o ponto de escoamento pode ser bem determinado. Mas, o que aconteceria se diversas tensões, atuando em diversas direções, existir sobre determinado ponto material? Em outras palavras, a qual a combinação de tensões que usará o início do escoamento plástico? O critério para decidir qual a combinação de tensões é chamado de critério de escoamento. O primeiro passo em qualquer análise envolvendo fluxo plástico (i. e. deformações plásticas) é a seleção de um critério de escoamento adequado para o material em estudo. O próximo passo importante é como descrever o comportamento do material depois que o escoamento plástico iniciar (quais são as leis de fluxo?)
377
Critérios de Escoamento a) A Teoria de Rankine ou da tensão máxima O escoamento ocorre quando uma das tensões principais torna-se igal a tensão de escoamento o em tração ou compressão uniaxial. Para o caso 2D de tensão (3 = 0), teremos:
1 o
(10. 71)
e
2
c o escoamento a compressão
(10. 72)
Figura - 10. 15.
Este critério, no entanto, não condiz com as evidências experimentais observadas em ensaios com metais. Este critério foi abandonado.
b) Teoria de Saint-Venant ou da deformação máxima O escoamento ocorre quando o máximo valor da deformação principal igualar-se ao valor da deformação que, no ensaio uniaxial, corresponde a tensão de escoamento.
1
1 1 v 2 3 o E 378
(10. 73)
e
E 1 1 v 2 3 E o considerando
(10. 74)
3 0 , vem: E 1 1 v 2 o E 2 2 v 1 o
(10. 75)
Este critério também não condiz com os resultados experimentais.
Figura - 10. 16.
c) Critério de Tresca ou da Tensão de Cisalhamento O escoamento ocorre quando a máxima tensão de cisalhamento torna-se igual à tensão cisalhante observada no ensaio unidimensional e correpondente à tensão de escoamento o.
1 2 o 2 2
(10. 76)
1 3 o 2 2
(10. 77)
e
e
379
2 3 o 2 2
(10. 78)
No caso 2D de tensão (3 = 0), tem-se:
1 2 o
(10. 79)
1 o
(10. 80)
2 o
(10. 81)
e
e
Figura - 10. 17.
O critério de Tresca condiz bastante bem com os resultados experimentais sendo muito utilizado na prática. A desvantagem deste método é que as tensões principais ( 1 , 2 , 3 ) de vem ser calculadas antes.
Figura - 10. 18.
380
1 2 o
(10. 82)
r ( r ) o
(10. 83)
e
Logo
r
o 2
(10. 84)
A tensão de escoamento no caso de cisalhamento simples corresponde à metade do valor da tensão obtida no ensaio uniaxial.
d) Critério de Von Mises ou da energia de distorção A energia de deformação específica é dada por:
1 u o ij ij 2
(10. 85)
e a energia de distorção específica é dada por: 2
3 J 1 u d 2 D OCT ij ij 2G 4G 2
Figura - 10. 19.
381
(10. 86)
O escoamento ocorre quando a energia de distorção específica u d se igualar à energia de distorção no escoamento observado no ensaio uniaxial 1) Ensaio 3D
1 2 J2 o 3
(10. 87)
Logo, o critério de escoamento torna-se:
OCT 2
1 11 22 2 11 33 2 22 33 2 6 12 2 13 2 13 2 9
(10. 88)
e
3 2 J 2 D OCT 2
(10. 89)
1) Ensaio 2D Considerando o ensaio de tensão 2D ( 3 0 ) e somente as tensões principais, temos:
3 1 2 2 2 J 2 D . 11 22 12 21 2 9
(10. 90)
1) Ensaio 1D E para o estado de tensão
3 1 2 1 2 2 J 2D . o o o 2 9 3
(10. 91)
Logo, o critériode Von Mises é expresso como:
1 11 22 2 12 2 212 1 o 2 6 3
Que corresponde a equação de uma elipse no plano
1 2
12 1 2 2 2 o 2
382
(10. 92)
(10. 93)
Figura - 10. 20.
O critério de Von Mises é bastante utilizado na prática, não necessitando que as tensões princiapis sejam conhecidas a priori. O critério de Von Mises também pode ser expresso por esta expressão:
1 11 22 2 11 33 2 22 33 2 6 12 2 13 2 13 2 1 o 2 6 3
(10. 94)
No caso de cisalhamento simples, teremos:
Material Elastoplástico Perfeito
Postulado 1 : Existe uma função de escoamento f ij tal que: Material em regime elástico f ij 0 ou f ij 0 e f ij 0
(10. 95)
Material em regime plástico f ij 0 e f ij 0
(10. 96)
f 11 , 22 , 33 , 23 , 13 , 12 ou f 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3
(10. 97)
e
onde i são as tensões principais e i são os ângulos que definem as direções princiapais. Superfície de escoamento é dada por: 383
f ij 0
(10. 98)
Postulado 2 : O material é isotrópico se a função de escoamento é independente das direções e não muda com a permutação dos eicxos, ou seja, f é simétrica com relação às tensões principais.
f 1 , 2 , 3 f 2 , 1 , 3 f 1 , 3 , 2
(10. 99)
Logo a função de escoamento pode ser expressa em função dos invariantes
f f I1 , I 2 , I 3
(10. 100)
Postulado 3 : As tensões hidrostáticas não provocam escoamento:
f f s1 , s2 , s3 ou f f J 2 , J 3
(10. 101)
Ou
Figura - 10. 21.
Postulado 4: Os comportamentos à tração e á compressão são idênticos. O valor da tensão de escoamento não muda quando o sinal de todas as componentes de tensão são trocados. f ij f ij
384
(10. 102)
Geometria da superfície de Escoamento A superfície de escoamento é dada por:
r s1 , s2 , s3
(10. 103)
e a equação do plano desviador é dada por: .e 1i 2 j 3k
.
1 1 1 i j k 3 3 3
(10. 104)
Logo
1 1 2 3 1 2 3 3 3
(10. 105)
E o eixo hidrostático é dado por:
1 2 3
385
(10. 106)
Figura - 10. 22.
Neste caso temos:
f f 1 , 2 , 3
(10. 107)
NAD NDB NEB NEC NCF NFA
(10. 108)
É uma função simétrica e
Figura - 10. 23.
386
Critério de Escoamento de Tresca O critério de escoamento de Tresca corresponde ao critério de máxima tensão de cisalhamento e é válido para materiais dúcteis.
Figura - 10. 24.
Ele satisfaz o ciclo de Mohr
387
Figura - 10. 25.
max
2
(10. 109)
E a direção na qual o escoamento acontece para um material isotrópico é de 45º graus em relação a direção de tração.
Figura - 10. 26.
onde
max
K 2
(10. 110)
E K
Y 2
(10. 111)
Para o caso tridimensional temos:
388
Figura - 10. 27.
E 1 1 1 K Max 1 2 , 2 3 , 3 1 2 2 2
(10. 112)
Representaçào Geométrica do Critério de Tresca Tridimensional A representaçào geométrica do critério de Tresca é dado por: 1 1 1 f 1 , 2 , 3 Max 1 2 , 2 3 , 3 1 2 2 2
389
K 0
(10. 113)
Figura - 10. 28.
Bidimensional
Figura - 10. 29.
Figura - 10. 30.
390
max
max min Y 2 2
(10. 114)
Critério de Escoamento de Von Mises Ë o critério da Máxima Energia de Distorção. Este critério é válido para materiais dúcteis.
Figura - 10. 31.
As tensões principais podem ser decompostas conforme mostra a
Figura - 10. 32.
A deformação volumétrica é dada por:
391
V 1 2v 1 2 3 1 2 3 V E
(10. 115)
O estado hidrostático de tensão é dado por: V 3 1 2v 1 2v 1 2 3 V E E
(10. 116)
A variação do volume não gera distorção logo
0; 0
(10. 117)
Em qualquer plano. E o estado desviador de tensão é dado por: V 1 2v 1 2 3 3 0 V E
(10. 118)
Não gera distorção, logo V 0 V
(10. 119)
Energia de Deformação Elástica Específica
Figura - 10. 33.
392
Para o estado de qualquer tensão vale: u
1 11 2 2 3 3 2
(10. 120)
O estado hidrostático de tensão corresponde a:
1h 2h 3h
1 2 3
(10. 121)
3
E o estado desviador de tensão é dado por:
1h 1 h 2 2 h 3 3
(10. 122)
Logo u
1 1 1s 2 2s 3 3s 2
(10. 123)
Ou 1 1 u 1 2 3 11s 2 2s 3 3s 2 2 Energia associada ao volume ENERGIA VOLUMÉTRICA uV
Energia associada à mudança de forma ENERGIA DE DISTORÇAO uD
(10. 124)
Logo a energia total fica: u uV uD
(10. 125)
u D ulim
(10. 126)
1 v 2 2 2 1 2 2 3 3 1 ulim 6E
(10. 127)
Portanto,
e
A obtenção experimental de ulim é feita conforme mostra a
393
Figura - 10. 34.
1 Y ; 2 3 0
(10. 128)
e ulim
1 v 2 Y 3E
(10. 129)
A expressão matemática do critério de Von Mises fica: 2
2
1 2 2 3 3 1
2
2Y 2
Representaçào Geométrica do Critério de Von Mises
Tridimensional
394
(10. 130)
Figura - 10. 35.
Bidimensional
Figura - 10. 36.
Figura - 10. 37.
395
12 1 2 2 2 Y 2
(10. 131)
Comparaação entre os Critérios de Tresca e Von Mises
Caso Bidimensional
Figura - 10. 38.
Condição de Continuidade do Fluxo Plástico Seja um ponto submetido a um estado de tensão ij sobre a superfície de escoamento, ou seja, f ij 0
(10. 132)
Suponha que seja aplicado um incremento d ij em ij . Logo a condição para que o ponto continue em processo de escoamento é dada por: 396
f ij d ij 0
(10. 133)
df f ij d ij f ij 0
(10. 134)
e
Logo df
f f f d 11 d 22 ... d 12 0 11 22 12
(10. 135)
O gradiente de f é perpendicular ao vetor incremento de tensão.
Figura - 10. 39.
Logo a condição de consistência é dada por:
df
f d ij 0 ij
(10. 136)
e o vetor incremento de tensão
d T d 11 d 22 ... d 12
(10. 137)
e o vetor gradiente da Função é dado por: Grad f
f
e
397
(10. 138)
T f Grad f 11
f 22
...
f 12
(10. 139)
Logo
Grad f d
(10. 140)
Figura - 10. 40.
A condição de retorno ao regime elástico é dada por:
df
f d ij 0 ij
(10. 141)
E o gradiente de f forma um ângulo obtuso com o vetor incremento de tensão.
Postulado de Drucker Dado um corpo em equlibrio sob um estado de tensão inicial definido pelo vetor tensão generalizado Qi0 e submetido a uma agente externo que aplica lentamente um conjunto de forças auto-equlibradas que, em seguida sào remosvidas. O trabalho realizado pelo agente externo durante o ciclo de aplicação-remoção das forças não é negativo. Wext Wtot W0 0
398
(10. 142)
Wext trabalho realizado pelo agente externo, Wtot trabalho total realizado por todas as tensões W0 trabalho feito pelas tensões iniciais constantes. Sendo o vetor tensão generalizado definido por:
11 22 Q 33 23 31 12
(10. 143)
e o vetor taxa de deformação generalizada definido por:
11 22 Q 33 223 231 212
(10. 144)
W Qi qi
(10. 145)
W ij ij
(10. 146)
tmos que a potência é dada por:
ou
O qual pode ser decomposto em uma componente elástica e outra plástica. qi qie qip
(10. 147)
A superfície de escoamento é mostrada na
399
Figura - 10. 41.
E o trabalho total no ccilo de aplicação-remoção de tensões é dado por: t1
Q q e dt W Wdt ii
t1 t
Qi q q
0
t2 e i
p i
dt
Qi qie dt
(10. 148)
t1 t
t1
E o trabalho realizado no ciclo fechado envolvendo deformações elásticas é nulo, logo t1 t
Wtot
Qi qip dt W p
(10. 149)
t1
Corresponde ao incremento de trabalho plástico. E o trabalho realizado pelas tensões generalizadas Qi0 durante o ciclo fechado é dado por: t1 t
t1
W0 Qi0 qie dt 0
t2
Qi qie qip dt
Q q dt 0 e i i
(10. 150)
t1 t
t1
e t1 t
W0
Qi0 qip dt W0p
(10. 151)
t1
e Wext W p W0p
e
400
(10. 152)
t1 t p
p 0
Wext W W
Q Q q i
0 i
p i
dt 0
(10. 153)
t1
para t arbitrariamente pequeno, temos a desigualdade de Drucker
Q
(10. 154)
(10. 155)
i
Qi0 qip 0
ij
ij0 ijp 0
p
ou
OBS: Foi usado o índice p em Qi e ij para indicar que tais tensões correspondem a um ponto sobrea superfície de escoamento. Equação ( ) implica que o vetor taxa de deformação plástica generalizada forma um ângulo não maior que 90º como o vetor incrementos de tensões generalizadas. Em forma incremental, a desigualdade acima pode ser escrita na forma:
Q
i
p
Qi0 dqip 0
(10. 156)
Sendo A, B pontos sobre a superfície de escoamento, conforme mostra a
Figura - 10. 42.
Se A P e B P então ospontos sobre a superfície de escoamento ficam conforme mostra a
401
Lei ou Principio da Normalidade O vetor q p é normal à superfície de escoamento e aponta para fora.
Figura - 10. 43.
Lei da Convexidade O ângulo entre o vetor q p e dQ pode resultar > 90º . A superfície de escoamento é convexa. Pois uma superfície de escoamento côncava viola o postulado de Drucker
Figura - 10. 44.
Um material que satisfaz o Postulado de Drcker é dito ESTÄVEL ou “workhardening material”.
402
Função Potencial Plástico ou Regra de Fluxo Obedece a seguinte regra de fluxo: Hipótese cinemática postulada para a deformação plástica ou fluxo plástico. A função potencial plástico g ij é uma função escalar das tensões. A regra de fluxo plástico é dada por:
d ijp d
g ij
(10. 157)
Onde d é o fator de proporcionalidade escalar não negativo, d ijp é o incremento de deformação plástica.
Figura - 10. 45.
e a regra de fluxo associada é dada por: g ij f ij
(10. 158)
e
d ijp d
f ij
(10. 159)
A regra de fluxo não-associada é dada por: g ij f ij
403
(10. 160)
Regra de Fluxo Geral Associado A regra de fluxo é dada por:
f J1 , J 3 0
(10. 161)
A lei da normalidade é dada por: d ijp d
f J 2 f J 3 f d J 2 ij J 3 ij ij
(10. 162)
que implica em
f f d ijp d sij rij J J 2 3
(10. 163)
Figura - 10. 46.
onde
J2
1 J sij sij 2 sij 2 ij
(10. 164)
e
J 1 1 J 3 sij s jk ski 3 sip s pj sqp s pq ij rij 3 ij 3
404
(10. 165)
Regra de Fluxo Associado de Von Mises A função de escoamento de Von Mises pode ser escrita como: Y2 f J2 J2 0 3
(10. 166)
E a regra de fluxo associada é dada por:
d ijp d
f J 2 J 2 ij
(10. 167)
Como
J 2 sij ij
(10. 168)
d ijp d sij
(10. 169)
d 11p d 22p d 33p d 12p d 23p d 13p d s11 s22 s33 s12 s23 s13
(10. 170)
Temos:
logo
que corresponde a equação de Prandtl-Reuss.
405
Materiais Elastoplásticos com Endurecimento
Caso Inidimensional ou Uniaxial
Endurecimento (strain hardening) – é a propriedade definida pelo aumento contínuo da tensão axial com a evolução da deformação axial após o ponto de escoamento.
Figura - 10. 47.
As trajetórias carga-descarga praticamente retas e coincidentes paralelas ao ramo elástico linear inicial. Após a descarga e carga consecutivas, ocorre um aumento da tensão de escoamento.
Y
d 0 d
(10. 171)
Caso Tridimensional ou Triaxial
Endurecimento (strain hardening): a superfície de escoamento muda coma ocorr6encia de deformações plásticas adicionais,
f ij , ijp , k 0
(10. 172)
onde k é o parâmetro de endurecimento, ijp são componentes de deformação plástica. A regra de endurecimento define a evolução da superfície de escoamento com o fluxo plástico.
406
Figura - 10. 48.
Critério de Continuidade de Fluxo Plástico para um Material com Endurecimento Se f .d 0 d ijp 0 f f 0 e .d 0 d ijp 0 f 0 e
(10. 173)
Figura - 10. 49.
e
90 d p 0
407
(10. 174)
Regra de Endurecimento para um Material com Endurecimento A regra de endurecimento para materriais elastoplásticos segue a seguinte expressão:
k 2 p
f ij , ijp , k F ij , ijp forma da superfície
0
(10. 175)
tamanho da superfície
Donde vale as seguintes definições de Tensão efetiva
e 3J 2
3 sij sij 2
(10. 176)
E deformação plástica efetiva
p
2 p p ij ij 3
(10. 177)
Tensão e Deformação Plásticas Efetivas – Caso de tensão Uniaxial
Figura - 10. 50.
2 0 ; 3 0 e
408
(10. 178)
e 3J 2
1 2 2 2 1 0 0 0 1 0 2
(10. 179)
logo a tensão efetiva é igual a tensão uniaxial
e 1
(10. 180)
e
2 p p ij ij 3
p
(10. 181)
e
p
2 p 1 3
2
2
2
p 2
p 3
(10. 182)
Para o material plástico incompressível é dado por: 1 p 2p 3p 1p 2
(10. 183)
Logo a deformação plástica efetiva é igual a deformação plástica uniaxial:
p 1p
(10. 184)
409
Tensão e Deformação Plásticas Efetivas – Caso de tensão Uniaxial A superfície inicial se expande uniformente sem distorção e sem translação quando ocorre o fluxo plástico. F ij k 2 p
Figura - 10. 51.
410
(10. 185)
Modelo de Endurecimento Isótropo – Função de Von Mises Neste modelo temos: F ij , k J 2 k 2 p 0
(10. 186)
Figura - 10. 52.
J2
1 1 2 2 2 1 0 0 0 1 0 12 6 3
(10. 187)
e 1 2 1 k 2 p 0 3
(10. 188)
12 3k 2 p
(10. 189)
1 e 3
(10. 190)
1 J2 e2 0 3
(10. 191)
3J 2 e 2 0
(10. 192)
Implica que
Logo k p que corresponde a
Que implica em
411
Modelo de Endurecimento Cinemático Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento se desloca como um corpo rígido no espaço de tensões, mantendo a forma, o tamanho e a orientação da superfície inicial. F ij , ijp , k F ij ij k 2 0
(10. 193)
Figura - 10. 53.
Modelo de Endurecimento Misto Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento sofre uma translação definida por ij e uma expansão uniforme medida por k 2 , mantendo a sua forma original. F ij , ijp , k F ij ij k 2 p 0
Figura - 10. 54.
Aplicando a Lei da Normalidade 412
(10. 194)
f
d C d d
(10. 195)
Temos a condição de consistência T
f
d 0
(10. 196)
Logo T
f f C d d C 0
(10. 197)
T
f f C d d C 0
(10. 198)
Relação Constitutiva Incremental para um Material Elastoplástico Perfeito O vetor incremento de deformação é dado por;
d d e d p
(10. 199)
e o vetor incremento de tensão é dado por:
d C d e C d d p
(10. 200)
onde C é a matriz de rigidez do material Usando a lei da normalidade:
d d f p ij
(10. 201)
temos o fator de proporcionalidade T
f C d d T f f C
413
(10. 202)
E a Relação Constitutiva Elastoplástica do Material é dada por: T f C d f d C d T f f C
(10. 203)
T f C d f d d C I T f f C
(10. 204)
ou
onde a Matriz de Rigidez Elastoplástica do Material é dada por: T f C d f d C ep C I T f f C
(10. 205)
Aplicação a matriz de Rigidez de uma Barra A condição de plastificação de uma secção transversal é dada por:
N x , V y , Vz , M x , M y , M z 0
(10. 206)
Considerando o material da barra do tipo estável de Drucker temos que a lei da normalidade é dada por:
U G p
(10. 207)
Onde U p é o vetor taxa de deslocamentos plásticos, G é o vetor gradiente da função é o fator de proporcionalidade. e
Observando que a superfície 0 é convexa temos: T
G
N x Vy Vz M x M y M z
e a condição de consistência é dada por: 414
(10. 208)
T
G
F 0
(10. 209)
Onde F é o vetor deslocamento de forças e T
F
N ,V ,V , M x
y
z
x
, M y , M z
(10. 210)
A secção plastificada é dada pela rótula plástica onde 0
Figura - 10. 55.
Figura - 10. 56. Elemento de Barra
Figura - 10. 57. Elemento com uma rótula plástica no extremo 1.
O vetor taxa de deslocamentos nodais é dado por: U1 U U 2 E o vetor taxa de forças nodais é dado por:
415
(10. 211)
F1 F F2
(10. 212)
F K U
(10. 213)
Logo e
e
onde K e é a matriz de rigidez incremental elástica da barra e F1 K11e K12e U1 e e F2 K 21 K 22 U 2
(10. 214)
O vetor taxa de deslocamentos elásticos no extremo 1 é dado por:
U U U e 1
p 1
1
(10. 215)
Na secção do extremo 1 temos a leida Normalidade:
U G
(10. 216)
F 0
(10. 217)
p 1
1
1
E a condição de Consistência T
G1
1
Logo T
G1
G 0 K11e U1 G1 K12e U 2 G1 K11e 1 1 T
T
(10. 218)
e 1
1
T
G1
G1T K11e e K11 U1
U1 T e G K 1 12 U 2
(10. 219)
e F1 K11e K12e U1 K11e K12e 1 G1 e e e e F2 K 21 K 22 U 2 K 21 K 22 0 Logo
416
(10. 220)
F1 K11e K12e 1 G I 1 G1 e e c 0 F2 K 21 K 22
K11e K12e U1 0 e e (10. 221) K 21 K 22 U 2
Onde T
c B1 K11e B1
(10. 222)
E a matriz de rigidez elastoplástica do elemento é dada por:
K K I 1 EP
e
1 T G G K e c
(10. 223)
e T
G
0
G1T
417
(10. 224)
10. 5 - Exemplos e Aplicações
418
10. 6 - Exercícios e Problemas
419
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