ALGEBRA LINEAL SERIE 1

ÁLGEBRA LINEAL SERIE I TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

1.- Sea el conjunto 𝑉 = {𝑣 = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 )| 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ∈ ℝ} , el conjunto de todas las ternas ordenadas (ℝ3 ), verifique si cumple con todos los axiomas de los espacios vectoriales sobre el cuerpo conmutativo de los reales ℝ con las siguientes leyes de composición interna y externa definidas en 𝑉 y concluya si es un espacio vectorial o no. +: 𝑉 × 𝑉 ⟶ 𝑉 +: (𝑣1 , 𝑣2 ) ⟶ 𝑣3 = 𝑣1 + 𝑣2 = (𝑣1𝑥 + 𝑣2𝑥 , 𝑣1𝑦 + 𝑣2𝑦 , 𝑣1𝑧 + 𝑣2𝑧 )

∙:ℝ×𝑉 ⟶𝑉 ∙ ∶ (𝜆, 𝑣1 ) ⟶ 𝑣2 = 𝜆 ∙ 𝑣1 = (𝜆 ∙ 𝑣1𝑥 , 𝑣1𝑦 , 𝑣1𝑧 )

2.- Sea el conjunto 𝑉 = {𝑣 = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 )| 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , ∈ ℝ} , el conjunto de todas las duplas ordenadas (ℝ2 ), verifique si cumple con todos los axiomas de los espacios vectoriales sobre el cuerpo conmutativo de los reales ℝ con las siguientes leyes de composición interna y externa definidas en 𝑉 y concluya si es un espacio vectorial o no. +: 𝑉 × 𝑉 ⟶ 𝑉 +: (𝑣1 , 𝑣2 ) ⟶ 𝑣3 = 𝑣1 + 𝑣2 = (𝑣1𝑥 + 𝑣2𝑥 , 0)

∙:ℝ×𝑉 ⟶𝑉 ∙ ∶ (𝜆, 𝑣1 ) ⟶ 𝑣2 = 𝜆 ∙ 𝑣1 = (𝜆 ∙ 𝑣1𝑥 , 0)

3.- Sea el conjunto 𝑉 = {𝑣 = (𝑧1 , 𝑧2 )| 𝑧1 , 𝑧2 , ∈ ℂ} , el conjunto de todas las duplas de números complejos (ℂ2 ), verifique si cumple con todos los axiomas de los espacios vectoriales sobre el cuerpo conmutativo de los complejos ℂ con las siguientes leyes de composición interna y externa definidas en 𝑉 y concluya si es un espacio vectorial o no.

+: 𝑉 × 𝑉 ⟶ 𝑉 +: (𝑣, 𝑣′) ⟶ 𝑣′′ = 𝑣 + 𝑣′ = (𝑧1 + 𝑧1 ′, 𝑧2 + 𝑧2 ′)

∙:ℂ×𝑉 ⟶𝑉 ∙ ∶ (𝜆, 𝑣) ⟶ 𝑣 ′ = 𝜆̅ ∙ 𝑣 = (𝜆̅ ∙ 𝑧1 , 𝜆̅ ∙ 𝑧2 )

4.- Se sabe que ℚ (conjunto de los números racionales) es un subconjunto de los números reales ℝ. Ya se ha demostrado que ℝ es un espacio vectorial sobre ℝ, determine si ℚ es un subespacio vectorial de ℝ. Ing. Francisco De Matias Aguilar

5.- Determine la dependencia lineal del conjunto 𝐵 de vectores de ℝ4 . 𝐵 = {(1,1,2,4), (2, −1, −5,2), (1, −1, −4,0), (2,1,1,6)}

6.-Demuestre que el conjunto 𝐵 = {(3,1, −4), (2,5,6), (1,4,8)} es una base de ℝ3 .

7.- Demuestre que el conjunto 𝐵 es una base de 𝑀2×2 (espacio vectorial de las matrices cuadradas de dimensión dos). 3 6 0 −1 0 −8 1 0 𝐵 = {( ),( ),( ),( )} 3 −6 −1 0 −12 −4 −1 2 8.- Si 𝐵 y 𝐵′ son dos bases de ℝ2 . 𝐵 = {(1,0), (0,1)}

𝐵′ = {(2,1), (−3,4)}

𝑤 = (3, −5)

a) Determine la matriz para pasar de la base 𝐵 a la 𝐵′ . b) Determine la matriz para pasar de la base 𝐵′ a la 𝐵. c) Determine las coordenadas del vector 𝑤 respecto de ambas bases.

9.- Si 𝐵 y 𝐵′ son dos bases de ℝ2 . 𝐵 = {(2,2), (4, −1)}

𝐵′ = {(1,3), (−1, −1)}

𝑤 = (3, −5)

a) Determine la matriz para pasar de la base 𝐵 a la 𝐵′ . b) Determine la matriz para pasar de la base 𝐵′ a la 𝐵. c) Determine las coordenadas del vector 𝑤 respecto de ambas bases.

10.- Si 𝐵 y 𝐵′ son dos bases de ℝ3 . 𝐵 = {(2,1,1), (2, −1,1), (1,2,1)}

𝐵′ = {(3,1, −5), (1,1, −3), (−1,0,2)}

𝑤 = (3, −6,9)

a) Determine la matriz para pasar de la base 𝐵 a la 𝐵′ . b) Determine la matriz para pasar de la base 𝐵′ a la 𝐵. c) Determine las coordenadas del vector 𝑤 respecto de ambas bases.

Ing. Francisco De Matias Aguilar