ALGEBRA MATRICIAL.docx

República Bolivariana de Venezuela
Ministerios del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Nacional Experimental "Rafael María Baralt"
Programa Administración
Cabimas- Edo. Zulia




























REALIZADO POR:

YOALBERT TELLERIA
C.I.: 27.135.383
Sección: 33112


CABIMAS, JULIO 2016
DEFINICIÓN DE MATRICES.
Es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí. Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.
Ejemplos:


TIPOS DE MATRICES.

CUADRADA.
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Ejemplo:

En la matriz la diagonal principal está formada por (1, 1, 9) y la diagonal secundaria por (0, 1, 3).

TRIANGULAR.
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.

Ejemplos
[ 1 4 2 0 3 4 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&4&2\\0&3&4\\0&0&1\end{array}}\right]}
Esta matriz es triangular superior.
[ 1 0 0 2 8 0 4 9 7 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\end{array}}\right]}
Esta matriz es triangular inferior.


Propiedades de las matrices triangulares
Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios (matriz diagonal).
El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.
Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).
Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.
Matriz triangular superior:
Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:

Matriz triangular inferior:
Es la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos:



OPERACIONES CON MATRICES.

SUMA.
Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con el segundo de B y así sucesivamente.
Es sencillo, pero si aún no lo entendiste fíjate en el ejemplo donde he marcado un elemento en cada matriz para que sea más evidente el procedimiento.

La matriz suma es del mismo orden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.

RESTA.
La resta de dos matrices A y B, es decir (A - B), es igual a la suma de A más el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B).
En la práctica lo que se hace es cambiarle los signos a todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.

Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.


MULTIPLICACIÓN.
Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamente si el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.
Definición: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultado es un escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productos de los componentes de los vectores. Por lo tanto si u =

y v =

entonces u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde
Cuando se multiplican dos matrices, el elemento en la i-ésima fila y en la j-ésima columna de la matriz producto, es el producto interior del i-ésimo vector fila de la primera matriz con el j-ésimo vector columna de la segunda. De acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede expresarse como una matriz de sus productos interiores:
Si

y

entonces
AB = C, en donde

es decir,

REGLA DE SARRUS.
La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular un determinante 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus, que la introdujo en el artículo «Nouvelles méthodes pour la résolution des équations», publicado en Estrasburgo en 1833.
Considérese la matriz 3×3:

Sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:
det M= [(a1 b2 c3) + (a2 b3 c1) + (b1 c2 a3) ] - [ (a3 b2 c1) + (b1 a2v c3) + (b3 c2 a1)]
Un proceso similar basado en líneas diagonales sucede con las matrices 2x2:

del B=(a1 b2) – (b1 a2)

Ejercicio propuesto para hallar su determinante mediante la regla de Sarru:





INVERSA DE UNA MATRIZ.
Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A . B = B . A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1.
Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz A es singular.
La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.