algebra para começar
Descrição do Produto
´ ´ UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA
1
Sum´ ario 1 Matrizes e Sistemas de Equa¸ c˜ oes Lineares
10
1.1
Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2
Alguns tipos especiais de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3
Opera¸co˜es usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4
1.5
1.3.1
Adi¸ca˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2
Subtra¸ca˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3
Multiplica¸ca˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4
Propriedades da Adi¸ca˜o e do Produto por Escalar
. . . . . . . . . . . . . 17
Opera¸co˜es n˜ao usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1
Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2
O tra¸co de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3
Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Matrizes Invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1
Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6
Sugest˜ao de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8
A fun¸ca˜o Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9
1.8.1
Algumas propriedades de determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . 28
1.8.2
C´alculo do determinante por triangulariza¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.3
Desenvolvimento de Laplace: A expans˜ao em cofatores . . . . . . . . . . . 31
1.8.4
C´alculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3 . . . . . . . 33
C´alculo da Matriz Inversa usando Cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2
1.10 C´alculo da Matriz Inversa usando Opera¸co˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10.1 Um M´etodo para Inverter Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.11 Sugest˜ao de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.12 Exerc´ıcios de Fixa¸ca˜o (Lista 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.13 Sistemas de Equa¸co˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.13.1 Opera¸co˜es Elementares sobre as equa¸co˜es de um Sistema . . . . . . . . . . 41 1.13.2 Opera¸co˜es Elementares sobre as linhas da matriz ampliada . . . . . . . . . 42 1.14 Elimina¸ca˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.14.1 Classifica¸ca˜o de um Sistema Linear quanto `a Solu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . 44 1.14.2 O M´etodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.14.3 O M´etodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.15 Exerc´ıcios de Fixa¸ca˜o ( Lista 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Vetores
43
2.1
Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2
Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3
Adi¸ca˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4
Produto por Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5
ˆ Angulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Sistemas de coordenadas: Vetores Bidimensionais e Tridimensionais
50
3.1
Vetores Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2
Vetores Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Produto de Vetores
57
4.1
C´alculo da norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2
Distˆancia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3
Produto interno euclidiano ou produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1
Produto interno em termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2
Propriedades do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4.4
4.5
4.6
4.3.3
Condi¸ca˜o de ortogonalidade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.4
Estudo da Proje¸ca˜o Ortogonal usando Produto Escalar . . . . . . . . . . . 61
Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4.1
Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2
Interpreta¸ca˜o geom´etrica do m´odulo do produto vetorial de dois Vetores . . 65
Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.1
Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5.2
Interpreta¸ca˜o geom´etrica do m´odulo do produto misto
. . . . . . . . . . . 68
Exerc´ıcios de Fixa¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Aplica¸ c˜ ao de Vetores ao Estudo da Reta e do Plano
69
5.1
Equa¸co˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2
Reta definida por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3
Condi¸ca˜o para que trˆes pontos estejam em linha reta . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4
Equa¸co˜es Reduzidas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5
Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6
ˆ Angulo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.7
Condi¸ca˜o de Paralelismo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.8
Condi¸ca˜o de Ortogonalidade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.9
Condi¸ca˜o de Coplanaridade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.10 Posi¸ca˜o Relativa de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.11 Interse¸ca˜o de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.12 Distˆancia de Um Ponto a Uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.13 Distˆancia Entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.14 O Estudo do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.15 Determina¸ca˜o de um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.16 Equa¸co˜es Param´etricas do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 ˆ 5.17 Angulo de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ˆ 5.18 Angulo de uma reta com um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4
5.19 Interse¸ca˜o de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.20 Distˆancia de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.21 Distˆancia entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.22 Distˆancia de uma Reta a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6 Cˆ onicas e Qu´ adricas
95
6.1
Defini¸ca˜o geom´etrica das Cˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2
Defini¸ca˜o anal´ıtica das Cˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3
Defini¸ca˜o geom´etrica das Superf´ıcies Qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4
Defini¸ca˜o anal´ıtica das Superf´ıcies Qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5
A elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.5.1
Elementos da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5.2
Express˜ao anal´ıtica da elipse centrada na origem . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5.3
Elipses transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6
O Elips´oide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7
A Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.1
Elementos da Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.7.2
Express˜ao anal´ıtica da hip´erbole centrada na origem . . . . . . . . . . . . . 107
6.7.3
Hip´erboles transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8
O Hiperbol´oide de um folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.9
A Par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.9.1
Elementos da par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.9.2
Express˜ao anal´ıtica da par´abola com v´ertice na origem . . . . . . . . . . . 112
6.9.3
Par´abolas Transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.10 O Parabol´oide el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.11 O Hiperbol´oide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.12 O Parabol´oide hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.13 Superf´ıcie Cˆonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.13.1 O Cone Qu´adrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5
6.14 Superf´ıcie Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7 O Espa¸ co Vetorial Euclidiano n-dimensional 7.1
122
O Espa¸co Euclidiano n-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.1.1
Igualdade de vetores de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.2
Opera¸co˜es em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.3
Propriedades das opera¸co˜es no Espa¸co Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.4
O produto interno euclidiano em Rn
8 Espa¸ cos Vetoriais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 126
8.1
Subespa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2
Combina¸ca˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3
Subespa¸cos Gerados
8.4
Dependˆencia e Independˆencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.5
Espa¸cos Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6
Espa¸co Vetorial Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.6.1
8.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Norma de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
ˆ Angulo de dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.8
Vetores Ortogonais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.9
Conjunto Ortogonal de Vetores
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.10 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.11 Proje¸co˜es Ortogonais: O Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.12 Mudan¸ca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9 Transforma¸c˜ oes Lineares 9.1
Transforma¸co˜es Lineares Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.1.1
9.2
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Transforma¸co˜es Lineares Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.2.1
9.3
144
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
O uso de bases na obten¸ca˜o de uma Transforma¸ca˜o Linear . . . . . . . . . . . . . 150
6
9.4
N´ ucleo e Imagem de uma Transforma¸ca˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.5
Matrizes de Transforma¸co˜es Lineares Arbitr´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10 Autovalores e Autovetores
154
10.1 O Polinˆomio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.3 Diagonaliza¸ca˜o de uma forma quadr´atica plana
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
´ PREFACIO A primeira edi¸ca˜o destas notas foi feita no ano de 2009, em parceria com a professora Msc. ˆ Angela Mognon, quando ingressei na UTFPR e ministr´avamos aulas de Geometria Anal´ıtica ´ e Algebra Linear, a alunos dos primeiros anos de Engenharia, no campus de Campo Mour˜ao, Paran´a. Com esta parceria tive total apoio na digitaliza¸ca˜o textual e gr´afica, nas leituras preliminares, na escolha das referˆencias e na revis˜ao dos textos, contanto tamb´em com o apoio e incentivo do professor Dr. Doherty de Andrade, o qual somos imensamente gratas, pois seu incentivo e orienta¸ca˜o na utiliza¸ca˜o do editor de texto matem´atico TeX, tornou poss´ıvel a digitaliza¸ca˜o destas notas. A motiva¸ca˜o ao preparo destas notas inicialmente foi facilitar e agilizar a apresenta¸ca˜o dos conte´ udos em sala de aula, j´a que a ementa semestral ´e extensa por atender os t´opicos de Geome´ tria Anal´ıtica e Algebra Linear. Logo, este material foi elaborado com o intuito de proporcionar ao aluno um melhor acompanhamento da aula e consiste somente de algumas anota¸co˜es para serem utilizadas durante as aulas. Sem preocupa¸co˜es em copiar defini¸co˜es e enunciados espera-se que o aluno possa se concentrar nas demonstra¸co˜es e resolu¸ca˜o de exemplos e exerc´ıcios que ser˜ao feitas em sala. O Cap´ıtulo 1 trata das Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equa¸co˜es Lineares por se ´ tratarem de ferramentas b´asicas para o estudo da Geometria Anal´ıtica e da Algebra Linear. Os Cap´ıtulos 2, 3, 4, 5 e 6 se ocupam dos Vetores, Retas, Planos, Cˆonicas e Qu´adricas, objetos do plano bidimensional e do espa¸co tridimensional aqui tratados geometricamente e algebricamente, dando forma anal´ıtica `a geometria e suporte te´orico para outras disciplinas das Engenharias como F´ısica, Mecˆanica, C´alculo 2 e 3, entre outras. O Cap´ıtulo 7 traz a generaliza¸ca˜o do estudo dos vetores apresentando o espa¸co n−dimensional Rn , suas opera¸co˜es e propriedades euclidianas (como norma, distˆancia e ortogonalidade) garantidas pela existˆencia de produto interno. ´ Os Cap´ıtulos 8, 9 e 10 apresentam um sucinto curso de Algebra Linear, expondo resumidamente os Espa¸cos Vetoriais, as Transforma¸co˜es Lineares, os Autovalores e Autovetores, objetivando a utiliza¸ca˜o de uma linguagem alg´ebrica axiom´atica e o embasamento te´orico para disciplinas como Equa¸co˜es Diferenciais Ordin´arias e C´alculo Num´erico. 8
Agrade¸co `a professora Msc. Viviane Colucci pelo incentivo e colabora¸ca˜o na edi¸ca˜o do texto sobre Matrizes e Determinantes e na digitaliza¸ca˜o de exerc´ıcios sobre o tema. Esta contribui¸ca˜o foi inserida nestas notas a partir de 2011. Agrade¸co o apoio dos professores Dr. Adilandri M´ercio Lobeiro e Esp. Luciano Ferreira da Silva nas orienta¸co˜es sobre a utiliza¸ca˜o do editor TeXnicCenter e incentivo na divulga¸ca˜o destas notas. Agrade¸co a participa¸ca˜o e parceria dos alunos das Engenharias nos projetos desenvolvidos nas APS e deixo registrado na capa destas notas, algumas das obras modeladas no decorrer destes semestres. Fico muito grata em ver o empenho, a motiva¸ca˜o e amadurecimento matem´atico adquirido na utiliza¸ca˜o da Geometria Anal´ıtica para modelar algebricamente e computacionalmente no software Maple superf´ıcies tridimensionais do nosso cotidiano. Estes projetos tem evidenciado a rela¸ca˜o existente entre a teoria e a pr´atica e espero divulg´a-los em publica¸co˜es e eventos, objetivando a motiva¸ca˜o ao uso de novas possibilidades de ensino e aprendizagem de Geometria Anal´ıtica nas Engenharias. Sou grata tamb´em ao apoio dos professores do departamento de matem´atica que utilizam estas notas em suas aulas e espero que o material seja u ´til tanto aos discentes quanto aos docentes da ´ disciplina Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear. Novas parcerias, eventuais corre¸co˜es e ou sugest˜oes de aprimoramento ser˜ao bem acolhidas e agradecidas. Sara Coelho da Silva Campo Mour˜ao, 2013.
9
Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas de Equa¸co ˜es Lineares Introdu¸c˜ ao Muitas vezes na Engenharia e na Matem´atica uma informa¸ca˜o ´e organizada em linhas e colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Estas matrizes podem ser tabelas de dados num´ericos surgidos de observa¸co˜es f´ısicas, mas tamb´em ocorrem em v´arios contextos matem´aticos. Por exemplo, veremos que para resolver um sistema de equa¸co˜es lineares toda informa¸ca˜o requerida para chegar `a solu¸ca˜o est´a encorpada em uma matriz e que a solu¸ca˜o pode ser obtida efetuando opera¸co˜es apropriadas nesta matriz. Isto ´e particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equa¸co˜es lineares, porque os computadores s˜ao muito bons pra manipular cole¸co˜es de n´ umeros. Durante o curso vocˆe ter´a oportunidade de pesquisar e manipular um software matem´atico com capacidade de efetuar opera¸co˜es com matrizes, o que facilita muito os c´alculos alg´ebricos matriciais no trabalho com ciˆencias exatas e podem enriquecer a experiˆencia do aprendizado, bem como ajudar com os c´alculos tediosos. No entanto, todo futuro engenheiro precisa dominar todas as t´ecnicas b´asicas de ´algebra linear resolvendo `a m˜ao exemplos iniciais. A tecnologia pode ent˜ao ser usada para resolver exemplos subsequentes e aplica¸co˜es que possuem dados que tornam os c´alculos `a m˜ao n˜ao pr´aticos. Entretanto, vocˆe deve fazer tantos exemplos quanto puder com l´apis e papel at´e que se sinta confort´avel com as t´ecnicas e mesmo quando utilizar um software, pense sempre como vocˆe faria os c´alculos manualmente e depois de obter uma resposta do software, avalie se ela ´e razo´avel. ´ o homem que manipula a m´aquina, n˜ao ´e a m´aquina que manipula N˜ao se esque¸ca nunca: ”E o homem.”
10
1.1
Matrizes
A palavra matriz deriva da palavra latina mater, que significa ”m˜ae”. Quando o sufixo -iz ´e acrescentado, o significado torna-se ”´ utero”. Assim como um u ´tero envolve um feto, os colchetes de uma matriz envolvem seu elementos, e assim como no u ´tero ´e gerado um bebˆe, uma matriz gera certos tipos de fun¸co˜es, chamadas transforma¸c˜oes lineares, que seram estudadas posteriormente. As matrizes s˜ao tabelas de n´ umeros reais utilizadas em v´arios ramos da Ciˆencia e da Engenharia. V´arias opera¸co˜es executadas por c´erebros eletrˆonicos s˜ao computa¸co˜es por matrizes. Vejamos um exemplo: Considere a tabela a seguir, que indica as notas (0 − 10) dos Alunos A1, A2 e A3 em uma
determinada disciplina do curso de Engenharia: Aluno Aluno A1 Aluno A2 Aluno A3
Prova 1 9,0 3,0 6,5
Atividade 7,0 5,0 8,4
No quadro indicado os n´ umeros colocados nas disposi¸co˜es horizontais formam o que denominamos linha e os colocados nas disposi¸co˜es verticais formam o que denominamos coluna. Para sabermos a nota de atividade do Aluno A3 basta procuramos o n´ umero que est´a na terceira linha e na segunda coluna. Se n´os suprimirmos os t´ıtulos, ficaremos com a seguinte cole¸ca˜o retangular de n´ umeros com trˆes linhas e duas colunas, denominada matriz : 9, 0 7, 0 A = 3, 0 5, 0 6, 5 8, 4 Generalizando, apresentamos a seguinte defini¸ca˜o. Defini¸ c˜ ao 1.1 Uma matriz de ordem m × n, ´e um quadro A com elementos (n´ umeros, po-
linˆ omios, fun¸c˜oes etc.) dispostos em m linhas e n colunas da forma:
Am×n
a11 a12 a21 a22 = ··· ··· am1 am2 11
· · · a1n · · · a2n ··· ··· · · · amn
em que os n´ umeros aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, em nosso estudo, s˜ ao n´ umeros reais. O
n´ umero aij chama-se o elemento de ordem ij de A. De forma mais compacta, a matriz acima
pode ser escrita como A = [aij ]m×n ou A = [aij ] (Usamos letras mai´ usculas para denotar matrizes e letras min´ usculas para denotar quantidades num´ericas.) A i-´esima linha de A ´e a n-upla Ai = (ai1 , . . . , ain ) J´ a, a j-´esima coluna de A ´e a m-upla
Aj =
a1j .. . .. . amj
Portanto, uma matriz de ordem m × n, denotada por Am×n = [aij ]m×n , possui m linhas e n
colunas.
Exemplo 1.1 O quadro A = a11 = 2, a12 = 1, a13 = 1
2 1 1 3 −2 5
´e uma matriz real de ordem 2 × 3. onde:
a21 = 3, a22 = −2, a23 = 5 Exemplo 1.2 B = 2 1 0 −3 ´e uma matriz real de ordem 1 × 4; 1 ´e uma matriz real de ordem 2 × 1 e; C= 3 D = 4 ´e uma matriz real de ordem 1 × 1;
Defini¸ c˜ ao 1.2 Duas matrizes Am×n = [aij ]m×n e Br×s = [bij ]r×s s˜ ao iguais se elas tˆem o mesmo n´ umero de linhas (m = r) e o mesmo n´ umero de colunas (n = s), e se todos os seus elementos correspondentes s˜ ao iguais (aij = bij ). Nota¸ca˜o: A = B. 2 9 sen90◦ 0 3 1 log1 = Exemplo 1.3 2 4 5 2 22 5 12
Exerc´ıcio 1.1 Escreva, explicitamente, as matrizes a) A = (aij )3×2 , sendo aij = i + j b) B = (bij )3×6 , sendo bij =
i j
c) C = (cij )3×3 , sendo cij = i2 + j 2 d) M = (mij )2×2 , sendo mij = 2(i − j). Determine x, y, z, t para que se tenha: x+y z−t M= x − y 2z − t Exerc´ıcio 1.2 Dada a matriz M = (aij )6×8 , tal que aij = i − j, obtenha o elemento a43 .
1.2
Alguns tipos especiais de matrizes
1. Matriz linha: ´e a n-upla A1×n = [a11 . . . a1n ], isto ´e, uma matriz de ordem 1 × n. Exemplo 1.4 A = [2 1 2]
2. Matriz coluna: ´e a m-upla Am×1 =
a11 .. . .. . am1
, isto ´e, uma matriz de ordem m × 1.
2 4 Exemplo 1.5 A = 0 6 3. Matriz Quadrada An×n : ´e a matriz em que o n´ umero de linhas ´e igual ao n´ umero de colunas.
Exemplo 1.6 A =
3
B=
3 1 2 −5
−1 1 0 C = 2 −5 9 7 3 9
4. Matriz Nula: ´e a matriz, denotada por 0m×n , que possui todos os elementos nulos.
Exemplo 1.7 01×1 =
0
02×1 =
0 0
13
03×3
0 0 0 = 0 0 0 0 0 0
5. Matriz Diagonal ´e toda matriz quadrada A tal que aij = 0, quando i 6= j. −1 0 0 Exemplo 1.8 A= 0 1 0 0 0 3
B=
0 0 0 0
6. Matriz Identidade ´e toda matriz quadrada I tal que aij = 1, quando i = j e aij = 0, se i 6= j. 1 0 0 Exemplo 1.9 A= 0 1 0 0 0 1
B=
1 0 0 1
Observa¸ c˜ ao 1.1 A diagonal principal de uma matriz quadrada An×n ´e a n-upla (a11 , a22 , . . . , ann ). 7. Matriz Triangular Superior ´e toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i > j. Ou seja, ´e uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal s˜ao nulos. 1 1 3 Exemplo 1.10 A= 0 −2 5 0 0 1
B=
3 2 0 1
8. Matriz Triangular Inferior ´e toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i < j. Ou seja, ´e uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal s˜ao nulos. 1 0 0 Exemplo 1.11 A= −1 −2 0 4 5 1
B=
a 0 b c
Observa¸ c˜ ao 1.2 Indicaremos conjunto de todas as matrizes de de ordem m × n, com elementos em R, por Mmn (R).
1.3
Opera¸ co ˜es usuais com Matrizes e Propriedades
Apresentaremos a seguir uma aritm´etica de matrizes na qual as matrizes podem ser somadas, subtra´ıdas e multiplicadas.
14
1.3.1
Adi¸c˜ ao de Matrizes
Considere a tabela (apresentada na p´ag. 5) das notas dos alunos A1, A2 e A3: Aluno Aluno A1 Aluno A2 Aluno A3
Prova 1 9,0 3,0 6,5
Atividade 7,0 5,0 8,4
Supondo que foram aplicadas outras duas avalia¸co˜es e os resultados obtidos est˜ao descritos nas tabelas Aluno Aluno A1 Aluno A2 Aluno A3
Prova 2 9,5 7,3 8,5
Atividade 3,0 5,5 4,4
Aluno Aluno A1 Aluno A2 Aluno A3
para as quais extraindo somente os n´ umeros, obtemos: 9, 5 3, 0 9, 0 7, 0 B = 7, 3 5, 5 A = 3, 0 5, 0 8, 5 4, 4 6, 5 8, 4
Prova 3 6,0 7,0 5,5
Atividade 4,0 6,0 9,4
6, 0 4, 0 C = 7, 0 6, 0 5, 5 9, 4
Somando as entradas correspondentes (de mesma posi¸ca˜o matricial) de A, B e C, temos:
logo,
9, 0 + 9, 5 + 6, 0 S = A + B + C = 3, 0 + 7, 3 + 7, 0 6, 5 + 8, 5 + 5, 5
24, 5 S = 17, 3 20, 5
7, 0 + 3, 0 + 4, 0 5, 0 + 5, 5 + 6, 0 8, 4 + 4, 4 + 9, 4
14, 0 16, 5 22, 2
´e a matriz que representa o total de pontos obtidos por cada aluno em provas e atividades na disciplina. Generalizando, temos a seguinte defini¸ca˜o: Defini¸ c˜ ao 1.3 Sejam as matrizes A, B ∈ Mmn (R), ent˜ ao a soma S = A + B ´e a matriz obtida
somando as entradas de A ` as entradas correspondentes de B. Em nota¸c˜ao matricial, se A = [aij ] e B = [bij ] s˜ ao matrizes m × n, ent˜ ao sij = aij + bij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. 15
3 3 1 2 3 0 1 0 1 Exemplo 1.12 2 −2 0 + 2 7 6 = 4 5 6 5 3 2 1 −2 1 4 5 1
Observa¸ c˜ ao 1.3 A matriz nula ´e o elemento neutro para a adi¸c˜ao de matrizes. Isto ´e, 0m×n + A = A + 0m×n = A, ∀ A ∈ Mmn (R)
1.3.2
Subtra¸c˜ ao de Matrizes
Suponhamos que o professor citado nos exemplos anteriores, queira comparar os primeiros e segundos resultados obtidos pelos alunos nas provas 1 e 2 e nas respectivas atividades. Para saber se houve aumento/diminui¸ca˜o de nota, podemos calcular a diferen¸ca dij = bij − aij , entre
as respectivas notas de provas e atividades.
Se dij > 0 ent˜ao, houve um aumento de nota da prova 1 para a prova 2; Se dij < 0 ent˜ao, houve uma diminui¸ca˜o de nota da prova 1 para a prova 2; Se dij = 0 ent˜ao, a nota se manteve. Fazendo o c´alculo da diferen¸ca entre as respectivas notas de provas e atividades, temos: 0, 5 −4, 0 9, 0 7, 0 9, 5 3, 0 B − A = 7, 3 5, 5 − 3, 0 5, 0 = 4, 3 0, 5 2, 0 −4, 0 6, 5 8, 4 8, 5 4, 4 Analisando a matriz diferen¸ca B − A podemos concluir que todos alunos aumentaram suas
notas de provas e dois alunos teve diminui¸ca˜o de nota de atividade. De modo geral, definimos:
Defini¸ c˜ ao 1.4 Sejam as matrizes A, B ∈ Mmn (R), ent˜ ao a diferen¸ ca D = B − A ´e a matriz
obtida subtraindo as entradas de B ` as entradas correspondentes de A. Em nota¸c˜ao matricial, se A = [aij ] e B = [bij ] s˜ ao matrizes m × n, ent˜ ao dij = bij − aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. −1 −3 1 2 3 0 1 0 1 Exemplo 1.13 2 −2 0 − 2 7 6 = 0 −9 −6 3 7 0 1 −2 1 4 5 1
1.3.3
Multiplica¸c˜ ao por Escalar
Seja S a matriz definida na se¸ca˜o (1.3.1) que representa o total de pontos dos alunos em uma determinada disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Para obter a m´edia aritm´etica 16
do total de pontos em provas e avalia¸co˜es calcula-se
1 3
de cada nota disponibilizada nas colunas
de S, ou seja,
1 .(14, 0) 3
1 .(24, 5) 3
1 .(22, 2) 3
1 .(17, 3) 1 3 N = .S = 3 1 .(20, 5) 3
logo,
1 .(16, 5) 3
4, 7 5, 5 7, 4
8, 2 N ≈ 5, 8 6, 8
representa a m´edia aritm´etica do total de pontos em provas e avalia¸co˜es. Generalizando, definimos: Defini¸ c˜ ao 1.5 Sejam A ∈ Mmn (R) e c ∈ R. A matriz cA = M ´e obtida pela multiplica¸c˜ao de
cada entrada da matriz A, por c. A matriz cA = M ´e chamada m´ ultiplo escalar de A. Em nota¸c˜ao matricial, se A = [aij ], ent˜ ao mij = caij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.14 −2
Observa¸ c˜ ao 1.4
A + (−1)A = 0m×n , ∀ A ∈ Mmn (R). A matriz (−1)A, denotada por −A, ´e
2 −10 1 2
=
−4 20 −2 −4
a matriz oposta de A.
Exemplo 1.15 A matriz oposta da matriz A =
1.3.4
−2 7 1 2
´e −A =
2 −7 −1 −2
Propriedades da Adi¸c˜ ao e do Produto por Escalar
Sejam A, B, C ∈ Mmn (R) e c, d escalares reais. 1. Se A e B s˜ao elementos de Mmn (R) ent˜ao A + B ∈ Mmn (R). 2. A + B = B + A. 17
3. A + (B + C) = (A + B) + C. 4. 0m×n + A = A + 0m×n = A. 5. A + (−1)A = 0m×n . 6. Se k ´e qualquer escalar e A ∈ Mmn (R), ent˜ao kA ∈ Mmn (R). 7. c(A + B) = cA + cB. 8. (c + d)A = cA + dA. 9. (cd)A = c(dA). 10. 1A = A. Apresentaremos a seguir opera¸co˜es matriciais que n˜ao possuem analogia com a aritm´etica dos n´ umeros reais.
1.4 1.4.1
Opera¸ co ˜es n˜ ao usuais com Matrizes e Propriedades Matriz Transposta
Defini¸ c˜ ao 1.6 A transposta de uma matriz A = [aij ]m×n ´e a matriz B = At = [aji ]n×m , cujas linhas s˜ ao as colunas de A, isto ´e, bij = aji , para todo i e j. 2 1 2 0 −1 t 0 3 ´e a matriz A = Exemplo 1.16 A transposta da matriz A = 1 3 4 −1 4
Se A e B s˜ao matrizes de ordem m × n e c um n´ umero real, podemos verificar as seguintes
propriedades:
1.(A + B)t = At + B t
2.(cA)t = cAt
3.(At )t = A.
Usando a defini¸ca˜o de Matriz Transposta, podemos definir dois novos tipos de matrizes: Defini¸ c˜ ao 1.7 Matriz Sim´ etrica ´ uma matriz quadrada tal que At = A. Isto ´e, os elementos que est˜ E ao dispostos simetricamente em rela¸c˜ao ` a diagonal s˜ ao iguais (aij = aji ).
18
2 1 3 Exemplo 1.17 A = 1 6 4 3 4 1
Defini¸ c˜ ao 1.8 Matriz Anti-Sim´ etrica ´ uma matriz quadrada tal que At = −A. Isto ´e, os elementos que est˜ E ao dispostos simetrica-
mente em rela¸c˜ao ` a diagonal s˜ ao opostos (aij = −aji ). 0 −2 3 0 −5 Exemplo 1.18 A = 2 −3 5 0
Observa¸ c˜ ao 1.5 A diagonal de uma matriz A anti-sim´etrica ´e nula. Isto ´e, aii = 0.
1.4.2
O tra¸co de uma Matriz
Defini¸ c˜ ao 1.9 Se A ´e uma matriz quadrada, ent˜ ao o tra¸ co de A, denotado por tr(A), ´e definido pela soma das entradas na diagonal principal de A : a11 + a22 + . . . + ann . O tra¸co de A n˜ ao ´e definido se A n˜ ao ´e uma matriz quadrada. −1 2 7 0 3 5 −8 4 temos: tr(A) = −1 + 5 + 7 + 0 = 11 Exemplo 1.19 Para A= 1 2 7 −3 4 −2 1 0
1.4.3
Produto de Matrizes
At´e aqui nos definimos a multiplica¸ca˜o de uma matriz por um escalar mas n˜ao a multiplica¸ca˜o de duas matrizes. Como na defini¸ca˜o da adi¸ca˜o (e subtra¸ca˜o) somamos (e subtra´ımos) as entradas correspondentes, pareceria natural definir a multiplica¸ca˜o de matrizes multiplicando as entradas correspondentes. Contudo, ocorre que tal defini¸ca˜o n˜ao seria muito u ´til na maioria dos problemas pr´aticos e te´oricos. A experiˆencia levou os matem´aticos `a uma defini¸ca˜o mais u ´til para a multiplica¸ca˜o de matrizes. Ilustraremos a devida defini¸ca˜o dando continuidade a situa¸ca˜o exposta anteriormente: Seja N a matriz (se¸ca˜o 1.3.3) que representa o total de pontos dos alunos em uma determinada disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Atribuindo peso 8, 0 para as provas e peso 2, 0 para as atividades podemos obter a nota final de cada aluno da seguinte maneira:
19
logo,
8, 2 N F = N.P = 5, 8 6, 8
8, 2.(0, 8) + 4, 7.(0, 2) 4, 7 0, 8 5, 5 . = 5, 8.(0, 8) + 5, 5.(0, 2) 0, 2 6, 8.(0, 8) + 7, 4.(0, 2) 7, 4 7, 5 N F = 5, 7 6, 9
Este exemplo nos leva `as seguintes observa¸co˜es:
- para tornar poss´ıvel o produto N.P o n´ umero de colunas de N deve coincidir com o n´ umero de linhas de P ; - o produto da linha i de N pela coluna j de P resulta em um u ´nico valor (nf )ij ; Generalizando, definimos: Defini¸ c˜ ao 1.10 Seja uma matriz A de ordem m×n e B uma matriz de ordem n×p. O produto de A por B,denotado por AB, ´e a matriz de ordem m × p, cujo elemento de ordem ij ´e obtido
multiplicando ordenadamente, os elementos da i-´esima linha de A pelos elementos da j-´esima coluna de B e somando-se os produtos assim obtidos. Isto ´e,
(ab)ij = Ai B j = (ai1 , . . . , ain )
b1j .. . .. . bnj
para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.
= ai1 b1j + . . . + ain bnj
Observa¸ c˜ ao 1.6 Podemos usar a nota¸c˜ao de somat´ orio: (ab)ij =
n X
aik bkj
k=1
Exemplo 1.20 Dadas as matrizes A =
Resposta: A.B =
1 1 2 8
1 0 −1 2 1 3
,
20
1 2 e B = 0 1 , determine AB. 0 1
Teorema 1.1 Desde que sejam poss´ıveis as opera¸c˜oes, as seguintes propriedades s˜ ao v´alidas: 1. A.(B + C) = AB + AC;
2. (B + C)A = BA + CA;
3. A(kB) = (kA)B = k(AB), k ∈ R
4. A(BC) = (AB)C;
5. (AB)t = B t At ;
6. AI = IA = A;
7. A0 = 0A = 0m×n .
1.5
Matrizes Invert´ıveis
Dada uma matriz A quadrada se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo ordem tal que An×n .Bn×n = Bn×n .An×n = In×n , ent˜ao diremos que An×n ´e invert´ıvel e que Bn×n ´e a inversa de An×n . Se n˜ao puder ser encontrada tal matriz B ent˜ao diremos que A ´e n˜ ao invert´ıvel ou A ´e dita singular. Exemplo 1.21 A matriz B =
3 5 1 2
´e a inversa de A =
2 −5 −1 3
Teorema 1.2 A inversa de uma matriz quadrada A ´e u ´nica e ser´ a denotada por A−1 . prova: Suponhamos que B e C s˜ao inversas da matriz A. Ent˜ao: (BA) = I Multiplicando ambos os lados da igualdade pela direita por C tˆem-se: (BA)C = IC = C Por outro lado, (BA)C = B(AC) = B.I = B Portanto, B = C. Teorema 1.3 A matriz A = dada pela f´ ormula:
a b c d
−1
A
´e invert´ıvel se ad − bc 6= 0, caso em que a inversa ´e
1 = ad − bc 21
d −b −c a
prova: Basta verificar que A.A−1 = A−1 .A = I2×2 . Teorema 1.4 Se A ´e uma matriz invert´ıvel, ent˜ ao At tamb´em ´e invert´ıvel. E ainda, (At )−1 = (A−1 )t prova: Basta verificar que At .(A−1 )t = (A−1 .A)t = I t = I, usando o item 5 do Teorema (1.1). Exerc´ıcio 1.3 Use o Teorema (1.3) para calcular as inversas das seguintes matrizes. 2 0 6 4 2 −3 3 1 d) D = c) C = b) B = a) A = 0 3 −2 −1 4 4 5 2 Resposta:
a) A−1 =
1.5.1
2 −1 −5 3
b) B −1
1 = 20
4 3 −4 2
c) C
−1
1 = 2
−1 −4 2 6
d) D
−1
1 = 6
3 0 0 2
Matrizes Ortogonais
Uma matriz A ´e dita ortogonal se, A ´e quadrada, invert´ıvel e A.At = At .A = I ou seja, A−1 = At . cosθ −senθ ´e ortogonal pois, At .A = A.At = I. Exemplo 1.22 A matriz A = senθ cosθ
3 7
Exerc´ıcio 1.4 Verifique se A = − 76 2 7
2 7 3 7 6 7
6 7 2 7
− 37
´e ortogonal.
Resposta: Sim, verifica-se que At .A = A.At = I.
1.6
Sugest˜ ao de Leitura e Estudo
´ • Anton, H.; Rorres, C. Algebra Linear com Aplica¸ co ˜es. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman, 2001. Se¸c˜ao 1.3 e Se¸c˜ao 1.4. ´ • Boldrini, J. L.. Algebra Linear . 3a Ed.. S˜ao Paulo: Harbra Ltda, 1986. Cap´ıtulo Matrizes e Sistemas Lineares. ´ • Steinbruch, A.; Winterle, P. Introdu¸ c˜ ao ` a Algebra Linear.S˜ ao Paulo: Makron Books, 1990. Apˆendice. ´ • Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introdu¸ c˜ ao ` a Algebra Linear . a 4 Ed. S˜ao Paulo: Thompson Learning, 2007.
22
1.7
Lista 1
1. Um conglomerado ´e composto por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A matriz a seguir apresenta o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de fevereiro.
F =
1950 1500 3100 2500 1800
2030 1820 2800 2420 2020
1800 1740 2700 2300 2040
1950 1680 3050 2680 1950
Cada elemento aij dessa matriz ´e o faturamento da loja i no dia j. a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos quatro dias? 2. Classifique cada afirma¸ca˜o como verdadeiro (V) ou falso (F): a) ( ) Toda matriz identidade ´e necessariamente quadrada. b) ( ) Existe matriz identidade que n˜ao ´e quadrada. c) ( ) Toda matriz nula ´e necessariamente quadrada. d) ( ) Existe matriz nula que n˜ao ´e quadrada. t
e) ( ) (At ) = A, qualquer que seja a matriz A. f ) ( ) At 6= A para qualquer matriz A. g) ( ) Existe alguma matriz tal que At 6= A. h) ( ) Se a matriz A ´e do tipo 2 × 3, ent˜ao At ´e do tipo 3 × 2. i) ( ) Se uma matriz A ´e sim´etrica, ent˜ao At = A.
t
3. Determinar a matriz transposta A de A =
2 3 −5 8 3 −7 1 9
.
0 3 4 4. Considerando a matriz anti-sim´etrica A = −3 0 −6 , calcule At . O que vocˆe observa −4 6 0 em rela¸ca˜o a A e At ?
23
5. Considere A =
1 −2 3 4 5 −6
eB=
3 0 2 −7 1 8
, calcule:
(a) A + 5B (b) 3A (c) 2A − 3B −4 3 5 1 2 1 0 3 6. Considere as matrizes A = −1 0 2 4 e B = 2 2 0 −1 , encontre 3 2 −4 5 4 −2 7 0 1 A + B, A − B e 3 A
7. Resolva o produto de matrizes: 4 1 4 3 1 2 4 0 −1 3 1 A.B = 2 6 0 2 7 5 2 8. Em cada item, encontre a opera¸ca˜o que se pede (adi¸ca˜o, subtra¸ca˜o ou multiplica¸ca˜o) entre as matrizes dadas abaixo: 3 3 2 2 5 −7 , encontre A + B. eB= a) A = 8 9 1 3 −2 4 b) A =
c) A =
4 −1 −3 9 4 2 6 2 5 3
eB=
5 −6 7 −8
5 2 4 1 e B = 2 3 1 0 encontre AB. 1 2 7 6
1 −3 2 d) A = 2 1 −3 , B = 4 −3 −1 encontre AB e encontre AC.
9. Considerando A =
, encontre A − B; AB e BA.
1 0 0 0
, B=
1 2 1 O
4 1 0 2 1 −1 −2 1 1 1 e C = 3 −2 −1 −1 2 −5 −1 0 −2 1 2 que observou?
0 0 1 0
e C=
0 1 0 0
, calcule (AB) C e A (BC).
10. Em cada item, fa¸ca a multiplica¸ca˜o AB entre as matrizes dadas abaixo: 24
1 −2 a) A = 5 0
b) A =
0 3 eB= 0 6 1 3 8 −2 2×3 4 1 4×2
−1 −2 0 1 eB= 2 3 0 1 2×3 4 3×1
2 1 1 −1 c) A = 4 2 e B = 0 4 2×2 5 3 3×2
1 2 3 1 −1 1 d) A = −3 2 −1 e B = 2 4 6 . Neste item, encontre tamb´em BA. 1 2 3 −2 1 0
2 0 1 2 , calcule AB e BA. O que observa sobre o resultado do eB= 11. Se A = 1 1 3 −1 produto AB e BA?
4 −5 −4 6 −3 3 −7 e B = , calcule (AB)t . 12. Dadas as matrizes A = −3 5 8 −2 4
13. Ache x, y, z e w se
x y z w
2 3 3 4
=
1 0 0 1
.
14. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrˆaneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa ´e dado por:
Moderno Mediterrˆaneo Colonial
F erro 5 7 6
M adeira V idro 20 16 18 12 25 8
T inta T ijolo 7 17 9 21 5 13
a) Represente as informa¸co˜es acima por meio de uma matriz C3×5 .
25
b) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrˆaneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material ser˜ao empregadas?(Sugest˜ao: crie a matriz quantidade, Q1×3 e calcule a matriz material M = Q1×3 .C3×5 ) c) Suponha agora que os pre¸cos por unidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Com rela¸ca˜o a esses materiais qual ´e o pre¸co unit´ario de cada tipo de casa?(Sugest˜ao: crie a matriz pre¸co-material P M5×1 e calcule a matriz pre¸co-casa P C = C3×5 .P M5×1 ) d) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrˆaneo e colonial, respectivamente.Considerando os mesmos pre¸cos, use produto de matrizes para obter o custo total de material empregado.
2
15. Considerando A = A · A, calcule
16. Considerando que A =
2 6 −5 4
x y z w
eX=
2
x y
.
, encontre AX.
17. Considerando as matrizes dadas nos itens abaixo, verifique se as matrizes A e B s˜ao inversas. 3 −5 2 5 eB= a) A = −1 2 1 3 −11 2 2 1 0 2 1 b) A = 2 −1 3 e B = −4 0 6 −1 −1 4 1 8
26
1.8
A fun¸ c˜ ao Determinante de uma Matriz Quadrada
No Ensino M´edio vocˆe deve ter se deparado com o c´alculo de determinante de matrizes 2 × 2 e 3 × 3, fazendo uso de algumas regras e f´ormulas.
No entanto, nesta se¸ca˜o verificaremos que o ”determinante” ´e um certo tipo de fun¸ca˜o, que associa a cada matriz quadrada um n´ umero real, independente da ordem da matriz quadrada. Para tanto necessitaremos de alguns conceitos preliminares. Defini¸ c˜ ao 1.11 Uma permuta¸ c˜ ao do conjunto de inteiros {1, 2, ..., n} ´e um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omiss˜oes ou repeti¸c˜oes.
Exemplo 1.23 Existem 6 permuta¸c˜oes distintas do conjunto de inteiros {1, 2, 3} Exerc´ıcio 1.5 Liste todas as permuta¸c˜oes dos inteiros {1, 2, 3, 4}. Defini¸ c˜ ao 1.12 Denotando por (j1 , j2 , ..., jn ) uma permuta¸c˜ao arbitr´aria do conjunto {1, 2, ..., n}
dizemos que, ocorre uma invers˜ ao numa permuta¸c˜ao sempre que um inteiro maior precede um
menor. Exemplo 1.24 Determine o n´ umero de invers˜ oes nas seguintes permuta¸c˜oes. a) (6, 1, 3, 4, 5, 2) 5+0+1+1+1=8 b) (2, 4, 1, 3) 1+2+0=3 Observa¸ c˜ ao 1.7 Para calcular o n´ umero de invers˜ oes de uma permuta¸c˜ao devemos: (1) encontrar a quantia de n´ umeros menores que j1 e que est˜ ao depois de j1 na permuta¸c˜ao; (2) encontrar a quantia de n´ umeros menores que j2 e que est˜ ao depois de j2 na permuta¸c˜ao. Continuar este processo at´e jn−1 e somar estas quantias. A soma destes n´ umeros ser´ a o n´ umero de invers˜ oes de uma permuta¸c˜ao. Defini¸ c˜ ao 1.13 Uma permuta¸c˜ao ´e chamada par se o n´ umero de invers˜ oes ´e um inteiro par e ´e chamada ´ımpar se o n´ umero de invers˜ oes ´e ´ımpar.
27
Exerc´ıcio 1.6 Estude o n´ umero de invers˜ oes das permuta¸c˜oes de {1, 2, 3} e classifique estas
permuta¸c˜oes em par ou ´ımpar.
Defini¸ c˜ ao 1.14 Seja A = [aij ]n×n uma matriz quadrada e (j1 , j2 , ..., jn ) uma permuta¸c˜ao arbitr´ aria do conjunto {1, 2, ..., n} . O produto a1j1 .a2j2 ...anjn ´e dito um produto elementar de A. Defini¸ c˜ ao 1.15 Seja A uma matriz quadrada. A fun¸ c˜ ao determinante denotada por det ´e definida da seguinte maneira: det(A) =
X
(−1)k a1j1 .a2j2 ...anjn
onde k ´e o n´ umero de invers˜ oes de (j1 , j2 , ..., jn ) ou seja, det(A) ´e definido como a soma de todos os produtos elementares de A acompanhados do sinal: (+) se a permuta¸c˜ao (j1 , j2 , ..., jn ) ´e par ou (−) se (j1 , j2 , ..., jn ) ´e ´ımpar. Exemplo 1.25 C´ alculo do determinante de uma matriz de 2a ordem. a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 detA = a21 a22
Exemplo 1.26 C´ alculo do determinante de uma matriz de 3a ordem.
a11 a12 a13 det A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
1.8.1
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12
Algumas propriedades de determinante de uma matriz
Seja A uma matriz n × n. 1. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de A s˜ao nulos, ent˜ao detA = 0. 2. Se B ´e a matriz que resulta quando multiplicarmos uma u ´nica linha ou coluna de A por uma constante k, ent˜ao detB = k.detA. 3. Se B ´e a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A s˜ao permutadas, ent˜ao detB = −detA. 28
4. Se B ´e a matriz que resulta quando uma linha de A ´e somada a um m´ ultiplo de outra linha, ent˜ao detB = detA 5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais ´e zero. Se uma linha ´e m´ ultipla de outra linha, ent˜ao o determinante ´e zero. 6. det(A · B) = detA · detB. 7. det(An ) = (det A)n .
Teorema 1.5 Se A ´e uma matriz triangular n × n, ent˜ ao detA ´e o produto das entradas na diagonal principal da matriz; ou seja,
det(A) = a11 .a22 ...ann .
1.8.2
C´ alculo do determinante por triangulariza¸c˜ ao
Usando as propriedades de determinante e o teorema acima, podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada qualquer reduzindo esta ao formato triangular superior usando as opera¸c˜ oes elementares: 1. Li −→ k.Li , para k 6= 0 Neste caso, temos: det(A) = D =⇒ det(B) = k.det(A) Portanto, quando utilizarmos esta opera¸ca˜o sobre A para triangulariz´a-la e ainda obter o 1 determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante pela fra¸ca˜o , k pois: 1 det(A) = D =⇒ det(B) = k.det(A) =⇒ det(A) = .det(B) k 2. Li −→ Lj , Neste caso, temos: det(A) = D =⇒ det(B) = −det(A) 29
Portanto, quando utilizarmos esta opera¸ca˜o sobre A para triangulariz´a-la e ainda obter o determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante por k = −1 pois det(A) = D =⇒ det(B) = −1.det(A) =⇒ det(A) = −1.det(B)
3. Li → Li + k.Lj Neste caso, sabemos que o determinante n˜ao se altera, ou seja, det(A) = det(B) Portanto, a opera¸ca˜o pode ser utilizada sem que haja preocupa¸co˜es com mudan¸cas no determinante de A.
Aplicaremos este m´etodo de Redu¸ca˜o por linhas em nossas aulas para o c´alculo do determinante das seguintes matrizes: 0 3 1 3 6 −9 0 1 5 A = 3 −6 9 , B = 0 0 −2 e C = 1 1 2 . 3 2 4 −2 1 5 2 6 1
Exerc´ıcio 1.7 Calcule o determinante das matrizes indicadas abaixo usando o M´etodo de Redu¸c˜ao por linhas:
2 1 1. A = 0 0
1 0 2 1
3 1 1 2
1 1 0 3
2. B =
30
0
1 1 1
1 2
1 2
2 3
1 3
− 13
2 3
1 1 0 3 0 0 1 2
1.8.3
Desenvolvimento de Laplace: A expans˜ ao em cofatores
Observando o Exemplo (1.26) notamos que o determinante da matriz de ordem 3 × 3 pode ser desenvolvimento em fun¸ca˜o de determinantes de submatrizes 2 × 2 como segue:
detA = a11 (a22 a33 − a23 a32 ) + a12 (−a21 a33 + a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ) (1) a a = a11 22 23 a32 a33
− a12 a21 a23 a31 a33
+ a13 a21 a22 a31 a32
.
Observe que o determinante da matriz 3 × 3 pode ser expresso em fun¸ca˜o dos determinantes
de submatrizes 2 × 2, isto ´e,
detA = a11 M11 − a12 M12 + a13 M13 , no qual Mij ´e o determinante da submatriz obtida de A, onde a i-´esima linha e a j-´esima coluna foram retiradas. Al´em disso, se chamarmos Cij = (−1)i+j Mij , obtemos a express˜ao detA = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 . Rearranjando os termos em (1), ´e poss´ıvel obter outras f´ormulas como: detA = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31 = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32 = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 . = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 Note que em cada uma dessas equa¸co˜es as entradas e os cofatores s˜ao todos da mesma linha ou coluna. Estas equa¸co˜es s˜ao chamadas expans˜ ao em cofatores de det(A). Estes resultados que acabamos de ver para matrizes 3 × 3 formam somente um caso especial
de um teorema geral, que enunciaremos a seguir:
31
Teorema 1.6 Expans˜ ao em Cofatores O determinante de uma matriz A de tamanho n × n pode ser calculado multiplicando as
entradas de qualquer linha(ou coluna) pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes, ou seja,
detAn×n = ai1 Ci1 + · · · + ain Cin =
n X
aij Cij
j=1
(expans˜ ao em cofatores ao longo da i-´ esima linha)
detAn×n = a1j C1j + · · · + anj Cnj =
n X
aij Cij
i=1
(expans˜ ao em cofatores ao longo da j-´ esima coluna) O n´ umero Cij ´e chamado cofator ou complemento alg´ebrico do elemento aij , onde Cij ´e o determinante afetado pelo sinal (−1)i+j da submatriz obtida de A retirando-se a i-´esima linha e a j-´esima coluna. 3 1 −4 Exemplo 1.27 Encontre o determinante da matriz A = 2 5 6 usando Laplace. 1 4 8
Primeiro vamos calcular o determinante menor da entrada aij . 5 6 = 40 − 24 = 16; O menor de a11 ´e M11 = 4 8 2 6 = 16 − 6 = 10; O menor de a12 ´e M12 = 1 8 2 5 = 8 − 5 = 3. Ent˜ao O menor de a13 ´e M13 = 1 4
detA = a11 M11 − a12 M12 + a13 M13 = 3(16) − 1(10) + (−4)3 = 26.
Exerc´ıcio 1.8 2 1 A= −3
Encontre o determinante da matriz abaixo usando o m´etodo de Laplace. 4 3 −5 7 resposta: detA = −343 8 9
O desenvolvimento de Laplace ´e uma f´ormula de recorrˆencia que permite calcular o determi-
nante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n − 1. Em grande parte dos casos ele simplifica muito o c´alculo de determinantes, principalmente se for utilizado em conjunto com outras propriedades dos determinantes. 32
1.8.4
C´ alculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3
O c´alculo de determinante de ordem maior que 3 envolve um n´ umero elevado de opera¸co˜es, por isso, n˜ao ´e feito usando a defini¸ca˜o. Usaremos m´etodos alternativos para calcular determinante para ordem maior que 3. O m´etodo de Laplace pode ser usado, ou poder´a ser feito o c´alculo do determinante por meio de redu¸ca˜o de linhas. Exerc´ıcio 1.9 Aplique o m´etodo de Laplace para −5 2 0 2 A= −5 2 −8 5
calcular o determinante de 3 −4 0 0 −3 0 3 1
(Observe que ´e mais conveniente usar a linha 2, pois esta tem como elementos o maior n´ umeros de zeros −5 0 det A = −5 −8
e isso facilita os c´alculos). 2 3 −4 −5 3 −4 2 0 0 = 0 + 2(−1)2+2 −5 −3 0 + 0 + 0 = 372. 2 −3 0 −8 3 1 5 3 1
Exerc´ıcio 1.10 Calcule detA = apropriada.
1.9
−1 4 −1 2
2 3 −4 2 0 0 usando a linha (e depois a coluna) mais 2 −3 0 5 3 1
C´ alculo da Matriz Inversa usando Cofatores
Estamos em condi¸co˜es de obter uma f´ormula para a inversa de uma matriz invert´ıvel usando os cofatores. ao a matriz Defini¸ c˜ ao 1.16 Se A ´e uma matriz n × n e Cij ´e o cofator de Aij , ent˜ Cof = [Cij ] ´e chamada matriz de cofatores de A ou Cofatora de A. A transposta desta matriz ´e chamada adjunta de A e denotada por adj(A). 33
Exemplo 1.28 Seja 3 2 −1 3 A= 1 6 2 −4 0
Verifique que,
12 4 12 2 −10 adj(A) = 6 −16 16 16
Calcule ent˜ ao det(A) e verifique que,
A−1 =
1 adj(A). det(A)
Para generalizar este resultado, verificamos que A.adj(A) = det(A).I considerando o produto A.adj(A) e observando que a entrada na i-´esima linha e j-´esima coluna do produto A.adj(A) ´e: ai1 Cj1 + · · · + ain Cjn = 0, i 6= j pois ´e o determinante de uma matriz A, obtida de A trocando a linha j pela linha i. E, ai1 Ci1 + · · · + ain Cin = det(A), i = j Assim, podemos enunciar o seguinte resultado: Teorema 1.7 A inversa de uma Matriz usando a Adjunta Se A ´e uma matriz invert´ıvel, ent˜ ao A−1 =
1 adj(A). det(A)
Exemplo 1.29 Usando a matriz A enunciada no exemplo (1.28) e o teorema (1.7) temos:
A−1
12 4 12 1 6 2 −10 = 64 −16 16 16
Exerc´ıcio 1.11 Calcule a inversa de A utilizando o 2 5 A = −1 −1 2 4 34
teorema (1.7), sendo: 5 0 3
1.10
C´ alculo da Matriz Inversa usando Opera¸ co ˜es Elementares
Nesta se¸ca˜o vamos desenvolver um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz invert´ıvel fazendo uso das opera¸c˜ oes elementares j´a enunciadas. Defini¸ c˜ ao 1.17 Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade In executando uma
u ´nica opera¸c˜ao elementar sobre linhas ´e chamada matriz elementar.
Teorema 1.8 Opera¸ c˜ oes sobre Linhas por Multiplica¸ c˜ ao Matricial Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa opera¸c˜ao sobre linhas em Im e se A ´e uma matriz m × n, ent˜ ao o produto EA ´e a matriz que resulta quando esta mesma opera¸c˜ao sobre linhas ´e efetuada sobre A.
Este teorema nos auxiliar´a nos c´alculos, pois ´e prefer´ıvel (e ´agil) efetuar opera¸co˜es sobre linhas diretamente sobre uma matriz A do que calcular o produto EA, multiplicando `a esquerda por uma matriz elementar. Teorema 1.9 Qualquer matriz elementar ´e invert´ıvel e a inversa ´e, tamb´em, uma matriz elementar. Teorema 1.10 Afirma¸ c˜ oes Equivalentes Se A ´e uma matriz n × n ent˜ ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ ao equivalentes: (a) A ´e invert´ıvel. (b) Usando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de A obtermos a matriz In . Ek ...E2 .E1 .A = In (2) (c) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. A = (E1 )−1 .(E2 )−1 ...(Ek )−1
1.10.1
(3)
Um M´ etodo para Inverter Matrizes
Usando a equa¸ca˜o (2) apontada anteriormente podemos escrever: A−1 = Ek ...E2 .E1 .In (4). 35
Esta equa¸ca˜o nos indica que A−1 pode ser obtida multiplicando In sucessivamente `a esquerda pelas matrizes elementares. Por outro lado, observe que estas mesmas opera¸co˜es aplicadas sobre A faz com que obtemos In . Portanto, podemos enunciar o seguinte M´ etodo: Para encontrar a inversa de uma matriz invert´ıvel A, n´ os devemos encontrar uma sequˆ encia de opera¸c˜ oes elementares sobre linhas que reduz A ` a identidade I. Estas mesmas opera¸c˜ oes efetuadas em I nos dar´ a A−1 . Simbolicamente temos: [A|I] ≈ [I|A−1 ] Exemplo 1.30 Encontre a inversa de 1 2 3 A= 2 5 3 1 0 8
Exemplo 1.31 Verifique se
1 6 4 A = 2 4 −1 −1 2 5
´e invert´ıvel.
Exemplo 1.32 Determine a inversa de
1 1 A= 1 1
1.11
0 3 3 3
0 0 5 5
0 0 0 7
Sugest˜ ao de Leitura e Estudo
´ • Anton, H.; Rorres, C. Algebra Linear com Aplica¸ co ˜es. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman, 2001. Se¸c˜ao 1.5 e Cap´ıtulo 2. ´ • Boldrini, J. L.. Algebra Linear . 3a Ed.. S˜ao Paulo: Harbra Ltda, 1986. Cap´ıtulo Matrizes e Sistemas Lineares. ´ • Steinbruch, A.; Winterle, P. Introdu¸ c˜ ao ` a Algebra Linear.S˜ ao Paulo: Makron Books, 1990. Apˆendice. ´ • Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introdu¸ c˜ ao ` a Algebra Linear . a 4 Ed. S˜ao Paulo: Thompson Learning, 2007.
36
1.12
Exerc´ıcios de Fixa¸ c˜ ao (Lista 2)
Exerc´ıcio 1.12 Encontrar a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2 −5 resposta: A = A= −1 3 14 − 3 − 93 − 13 −3 4 −5 3 1 2 resposta: B −1 = −2 −1 −2 B= 0 3 −5 4 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 , resposta: C −1 = −2 1 C= 1 −2 1 0 . 3 2 1 0 0 1 −2 1 4 3 2 1 1 − 2 0 − 12 1 0 −2 D = 2 −2 −2 resposta: D−1 = 14 − 21 − 41 . −3 0 2 − 34 0 − 14 −4 0 −10 −4 25 −5 E = −2 −4 −4 resposta: E −1 = 21 − 12 12 . 3 −1 2 2 −2 6 2 11 4 −3 −6 −12 −2 3 3 1 3 −3 resposta: F −1 = − 32 0 F = 0 . 3 2 1 −6 −9 −24 − 3 − 3 31 1 2 3 −40 16 9 G = 2 5 3 resposta: G−1 = −13 −5 −3 . 5 −2 −1 1 0 8
3 5 1 2
−1
1 0 2 Exerc´ıcio 1.13 Seja dada a matriz A = 2 −1 3 , encontre sua inversa. 4 1 8
Exerc´ıcio 1.14 0 0 1 0 a) 0 −1 2 1
Encontre a inversa da matriz 2 0 −8 17 4 0 0 1 b) 0 0 3 0 −1 13 5 −3
−1 3 −4 d) 2 4 1 −4 2 −9
dada usando opera¸c˜oes elementares. √ √ 2 13 2 3 2 0 2 √ √ −9 5 c) −4 2 2 0 0 0 0 0 1 4 2
2 6 6 e) 2 7 6 2 7 7 37
Exerc´ıcio 1.15 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 × 4, onde k, k1 , k2 , k3 , k4
e k5 s˜ ao todos n˜ ao nulos. k1 0 0 0 0 k2 0 0 a) 0 0 k3 0 0 0 0 k4
k 0 d) 0 0
1 k 0 0
0 1 k 0
0 0 1 0
0 0 0 k1 0 0 k2 0 b) 0 k3 0 0 k4 0 0 0
k 1 c) 0 0
0 k 1 0
0 0 k 1
0 0 0 k
k k k e) 0 k k 0 0 k
Exerc´ıcio 1.16 Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante e as opera¸c˜oes elementares. 0 0 0 0 −3 0 0 0 −4 0 0 0 −1 0 0 a) 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0
2 1 1 0 d) 0 2 0 1
3 1 1 2
1 1 0 3
Exerc´ıcio 1.17 d e f a) g h i a b c
e)
b)
5 0 0 0 0 0 0 0 0 −2
0 0 0 0 −4 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0
4 −9 9 2 −2 5 6 4 c) 1 2 −5 −3 1 −2 0 −2
1 3 1 5 3 −2 −7 0 −4 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 0 −0 0 1 1
a b Sabendo que d e g h 3a 3b −d −e b) 4g 4h
−3a −3b −3c d e f d) g − 4d h − 4e i − 4f
Exerc´ıcio 1.18 Use det(A) para 4 1 0 −1 a) 9 −1 4 b) −2 3 8 9 −1
= −6, encontre a+g b+h c+i 3c e f −f c) d g h i 4i
c f i
3d 3e 3f e) a b c g h i
determinar quais das seguintes matrizes s˜ ao invert´ıveis. √ √ 2 8 2 − 7 0 −3 0 1 √ √ 1 −4 c) 3 2 −3 7 0 d) 5 0 6 1 6 8 0 3 5 −9 0 38
3 0 6 e) 1 0 2 2 3 7
Exerc´ıcio 1.19 Seja a b c A= d e f g h i
Supondo que det(A) = −7, obtenha b) det(A−1 )
a) det(3A)
c) det((2A)−1 )
d) det(2A−1 )
a d g e) det b e h c f i
Exerc´ıcio 1.20 Estude o determinante de A por cofatores da linha ou coluna mais apropriada 1 e use A−1 = detA .adjA para o c´alculo da inversa de A. 3 3 0 5 2 0 0 2 −3 5 2 2 0 −2 c) b) 8 1 0 a) 0 1 −3 4 1 −3 0 −5 3 6 0 0 2 2 10 3 2
d)
1.13
4 3 1 9 2
0 3 2 4 2
0 1 0 3 −1 0 4 2 3 6 2 3 4 2 3
2 0 3 e) 0 3 2 −2 0 −4
Sistemas de Equa¸co ˜es Lineares
Os sistemas de equa¸co˜es alg´ebricas lineares e suas solu¸co˜es constituem um dos principais t´opicos ´ estudados em cursos de Algebra Linear. Nesta se¸ca˜o iremos introduzir alguma terminologia b´asica e discutir um m´etodo para resolver estes sistemas. Defini¸ c˜ ao 1.18
Equa¸ c˜ ao Linear Definimos uma equa¸c˜ao linear nas n vari´aveis x1 , x2 , ..., xn
como uma equa¸c˜ao que pode ser expressa na forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b onde a1 , a2 , ..., an e b s˜ ao constantes reais. As vari´ aveis de uma equa¸c˜ao linear s˜ ao chamadas inc´ ognitas. 39
Observa¸ c˜ ao 1.8 Uma equa¸c˜ao linear n˜ ao envolve quaisquer produtos ou ra´ızes de vari´ aveis. Todas as vari´ aveis ocorrem somente na primeira potˆencia e n˜ ao aparecem como argumentos de fun¸c˜oes trigonom´etricas ou exponenciais. Exemplo 1.33 As equa¸c˜oes ao lineares. J´ a as equa¸c˜oes, x + 3y = 7, y = 12 x + 3z + 1 e x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 7 s˜ √ x + 3 y = 5, 3x + 2y − z + xz = 4 e y = senx s˜ ao n˜ ao-lineares. Exerc´ıcio 1.21 Classifique as equa¸c˜oes em lineares ou n˜ ao lineares. √ 1 a) x1 + 3x2 + x1 x3 = 2 b) x−2 2x2 + 31 x3 = 7 3 1 + x2 + 8x3 = 5 c) πx1 − Defini¸ c˜ ao 1.19 Uma solu¸ c˜ ao de uma equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b ´e uma n-upla (s1 , s2 , ..., sn ) tais que a equa¸c˜ao ´e satisfeita quando substitu´ımos x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn . O conjunto de todas as solu¸c˜oes de uma equa¸c˜ao ´e chamado seu conjunto-solu¸ c˜ ao ou solu¸ c˜ ao geral da equa¸c˜ao. Defini¸ c˜ ao 1.20 Um conjunto finito de equa¸c˜oes lineares nas vari´ aveis (x1 , x2 , . . . , xn ) ´e chamado de sistema de equa¸ c˜ oes lineares ou um sistema linear. A n-upla (x1 , x2 , . . . , xn ) ´e chamada solu¸ c˜ ao do sistema se x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn ´e solu¸c˜ao de cada uma das equa¸c˜oes: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 S1 : (1.13.1) .. .. .. . . · · · . a x + a x + ··· + a x = b m1 1 m2 2 mn n m
onde bi , aij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, pertencem a R. O conjunto de equa¸c˜oes 1.13.1 chama-se sistema de m equa¸ c˜ oes lineares com n inc´ ognitas. O sistema S1 pode ser escrito a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = .. .. .. ... . . . am1 am2
como AX = B, onde x1 x2 X = .. . xm · · · amn
matriz dos coeficientes
matriz das inc´ ognitas
Outra matriz associada ao sistema ´e: 40
B=
b1 b2 .. . bm
matriz dos termos independentes
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
am1 am2
· · · a1n b1 · · · a2n b2 . . . .... .. · · · amn bm
, chamada matriz ampliada do sistema.
Observa¸ c˜ ao 1.9 O sistema S1 ´e dito homogˆ eneo se b1 = b2 = · · · = bm = 0. x − 2y + z = 0 2x + y − z = 0 ´e Exemplo 1.34 A forma matricial do sistema S1 : 3x − y + 2z = 0 0 x 1 −2 1 2 1 −1 y = 0 0 z 3 −1 2 1 −2 1 0 e a matriz ampliada associada ao sistema ´e: 2 1 −1 0 3 −1 2 0 Exerc´ıcio 1.22 Encontre a matriz ampliada de cada um dos seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares. (a) (b) (c)
3x − 2y = −1 4x + 5y = 3 7x + 3y = 2 2x + 2z = 1 3x − y + 4z = 7 6x + y − z = 0
x + 2y − t + w = 1 3y + z − w = 2 z + 7w = 1
Nosso objetivo agora, ´e estudar um m´etodo para resolu¸ca˜o de sistemas em geral. O processo
consiste em substituir o sistema inicial por um sistema ”equivalente” cada vez mais simples, fazendo a elimina¸ca˜o sucessiva das inc´ognitas atrav´es de opera¸c˜ oes elementares (j´a apresentadas no estudo das Matrizes e Determinantes) at´e que possamos visualizar facilmente a solu¸ca˜o do sistema.
1.13.1
Opera¸c˜ oes Elementares sobre as equa¸c˜ oes de um Sistema
1. Multiplicar uma equa¸ca˜o inteira por uma constante n˜ao nula.
41
2. Trocar duas equa¸co˜es entre si. 3. Somar um m´ ultiplo de uma equa¸ca˜o a uma outra equa¸ca˜o
1.13.2
Opera¸c˜ oes Elementares sobre as linhas da matriz ampliada
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem `as equa¸co˜es no sistema associado, as trˆes opera¸c˜ oes elementares aplicadas sobre as equa¸co˜es de um sistema linear correspondem `as seguintes opera¸co˜es nas linhas da matriz ampliada do sistema: 1. Multiplica¸ca˜o de uma linha inteira por um escalar c n˜ao-nulo (Li −→ cLi ); 2. Permuta¸ca˜o da i -´esima linha pela j -´esima linha (Li ←→ Lj ). 3.Substitui¸ca˜o da i -´esima linha pela i -´esima linha mais c vezes a j -´esima linha (Li −→ Li +cLj ); Exemplo 1.35 Determine a solu¸c˜ao do sistema abaixo, realizando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz ampliada. x + y + 2z = 9 2x + 4y − 3z = 1 3x + 6y − 5z = 0
1.14
Elimina¸c˜ ao Gaussiana
Apresentaremos um procedimento para reduzir a matriz ampliada de um sistema a uma outra matriz ampliada ”escalonada”. Defini¸ c˜ ao 1.21 Uma matriz A chama-se escalonada ou dizemos que est´ a na forma escalonada, se o n´ umero de zeros precedendo o primeiro elemento n˜ ao-nulo de cada linha aumenta por linhas e se aparecerem linhas nulas, estas devem estar abaixo de todas as outras linhas.
Defini¸ c˜ ao 1.22 Uma matriz A chama-se escalonada reduzida por linhas se: a) est´ a na escalonada;
42
b) o primeiro elemento n˜ ao-nulo de cada linha n˜ ao-nula de A for igual a 1. Chamamos este n´ umero 1 de pivˆ o; c) cada coluna de A que cont´em o primeiro elemento n˜ ao-nulo de alguma linha de A tiver todos os outros elementos iguais a zero. 0 2 1 1 0 0 0 Exemplo 1.36 Dadas as matrizes A = 0 1 −1 0 B = 1 0 −3 0 0 0 0 0 1 0 0 1 −3 0 2 0 1 −3 0 1 0 0 D= 0 0 0 1 2 C= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 Quais s˜ ao escalonadas e quais s˜ ao escalonadas reduzidas por linhas?
Defini¸ c˜ ao 1.23 Se A e B s˜ ao matrizes de ordem m × n, diremos que A ´e equivalente por
linhas a B se B pode ser obtida de A ap´ os um n´ umero finito de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de A. Nota¸ca˜o: A ∼ B 1 0 1 0 Exemplo 1.37 A matriz A = 4 −1 ´e equivalentes por linhas a B = 0 1 −3 4 0 0
Teorema 1.11 Toda matriz ´e equivalente por linhas a uma u ´nica matriz escalonada reduzida por linhas.
Defini¸ c˜ ao 1.24 Dois sistemas lineares s˜ ao equivalentes se, e somente se, toda solu¸c˜ao de um deles, ´e tamb´em solu¸c˜ao do outro. Teorema 1.12 Todo sistema de equa¸c˜oes lineares homogˆeneo, cujo n´ umero de equa¸c˜oes ´e menor que o n´ umero de inc´ ognitas, possui solu¸c˜ao n˜ ao-nula, isto ´e, possui infinitas solu¸c˜oes. 43
Teorema 1.13 Dois sistemas de equa¸c˜oes lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes s˜ ao equivalentes.
Defini¸ c˜ ao 1.25 O posto de uma matriz A ´e o n´ umero de linhas n˜ ao nulas de alguma matriz escalonada , equivalente a A. 1 3 1 0 2 0 . Exemplo 1.38 Determine o posto da matriz A = 2 6 1 −3 −1 0
1.14.1
Classifica¸c˜ ao de um Sistema Linear quanto ` a Solu¸ c˜ ao
No teorema a seguir veremos que um sistema s´o admite uma (e somente uma) das seguintes classifica¸co˜es: SPD: Sistema Poss´ıvel Determinado, com uma u ´nica solu¸c˜ao. SPI: Sistema Poss´ıvel Indeterminado, com infinitas solu¸co˜es. S.I: Sistema Imposs´ıvel, sem nenhuma solu¸ca˜o. O estudo do posto de uma matriz nos auxiliar´a na classifica¸ca˜o de um sistema linear. Teorema 1.14 Consideremos um sistema linear de m equa¸c˜oes a n vari´ aveis. Seja Pc o posto da matriz dos coeficientes e Pα o posto da matriz ampliada do sistema. a) Se Pc = Pα = p, ent˜ ao o sistema tem solu¸c˜ao u ´nica no caso em que n = p e tem infinitas solu¸c˜oes se p < n;
(SPD)
(SPI)
b) Se Pc 6= Pα ent˜ ao o sistema n˜ ao tem solu¸c˜ao.
( SI)
Observa¸ c˜ ao 1.10 No caso de um sistema de n inc´ ognitas apresentar infinitas solu¸c˜oes, p vari´ aveis podem ser escrita em fun¸c˜ao de outras n − p escolhidas convenientemente. Estas n − p vari´ aveis
s˜ ao chamadas de vari´ aveis livres e o n´ umero (n − p) denota o grau de liberdade do sistema.
Quando aplicamos opera¸ c˜ oes elementares sobre as linhas da matriz ampliada associada a um sistema at´e transformarmos na forma escalonada, obtemos um novo sistema equivalente que pode ser resolvido por substitui¸c˜ao de tr´ as para frente, tamb´em dita retro substitui¸ c˜ ao.
44
1.14.2
O M´ etodo de Gauss
1. Escreva a matriz ampliada A do sistema; 2. Use opera¸co˜es elementares sobre as linhas da matriz A at´e transform´a-la numa matriz A′ escalonada; 3. Fazendo substitui¸ca˜o de tr´as para frente, resolva o sistema equivalente associado a A′ .
x + 2y + z = 0 −x + 3z = 5 Exemplo 1.39 Determine a solu¸c˜ao do sistema S : utilizando o M´etodo de x − 2y + z = 1 Gauss.
1.14.3
O M´ etodo de Gauss-Jordan
Neste m´etodo, procedemos como no m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss, mas reduzimos ainda mais a matriz ampliada at´e ` a forma escalonada reduzida por linha. 1. Escreva a matriz ampliada A do sistema; 2. Use opera¸co˜es elementares sobre as linhas de A at´e transform´a-la numa matriz A′ escalonada reduzida por linhas; 3. Se o sistema for poss´ıvel e determinado, a matriz A′ indica a solu¸ca˜o; 4. Se o sistema resultante for poss´ıvel e indeterminado, resolva-o para as vari´aveis dependentes em termos de quaisquer vari´aveis livres que tenham sobrado.
Exemplo 1.40 Determine a solu¸c˜ao do sistema abaixo usando elimina¸c˜ao de Gauss-Jordan. 2x + 4y + 6z = −6 3x + −2y − 4z = −38 x + 2y + 3z = −3
Exerc´ıcio 1.23 Determine a solu¸c˜ao de cada sistema abaixo usando elimina¸c˜ao de GaussJordan.
45
2x + 2y + z = 5 −x − y = −2 (a) x + 2y + 3z = 6
2x + 2y − z + w = 0 −x − y + 2z − 3t + w = 0 (b) x + y − 2z − w = 0 z+t+w =0 2x + 2y + z = 2 −x − y = 0 (c) x+y+z =5
46
1.15
Exerc´ıcios de Fixa¸ c˜ ao ( Lista 3)
1. Considere as matrizes 6 1 3 1 5 2 3 0 1 4 2 4 −1 , D = −1 0 1 , E = −1 1 2 , C= A = −1 2 , B = 3 1 5 0 2 4 1 3 3 2 4 1 1 Calcule, quando poss´ıvel: a) D + E
b) D − E
c) 2B − C
d) 4E − 2D e) − 3(D + 2E).
2. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule (se poss´ıvel): a) tr(D)
b) 4tr(7B)
c) tr(DDT )
d) tr(4E T − D) e) tr(C T AT + 2E T ).
3. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule os seguintes (quando poss´ıvel). a) (2DT −E)A
b) (4B)C+2B
c) (−AC)T +5DT
d) (BAT −2C)T e) B T (CC T −AAT ).
4. Sejam
6 −2 4 3 −2 7 A= 6 5 4 e B= 0 1 3 7 7 5 0 4 9
Use a defini¸ca˜o de produto de matrizes da p´agina 9 do Cap´ıtulo 1 para encontrar
a) a primeira linha de AB b) a terceira linha de AB c) a segunda coluna de AB
d) a primeira coluna de BA e) a terceira coluna de AA. 5. Em cada item, encontre uma matriz [aij ] de tamanho 6 × 6 que satisfaz a condi¸ca˜o dada.
Dˆe respostas t˜ao gerais quanto poss´ıvel, usando letras e n˜ao n´ umeros para entradas n˜ao nulas espec´ıficas. Classifique as matrizes obtidas quanto ao tipo, utilizando a se¸ca˜o 1.2. a) aij = 0 d) aij = i + j
se i 6= j
b) aij = 0 se i > j
e) aij = i − j
6. Sejam
8 −3 −5 2 −1 3 2 , e 4 5 , B = 0 1 A= 0 4 −7 6 −2 1 4 0 −2 3 C = 1 7 4 , a = 4, b = −7. 3 5 9 Mostre que
47
c) aij = 0 se i < j
a) A + (B + C) = (A + B) + C b) (AB)C = A(BC) c) a(B − C) = aB − aC d) (AT )T = A e) (AB)T = B T .AT .
7. Use o Teorema 1.3 para calcular as inversas das seguintes matrizes. 6 −4 2 −3 3 1 c) C = b) B = a) A = −2 −1 4 4 5 2 3 0 2 0 . e) E = d) D = 0 2 0 3 8. Use as matrizes A e B do exerc´ıcio anterior para verificar que a) (A−1 )−1 = A
b) (B T )−1 = (B −1 )T
c) (AB)−1 = B −1 .A−1
d) (ABC)−1 = C −1 .B −1 .A−1 e)(CA)−1 = A−1 .C −1 . 9. Em cada parte use a informa¸ca˜o dada para encontrar A. −3 −1 −3 7 2 −1 T −1 −1 −1 c) (5A ) = b) (7A) = a) A = 5 2 1 −2 3 5 2 3 −1 2 −1 −1 . e) A = d) (I + 2A) = −1 5 4 5 10. Mostre que
a11 0 · · · 0 0 a22 · · · 0 a) An×n = · · · · · · · · · · · · ´e invert´ıvel e encontre sua inversa, 0 0 · · · ann sabendo que a11 .a22 . · · · .ann 6= 0 b) Uma matriz An × n com uma linha de zeros n˜ao pode ter inversa. c) Uma matriz An × n com uma coluna de zeros n˜ao pode ter inversa. d) Se A, B s˜ao matrizes quadradas tais que AB = 0 e A ´e invert´ıvel ent˜ao, B = 0.
e) Se A ´e uma matriz quadrada tal que Li = k.Lj ent˜ao A n˜ao ´e invert´ıvel. 11. Encontre uma opera¸ca˜o sobre linhas que retorna a matriz elementar dada a uma matriz identidade. a)
1 0 −3 1
1 0 0 b) 0 1 0 0 0 3
0 0 c) 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
1 0 d) 0 1
0 − 17 1 0 0 1 0 0
12. Encontre a inversa da matriz dada usando opera¸co˜es elementares.
48
2 0 0 0 e) 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1
−8 17 2 13 4 0 2 −9 5 b) 0 0 0 0 −1 13 4 2
0 0 2 0 1 0 0 1 a) 0 −1 3 0 2 1 5 −3
√ √ 2 3√ 2 0 √ c) −4 2 2 0 0 0 1
−1 3 −4 d) 2 4 1 −4 2 −9
2 6 6 e) 2 7 6 2 7 7
13. Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 × 4, onde k, k1 , k2 , k3 , k4 e k5 s˜ao todos n˜ao nulos. k1 0 0 0 0 k2 0 0 a) 0 0 k3 0 0 0 0 k4
k 0 d) 0 0
1 k 0 0
0 1 k 0
0 0 1 0
0 0 0 k1 0 0 k2 0 b) 0 k3 0 0 k4 0 0 0
k 1 c) 0 0
0 k 1 0
0 0 k 1
0 0 0 k
k k k e) 0 k k 0 0 k
14. Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante e as opera¸co˜es elementares. 0 0 0 0 −3 0 0 0 −4 0 0 a) 0 0 −1 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0
2 1 1 0 d) 0 2 0 1
3 1 1 2
1 1 0 3
e)
b)
5 0 0 0 0 0 0 0 0 −2
0 0 0 0 −4 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0
4 −9 9 2 −2 5 6 4 c) 1 2 −5 −3 1 −2 0 −2
1 3 1 5 3 −2 −7 0 −4 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 0 −0 0 1 1
a b c 15. Sabendo que d e f = −6, encontre g h i 3a 3b 3c d e f b) −d −e −f a) g h i 4g 4h 4i a b c
a+g b+h c+i e f c) d g h i 49
−3a −3b −3c d e f d) g − 4d h − 4e i − 4f
3d 3e 3f e) a b c g h i
16. Use det(A) para determinar quais das seguintes matrizes s˜ao invert´ıveis. √ √ −3 0 1 2 − 7 0 4 2 8 1 0 −1 √ √ a) 9 −1 4 b) −2 1 −4 c) 3 2 −3 7 0 d) 5 0 6 8 0 3 3 1 6 8 9 −1 5 −9 0 3 0 6 1 0 2 e) 2 3 7
17. Seja
a b c A= d e f g h i
Supondo que det(A) = −7, obtenha b) det(A−1 )
a) det(3A) 18. Use A−1 = cofatores da 2 −3 a) 0 1 0 0
d)
4 3 1 9 2
0 3 2 4 2
1 .adjA detA
c) det((2A)−1 )
d) det(2A−1 )
a g d e) det b h e c i f
para o c´alculo da inversa de A e estude o determinante de A por
linha ou coluna mais apropriada. 3 3 0 5 2 0 0 5 2 2 0 −2 8 1 0 −3 c) b) 4 1 −3 0 −5 3 6 2 2 10 3 2
0 1 0 3 −1 0 4 2 3 6 2 3 4 2 3
2 0 3 e) 0 3 2 −2 0 −4
50
19. Quais das 1 2 a) 0 1 0 0
seguintes matrizes 3 × 3 est˜ao em forma escalonada? 1 3 4 1 0 0 0 0 c) 0 0 1 b) 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0
1 5 −3 d) 0 1 1 0 0 0
20. Quais das 1 0 a) 0 1 0 0
1 2 3 e) 0 0 0 0 0 1
seguintes matrizes 3 × 3 est˜ao em forma escalonada reduzida por linhas? 0 0 1 0 1 0 0 0 b) 0 0 1 c) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 e) 0 1 3 0 0 0
1 1 0 d) 0 1 0 0 0 0
21. Em cada parte, determine se a matriz est´a em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, 1 0 a) 0 0
d)
ambas ou nenhuma das duas. 2 0 3 0 1 0 0 5 0 1 1 0 b) 0 0 1 3 0 0 0 1 0 1 0 4 0 0 0 0
1 −7 5 5 0 1 3 2
1 1 e) 0 0
3 0 0 0
0 2 0 0
2 2 0 0
c)
1 0 3 1 0 1 2 4
0 0 1 0
22. Em cada parte, suponha que a matriz de um sistema de equa¸co˜es lineares foi reduzida por opera¸co˜es sobre linhas `a forma escalonada ou `a forma escalonada reduzida por linhas. Resolva 1 a) 0 0
o sistema. 0 0 −3 1 0 0 0 1 7
1 0 0 −7 8 2 b) 0 1 0 3 0 0 1 1 −5
51
1 0 8 −5 6 c) 0 1 4 −9 3 0 0 1 1 2
1 −3 0 0 d) 0 0 1 0 0 0 0 1
1 −3 7 1 e) 0 1 4 0 0 0 0 1
23. Resolva cada um dos seguintes sistemas por elimina¸ca˜o de Gauss. x + y + 2z = 8 2x + 2y + 2z = 0 −x − 2y + 3z = 1 −2x + 5y + 2z = 1 (a) (b) 3x − 7y + 4z = 10 8x + y + 4z = −1 x − y + 2z − w = −1 2x + y − 2z − 2w = −2 (c) −x + 2y − 4z + w = 1 3x − 3w = −3
−2y + 3z = 1 3x + 6y − 3z = −2 (d) 6x + 6y + 3z = 5
3x + 2y − z = −15 5x + 3y + 2z = 0 (e) 3x + y + 3z = 11 −6x − 4y + 2z = 30
24. Resolva cada um dos seguintes sistemas por elimina¸ca˜o de Gauss-Jordan. 10y − 4z + w = 1 x − 2y + z − 4w = 1 x + 4y − z + w = 2 x + 3y + 7z + 2w = 2 3x + 2y + z + 2w = 5 (a) (b) x − 12y − 11z − 16w = 5 −2x − 8y + 2z − 2w = −4 x − 6y + 3z = 1 w + 2x − y = 4 x−y =3 (c) w + 3x − 2y = 7 2u + 4v + w + 7x = 7
2x − 3y + 4z − w = 0 7x + y − 8z + 9w = 0 (d) 2x + 8y + z − w = 0
2x + 2y + 4z = 0 −y − 3z + w = 0 (e) 3x + y + z + 2w = 0 x + 3y − 2z − 2w = 0
25. Resolva os seguintes sistemas por elimina¸ca˜o de Gauss ou elima¸ca˜o de Gauss-Jordan. v + 3w − 2x = 0 2x − y − 3z = 0 2u + v − 4w + 3x = 0 −x + 2y − 3z = 0 (a) (b) 2u + 3v + 2w − x = 0 x + y + 4z = 0 −4u − 3v + 5w − 4x = 0
52
x + 3y + w = 0 x + 4y + 2z = 0 −2y − 2z − w = 0 (c) (d) 2x − 4y + z + w = 0 x − 2y − z + w = 0 z+w+t=0 −x − y + 2z − 3w + t = 0 (e) x + y − 2z − t = 0 2x + 2y − z + t = 0
2x − y + 3z + 4w = 9 x − 2z + 7w = 11 3x − 3y + z + 5w = 8 2x + y + 4z + 4w = 10
26. As situa¸co˜es apontadas a seguir ilustram aplica¸co˜es da resolu¸ca˜o de sistemas lineares. a) (F uvest2008) Jo˜ao entrou na lanchonete BOB pediu 3 hamb´ urgues, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21, 50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hamb´ urgues, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$57, 00. Sabendo que o pre¸co de um hamb´ urguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$10, 00, calcule o pre¸co de cada um desses itens.
b) (U nesp2007) Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no caf´e da manh˜a, 1 peda¸co de bolo e 3 p˜aezinhos, o que deu um total de 140 gramas. Na ter¸ca-feira, no caf´e da manh˜a, consumiu 3 peda¸cos de bolo e 2 p˜aezinhos (iguais aos do dia anterior e de mesma massa), totalizando 210 gramas. Cada 100 gramas de bolo e de p˜aozinho fornecem (aproximadamente) 420 kcal e 270kcal de energia, respectivamente. Usando estas informa¸co˜es, determine a quantidade em gramas de cada peda¸co de bolo e de cada p˜aozinho e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa, com esses dois alimentos, no caf´e da manh˜a de segunda-feira.
c) (F uvest2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas lim˜ao e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma lim˜ao do que no aroma coco, determine o n´ umero de frascos entregues, no aroma lim˜ao.
d) Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela recebeu R$0, 05 por copo que lavou e teve de pagar R$0, 25 por copo que quebrou. Terminado o servi¸co, a copeira recebeu R$35, 80. Determine o n´ umero de copos que ela quebrou.
53
e) (F uvest2002) Carlos, Lu´ıs e S´ılvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplica¸ca˜o que rendia 15% ao ano. Lu´ıs, uma que rendia 20% ao ano. S´ılvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplica¸ca˜o de risco, com rendimento anual p´os-fixado. Depois de um ano, Carlos e Lu´ıs tinham juntos 59 mil reais; Carlos e S´ılvio, 93 mil reais; Lu´ıs e S´ılvio, 106 mil reais. Determine, quantos reais cada um tinha inicialmente e qual o rendimento da aplica¸ca˜o de risco.
54
Cap´ıtulo 2 Vetores Existem grandezas chamadas escalares, exemplos: ´ area, comprimento, massa, etc... que ficam completamente determinadas assim que for dada sua magnitude. Outras quantidades f´ısicas no entanto requerem mais do que isso. Por exemplo, uma for¸ ca ou uma velocidade, para que fiquem bem definidas precisamos dar a dire¸ca˜o, a intensidade e o sentido. Tais grandezas s˜ao chamadas vetoriais.
2.1
Segmentos Orientados
Dois pontos A e B do espa¸co determinam uma reta r. O conjunto dos pontos de r que est˜ao entre A e B ´e um segmento de reta AB que podemos orientar considerando um dos pontos como origem e outro como extremidade. Denotaremos por AB o segmento orientado de origem em A e extremidade em B.
Figura 2.1: segmento AB
O segmento AA ´e dito segmento nulo.
Observa¸ c˜ ao 2.1 a) Tamanho ou comprimento de um segmento orientado AB ´e o comprimento do segmento geom´etrico AB. 43
b) Dizemos que os segmentos orientados AB e A′ B ′ tem mesma dire¸c˜ao se a reta determinada por A e B ´e paralela a reta determinada por A’ e B’. c) Se os segmentos orientados AB e A′ B ′ tem mesma dire¸c˜ao eles ter˜ ao o mesmo sentido se T AA′ BB ′ = ∅ Defini¸ c˜ ao 2.1 Diremos que um segmento orientado AB ´e equipolente ao segmento orientado A′ B ′ , se ambos s˜ ao nulos ou possuem mesma dire¸c˜ao, mesmo tamanho e mesmo sentido.
Propriedades da rela¸ c˜ ao de equipolˆ encia: (a) Reflexividade: AB ´e equipolente a AB. (b) Simetria: Se AB ´e equipolente a A′ B ′ , ent˜ao A′ B ′ ´e equipolente a AB. (c) Transitividade: Se AB ´e equipolente a A′ B ′ e se A′ B ′ ´e equipolente a A′′ B ′′ , ent˜ao AB ´e equipolente a A′′ B ′′ .
2.2
Vetores
Imagine um s´ olido em transla¸c˜ao, a velocidade de cada ponto desse s´ olido ´e a mesma. Ent˜ao qual das flexas (que obtemos em cada ponto do s´ olido) seria escolhida para representar a velocidade do s´ olido? Observe que todas s˜ ao equipolentes. Assim poder´ıamos representar a velocidade por qualquer uma delas. Defini¸ c˜ ao 2.2 O conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ser´ a chamado −→ de vetor determinado pelo segmento orientado AB, e denotaremos por AB. −→ Diremos que o segmento orientado AB ´e um representante do vetor AB. Assim dado um vetor, em cada ponto do espa¸co, sempre existir´a um, e somente um, representante desse vetor. → − −→ → Nota¸c˜ oes: podemos simplesmente denotar o vetor AB por − a ou b . Observa¸ c˜ ao 2.2 −→ −−→ 1. Dois vetores AB e CD s˜ ao iguais se, e somente se, AB ´e equipolente a CD. 2. O vetor nulo ´e o vetor cujo representante ´e um segmento orientado nulo. → − Nota¸c˜ao: 0 44
− 3. A norma (m´ odulo ou comprimento) de um vetor → a ´e o comprimento de qualquer segmento orientado representante desse vetor. → Nota¸c˜ao: k − a k, − → 4. Um vetor → a ´e unit´ ario se k − a k= 1. −→ −→ − − 5. Se → a = AB ent˜ ao o vetor oposto de → a ´e ao vetor BA. −→ Nota¸c˜ao: −AB ou −~a. − −→ → −−→ → 6. Dois vetores − a = AB e b = CD s˜ ao colineares ou paralelos se tiverem a mesma dire¸c˜ao, isto ´e, se seus representantes AB e CD pertencerem a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Figura 2.2: vetores colineares
7. Trˆes ou mais vetores s˜ ao coplanares se possuem representantes pertencentes a um mesmo plano.
Figura 2.3: vetores coplanares
45
Note que dois vetores quaisquer s˜ ao sempre coplanares no entanto, trˆes vetores poder˜ ao ou n˜ ao ser coplanares.
Figura 2.4: vetores coplanares e n˜ao-coplanares
2.3
Adi¸c˜ ao de Vetores
→ → Defini¸ c˜ ao 1.3 Sejam − u e− v dois vetores do espa¸co, a soma desses vetores, representada por → − → → u +− v , ´e o vetor determinado da seguinte maneira: posicione o vetor − v de tal maneira que → − → − → − seu ponto inicial coincide com o ponto final de u . O vetor u + v ´e representado pela flecha do ponto inicial de u ao ponto final de v.
Propriedades da adi¸c˜ ao Para quaisquer vetores ~a, ~b e ~c temos: 1. ~u + ~v = ~v + ~v 2. (~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ 3. ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u 4. ~u + (−~u) = −~u + ~u = ~0
46
Regra do paralelogramo −→ −→ Consideremos o paralelogramo com v´ertices ABCD e os vetores ~a = AB e ~b = AC. Temos que o vetor soma ~s = ~a +~b ´e representado pelo segmento orientado AD, que ´e uma das diagonais do paralelogramo e que o vetor diferen¸ca d~ = ~a − ~b = ~a + (−~b), representado pelo segmento orientado CB, ´e a outra diagonal do paralelogramo.
Figura 2.5: regra do paralelogramo
Observa¸ c˜ ao 2.3 Para obter a diferen¸ca a − b sem construir −b, posicione a e b de tal modo que seus pontos iniciais coincidam; o vetor do ponto final de b ao ponto final de a ´e o vetor a − b.
2.4
Produto por Escalares
Seja k um n´ umero real e AB um representante do vetor ~u, o produto do vetor ~u pelo escalar k, denotado por k~u ´e definido por: 1. k~u = ~0, se k = 0 ou ~u = ~0; 2. Se ~u 6= ~0 e k 6= 0, k~u ´e o vetor de mesma dire¸ca˜o de ~u cujo comprimento ´e | k | vezes o
comprimento de ~u e o sentido ´e o mesmo de ~u se k > 0 e oposto ao de ~u se k < 0. Propriedades do produto por escalares Para quaisquer vetores ~u e ~v e k e t n´ umeros reais temos: 1. (k + t)~u = k~u + t~u 2. k(~u + ~v ) = k au ~ + k~v 3. k(t~u) = (kt)~v 4. 1~u = ~u e (−1)~u = −~u 47
Exerc´ıcio 2.1 Dados os vetores ~a, ~b e ~c, de acordo com a figura, construir o vetor 1 ~s = 2~a − 3~b + ~c 2
−→ −−→ Exerc´ıcio 2.2 Considere o paralelogramo ABCD determinado pelos vetores AB e AD, seja M e N pontos m´edios dos lados DC e AB, respectivamente. Complete convenientemente: −−→ −→ a) AD + AB = ............... −→ −−→ b) BA + DA = ............... −→ −−→ c) AC − BC = ............... −−→ −−→ d) AN + BC = ............... −−→ −−→ e) M D + M B = ............... −−→ 1 −−→ f ) BM − DC = ............... 2 Exerc´ıcio 2.3 No tetraedro e no paralelep´ıpedo retˆ angulo, achar a soma dos vetores indicados :
−→ −→ −→ Exerc´ıcio 2.4 No hex´ agono regular, obter: a) AB+F E+AF
48
−−→ −→ −−→ b) AD-AE+BE
2.5
ˆ Angulo entre dois vetores
−→ −→ O ˆangulo entre dois vetores n˜ao-nulos ~a e ~b, com representantes AB e AC, respectivamente, denotado por (~a, ~b), ´e ˆangulo formado pelas semi-retas AB e AC tal que 0 ≤ (~a, ~b) ≤ π. Observa¸ c˜ ao 2.4 1. Se (~a, ~b) = π, ~a e ~b tˆem a mesma dire¸c˜ao e sentidos contr´ arios.
2. Se (~a, ~b) = 0, ~a e ~b tˆem a mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido.
π 3. Se (~a, ~b) = , ~a e ~b s˜ ao ortogonais. Indicamos ~a ⊥ ~b. 2
Neste caso, temos k~a + ~bk2 = k~ak2 + k~bk2 Exerc´ıcio 2.5 Sabendo que u e v s˜ ao perpendiculares tais que k~uk = 5 e k~v k = 12. Calcular
k~u + ~v k e k~u − ~v k.
Exerc´ıcio 2.6 Dados os vetores ~a e ~b, da figura, mostrar graficamente um representante do vetor: a) ~a − ~b b) ~b − ~a c) 2~a − 3~b
Exerc´ıcio 2.7 Sabendo que o ˆ angulo entre os vetores ~u e ~v ´e de 60◦ , determinar o aˆngulo formado pelos vetores: a) ~u e −~v
b)−~u e ~v
c) −~u e −~v 49
d) 2~u e 3~v
Cap´ıtulo 3 Sistemas de coordenadas: Vetores Bidimensionais e Tridimensionais
A introdu¸ca˜o de um sistema de coordenadas retangulares muitas vezes simplifica problemas envolvendo vetores. O tratamento alg´ebrico, na maioria das situa¸co˜es, ´e bem mais pr´atico do que o tratamento geom´etrico.
3.1
Vetores Bidimensionais
Seja v um vetor qualquer do plano e suponha, que v tenha sido posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas (x1 , y1 ) do ponto final de v s˜ao chamadas componentes de v. Existe um correspondˆencia biun´ıvoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (x, y) de n´ umeros reais. Desse modo, a cada vetor ~v do plano pode-se associar um par ordenado (x1 , y1 ). Assim, denotamos ~v = (x1 , y1 ). y v=(x1 , y1 ) b
(x1 , y1 )
v x
50
Observa¸ c˜ ao 3.1 Observe que todo vetor v = (x, y) do plano bidimensional pode ser decomposto → − → − segundo as dire¸c˜oes dos vetores i = (1, 0) e j = (0, 1). Isto ´e, existem n´ umeros reais x e y tais que,
→ − → − − → v = x. i + y. j
→ − − → Neste caso, dizemos que v ´e combina¸c˜ao linear de i e j . Os n´ umeros x e y s˜ ao as coor→ − − → → − − → → denadas de − v em rela¸c˜ao ` a base { i , j }. A base { i , j } ´e dita base canˆ onica de R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.
Figura 3.1:
Dado um vetor ~v = x1~i + y1~j, o vetor x1~i ´e a proje¸ca˜o ortogonal de ~v sobre o eixo dos x e y1~j ´e a proje¸ca˜o ortogonal de ~v sobre o eixo dos y.
Figura 3.2:
Se n˜ao haver referˆencia em contr´ario, a seguir faremos nosso estudo tratanto somente da base canˆonica.
51
Igualdade de vetores Os vetores ~a = (x1 , y1 ) e ~b = (x2 , y2 ) s˜ao iguais (~a = ~b) se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2 .
Opera¸c˜ oes Dados os vetores ~a = (x1 , y1 ) e ~b = (x2 , y2 ) e k ∈ R temos: a) ~a + ~b = (x1 + x2 , y1 + y2 ) b) k~a = (kx1 , ky1 ). Exemplo 3.1 Dados os vetores ~a = (−2, 3) e ~b = (1, 0), calcular ~a + ~b e 2~a.
Vetor definido por dois pontos
Figura 3.3: −→ Consideremos o vetor AB com origem no ponto A(x1 , y1 ) e extremidade no ponto B(x2 , y2 ) (figura 3.3). Temos: −−→ −→ OA = (x1 , y1 ) e OB = (x2 , y2 ) Al´em disso, −→ −→ −−→ OA + AB = OB onde −→ −−→ −→ AB = OB − OA −→ Isto ´e, AB = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 ) −→ Logo, AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) 52
3.2
Vetores Tridimensionais
Assim como os vetores no plano podem ser descritos por pares de n´ umeros reais, os vetores no espa¸co podem ser descritos por ternos de n´ umeros reais utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Para construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um ponto O, denominado a origem e escolhemos trˆes retas mutuamente perpendiculares passando pela origem, denominadas eixos coordenados, designados eixos x, y e z.
Figura 3.4:
Analogamente como no plano, em nosso estudo, a menos que se fa¸ca referˆencia contr´aria, faremos uso de uma base canˆ onica , neste caso dada pelos vetores ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1), os quais tˆem origem no mesmo ponto O. A reta que passa pelo ponto O e com a mesma dire¸ca˜o do vetor ~i chama-se eixo dos x, a reta que passa pelo ponto O e com a mesma dire¸ca˜o do vetor ~j chama-se eixo dos y e a reta que passa pelo ponto O e com a mesma dire¸ca`o do vetor ~k chama-se eixo dos z. Na figura 4.4, as setas indicam o sentido positivo de cada eixo. Estes eixos s˜ao chamados eixos coordenados. O plano determinado pelo eixo dos x e pelo eixo dos y ´e chamado plano xy; o plano determinado pelo eixo dos x e pelo eixo dos z ´e chamado plano xz; o plano determinado pelo eixo dos y ´e pelo eixo dos z ´e chamado plano yz. O conjunto R3 = {(x, y, z)/x, y, z ∈ R} ´e o produto cartesiano R × R × R e sua representa¸ca˜o
geom´etrica ´e o espa¸ co cartesiano determinado pelos trˆes eixos cartesianos dois a dois ortogonais x, y e z.
53
Figura 3.5:
A cada ponto P do espa¸co vai corresponder uma terna ordenada (x, y, z) de n´ umeros reais que s˜ao as coordenadas do ponto P , denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. Em R3 temos: −→ ~v = OP = x~i + y~j + z~k = (x, y, z) , Exemplo 3.2 O vetor ~v = 2~i − 3~j + ~k pode ser representado por ~v = (2, −3, 1) Analogamente como vimos no plano temos:
Igualdade de vetores Os vetores ~a = (x1 , y1 , z1 ) e ~b = (x2 , y2 , z2 ) s˜ao iguais (~a = ~b) se, e somente se, x1 = x2 , y1 = y2 e z 1 = z 2 .
Opera¸c˜ oes Dados os vetores ~a = (x1 , y1 , z1 ), ~b = (x2 , y2 , z2 ) e k ∈ R temos: a) ~a + ~b = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) b) k~a = (kx1 , ky1 , kz1 ). 54
Vetor definido por dois pontos −→ Consideremos o vetor AB com origem no ponto A(x1 , y1 , z1 ) e extremidade no ponto B(x2 , y2 , z2 ), temos −→ AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Vetores paralelos Como vimos na observa¸ca˜o 2.2, dois vetores ~a = (x1 , y1 , z1 ) e ~b = (x2 , y2 , z2 ) s˜ao colineares ou paralelos se existir um n´ umero real k tal que ~a = k~b isto ´e, (x1 , y1 , z1 ) = k(x2 , y2 , z2 ) ⇒ (x1 , y1 , z1 ) = (kx2 , ky2 , kz2 ) ⇒
x1 = kx2 y1 = ky2
⇒
x1 y1 z1 = = x2 y2 z2
z1 = kz2 Denoteremos : ~a//~b. Exemplo 3.3 Os vetores ~a = (−2, 3, 5) e ~b = (−4, 6, 10) s˜ ao paralelos pois
−2 3 5 1 = = = −4 6 10 2 1 isto ´e, ~a = ~b. 2
55
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Campus de Campo Mour˜ao ´ Geometria Anal´ıtica e Algebra Linear
3a LISTA DE EXERC´ICIOS - VETORES BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS 1. Represente geometricamente num sistema de coordenadas de m˜ao direita os pontos cujas coordenadas s˜ao: a) (3, 4, 5)
b) (−3, 4, 5)
c) (3, −4, 5)
d) (3, 4, −5)
e) (−3, −4, 5)
f) (−3, 4, −5)
g) (3, −4, −5)
i) (−3, 0, 0)
j) (3, 0, 3)
k) (0, 0, −3)
h) (−3, −4, −5) l) (0, 3, 0)
2. Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem do sistema: a) ~v1 = (3, 6)
b) ~v2 = (−4, 8)
c) ~v3 = (−4, −3)
d) ~v4 = (5, −4)
e) ~v5 = (3, 6, 4)
f) ~v6 = (3, 3, 0)
g) ~v7 = (0, 0, −3)
h) ~v8 = (5, −4, 8)
3. Encontre os componentes anal´ıticas do vetor de origem A e extremidade B: a) A(4, 8), B(3, 7)
b) A(3, −5), B(−4, −7)
c) A(3, −7, 2), B = (−2, 5, −4)
d) A(−1, 0, 2), B(0, −1, 0)
4. Sejam u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8) e w = (6, −1, −4). Calcule a express˜ao anal´ıtica dos vetores:
a) v − w
b) 6u + 2v
c) −v + u
d) 5(v − 4u)
5. Considere u, v e w os vetores do exerc´ıcio 4. a) Encontre o vetor ~x que satisfaz: 2u − v + ~x = 7~x + w. b) Encontre escalares c1 , c2 e c3 tais que: c1 u + c2 v + c3 w = (2, 0, 4) ´ Confira as respostas! Livro: Algebra Linear com Aplica¸co˜es. ANTON, p´aginas:105 e 106.
56
Cap´ıtulo 4 Produto de Vetores
4.1
C´ alculo da norma de um vetor
Considere os vetores de R2 e R3 , representados na figura abaixo:
Usando o Teorema de Pit´agoras, podemos determinar a norma (m´ odulo ou compri→ mento) de − v: − k→ v k=
4.2
qp p p 2 → − 2 2 x + y , ~v ∈ R ou k v k= ( x2 + y 2 )2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2 , ~v ∈ R3 .
Distˆ ancia entre dois pontos
A distˆancia d entre os pontos A(x1 , y1 , z1 ) e B(x2 , y2 , z2 ) ´e assim definida:
57
−→ d =k AB k=k B − A k=k (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) k Portanto, usando a se¸ca˜o anterior, temos: d=
p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Exemplo 4.1 Dados os pontos A = (2, 3, 5) e B = (3, 0, 7), calcular a distˆ ancia d entre A e B. 1 1 ario. Exemplo 4.2 Determine α para que o vetor ~v = (α, − , ) seja unit´ 2 4
4.3
Produto interno euclidiano ou produto escalar
Defini¸ c˜ ao 4.1 Sejam u e v dois vetores n˜ ao-nulos no espa¸co bi ou tridimensional e θ ´e o aˆngulo entre u e v satisfazendo 0 ≤ θ ≤ π rad. O produto interno euclidiano ou o produto escalar ~u.~v, ´e definido por: ~u.~v =
kuk kvk cosθ se u 6= 0 e v 6= 0 0 se u = 0 ou v = 0
Exemplo 4.3 Sabendo que o ˆ angulo entre os vetores ~u = (1, 0) e ~v = (1, 1) ´e de 45◦ , calcule ~u.~v. Observa¸ c˜ ao 4.1 1. Se ~u.~v > 0, da Defini¸c˜ao 5.1, cos θ deve ser um n´ umero positivo, isto ´e, cos θ > 0, o que implica 0◦ ≤ θ < 90◦ . Nesse caso, θ ´e dito ˆ angulo agudo ou nulo.
2. Se ~u.~v < 0,da Defini¸c˜ao 5.1, cos θ deve ser um n´ umero negativo, isto ´e, cos θ < 0, o que implica 90◦ < θ ≤ 180◦ . Nesse caso, θ ´e dito ˆ angulo obtuso ou raso.
3. Se ~u.~v = 0, da Defini¸c˜ao 5.1, cos θ deve ser igual a zero, isto ´e, cos θ = 0, o que implica θ = 90◦ . Nesse caso, θ ´e ˆ angulo reto. 58
4.3.1
Produto interno em termos das Componentes
Para efeitos de c´alculo, ´e desej´avel ter uma f´ormula que dˆe o produto interno de dois vetores em termos das componentes do vetor. O teorema abaixo fornece essa f´ormula: Teorema 4.1 Sejam ~u = (u1 , u2 , u3 ) e ~v = (v1 , v2 , v3 ) dois vetores n˜ ao nulos, ent˜ ao: ~u.~v = u1 .v1 + u2 v2 + u3 v3 (a demonstra¸ca˜o ser´a feita na aula)
− → → u .− v , ou seja, → − → k u k.k− v k → − → u .− v θ = arccos − → k→ u k.k− v k
Observa¸ c˜ ao 4.2 Da Defini¸c˜ao 4.1 segue que, cos θ =
Exemplo 4.4 Considere os vetores u = (2, −1, 1) e v = (1, 1, 2). Encontre u.v e determine o angulo θ entre u e v. ˆ
Exemplo 4.5 Calcule o ˆ angulo entre os vetores ~u = (1, 1, 4) e ~v = (−1, 2, 2).
59
4.3.2
Propriedades do produto escalar
Para quaisquer que sejam os vetores ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 ), w ~ = (x3 , y3 , z3 ) de R3 , temos: 1. ~u.~u > 0 e ~u.~u = 0 somente se ~u = ~0. 2. ~u.~v = ~v .~u 3. ~u.(~v + w) ~ = ~u.~v + ~u.w ~ 4. (m~u).~v = m(~u.~v ) = ~u.(m~v ) → 5. k − v k=
√
− → → → → → v .− v ou ainda,− v .− v =k − v k2 .
6. k ~u + ~v k2 = k ~u k2 + 2~u.~v + k ~v k2 7. k ~u − ~v k2 = k ~u k2 − 2~u.~v + k ~v k2 8. k ~u k2 − k ~v k2 = (~u + ~v ).(~u − ~v )
4.3.3
Condi¸ c˜ ao de ortogonalidade de dois vetores
De acordo com a observa¸ca˜o 5.1.3 podemos enunciar a seguinte condi¸ca˜o: ”Dois vetores s˜ao ortogonais se, e somente se, o produto interno deles ´e nulo”. Ou seja, ~u⊥~v ⇔ ~u.~v = 0 Exemplo 4.6 Verifique se os vetores ~u = (−2, 3, −2) e ~v = (−1, 2, 4) s˜ ao ortogonais.
Exemplo 4.7 Prove que o triˆ angulo de v´ertices A(2, 3, 1), B(2, 1, −1) e C(2, 2, −2) ´e um triˆ angulo retˆ angulo.
(Sugest˜ ao: A forma mais simples de provar a existˆencia de um aˆngulo reto ´e mostrar que o produto interno de dois vetores que determinam os lados do triˆ angulo ´e nulo.)
60
4.3.4
Estudo da Proje¸c˜ ao Ortogonal usando Produto Escalar
Sejam os vetores ~u e ~v , com ~u,~v 6= ~0 e, θ o ˆangulo por eles formado. Pretendemos calcular o
vetor w ~ que representa a proje¸c˜ ao ortogonal de ~u sobre ~v ou componente vetorial de ~u ao longo de ~v . Para tanto, utilizaremos a figura abaixo, que ilustra as duas situa¸co˜es poss´ıveis podendo ser θ um ˆangulo agudo ou obtuso.
Do triˆangulo retˆangulo, segue que: → → → k− w k=k − u k .| cos θ| =k − u k
→ → → → |− u .− v| |− u .− v| = → − − → → − k u kk v k k v k
Como w ~ e ~v tˆem a mesma dire¸ca˜o, segue-se que: w ~ = k~v , k ∈ R Ent˜ao: → → k− w k= |k| k − v k ou seja, k= Logo,
− → → u .− v → − k v k2
→ − → u .− v w ~= ~v → k− v k2
Obtemos assim: ~u.~v proj~v ~u = ~v : componente vetorial de u ao longo de v. ~v .~v ~u.~v ~v : componente vetorial de u ortogonal a v. E, u − proj~v ~u = u − ~v .~v
61
Exerc´ıcios para fixa¸c˜ ao Exerc´ıcio 4.1 Determine o vetor proje¸ c˜ ao (componente vetorial) de u = (2, 3, 4) ao longo de v = (1, −1, 0) e a componente vetorial de u ortogonal a v.
Exerc´ıcio 4.2 Sejam u = (2, −1, 3) e v = (4, −1, 2). Encontre o componente vetorial de u ao longo de v e o componente vetorial de u ortogonal a v.
Exerc´ıcio 4.3 Sejam os pontos A(1, 2, −1), B(−1, 0, −1) e C(2, 1, 2). a) Mostre que o triˆ angulo ABC ´e retˆ angulo em A;
b) Calcule a medida da proje¸c˜ao do cateto AB sobre a hipotenusa BC;
c)Determine o p´e da altura do triˆ angulo relativa ao v´ertice A.
Exerc´ıcio 4.4 a) Deduza uma f´ormula para o comprimento do vetor proje¸c˜ao de u ao longo de v usando produto interno.
b) Deduza uma f´ ormula para o comprimento do vetor proje¸c˜ao de u ao longo de v usando o angulo θ entre os vetores. ˆ
62
4.4
Produto Vetorial
Dados os vetores ~u = (x1 , y1 , z1 ) e ~v = (x2 , y2 , z2 ), tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores ~u e ~v , e se representa por ~u × ~v , ao vetor: ~u × ~v = (y1 z2 − z1 y2 )~i − (x1 z2 − z1 x2 )~j + (x1 y2 − y1 x2 )~k a11 a12 Relembrando a defini¸ca˜o de determinante de uma matriz A2×2 = , dado por a21 a22 | A |= a11 a22 − a21 a12 podemos reescrever cada componente do produto vetorial na forma de um determinante de 2a ordem:
Nota¸c˜ ao: ~u × ~v =
y1 z 1 x1 z 1 x1 y1 ~i − ~ ~ ~u × ~v = x2 z 2 j + x2 y2 k y2 z 2 ~i ~j ~k x1 y1 z1 x2 y2 z 2
Observa¸ c˜ ao 4.3 Esta nota¸c˜ao ´e utilizada para facilitar a memoriza¸c˜ao da defini¸c˜ao do produto vetorial e faz alus˜ao ao c´alculo de determinante de uma matriz 3 × 3 usando a 1a linha. No entanto, o produto vetorial n˜ ao pode ser confundido com um determinante de uma matriz real pois: 1o ) ~u × ~v ´e um vetor e o determinante ´e um n´ umero real;
2o ) A nota¸c˜ao considerada n˜ ao indica um determinante, pois a primeira linha cont´em vetores
ao inv´es de n´ umeros.
Observa¸ c˜ ao 4.4 O produto vetorial ~u × ~v ´e tamb´em indicado por ~u ∧ ~v e se lˆe ”~u vetorial ~v ”. Exemplo 4.8 Calcule ~u ∧ ~v e ~v ∧ ~u considerando ~u = (5, 4, 3) e ~v = (1, 0, 1).
63
4.4.1
Propriedades do Produto Vetorial
Segue da defini¸ca˜o do produto vetorial e das propriedades dos determinantes, as seguintes propriedades: 1. ~u × ~u = ~0. 2. ~u × ~v = −~v × ~u 3. ~u × (~v + w) ~ = (~u × ~v ) + (~u × w). ~ 4. (m~u) × ~v = m(~u × ~v ) = ~u × (m~v ) 5. ~u × ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores ´e nulo ou se ~u e ~v s˜ao colineares. 6. ~u × ~v ´e ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v . 7. || ~u × ~v ||2 =|| ~u ||2 || ~v ||2 −(~u.~v )2 . (Identidade de Lagrange)
Teorema 4.2 Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 e se θ ´e o ˆ angulo dos vetores ~u e ~v , ent˜ ao: || ~u × ~v ||=k ~u kk ~v k sen θ (a demonstra¸ca˜o ser´a feita na aula)
64
4.4.2
Interpreta¸ c˜ ao geom´ etrica do m´ odulo do produto vetorial de dois Vetores
Geometricamente, || ~u × ~v || mede a ´area do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores −→ −→ ~u = AB e ~v = AC. b
v
C b
D
h
A b
u b
B
prova: (faremos na aula)
Exemplo 4.9 Dados os vetores ~u = (1, 2, −1) e ~v = (0, −1, 3), calcular a a´rea do paralelogramo
determinado pelos vetores 3~u e ~v − ~u.
Exemplo 4.10 Calcule a ´ area do triˆ angulo de v´ertices A(1, −2, 1), B(2, −1, 4) e C(−1, −3, 3).
4.5
Produto Misto
Dados os vetores ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 ) e w ~ = (x3 , y3 , z3 ), tomados nesta ordem, chamase produto misto dos vetores ~u, ~v e w ~ ao n´ umero real ~u.(~v × w). ~
Nota¸ca˜o: (~u, ~v , w). ~
y2 z 2 x2 z 2 x2 y2 ~i − ~ ~ (~u, ~v , w) ~ = ~u.(~v × w) ~ = (x1 , y1 , z1 ). x3 z 3 j + x3 y3 k = y3 z 3 y2 z 2 x2 z 2 x2 y2 (~u, ~v , w) ~ = x1 − y1 + z1 y3 z 3 x3 z 3 x3 y3
x1 y1 z 1 Outra nota¸ca˜o: (~u, ~v , w) ~ = x2 y2 z2 x3 y3 z 3
Exemplo 4.11 Calcule o produto misto dos vetores ~u = (2, 3, 5), ~v = (−1, 3, 3) e w ~ = (4, −3, 2). 65
4.5.1
Propriedades do produto misto
Da defini¸ca˜o do produto misto e das propriedades dos determinantes segue as seguintes propriedades: 1. (~u, ~v , w) ~ = 0 se um dos vetores ´e nulo, se dois eles s˜a o colineares, ou se os trˆes s˜ao coplanares. 0 0 0 a) se ~u = (0, 0, 0) temos: (~u, ~v , w) ~ = x2 y2 z2 x3 y3 z 3 b)Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0, mas ~u e ~v s˜ao colineares: ~u = m~v
mx2 my2 mz2 y2 z2 (~u, ~v , w) ~ = x2 x3 y3 z3
c) Se ~u, ~v e w ~ s˜ao coplanares, lembremos que o vetor ~v × w ~ ´e ortogonal a ~v e w. ~ Logo,
~v × w ~ ´e ortogonal a ~u. Portanto, (~u, ~v , w) ~ = ~u.(~v × w) ~ =0
Resumindo, se ~u, ~v e w ~ s˜ao coplanares ent˜ao (~u, ~v , w) ~ =0
~v × w ~ w ~ ~v b
~u
Esta propriedade ´e fundamental em v´arios t´opicos a serem estudados.
66
De forma an´aloga dizemos que quatro pontos A,B,C e D pertencem a um mesmo plano se −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ os vetores AB, ACe AD forem coplanares, isto ´e, se (AB, AC, AD) = 0.
b
D b
C
A b
b
B
2. (~u, ~v , w) ~ = (~v , w, ~ ~u) = (w, ~ ~u, ~v )
(Esta propriedade ´e denominada propriedade c´ıclica: O produto misto independe da ordem circular dos vetores.)
~u b
~v b
b
w ~
Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posi¸co˜es de dois vetores consecutivos, isto ´e: (~u, ~v , w) ~ = −(~v , ~u, w) ~ Observa¸ c˜ ao 4.5 Resulta da propriedade c´ıclica, que os sinais . e × permutam entre si no
produto misto de trˆes vetores: ~u.(~v × w) ~ = (~u × ~v ).w ~
3. (~u, ~v , w ~ + ~r) = (~u, ~v , w) ~ + (~u, ~v , ~r) 4. (~u, ~v , mw) ~ = (~u, m~v , w) ~ = (m~u, ~v , w) ~ = m(~u, ~v , w) ~ 67
4.5.2
Interpreta¸ c˜ ao geom´ etrica do m´ odulo do produto misto
Geometricamente, o produto misto (~u, ~v , w) ~ ´e igual, em m´odulo, ao volume do paralelep´ıpedo de −−→ −→ −→ arestas determinadas pelos vetores AD, AB e AC.
4.6
Exerc´ıcios de Fixa¸ c˜ ao
Exerc´ıcio 4.5 Obtenha o volume do paralelep´ıpedo de lados u, v e w. a) u = (2, −6, 2), v = (0, 4, −2), w = (2, 2, −4) b) u = (3, 1, 2), v = (4, 5, 1), w = (1, 2, 4) Exerc´ıcio 4.6 Suponha que u.(v × w) = 3. a)u.(w × v)
b)(v × w).u
c)w.(u × v)
d)v.(u × w)
Exerc´ıcio 4.7 Encontre um vetor que ´e ortogonal a u e v, sendo: a) u = (−6, 4, 2), v = (3, 1, 5)
b) u = (−2, 1, 5), v = (3, 0, −3)
Exerc´ıcio 4.8 Determine se u, v e w est˜ ao num mesmo plano, sendo: a) u = (−1, −2, 1), v = (3, 0, −2), w = (5, −4, 0) b) u = (5, −2, 1), v = (4, −1, 1), w = (1, −1, 0) c) u = (4, −8, 1), v = (2, 1, −2), w = (3, −4, 12) 68
Cap´ıtulo 5 Aplica¸c˜ ao de Vetores ao Estudo da Reta e do Plano
Neste cap´ıtulo faremos uso da teoria de vetores e produto de vetores para apresentarmos as equa¸co˜es que descrevem analiticamente as retas e os planos. Desta maneira, usaremos express˜oes anal´ıticas na resolu¸ca˜o de problemas geom´etricos como estudo do ˆangulo, distˆancia, posi¸co˜es e interse¸co˜es.
5.1
Equa¸co ˜es da Reta
Geometricamente, para identificarmos uma reta r basta conhecermos um ponto A desta reta e sua dire¸ca˜o.
Analiticamente, procedemos da mesma forma: Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a dire¸ca˜o de um vetor n˜ao nulo ~v . −→ AP = t.~v ⇒ P − A = t.~v ⇒ P = A + t.~v ou seja, 69
Se A(x1 , y1 , z1 ) ∈ r e ~v = (a, b, c) ´e o vetor diretor (que d´a a dire¸ca˜o) de r, para todo
P (x, y, z) ∈ r temos:
(x, y, z) = (x1 , y1 , z1 ) + t.(a, b, c), t ∈ R
(5.1.1)
A equa¸ca˜o (5.1.1) ´e denominada equa¸ c˜ ao vetorial da reta r. A equa¸ca˜o vetorial da reta pode ser reescrita, gerando assim novas equa¸co˜es: x = x1 + a.t y = y1 + b.t z = z1 + c.t
(5.1.2)
nas quais a, b e c n˜ao s˜ao todos nulos (~v 6= ~0), denominadas equa¸ c˜ oes param´ etricas da reta r.
Ou ainda, supondo a.b.c 6= 0, segue que: t=
y − y1 z − z1 x − x1 , t= , t= a b c
Assim, obtemos: x − x1 y − y1 z − z1 = = a b c
(5.1.3)
denominadas equa¸ c˜ oes sim´ etricas da reta r. ´ f´ Observa¸ c˜ ao 5.1 E acil verificar que a cada valor de t na equa¸c˜oes vetorial da reta corresponde um ponto particular P da reta r. Quando t varia de −∞ a +∞, o ponto P descreve a reta r. O n´ umero t ´e dito parˆ ametro.
Exemplo 5.1 Determine as equa¸c˜oes da reta r que passa pelo ponto A(3, 0, −5) e tem a dire¸c˜ao do vetor ~v = (2, 2, −1).
Pergunta: O ponto P (7, 4, −7) ∈ r?
Exemplo 5.2 As equa¸c˜oes param´etricas da reta r, que passa pelo ponto A(3, −1, 2) e ´e paralela ao vetor ~v = (−3, −2, 1), s˜ ao:
x = 3 − 3t y = −1 − 2t z =2+t 70
Observe que, para obter um ponto desta reta, basta atribuir a t um valor particular. Por exemplo, para t = 3, tem-se: x = −6 y = −7 z=5
isto ´e, o ponto (−6, −7, 5) ´e um ponto da reta r.
Pergunta: A(3, −1, 2) e B(0, 3, 4) s˜ao pontos desta reta?
5.2
Reta definida por dois pontos
A reta definida pelos pontos A(x1 , y1 , z1 ) e B(x2 , y2 , z2 ) ´e a reta que passa pelo ponto A(ou B) −→ e tem a dire¸ca˜o do vetor ~v = AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ). Exemplo 5.3 A reta r, determinada pelos pontos A(1, −2, −3) e B(3, 1, −4), tem a dire¸c˜ao do −→ vetor ~v = AB = (2, 3, −1) e as equa¸c˜oes param´etricas x = 1 + 2t y = −2 + 3t z = −3 − t
−→ representam esta reta r, passando pelo ponto A, com dire¸c˜ao do vetor ~v = AB; analogamente, as equa¸c˜oes param´etricas x = 3 + 2t y = 1 + 3t z = −4 − t
−→ ainda representam a mesma reta r, passando pelo ponto B, com a dire¸c˜ao do vetor ~v = AB. Observa¸ c˜ ao 5.2 Se o vetor ~(2, 3, −1) ´e um vetor diretor desta reta r, qualquer vetor α~v , α 6= 0, tamb´em o ´e.
Observa¸ c˜ ao 5.3 Se a reta ´e determinada pelos pontos A(x1 , y1 , z1 ) e B(x2 , y2 , z2 ), suas equa¸c˜oes sim´etricas s˜ ao: x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 71
pois um vetor diretor ´e: −→ ~v = AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ), desde que tenhamos x2 − x1 6= 0, y2 − y1 6= 0 e z2 − z1 6= 0. Exemplo 5.4 As equa¸c˜oes sim´etricas da reta determinada pelos pontos A(2, 1, −3) e B(4, 0, 2)
s˜ ao:
y−1 z+3 x−2 = = 4−2 0−1 −2 + 3
isto ´e:
y−1 z+3 x−2 = = 2 −1 1
−→ Estas s˜ ao as equa¸c˜oes da reta que passa pelo ponto A e tem a dire¸c˜ao do vetor ~v = AB. As equa¸c˜oes
x−4 y z+2 = = 2 −1 1
−→ representam a mesma reta passando pelo ponto B e com a dire¸c˜ao de ~v = AB.
5.3
Condi¸c˜ ao para que trˆ es pontos estejam em linha reta
A condi¸ca˜o para que trˆes pontos A1 (x1 , y1 , z1 ),A2 (x2 , y2 , z2 ) e A3 (x3 , y3 , z3 ) estejam em linha reta −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ ´e que os vetores A1 A2 e A1 A3 sejam colineares, isto ´e: A1 A2 = mA1 A3 , para algum m ∈ R ou:
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = = x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 Exemplo 5.5 Verique que os pontos A1 (5, 2, −6), A2 (−1, −4, −3) e A3 (7, 4, −7) est˜ ao em linha reta.
5.4
Equa¸co ˜es Reduzidas da Reta
Para as equa¸co˜es sim´etricas da reta x − x1 y − y1 z − z1 = = a b c pode-se dar outra forma, isolando as vari´aveis y e z e expressando-as em fun¸ca˜o de x. Assim, comparando dois a dois os termos da igualdade, temos:
72
x − x1 y − y1 = b a
x − x1 z − z1 = c a
b y − y1 = (x − x1 ) a
c z − z1 = (x − x1 ) a
b b y − y1 = x − x1 a a
c c z − z 1 = x − x1 a a
b b y = x − x1 + y1 a a
c c z = x − x1 + z 1 a a
fazendo
fazendo c =p a
b =m a b b y = x − x1 + y1 a a
c c z = x − x1 + z 1 a a
b − x1 + y1 = n, a
c − x1 + z1 = q, a
segue que:
y = mx + n z = px + q
(5.4.1)
s˜ao as equa¸ c˜ oes reduzidas da reta r. Exemplo 5.6 Estabele¸ca as equa¸c˜oes reduzidas da reta r que passa pelo ponto A(2, 1, −3) e B(4, 0, −2).
Observa¸ c˜ ao 5.4 Nas equa¸c˜oes reduzidas: y = mx + n z = px + q,
(5.4.2)
a vari´ avel x figura como vari´ avel independente. Se expressarmos as equa¸c˜oes de forma que a vari´ avel independente seja y ou z, ainda assim as equa¸c˜oes s˜ ao chamadas de equa¸c˜oes reduzidas. Por exemplo, as equa¸c˜oes reduzidas da reta do exemplo anterior tamb´em podem ser expressas por:
x = 4 − 2y z = −y − 2 73
ou
x = 2z + 8 z = −z − 2
y = mx + n z = px + q
Observa¸ c˜ ao 5.5 Das equa¸c˜oes
pode-se obter: x y−n z−q = = 1 m p
(5.4.3)
Comparando a equa¸c˜ao acima com as equa¸c˜oes: y − y1 z − z1 x − x1 = = a b c verifica-se que as equa¸c˜oes reduzidas representam a reta que passa pelo ponto N (0, n, q) e tem a dire¸c˜ao do vetor ~v = (1, m, p). Exemplo 5.7 As equa¸c˜oes:
y = 2x − 3 z = −4x + 5
representam a reta que passa pelo ponto N (0, −3, 5) e tem a dire¸c˜ao do vetor ~v = (1, 2, −4). Observe que o ponto N ´e obtido fazendo x = 0 nas equa¸c˜oes reduzidas. J´ a as componentes do vetor ~v podem s˜ ao obtidas analisando as equa¸c˜oes reduzidas como equa¸c˜oes param´etrica (com parˆ ametro x) observando quais constantes acompanham x nas equa¸c˜oes pois, as equa¸c˜oes y = 2x − 3 z = −4x + 5 s˜ ao equivalentes ` a x = 1x y = 2x − 3 z = −4x + 5
74
5.5
Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados
Nas se¸co˜es anteriores apresentamos as poss´ıveis equa¸c˜oes de uma reta, considerando um ponto A(x1 , y1 , z1 ) ∈ r e o vetor diretor ~v = (a, b, c), cujas componentes s˜ao diferentes de zero. Entretanto uma ou duas destas componentes podem ser nulas. Assim, temos dois casos: 1o ) Uma s´ o das componentes de ~v ´ e nula Neste caso, o vetor ~v ´e ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r ´e paralela ao plano dos outros eixos. a) Se a = 0, ~v = (0, b, c) ⊥ Ox ∴ r // yOz (r pertence a um plano paralelo a yOz). x = x , 1 r : y − y1 z − z1 = b c
b) Se b = 0, ~v = (a, 0, c) ⊥ Oy ∴ r // xOz (r pertence a um plano paralelo a xOz). y = y , 1 r : x − x1 z − z1 = a c
c) Se c = 0, ~v = (a, b, 0) ⊥ Oz ∴ r // xOy (r pertence a um plano paralelo a xOy). z = z , 1 r : x − x1 y − y1 = a b
75
2o ) Duas das componentes de ~v s˜ ao nulas Neste caso o vetor ~v tem a dire¸ca˜o dos vetores ~i = (1, 0, 0) ou ~j = (0, 1, 0) ou ~k = (0, 0, 1) e , portanto a reta r ´e paralela ao eixo que tem a dire¸ca˜o de ~i ou de ~j ou de ~k. Assim: a) Se a = b = 0, ~v = (0, 0, c)//~k ∴ r//Oz. (x = x 1
r:
y = y1 z = z1 + c.t
Costuma-se dizer, simplesmente, que as equa¸co˜es da reta r s˜ao: nx = x 1 r : y = y , subentendendo-se z vari´avel. 1
b) Se a = c = 0,~v = (0, b, 0)//~j ∴ r//Oy. (x = x 1 nx = x 1 r : y = y1 + b.t ou, simplesmente, r : z = z 1 z = z1 subentendendo-se y vari´avel.
c) Se b = c = 0, ~v = (a, 0, 0)//~i ∴ r//Ox. ( x = x + a.t ny = y 1 1 ou, simplesmente, r : z = z r : y = y1 1 z = z1 subentendendo-se x vari´avel.
Observa¸ c˜ ao 5.6 Os eixos 0x, Oy e Oz s˜ ao retas particulares. O eixo Ox ´e uma reta que passa pela origem O(0, 0, 0) e tem a dire¸c˜ao do vetor ~i = (1, 0, 0). Logo, suas equa¸c˜oes s˜ ao: n y=0 z=0 De forma an´aloga, as equa¸c˜oes do eixo Oy s˜ ao: n x=0 x=0 e as equa¸coes do eixo Oz s˜ ao: y=0 z=0 76
5.6
ˆ Angulo de Duas Retas
Sejam as retas r1 , que passa pelo ponto A1 (x1 , y1 , z1 ) e tem a dire¸ca˜o de um vetor v~1 = (a1 , b1 , c1 ) e r2 , que passa pelo ponto A2 (x2 , y2 , z2 ) e tem a dire¸ca˜o de um vetor v~2 = (a2 , b2 , c2 ). Chama-se ˆ angulo de duas retas r1 e r2 o menor ˆangulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 . Logo, sendo θ este ˆangulo, tem-se cos θ =
|v~1 .v~2 | π , com 0 ≤ θ ≤ |v~1 |.|v~2 | 2
(5.6.1)
Reescrevendo a equa¸ca˜o 5.6.1 em coordenadas, temos: cos θ = p
|a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 | p a1 2 + b 1 2 + c 1 2 a2 2 + b 2 2 + c 2 2
Exerc´ıcio 5.1 Calcular o ˆ angulo entre as retas r1 =
5.7
(
x=3+t, y=t, z=-1-2t
e
(5.6.2)
r2 =
x+2 y−3 z = = −2 1 1
Condi¸c˜ ao de Paralelismo de Duas Retas
A condi¸ca˜o de paralelismo das retas r1 e r2 ´e a mesma dos vetores v~1 = (a1 , b1 , c1 ) e v~2 = (a2 , b2 , c2 ), que definem as dire¸co˜es dessas retas, isto ´e: r1 //r2 ⇐⇒ v~1 = mv~2 77
ou seja,
b1 c1 a1 = = a2 b2 c2
Exemplo 5.8 Verifique que a reta r1 , que passa pelos pontos A1 (−3, 4, 2) e B1 (5, −2, 4), e a
reta r2 , que passa pelos pontos A2 (−1, 2, −3) e B2 (−5, 5, −4), s˜ ao paralelas.
Observa¸ c˜ ao 5.7 Se as retas r1 e r2 forem expressas, respectivamente pelas equa¸c˜oes reduzidas: (y = m x + n , (y = m x + n , 1 1 2 2 r1 = e r2 = z = p 1 x + q1 z = p 2 x + q2 , cujas dire¸c˜oes s˜ ao dadas, respectivamentes pelos vetores: v1 = (1, m1 , p1 ) e v2 = (1, m2 , p2 ), a condi¸c˜ao de paralelismo permite escrever: m1 p1 1 = = ⇐⇒ m1 = m2 , p1 = p2 1 m2 p2 Por exemplo, as retas r1 = s˜ ao paralelas.
5.8
y=2x-3, z=-4x+5
e r2 =
y=2x+1, z=-4x,
Condi¸c˜ ao de Ortogonalidade de Duas Retas
A condi¸ca˜o de ortogonalidade das retas r1 e r2 ´e a mesma dos vetores v~1 = (a1 , b1 , c1 ) e v~2 = (a2 , b2 , c2 ) que definem as dire¸co˜es dessas retas, isto ´e: v~1 .v~2 = 0 ou: a1 a2 + b1 .b2 + c1 .c2 = 0 Exemplo 5.9 As retas y = 3, r1 : x − 3 z+1 = 8 −6
e
r2 :
x y+1 z−3 = = s˜ ao ortogonais. 3 5 4
78
5.9
Condi¸c˜ ao de Coplanaridade de Duas Retas
b
A reta r1 , que passa por um ponto A1 (x1 , y1 , z1 ) e tem a dire¸ca˜o de um vetor v~1 = (a1 , b1 , c1 ), e a reta r2 , que passa pelo ponto A2 (x2 , y2 , z2 ) e tem a dire¸ca˜o de um vetor v~2 = (a2 , b2 , c2 ), −−−→ s˜ao coplanares se os vetores v~1 , v~2 e A1 A2 forem coplanares, isto ´e, se for nulo o produto misto −−−→ (v~1 , v~2 , A1 A2 ). a1 b1 c1 −−−→ b2 c2 r1 , r2 ∈ π ⇐⇒ (v~1 , v~2 , A1 A2 ) = a2 x2 − x1 y2 − y1 z 2 − z 1
Exemplo 5.10 Mostre que as retas r1 : coplanares.
5.10
=0
x−2 y z−5 x+5 y+3 z−6 = = e r2 : = = s˜ ao 2 3 4 −1 1 3
Posi¸c˜ ao Relativa de Duas Retas
Duas retas r1 e r2 , no espa¸co, podem ser: I) paralelas: r1 //r2 Para tanto, basta verificarmos que os vetores diretores s˜ao paralelos, ou seja: v~1 //v~2 . O caso de serem r1 e r2 coincidentes pode ser considerado como um caso particular de paralelismo, que ´e verificado quando: v~1 //v~2 e, A ∈ r1 ⇐⇒ A ∈ r2 .
79
II) concorrentes: r1 ∩ r2 = {I} (I ´e o ponto de interse¸ca˜o das duas retas);
b
Neste caso, basta verificarmos que mesmo n˜ ao tendo v~1 //v~2 temos, r1 , r2 ∈ π ou seja, −−−→ (v~1 , v~2 , A1 A2 ) = 0. III) reversas: n˜ao situadas num mesmo plano. Nesse caso r1 ∩ r2 = ∅.
−−→ Para tanto, basta verificarmos que (~u, ~v , P1 P2 ) 6= 0. Exemplo 5.11 Estudar a posi¸c˜ao relativas das retas r1 :
80
x = 1 − 3t y = 2x − 3 y = 6 − 6t e r2 : z = −x z = 3t
x = 2 − 4t x y−1 y = 2t Exemplo 5.12 Estudar a posi¸c˜ao relativas das retas r1 : = = z e r2 : 2 −1 z = 1 − 2t
x =5+t y z−5 x−2 y =2−t = = e r2 : Exemplo 5.13 Estudar a posi¸c˜ao relativas das retas r1 : 2 3 4 z = 7 − 2t
Exemplo 5.14 Estudar a posi¸c˜ao relativas das retas r1 :
5.11
y =3 e r2 : x = y = z z = 2x
Interse¸ c˜ ao de Duas Retas
Duas retas r1 e r2 coplanares e n˜ao paralelas s˜ao concorrentes. Consideremos as retas
r1 :
y = −3x + 2 z = 3x − 1
x = −t y = 1 + 2t e r2 : z = −2t
Temos que r1 e r2 s˜ao concorrentes. Se I(x, y, z) ´e o ponto de interse¸ca˜o dessas retas, suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equa¸co˜es de r1 e r2 , isto ´e, I(x, y, z) ´e solu¸ca˜o do sistema: y = −3x + 2 z = 3x − 1 x = −t y = 1 + 2t z = −2t
Eliminando t nas u ´ltimas trˆes equa¸co˜es, temos o seguinte sistema equivalente 81
y z y z
= −3x + 2 = 3x − 1 = 1 − 2x = 2x
x =1 y = −1 . Isto ´e, I(1, -1, 2). Resolvendo o sistema temos: z =2
5.12
Distˆ ancia de Um Ponto a Uma Reta
Seja r uma reta definida por um ponto P1 (x1 , y1 , z1 ) e pelo vetor diretor ~v = (a, b, c) e seja −−→ P0 (x0 , y0 , z0 ) um ponto qualquer do espa¸co. Os vetores ~v e P1 P0 determinam um paralelogramo cuja altura corresponde distˆancia d de P0 a r.
Assim, −−→ |~v × P1 P0 | −−→ A = |~v | . d = |~v × P1 P0 | =⇒ d = |~v |
Exemplo 5.15 Calcular a distˆ ancia do ponto P (2, 0, 7) ` a reta r :
82
y−2 z+3 x = = . 2 2 1
5.13
Distˆ ancia Entre Duas Retas
1. Se r e s s˜ao retas concorrentes, a distˆancia d entre r e s ´e nula, 2. Se r e s s˜ao retas paralelas, a distˆancia d entre r e s, ´e a distˆancia de um ponto qualquer P0 de uma de uma delas `a outra, isto ´e: d(r, s) = d(P0 , s), P0 ∈ r ou d(r, s) = d(P0 , r), P0 ∈ s Assim, a distˆancia entre duas retas paralelas se reduz ao c´alculo da distˆancia de um ponto `a uma reta. 3. Se r e s s˜ao retas reversas com vetores diretores ~u e ~v respectivamente com, P1 ∈ r1 −−→ e P2 ∈ r2 , temos que os vetores ~u, ~v e P1 P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) determinam um
paralelep´ıpedo, cuja base ´e definida pelos vetores ~u e ~v e a altura corresponde `a distˆancia d entre as retas r e s, pois a reta s ´e paralela ao plano da base do paralelep´ıpedo, uma vez
que sua dire¸ca˜o ´e a do vetor ~v .
Assim,
−−→ |(~u, ~v , P1 P2 )| −−→ V = |~u × ~v |. d = |(~u, ~v , P1 P2 )| =⇒ d = |~u × ~v |
83
Exemplo 5.16 Calcular a distˆ ancia entre as retas
Exemplo 5.17 Calcular a distˆ ancia entre as retas r :
5.14
O Estudo do Plano
x = −1 − 2t y = −2x + 3 y = 1 + 4t e z = 2x z = −3 − 4t
(
x =3 =1 z−4 e s: y = 2t − 1 x+2 = z = −t + 3 −2 y
Como apresentamos um tratamento geom´etrico e alg´ebrico para as retas, apresentaremos a seguir as poss´ıveis equa¸co˜es que descrevem um plano e auxiliam na resolu¸ca˜o de problemas geom´etricos, como c´alculo de distˆancia, ˆangulo e interse¸co˜es. Seja A(x1 , y1 , z1 ) um ponto pertencente a um plano π e ~n = a~i + b~j + c~k, ~n 6= (0, 0, 0) um
vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano π pode ser definido como sendo o conjunto de todos −→ os pontos P (x, y, z) do espa¸co tais que o vetor AP ´e ortogonal a ~n. Logo, o ponto P pertence a π se, e somente se: −→ ~n.AP = 0.
~ = (x − x1 , y − y1 , z − z1 ), temos: Tendo em vista que: ~n = (a, b, c) e AP (a, b, c).(x − x1 , y − y1 , z−1 ) = 0 84
(5.14.1)
ou seja, ax + by + cz − ax1 − by1 − cz1 = 0 Fazendo: −ax1 − by1 − cz1 = d, segue que: ax + by + cz + d = 0
(5.14.2)
Esta ´e a equa¸ca˜o geral ou cartesiana do plano π. ´ importante observar que os trˆes coeficientes a, b,e c da equa¸c˜ao geral Observa¸ c˜ ao 5.8 E ax + by + cz + d = 0 representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano π ´e dado por: π : 3x + 2y − 4z + 5 = 0, um de seus vetores normais ´e: ~n = (3, 2, −4).
Este mesmo vetor ~n ´e tamb´em normal a qualquer plano paralelo a π.
Assim, todos os infinitos planos paralelos a π tˆem equa¸c˜ao geral do tipo: π : 3x+2y −4z +d =
0,na qual d ´e o elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d est´ a identificado quando se conhece um ponto do plano. Exemplo 5.18 Determinar a equa¸c˜ao geral do plano π que passa pelo ponto A(2, −1, 3), sendo
~n = (3, 2, −4) um vetor normal a π.
Exemplo 5.19 Escrever a equa¸c˜ao cartesiana do plano π que passa pelo ponto A(3, 1, −4) e ´e
paralelo ao plano:
π1 : 2x − 3y + z − 6 = 0 Exemplo 5.20 Determinar a equa¸c˜ao geral do plano que passa pelo ponto A(2, 1, −2) e ´e perpendicular a` reta ( x = −4 + 3t r = y = 1 + 2t, z=t
85
5.15
Determina¸ c˜ ao de um Plano
Vimos que um plano ´e determinado por um dos seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determina¸ca˜o de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas ser˜ao apresentadas a seguir. 1. A ∈ π e v~1 e v~2 s˜ao vetores n˜ao colineares paralelos a π.
−→ 2. A, B ∈ π e ~v ´e paralelo a π e n˜ao colinear a AB.
86
3. A, B e C ∈ π e n˜ao est˜ao em linha reta.
4. π cont´em duas retas r1 e r2 concorrentes.
5. π cont´em duas retas r1 e r2 paralelas.
87
6. π cont´em uma reta r e um ponto B ∈ / r.
Exemplo 5.21 Determine a equa¸c˜ao geral do plano que passa pelo ponto A(1, −3, 4) e ´e paralelo aos vetores v~1 = (3, 1, −2) e v~2 = (1, −1, 1).
Exemplo 5.22 Estabele¸ca a equa¸c˜ao geral do plano determinado pelos pontos A(2, 1, −1), B(0, −1, 1)
e C(1, 2, 1).
Exemplo 5.23 Estabele¸ca a equa¸c˜ao cartesiano do plano que cont´em a reta r=
x=4 e o ponto B(−3, 2, 1). y=3
88
Observa¸ c˜ ao 5.9 Em todos os problemas de determina¸c˜ao da equa¸c˜ao geral do plano um vetor normal ~n foi obtido atrav´es do produto vetorial de dois vetores-base desse plano. Vamos mostrar, retomando ao primeiro exemplo dado, um outro modo de se obter a equa¸c˜ao geral do plano. Nesse problema, o plano passa pelo ponto A(1, −3, 4) e ´e paralelo aos vetores v~1 = (3, 1, −2) e ~ , v~1 e v~2 s˜ v~2 = (1, −1, 1). Ora, se P (x, y, z) ´e um ponto qualquer do plano, os vetores AP ao ~ , v~1 , v~2 ) = 0 coplanares e, portanto, o produto misto deles ´e nulo, isto ´e: (AP Assim, obtemos a equa¸c˜ao geral do plano desenvolvendo o determinante: x−1 y+3 z−4 3 = 0 =⇒ π : x + 5y + 4z − 2 = 0 1 −2 1 −1 1
Exemplo 5.24 Determine a equa¸c˜ao geral do plano que cont´em as retas ( x = −1 + 2t n y = 2x + 1 e r2 = y = 4t r1 = z = −3x − 2 z = 3 − 6t
5.16
Equa¸co ˜es Param´ etricas do Plano
Seja π um plano paralelo aos vetores ~v1 e ~v2 n˜ao colineares e A(x0 , y0 , z0 ) um ponto de π. Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, existem n´ umeros reais h e t tais que −→ AP = h.~u + t.~v .
89
−→ Escrevendo a equa¸ca˜o AP = h.~u + t.~v . em coordenadas, obtemos (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = h(a1 , b1 , c1 ) + t(a2 , b2 , c2 ). Isto ´e, x = x 0 + a1 h + a2 t y = y0 + b1 h + b2 t z = z0 + c1 h + c2 t
Estas s˜ao as equa¸ c˜ oes param´ etricas do plano.
Quando h e t, chamados parˆametros, variam de −∞ a +∞, o ponto P percorre o plano π. Exemplo 5.25 As equa¸c˜oes param´etricas do plano que passa A(2, 1, 3) e e paralelo aos vetores ~u = (−3, −3, 1) e ~v = (2, 1, −2) s˜ ao:
Exemplo 5.26 Determinar as equa¸c˜oes param´etricas do plano determinado pelos pontos A(5, 7, −2), B(8, 2, −3) e C(1, 2, 4).
5.17
ˆ Angulo de Dois Planos
Sejam os planos π1 : a1 x+b1 y+c1 z+d1 = 0 e π2 : a2 x+b2 y+c2 z+d2 = 0, com vetores normais: ~n1 = (a1 , b1 , c1 ) e ~n2 = (a2 , b2 , c2 ), respectivamente. Chama-se ˆ angulo de dois planos π1 e π2 o menor ˆangulo que o vetor normal de π1 forma com o vetor normal de π2 . Logo, sendo θ este ˆangulo, tem-se:
90
cos θ =
π |n~1 .n~2 | , com 0 ≤ θ ≤ ||n~1 ||.||n~2 || 2
(5.17.1)
ou, em coordenadas:
Observa¸ c˜ ao 5.10
cos θ = p
a1
2
|a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 | p + b 1 2 + c 1 2 a2 2 + b 2 2 + c 2 2
(5.17.2)
b1 c1 a1 = = . a2 b2 c2 a1 b1 c1 d1 Se al´em dessas igualdades tivermos = = = os planos s˜ ao coincidentes. a2 b2 c2 d2
1. π1 //π2 , se ~n1 //~n2 . Isto ´e
2. π1 ⊥ π2 , se ~n1 ⊥ ~n2 . Isto ´e, se
a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 0.
Exemplo 5.27 Determinar o ˆ angulo entre os planos π1 : 2x − 3y + 5z − 8 = 0 e π2 : 3x + 2y + 5z − 4 = 0.
5.18
ˆ Angulo de uma reta com um Plano
Seja r uma reta com a dire¸ca˜o do vetor ~v e um plano π com vetor nomal ~n. O ˆangulo φ da reta r com o plano π ´e o complemento do ˆangulo θ que a reta r forma com uma reta normal ao plano. π Como θ + φ = e, portanto, cos θ = sen φ temos: 2 sen φ =
|~v .~n| π , com 0 ≤ θ ≤ ||~v ||.||~n|| 2
Exemplo 5.28 Determinar o ˆ angulo entre a reta x = 1 − 2t y = −t r: e plano π : x + y − 5 = 0 z = 3+t 91
(5.18.3)
5.19
Interse¸ c˜ ao de Dois Planos
Consideremos os planos n˜ao paralelos π1 : 5x − 2y + z + 7 = 0 e π2 : 3x − 3y + z + 4 = 0. Sabemos que a interse¸ca˜o de dois planos n˜ao paralelos ´e uma reta r cujas equa¸co˜es se deseja determinar. Uma reta est´a determinada quando se conhece dois de seus pontos ou um ponto e seu vetor diretor. Um ponto pertence `a reta interse¸ca˜o se suas coordenadas satisfazem simultaneamente as equa¸co˜es dos dois planos, isto ´e, ele ´e uma solu¸ca˜o do sistema:
5x − 2y + z + 7 = 0 3x − 3y + z + 4 = 0
O sistema ´e indeterminado e, em termos de x sua solu¸ca˜o ´e:
y = −2x − 3 z = −9x − 13
Estas s˜ao as equa¸co˜es reduzidas da reta interse¸ca˜o dos planos π1 e π2 , sendo os pontos dessa interse¸ca˜o da forma: (x, y, z) = (x, −2x − 3, −9x − 13)
5.20
Distˆ ancia de um Ponto a um Plano
Seja um ponto P0 (x0 , y0 , z0 ) e um plano π : ax + by + cz + d = 0. Seja A o p´e da perpendicular conduzida por P0 sobre o plano π e P (x, y, z) um ponto qualquer desse plano.
92
−−→ O vetor ~n = (a, b, c) e normal ao plano π e, por conseguinte, o vetor AP0 tem a mesma dire¸ca˜o de ~n. A distˆancia d do ponto P0 ao plano π ´e: −−→ d(P0 , π) = ||AP0 || −−→ −−→ Observando que o vetor AP0 ´e a proje¸ca˜o do vetor P P0 na dire¸ca˜o de ~n, temos: −−→ ~n −−→ d(P0 , π) = ||AP0 || = P P0 . ||~n||
−−→ Mas, P P0 = (x0 − x, y0 − y, z0 − z) e
~n (a, b, c) . =√ ||~n|| a2 + b 2 + c 2 Logo, (a, b, c) d(P0 , π) = (x0 − x, y0 − y, z0 − z). √ a2 + b2 + c2 d(P0 , π) =
|a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)| √ a2 + b 2 + c 2
d(P0 , π) =
|ax0 − ax + by0 − by + cz0 − cz| √ a2 + b 2 + c 2
Em virtude de P ∈ π temos: d = −ax − by − cz portanto, d(P0 , π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d| √ a2 + b 2 + c 2
Exemplo 5.29 Determinar a distˆ ancia do ponto P0 (−4, 2, 5) ao plano π : 2x + y + 2z + 8 = 0
93
5.21
Distˆ ancia entre dois planos
A distˆancia entre dois planos ´e definida somente para planos paralelos: Para π1 //π2 , temos: d(π1 , π2 ) = d(P0 , π2 ), P0 ∈ π1 . Exemplo 5.30 Dados os planos paralelos π1 : 2x − 2y + z − 5 = 0 e π2 : 4x − 4y + 2z + 14 = 0
verifique que d(π1 , π2 ) = 4.
5.22
Distˆ ancia de uma Reta a um Plano
A distˆancia de uma reta a um plano ´e definida somente quando a reta ´e paralela ao plano, ou seja, o vetor diretor de r ´e paralelo ao plano π. Neste caso, temos: d(r, π) = d(P0 , π), P0 ∈ r. Exemplo 5.31 Estude a distˆ ancia da reta r :
94
x=3 ao planos xOz e yOz. y=4
Cap´ıtulo 6 Cˆ onicas e Qu´ adricas
Neste Cap´ıtulo faremos um estudo geom´etrico e anal´ıtico(alg´ebrico) de curvas bidimensionais ˆ ´ especiais: as CONICAS e, as superf´ıcies tridimensionais classificadas como QUADRICAS.
6.1
Defini¸c˜ ao geom´ etrica das Cˆ onicas
Defini¸ c˜ ao 6.1 As cˆ onicas s˜ ao curvas planas obtidas pela intersec¸c˜ao de um cone circular duplo com um u ´nico plano.
Figura 6.1: cone duplo A inclina¸ca˜o do plano com rela¸ca˜o ao eixo de simetria do cone determinar´a os diversos tipos de curvas. Essas curvas s˜ao chamadas de cˆonicas. S˜ao elas: circunferˆencia, elipse, par´abola e hip´erbole.
95
Figura 6.2: Observa¸ c˜ ao 6.1 Se o plano passar pelo v´ertice O do cone obtemos as cˆ onicas degeneradas: Estudaremos somente as cˆonicas n˜ ao-degeneradas.
Figura 6.3: cˆonicas degeneradas
6.2
Defini¸c˜ ao anal´ıtica das Cˆ onicas
Defini¸ c˜ ao 6.2 Uma cˆ onica em R2 ´e um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ao: C(x, y) = ax2 + 2cxy + by 2 + dx + ey + f = 0 onde a ou b ou c 6= 0. Veremos neste curso que:
96
− Se c = d = e = 0 ent˜ao a cˆonica est´a centrada na origem e possui uma posi¸ c˜ ao padr˜ ao
n˜ ao rotacionada;
− Se c = 0 e d 6= ou e 6= ent˜ao a cˆonica est´a transladada (n˜ao centrada na origem) mas,
possui uma posi¸ c˜ ao padr˜ ao n˜ ao rotacionada;
− Se c 6= 0 e d = e = 0 ent˜ao a cˆonica est´a centrada na origem e rotacionada; − Se c, d , e 6= 0 ent˜ao a cˆonica est´a transladada (n˜ao centrada na origem) e rotacionada.
6.3
Defini¸c˜ ao geom´ etrica das Superf´ıcies Qu´ adricas
Defini¸ c˜ ao 6.3 As Superf´ıcies Qu´adricas s˜ ao superf´ıcies tridimensionais cuja interse¸c˜ao com os planos paralelos aos planos coordenados ´e dada por uma cˆonica. Cada cˆonica obtida por esta interse¸c˜ao ´e chamada de curva de n´ıvel.
97
6.4
Defini¸c˜ ao anal´ıtica das Superf´ıcies Qu´ adricas
Defini¸ c˜ ao 6.4 Uma Superf´ıcie Qu´ adrica em R3 ´e um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equa¸c˜ao: ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2eyz + 2fxz + gx + hy + iz + j = 0 com pelo menos uma das constantes a, b, c, d, e ou f diferente de zero. Estudaremos as qu´adricas, na posi¸ca˜o padr˜ao cuja representa¸ca˜o ´e dada por uma equa¸ca˜o da forma ax2 + by2 + cz2 + gx + hy + iz + j = 0.
6.5
A elipse
Defini¸ c˜ ao 6.5 Uma elipse ´e o conjunto dos pontos P (x, y) do plano tais que a soma das distˆ ancia de P a dois pontos fixos F1 e F2 situados no mesmo plano ´e constante. Os pontos F1 e F2 , s˜ ao chamados focos da elipse.
Figura 6.4: elipse
Seja d(F1 , F2 ) = 2c (distˆancia focal) e seja a um n´ umero real tal que 2a > 2c. O conjunto de todos os pontos P do plano que satisfazem a equa¸ca˜o d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a ou −−→ −−→ k P F1 k + k P F2 k = 2a ´e uma elipse com focos F1 e F2 . 98
(6.5.1)
Observa¸ c˜ ao 6.2 Se a = c, (6.5.1) ´e a equa¸c˜ao do segmento F1 F2 .
6.5.1
Elementos da elipse
• Focos: s˜ao os pontos F1 e F2 . • Distˆ ancia focal: ´e a distˆancia 2c entre os focos. • Centro: ´e o ponto m´edio C do segmento F1 F2 . • Eixo maior: ´e o segmento A1 A2 de comprimento 2a. • Eixo menor: ´e o segmento B1 B2 de comprimento 2b. • V´ ertices: s˜ao os pontos A1 , A2 , B1 e B2 . c • Excentricidade: ´e o n´ umero e dado por e = . Como c < a, temos 0 ≤ e < 1. a
Figura 6.5:
Observa¸ c˜ ao 6.3 Em toda elipse vale a rela¸c˜ao: a2 = b2 + c2
Figura 6.6:
99
6.5.2
Express˜ ao anal´ıtica da elipse centrada na origem
Consideremos a elipse com focos F1 (−c, 0) e F2 (c, 0).
Figura 6.7: −−→ −−→ Logo, F1 P = P − F1 = (x + c, y) e F2 P = P − F2 = (x − c, y). Portanto, a equa¸ca˜o −−→ −−→ k F1 P k + k F2 P k= 2a pode ser escrita como:
p p (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a ⇒ p p (x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2 ⇒ p p ( (x + c)2 + y 2 )2 = (2a − (x − c)2 + y 2 )2 ⇒ p (x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 ⇒ p x2 + 2xc + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2xc + c2 + y 2 p p ⇒ a (x − c)2 + y 2 = a2 − xc ⇒ 4a (x − c)2 + y 2 = 4a2 − 4xc p (a (x − c)2 + y 2 )2 = (a2 − xc)2 ⇒ a2 ((x − c)2 + y 2 ) = a4 − 2a2 xc + x2 c2 ⇒
a2 (x2 − 2xc + c2 + y 2 ) = a4 − 2a2 xc + x2 c2 a2 x 2 + a2 c 2 + a2 y 2 = a4 + x 2 c 2
x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
⇒
⇒ a2 x2 − a2 2xc + a2 c2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 xc + x2 c2 ⇒
⇒ a2 x 2 − x 2 c 2 + a2 y 2 = a4 − a2 c 2 ⇒ ⇒ x 2 b 2 + a2 y 2 = a2 b 2
(pois a2 = b2 + c2 ) ⇒
Dividindo ambos os membros por a2 b2 (a e b s˜ao n˜ao-nulos) temos x2 y 2 + 2 = 1 a2 b que ´e a equa¸ c˜ ao da elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo x. 100
(6.5.2)
Analogamente, se tomarmos F1 (0, −c) e F2 (0, c), obtemos a equa¸ca˜o
x2 y 2 + 2 = 1 (6.5.3) b2 a que e a equa¸ c˜ ao da elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo y. Exemplo 6.1 Determine os elementos de cada uma das elipses a seguir: x2 y 2 x2 y 2 =1 b) + =1 a) + 9 4 4 9 c) 9x2 + 25y 2 = 225 d) 4x2 + y 2 = 16
6.5.3
Elipses transladadas
Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O′ (h, k). Vamos introduzir um novo sistema x′ O′ y ′ tal que os eixos O′ x′ e O′ y ′ tenham a mesma unidade de medida, a mesma dire¸ca˜o e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, um sistema pode ser obtido do outro atrav´es de uma transla¸ca˜o de eixos.
Figura 6.8:
Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas s˜ao: x e y em rela¸ca˜o ao sistema xOy, x′ e y ′ em rela¸ca˜o ao sistema x′ O′ y ′ , Pela figura (6.8) temos: x = x′ + h e y = y ′ + k ou x′ = x − h e y ′ = y − k que s˜ao as f´ ormulas de transla¸c˜ao e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. 101
Defini¸ c˜ ao 6.6 Express˜ ao anal´ıtica da elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano 10 caso: O eixo maior ´e paralelo ao eixo dos x. Consideremos uma elipse de centro C(h, k) e seja P (x, y) um ponto qualquer da elipse.
Figura 6.9:
Consideremos um novo sistema de eixos x′ O′ y ′ com origem em O′ em C. Veja figura (6.9) A equa¸c˜ao da elipse referente ao sistema x′ O′ y ′ ´e x′2 y ′2 + 2 =1 a2 b mas, x′ = x − h e y ′ = y − k logo, (x − h)2 (y − k)2 + = 1, a2 b2 que ´e a equa¸ c˜ ao da elipse com centro C(h, k) e eixo maior paralelo ao eixo dos x. 20 caso: O eixo maior ´e paralelo ao eixo dos y De modo an´alogo ao caso anterior, obtemos: (x − h)2 (y − k)2 + = 1, b2 a2 que ´e a equa¸ c˜ ao da elipse com centro C(h, k) e eixo maior paralelo ao eixo dos y. 102
Figura 6.10:
Exemplo 6.2 Determinar a equa¸c˜ao da elipse, cujo eixo maior ´e paralelo ao eixo dos y, tem 1 centro C(4, -2), excentricidade e = e eixo menor de medida 6. 2
Exemplo 6.3 Determinar o centro, os v´ertices, os focos e a excentricidade da de equa¸c˜ao 4x2 + 9y 2 − 8x − 36y + 4 = 0. Observa¸ c˜ ao 6.4 Na equa¸c˜ao da elipse, sendo a = b temos: (x−k)2 a2
+
(y−l)2 a2
= 1 ou ainda,
(x − k)2 + (y − l)2 = a2 , que ´e a equa¸c˜ao da circunferˆencia de centro (k, l) e raio r = a. Exemplo 6.4 Determinar o centro e o raio das circunferˆencias: a) x2 + y 2 = 9 b) x2 + y 2 + 6x − 8y = 0 103
6.6
O Elips´ oide
Consideremos uma superf´ıcie tal que, os planos xy, xz e yz a interceptam segundo as elipses x2 y 2 + 2 = 1, a2 b
x2 z 2 + 2 =1 a2 c
e
y2 z2 + 2 =1 b2 c
respectivamente. Essa superf´ıcie ´e dita um elips´ oide descrito pela equa¸ca˜o: x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1, a2 b c onde a, b e c s˜ao n´ umeros reais positivos.
Observa¸ c˜ ao 6.5 Observa¸ c˜ ao 6.6
Se a = b = c, o elips´oide ´e uma esfera. O plano z = k, se | k |< c intercepta a superf´ıcie segundo uma elipse e os
planos x = k, se | k |< a e y = k, se | k |< b tamb´em interceptam a superf´ıcie segundo elipses . Exemplo 6.5 Identifique e esboce o gr´afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ao 9x2 + y 2 +
104
9z 2 = 9. 4
6.7
A Hip´ erbole
Uma hip´ erbole com focos F1 e F2 ´e o conjunto dos pontos P (x, y) do plano tais que |d(F1 , P ) − d(F2 , P )| ´e constante.
Figura 6.11: hip´erbole
Sejam F1 e F2 dois pontos do plano tais que d(F1 , F2 ) = 2c e seja a um n´ umero real tal que 2a < 2c. O conjunto de todos os pontos P do plano que satisfazem a equa¸ca˜o |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2a ou −−→ −−→ | k P F1 k − k P F2 k | = 2a
(6.7.1)
´e uma hip´erbole com focos F1 e F2 . −−→ −−→ Observa¸ c˜ ao 6.7 Se a = c a equa¸c˜ao | k P F1 k − k P F2 k | = 2c descreve os pontos P, situados
sobre a reta que passa pelos pontos F1 e F2 n˜ ao interiores ao segmento F1 F2 .
Consideremos a reta que passa por F1 e F2 e sejam A1 e A2 os pontos de interse¸ca˜o da hip´erbole com esta reta. Consideremos outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto m´edio C do segmento F1 F2 . A hip´erbole ´e sim´etrica em rela¸ca˜o a essas duas retas, como tamb´em em rela¸ca˜o ao ponto C. Consideremos ainda uma circunferˆencia de raio c e centro C. Tracemos por A1 e A2 cordas perpendiculares ao diˆametro F1 F2 . As quatro extremidades dessas cordas s˜ao os v´ertices do retˆangulo M N P Q inscrito nessa circunferˆencia. As retas que cont´em as diagonais do referido retˆangulo chamam-se ass´ıntotas da hip´ erbole. Observemos que em toda hip´erbole vale a rela¸ca˜o: c2 = a2 + b2 . Veja figura (6.12). 105
Figura 6.12:
As ass´ıntotas s˜ao retas das quais a hip´erbole se aproxima cada vez mais `a medida que os pontos se afastam dos focos.
6.7.1
Elementos da Hip´ erbole
• Focos: s˜ao os pontos F1 e F2 . • Distˆ ancia focal: ´e a distˆancia 2c entre os focos. • Centro: ´e o ponto m´edio C do segmento F1 F2 . • V´ ertices: s˜ao os pontos A1 e A2 . • Eixo real: ´e o segmento A1 A2 de comprimento 2a. • Eixo imagin´ ario: ´e o segmento B1 B2 de comprimento 2b. c • Excentricidade: ´e o n´ umero e dado por e = . Como c > a, temos e > 1. a
106
6.7.2
Express˜ ao anal´ıtica da hip´ erbole centrada na origem
1◦ caso: O eixo real est´ a sobre o eixo dos x Sja P (x, y) um ponto qualquer da hip´erbole de focos F1 (−c, 0) e F2 (c, 0).
Figura 6.13:
Da defini¸ca˜o temos |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| p | (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 | p p (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 p (x + c)2 + y 2 p
= 2a
⇒
= 2a
⇒
= ±2a
⇒ p = ±2a + (x − c)2 + y 2
Com procedimento an´alogo ao que foi usado na dedu¸ca˜o da equa¸ca˜o da elipse e usando a rela¸ca˜o c2 = a2 + b2 obtemos:
x2 y 2 − 2 = 1 a2 b
(6.7.2)
que ´e a equa¸ c˜ ao da hip´ erbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo x. 2◦ caso: O eixo real est´ a sobre o eixo dos y Analogamente, se tomarmos F1 (0, −c) e F2 (0, c), obtemos a equa¸ca˜o y 2 x2 − 2 = 1 a2 b
(6.7.3)
que ´e a equa¸ c˜ ao da hip´ erbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo y.(Veja figura 6.14) 107
Figura 6.14:
Exemplo 6.6 Esboce as hip´erboles a seguir e determine: a) a medida dos semi-eixos; b) os v´ertices; c) os focos; d) a excentricidade; e) as equa¸c˜oes das ass´ıntotas. I)
x2 y 2 − =1 9 4
II)
x2 y 2 − =1 4 9
III)
108
y 2 x2 − =1 4 9
IV )
y 2 x2 − =1 9 4
6.7.3
Hip´ erboles transladadas
10 caso: O eixo real ´e paralelo ao eixo dos x. Consideremos uma hip´erbole de centro C(h, k) e seja P (x, y) um ponto qualquer dessa hip´erbole.
Analogamente como no estudo da elipse temos que x2 y 2 − 2 =1 a2 b ´e a equa¸ca˜o de uma hip´erbole com centro C(0, 0) e eixo real sobre o eixo dos x; quando o eixo real for paralelo ao eixo dos x e o centro ´e C(h, k), sua equa¸ca˜o passa a ser: (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2 20 caso: O eixo real ´e paralelo ao eixo dos y Neste caso, a equa¸ca˜o ´e: (y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2
109
Exemplo 6.7 Esboce o gr´afico da hip´erbole
(y − 1)2 (x − 3)2 − = 1 e determine: 9 4
a) o centro; b) os v´ertices; c) os focos; d) a excentricidade; e) as equa¸c˜oes das ass´ıntotas.
6.8
O Hiperbol´ oide de um folha
Consideremos a superf´ıcie tal que, o plano xy a intercepta segundo a elipse x2 y 2 + 2 = 1, z = 0 a2 b e os planos xz e yz a interceptam segundo as hip´erboles x2 z 2 − 2 = 1, y = 0 a2 c
e
y2 z2 − 2 = 1, x = 0 b2 c
respectivamente. Essa superf´ıcie ´e dita um hiperbol´ oide de uma folha ao longo do eixo z descrito pela equa¸ca˜o:
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1, a2 b c onde a, b e c s˜ao n´ umeros reais positivos.
Observa¸ c˜ ao 6.8
Os tra¸cos horizontais s˜ ao elipses. Os tra¸cos verticais nos planos x = k e
y = k s˜ ao hip´erboles se k 6= 0 e s˜ ao um par de retas se k = 0. Observa¸ c˜ ao 6.9
O eixo de simetria corresponde ` a vari´ avel cujo coeficiente ´e negativo.
110
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 + + = 1, e − 2 + 2 = 1 descrevem o hiperbol´oide de uma a2 b2 c2 a2 b c folha ao longo do eixo x e ao longo do eixo y, respectivamente. J´a as equa¸co˜es −
Exemplo 6.8 Esbo¸car o gr´afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ao x2 +
6.9
y2 z2 − = 1. 4 4
A Par´ abola
Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F n˜ao pertencente a d. Uma par´ abola de foco F ´e o conjunto dos pontos P (x, y) do plano equidistantes de F e de d.
Figura 6.15: par´abola
Seja P1 ´e o p´e da perpendicular de um ponto P do plano sobre a reta d. De acordo com a defini¸ca˜o, P pertence `a par´abola se, e somente se: d(P, F ) = d(P, P1 ) ou −→ −−→ k P F k=k P P1 k
6.9.1
Elementos da par´ abola
• Foco: ´e o ponto F. 111
(6.9.1)
• Diretriz: ´e a reta d. • Eixo: ´e a reta que passa pelo foco e ´e perpendicular `a diretriz. • V´ ertice: ´e o ponto V de interse¸ca˜o da par´abola com seu eixo. Observa¸ c˜ ao 6.10 d(V, F ) = d(V, A), A ∈ d (d: diretriz).
6.9.2
Express˜ ao anal´ıtica da par´ abola com v´ ertice na origem
1◦ caso: O eixo da par´ abola ´e o eixo dos x Consideremos a par´abola de foco F (a, 0).
Figura 6.16:
Um ponto P (x, y) do plano pertence `a par´abola se, e somente se: d(P, F ) = d(P, P1 ) ou
−→ −−→ k P F k=k P P1 k
isto ´e, p (x − a)2 + (y − 0)2
=
p (x + a)2 + (y − y)2 ⇒
(x − a)2 + y 2 =
x2 − 2xa + a2 + y 2 = x2 + 2xa + a2
112
(x + a)2 ⇒
⇒
y 2 = 4ax
Portanto, y2 = 4ax ´e a equa¸ca˜o da par´abola com: v´ertice V (0, 0), foco F (a, 0) sobre o eixo dos x e diretriz d : x = −a. Observa¸ c˜ ao 6.11 Se a > 0, a par´ abola tem concavidade voltada para a direita e se a < 0, a par´ abola tem concavidade voltada para a esquerda.
2◦ caso: O eixo da par´ abola est´ a sobre o eixo dos y Considerando um ponto P (x, y) de uma par´abola com foco F (0, a), de modo an´alogo ao primeiro caso obtemos a equa¸ca˜o x2 = 4ay que ´e a equa¸ca˜o da par´abola com v´ertice V (0, 0), foco F (0, a) sobre o eixo dos y e diretriz d : y = −a
Figura 6.17:
Observa¸ c˜ ao 6.12 Se a > 0, a par´ abola tem concavidade voltada para cima e se a < 0, a par´ abola tem concavidade voltada para baixo.
Exemplo 6.9 Determinar a equa¸c˜ao da reta diretriz, o v´ertice e o foco das par´ abolas x2 = 8y e y 2 = −2x e esboce as par´ abolas.
113
6.9.3
Par´ abolas Transladadas
10 caso: O eixo da par´ abola ´e paralelo ao eixo dos x. Consideremos uma par´abola com v´ertice V (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos x. Ap´os uma transla¸ca˜o de eixos, an´alogo ao que foi feito no estudo da elipse e da hip´erbole, temos que (y − k)2 = 4a(x − h) ´e a equa¸ca˜o da par´abola com v´ertice no ponto V (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos x.
Analogamente, (x − h)2 = 4a(y − k) ´e a equa¸ca˜o da par´abola com v´ertice no ponto V (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y.
Exemplo 6.10 Determinar a equa¸c˜ao da reta diretriz, o v´ertice e o foco da par´ abola y 2 + 6y − 8x + 1 = 0 e esboce a par´ abola.
114
6.10
O Parabol´ oide el´ıptico
A superf´ıcie tal que, s planos xz e yz a interceptam segundo as par´abolas x2 = a2 cz,
e
y 2 = b2 cz.
Esta superf´ıcie ´e dita parabol´ oide el´ıptico em torno do eixo z descrita pela equa¸ca˜o x2 y 2 + 2 = cz. a2 b
Figura 6.18: Observa¸ c˜ ao 6.13
- Se c > 0, o plano z = k intercepta essa superf´ıcie segundo a elipse
x2 y2 + = 1 z = k. cka2 ckb2
(6.10.2)
se k > 0. - Se k < 0 o plano z = k n˜ ao intercepta a superf´ıcie. Isto ´e, se c > 0, a superf´ıcie est´ a contida na regi˜ao z ≥ 0. Analogamente, temos que se c < 0, a superf´ıcie est´ a na regi˜ao z ≤ 0. y2 z2 x2 z 2 + = cx, e + 2 = cy descrevem o parabol´oide el´ıptico em torno do eixo a2 b 2 a2 b x e em torno do eixo y, respectivamente.
J´a as equa¸co˜es
Exemplo 6.11 Esbo¸car o gr´afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ao z = 4x2 + y 2
115
6.11
O Hiperbol´ oide de duas folhas
Consideremos a superf´ıcie cuja equa¸ca˜o ´e da forma n´ umeros reais positivos.
−
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1, onde a, b e c s˜ao a2 b c
Se | k |< b o plano y = k n˜ ao intercepta a superf´ıcie e se | k |> b o plano y = k intercepta a
superf´ıcie segundo a elipse.
x2 z 2 k2 + = − 1, y = k. a2 c2 b2
(6.11.3)
Vemos que essa superf´ıcie tem duas folhas, uma na regi˜ao y ≥ b e outra na regi˜ao y ≤ −b. Os planos xy e yz interceptam a superf´ıcie segundo as hip´erboles y2 z2 y 2 x2 − = 1, z = 0 e − 2 = 1, x = 0 b2 a2 b2 c respectivamente. Essa superf´ıcie ´e um hiperbol´oide de duas folhas ao longo do eixo y.
Exemplo 6.12 Identifique e esboce o gr´afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ao 4x2 − y 2 + 2z 2 + 4 = 0.
116
6.12
O Parabol´ oide hiperb´ olico
A superf´ıcie cuja equa¸ca˜o ´e da forma −
x2 y 2 + 2 = cz ´e um parabol´oide hiperb´olico . a2 b
Figura 6.19: - O plano xz intercepta a superf´ıcie segundo a par´abola x2 = −ca2 z, y = 0 a qual tem
concavidade voltada para baixo, se c > 0 e seu eixo focal ´e o eixo dos z.
- O plano yz intercepta a superf´ıcie segundo a par´abola y 2 = cb2 z, x = 0 a qual tem concavidade voltada para cima, se c > 0 e seu eixo focal tamb´em ´e o eixo dos z. - Se k 6= 0, o plano z = k intercepta a superf´ıcie segundo a hip´erbole
−
x2 y2 + = 1 z = k. cka2 ckb2
(6.12.4)
- Se k > 0, o eixo focal da hip´erbole ´e paralelo ao eixo dos y e; - Se k < 0 esse eixo ´e paralelo ao eixo dos x. Exemplo 6.13 Esbo¸car o gr´afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ao z = y 2 − x2
6.13
Superf´ıcie Cˆ onica
Superf´ıcie cˆonica ´e uma superf´ıcie gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado n˜ao situado no plano desta curva. A reta ´e denominada geratriz, a curva plana ´e a diretriz e o ponto fixo dado ´e o v´ertice da superf´ıcie cˆonica. 117
6.13.1
O Cone Qu´ adrico
Consideraremos o caso particular da superf´ıcie cˆonica cuja diretriz ´e uma elipse (ou circunferˆencia) com o v´ertice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixos coordenados. Nestas condi¸co˜es, a superf´ıcie cˆonica cujo eixo ´e o eixo dos z tem equa¸ca˜o: x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0. a2 b c
Figura 6.20: e chama-se cone qu´adrico. O plano z = k, k 6= 0 intercepta a superf´ıcie segundo a elipse x2 y2 + = 1 z = k. k 2 a2 k 2 b 2 A interse¸ca˜o dessa superf´ıcie com o plano z = 0 ´e a origem, que ´e o v´ertice do cone. Os planos xy e yz interceptam a superf´ıcie segundo os pares de reta x = ±az, y = 0
e
y = ±bz x = 0.
respectivamente. Exemplo 6.14 Esbo¸car o gr´afico da superf´ıcie dada pela equa¸c˜ao x2 + y 2 = z 2 .
118
(6.13.5)
6.14
Superf´ıcie Cil´ındrica
Seja C uma curva plana e f uma reta fixa n˜ao contida nesse plano. Superf´ıcie cil´ındrica ´e a superf´ıcie gerada por uma reta r que se move paralelamente `a reta fixa f em contato permanente com a curva plana C. A reta r que se move ´e denominada geratriz e a curva C ´e a diretriz da superf´ıcie cil´ındrica.
Nesse estudo consideramos apenas superf´ıcies cil´ındricas cuja diretriz ´e uma curva que se encontra num dos planos coordenados e a geratriz ´e uma reta paralela ao eixo coordenado n˜ao contido nesse plano. Neste caso, a equa¸ca˜o da superf´ıcie cil´ındrica ´e a mesma de sua diretriz. Exemplo 6.15 Represente geometricamente as superf´ıcies cil´ındricas dadas pelas equa¸c˜oes: a) y 2 = 2z. b) z 2 = 2y. c) x2 = 2y. x2 y 2 + =1 d) 4 9 x2 z 2 + =1 e) 4 9 y2 z2 f) + =1 4 9 Observa¸ c˜ ao 6.14 Conforme a diretriz seja uma circunferˆencia, elipse, hip´erbole ou par´ abola, a superf´ıcie cil´ındrica ´e chamada circular, el´ıptica, hiperb´olica, ou parab´olica.
119
Resumo de alguns poss´ıveis tipos de superf´ıcies qu´adricas b´asicas e as equa¸co˜es em cada caso. Superf´ıcie
Elips´ oide
Cone el´ıptico
Equa¸ca˜o:
x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1, a2 b c
z2 =
vertical
ao longo do eixo x
ao longo do eixo y
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1, a2 b c
x2 y 2 z 2 − 2 + 2 + 2 = 1, a b c
x2 y 2 z 2 − 2 + 2 =1 a2 b c
vertical
ao longo do eixo x
ao longo do eixo y
z 2 x2 y 2 − 2 − 2 = 1, a2 b c
x2 y 2 z 2 − 2 − 2 = 1, a2 b c
y 2 x2 z 2 − 2 − 2 =1 a2 b c
x2 y 2 + 2, a2 b
Parabol´oide el´ıptico
z=
x2 y 2 + 2 a2 b
gr´afico
Hiperbol´oide uma folha
de
Equa¸ca˜o: gr´afico
Hiperbol´oide duas folhas
Equa¸ca˜o:
de
gr´afico
120
Parabol´oide Hiperb´ olico
em z
Equa¸ca˜o:
z=
em x
y 2 x2 − 2, a2 b
x=
gr´afico
121
em y
y2 z2 − 2, a2 b
y=
x2 z 2 − 2, a2 b
Cap´ıtulo 7 O Espa¸ co Vetorial Euclidiano n-dimensional Em meados do s´eculo XV II Ren´e Descartes materializou explicitamente a id´eia de utilizar pares de n´ umeros para situar pontos no plano. Logo em seguida foram utilizados ternos de n´ umeros para situar pontos do espa¸co tridimensional. J´a na segunda metade do s´eculo dezoito, os matem´aticos e f´ısicos (entre eles, Einstein) perceberam a possibilidade de se trabalhar com qu´adruplos (x, y, z, t) que poderiam ser considerados como pontos de um universo espa¸co-tempo de dimens˜ao quatro. Mais ainda, acrescendo outras informa¸co˜es a este ponto do espa¸co poderiam trabalhar com pontos (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) num espa¸co de dimens˜ao cinco e assim por diante, com n−uplas (x1 , x2 , ..., xn ) num ”espa¸co n-dimensional”, a qual designaremos de ”espa¸co vetorial euclidiano.” Neste cap´ıtulo estudaremos as propriedades das opera¸co˜es sobre os vetores deste espa¸co.
7.1
O Espa¸ co Euclidiano n-Dimensional
Mesmo n˜ao havendo visualiza¸ca˜o geom´etrica para espa¸cos de dimens˜ao maior que 3, ´e poss´ıvel estender muitas id´eias familiares como aˆngulo, comprimento, distˆancia, utilizando as propriedades num´ericas e alg´ebricas. Defini¸ c˜ ao 7.1 Se n ´e um n´ umero inteiro positivo, dizemos que uma sequˆencia (x1 , x2 , ..., xn ) de n´ umeros reais ´e uma n-upla ordenada e o espa¸ co euclidiano n-dimensional ´e dado por: Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) :
xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}
~ = (x1 , x2 )(OP ~ = Observa¸ c˜ ao 7.1 Em R2 (R3 ) ` a cada ponto P (x1 , x2 )(P (x1 , x2 , x3 ) h´a um vetor OP 122
(x1 , x2 , x3 )) associado e vice-versa: ` a cada vetor de R2 (R3 ) h´a um ponto associado. Generalizando ent˜ ao, esta associa¸c˜ao dizemos que cada n-upla ordenada (x1 , x2 , ..., xn ) corresponde tanto a um ponto generalizado de Rn quanto a um vetor generalizado de Rn .
7.1.1
Igualdade de vetores de Rn
Dois vetores ~u = (u1 , u2 , ..., un ) e ~v = (v1 , y2 , ..., vn ) s˜ao iguais (~u = ~v ) se, e somente se, u1 = v1 , u2 = v2 , ..., un = vn
7.1.2
Opera¸c˜ oes em Rn
Dados os vetores ~u = (u1 , u2 , ..., un ) e ~v = (v1 , y2 , ..., vn ) em Rn temos: A soma u + v definida por ~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ) e se k ∈ R, a multiplica¸c˜ ao por escalar de ~v definida por: k~v = (kv1 , kv1 , ..., kvn ). Observa¸ c˜ oes: 1. O vetor nulo de Rn ´e denotado por ~0 ou ´e definido como ~0 = 0Rn = (0, 0, .., 0) 2. O inverso aditivo de um vetor ~u = (u1 , u2 , ..., un ) ´e denotado por −u e definido por −u = (−u1 , −u2 , ..., −un ) 3. A diferen¸ ca de vetores em Rn ´e definida por u − v = u + (−v) = (u1 − v1 , u2 − v2 , ..., un − vn ) Exemplo 7.1 Dados os vetores ~u = (−2, 3, 7, 4) e ~v = (1, 0, −3, 6), calcule: a) ~u + ~v
b) 2~u
c) u − 3v.
123
7.1.3
Propriedades das opera¸c˜ oes no Espa¸co Euclidiano
Para quaisquer vetores ~u, ~v e w ~ em Rn e k e l escalares em R temos: 1. Se ~u, ~v ∈ Rn ent˜ao ~u + ~v ∈ Rn 2. Se ~u ∈ Rn e k ∈ R ent˜ao k.~u ∈ Rn . 3. ~u + ~v = ~u + ~v 4. (~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ 5. ~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u 6. ~u + (−~u) = −~u + ~u = ~0 7. (k + l)~u = k~u + l~u 8. k(~u + ~v ) = k au ~ + k~v 9. k(l~u) = (kl)~v 10. 1~u = ~u e (−1)~u = −~u
7.1.4
O produto interno euclidiano em Rn
As no¸co˜es geom´etricas euclidianas de ˆangulo, paralelismo, perpendicularismo, ortogonalidade, comprimento, distˆancia, ´area e volume em R2 e R3 foram todas definidas a partir do produto interno entre dois vetores. Portanto, para estender estas no¸co˜es ao espa¸co n-dimensional Rn precisamos definir neste espa¸co, o produto interno euclidiano. Defini¸ c˜ ao 7.2 Sejam ~u = (u1 , u2 , ..., un ) e ~v = (v1 , v2 , ..., vn ) dois vetores n˜ ao nulos de Rn , ent˜ ao: ~u.~v = u1 .v1 + u2 v2 + ... + un vn define o produto interno euclidiano de ~u e ~v. Exemplo 7.2 O produto interno euclidiano dos vetores u = (−1, 3, 5, 7) e v = (5, −4, 7, 0) em
R4 ´e:
u.v = (−1).5 + 3.(−4) + 5.7 + 7.0 = 18 124
Norma e Distˆ ancia em Rn Por analogia com as f´ormulas familiares de R3 , n´os definimos a norma euclidiana ou comprimento euclidiano de um vetor u = (u1 , u2 , ..., un ) em Rn por q − k→ u k= u21 + u22 + ... + u2n
Da mesma forma, a distˆ ancia euclidiana entre os pontos u = (u1 , u2 , ..., un ) e v = (v1 , v2 , ..., vn ) de Rn ´e definida por p −−−→ d(u, v) =k u − v k= (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + ... + (un − vn )2
Para quaisquer que sejam os vetores ~u, ~v e w ~ de Rn e k um escalar real, temos: Propriedades do Produto Interno Euclidiano 1. ~u.~u > 0 e ~u.~u = 0 somente se ~u = ~0. 2. ~u.~v = ~v .~u 3. ~u.(~v + w) ~ = ~u.~v + ~u.w ~ 4. (k~u).~v = k(~u.~v ) = ~u.(k~v ) Propriedades do Comprimento Euclidiano √ → → → → → → v .− v ou ainda,− v .− v =k − v k2 . 1. k − v k= − → 2. k − u k≥ 0,
→ k− u k= 0 se, e somente se, u = 0
−→ → 3. k k.u k= |k| k − u k
−→ → → 4. k − u−+ v k≤k − u k + k− v k (Desigualdade triangular) 5. k ~u + ~v k2 = k ~u k2 + 2~u.~v + k ~v k2 6. k ~u − ~v k2 = k ~u k2 − 2~u.~v + k ~v k2 7. k ~u k2 − k ~v k2 = (~u + ~v ).(~u − ~v ) Propriedades da Distˆ ancia em Rn 1. d(u, v) ≥ 0,
d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v.
2. d(u, v) = d(v − u) 3. d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) (Desigualdade triangular) 125
Cap´ıtulo 8 Espa¸ cos Vetoriais Defini¸ c˜ ao 8.1 Um espa¸co vetorial real ´e um conjunto V, n˜ ao vazio, munido de duas opera¸c˜oes: +:V ×V
→ V
·:R×V
(u, v) 7→ u + v
→ V
(a, v) 7→ av
satisfazendo as seguintes propriedades, ∀ u, v, w ∈ V e a, b ∈ R ou a, b ∈ C: 01) u + v = v + u ; 02) u + (v + w) = (u + v) + w ; 03) Existe um elemento 0 ∈ V , tal que 0 + u = u (0 ´e o elemento neutro da adi¸c˜ao); 04) Existe um elemento (−v) ∈ V , tal que v + (−v) = (−v) + v = 0 (existˆencia do sim´etrico); 05) 1v = v(1 ´e o elemento neutro da multiplica¸c˜ao por escalar); 06) a(bv) = (ab)v; 07) a(v + w) = av + aw; 08) (a + b)v = av + bv. Observa¸ c˜ ao 8.1 1) Se os escalares forem n´ umeros complexos teremos um espa¸ co vetorial complexo. Daqui por diante, salvo referˆencia em contr´ ario, ser˜ ao considerados somente os espa¸cos vetoriais reais. 2) Os elementos do espa¸co vetorial V ser˜ ao chamados vetores. Exemplo 8.1 O conjunto dos vetores do espa¸co V = R3 = {(x1 , x2 , x3 ); xi ∈ R} ´e um espa¸co vetorial real.
Exemplo 8.2 O conjunto V = Pn dos polinˆ omios com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n ´e um espa¸co vetorial. 126
Exemplo 8.3 O conjunto Mmn (R) com as opera¸c˜oes adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar usuais
´e um espa¸co vetorial.
Exemplo 8.4 O espa¸ co euclidiano Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ); xi ∈ R} (n inteiro qualquer) ´e um espa¸co vetorial real, munido das opera¸c˜oes
u + v = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) e a.u = (ax1 , ax2 , . . . , axn ) ∀ u, v, ∈ V e a ∈ R.
8.1
Subespa¸co Vetorial
Defini¸ c˜ ao 8.2 Seja V um espa¸co vetorial real. Um subconjunto S de V ´e um subespa¸ co vetorial de V se: 1) S cont´em o vetor nulo; 2) Se u, v ∈ S, ent˜ ao u + v ∈ S; 3) Se u ∈ S e a ∈ R, ent˜ ao au ∈ S. Observa¸ c˜ ao 8.2 Todo espa¸co vetorial V admite pelo menos dois subespa¸cos: S = {0}, chamado
subespa¸ co nulo ou subespa¸ co zero e o pr´ oprio espa¸co vetorial V . Esses dois s˜ ao chamados subespa¸ cos triviais de V. Os demais s˜ ao denominados subespa¸cos pr´ oprios de V.
Exemplo 8.5 Os subespa¸cos triviais de V = R3 s˜ ao S = {(0, 0, 0)} e o pr´ oprio R3 . Os subespa¸cos pr´ oprios s˜ ao as retas e os planos que passam pela origem.
Exemplo 8.6 Sejam V = R2 e S = {(x, y) ∈ R2 /y = 2x} ou S = {(x, 2x); x ∈ R}. Mostre que S ´e um subespa¸co vetorial do R2 .
127
Exemplo 8.7 Sejam V = R2 e S = {(x, 4 − 2x); x ∈ R}. Mostre que S n˜ ao ´e um subespa¸co vetorial do R2 .
Exemplo 8.8 Sejam V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 ; ax + by + cz = 0}. Mostre que S ´e um subespa¸co vetorial do R3 .
Exemplo 8.9 Sejam V = R3 e S o conjunto solu¸c˜ao de um sistema homogˆeneo de trˆes equa¸c˜oes e trˆes vari´ aveis. Mostre que S ´e um subespa¸co vetorial do R3 .
8.2
Combina¸ c˜ ao Linear
Defini¸ c˜ ao 8.3 Sejam os vetores v1 , v2 , . . . , vn do espa¸co vetorial V e os escalares a1 , a2 , . . . , an . Qualquer vetor v ∈ V da forma: v = a1 v 1 + a2 v 2 + . . . + a n v n ´e uma combina¸ c˜ ao linear dos vetores v1 , v2 , . . . , vn . Exemplo 8.10 O vetor v = (2, 3) ∈ R2 ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1), pois
128
(2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1) Exemplo 8.11 O vetor v = (5, 2, 3) ∈ R3 ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0, 0),
v2 = (0, 1, 0), e v3 = (0, 0, 1), pois
(5, 2, 3) = 5(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1)
8.3
Subespa¸cos Gerados
Seja V um espa¸co vetorial. O conjunto S de todas as combina¸co˜es lineares poss´ıveis dos vetores v1 , v2 , . . . , vn de V ´e um subespa¸co vetorial de V, denominado subespa¸ co vetorial gerado pelos vetores v1 , v2 , . . . , vn . Nota¸ca˜o: S = [v1 , v2 , . . . , vn ] Observa¸ c˜ ao 8.3 Os vetores v1 , v2 , . . . , vn s˜ ao chamados geradores de S Exemplo 8.12 Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o espa¸co vetorial R2 , pois qualquer vetor (x, y) ∈ R2 ´e combina¸c˜ao linear de i e j. (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xi + yj Logo, [i, j] = R2 Exemplo 8.13 Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0) geram o subespa¸co S = {(x, y, 0) ∈ R3 /x, y ∈ R}, pois
(x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, ) Logo, [i, j] = S ´e um subespa¸co pr´ oprio do R3 e representa, geometricamente o plano XOY Exemplo 8.14 Os vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) geram o espa¸co vetorial R3 , pois qualquer vetor (x, y, z) ∈ R3 ´e combina¸c˜ao linear de e1 , e2 e e3 : (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) Logo, [e1 , e2 , e3 ] = R3 129
Observa¸ c˜ ao 8.4 Dados n vetores v1 , v2 , . . . , vn de V e w tal que w = a1 v1 , a2 v2 , . . . , an vn ent˜ ao: [v1 , v2 , . . . , vn , w] = [v1 , v2 , . . . , vn ] pois todo vetor v que ´e combina¸c˜ao linear de v1 , v2 , . . . , vn , w ´e tamb´em combina¸c˜ao linear de v1 , v2 , . . . , vn . Supondo que: v ∈ [v1 , v2 , . . . , vn , w], ent˜ ao existem n´ umeros reais b1 , b2 , . . . , bn , b tais que v = b1 v1 + b2 v2 + . . . + bn vn + bw mas w = a1 v 1 + a2 v 2 + . . . + an v n logo, v = b1 v1 + b2 v2 + . . . + bn vn + b(a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn ) ou v = (b1 + a1 )v1 + (b1 + a2 )v2 + . . . + (bn + an )vn logo v ´e combina¸c˜ao linear de v1 , v2 , . . . , vn , isto ´e, v ∈ [v1 , v2 , . . . , vn ] Para mostrar a rec´ıproca, isto ´e, se v ∈ [v1 , v2 , . . . , vn ] ent˜ ao v ∈ [v1 , v2 , . . . , vn , w], basta
considerar b = 0.
8.4
Dependˆ encia e Independˆ encia Linear
Na observa¸ca˜o acima vimos que um espa¸co vetorial V pode ser gerado por n vetores ou por n + 1 vetores. Isto ´e, o conjunto gerador de V pode ter n ou n + 1 vetores. Em nosso estudo estamos interessados no conjunto gerador de um espa¸co vetorial que seja o menor poss´ıvel. Para determinarmos esse conjunto precisamos do conceito de dependˆencia e independˆencia linear. Defini¸ c˜ ao 8.4 Sejam V um espa¸co vetorial e v1 , v2 , . . . , vn ∈ V. Dizemos que v1 , v2 , . . . , vn s˜ ao linearmente independentes se a equa¸c˜ao
130
a1 v 1 + a2 v 2 + . . . + a n v n = 0 s´ o admitir a solu¸c˜ao nula, isto ´e, a1 = a2 = . . . = an = 0. Se a equa¸c˜ao admitir solu¸c˜ao diferente da solu¸c˜ao nula diremos que os vetores v1 , v2 , . . . , vn s˜ ao linearmente dependentes. Exemplo 8.15 Dados os vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) do Rn e u = (a1 , a2 , . . . , an ) um vetor qualquer do Rn . Temos que u = a1 e1 + a2 e2 + . . . + an en . Al´em disso, se x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en = 0, ent˜ ao x1 = x2 = . . . = xn = 0. Portanto os vetores e1 , e2 , . . . , en s˜ ao linearmente independentes.
Defini¸ c˜ ao 8.5 Se V ´e um espa¸co vetorial, o conjunto de vetores v1 , v2 , . . . , vn ∈ V ´e uma base
de V, se:
i) v1 , v2 , . . . , vn s˜ ao LI; ii) os vetores v1 , v2 , . . . , vn geram V.
O n´ umero de vetores de uma base para um espa¸co vetorial V ´e o mesmo para qualquer base de V e chama-se dimens˜ ao de V. Exemplo 8.16 Se V = R2 , v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1), ent˜ ao {v1 , v2 } ´e base de R2 . De fato, j´ a vimos que todo vetor do plano ´e combina¸c˜ao linear de v1 e v2 e que os vetores v1 e v2 s˜ ao LI. A base {(1, 0), (0, 1)} ´e chamada base canˆ onica de R2 . Exemplo 8.17 O conjunto {(1, 0), (2, 0)} n˜ ao ´e base do R2 , pois os vetores s˜ ao LD. Exemplo 8.18 Se V = R3 , v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) ent˜ ao {v1 , v2 , v3 } ´e base de R3 , chamada base canˆ onica de R3 , pois para qualquer vetor X = (x, y, z) do R3 , temos X = xv1 + yv2 + zv3 e os vetores (0, 1, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) s˜ ao LI. 131
Exemplo 8.19 O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} n˜ ao ´e uma base de R3 . Temos que (1, 0, 0) e
(0, 1, 0) s˜ ao LI, mas n˜ ao geram R3 .
Exemplo 8.20 Os n vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) do exemplo 8.15 formam uma base para o Rn , chamada base canˆ onica de Rn .
8.5
Espa¸ cos Vetoriais com Produto Interno
No Cap´ıtulo 1, foi definido o produto interno usual de dois vetores no R2 e no R3 e foram estabelecidas, por meio desse produto, algumas propriedades desses vetores. Pretendemos agora generalizar o conceito de produto interno. Defini¸ c˜ ao 8.6 O produto interno no espa¸co vetorial V ´e uma fun¸c˜ao de V × V em R que a todo
par de vetores (u, v) ∈ V × V associa um n´ umero real, indicado por u.v ou < u, v >, que satisfaz
as seguintes propriedades: 1) u.v = v.u;
2) u.(v + w) = u.v + v.w; 3) (αu).v = α(u.v) para todo real α; 4) u.v ≥ 0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0V . Exemplo 8.21 Se u = (x1 , x2 , x3 ) e v = (y1 , y2 , y3 ) s˜ ao vetores quaisquer do R3 , o n´ umero real u.v = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 define o produto interno usual no R3 . Analogamente, Se u = (x1 , x2 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , . . . , yn ) s˜ ao n-uplas no Rn ent˜ ao temos que o produto interno usual no Rn de u por v ´e dado por u · v = x1 y1 + x2 y2 + . . . + x n yn .
132
8.6
Espa¸ co Vetorial Euclidiano
Um espa¸co vetorial real, de dimens˜ao finita, na qual est´a definido um produto interno, ´e um espa¸co vetorial euclidiano.
8.6.1
Norma de um Vetor
A norma de um vetor v de um espa¸co vetorial euclidiano V, ´e dada por k v k=
√
v.v
Exemplo 8.22 Se u = (1, 2, −1, 3) e v = (0, −1, 2, 1), determine u · v e k u k .
Distˆ ancia entre dois vetores A distˆ ancia entre dois vetores (ou pontos) ´e o n´ umero real, dado por d(u, v) =k u − v k
Propriedades da Norma de um Vetor Se V um espa¸co vetorial euclidiano. 1. k v k≥ 0, para todo vetor v ∈ V e k v k= 0, se, e somente se, v = 0. 2. k αv k= |α| k v k, para todo vetor v ∈ V e α ∈ R 3. | u.v |≤k u kk v k, para quaisquer vetores u, v ∈ V 4. k u + v k≤k u k + k v k para quaisquer vetores u, v ∈ V
133
8.7
ˆ Angulo de dois Vetores
Sejam u e v vetores n˜ao-nulos de um espa¸co vetorial euclidiano V. O ˆ angulo θ dos vetores u e v ´e dado por: cosθ =
8.8
u.v , k u kkk v k
0≤θ≤π
Vetores Ortogonais
Seja V um espa¸co vetorial euclidiano. Dizemos que dois vetores u e v s˜ao ortogonais, denotamos por u ⊥ v, se, e somente se, u.v = 0.
8.9
Conjunto Ortogonal de Vetores
Seja V um espa¸co vetorial euclidiano. Dizemos que um conjunto de vetores {v1 , v2 , · · · , vn } ⊂ V
´e ortogonal se quaisquer dois vetores, distintos, s˜ao ortogonais, isto ´e, vi .vj = 0 para todo i 6= j.
8.10
Base Ortonormal
Uma base B = {v1 , v2 . . . vn } de um espa¸co vetorial V ´e ortonormal se v1 , v2 , . . . , vn s˜ao unit´arios e se vi · vj = 0 para todo i 6= j.
Em muitos problemas envolvendo espa¸cos vetoriais, temos liberdade de escolher uma base apropriada para o espa¸co vetorial. Em espa¸cos vetoriais com produto interno a solu¸ca˜o de um problema ´e muitas vezes simplificada pela escolha de uma base na qual os vetores s˜ao ortogonais entre si. Nesta se¸ca˜o mostraremos como tais bases podem ser obtidas. ´ excepcionalmente simples expressar um vetor como combina¸ca˜o linear ˜ MOTIVAC ¸ AO: E dos vetores de uma base ortonormal. Teorema 8.1 Se B = {v1 , v2 , . . . , vn } ´e uma base ortonormal de um e.v E com p.i e u ∈ E,
ent˜ ao u = a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn onde
ai =< u , vi > = u.vi
134
Exemplo 8.23 B = {v1 , v2 , v3 } = {(0, 1, 0), (−4/5, 0, 3/5), (3/5, 0, 4/5)} ´e base ortonormal. Logo, tomando por exemplo, u = (1, 1, 1) ∈ R3 temos:
7 1 u =< u, v1 > v1 + < u, v2 > v2 + < u, v3 > v3 = 1v1 − v2 + v3 5 5 Teorema 8.2 Se B = {v1 , v2 , . . . , vn } ´e uma base ortogonal de um e.v E com p.i e u ∈ E,
ent˜ ao u = a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn onde ai =
8.11
u.vi < u , vi > = 2 kvi k kvi k2
Proje¸co ˜es Ortogonais: O Processo de Gram-Schmidt
´ geometricamente evidente em R2 ou R3 com o produto interno euclidiano, que se W ´e uma E reta ou um plano que cont´em a origem (s.e.v) ent˜ao, para cada vetor u ∈ R2 (∈ R3 ) temos: u = w1 + w2
Defini¸ c˜ ao 8.7 Seja E e.v de dimens˜ ao finita com p.i e W ⊂ E, W s.e.v de E. Ent˜ao, o
subespa¸co ortogonal ` a W ´e dado por:
W ⊥ = {v ∈ E :< v, w >= 0, ∀ w ∈ W } Teorema 8.3 Se W ´e s.e.v de E, E e.v de dimens˜ ao finita com p.i ent˜ ao, se u ∈ E, u = w1 +w2 ,
onde w1 ∈ W e w2 ∈ W ⊥ .
O vetor w1 do teorema acima ´e chamado proje¸c˜ ao ortogonal de u em W e ´e denotado por projW u. Do teorema anterior resulta: u = projW u + (u − projW u) 135
Teorema 8.4 Se W ´e s.e.v de E, E e.v de dimens˜ ao finita com p.i ent˜ ao: a) Se {v1 , v2 , ..., vr } ´e base ortonormal de W ent˜ ao, projW u = < u, v1 > v1 + < u, v2 > v2 + ...+ < u, vr > vr . b) Se {v1 , v2 , ..., vr } ´e base ortogonal de W ent˜ ao, projW u =
< u, v2 > < u, vr > < u, v1 > v + v + ... + vr . 1 2 kv1 k2 kv2 k2 kvr k2
Teorema 8.5 Cada espa¸co vetorial n˜ ao nulo de dimens˜ ao finita com p.i possui uma base ortonormal {v1 , v2 , ..., vn }. prova:(PROCESSO DE GRAM-SCHMIDT) Considere {u1 , u2 , ..., un }. base de E. Passo 1: v1 = u1 Passo 2: v2 = u2 − projW1 u2 = u2 − (Observe que v2 ´e ortogonal a v1 )
< u2 , v 1 > v1 , onde W1 = [v1 ]. kv1 k2
< u3 , v 2 > < u3 , v 1 > v1 + v2 , onde W2 = [v1 , v2 ]. Passo 3: v3 = u3 − projW2 u3 = u3 − kv1 k2 kv2 k2 (Observe que v3 ´e ortogonal a v1 e v2 ) < u4 , v 1 > < u4 , v 2 > < u4 , v 3 > Passo 4: v4 = u4 − projW3 u4 = u4 − v1 + v2 + v3 , onde kv1 k2 kv2 k2 kv3 k2 W3 = [v1 , v2 , v3 ].
(Observe que v4 ´e ortogonal a v1 , v2 e v3 ) Passo n: < un , v 2 > < un , vn−1 > < un , v 1 > v1 + v2 + ... + vn−1 , onde vn = un − projWn−1 un = un − kv1 k2 kv2 k2 kvn−1 k2 Wn−1 = [v1 , v2 , ..., vn−1 ].
(Observe que vn ´e ortogonal a v1 , v2 ,...,vn−1 ) Portanto, {v1 , v2 , ..., vn } ´e uma base ortogonal de E e ortonormal de E.
v1 v2 vn , , ..., kv1k kv2 k kvn k
´e uma base
Exemplo 8.24 Considerando B = (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) uma base de R3 use o Processo de Gram-Schmidt para ”ortonormalizar”esta base.
136
LISTA DE EXERC´ICIOS - ESPAC ¸ OS VETORIAIS Nos problemas 1-5 s˜ao apresentados subconjuntos de R2 . Verificar quais deles s˜ao subespa¸cos vetoriais de R2 , relativamente `as opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸c˜ao por escalar usuais. Para os que s˜ao subespa¸cos, mostrar que as duas condi¸co˜es s˜ao satisfeitas. Caso contr´ario, citar um contra-exemplo. 1. S = {(x, y)/y = −x} 2. S = {(x, x2 )/x ∈ R} 3. S = {(x, y)/x + 3y = 0} 4. S = {(x, y)/y = x + 1} 5. S = {(x, y)/x ≥ 0} Nos problemas 6- 13 s˜ao apresentados subconjuntos de R3 . Verificar quais deles s˜ao subespa¸cos vetoriais de R3 , relativamente `as opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸c˜ao por escalar usuais. Para os que s˜ao subespa¸cos, mostrar que as duas condi¸co˜es s˜ao satisfeitas. Caso contr´ario, citar um contra-exemplo. 6. S = {(x, y, z)/x = 4y e z = 0} 7. S = {(x, y, z)/z = 2x − y} 8. S = {(x, y, z)/x = z 2 } 9. S = {(x, y, z)/y = x + 2 e z = 0} 10. S = {(x, x, x)/x ∈ R} 11. S = {(x, y, z)/x ≥ 0} 12. S = {(x, y, x)/x + y + z = 0} 13. S = {(4t, 2t, −t)/t ∈ R} 14. Verificar se os subconjuntos que seguem s˜ao subespa¸cos de M (2, 2) : a b :c=a+b e d=0 . a) S = c d a b : a, b, c ∈ R . b) S = 0 c 137
c) S =
a b b c
: a, b, c ∈ R .
a a+b : a, b ∈ R . d) S = a−b b a 1 : a, b ∈ R . e) S = a b
15. Escreva w = (7, −11, 2) como combina¸ca˜o linear dos vetores u = (2, −3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3 .
16. Consideremos no espa¸co P2 os vetores p1 = t2 − 2t + 1, p2 = t + 2 e p3 = 2t2 − t. a) Escreva o vetor p = 5t2 − 5t + 7 como combina¸ca˜o linear de p1 , p2 e p3 . b) Verifique se ´e poss´ıvel escrever p1 como combina¸ca˜o linear de p1 e p2 . 17. Seja o espa¸co vetorial M (2, 2) e os vetores 0 −1 −1 2 1 0 e v3 = , v2 = v1 = 2 1 0 1 1 1 1 8 como combina¸ca˜o linear dos vetores v1 , v2 e v3 . Escrever o vetor v = 0 5
18. Sejam os vetores v1 = (−1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (−2, −1, 0). Expressar cada um dos vetores u = (−8, 4, 1), v = (0, 2, 3) e w = (0, 0, 0) como combina¸ca˜o linear de v1 , v2 e v3 .
19. Expressar o vetor u = (−1, 4, −4, 6) ∈ R4 como combina¸ca˜o linear dos vetores v1 = (3, −3, 1, 0), v2 = (0, 1, −1, 2) e v3 = (1, −1, 0, 0).
20. Classificar os seguintes subconjuntos de R2 em LI ou LD: a) {(1, 3)}
b){(2, −1), (3, 5)}
c){(1, 0), (−1, 1), (3, 5)}
21. Classificar os seguintes subconjuntos de R3 em LI ou LD: a) {(2, −1, 3)}
b){(1, −1, 1), (1, 1, 1)}
c){(2, −1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}
d){(1, 2, −1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3, −1, 2)}
22. Classificar os seguintes subconjuntos de P2 em LI ou LD: a) 2 + x − x2 , −4 − x + 4x2 , x + 2x2
b)x2 − x + 1, x2 + 2x
138
23. Sendo E o espa¸co vetorial das matrizes 2 × 3, verificar se {A, B, C} ´e L.I ou L.D, sendo A=
−1 2 1 3 −2 4
,B=
0 −1 2 −2 1 0
eC =
−1 0 5 −1 0 3
24. Verificar se os subconjuntos que seguem s˜ao bases de R2 : a) {(2, 1), (3, 0)}
b){(3, 9), (−4, −12)}
25. Verificar se os subconjuntos que seguem s˜ao bases de R3 : a) {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}
b){(3, 1, −4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}
26. Verificar se os subconjuntos que seguem s˜ao bases de P2 : a) {1 − 3x + 2x2 , 1 + x + 4x2 , 1 − 7x}
b){−4 + x + 3x2 , 6 + 5x + 2x2 , 8 + 4x + x2 }
27. Mostre que o conjunto de vetores dados ´e uma base de M (2, 2). 1 0 0 −8 0 −1 3 6 , , , −1 2 −12 −4 −1 0 3 −6 28. Encontre as coordenadas de w = (3, −7) em rela¸ca˜o `a base B = {(1, 1), (0, 2)}. 29. Encontre as coordenadas de w = (5, −12, 3) em rela¸ca˜o `a base B = {(1, 2, 3), (−4, 5, 6), (7, −8, 9)} 30. Encontre as coordenadas de p = 2 − x + x2 em rela¸ca˜o `a base B = {1 + x, 1 + x2 , x + x2 } 2 0 em rela¸ca˜o a base B = {A1 , A2 , A3 , A4 } sendo, 31. Encontre as coordenadas de A = −1 3 0 0 0 0 1 1 −1 1 ; A4 = ; A3 = ; A2 = A1 = 0 1 1 0 0 0 0 0 32. Determine uma base e a dimens˜ao dos seguintes subespa¸cos de R3 : a) S = {(x, y, z)/3x − 2y + 5z = 0}
b) S = {(x, y, z)/x = 2t, y = −t, z = 4t}
33. Determine uma base e a dimens˜ao dos subespa¸cos vetoriais apresentados nos exerc´ıcios 1 − 14. 34. Use o Processo de Gram-Schmidt para transformar B = {(1, −3), (2, 2)} em uma base ortonormal. Determine as coordenadas de u = (5, 2) em rela¸ca˜o `a essa base ortonormal.
35. Use o Processo de Gram-Schmidt para transformar B = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 2, 1)} em uma base ortonormal. Determine as coordenadas de u = (−2, 2, 3) em rela¸ca˜o `a essa base ortonormal. 139
8.12
Mudan¸ ca de Base
Em aplica¸co˜es ´e muito comum trabalhar com mais de um sistema de coordenadas e nestes casos ´e geralmente necess´ario conhecer as rela¸co˜es entre as coordenadas. Pergunta: Se mudarmos da base B1 de um espa¸co V para uma base B2 , qual a rela¸ca˜o entre as coordenadas de [v]B1 e as novas coordenadas de [v]B2 ?
Para simplificar o problema, n´os iremos resolver este problema para espa¸cos bidimensionais. dim V = 2 e depois generalizaremos a solu¸ca˜o.
Sejam B1 = {u1 , u2 } e B2 = {w1 , w2 } bases de V . Ent˜ao considerando as coordenadas: [w1 ] =
a b
[w2 ] =
c d
ou seja: w 1 = a u1 + b u2
(1)
w 2 = c u1 + d u2
(2)
e, v ∈ V um vetor qualquer e [v]B2 =
k1 k2
temos:
v = k1 w1 + k2 w2
(3)
Substituindo (1) e (2) em (3 resulta v = k1 (a u1 + b u2 ) + k2 (c u1 + d u2 )
(4)
v = (k1 a + k2 c)u1 + (k1 b + k2 d) u2
(5)
ou ainda,
Portanto, [v]B1 =
k1 a + k2 c k1 b + k2 d
ou seja, 140
=
a c b d
k1 . k2
[v]B1 = P.[v]B2 ou ainda, 2 [v]B1 = [I]B B1 .[v]B2
Exemplo 8.25 Dadas as bases B1 = {(1, 1), (2, 1)} e B2 = {(1, 0), (0, 1)} de V = R2 , determine: a) a matriz mudan¸ca de base P de B2 para B1 . b) a matriz mudan¸ca de base P , de B1 para B2 . c) P.P , e P , .P Com estes c´alculos, qual rela¸c˜ao vocˆe estabelece entre P e P , ?
Generaliza¸ c˜ ao: Sejam B1 = {u1 , u2 , . . . , un } e B2 = {w1 , w2 , . . . , wn } duas bases ordenadas de um mesmo
espa¸co vetorial V. Dado um vetor v ∈ V temos:
[v]B1 = P.[v]B2 sendo P a matriz cujas colunas s˜ao formadas pelas coordenadas dos vetores da base B2 em rela¸ca˜o `a base B1 ; ou seja, os vetores-coluna de P s˜ao [w1 ]B1 , [w2 ]B1 , ..., [wn ]B1 , ou seja P = [ [w1 ]B1 |[w2 ]B1 |...| [wn ]B1 ] 2 A matriz P ´e chamada matriz de transi¸ca˜o de B2 para B1 ou P = [I]B e dita matriz de B1 ´
mudan¸ca da base B2 para a base B1 . Teorema 8.6 Se P ´e a matriz de transi¸c˜ao de uma base B2 para uma base B1 em um espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita V, ent˜ ao: a) P e invert´ıvel. b) P −1 ´e a matriz de transi¸c˜ao de B1 para B2 .
141
Aplica¸ c˜ ao ` a Rota¸c˜ ao de Eixos no Espa¸ co Bidimensional Em muitos problemas ´e dado um sistema de coordenadas retangulares xy que, girado no sentido anti-hor´ario em torno da origem por um ˆangulo θ, produz um novo sistema de coordenadas x, y , . Quando isto ´e feito, cada ponto Q do plano tem dois conjuntos de coordenadas (x, y) e as coordenadas (x, , y , ) em rela¸ca˜o ao sistema x, y , .
Introduzindo vetores unit´arios u1 e u2 ao longo dos eixos x e y e vetores unit´arios w1 e w2, ao londo dos eixos x, e y , positivos, n´os podemos considerar esta rota¸ca˜o como uma mudan¸ca de uma base velha B1 = {u1 , u2 }, a uma nova B2 = {w1 , w2 }. Assim, as novas coordenadas (x, y) de um ponto Q est˜ao relacionadas por
x, y,
=P
−1
x y
onde P ´e a matriz de transi¸ca˜o de B2 para B1 . Observe que, −sen θ cos θ e [w2 ]B1 = [w1 ]B1 = cos θ sen θ Assim, a matriz P =
cosθ −senθ senθ cosθ
x, y,
=
eP
cosθ senθ −senθ cosθ
−1
=
cosθ senθ −senθ cosθ
x y
e portanto,
Exemplo 8.26 Determine as coordenadas do vetor (2, 1) na base de rota¸c˜ao de um aˆngulo θ = π4 .
Exemplo 8.27 Determine as coordenadas do vetor (−2, 3) na base de rota¸c˜ao de um aˆngulo θ = π3 .
142
LISTA de EXERC´ICIOS ESPAC ¸ OS VETORIAIS - MUDANC ¸ A DE BASE √ √ 1. Sejam B1 = {(1, 0), (0, 1)}, B2 = {(−1, 1), (1, 1)}, B3 = {( 3, 1), ( 3, −1)} e B4 = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R2 .
a)Ache as matrizes de mudan¸ca de base: 1 [I]B B2 ,
2 [I]B B1 ,
B1 1 [I]B B3 [I]B4
b) Quais s˜ao as coordenadas do vetor v = (3, −2) em rela¸ca˜o `a base: i) B1
ii) B2
iii) B3
iv) B4
c) As coordenadas de um vetor v em rela¸ca˜o `a base B2 s˜ao dadas por 4 [v]B2 = 0
d) Quais s˜ao as coordenadas de v em rela¸ca˜o `a base: i) B1
2 2. Se [I]B B1
ii) B3
iii) B4
1 1 0 = 0 −1 1 determine 1 0 −1 a)[v]B1
b)[v]B2
−1 sendo [v]B2 = 2 3 −1 sendo [v]B1 = 2 3
143
Cap´ıtulo 9 Transforma¸co ˜es Lineares Neste cap´ıtulo estudaremos um tipo especial de aplica¸ca˜o, onde o dom´ınio e o contradom´ınio s˜ao espa¸cos vetoriais. Assim tanto a vari´avel independente como a vari´avel dependente s˜ao vetores, raz˜ao pela qual essas aplica¸co˜es s˜ao chamadas vetoriais. Estamos interessados nas aplica¸co˜es vetoriais lineares, que ser˜ao denominadas transforma¸c˜ oes lineares. Defini¸ c˜ ao 9.1 Sejam E e F. Uma aplica¸c˜ao T : E → F ´e chamada transforma¸ca˜o linear de E em F se:
I) T (u + v) = T (u) + T (v) II) T (αu) = αT (u) para qualquer u, v ∈ E e para qualquer α ∈ R Observa¸ c˜ ao 9.1 O conjunto de todas as transforma¸c˜oes lineares de E em F ´e denotado por: L(E, F ) Observa¸ c˜ ao 9.2 Uma transforma¸c˜ao linear de E em E ´e chamada operador linear sobre E. Observa¸ c˜ ao 9.3 Uma transforma¸c˜ao linear de E em R ´e chamada funcional linear e L(E, R) = E ∗ espa¸co vetorial dual de E.
144
Consequˆ encias da Defini¸ c˜ ao: • T (0E ) = 0F • T (α1 v1 + ... + αn vn ) = α1 T (v1 ) + ... + αn T (vn ) • T (−v) = −T (v) • T (u − v) = T (u) − T (v) Observa¸ c˜ ao 9.4 L(E, F ) = {T : E → F/T ´e transforma¸c˜ao linear} ´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes:
• (A + B)(v) = A(v) + B(v) • (αA)(v) = α.A(v) Teorema 9.1 Se T1 : U → V e T2 : V → W s˜ ao transforma¸c˜oes lineares ent˜ ao, (T2 ◦ T1 ) : U → W, tal que (T2 ◦ T1 )(u) = T2 (T1 (u)), ´e uma transforma¸c˜ao linear. Exemplo 9.1 A aplica¸c˜ao T : R → R dada por T (x) = 2x ´e uma transforma¸c˜ao linear.
Exemplo 9.2 A aplica¸c˜ao T : R2 → R dada por T (x, y) = 3x + 1 n˜ ao ´e uma transforma¸c˜ao linear.
Exemplo 9.3 A aplica¸c˜ao D : Pn → Pn dada por D(p(x)) =
dp ´e uma transforma¸c˜ao linear. dx
Exemplo 9.4 A aplica¸c˜ao S : Pn → R dada por S(p(x)) = linear.
145
Rb a
p(x)dx ´e uma transforma¸c˜ao
Exemplo 9.5 Dada uma matriz A ∈ Mm×n , a aplica¸c˜ao LA : Rn → Rm dada por LA (v) = A.(v)
´e uma transforma¸c˜ao linear.
9.1
Transforma¸co ˜es Lineares Planas
Agora iremos apresentar uma interpreta¸ca˜o geom´etrica das transforma¸co˜es lineares, apresentando exemplos de transforma¸co˜es de R2 em R2 . Veremos que as expans˜oes, contra¸co˜es, rota¸co˜es certas deforma¸co˜es em objetos planos podem ser descritas por transforma¸co˜es lineares.
9.1.1
Exemplos
1. (Dilata¸c˜ ao de fator 2) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = 2(x, y).
2. (Contra¸c˜ ao de fator 12 ) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = 12 (x, y).
3. (Dilata¸c˜ ao de fator 2 na dire¸ c˜ ao do eixo x) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x, y).
4. (Dilata¸c˜ ao de fator 2 na dire¸ c˜ ao do eixo y) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x, 2y).
146
5. (Reflex˜ ao em torno do eixo x) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x, −y).
6. (Reflex˜ ao em torno do eixo y) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (−x, −y).
ˆ 7. (Rota¸ c˜ ao de um Angulo θ no sentido anti-hor´ ario) Rθ : R2 → R2 tal que x cosθ −senθ . Rθ (x, y) = y senθ cosθ
8. (Cisalhamento horizontal) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x + 2y, y).
9.2
Transforma¸co ˜es Lineares Espaciais
Tamb´em podemos interpretar geometricamente as transforma¸co˜es lineares, apresentando exemplos de transforma¸co˜es de R3 em R3 . Veremos que as expans˜oes, contra¸co˜es,proje¸co˜es, rota¸co˜es e certas deforma¸co˜es em objetos tridimensionais podem ser descritas por transforma¸co˜es lineares.
9.2.1
Exemplos
1. (Dilata¸c˜ ao de fator 2) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = 2(x, y, z).
147
2. (Contra¸c˜ ao de fator 12 ) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = 12 (x, y, z).
3. (Dilata¸c˜ ao de fator 2 na dire¸ c˜ ao do eixo z) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, y, 2z).
4. (Dilata¸c˜ ao de fator 2 na dire¸ c˜ ao do eixo y) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, 2y, z).
5. (Reflex˜ ao em torno do plano xy) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, y, −z).
6. (Reflex˜ ao em torno do plano xz) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, −y, z).
148
7. (Reflex˜ ao em torno do plano yz) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (−x, y, z).
8. (Proje¸c˜ ao ortogonal sobre o plano xy) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, y, 0).
9. (Proje¸c˜ ao ortogonal sobre o plano xz) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (x, 0, z).
10. (Proje¸c˜ ao ortogonal sobre o plano yz) T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) = (0, y, z).
11. (Rota¸ c˜ ao anti-hor´ aria em torno do eixo z positivo por um ˆ angulo θ) Rθ : R3 → R3 tal que
x cosθ −senθ 0 Rz(θ) (x, y, z) = senθ cosθ 0 . y z 0 0 1
149
12. (Rota¸ c˜ ao anti-hor´ aria em torno do eixo x positivo por um ˆ angulo θ) Rθ : R3 → R3 tal que
x 1 0 0 Rx(θ) (x, y, z) = 0 cosθ −senθ . y z 0 senθ cosθ
13. (Rota¸ c˜ ao anti-hor´ aria em torno do eixo y positivo por um ˆ angulo θ) Rθ : R3 → R3 tal que
x cosθ 0 senθ 0 1 0 . y Ry(θ) (x, y, z) = z −senθ 0 cosθ
9.3
O uso de bases na obten¸ c˜ ao de uma Transforma¸c˜ ao Linear
Considere {v1 , v2 , ..., vn } uma base de E. Uma transforma¸ca˜o linear T : E → F fica inteiramente
definida quando definimos as imagens T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ).
Isto pode ser feito expressando um vetor qualquer de E como combina¸ca˜o linear da base: v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn E ent˜ao usando a defini¸ca˜o de transforma¸ca˜o linear temos: T (v) = c1 T (v1 ) + c2 T (v2 ) + ... + cn T (vn )
150
Exemplo 9.6 Seja B = {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} base de R3 e T : R3 → R2 tal que T (0, 1, 0) =
(1, −2), T (1, 0, 1) = (3, 1), T (1, 1, 0) = (0, 2). Verifique que T (5, 3, −2) = (−10, 20).
Exemplo 9.7 Seja B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e T : R3 → R2 tal que: T (1, 1, 1) =
(1, 0), T (1, 1, 0) = (2, −1), T (1, 0, 0) = (4, 3).
Encontre uma express˜ ao para T (x, y, z) e use-a para determinar T (2, −3, 5).
9.4
N´ ucleo e Imagem de uma Transforma¸c˜ ao Linear
Defini¸ c˜ ao 9.2 Chama-se n´ ucleo de uma transforma¸c˜ao linear T : E → F ao conjunto de todos
os vetores v ∈ E que s˜ ao transformados em 0F . Indica-se esse conjunto por N (T ) ou ker(T ): N (T ) = {v ∈ E/ T (v) = 0F } Observa¸ c˜ ao 9.5 N (T ) ´e um subespa¸co vetorial de E. Observa¸ c˜ ao 9.6 Uma transforma¸c˜ao linear T : E → F ´e injetora se, e somente se, N (T ) = {0E }
Defini¸ c˜ ao 9.3 Chama-se imagem de uma transforma¸c˜ao linear T : E → F ao conjunto dos
vetores w ∈ F que s˜ ao imagens de pelo menos um vetor v ∈ E. Indica-se esse conjunto por Im(T ) ou simplesmente, T (E).
Im(T ) = {w ∈ F/ T (v) = w para algum v ∈ E} Observa¸ c˜ ao 9.7 Im(T ) ´e um subespa¸co vetorial de F.
151
9.5
Matrizes de Transforma¸co ˜es Lineares Arbitr´ arias
Suponha que V ´e um espa¸co vetorial n-dimensional e W ´e um espa¸co vetorial m-dimensional. Se n´os escolhermos bases B e B , para V e W respectivamente, ent˜ao para cada v ∈ V a matriz de coordenadas [v]B ser´a um vetor em Rn e a matriz de coordenadas [T (v)]B , ser´a um vetor em Rm .
Se B = {v1 , v2 , ..., vn } ´e base de V e B , = {w1 , w2 , ..., wm } ´e base de W. Ent˜ao T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn )
s˜ao vetores de W e portanto,
T (v1 ) = a11 w1 + a21 w2 + ... + am1 wm T (v2 ) = a12 w1 + a22 w2 + ... + am2 wm .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
T (vn ) = a1n w1 + a2n w2 + ... + amn wm dizemos que
A=
a11 a12 a21 a22 . . . . . . am1 am2
... a1n ... a2n ... . ... . ... . ... amn
´e a matriz de T em rela¸ca˜o `as bases B e B , .
= [T ]B B,
Exemplo 9.8 Seja T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) = (2x + y − z, 3x − 2y + 4z) e sejam B a base canˆonica de R3 e B , a base canˆonica de R2 . Calculando [T ]B B , temos:
Exerc´ıcio 9.1 Considerando ent˜ ao B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e B , = {(1, 3), (1, 4)} calcule [T ]B B, .
152
Teorema 9.2 Sejam V e W espa¸cos vetoriais, B = {v1 , v2 , ..., vn } base de V, B , = {w1 , w2 , ..., wm }
base de W e T : V → W uma aplica¸c˜ao linear. Ent˜ao, para todo v ∈ V vale:
[T (v)]B , = [T ]B B , .[v]B
Teorema 9.3 Se T1 : U → V e T2 : V → W s˜ ao transforma¸c˜oes lineares e se B1 , B2 , B3 s˜ ao
bases de U, V e W, respectivamente, ent˜ ao
B2 B1 1 [T2 ◦ T1 ]B B3 = [T2 ]B3 .[T1 ]B2
Observa¸ c˜ ao 9.8 Para U = V = W e B1 = B2 = B3 = B temos: [T2 ◦ T1 ]B = [T2 ]B .[T1 ]B Exerc´ıcio 9.2 Estude matricialmente T2 ◦ T1 sabendo que T1 (x, y) = 2(x, y) ´e uma expans˜ ao
plana e T2 (x, y) = (x + 2y, y) ´e um cisalhamento. Interprete a composi¸c˜ao geometricamente.
Exerc´ıcio 9.3 No plano, uma rota¸c˜ao anti-hor´aria de 45o ´e seguida por uma dilata¸c˜ao de √ 2. Ache a aplica¸c˜ao A que representa esta transforma¸c˜ao no plano e interprete-a ”passo-apasso”geometricamente.
Exerc´ıcio 9.4 No espa¸co, uma dilata¸c˜ao de fator 2 na dire¸c˜ao do eixo y ´e seguida de uma rota¸ c˜ ao anti-hor´aria de 90o em torno do eixo x positivo e uma reflex˜ ao em torno do plano xy. Ache a aplica¸c˜ao A que representa esta transforma¸c˜ao espacial e interprete-a ”passo-apasso”geometricamente.
153
Cap´ıtulo 10 Autovalores e Autovetores
Defini¸ c˜ ao 10.1 Um vetor v 6= 0E de E chama-se autovetor do operador T : E → E, quando
existe λ ∈ R tal que
Av = λv.
O n´ umero λ ∈ R, por sua vez, chama-se autovalor do operador A. Observa¸ c˜ ao 10.1 Se v ´e um vetor n˜ ao nulo tal que A(v) = λv ent˜ ao cada vetor na reta gerada por v ´e levado de volta ` a mesma reta quando multiplicado pela matriz de A. Vetores n˜ ao nulos que s˜ ao levados em m´ ultiplos escalares deles mesmo por um operador linear aparecem naturalmente no estudo de vibra¸c˜oes e da dinˆamica populacional, na Gen´etica, Mecˆanica Quˆantica e Economia. Exemplo 10.1 A transforma¸c˜ao linear T (x, y) = (3x + 2y, 3x − 2y) admite v = (2, 1) como
autovetor associado ao autovalor λ = 4.
Defini¸ c˜ ao 10.2 Dizemos que o n´ umero real λ ´e um autovalor da matriz a ∈ M (n × n) quando λ ´e um autovalor do operador A : Rn → Rn , cuja matriz na base
canˆonica ´e a. Ou seja, existe x ∈ Rn tal que ax = λx.
Exemplo 10.2 O vetor v = (1, 2) ´e um autovetor de A = lor λ = 3.
3 0 8 −1
correspondente ao autova-
Pergunta: Dado um operador linear T : E → E, como determinar λ ∈ R tal que T v = λv ? Na pr´oxima se¸ca˜o veremos um m´etodo para calcular o autovalor λ. 154
10.1
O Polinˆ omio Caracter´ıstico
Observe que v ´e autovetor do operador T associado ao autovalor λ se: T (v) = λv. Tomando ent˜ao, [T ] a matriz de T com rela¸ca˜o a base canˆonica teremos: [T ][v] = λ[v] ou ainda, ([T ] − λI)[v] = 0E Fazendo ([T ] − λI) = B temos: B.v = 0
(1)
Esta equa¸ca˜o ´e dada explicitamente por: a11 − λ a1 ... a1n a21 a22 − λ ... a2n . . . ... . . . ... . . . ... an1 an2 ... ann − λ
.
x1 x2 . . . xn
=
0 0 . . . 0
Observe que para det(B) 6= 0, o sistema de equa¸co˜es lineares homogˆeneo indicado acima
tem uma u ´nica solu¸ca˜o, x1 = x2 = ... = xn = 0 (ou v = 0E ). Portanto, a u ´nica maneira de encontrarmos autovetores v (solu¸co˜es n˜ao nula da equa¸ca˜o acima) ´e termos detB = 0, ou seja, det([T ] − λI) = 0
(2)
Impondo esta condi¸ca˜o determinamos primeiramente os autovalores λ que satisfazem a equa¸ca˜o e depois os autovetores a eles associados. Defini¸ c˜ ao 10.3 O determinante dado em (2) ´e dito Polinˆ omio Caracter´ıstico do operador T. P(λ) = det([T] − λI) Exemplo 10.3 Estude a existˆencia de autovalores e autovetores do operador T (x, y) = (3x, 8x − y). Exemplo 10.4 Determine, se poss´ıvel, os autovalores e autovetores do operador A(x, y) = (4x + 3y, x + 2y) Exemplo 10.5 Seja A(x, y) = (y, 0) Quais s˜ ao os autovalores e autovetores de A? 155
Exemplo 10.6 Seja A(x, y) = (2x − y, x + 4y). Mostre que A possui um autovalor u ´nico igual a 3.
Exemplo 10.7 Seja A(x, y) = (3x + y, 2x + y). Mostre que A possui os autovalores 4 e 1. Determine a base de autovetores de A e estude a matriz de A na base de autovetores. Exemplo 10.8 Estude os autovalores e autovetores associados a matriz 3 −3 −4 0 3 5 0 0 −1 Exemplo 10.9 Estude os autovalores e autovetores associados a matriz 2 −3 1 1 −2 1 1 −3 2 Teorema 10.1 Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ ao n que possui n autovalores distintos. Ent˜ao, o conjunto dos autovetores associados aos autovalores de T ´e base de E. B = {v1 , v2 , ..., vn } onde, T (vi ) = λi vi , i = 1, 2, ..., n. Observa¸ c˜ ao 10.2 Se B = {v1 , v2 , ..., vn } ´e uma base de autovetores de E ent˜ ao,
λ1 0 0 λ2 [T ]B B = ... ... 0 0
... 0 ... 0 ´e diagonaliz´avel. ... ... ... λn
Defini¸ c˜ ao 10.4 Uma matriz An × n ´e dita diagonaliz´ avel se existirem uma matriz invert´ıvel
P e uma matriz diagonal D satisfazendo
P −1 .A.P = D Nesse caso dizemos que P diagonaliza A. Teorema 10.2 Uma matriz An × n ´e diagonaliz´avel se e somente se A tem n autovetores linearmente independentes.
Mais ainda, a matriz P que diagonaliza A ´e matriz cujas colunas s˜ ao formadas pelos autovetores de A. 156
2 −3 Exemplo 10.10 Verifique que A = 2 −5 −1 (e autovetores) e as matrizes P, P e D.
3 −1 Exemplo 10.11 Verifique que A = 2 0 2 −1 valores (e autovetores) e as matrizes P, P −1 e
10.2
´e diagonaliz´avel, determinando seus autovalores
−2 −2 ´e diagonaliz´avel, determinando seus auto−1 D.
Operadores Auto-Adjuntos
Como vimos anteriormente, dado um operador linear A sobre um espa¸co E de dimens˜ao finita, se existir uma base de autovetores a matriz de [A] nesta base de autovetores ´e uma matriz diagonal, ou seja se existe uma base de autovetores ent˜ao o operador ´e diagonaliz´avel. No entanto, observamos pelos exemplos do Cap´ıtulo anterior que nem todos operadores s˜ao diagonaliz´aveis, ou seja, nem todo operador A admite uma base de autovetores. Defini¸ c˜ ao 10.5 Um operador A : E → E ´e auto-adjunto quando existe uma base ortonomal B de E tal que [A]B e sim´ etrica, ou seja B ´
B T O operador A ´e auto-adjunto ⇐⇒ [A]B B = ([A]B ) independente da base B ortonormal
considerada.
Teorema 10.3 (Teorema Espectral) Para todo operador auto-adjunto A : E → E, num espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita munido de produto interno, existe uma
base ortonormal {u1 , u2 , ..., um } ⊂ E formada por autovetores de A.
Observa¸ c˜ ao 10.3 Do teorema acima conclu´ımos que, se T ´e um operador auto-adjunto ent˜ ao, a matriz canˆonica de T ´e sim´etrica e diagonaliz´avel pela matriz P, cujas colunas s˜ ao os autovetores ortonormais de T. Observa¸ c˜ ao 10.4 A matriz P considerada acima ´e dita unit´ aria pois seus vetores colunas formam um conjunto ortonormal. Podemos ent˜ao, reformular o Teorema Espectral da seguinte maneira: Teorema 10.4 (Reformula¸ c˜ ao do Teorema Espectral) Se An×n ´e uma matriz auto-adjunta, ent˜ ao existe uma matriz unit´ aria P que diagonaliza A. 157
0 2 −1 3 −2 encontre uma matriz unit´ aria P que diagonaliza Exerc´ıcio 10.1 Dada A = 2 −1 −2 0 A.
Exerc´ıcio 10.2 Determine, se poss´ıvel, uma base ortonormal de autovetores do operador T (x, y, z) = (−2x, 6y + z, y + 6z). Exerc´ıcio 10.3 Seja T (x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y − 3z). a) Mostre que T ´e um operador auto-adjunto. b) Exiba uma base de autovetores de T e verifique que esta base ´e ortogonal. A partir desta base, escreva uma base ortonormal e a matriz de T com rela¸c˜ao a esta base. Exerc´ıcio 10.4 Encontre uma matriz diagonalizante unit´ aria para cada uma das matrizes a seguir. a)
2 1 1 2
2 1 1 b) 1 3 −2 1 −2 3
1 1 1 c) 1 1 1 1 1 1
4 2 −2 1 −1 d) 2 −2 −1 1
158
10.3
Diagonaliza¸ c˜ ao de uma forma quadr´ atica plana
Uma forma quadr´atica plana ´e dada por: Q(x, y) = ax2 + by 2 + 2cxy
(1)
e ser˜ao estudadas no Cap´ıtulo 10 como um dos termos da equa¸ca˜o de uma cˆonica dada por: C(x, y) = ax2 + by 2 + 2cxy + dx + ex + f = 0
(2)
Veremos a seguir que: − Se c = d = e = 0 ent˜ao a cˆonica est´a centrada na origem e possui uma posi¸ c˜ ao padr˜ ao
n˜ ao rotacionada;
− Se c = 0 e d 6= 0 ou e 6= 0 ent˜ao a cˆonica est´a transladada (n˜ao centrada na origem)
mas, possui uma posi¸ c˜ ao padr˜ ao n˜ ao rotacionada;
− Se c 6= 0 e d = e = 0 ent˜ao a cˆonica est´a centrada na origem e rotacionada; − Se c, d, e s˜ao n˜ ao nulos ent˜ao a cˆonica est´a transladada (n˜ao centrada na origem) e
rotacionada.
Para os casos em que a cˆonica est´a rotacionada, ´e necess´ario determinar os novos vetores de posi¸ca˜o. Veremos que a nova base de posi¸ca˜o ser´a formada por autovetores da matriz sim´etrica associado a forma quadr´atica Q(x, y). Para tanto ´e necess´ario expressar Q(x, y) matricialmente: x a c (3) Q(x, y) = [x y] y c b a c ´e sim´etrica, sabemos que est´a associada a um operador auto-adjunto e Como A = c b portanto, existe uma matriz P que diagonaliza A. Sendo P uma matriz ortonormal de autovetores temos: P −1 = P T , pois P T .P = I e ainda, P T .A.P = D Fazendo ent˜ao a mudan¸ca da base canˆonica para a base de autovetores temos: canonica −1 [I]autovetores canonica = P ⇒ [I]autovetores = P . Logo, T , x x x = [x, y , ]P T . e [x y] = = P. y y, y
Substituindo em (3) temos: , , x x , , , , T = λ1 (x, )2 + λ2 (y , )2 , denominada forma = [x y ].D. Q(x, y) = [x y ]P .A.P. , y, y quadr´ atica diagonalizada. 159
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