ALGEBRA SIMPLIFICADA PARA ESTUDIATES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA

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ALGEBRA SIMPLIFICADA PARA ESTUDIATES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA Arq. Roberto Saldivar Olague.

Graduado en ICS, Escuela de Arquitectura, Scranton P.a., USA. Titulado en Arquitectura en el Instituto Tecnológico de Zacatecas, México Mayo del 2013

       

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ALGEBRA SIMPLIFICADA PARA ESTUDIANTES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA. Arquitecto Roberto Saldivar Olague Cédula Profesional No. 2538150 fojas 164-01 libro A253 Graduado en ICS Scranton Pa, USA, Escuela de Arquitectura, 1976.Titulado en el Instituto Tecnológico de Zacatecas, Arquitectura, 1992. Compilación de las materias de Algebra de las Instituciones anteriores Y de G.M. Bruño, Simplificadas por el Autor.

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I n d i c e.-

Expresiones Algebraicas Operaciones Fundamentales………………………………………………..Pagina.-5 El uso de Letras.-……………………………………………………………..Pagina.-5 Razones para el uso de las letras…………………………………………...Página -5 Signos utilizados en Algebra…………………………………………………Pagina.-7 Cantidad y expresión………………………………………………………….Pagina.-7 Valor de una expresión………………………………………………………..Pagina.-9 Ecuaciones……………………………………………………………………..Página.Números enteros y fracciones………………………………………………..Pagina Cantidades positivas y negativas…………………………………………….Pagina.Aplicación práctica de los números negativos………………………………Pagina.Valor absoluto.-…………………………………………………………………Pagina 14 Términos Iguales y Desiguales………………………………………………..Pagina 15 símbolos de Agregación, adición o suma……………………………...……Pagina 16 Lectura de Expresiones Algebraicas……………………………...………..Pagina 17 Factores y Múltiplos……………………………………………………….…Pagina 18 Coeficientes……………………………………………………………….….Pagina 18 Exponentes…………………………………………………………………..Pagina 19 Potencias……………………………………………………………………..Pagina 19 Raíces………………………………………………………………………...Pagina 19

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Signo Radical………………………………………………………………...Pagina 20 El Vínculo………………………………………………………………….….Pagina 20 Clases de Expresiones……………………………………………………...Pagina 21 Números Primos Y Subíndices………………………………………….….Pagina 21 SUMA Casos de la Suma………………………………………………………..….Pagina 23 La Adición o Suma de Numero Positivo y Numero Positivo………..……Pagina 25 La adición o Suma de Numero Positivo y Numero Negativo………..…..Pagina 25 La adición o Suma de Numero Negativo y Numero Positivo…………….Pagina 25 La adición o Suma de Numero Negativo y Numero Negativo……….…..Pagina 27 SUSTRACCION O RESTA Casos de Sustracción…………………………………………………….…..Pagina 28 Resta de Numero positivo de Numero Positivo………………………….…Pagina 29 Resta de Numero Negativo de Numero Positivo……………………….….Pagina 30 Resta de Numero Positivo de Numero Negativo…………………………….Pagina 30 Resta de Numero Negativo de Numero Negativo……………………………Pagina 30 Interpretación de Signos………………………………………………………..Pagina 30 adición o Suma de Monomios con Signo Igual………………………….…...Pagina 32 adición o Suma de Monomios con Signo Desigual…………………………..Pagina 33 adición o Suma de Términos Diferentes……………………………….……..Pagina 33 MULTIPLICACION

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Casos de Multiplicación…………………………………………………………Pagina 35 Reglas para la Multiplicación…………………………………………….……..Pagina 35 DIVISION Casos de la División…………………………………………………………….Pagina 37 Operaciones en Serie…………………………………………………….……..Pagina 39 OPERACIONES CON LOS SIMBOLOS DE AGRUPACION Importancia del Paréntesis………………………………………………….…..Pagina 42 Efecto de la Eliminación del Paréntesis…………………………………….…..Pagina 43 La inserción del paréntesis…………………………………………………......Pagina 44 Cambio de Signo Antes del Paréntesis…………………………………….....Pagina 44 ECUACIONES Naturaleza de las Ecuaciones…………………………………………………..Pagina 47 Miembros de una Ecuación……………………………………………………..Pagina 47 Cantidades Conocidas Y Desconocidas……………………………………….Pagina 47 FORMULAS Solución de Ecuaciones…………………………………………………………Pagina 49 TRANSFORMACIONES Métodos de Transformación…………………………………………………….Pagina 50 Cuatro Formas de Uso Común en la Transformación de Una ecuación……………………………………………………………….........Pagina 50 Adición o Suma de Cantidades Iguales de Ambos Miembros…………….....Pagina 50

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Resta de Cantidades Iguales de Ambos Miembros…………………………...Pagina 51 Multiplicando ambos miembros por cantidades iguales……………………....Pagina 51

INTRODUCCION.ALGEBRA EN UNA FORMA FACIL E INTERESANTE DE APRENDER.El álgebra es la continuación de la aritmética. Una de las primeras cosas que aprendemos a hacer en la aritmética es sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. Ahora aprenderemos a hacer las mismas cosas con las fracciones, con fracciones comunes y con decimales. Con el fin de ahorrar tiempo, aprenderemos a usar signos y símbolos, como los signos.- +, mas -, menos ÷, entre y x por y los mismo números del 0 al 9. En álgebra se utilizan estos mismos signos y símbolos con el mismo significado, utilizaremos los mismos números, también, pero tendremos un nuevo tipo de números para usar. Aprenderemos que hay números positivos y negativos y también aprenderemos cómo sumar, restar, multiplicar y dividir con dichos números. Aprenderemos que puede un numero se representado por una letra y una letra por un número, y también aprenderemos como se puede trabajar con números cuando se representan con letras.

Al aprender cómo trabajar con letras en vez de números, sentaremos las bases para la comprensión de cómo aplicar las fórmulas. Las fórmulas son breves declaraciones de reglas para encontrar los resultados deseados, pero tienen la gran conveniencia y ventaja de que pueden ser especificadas por el uso de algunas letras, mientras que la declaración de una norma para el mismo propósito puede requerir una larga descripción.

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Encontraremos que el propósito de todos estos estudios es descubrir formas sencillas para resolver diversos problemas. Hay muchos problemas que si los resolviéramos por la aritmética, requerirían mucho tiempo y trabajo, pero que podemos resolverlos muy fácil y rápidamente con el cálculo algebraico, pero también hay muchos problemas que no pueden resolverse en absoluto sin el uso del álgebra. Por supuesto, es posible entenderlos intuitivamente o mediante la razón o por tanteos sin el conocimiento de álgebra, del mismo modo que podemos entender que ahora es casi imposible vivir sin el teléfono, computadora, internet, video juegos, teléfono inteligente, o el automóvil, y un centenar de otros dispositivos que-ahorran-tiempo-y-esfuerzo, sin saber cómo. Pero, ¿quién quiere volver a los días de la libreta y el lápiz si tenemos a nuestro alcance miles de programas o software para resolver casi cualquier caso?

EXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES FUNDAMENTALES

1. El uso de Letras.-La aritmética es la rama más común y más utilizada de las matemáticas. En la aritmética, un número está representado por un figura o por una combinación de figuras, y tal como los números, unidas por signos como +,- x, ÷ y = producen expresiones numéricas y ecuaciones. Pero hay todavía otras ramas de las matemáticas que son muy útiles en la forma de hacer cálculos, y uno de lo más importante es el álgebra. Hacer álgebra es diferente de la aritmética es diferente por la utilización de las letras en lugar de figuras para representar números y para formar expresiones y ecuaciones. Cuando las letras que representan cantidades están unidas por tales signos como +, ÷ -, y =, forman expresiones algebraicas y ecuaciones. 2. . Razones para el uso de las letras.-Cuando se utilizan las figuras, las expresiones algebraicas obtenidas se refieren únicamente a los casos concretos. Por ejemplo,

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fig.1 (a) Muestra un triángulo en el que los lados son 6, 7, y 8 metros de largo, respectivamente. La distancia total alrededor del triángulo se llama el perímetro. Supongamos que el perímetro es representado por p; entonces, en este caso particular, p = 6+7+ 8 = 21 metros. Por otro lado, supongamos que las longitudes de los tres lados de un triángulo son designados por las letras a, b, y c, como en (b). El perímetro es igual a la suma de las longitudes de los tres lados, es decir, p = a + b + c. Esta ecuación es general y las letras a, b y c, pueden tener un gran número de valores diferentes; Supongamos que, en un triángulo, a = 8 metros, b= 12 metros, y c = 9 metros; entonces, p = 8+12+ 9 = 29 metros. Si, en otro triángulo, a = 21 metros, b = 15 metros, y c = 7 metros, entonces p = 21 + 15 +7 = 43 metros. En otras palabras, la ecuación p = a + b + c es cierta para cualquier triángulo, mientras que la ecuación p = 6 +7+ 8 es cierta sólo para un triángulo particular.

3. Otra ilustración mostrará además el uso de álgebra en la obtención de expresiones generales. Supongamos que un automóvil viaja durante 8 horas a una velocidad media de 30 kilómetros por hora.

La distancia total recorrida será entonces el producto del tiempo por la velocidad, o 8 x 30 = 240 kilometros. Pero esta última ecuación es específica, porque se aplica a un solo caso particular. Para obtener una expresión general, sea d que representa la distancia total recorrida, t el tiempo, en horas, y s la velocidad del automóvil, en kilometros por hora. Entonces, como la distancia recorrida es igual al producto del tiempo por velocidad, d = t x s,

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que es una ecuación general y que puede aplicarse a cualquier problema en el que se conocen el tiempo y la velocidad, y asi la distancia recorrida será encontrada o determinada. 4. Signos utilizados en Algebra.-Los signos +. -, x, ÷, e = Se utilizan en álgebra para unir partes de una expresión, y cuando son utilizados tienen los mismos significados que en la aritmética. El signo de multiplicación puede omitirse entre una figura y una letra, o entre dos letras, cuando su producto se va a indicar, pero no se puede omitir entre dos figuras que serán multiplicadas juntas. Por ejemplo, el producto de a, b, y c se escribe abc, que tiene el mismo significado que a x b x c. Del mismo modo, 12mn es la forma algebraica de escribir el producto de 12, m, y n. Pero el producto de 12 y 23 se escribe 12 x 23. No se puede escribir 1223, debido a que no es el producto de los "números dados. Un punto; como un decimal, pero levantado un poco por encima de la posición habitual •t, se puede utilizar para indicar la multiplicación;. Por ejemplo ab y c significan lo mismo que a x b x c o abc y 12 • 4 significa 12 x 4. Este método indicado de multiplicación no será utilizado aquí. 5. El orden en que aparecen las letras en un producto no afecta a la exactitud de la expresión. Por lo tanto, acb, bac, o cba tiene el mismo valor que abc, porque cada uno es el producto de a, b, y c, de manera similar, de 12 nm es igual a 12 mn. Es la práctica habitual, sin embargo, para escribir las letras de un producto en orden alfabético. Cuando una expresión contiene letras y cifras, los datos se escriben primero, por lo que 25xy no se escribiría x25y o xy 25, aunque podría ser escrito 25yx. 6. El signo de división ÷ se utiliza rara vez en álgebra, porque la división se indica comúnmente por una fracción, por lo que, a ÷ b significa a/b, y se lee a dividido por b, o simplemente a sobre b. de la misma manera

,m/12,

,17/x, y

,23/6, indican,

m÷12, 7÷x, y 23÷6. 6. Cantidad y expresión.- La cantidad y la expresión de estos términos tienen significados similares por lo que no es necesario hacer una distinción entre ellos. Una cantidad o una expresión son un símbolo o una combinación de símbolos utilizados para representar un

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número. En una expresión algebraica algunos de los símbolos son letras, y por lo tanto, esas expresiones a veces se llaman expresiones literales. Por ejemplo, 4 cd, 12, b + m ÷ 2, y 16x÷5y son expresiones algebraicas o literales y también pueden ser considerados como cantidades. Ejemplo 1. Escribe lo siguiente en forma de expresiones algebraicas: (a) el producto de m y n, (b) la suma de a y b; cociente de p dividido por q.

(c) la diferencia entre x e y, y (d) el

SOLUCION: (a) El producto de dos cantidades representadas por letras se expresa por escrito juntas, omitiendo el signo de la multiplicación, por lo que el producto de m y n se expresa nm escrito. (Respuesta). (b) La adición se indica en álgebra de la misma manera como en la aritmética; por lo tanto, la suma de a y b se expresa a + b. (Respuesta). (c) La diferencia entre dos cantidades se indica mediante la colocación de un signo menos entre ellos, por lo que la diferencia entre x menos y se escribe x-y. (Respuesta). (d) El cociente de dos cantidades se expresa en álgebra haciendo una fracción, por lo que el cociente de p dividido por q se escribe ,p / q, o p ÷ q (Respuesta). Ejemplo 2.- Escribe lo siguiente como una expresión algebraica: El producto de x, y “y” se añade a la mitad de la suma de m y n y el cociente de a dividido por b se resta del resultado. Solución.-El producto de x por y es xy; la mitad de la suma de m y n es Y el cociente de a dividido por b es a ÷ b ó ,a/b, entonces, la expresión se escribe ; Respuesta.

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. Ejemplo 3 – Escribe la siguiente expresión algebraica: De la suma de a y una cuarta parte b se resta 3 veces c.

Solución.-Un cuarto de b es

y 3 veces c es 3c. Entonces, la expresión es

Respuesta.

7. Valor de una expresión. -En una expresión algebraica, en las letras utilizadas se pueden administrar ciertos valores numéricos definidos, dependiendo de las condiciones. Por ejemplo, p = a + b + c es una fórmula que puede usarse para encontrar el perímetro de un triángulo de las longitudes de cuyos lados son a, b, y c. Supongamos que, en un cierto triángulo, a = 12 barras o varillas, b = 5 barras, y c = 14 barras. Si se utilizan estos valores numéricos en lugar de las letras, p = 12+ +5 + 14+ = 32 varillas, y a este resultado numérico de, 32 varillas, se le llama el valor de la expresión a + b + c, y Poniendo el valor numérico de cada letra en el lugar de la letra se conoce como sustitución, por lo que, en la operación anterior 12 está sustituido por a, 5 por b, y 14 para c. Ejemplo 1¿Cuál es el valor de la expresión 3a-2b + c, si a = 10, b = 3, y c = 7? Solución.-sustituir estos valores dados, entonces, 3X10-2X3=30-6+7=24+7=31. Respuesta.

Ejemplo 2.-Encontrar el valor de 5xy

, cuando x = 8, y = , z = 50.

Solución. Sustituir los valores dados para las letras, entonces;

11 5X8X -

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= 30-5 = 25, Se multiplica 5 x 8 y nos da 40 este por el divisor de 3 que es el

divisor de ¾ nos da 5x8x3 = 120 y luego se divide entre 4 o sea 120/4 = nos da 30, este resultado menos el resultado de 50/10 que es 5 nos da 30-5= 25 Respuesta.

Ejemplo 3.-Si m = 36 y n = 126, encontrar el valor de la expresión

Solución.-Sustituye los valores dados de m y n, y entonces tendremos, ,

Respuesta

8. Ecuaciones.-Una ecuación es una declaración de igualdad entre dos expresiones que tienen el mismo valor. Está formado por la escritura de las dos expresiones con el signo de igualdad entre ellos. Por ejemplo, 18-4 = 2 x 7 es una ecuación, porque la expresión 18-4 y la expresión 2 x 7 tienen el mismo valor, 14. También p = a + b + c es una ecuación, porque consiste de dos cantidades separadas por un signo =, lo que indica que p tiene el mismo valor que la suma de a, b, y c. Ejemplo 1.-En la ecuación p = 3a 5 b, encontrar el valor de p cuando a = 1 y b = 4. Solución; substituir 1 para a y 4 para b, entonces, P = 3x1 + 5X4 = 3 +20 = 23. Respuesta. Ejemplo 2 -. Si m = 20 y n = 5, encontrar el valor de a en la ecuación a = mn-2m- . Solución - Sustituyendo los valores dados de m y n;. Entonces, a = 20X5 - 2X20-20/5 = 10040-4 = 56 Respuesta. 9. Números enteros y fracciones.- Números 3, 8, 27, y 169 son números enteros o lo que comúnmente se llaman números enteros;

12 Pero expresiones como

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, son fracciones, la parte de arriba de la línea es el

numerador y la parte debajo de la línea es el denominador. En álgebra, una sola letra puede representar un número entero, un número mixto, o una fracción, pero en la realización de operaciones algebraicas se trata como si fuera un número entero. Por ejemplo, en la expresión de m-n, el valor de m puede ser 1

y el valor de n puede ser

pero considerado

como cantidades algebraicas, independientemente de los valores particulares, se tratan como números enteros. Del mismo modo, una expresión completa como un-b o xy puede ser considerado como un número entero, no importa lo que los valores de las letras puedan ser. 10. Cantidades positivas y negativas -. En las expresiones algebraicas con frecuencia es necesario distinguir entre las cantidades de carácter opuesto, pero que representan cosas de la misma clase. Para este propósito, las cantidades se clasifican como positivas y negativas. Por ejemplo, si el dinero ganado se considera positivo, entonces el dinero perdido es negativo; si la temperatura por encima de cero en un termómetro se considera positiva, entonces la temperatura por debajo de cero es negativa, y si la distancia al norte de un punto dado se considera positiva, entonces la distancia hacia el sur desde el mismo punto es negativa. Los signos menos y más - se pueden usar para indicar si una cantidad es positiva o negativa. Por lo tanto, la señal + más antes de un número podría ser utilizada para indicar los beneficios y el signo – menos para indicar la pérdida, o si, se utiliza el signo + más para indicar la distancia en una dirección sería la dirección correcta, y se indica el signo menos se indicaría la distancia en la dirección opuesta. El número en el que se produce el cambio de positivo a negativo es cero, y por lo tanto se considera que son cantidades positivas mayores que cero y cantidades negativas son menores que cero. La idea de que puede ser cualquier valor menor que cero puede quedar claro por una ilustración muy simple. Si un hombre no tiene dinero en absoluto, su riqueza es cero. Si gana $ 1.000, es $ 1,000 más rico que cuando no tenía nada, y su riqueza es positiva, o $ 1.000. Si se invierte imprudentemente y pierde estos $ 1,000, su riqueza vuelve a ser cero, pero si entra $ 1,000 en deudas, entonces, es $ 1,000 más pobre que cuando no tenía nada, y su riqueza es negativa, o menos que- $ 1.000, es negativa y tendrá que adquirir o ganar $ 1.000 antes de que pueda volver al punto cero.

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11. Aplicación práctica de los números negativos En la escala de un termómetro ordinario por ejemplo, Los números que en la escala aumentan hacia arriba desde el punto cero son positivos y lo mismo hacia abajo desde el punto cero son negativos. La razón es que cero no es la temperatura más baja que se puede obtener. Las temperaturas muy inferiores a cero se registran con frecuencia y son negativas. Y las temperaturas mayores a cero se expresan como positivas tantos grados por encima de cero o negativas como tantos grados menos o por debajo de cero. En el trabajo técnico y científico se acostumbra a utilizar los signos + y para indicar temperaturas por encima y por debajo de cero, respectivamente. Por ejemplo, una temperatura de 70 grados por encima del cero se designa como + 70 grados, y una temperatura de 20 grados bajo cero se designa como -20 grados. Es decir, el signo + indica valores positivos, o los valores por encima de cero, y el signo - indica los valores negativos, o los valores por debajo de cero. 12. El principio anterior se puede aplicar en otras formas. Por ejemplo, el nivel del mar puede ser tomado como el punto cero para la medición de alturas, entonces, los valores sobre la altura sobre el nivel del mar son valores positivos y la profundidad bajo el nivel del mar, son valores negativos. Por lo tanto, 2.760 metros indicarían una altura de +2760 metros sobre el nivel del mar, y de -4.975 metros indicarían una profundidad de --4.975 metros bajo el nivel del mar. Las distancias medidas en direcciones opuestas se pueden distinguir por signos + y -. Por ejemplo, distancias medidas hacia el este se considerará positivas y las distancias medidas hacia el oeste son negativas Lo habitual es omitir el signo + al escribir una cantidad positiva, por lo que valores tales como 23, 40 y 569 se consideran positivos, ya que no hay signos delante de ellos. Pero si la cantidad es negativa, siempre debe ser escrito con el signo - menos delante. 13. Valor absoluto.- El valor de una magnitud sin tener en cuenta su signo se llama su valor absoluto. O, a veces su valor numérico, por ejemplo, el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 es también 6. Los términos mayor y menor son a menudo mal entendidos cuando se aplican a las cantidades negativas. Debe recordarse, cuando se comparan dos

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cantidades negativas, el que tiene el valor absoluto más pequeño es el mayor. Este hecho se puede ilustrar mediante el uso de la siguiente figura, Los valores absolutos aumentan en cada dirección desde el punto cero. Por lo tanto, una temperatura de -12 Grados es mayor que una temperatura de -38 grados, porque 12 por debajo de cero es superior en la escala de 38 por debajo de cero, o bien, el valor absoluto de -12 es menor que el valor absoluto de 3, -12 y así es mayor que -38. Dicho de otra manera, el valor absoluto de una cantidad aumenta.

La cantidad en sí aumenta en una dirección positiva y disminuye en una dirección negativa. En consecuencia, cero es mayor que cualquier valor negativo, y es menor que cualquier valor positivo, por pequeño que sea. 14. Términos iguales y desiguales - Las partes de una expresión que se unen por los signos - son conocidos como los términos de la expresión., por lo que la expresión 2m y mn3, tiene tres términos, que son 2m, mn, y 3. Un término compuesto de letras es un término literal. Si un término contiene una figura y una o más letras, también se llama término literal, a la letra o letras que forman la parte literal de una expresión algebraica. En la expresión anterior, mn y 2m son términos literales, y en el término de 2m, la letra m es la parte literal. Los términos semejantes son los que tienen la misma parte literal. Las partes numéricas de términos pueden ser diferentes. Por ejemplo, 2ab, 7ab y ab son términos semejantes, porque cada uno contiene la misma parte literal ab. A diferencia de los términos que tienen diferentes las partes literales, por lo que 2ab, 2abc y 5bc son términos diferentes y también lo son 3a2 y 4a.

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15. Ya se ha indicado que el orden de las letras en un producto no altera el valor del producto, por lo tanto, el producto de a, b, y c puede ser escrito abc. bca, cab, bac, cba, o acb. Para determinar si las condiciones son similares o distintas, lo anterior debe tenerse en cuenta, para evitar un error. Por ejemplo, 5xzy, 3yxz, 2yzx y 7zxy son términos semejantes, a pesar de que parecen a primera vista ser diferentes, ya que, si la parte literal de cada uno se examina de cerca, se encontrará que se compone de los mismas tres letras. Ejemplo 1.-Escoja los términos semejantes en el siguiente: 5a, 3bc, 2ab, 10a, 4cd y bc. Solución -. Los términos que tienen la misma parte literal, 5a y 10a son términos semejantes, y lo que son 3bc y bc También son semejantes. Respuesta. Ejemplo 2-. En xy, 12xyz, 3mxn, 20nmx, 8yz, 2yzx y 5xmn, Cuales son términos semejantes? Solución - Los términos 12xyz y 2yzx, son términos semejantes, y 3mxn y 5xmn también. Respuesta. 16. Símbolos de agregación, adición o suma.- Cuando dos o más términos forman una expresión que se va a someter en su conjunto para una operación como la multiplicación o división, están encerrados en un paréntesis ( ), entre corchetes [ ]o entre llaves { }, o un vínculo --- se coloca por encima de ellos. Estos signos se conocen como símbolos de la agregación. Si 6n es multiplicado por la suma de a y 2b, la expresión se escribe 6n (a 2b); es que, a 2b está encerrada entre paréntesis, porque la suma de los dos términos es para ser tomado como una unidad y este debe multiplicarse por 6n.el signo de multiplicación se omite entre 6n y la cantidad en paréntesis, tal como se omite entre m y n en el producto mn. Del mismo modo, 3 (x-y) indica tres veces la diferencia entre x y y”; (ab) (c-d) indica que la suma de a y b es para ser multiplicado por la diferencia entre c y d, y (c - d) - (ab) indica que la suma de a y b es que se debe restar de la diferencia entre c y d. El producto de 3 y xy no pueden ser anotados 3x-y, omitiendo el paréntesis, porque 3x-y significa la sustracción de y a partir del producto de 3 y x, y el paréntesis es necesario para indicar la agregación.

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17. Si se requieren dos símbolos de agregación, se utilizan los corchetes y el paréntesis, a fin de evitar un paréntesis dentro de un paréntesis. Por ejemplo, a [b - (c-d)], indica que la diferencia entre c y d se restará de b, y el resto se debe multiplicar por a. Si se requieren tres símbolos de agrupación, los corchetes se utilizan fuera de los paréntesis y las llaves fuera de los corchetes. Por ejemplo, a {x [b (c-d)-mn ]-y} indica que-d debe ser multiplicado por b y mn deberá ser retirada del producto, y el resto se debe multiplicar por x, y y que se va a restar de ese producto y, por último, el resto debe ser multiplicado por a. 18. Lectura de expresiones algebraicas.-Cuando una expresión algebraica se lee en voz alta, se debe tener cuidado para indicar los símbolos de agregación que se producen. Por ejemplo, la expresión 3 (ab) se lee tres veces la suma de a y b, o tres veces la cantidad de a b, sería un error ignorar el paréntesis y leer la expresión de tres, más b, porque esa frase indica 3a b. Una vez más, (m-n) - (x-y) se lee la cantidad mn menos la cantidad xy, El uso de la cantidad en la palabra denota que cada una de las expresiones (m-n) y (x, y) es para ser tomada como una unidad. Sería incorrecto leer la expresión m menos n menos x menos y, porque eso significaría m-n-x-y.

. Ejemplo 1 - Escribir algebraicamente (a) la suma de x e y multiplicado por la diferencia entre a y b; (b) el cociente de a y b se añade al producto de x e y, y la suma multiplicada por c. Solución -. (a) Se requiere que el producto sea de dos cantidades. Uno de ellas es la suma de (x y) ', o x+y, y la otra es la diferencia de a y b, o a-b. A medida que han de ser tratados como unidades separadas, cada uno está encerrado en un paréntesis y el producto se escribe (x-y) (a-b). Respuesta.

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(b) El cociente de a y b es a ÷ b, y el producto de x e y es xy. La suma de estos es a÷b+xy, Como esta suma debe ser considerada como una unidad y debe ser multiplicada por c, que está encerrada en un paréntesis y c, se escribe fuera, de modo que la expresión se convierte en c (a/b xy); o la expresión puede ser escrito ( +xy) c. Ambas formas son correctas. Respuesta. 19. Factores y múltiplos.-Cuando se multiplican dos o más cantidades. Juntas, cada una es llamada un factor del producto. Por ejemplo, si 2, 3, y 5 se multiplican juntas, el producto es 30 y, a continuación, 2, 3, y 5 son factores de 30. Pero, 2 x 15 = 30, 3 x 10 = 30, y 5 x 6 = 30, se deduce que 15, 10, y 6 también son factores de 30. En el producto 7ab, por ejemplo, 7,y b son factores, sin embargo, 7 y ab puede considerarse como factores, o 7a y b, o 7b. En la expresión a (x + y), los factores son a y (x + y), y en la expresión (a + b) (x-y +4) los factores son: (a + b) y (x-y + 4). Una cantidad que es el producto de dos o más factores se dice que es un múltiplo de cada uno de los factores, por lo que, 6 es un múltiplo de 2 y de 3, debido a 6 = 2x3. En el caso de 7ab, esta cantidad es un múltiplo de 7a, y b; pero también es un múltiplo de 7a, 7b, y ab. 20. - Coeficientes. En cualquier expresión que representa un producto, cualquiera de los factores, o el producto de cualquiera de dos o más de ellos, pueden ser considerados como el coeficiente de la parte restante de la expresión. Por ejemplo, si 7acb, cantidad considerada, 7 es el coeficiente de abc; 7a es el coeficiente de bc; 7ab es el coeficiente de c; 7ac es el coeficiente de b, y así sucesivamente. Del mismo modo, en la expresión a (m + n), a es el coeficiente de (m + n), o (m +-z) puede ser considerado como el coeficiente de a. El número 1 como a coeficiente y se omite en la escritura de expresiones algebraicas, es decir, 1ab se escribe simplemente ab, y 1x se escribe simplemente x. En otras palabras, si un término no tiene coeficiente numérico indicado, su coeficiente se entiende que es el 1.en la cantidad 3ab, el coeficiente numérico 3 indica que ab se toma tres veces en adición, es decir, 3ab indica 1ab+ 1ab+ 1ab , o simplemente ab + ab + ab, ya que el coeficiente 1 siempre se omite. Por lo general, el coeficiente del término significa el coeficiente numérico de una expresión.

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21. Exponentes.-Si un número algebraico, como a, por ejemplo, se multiplica por sí mismo el producto se escribe a² en lugar de aa o a x a. La pequeña figura ² escrito a la derecha de a y por encima de ella es un exponente, y denota el número de veces que el número de a se utiliza como un factor. Si m se usa tres veces como un factor, el producto se escribe m³. Cuando el exponente es 1, no está escrito, y así, cuando no aparece ningún exponente, que se supone que es 1, por lo que b indica b1, y, indica y1 y así sucesivamente. 22. Potencias-. Un producto compuesto por dos o más factores de igualdad se conoce como potencia del factor. Por ejemplo, a x a x a x a = a4. Aquí a como un factor se utiliza cuatro veces, y el producto resultante a4, es la cuarta potencia de a. El exponente indica el número de veces que se utiliza el número como un factor, y por lo que también denota la potencia del número utilizado como un factor. Por lo tanto, m5 es la quinta potencia de m y es igual a m x m x m x m x m. La segunda potencia de un número se llama el cuadrado, por lo que a², representa el cuadrado de a y se lee a al cuadrado o a cuadrada. El tercer poder se llama el cubo, Así, x³ es usado x x x cubo o x cubico. Las potencias superiores, como x, x5, x6, etc se leen x cuarta x quinta,, x sexta, etc 23 -. Raíces cuando la cantidad se compone de un número elevado a una cierta potencia, o de un número utilizado varias veces como un factor, el número se llama raíz de la cantidad. Por ejemplo, 2² = 2 x 2 = 4, por lo tanto, 2 es una raíz de 4, debido a que es uno de los factores iguales de 4, Una vez más, 3³ = 3 x3x3 = 27, y así 3 es una raíz de 27, de la misma manera, una es una raíz de a², a³ de , etc La segunda raíz se llama raíz cuadrada y la tercera raíz se llama raíz cúbica, por lo que m es la raíz cuadrada de m² o la raí cubica de m³ Las raíces superiores se llaman la cuarta, quinta, sexta, etc. 24. Signo radical, cuando la raíz de una cantidad se encuentra, o se extrae, como se denomina comúnmente, se utiliza el signo conocido como el signo radical,, junto con una pequeña figura, conocido como el índice de la raíz, escrita por encima el signo radical para indicar cuál es la raíz que se debe encontrar. La expresión cuya raíz se encontrara se escribe después del signo radical y bajo un vínculo o barra. Por ejemplo, la raíz de la expresión denota la raíz cúbica de x; denota la raíz cuarta de la cantidad 2a+ b. Cuando la

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raíz cuadrada se va a indicar, la figura índice por encima del signo radical se omite: por lo tanto, la raíz cuadrada de √a, y

indica la raíz cuadrada de a y (m - 6).

25. El vínculo utilizado con el signo radical debe extenderse solamente a la parte de la expresión cuya raíz debe ser encontrada: por lo tanto, - c indica que la raíz cuadrada de la cantidad a + b se encontrara y que c se debe restar de la raíz cuadrada de a+b. Si la expresión se escribe , indicaría la raíz cuadrada de (a + b-c). Una expresión de conjunto con el signo radical que indica la raíz se llama un radical, por lo que, es un radical. Si es un radical que debe ser multiplicado por otra cantidad, se acostumbra escribir la otra cantidad en frente del signo radical, siendo utilizado un paréntesis, si la cantidad tiene más de un término. Por lo tanto, el producto de la 2a-4 y el cubo de la raíz de 5b-7c² se escriben (2a-4) primera es preferible.

. Sería igualmente correcto escribir

(2a -4), pero la

Ejemplo - escribir algebraicamente (a) el producto de la cantidad de c menos d y la cuarta raíz de la suma de x² y de y³, (b) la raíz cuadrada de a, menos el producto de m y la diferencia entre a cuadrada y m. Solución - (a) La cantidad c menos d es (c-d) y la suma de x cuadrada y de y cubica es x²+y³ Por lo tanto, la expresión requerida es (c-d)

.

Respuesta.

(b) La raíz cuadrada de a es . La diferencia entre a cuadrada y m es a²-m; y m veces esta diferencia es m(a²-m). Entonces, la expresión requerido es - m(a²-m). Respuesta. 26. Clases de Expresiones - una expresión que consiste de un término se denomina monomio.; Así, x, m n, 2ab², y c³d son monomios. Una expresión compuesta de dos o más términos se llama polinomio. Un polinomio de dos términos a menudo se llama un binomio, y uno de tres términos se llama trinomio, entonces; 3a + b es un binomio y x² +2 xy + z² es un trinomio. El número de términos en una expresión no es de importancia

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particular, pero las palabras monomio, binomio, trinomio, etc. son definidas aquí, ya que se producen con frecuencia en trabajos de álgebra. 27. Números Primos y subíndices -. Cuando aparecen letras que representan cantidades similares o correspondientes, a menudo se dan signos de identidad. Por ejemplo, las longitudes de los tres lados de un triángulo pueden estar indicados por a ', b' y c ', y las longitudes de los lados de otro triángulo por a "b", y c." La marca o signo ' es llamado primo y la marca o signo " se dice c a la segunda, por lo que b 'se lee b prima y c" se lee c a la segunda Otra forma es usar subíndices, que son pequeñas figuras abajo y la derecha de letras, por ejemplo, las longitudes de los lados de dos triángulos podría estar indicados por , , y, , , . En estos casos, se lee a sub de uno, es leída como sub de dos, y así sucesivamente. Tales expresiones como x ¨ ¨ ¨ e y¨ ¨ ¨ ¨ se leen x tercero, y cuarto etc.; estas expresiones se usan muy poco. 28. Por lo general, sólo letras pequeñas se utilizan en expresiones algebraicas, pero puede haber casos en los que se utilizarán letras mayúsculas. Cuando la expresión que contiene tanto minúsculas y mayúsculas se leen en voz alta, hay que distinguir entre los dos tipos de letras. Por ejemplo, +B' se lee a pequeña sub dos más B grande prima, las expresiones , A"', y se leen como c sub tres, A grande a la tercera, y m pequeña con sub a la cuarta al cuadrado. Un numero primo no debe utilizado como un número que tiene un exponente, si se puede evitar, ya que hay peligro de confusión, por ejemplo, si el cuadrado de a 'está escrito a'², que puede ser confundido con , Si las letras en una expresión son todas pequeñas o todas grandes, no es necesario el uso de las palabras pequeñas o grandes en leerlos. Como expresiones algebraicas complicadas a menudo no se leen en voz alta, no es necesario prestar mucha atención a los métodos de leer tales expresiones. EJEMPLOS DE PRÁCTICA: Escriba las siguientes como expresiones algebraicas:

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1.- La suma de dos veces a y cinco veces b

Respuesta 2a+5b

2.- La diferencia entre tres veces el producto de x al cuadrado y “y” al cuadrado y dos veces cd más la suma de a y b Respuesta 3x²y²-2cd(a+b). 3.- La diferencia entre la raíz cubica de a y el producto de la raíz cuadrada de d y la suma de x y “y” Respuesta .. (x+y) 4.-La raíz cubica de la diferencia entre a al cuadrado y el Producto de d y La suma de x y “y”

Respuesta

.

Asumiendo que x = 8 y que y = 6 encontrar el valor de cada una de las siguientes expresiones. 5 3y-x+4.

Respuesta.

14

6 2x-2y.

Respuesta

4

7 x²+2xy+y² 8 (x+y)

.

9 (x-y) (2x+y)- + 10

Respuesta

196

Respuesta

28

Respuesta

44

Respuesta

1,145

SUMA 29. Casos en la suma - En aritmética, los números son positivos, pero, en álgebra, es necesario tener números negativos en cuenta, por lo que las nuevas reglas para la suma deben ser desarrolladas.

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Hay cuatro casos a considerar: 1. Número positivo + número positivo. 2. Número positivo + número negativo. 3. Número Negativo + número positivo. 4. Número -negativo + número negativo. Ya se ha explicado que los signos +más y -menos se utilizan de dos formas distintas: primero, para indicar la suma y la resta, y segundo, para denotar cantidades positivas y negativas. Con el fin de distinguir entre los dos significados de manera que ciertos principios puedan ser llevados a cabo con mayor claridad, los signos + más y - menos escritos en la forma habitual indicarán suma y resta; una cantidad positiva se indica por el signo + escrito arriba y hacia la izquierda del número, y una cantidad negativa será indicado por una signo escrito por encima y a la izquierda del número. Por ejemplo, +10 ± 8 indica que 10 es positivo y ±8 será restado de 10, y +8+-6 que 6 es positivo y que será restado de positivo 8. 30. La adición o suma de número positivo y número positivo. Con el fin de hacer una suma algebraica clara en la escala que se muestra en la Siguiente figura que se utiliza. Tenemos un punto cero y los números de las graduaciones aumentan en ambas direcciones a partir de cero, los de la derecha son positivos y los de la izquierda son negativos. Un número positivo se añade contando hacia la derecha un número de espacios igual al número que desea añadir, y un número negativo se añade contando haciala-izquierda

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Supongamos, por ejemplo, que la suma de +6 y +11 debe encontrarse se parte de +6 y luego se cuentan +11, y el resultado de +6, +11 En la escala de la figura es +17, de forma similar, + 3 + 22 = 25, pues, comienza en el punto + 3 en la escala y contaremos +22 espacios hacia la derecha, y se alcanzará el punto +25. Estos ejemplos indican el hecho de que dos números positivos se suman en álgebra lo mismo que los números en aritmética. 31. La adición o suma de número positivo y número negativo.-La adición de un número positivo y un número negativo utilizando la escala de la figura. se indica contando de la derecha hacia la izquierda. Por ejemplo La suma de +18 y -5. En la escala se localiza el punto + 18, y luego se cuenta 5 espacios hacia la izquierda, para indicar que se añade -5 y se alcanzará el punto + 13, entonces + 18 + -5 = + 13, a continuación, supongamos que la suma de + 6 y -11 serán encontrados. En la escala, busque +6 y cuente 11 espacios hacia la izquierda, para indicar la adición de -11 entonces encontraremos – 5 y se representa +6 + 11 = -5. 32. La adición o suma de número negativo y número positivo. -Para ilustrar la adición de un número negativo y un número positivo, considere -5 + + 18. En la escala de la figura, localizar el punto -5 y cuente 18 espacios hacia la derecha, para indicar la adición de + 18. Se alcanzará el punto de + 13, demostrando que -5 + + 18 = 13. Como otro ejemplo, tomemos -11 + 6. En la escala, localizar -11 y cuente hacia la derecha 6 espacios, para indicar la adición de 6, y se alcanzará el punto -5, es decir, -11 + 6 = -5. Si los resultados anteriores se comparan con los obtenidos en el artículo anterior, serán iguales. En otras palabras, -5 + 18 da el mismo resultado que 18 + -5, ya que cada uno es igual a + 13 y -11 + 6 es igual a 6 + -11, ya que cada uno tiene un valor de -5. Por lo tanto, la siguiente regla general se puede aplicar a la suma de dos números, uno de los cuales es positivo y el otro negativo: Regla.-La suma de un número positivo y un número negativo es igual a la diferencia de sus valores absolutos, precedidos por el signo del número cuyo valor absoluto es el mayor. Ejemplo 1.-La la suma de -121 + 306?

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Solución - La diferencia de los valores absolutos es de 306 -121 = 185, y como el número positivo tiene el mayor valor absoluto, el signo + es el prefijo para el resultado, dando 185. Respuesta. Ejemplo 2 -. Halla la suma de 412 + -687. Solución - La diferencia de los valores absolutos es 687 -412 = 275, y como el número negativo tiene el mayor valor absoluto, el signo - se antepone a los resultados, dando ---275. Respuesta. 33 -. Sólo se ha demostrado que 18 + -5 = -5 + 18 y que -11 + 6 = 6 + -11 - Esto ilustra otro principio muy importante, a saber, que al cambiar el orden de los términos en una expresión no altera el valor de la misma, siempre y cuando los signos apropiados sean retenidos por los términos. Por lo tanto, 12-3, tiene precisamente los mismos valores que -3+ 12; o -15+ 8 es igual a 8-15; b + a es igual a a + b; x-y y -y + x tener el mismo valor y así sucesivamente. Si se añade -5 +18, el resultado es 13, como se ha mostrado, pero, 18-5 = 13, también. Esto conduce a la importante conclusión de que la adición de un número negativo es equivalente a restar el mismo número positivo de que se trate. Por lo tanto, la adición de -65 a +128 tiene el mismo efecto que restando -65 de +128, siendo el resultado 63 en cualquiera de los casos. 34 -. Un punto importante a tener en cuenta es que la suma de un número positivo y el valor negativo del mismo valor absoluto es igual a cero. En otras palabras, la suma de + 9 y - 9 es cero, de modo igual es la suma de -16 y 16, o 23 y -23. La verdad de esta afirmación se puede demostrar mediante el uso de la figura anterior. Tome 9 + -9, por ejemplo. En la escala, localizar 9 y luego cuente 9 espacios hacia la izquierda, para indicar la adición de -9, y se alcanzará el punto 0. Si +16 + -16 es el ejemplo, localice 16 en la escala y cuente 16 espacios hacia la izquierda, una y otra vez el resultado será cero. El mismo resultado se sigue en el caso de +23 + -23, o cualquier otro número cuyos valores absolutos son iguales pero cuyos signos son diferentes. De la misma manera, + a +-a = 0, 2-2xy + xy = 0. Y 7 M2N +-7m2n = 0.

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35 -. Adición o suma de un número negativo y un número negativo. El último caso de la adición algebraica es la adición de una cantidad negativa a otra cantidad negativa. Supongamos que se requiere la suma de -11 + -6. En la escala, de la figura Anterior. Localiza el punto -11 y cuenta 6 espacios hacia la izquierda, para indicar la adición de --6, se alcanzará el punto de -17 a continuación, lo que indica que -11 + -6 = -17. De acuerdo a la aritmética, 11+ 6 = 17. En ambos casos, el valor absoluto de la suma es la misma, o 17, pero en el caso de la adición de los números negativos, la suma es negativa. Esto lleva a la siguiente conclusión importante: La suma de cualquiera de dos o más números negativos es igual a la suma de sus valores absolutos con el signo negativo prefijado. Es decir, 19 +-217 = -236; -89 -42 + = -131; -6 y -27 + -53 = -86. Ejemplo -. ¿Cuál es la suma de -63 + -137 ¿ Solución -. Ambos números son negativos, y la suma de sus valores absolutos es -63 +-137 = 200. Como este signo menos debe tener el prefijo -menos, resulta, -63 + -137 = -200. RESPUESTA. EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR 1. ¿Cuál es la suma de 160 y -83 ¿

Resp. 77

2. ¿Cuál es la suma de 160 y -183 ¿

Resp. -23

3. ¿Cuál es la suma de +7x² y -7x² ¿

Resp. 0

4. Halla la suma de -235 y -193.

Resp. -428

5. ¿Cuál es la suma de -375 y +193 ¿

Resp. -194

6. Halla el resultado de + 291 + -384.

Resp. -93

36 - Casos de Sustracción o Resta- Cuatro casos pueden presentarse en la resta de números positivos y negativos, de la siguiente manera. 1 -. Número positivo - número positivo.

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2 -. Número positivo - número negativo. 3 -. Número negativo - número positivo. 4 -. Número negativo - número negativo. 37 -. La resta se puede realizar mediante el uso de la misma escala, como en la figura anterior, pero puesto que la resta es lo contrario de la suma, la resta de un número positivo se indica, contando hacia la izquierda y la resta de un número negativo contando hacia la derecha en la escala. Restar de +24 - +15 como ejemplo. En la escala, localizaremos + 24, y Entonces, contaremos 15 espacios hacia la izquierda para indicar la sustracción de -15. Se alcanzará el punto +9, es decir, 24-15 = 9. Pero, de acuerdo con el art.31, +24+-15 es también igual a 9. En otras palabras, restando 15 de 24, es decir, restando una cantidad positiva tiene el mismo efecto que la adición de una cantidad negativa igual. De la misma manera, se puede demostrar que en cada uno de los casos de sustracción se puede convertir en suma cambiando el signo del sustraendo y añadiendo el sustraendo el signo alterado del minuendo. 38 -. Regla General de Resta -. Una regla general es suficiente para cubrir todos los casos de sustracción de números positivos o negativos de los números positivos o negativos. Como sigue; Para realizar la resta algebraica, cambiaremos el signo del sustraendo y, a continuación, añadiremos el signo cambiado del sustraendo al minuendo, y utilizaremos las reglas para la suma algebraica. La aplicación de esta norma a los cuatro casos mencionados en el art. 36 se ilustra en los artículos que siguen inmediatamente. 39. Resta de un número positivo de un número positivo. Supongamos que 26 se resta de 81. De acuerdo con la regla general que acabamos de exponer, se cambia el signo del sustraendo y el sustraendo alterado se añade al minuendo. El sustraendo es 26, y si se cambia su signo, se convierte en -26, que se añade a continuación a 81. En otras palabras

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nos da, 81 + -26 se convierte en más ochenta y uno más menos 26 que es igual a+ 81 + -26, el resultado es 55, según el art. 32, que describe la adición de una cantidad negativa a una cantidad positiva. Si el sustraendo es mayor que el minuendo, la regla sigue siendo válida. Por ejemplo, tome 39-124. Cuando se cambia el signo del sustraendo, y la alteración del sustraendo se añade al minuendo, la declaración se convierte en; treinta y nueve más menos ciento veinticuatro que es igual a 39 + - 124, que es igual a -85, según el art. 32. 40 -. Resta de un número Negativo de un número positivo. Supongamos que un número negativo se resta de un número positivo, como +76- -47, por ejemplo. Se cambia el signo del sustraendo, y el número se añade al minuendo, dando +76 + +47. Esta última expresión es simplemente la suma de dos números positivos, como quedo explicado por el art. 30, por lo que el resultado es 123. En otras palabras, +76- -47 = +123. 41. Resta de número positivo de número negativo. Como una ilustración del tercer caso en la resta, considere -103 - + 49. Al cambiar el signo del sustraendo y la adición, el ejemplo se convierte en - 103 + - 49. Esta es la adición de una cantidad negativa a una cantidad negativa, y el resultado es -152, de acuerdo con Art. 35, que se aplica a este caso particular. 42. La resta de un número negativo de otro número negativo -. Como un ejemplo del cuarto caso en la resta, considere -139 - -52. Cuando se cambia el signo del sustraendo y el sustraendo se añade al minuendo, la declaración se convierte en -139 + 52, que es la adición de una cantidad positiva a una cantidad negativa y que está cubierto por la norma en el art. 32. El resultado en este caso es -87. Una vez más, tome -80 - -212. Cuando el sustraendo tiene su signo cambiado y se añade al minuendo, el resultado se convierte en -80 ++ 212, que es un caso como éste en el art. 32, y el resultado es +132.

SUMA ALGEBRAICA DE MONOMIOS.

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43. Interpretación de los signos -. Los pequeños signos + y - utilizados en los artículos anteriores con cantidades positivas y negativas para distinguirlos de los signos que denotan sumas y restas no son necesarias en el trabajo algebraico ordinario. El signo más antes en el primer término de la expresión se puede omitir. Cuando una cantidad positiva se añade o se resta, se añade el valor absoluto de la cantidad o se resta, como se ha demostrado, es decir, +9 +5 = 9 + 5, y +9-+5 = 9-5. Por lo tanto, el pequeño signo + no tiene ningún valor, y puede ser omitido. Dado que la adición de una cantidad negativa es la misma que la sustracción de una cantidad positiva que tiene el mismo valor absoluto, es habitual para indicar la operación como una resta, es decir, 9 +- 5 sería comúnmente ser escrita 9 -5. El mismo principio se aplica cuando la cantidad negativa es el primer término de la expresión, porque el signo + se puede suponer que precede a la expresión y el primer y segundo términos pueden ser intercambiados. Por ejemplo, -9 + 5 = +-9 + 5 += 5+ -9 = 5-9 = -9+ 5. Del mismo modo, -9 + 5 = -9 - 5. 44. La sustracción de una cantidad negativa implica dos signos menos que se escriben adyacentes entre sí, por lo que la sustracción de -5 de 9 se escribe 9 - - 5. Ningún signo menos puede ser ignorado, ya que el primero indica que la operación se resta y la segunda que el 5 es negativo. Pero, como el signo pequeño no se utiliza en el trabajo algebraico, la expresión se escribiría 9 - (-5). Ahora, según lo asentado en el art. 37, restando una cantidad negativa es equivalente a la adición de una cantidad positiva igual, por lo que una expresión como 9 - (-5) puede comúnmente ser cambiada a 9 + 5. Todo este caso de los signos puede resumirse brevemente así: Si el signo de la operación y el signo de la cantidad que le sigue son iguales, reemplace ambas por un solo signo, y si no son iguales, por un solo signo menos. Para ilustrar esto, - 12 - (-5) = -12 + 5 y 12 + (-6) = 12 + 6. Si se utilizan expresiones literales, los mismos principios son verdaderos; por lo tanto, a - (-b) = -a + b) y -a + (-b) =-a-b. El proceso de combinación de términos ya sea por adición o sustracción se llama la búsqueda de la suma algebraica.

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45. La adición o suma de monomios con signos igual -. En aritmética, además se pueden realizar sólo con las figuras que representan las cantidades expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo, 6 dólares + 9 dólares = 15 dólares, pero la suma de 6 dólares y 9 centavos no pueden sumarse, pero deben escribirse 6 dólares + 9 centavos. La suma de 12 horas y 31 minutos, no se pueden sumar, pero la hora es 12 horas + 31 minutos, pues las unidades en que se miden las dos cantidades no son iguales. En una expresión algebraica 5a, por ejemplo, la parte literal a puede tomarse para representar la unidad de medida, y el coeficiente numérico 5 para representar cuántas unidades son consideradas. Si dos términos se expresan en las mismas unidades, son términos semejantes, y además se pueden realizar simplemente añadiendo los coeficientes y anexando la parte literal común, por lo tanto, 6a y 9a son términos semejantes, y así 6a + 9a = 15a. Pero 6a + 9b no puede ser igual a 15a o a 15b, de cualquier cosa, ya que los dos términos son ambos diferentes, en cuyo caso su suma está representada por la expresión 6a + 9b. 46. Si un número de términos tiene los mismos signos; es decir, si son todos positivos o todos negativos - su suma es la suma de los coeficientes numéricos precedidos por el signo común y con la parte literal anexa. Por ejemplo, supongamos que se requiere la suma de 3ab, 6ab, 14ab, y 8ab. Estos son términos semejantes, porque cada uno contiene la misma parte ab literal, y tienen como signos de cada uno una cantidad positiva, por lo que su suma es positiva y es igual a la suma de los coeficientes numéricos, o 31ab, En otras palabras, 3ab + 6ab + 14ab + y + 8ab =.31ab, Si los términos son todos negativos, la misma regla es válida, por lo que -5bc +(-8bc-)+ (-2bc) + (-7bc) = -22bc. Sin embargo, esta expresión puede ser simplificada a -5bc-8bc-2bc-7bc =-22bc, en otras palabras, si una serie de términos como en una expresión algebraica son precedidos por los mismos signos la su suma algebraica es la suma de los valores absolutos de sus coeficientes numéricos, con el signo como prefijo y la parte literal común anexa. 47. Adición o suma de monomios con los dos signos diferentes -. Un caso muy simple es la suma de dos términos con signos distintos es -13bc + 5bc, por ejemplo. Los coeficientes numéricos de los dos términos son -13 y + 5, y -13+5 = -8, que es la suma algebraica de los coeficientes. Para ello se adjunta la parte literal común bc que da 8bc como resultado, es decir,-13bc + 5bc =-8bc. Si hay una serie de términos, su suma

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algebraica se encuentra sumando todos los términos positivos juntos, y todos los términos negativos juntos, y después tomando la suma algebraica de estos dos resultados. Por ejemplo, tomado 17mn - 8mn + 6mn - 11mn + mn. Estos son términos semejantes, ya que tienen la misma parte literal mn, tres de ellos son positivos, y sus coeficientes son 17, 6, y 1, entonces mn es equivalente a 1mn. Los otros dos son negativos, y sus coeficientes son -8 11. La suma de los términos positivos es 17mn + 6mn + 6 + mn = 24mn y la suma de los términos negativos es -8mn + (-11mn) =-19mn. La suma de estos dos resultados es 24 mn + (-19mn), que es 5mn. 48. Adición o suma de Términos Diferentes. Las reglas establecidas en los artículos anteriores se aplican únicamente a los términos semejantes. Si los términos son diferentes, su suma se indica escribiendo los términos en una línea, con el signo + entre ellos. Por ejemplo, la suma de x², 2xy, y y² se escribe; x² + 2xy + y². La suma de 4ab,-2b, y-b² es 4ab + (-2b) + (-b²), puede ser simplificada por 4ab-2b-b². Si una expresión contiene ambos términos diferentes, los términos entonces deben combinarse de acuerdo a las reglas ya dadas. Por ejemplo, supongamos que la expresión 3x²- 5xy + y² + 3xy - 6y² se da. Los términos semejantes son -5xy y + 3xy combinándolos producen, -2xy, y los términos como y² y -6y² se combinan para producir -5y², por lo que la expresión original se simplifica a 3x² - 2xy – 5y², que tiene el mismo valor que la expresión original. Ejemplo 1. ¿Cuál es la suma de-5a, 12ab, y b² ¿ Solución. En la medida que estos son términos diferentes, su suma se escribe mediante la colocación de signos entre ellos, dando -5a + 12ab + (-b²), que se simplifica a -5a + 12ab b². Es preferible que escribir una cantidad positiva primero, si es que existe, de modo que, en este caso, la suma sería escrita 12ab-5a-5b². Respuesta. Ejemplo 2. Encontrar la suma de 2x², 3xy,-x², 8y²,-5xy y-7y².

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Solución. Primero combinar los términos semejantes, así: 2x² (-x²) = x²; 3XY (-5xy) =-2xy, y (8y²-7y²) = y², Por lo tanto, la suma de los términos definidos es la suma de ellos aquí sumas parciales, o x² (-2xy) y², que puede ser simplificada a x²-2xy y². Respuesta. EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR 1. ¿Cuál es el resultado de 205-180 ¿

Respuesta 385

2. Halla el resultado de -26 a 157

Respuesta 131

3. Restar -98 de - 211.

Respuesta - 113

4. Desde -173 restar 57.

Respuesta -230

Simplifique cada una de las siguientes expresiones: 5. a²-ab-b².

Respuesta a² ab-b²

6. 2x-xy - 7.

Respuesta 2x-xy 7

7. -3d-cd - c² - 2d².

Respuesta-3d-cd-c² 2d²

Encontrar la suma de los siguientes términos: 8. -6a², 2a², 5a²-, 4a², 3a²-, y a².

Respuesta-7a²

9. 2a²b,-a²b, 11a²b,-5a²b, 4a²b y-9a²b.

Respuesta 2a²b

10. 3x, 4x - 5x, 7x, y -6x.

MULTIPLICACION

Respuesta 3x

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49. Casos en la multiplicación. Cuatro casos pueden surgir en la multiplicación de los números algebraicos, de la siguiente manera: 1. Numero Positivo x número positivo. 2. Número negativo x número negativo. 3. Número positivo x número negativo. 4. Número negativo x número positivo. 50. Reglas para la multiplicación algebraica. Las reglas para la multiplicación algebraica de los números son muy simples. El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los números dados. Si ambos números son positivos, o si ambos son negativos, el producto es positivo, y si uno es positivo y el otro es negativo, el producto es negativo. Por ejemplo, 7 x 9 = 63, y-7x-9 = 63, pero-7x +9 = -63, y 7 x - 9 = -63. Si se usan las letras, la misma regla es válida, por lo que +a x -b = -ab y -a x -b = +ab. Los pequeños signos que denotan cantidades positivas y negativas no se utilizan al escribir expresiones algebraicas, sino que los signos + y - se utilizan con paréntesis. Por ejemplo, (-a) (-b) = ab sería la forma habitual de escribir el producto de las cantidades negativas a y b. Del mismo modo, el producto de a positiva y b negativa se escribe a (-b) =-ab. Ejemplo 1 -. Cuál es el producto de 26 y -1.7 ¿ Solución -.Puesto que ningún signo precede a 26, ese número es positivo, y el producto de +26 y -1.7 será el producto de su valor absoluto es 26 x 1.7 = 44.2, y como uno es positivo y el otro es negativo, el producto es negativo y se escribe de la siguiente forma; 26 (-1.7) = 44.2 Respuesta. Ejemplo 2 -. Encontrar el producto de -11 y -35. Solución -. El producto de los valores absolutos de los dos números es 11 x 35 = 385. Como en este caso ambos números son negativos, su producto es positivo, por lo que, (-11) (-35) = 385. Respuesta.

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SIMPLIFICADA

Ejemplo 3 -. ¿Cuál es el producto de y y z ¿ Solución -. Ambas cantidades son positivas por lo que el producto es positivo, o yz, Respuesta. Ejemplo.-4 -. ¿Cuál es el resultado de x (-y)? Solución.- La primera cantidad es positiva y la segunda es negativa, por lo que x (-y) =-xy. Respuesta. Ejemplo 5.- Encontrar el producto de (-b) y c. Solución.- La primera cantidad es negativa y la segunda es positiva, por lo que, (-b) = c-bc. Respuesta. EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR 1. ¿Cuál es el producto de 16 y 24?

Respuesta. +384

2. ¿Cuál es el resultado de +82 x -13?

Respuesta -1066

3. Encontrar el producto de -29 y -15.

Respuesta.- 435

4. Multiplique por 51 -27.

Respuesta -1377

5. ¿Cuál es el producto de –m y -n?

Respuesta + mn

6. ¿Cuál es el resultado de (-x) (+ y)?

Respuesta. -xy

7. Encuentra El resultado de (+ a) (-a)

Respuesta. -a²

8. Multiplique -b por +15.

Respuesta. -15b

DIVISION

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SIMPLIFICADA

51.- Casos en la División - Cuatro casos pueden darse en la división de números algebraicos, de la siguiente manera: 1.- Número positivo ÷ Número .positivo 2.- Número negativo ÷ Número negativo. 3. Número positivo ÷ Número negativo. 4. Números negativo ÷ Número positivo.

52.- Reglas para la División algebraica.- Las reglas para la división algebraica son similares a las de la multiplicación algebraica, y son como sigue: El valor absoluto del cociente es igual al valor absoluto del dividendo dividido por el valor absoluto del divisor, Si el dividendo y el divisor son ambos positivos o ambos negativos, el cociente es positivo; pero si uno es negativo y el otro positivo, el cociente es negativo. Por ejemplo, +126 ÷ +18= +7, ya que el dividendo y el divisor son positivos, y -126÷ -7 = +18, ya que tanto el dividendo y el divisor son negativos. Por otro lado, -91 ÷ +13 = -7, y +176 ÷ -11 = -16, el cociente en cada caso es negativo porque el dividendo y el divisor tienen signos diferentes en cada caso. Del mismo modo, a ÷ (-b), =- ; (-a) ÷ (-b) = .

Ejemplo 1. Encontrar el cociente de 234 ÷ (-26). Solución.- El cociente de los dos valores absolutos es 234÷26 = 9. Como un número es positivo y el otro es negativo, el cociente debe ser negativo, por lo que, 234 ÷ (-26) = -9 Respuesta.

Ejemplo 2.- ¿Cuál es el cociente de (-1591) ÷ (-43)?

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SIMPLIFICADA

Solución.- Como el dividendo y el divisor son negativos, su cociente debe ser positivo, Por tanto, (-1.591) / (-43) = 37. Respuesta.

Ejemplo 3.- ¿Cuál es el cociente de (-45) ÷ 18? Solución.- Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente debe ser negativo, por lo que. (-45) ÷ 18 = -2,5 Respuesta. Ejemplo 4.- Encuentre el cociente de a dividido por b. Solución.- El cociente será negativo, debido a que el dividendo es negativo y el divisor es positivo. Por lo tanto, (-a) ÷ b = Respuesta.

EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR

1. Divida por +1014 entre -39

Respuesta. -26

2. Divida -31,115 entre -127.

Respuesta. 245

3. Encontrar el cociente de -578 ÷ -34.

Respuesta. -17

4. ¿Cuál es el resultado de -b ÷ c?

Respuesta.

5. Si -x se divide -y, cual es el cociente?

Respuesta. .

6. Encuentra el resultado de dividir por -19.43 entre -6.7. OPERACIONES EN SERIE

Respuesta. 2.9

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53. Problemas de multiplicación, Continuación.- A menudo es necesario para encontrar el producto de varias cantidades, algunas positivas y otras negativas, como, por ejemplo, en la expresión 7 x 13 x (-9) x (-11) x 5. El valor de esta expresión puede ser encontrado desarrollando las multiplicaciones en su orden, por lo que, 7x13 = 91; 91x (-9) = -819; -819x (-11) = 9,009, y 9,009 x 5 = 45,045. Sin embargo, es más sencillo hacer caso omiso de los signos de los números en la primera y obtener el producto de los valores absolutos, después, el signo del producto final puede ser encontrado por la siguiente regla: Regla.- Si el número de los factores son negativos en una serie de multiplicaciones inclusive si el producto final es positivo; Y si es impar, el producto final es negativo. En el ejemplo anterior, el producto de los valores absolutos es 7x13x9x11x5 = 45,045 y como el número de factores negativos es 2,…… (-9) y (-11) incluso, el producto final es positivo. Pero, en la expresión-10x4x (-3) x (-7), el valor es -180, porque el producto de los valores absolutos es 840 y hay un número impar de factores negativos en la serie. El producto de -a, -b, c, y -d es-abcd, el resultado es negativo, porque tres de los números dados son negativos.

54. Problemas de multiplicación y división -. En el caso de la expresión como 120÷5x3, puede haber alguna duda en cuanto a lo que se quiere decir. Si 120 se divide por 5, el cociente es 24, y sí se multiplica por 3, el producto es 72, pero si 5 y 3 se multiplican para dar el producto 15, y 120 se divide por 15, el resultado es 8, que es considerablemente diferente del resultado anterior. En cualquier serie de operaciones indicadas, la multiplicación siempre se debe realizar en primer lugar, a continuación, la división, y, finalmente, la adición o la sustracción. Así, la solución correcta de 120 ÷ (5x3), ya que el paréntesis a la vez indica que el 5 y 3 deben multiplicarse antes de realizar la división. La expresión 6 x 18 ÷ 12 + 7-3 tiene un valor

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de 13, pero se escribe con más claridad de la siguiente forma; (6x18) ÷ 12 + (7-3), que se convierte en 108÷12 + 4 = 9 + 4 = 13. EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR 1.- En cierta mañana los termómetros se sitúan en 24 grados por encima de cero. Se elevan 9 grados durante el día, pero caen 16 grados durante la noche, y se eleva de nuevo 22 grados a medio día. ¿Cuál es la temperatura a mediodía del siguiente día? Respuesta 39 grados. 2.- Un tanque contiene 14.725 litros de agua. Y se extraen 9,160 litros de una sola vez y 2,485 litros en otra vez, Mientras tanto, una bomba suministra 10,800 litros, mientras que una fuga provoca una pérdida de 250 litros. Encontrar la cantidad de agua en el tanque al final del período. Respuesta

13,630 litros.

3.- Un aeronauta se eleva 17,460 metros sobre la tierra y desciende 4,800 metros. A continuación, se ve obligado a subir 2,000 metros para escapar de una tormenta, después de lo cual desciende 8,215 metros, ¿Hasta qué altura esta de la tierra? Respuesta 6,445 metros. 4.- Un equipo de fútbol Americano, gana 3 yardas en una caída de línea, pierde 11 yardas en una pérdida de balón, luego gana 26 yardas en un pase hacia adelante, luego gana otras 5 yardas al correr, pero es penalizado y un gana retroceso de 15 yardas en la siguiente jugada. ¿Cuál es la ganancia neta? Respuesta. 8 yardas. 5.-Un comerciante tiene $ 2,653 pesos en la mano. Él recibe cheques por $128, $ 83 y $ 25, y $ 1,241 en efectivo, después hace pagos en efectivo de $ 740, $ 915 y $ 37. ¿Cuál es el balance al final? Respuesta. $ 2438 pesos

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6.- Un distribuidor de huevo compra 120 docenas de huevos a 48 pesos la docena, vende 100 docenas en 63 pesos, compra 55 docenas de huevos a 42 pesos, vende 60 docenas a 62 pesos, compra 192 docenas en 50 pesos, y vende 200 docenas en 68 pesos. (A) ¿Cuántas docenas tiene? (B) ¿Cuál es el beneficio total? Respuestas (a) 7 docenas. (B) $ 59.50 OPERACIONES CON LOS SÍMBOLOS DE AGRUPACION 55. Importancia del paréntesis.- Un paréntesis colocado alrededor de una expresión muestra que la expresión que incluye debe ser tratada como si fuera una sola cantidad. Por ejemplo, a (x y) es una expresión en la que el x y que es un binomio, está encerrado entre paréntesis para indicar que toda la expresión x y va a ser multiplicado por a. de manera similar, 2x-(y²-xy) muestra que y²-xy va a ser tratada como una cantidad que se va a restar de 2x. Si a con el signo más o a con el signo menos se utiliza antes de un paréntesis, pertenece a toda la expresión dentro del paréntesis y no sólo en el primer término. Por ejemplo, a-(b c) indica que el signo menos afecta a la suma de b y c, que indica que el signo menos afecta a la suma de b y c, es decir, la suma de b y c es tomado de a. Esto es bastante diferente de a-b + c, como se puede demostrar mediante el uso de valores numéricos en lugar de las letras. Supongamos que a = 8, b = 9, y c = 3 y, a continuación, a(b + c) = 18 - (9 3) = 18-12 = 6. Si el paréntesis se ignora, y el signo menos se considera únicamente en el término b, se obtiene un resultado muy diferente, porque entonces a-b + c sería 18-9 3 = 12. 56. Un paréntesis rara vez se utiliza para encerrar una expresión que sigue a un signo + más o a un signo – menos, a menos de que la expresión sea un factor. Por ejemplo, a + b + (c - d) indica la adición de a, b, y c - d, y se escribe con mayor precisión a + b + c - d, en otras palabras, el paréntesis por lo general se omite después de que el signo más en la expresión. Pero en una expresión como a + b + (c - d) (x + y), el paréntesis que encierra c d y se escribe a + b + c - d (x + y) le daría un significado y un valor completamente diferente a la expresión; así, en lugar del producto de (c + d) y (x + y), y que el término c pareciera ser añadidos a a + b en lugar de ser considerado en relación con d como multiplicador de x + y.

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El paréntesis se utiliza a menudo para encerrar monomios y para evitar escribir dos signos. Sería muy difícil, y en ocasiones confuso, escribir expresiones tales como a + -b, a - + b; por lo tanto, son escritas a + (-b), a - (+ b), y a-(-b), o, como se explica en el Art. 44, que se pueden simplificar aún más a – b, a - b, y a + b. 57. Efecto de la eliminación de Paréntesis.- El efecto de eliminar el paréntesis que encierra una expresión se puede mostrar mediante el uso de valores numéricos en lugar de letras. La expresión 7 + (5+ 8) tiene el mismo valor que 7 + 5 + 8, ya que la suma en cada caso es 20, por lo tanto, 7 + (8 + 5) = 7+ 5+ 8. En otras palabras, si un signo +más que precede a una expresión no se utiliza como un factor o multiplicador, la expresión puede ser escrita sin el paréntesis, los signos deben ser sin cambios. Por lo tanto, 12 + (20 – 8) puede escribir 12+ 20-8, el valor es 24 en cualquiera de los casos, y a + (b + c) y a + (b-c) se convierten, de la misma manera, a + b + c y a + b-c. Por otro lado, si un signo - menos precede a una expresión en un paréntesis, el paréntesis puede no ser omitido a menos que se cambien los signos dentro de los paréntesis. Por ejemplo, considere la expresión 43 - (11+ 21-9), lo que equivale a 43-23, por 11+ 21-9 = 23. Si se elimina el paréntesis, y los signos en el interior del paréntesis se cambian, la expresión se convierte en 43-11-21+ 9, el valor de esta expresión es exactamente la misma que la original, o 20, que muestra que la forma de la expresión solo se cambia, y no su valor. De la misma manera, a-(b + c) = a-b-c; x²-(xy-3x + y²) = x²-xy 3x-y²; y 5mn - (m²-mn²-n²) = 5mn-m² + mn² + n³. 58. La inserción de Paréntesis.- Tal como se explica en el artículo anterior, después de un paréntesis de un signo + se puede quitar sin cambiar ningún signo y sin alterar el valor de una expresión. También debe ser cierto, por lo tanto, que un paréntesis se puede insertar después de un signo +, y sin la necesidad de cambiar cualquier signo y sin alterar el valor Por lo tanto, la expresión 7 + 9 + 5 puede ser escrito 7 + (9 + 5) , el resultado en ambos casos, es 21, o, desde el signo del primer término, 7 es +, la expresión se puede escribir (7 + 9) + 5, o incluso (7+9+ 5), y el valor será todavía 21 del mismo modo, a + b+ c se convierte en a + (b + c), (a + b) + c, o (a + b + c).

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Por otro lado, la inserción de un paréntesis después de un signo - menos hace que sea necesario cambiar todo el signo dentro de los paréntesis. Por ejemplo, tomar la expresión 13-5-3+8, y supongamos que los términos 5 y 3 están encerrados entre paréntesis, a continuación, la expresión se convierte en 13 - (5+ 3)+ 8, que tiene el mismo valor que antes, Si los tres últimos términos están encerrados, la expresión se escribe 13- (5+3-8), y si los dos últimos están encerrados, se convierte 13-5- (3-8). En la misma forma, a-b-c + d se puede escribir a-(b + c-d), a-(b + c) + d, o a-b-(c-d), todos los cuales tienen el mismo valor, como puede ser demostrado mediante la sustitución de valores numéricos para las letras y encontrar el valor de cada expresión. 59. Cambio de signo antes del paréntesis.- Por una u otra razón, puede ser deseable cambiar el signo en frente de una expresión entre paréntesis, o para cambiar los signos de los términos dentro de un paréntesis. Por ejemplo, la cantidad (a-b) puede aparecer en uno y la cantidad (b-a) en otro, y estas dos cantidades son diferentes. Sin embargo, la expresión b-a puede ser escrita -a + b sin cambiar su valor, y si un paréntesis se inserta después el signo -menos,-a + b se convierte en -(a-b); por lo tanto, (b-a) es igual a -(a-b). En otras palabras, puesto que b-a es el mismo que + (b-a), el valor de una expresión no se altera por el cambio del signo delante del paréntesis y los signos de los términos dentro de ella. Por ejemplo, - (b-a) = + (-b + a) = (-b + a) = (a-b), y -(x²-2xy + y²) = - (x² + 2xy -y²), o (2xy -x²y²). Por lo tanto, se puede decir que el valor de una expresión entre paréntesis no se ve afectada por el cambio de signo delante del paréntesis, si se cambian los signos de todos los términos dentro de los paréntesis, también. Ejemplo.- Escribe la expresión equivalente para (x² + 2x - 3), con un signo menos antes del paréntesis. Solución.- El signo negativo se prefija y los signos de los términos dentro el paréntesis se cambian, dando; -(-x²- 2x + 3) que se puede escribir - (3 -x² - 2x). Respuesta.

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EJEMPLOS PARA PRACTICAR Quitar los paréntesis de las siguientes expresiones y reescribir las expresiones cambiando los signos en donde sea necesario: 1 17 + 5 + (23-19).

Respuesta. 17 + 5 + 23 - 19

2. 23 - 16 + (11+ 4).

Respuesta. 23-16 +11+ 4

3. (2a²-b²) -14.

Respuesta. 2a²- b²-14

4. 9xy - (x²-3y).

Respuesta. 9xy - x² + 3y

5. 12 - (m²-2mn + n²). 6. - (b² + 9bc -12c²)

Respuesta. 12 - m² + 2mn - n2 Respuesta. -b²-9bc + 12c²

Vuelve a escribir las siguientes expresiones y adjunta los dos últimos términos de cada uno en un paréntesis: 7. 23-7- 4 + 11.

Respuesta. 23-7 - (4 -11)

8. a²b + bc + ac-c².

Respuesta. a²b + bc + (ac-c²)

9. 10xy-y²- 5yz - z.

Respuesta. 10xy-y²- (5yz + z)

10. 6m -3mn + 2n.

Respuesta. 6m-(3mn - 2n)

Cambia el signo antes de cada una de las siguientes expresiones y reescríbelas: 11. - (5m²-11mn +3n²) 12. (x + 4xy + y²).

Respuesta. (-5m² +11mn – 3n²) Respuesta. - (- x - 4xy - y²)

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SIMPLIFICADA

13. (- 20a² + 12ª – 6).

Respuesta -(20a² - 12a +6)

14. (3b – c - c²).

Respuesta. - (-3b + c + c²)

ECUACIONES Naturaleza de las Ecuaciones.60.- Miembros De Una Ecuación- Cada ecuación se componen de dos partes separadas por un signo de igualdad por lo tanto, x + 6 = 14 es una ecuación. Las dos partes en lados opuestos del signo de igualdad se llaman los miembros de la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación que se acaba de dar, x + 6 es uno de los miembros y 14 es el otro; x + 6 se llama el primer miembro, o el miembro del lado izquierdo o primer miembro y 14 se llama el segundo término o del lado derecho de la ecuación. Los dos miembros de una ecuación son iguales, por lo que pueden ser intercambiados sin afectar el valor de la ecuación, es decir, la ecuación x + 6 = 14 se puede escribir 14 = x + 6. 61. Cantidades Conocidas y Desconocidas -. Se ha convertido en costumbre, escribir ecuaciones utilizando las letras x, y, para representar cantidades cuyos valores no se conocen. Tales cantidades se llaman cantidades desconocidas o incógnitas. Las cantidades cuyos valores son conocidos, o cantidades conocidas, están representados por figuras o por las letras a, b, y c. Por ejemplo, si la ecuación x = a + b², que normalmente se supone que los valores de a y b son conocidos y que el valor de x es desconocido. Muy a menudo, sin embargo, es más conveniente utilizar otras letras para representar cantidades, por lo que la letra t se utiliza comúnmente para indicar el tiempo, y l para la longitud, v para el volumen, y w para el Peso. Las letras mayúsculas se pueden utilizar, como T de la temperatura, A para el área, y P para la presión. 62. Fórmulas.- Una ecuación es un medio muy conveniente para expresar la relación entre cantidades conocidas y desconocidas. Los intereses de una suma de dinero son iguales al producto del capital, o a la cantidad prestada, o a la tasa de interés, y el tiempo en años. Sea

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i que representa los intereses, P el capital, r la tasa de interés, y t el tiempo en años, entonces la ecuación que expresa correctamente la relación de estos valores es: i = Prt Esto en una ecuación se conoce comúnmente como una fórmula. Se expresa, por medio de letras, y quiere decir que los intereses son el producto del capital por la tasa de interés fijado multiplicado por el tiempo que dura el préstamo. Por lo general, la cantidad, el tipo de interés y el tiempo son conocidos, por lo que P, r y t se vuelven cantidades conocidas, pero el interés es el que debe ser encontrado o calculado, y por eso es la cantidad desconocida. En las fórmulas entre otros propósitos, se utilizan otras letras para representar las cantidades conocidas y desconocidas, en cualquier fórmula, todas las letras, excepto una, representan cantidades conocidas. Estas letras pueden tener valores distintos en condiciones diferentes, pero sus valores numéricos se deben dar para cada caso particular antes de que el valor correspondiente de la única desconocida se pueda determinar. Ejemplo 1.- (A) Expresar por una fórmula la regla de que el área A de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base b por su altura a. (B) Encontrar el área de un triángulo cuya base es de 8 centímetros y cuya altura es de 14 centímetros. Solución.- A representan el área, b la base, y a la altura.

Respuesta

A = ab.

Continuación, como el área A es igual a la mitad del producto de la base b y la altura a (B) En la fórmula que acabamos de exponer, sustituimos a por 8 y b por 14, Respuesta A = ½ x14x8 = 56. Centímetros cuadrados Ejemplo 2.- (A) Expresar el siguiente principio por medio de una fórmula: La presión total de agua en la parte inferior de un tanque, en kilos, es igual a 62,5 veces el producto de la profundidad del tanque de agua, en metros, y el área de la parte inferior del

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tanque es de 10 metros cuadrados y se llena hasta una profundidad de 12 metros, cual es la presión total del agua en el fondo? Solución.- (a) Representaremos a cada cantidad con una letra. Por lo tanto, sea P la presión total en la parte inferior, en Kilos, A el área de la parte inferior, en metros cuadrados, y h la profundidad del agua, Entonces, de acuerdo con la declaración del principio, Respuesta P = 62.5hA. (b) En la fórmula que acabamos de exponer, sustituiremos 12 por h y 10 para A; entonces, Respuesta P = 62.5x12x10 = 7,500 kilos. 63. Solución de ecuaciones.- El proceso de encontrar el valor de una cantidad desconocida en una ecuación se llama; solución de la ecuación. Si la ecuación es una ecuación simple que contiene una incógnita, el método habitual es cambiar la forma de la ecuación de modo que el valor desconocido se convierta en un miembro y en el otro miembro las cantidades conocidas. Como veremos a continuación, el valor de la incógnita es igual al valor de las cantidades conocidas. Por ejemplo, tomemos la ecuación x = a + 12. Aquí, el miembro de incógnita x está solo en un lado del signo de igualdad y las cantidades conocidas están en el otro. Si a tiene un valor de 4, entonces x = 4 + 12 = 16. Este valor de x, produce el mismo valor a ambos lados del signo de igualdad, se dice que satisface la ecuación.

TRANSFORMACIONES 64.- Métodos de Transformación - Para obtener la cantidad desconocida sola en un lado de la ecuación, en la resolución de una ecuación, la forma de la ecuación se puede cambiar, pero los cambios deben ser tales que los miembros permanezcan iguales entre sí. Es posible cambiar el valor de uno de los miembros de una ecuación solo, sin perturbar la igualdad; pero si el mismo cambio se realiza en ambos miembros, ellos seguirán siendo iguales. Cambiando la forma de los miembros de una ecuación sin afectar a su igualdad se denomina transformación. Las cuatro formas de uso común de la transformación de una ecuación:

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1. Mediante la adición de la misma cantidad o cantidades iguales de ambos miembros. 2. Al restar la misma cantidad o cantidades iguales de ambos miembros. 3. Multiplicando ambos miembros por la misma cantidad o cantidades iguales, o mediante el aumento de ambos miembros de la misma potencia. 4. Dividiendo ambos miembros por la misma cantidad o cantidades iguales, o mediante la extracción de la misma raíz de ambos miembros. El valor de cada miembro de la ecuación se cambia por cualquier forma de transformación, pero los miembros aún permanecen iguales y el valor del miembro desconocido no se altera. 65. Adición de cantidades iguales de ambos miembros.- En la ecuación x + 6 = 14 se cumple cuando x es 8;. Porque si 8 se sustituye por x, la ecuación se convierte en 8 +6 = 14, que es la correcta. Supongamos que 2 se añade a cada miembro, y luego la ecuación es x + 6 + 2 = 14 + 2 o x + 8 = 16. En esta última ecuación, el valor de x es 8, y como antes, tenemos, 8 + 8 = 16. En otras palabras, la adición de cantidades iguales a ambos lados de una ecuación no afecta a la igualdad o el valor de la cantidad desconocida. 66. Restar cantidades iguales de ambos miembros. Vamos a restar 2 de cada miembro de la ecuación x + 6 = 14. La ecuación a continuación, se convierte en x = + 6-2 = 14-2, o x + 4 = 12. El valor de x que satisface esta última ecuación todavía es 8, porque 8 + 4 = 12. Por lo tanto, restando cantidades iguales de ambos lados de una ecuación no afecta a la igualdad o el valor de la cantidad desconocida. 67. Multiplicando ambos miembros por cantidades iguales. Ningún valor de la incógnita en una ecuación o la igualdad de los miembros son afectados cuando ambos miembros se multiplican por la misma cantidad o por cantidades iguales. Por ejemplo, supongamos que ambos miembros de la ecuación x + 6 = 14 se multiplica por 2. Entonces la ecuación se convierte en 2 (x +6) = 2x-14 o 2x + 12 = 28. Se encuentra que el valor de x en esta ecuación es también 8, de 2x8 + 12 = 16 12 = 28, de modo que la igualdad no ha sido destruida. El multiplicador puede ser conocido o desconocido, positivo o negativo, entero o fraccionario. Sin embargo, no debe ser cero, ya que cualquier cantidad multiplicada por cero

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SIMPLIFICADA

es igual a cero y, por lo tanto, cantidades desiguales multiplicadas por cero ambas se convierten en cero o son igual a cero. Solución.- Transponiendo + 20 y -18 para el segundo miembro y +3x para el primer miembro. 5x-3x = 10 + 18-20. Combine los términos semejantes. Dividir por 2.

2x = 8. x=4

Ejemplo 2 -. Resuelve la ecuación

Respuesta.

5x - 6 = 10-3x.

Solución -. Transposición -6 para el segundo miembro y-3x al primero. 5x + 3x = 10+6 Combine los términos semejantes. Divida por 8

8x = 16. x = 2. Respuesta.

EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. 4x = 2x +6

Respuesta. X = 3

2. 6x-20 = 4x-4.

Respuesta. X = 8

3. 2x-11 = 2-5x.

Respuesta. X = 1

4. 8-4x = 26-13x.

Respuesta. X = 2

5. 2x +5x-10-3x-5 = 0.

Respuesta. X = 3

(1) SUMA:

47 (a)

ALGEBRA (b )

(c )

(d)

(e)

SIMPLIFICADA (f)

(2) Reste el número más bajo de la parte superior de de la pregunta 1. (3) (a) Si la temperatura a las 8 am fue de 10 grados y al mediodía fue de 29 grados, ¿cuánto fue el aumento de la temperatura? (B) Si la temperatura fue de 10 grados a las 7 pm y hubo un cambio de -3 grados cada hora hasta las 11 pm, que temperatura fue a las 11 pm? (4). Quite el paréntesis en las siguientes expresiones: (a) 5 - (4m + 3n), .

(b) x +(2y-3z) - (a-b),

(c) . 6 - (3+2) 4

(5) Si a = 1, b = 4, c = 9, y d = 16, calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones: (a) 4ab² + bc²-7d. (b) a²b² + abcd-5b²-2d². Respuesta.

(a) 276 (b) 0

(6) Copia las siguientes frases y rellena con los números correctos los espacios: (a) Cuando 24 se suma a --6 el resultado es 18 y cuando 24 se suma a --25 el resultado is______________(b) Una ganancia de $ 50 en una venta se puede expresar como _________ y una pérdida de $ 25, como ______. (7) Resolver las siguientes ecuaciones:

(a) 5y-10 = 2y + 2 (b) 3z-4 = 2z-1. Respuesta. (a) y = 4, (b) z = 3

(8) Encontrar el cociente de:

(a) 42 ÷ (-6), (b) (-35 ÷ (-7). (c) 18 ÷ (-3)

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ALGEBRA

SIMPLIFICADA

(9) (a) La puntuación de un jugador en un juego es 60, ¿cuál es su puntuación si pierde 75? (b) ¿Cuál es la diferencia en grados entre la temperatura de -15 grados y una de +32 grados? (10) Busca el producto de: (a) (-13) x (-7). (b) (-6) x4x (-8). (c) 16x (-2) x (-5) x (-3). (11) En cada una de las siguientes expresiones, incluya los últimos dos términos entre paréntesis: (a) x-y + z. (b) 5a-2c-2d. (c) 3+2m-4n. (12) ¿Cuál es el signo del resultado: (a) Cuando un número positivo se multiplica por un número negativo? (b) Cuando un número negativo se multiplica por un número negativo (c) Cuando un número negativo se divide por un número negativo? (d) Cuando un número negativo se divide por un número positivo? (13) Encontrar la suma de los siguientes: (a) 7a, -3a, 2a,-5a, y 4a.

(b) 4m², 10m², -3m², m², y -8m².

(14) Resolver las siguientes ecuaciones: (a) 10m-9 = 6m + 3. (b) 8x-6 = 5x + 21.

Respuesta. (a) m = 3, (b) x =9

(15) Retirar los paréntesis y combinar los términos: (a)

6-3 +4- (7-2)-8x5. (b)

43 - (25 +11) +6-4-8.

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ALGEBRA

SIMPLIFICADA

BIBLIOGRAFIA Elementos de algebra G .M. Bruño, Editorial bodleian,

Paris 1939.

I.C.S. Scranton PA, Usa, Staff, ICS

USA 1940

Arq. Roberto Saldivar Olague, Apuntes de Algebra ICS Scranton PA, USA.

1964