Algebra2

Funda¸ca ˜o Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

´ AP1 – Algebra Linear II – 2014/2 Gabarito Quest˜ ao 1 (3,0 pontos): Em cada item fa¸ca o que se pede. a) [1,2 pts] Seja T : R2 −→ R2 o operador linear tal que T (−1, 2) = (2, −4) e T (3, 1) = (15, 5). a.1) [0,6 pt] Dˆe exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os respectivos autovalores. a.2) [0,6 pt] Dˆe exemplos de uma matriz invers´ıvel P que diagonaliza T e da sua correspondente matriz diagonal D. b) [0,8 pt] Seja A ∈ M4 (R) com dois autovalores distintos. Sabendo que um dos autoespa¸cos tem dimens˜ao 2 e que A ´e diagonaliz´avel, determine a dimens˜ao do outro autoespa¸co. c) [1,0 pt] Determine a matriz que representa, na base canˆonica do R2 , a rota¸c˜ao de da rota¸c˜ao de π6 , ambas no sentido anti-hor´ario.

π 2

seguida

Solu¸c˜ ao: a) a.1) Como T (−1, 2) = (2, −4) = (−2)(−1, 2) e T (3, 1) = (15, 5) = 5(3, 1), ent˜ao v1 = (−1, 2) ´e autovetor de T associado ao autovalor λ1 = −2 e v2 = (3, 1) ´e autovetor de T associado ao autovalor λ2 = 5. Logo, β = {v1 = (−1, 2), v2 = (3, 1)} {z } | {z } | λ1 =−2

λ2 =5

´e uma base do R2 formada por autovetores de T .

a.2) Tomamos β = {v1 = (−1, 2), v2 = (3, 1)}, a base de autovetores de T obtida no item | {z } | {z } λ1 =−2

λ2 =5

anterior.

 −1 3 Uma matriz P que diagonaliza T ´e P = v1 v2 = , matriz de mudan¸ca de 2 1 2 base, da base β para  a base canˆonica do R , cuja correspondente matriz diagonal ´e dada por −2 0 λ1 0 . = D= 0 5 0 λ2 





b) Sejam λ1 , λ2 autovalores de A. Sem perda de generalidade, podemos supor mg (λ1 ) = 2. Por hip´otese, A ´e diagonaliz´avel, sendo assim, a multiplicidade geom´etrica de cada autovalor ´e igual a sua multiplicidade alg´ebrica. Logo, a multiplicidade alg´ebrica de λ1 ´e igual a 2. Como 4 = dim(R4 ) = ma (λ1 ) + ma (λ2 ) = 2 + ma (λ2 ), temos que, ma (λ2 ) = 2. Utilizando novamente o fato de que A ´e diagonaliz´avel, temos que mg (λ2 ) = ma (λ2 ) = 2. Portanto a dimens˜ao do outro autoespa¸co ´e 2. c) Sejam R π2 e R π6 , respectivamente, as rota¸c˜oes de π2 e de π6 , no sentido anti-hor´ario. Seja R a rota¸c˜ao de π2 seguida da rota¸c˜ao de π6 (ambas no sentido anti-hor´ario). Ent˜ao, √ #   " 1 2π 2π cos 3 − sen 3 −√2 − 23 = . R = R π6 R π2 = R π6 + π2 = R 2π = 2π 2π 3 3 sen 3 cos 3 − 12 2 1

Quest˜ ao 2 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear T : R3 −→ R3 cujo polinˆomio caracter´ıstico ´e p(λ) = (λ − 2)2 (λ + 4) com autoespa¸cos E(λ1 = 2) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + 3z = 0 e x − 2z = 0} e E(λ2 = −4) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 3y − z = 0 e 2x + y + 3z = 0}. a) [1,6 pts] Determine as multiplicidades alg´ebrica e geom´etrica dos autovalores de T e bases para seus autoespa¸cos. b) [0,4 pt] A ´e diagonaliz´avel? Justifique a sua resposta. Solu¸c˜ ao: a) Pelo polinˆomio caracter´ıstico de T , a multiplicidade alg´ebrica de λ1 = 2 ´e 2 e a multiplicidade alg´ebrica de λ2 = −4 ´e 1. Para determinar as multiplicidades geom´etricas dos autovalores, devemos determinar as dimens˜oes dos seus autoespa¸cos. – Base de E(λ1 = 2): Devemos resolver o sistema linear x − y + 3z = 0 e x − 2z = 0. Reduzindo por linhas `a forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:       3 L1 ←L1 +L2 1 0 −2 1 −1 3 L2 ←L2 −L1 1 −1 . ∼ ∼ 0 1 −5 0 1 −5 1 0 −2 Logo, x − 2z = 0 e y − 5z = 0.

E(λ1 = 2) = = = = Logo, {(2, 5, 1)} ´e uma base de

{(x, y, z) ∈ R3 ; x − y + 3z = 0 e x − 2z = 0} {(x, y, z) ∈ R3 ; x − 2z = 0 e y − 5z = 0} {(2z, 5z, z) ; z ∈ R} {(2, 5, 1) z ; z ∈ R} . E(λ1 = 2) e a multiplicidade geom´etrica de λ1 = 2 ´e 1.

– Base de E(λ2 = −4): Devemos resolver o sistema linear x + 3y − z = 0 e 2x + y + 3z = 0. Reduzindo por linhas `a forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:         1 3 −1 L2 ←L2 −2L1 1 3 −1 L2 ←(− 15 )L2 1 3 −1 L1 ←L1 −3L2 1 0 2 ∼ ∼ ∼ . 2 1 3 0 −5 5 0 1 −1 0 1 −1

Logo, x + 2z = 0 e y − z = 0. E(λ2 = −4) = = = =

{(x, y, z) ∈ R3 ; x + 3y − z = 0 e 2x + y + 3z = 0} {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2z = 0 e y − z = 0} {(−2z, z, z) ; z ∈ R} {(−2, 1, 1)z ; z ∈ R}.

Logo, {(−2, 1, 1)} ´e uma base de E(λ2 = −4) e a multiplicidade geom´etrica de λ2 = −4 ´e 1. b) T n˜ao ´e diagonaliz´avel, pois n˜ao ´e poss´ıvel construir uma base do R3 formada por autovetores de T ou a soma das multiplicidades geom´etricas dos autovalores de T ´e 1 + 1 = 2 < 3 = dim R3 ou o autovalor λ1 = 2 ´e tal que multiplicidade geom´etrica = 1 < 2 = multiplicidade alg´ebrica. 2



 1 8 0 Quest˜ ao 3 (3,0 pontos): Seja A =  1 −1 0 . 0 0 3 a) [2,4 pts] Determine os autovalores de A e bases para seus autoespa¸cos. b) [0,6 pt] A ´e diagonaliz´avel? Justifique a sua resposta. Solu¸c˜ ao: a) O polinˆomio caracter´ıstico de A ´e: p(λ) = det(λI  3 − A)  λ − 1 −8 0 0  = det  −1 λ + 1 0  0 λ−3  λ − 1 −8 = (λ − 3) det −1 λ + 1
= (λ − 3) (λ − 1)(λ + 1) − 8 = (λ − 3)(λ2 − 9) = (λ + 3)(λ − 3)2 .

Os autovalores de A s˜ao λ1 = −3 e λ2 = 3.

Para determinar os autoespa¸cos E(λ1 ) e E(λ2 ) devemos resolver os sistemas lineares homogˆeneos associados, respectivamente, `as matrizes (−3)I3 − A e 3I3 − A. Reduzindo por linhas `a forma escalonada a matriz (−3)I3 − A, obtemos:       1 2 0 1 2 0 −4 −8 0 1 L3 ←− 61 L3 L1 ←− 4 L1 L ←L +L  −1 −2 0  2 ∼22 1  0 0 0  0  ∼1 ∼3 −3I3 − A =  −1 −2 0 0 −6 0 0 −6 0 0 −6    1 2 0 1 2 0 ↔L3  0 0 0  L2∼  0 0 1 . 4 0 0 1 0 0 0          x 0 1 2 0 x 0          y = 0 , portanto O sistema ((−3)I3 − A) y = 0 ´e equivalente a 0 0 1 z 0 0 0 0 z 0 tem as mesmas solu¸c˜oes. Assim, x + 2y = 0 e z = 0. Logo, E(λ1 = −3) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y = 0 e z = 0} = {(−2y, y, 0) ; y ∈ R}. = {(−2, 1, 0)y ; y ∈ R} Logo, β1 = {(−2, 1, 0)} ´e uma base de E(λ1 = −3). Reduzindo por linhas  2 −8 4 3I3 − A =  −1 0 0

`a forma escalonada a matriz 3I3 − A, obtemos:      0 L ←1L 1 −4 0 1 −4 0 1 1 L ←L +L 0  ∼12  −1 4 0  2 ∼22 1  0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 3



  x O sistema (3I3 − A)  y  =  z tem as mesmas solu¸c˜oes. Assim, Logo,

      0 1 −4 0 x 0 0  ´e equivalente a  0 0 0   y  =  0 , portanto 0 0 0 0 z 0 x − 4y = 0.

E(λ2 = 3) = = = =

{(x, y, z) ∈ R3 ; x − 4y = 0} {(4y, y, z) ; y, z ∈ R} {(4y, y, 0) + (0, 0, z) ; y, z ∈ R} {(4, 1, 0)y + (0, 0, 1)z ; y, z ∈ R}

Logo, β2 = {(4, 1, 0), (0, 0, 1)} ´e uma base de E(λ2 = 3). b) A ´e diagonaliz´avel, pois β = β1 ∪ β2 = {(−2, 1, 0), (4, 1, 0), (0, 0, 1)} ´e uma base do R3 formada por autovetores de A ou a soma das multiplicidades geom´etricas dos autovalores ´e 1 + 2 = 3 = dimR3 ou multiplicidade alg´ebrica = multiplicidade geom´etrica, para cada um dos autovalores. Quest˜ ao 4 (2,0 pontos): Seja T : R2 −→ R2 a reflex˜ao com respeito `a reta de equa¸c˜ao 3x − y = 0. a) [0,6 pt] Dˆe exemplo de uma base do R2 formada por autovalores de T , indicando os autovalores. b) [1,4 pts] Determine a matriz de T na base canˆonica do R2 . Solu¸c˜ ao: a) Seja ℓ a reta de equa¸c˜ao 3x − y = 0. Como u = (1, 3) ∈ ℓ, ent˜ao u gera ℓ e T (u) = u. Como v = (3, −1) ´e ortogonal a u, ent˜ao v ´e perpendicular a ℓ e T (v) = −v. Assim, β = {v1 = u = (1, 3), v2 = v = (3, −1)} ´e uma base do R2 formada por autovetores da | {z } | {z } λ1 =1

λ2 =−1

reflex˜ao.

b) Tomamos a base  no item anterior.  β obtida   1 3 ´e a matriz de mudan¸ca de base, da base β para a base canˆonica, P = v1 v2 = 3 −1     1 0 λ1 0 . = P diagonaliza T e a correspondente matriz diagonal ´e D = 0 −1 0 λ2   1   3 −1 −3 1 −1 10 = 10 . Temos que P = − 10 3 1 −3 1 − 10 10 Logo, a matriz da reflex˜ao na base canˆonica ´e   1   3 1 0 1 3 −1 10 10 A = P DP = 1 3 − 10 0 −1 3 −1 10 =



1 3 3 −1



1 10 3 − 10

3 10 1 10



=



8 − 10

6 10

6 10 8 10



.

4