Theoretical Computer Science ELSEVIER
Theoretical Computer Science 187 (1997) 123-145
Algkbres associatives et calcul formel (Associative algebras and computer algebra) Abdenacer
Makhlouf *
UniversitP de Haute Alsace. Laboratoire de MathCmatiques, 4, rue des Frbres Lumike, F-68093 Mulhouse, France
Abstract The aim of this work is to show how one can study varieties of associative algebras using computer algebra. The Nonstandard point of view to describe the irreducible components is well adapted to computer algebra. It leads to algorithms which are implemented under Mathematica Software. We give a package which helps to describe the irreducible components of the n-dimensional unitary associative algebras and nilpotent algebras. We also compute under Mathematics the second cohomology group and the set of invariant scalar products over an algebra. As illustration, the procedures are applied in this paper to study the 3-dimensional associative algebras. Keywords:
Nonstandard
Associative analysis
algebra;
Irreducible
component;
Computer
algebra;
Mathematics;
On se propose d’Ctudier B l’aide du calcul formel l’ensemble des lois d’algkbres associatives sur un espace vectoriel C”. Un des probltme majeur des varittCs algkbriques est la dktermination des composantes irrbductibles. L’approche faite ici est basCe sur la notion de perturbation Btablie dans le cadre de 1’Analyse Non-standard. Les infinitksimaux, par leurs propri&s algbbriques et formelles, sont t&s adapt&s au calcul formel. Le but de cet article est de d&ire 1’activitC de recherche des composantes irrkductibles et le calcul de certains invariants algebriques g l’aide d’un ensemble de procCdures &rites sous le logiciel de calcul formel “Mathematics”. La dtmarche utiliske est d&rite dans le cas g&n&al mais illustr&e en dimension3. Mats cl&s: Algkbre associative; Mathematics
Composante
irreductible;
Analyse non-standard;
* E-mail:
[email protected]. 0304-3975/97/$17.00 @ 1997-Elsevier PII SO304-3975(97)00061-3
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Calcul formel;
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A. Makhloufl
Theoretical
Computer
Science
187 (1997)
123-145
1. La variCtCdes lois d’alg&bresassociatives On rappelle qu’une loi d’algebre une application
bilintaire
associative
sur l’espace vectoriel
C” est don&e par
,K
p : C” x C” + C” verifiant VXY,ZEC”
/4~(x,Y),z)-~(X/4Y,z))=O
La loi d’algebre WEC”
est dite unitaire
s’il existe E E C” tel que:
p(X,E)=p(E,X)=X.
La loi d’algebre VX, Y E C”
est dite nilpotente
s’il existe un entier nature1 p tel que:
(p(X, Y))p+l = 0 (la puissance
correspond
au produit p)
Le plus petit p est appele nihdice de la loi d’algebre nilpotente En fixant une base {ci} de C”, on identifie p a ses constantes /l(ei,ej)
=
CL. de structure
C’E:
5 C:ek.
k=l Les constantes d’tquations
de structure
polynomiales
5 C$& I=1
- C:C$=O,
Ainsi, l’ensemble
des lois d’algebres
quadratiques
associatives
vtrifient
1
