Algunos temas para repensar la matemática.

CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA ALGUNOS TEMAS PARA REPENSAR LA MATEMÁTICA UNIVERSIDAD NACIONAL ARTURO JAURETCHE

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ALGUNOS TEMAS PARA REPENSAR LA MATEMÁTICA

cpu Leonardo Lupinacci, Fernando Bifano, Rosa Ferragina ,Alejandra Almirón, Liber Aparisi, Carlos Pérez Medina, Paula Putica Sinatra, José Villella

CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA

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Universidad Nacional Arturo Jauretche

Algunos Temas para repensar la Matemática

Autores Leonardo Lupinacci Fernando Bifano Rosa Ferragina Alejandra Almirón Liber Aparisi Carlos Pérez Medina Paula Putica Sinatra José Villella

ÍN DICE Prólogo (José Villella)............................................................................9 Tema 1: Un recorrido por los números (Alejandra Almirón, Fernando Bifano, Leonardo Lupinacci y Paula Putica Sinatra) 1.1. Introducción ...............................................................................13 1.2. Conjuntos numéricos.................................................................14 1.2.1. Los números naturales............................................................14 1.2.2. Los números racionales.......................................................... 17 1.2.3. Los números enteros...............................................................23 1.2.4. Los números irracionales........................................................26 1.3. A modo de cierre........................................................................29 Tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor (Rosa Ferragina y Leonardo Lupinacci) 2.1. Introducción............................................................................... 31 2.2. Cuando los números se reemplazan por letras.......................... 31 2.3. Cuando la cantidad de letras aumenta.......................................39 2.4. Más actividades.........................................................................40 Tema 3: Forma y Figura (Carlos Pérez Medina) 3.1. El problema de la distancia entre dos puntos.............................43 3.2. El problema de la distribución de superficies............................48 3.3. Otros problemas para resolver...................................................52 Tema 4: Es probable (Fernando Bifano y Liber Aparisi) 4.1. Introducción...............................................................................55 4.2. Entre lo probable y lo posible....................................................56 4.3. Una definición clásica de probabilidad......................................57 4.4. Es poco probable........................................................................58 4.5. Sucesos excluyentes...................................................................59 4.6. Sucesos independientes..............................................................61 4.7. Sucesos dependientes: la probabilidad condicionada.................63 4.8. Más problemas...........................................................................65 4.9. Esto no es todo: solo es el comienzo..........................................67 Bibliografía.........................................................................................69 Los autores..........................................................................................73

PRÓLOGO José Villella

Cuando se pensó en este material para el Curso de Preparación Universitaria (CPU), nos preguntamos: ¿qué es importante que los estudiantes que ingresan a la Universidad sepan y sean capaces de hacer en situaciones en las que está presente la matemática? Y la respuesta se vio rápidamente vinculada a proponerles situaciones para razonar matemáticamente y utilizar conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos; para así, de esta manera, ayudarlos a darse cuenta de la importancia que tiene lo que aprendieron, para emitir juicios y tomar decisiones bien fundadas que, como ciudadanos comprometidos y reflexivos, necesitan. En las páginas que siguen encontrarán situaciones agrupadas en temas que serán desarrollados a lo largo del CPU. En ellas se les propone formular modelos para solucionar problemas; emplear conceptos, datos, procedimientos y tipos de razonamiento matemático e interpretar los resultados obtenidos, usando la matemática que ya estudiaron en la escuela, para relacionar el contexto de un problema con los contenidos matemáticos y, de ese modo, resolverlo. En el proceso de formulación matemática de las situaciones, ustedes decidirán qué contenidos de la disciplina necesitarán para analizar, plantear y resolver el problema. Realizarán una traducción de un escenario del mundo real al área de la matemática, dotando al problema de estructura, representación y especificidad matemática, razonando e interpretando las limitaciones y los supuestos del problema. Deberán identificar los aspectos matemáticos de un problema situado en un contexto del mundo real y caracterizar las variables significativas que en él intervienen; reconocer la estructura matemática (incluidas las regularidades, las relaciones 9

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y los patrones) en los problemas o situaciones; simplificar una situación o problema para que sea susceptible de análisis matemático; identificar las limitaciones y supuestos que están detrás de cualquier construcción de modelos y de las simplificaciones que se deducen del contexto; representar matemáticamente una situación, utilizando las variables, símbolos, diagramas y modelos adecuados; representar un problema de forma diferente (incluida su organización según conceptos matemáticos y formulando los supuestos adecuados); comprender y explicar las relaciones entre el lenguaje específico del contexto de un problema y el lenguaje simbólico y formal necesario para representarlo matemáticamente; traducir un problema a lenguaje matemático o a una representación; reconocer los aspectos de un problema que se corresponden con problemas conocidos o conceptos, datos o procedimientos matemáticos, y utilizar la tecnología (como una hoja de cálculo, la calculadora de bolsillo o la del teléfono móvil, o un software de geometría) para representar una relación matemática inherente a un problema contextualizado. Lo anterior será posible si pueden aplicar conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos en la resolución de problemas con el fin de llegar a conclusiones matemáticas. En este proceso realizarán cálculos aritméticos; resolverán ecuaciones; seguirán deducciones lógicas a partir de supuestos matemáticos; extraerán información matemática de tablas y gráficos; representarán y manipularán formas en el espacio de dos dimensiones y analizarán datos. Trabajarán sobre un modelo del problema, establecerán regularidades, identificarán relaciones entre entidades matemáticas y elaborarán argumentos matemáticos. Así, estarán en condiciones de reflexionar sobre soluciones, resultados o conclusiones matemáticas e interpretarlas en el contexto de los problemas de la vida real, lo que significa traducir

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Prólogo

las soluciones matemáticas o razonar de nuevo sobre el contexto del problema y determinar si los resultados son razonables y tienen sentido en dicho contexto. De esta manera podrán elaborar y comunicar explicaciones y argumentos en el contexto del problema, reflexionando tanto en el proceso de construcción de modelos como en sus resultados: reinterpretando un resultado matemático en el contexto del mundo real; valorando la razonabilidad de una solución matemática en el contexto de un problema del mundo real; comprendiendo el modo en que el mundo real afecta a los resultados y cálculos de un procedimiento o modelo matemático para realizar juicios contextuales sobre la forma en que los resultados deben ajustarse o aplicarse; explicando por qué un resultado o una conclusión matemática tiene o no tiene sentido dado el contexto de un problema; identificando el alcance y los límites de los conceptos y las soluciones matemáticas, y analizando e identificando los límites del modelo utilizado para resolver un problema. ¿Parece mucho? ¿Suena difícil? Como dicen Reuben Hersh y Vera John-Steiner en la página 8 de su libro Matemáticas: una historia de amor y odio, publicado por Crítica en Buenos Aires en el año 2012.

Qué duda cabe, la experiencia matemática avanza entre los polos gemelos de la exaltación y de la desesperación. Si bien es cierto que los principiantes son quienes mejor conocen la desesperación, y que la exaltación está más asociada a los grandes descubridores, es cierto también que estas emociones opuestas permanecen a la espera y ocultas durante cualquier dificultad matemática y a cualquier nivel.

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Los temas que siguen a estas páginas los invitan a lograr la exaltación del descubrimiento de que aquello que estudiaron durante tanto tiempo tiene un nivel de aplicabilidad que quizás no pensaron. El tema 1 les propone un recorrido por los números. Allí encontrarán situaciones para reflexionar acerca de por qué multiplicar no siempre supone aumentar; que medir y contar se relacionan con números que pertenecen a distintos conjuntos numéricos, o que el cero no siempre se recitó antes que el uno en las escalas. El tema 2, ecuaciones, algo más que encontrar un valor, los invita a discutir sobre qué significa que a + b = c y cuánto de distinto tiene a escribir 4 + 3 = 7. ¿Qué relación tienen las letras con los conceptos matemáticos que usan? ¿Son caprichos de los descubridores o recursos diseñados por estos para hacer más comprensible la traducción a un modelo de una situación? El tema 3 los convoca a usar la belleza geométrica de la forma y la figura para entender el espacio que nos rodea. ¡Cuánto razonamiento, cuánta investigación resumida en una fórmula que se repite y no se sabe muy bien para qué! El tema 4 los desafía a pensar que lo posible no siempre es probable y que lo imposible quizás tenga una medida: ¿cómo puede una compañía de seguros calcular la probabilidad de mi muerte y así estimar la póliza del seguro de vida que me venderá? Disfruten del material haciendo su propio recorrido de invención y recuerden que de principiante a descubridor, solo hay un escalón, aquel que ustedes estén dispuestos a atravesar.

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T EM A

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Un recorrido por los números Alejandra Almirón, Fernando Bifano, Leonardo Lupinacci y Paula Putica Sinatra

1.1. Introducción Nuestra vida está rodeada de números: los necesitamos para comprar, cocinar, medir, leer el resultado de un estudio médico, viajar, hacer funcionar una computadora… Estos objetos matemáticos no tienen nada de naturales: al utilizarlos cotidianamente a veces invisibilizamos sus leyes de composición: con solo diez símbolos distintos podemos representar cualquier cantidad, a partir de un orden y de una serie de reglas prestablecidas, convenciones que se han impuesto sobre otras existentes a través de la historia, que determinan, de esta manera, el sistema de numeración que todos conocemos como un producto de nuestra cultura. Muchos afirman que esta imposición tiene que ver con su carácter decimal, lo que conlleva un accidente fisiológico (Dantzig, 1954) al tener las personas diez dedos en las manos, se facilita, de esta manera, el conteo y las agrupaciones. Estos números han nacido con el objeto de contar y comparar la cantidad de elementos cuando se encuentran agrupados. A lo largo de la historia, diversas necesidades de los seres humanos han dado lugar a la aparición de otros números con otros usos. En este capítulo les proponemos revisar cómo y por qué fueron creados los distintos conjuntos numéricos.

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1.2. Conjuntos numéricos 1.2.1. Los números naturales 1. Analicen el siguiente fragmento del texto de Isaac Asimov, De los números y su historia (2000, 106-107).

Al comienzo los hombres solo aceptaban los números naturales: 1, 2, 3, etc. Estos son adecuados para contar objetos que se consideran como unidades. Uno puede tener 2 niños, 5 vacas u 8 cacerolas;  no tiene mucho sentido tener 2,5 niños, media vaca ni un tercio de cacerola. Pero al medir magnitudes tales como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles. Los egipcios y los babilónicos se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones, [...] pero no faltaron entre ellos eruditos conservadores que miraban con desprecio a los matemáticos místicos que creían en un  número como el 5 1 ; que no vale ni 5 ni 6. 2

En realidad dichas fracciones son cocientes o razones de números enteros. Pero los griegos descubrieron que había cantidades definidas que no se podían expresar como cocientes de números enteros. La primera que se descubrió fue la raíz cuadrada de dos (

), que es aquel número que multiplicado por sí

mismo da dos. Ese número existe, pero no se lo puede expresar como cociente o razón; por lo tanto es un número irracional. La noción de número no se extendió más allá de lo dicho hasta la Edad Moderna. Así, los griegos no aceptaban que hubiera números menores que el cero. ¿Cómo puede haber algo que sea menos que la nada?  En consecuencia para ellos la ecuación x + 5 = 3 no tenía solución. ¿Cómo puede uno sumarle un número al 5 y obtener por resultado un 3? Aun si le suma 5 al “número más pequeño” (es decir al 0) la suma que se obtiene vale 5, y si usted suma 5 más cualquier otro número (que tendrá que ser mayor que cero) obtendrá una suma mayor que 5. 14

tema 1: Un recorrido por los números

El primer matemático que destruyó este tabú fue el italiano Gerónimo Cardano. Después de todo puede haber algo menos que nada. Una deuda es menos que nada. Dichos números se denominan negativos, lo que proviene de la palabra “negar”, que se relaciona con la negativa de los griegos de aceptar la existencia de estos números. Desde un punto de vista práctico la extensión del sistema de numeración para que incluya a los números negativos simplifica las operaciones de toda clase, por ejemplo, las que se utilizan en la contabilidad. Desde un punto de vista teórico el uso de los números negativos significa que toda suma de números tiene exactamente un resultado. Ni más ni menos.

En el texto se mencionan algunos conjuntos numéricos, su surgimiento y algunas aplicaciones. a) ¿En qué otras situaciones, además de para expresar deudas, se pueden utilizar los números negativos? b)  Propongan un cálculo que responda a la pregunta: ¿qué se debe hacer para que, al sumarle a 5 un número, se obtenga como resultado 3? c) Escriban una suma entre dos números enteros que dé como resultado un número negativo. d) Escriban una suma entre dos números enteros que dé como resultado cero. ¿Qué particularidad tienen los números usados? ¿Pasó lo mismo en todas las respuestas dadas a la pregunta? e) ¿Podemos afirmar que todo número natural es entero? ¿Podemos decir que todo número entero es natural? ¿Por qué?

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f) Enuncien por lo menos tres situaciones de la vida diaria en las que necesitan usar fracciones. g) Discutan en grupos: ¿pueden las fracciones ser negativas? ¿Por qué? Los números naturales fueron los primeros en aparecer en las distintas civilizaciones por la necesidad de contar y comparar elementos de un conjunto. Los primeros registros escritos de estos números aparecen alrededor del año 3500 a. C. en Egipto y Babilonia, y entre el 300 a. C. y el 600 d. C. se desarrolla, en la India, el sistema numérico que utilizamos actualmente y que, a partir del siglo X, es adoptado por los árabes; de allí proviene el nombre indoarábigo. Algunas características de este conjunto numérico son: -Tiene primer elemento, que es el 1. -Cada  número tiene un sucesor que se obtiene sumándole 1. -No tiene último elemento. -Entre dos números consecutivos no existe otro número. 2. Analicen y discutan en grupos si al realizar las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) entre dos números naturales se obtiene por resultado siempre un número natural. Propongan ejemplos para explicar sus conclusiones.

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tema 1: Un recorrido por los números

1.2.2. Los números racionales Como ya leímos, en las antiguas civilizaciones, los números naturales resultaron insuficientes para contar y resolver problemas relacionados con la siembra de los terrenos y las construcciones arquitectónicas, ya que algunos de los elementos no se encontraban “enteros”. Así surgieron las fracciones. Los babilonios y egipcios trabajaban en general con fracciones de numerador uno como 12 , 14 y 15 . A partir de estas fracciones, combinándolas y confeccionando tablas, resolvían cálculos habituales y distintos problemas de mayor dificultad. Un legado que nos permite acceder a esta información es el Papiro de Rhind. Veamos, por ejemplo, la forma que utilizan para resolver la división de 19 por 8: 1

8

2

16

1

4

2 1

2

4 1

1

8 1

2+ 4+

1 8

17

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3. a) ¿Cuál es el resultado que obtenían los egipcios de dividir 19 por 8?  Expliquen cómo hacían para resolver las divisiones entre números naturales. b) Utilicen este método para dividir 17 por 4.

Durante la Edad Media, las fracciones se usaron de manera corriente. Sin embargo, la notación de estas era muy diferente a la nuestra. Las subdivisiones de la unidad más utilizadas provenían del sistema sexagesimal, influenciados por el cálculo babilónico transmitido por los matemáticos griegos y árabes, a través de su uso para cálculos astronómicos. Se encontraron escrituras donde la parte entera de un número estaba escrita en base diez y la fraccionaria provenía del sistema sexagesimal. Recién en el siglo XVII, algunos matemáticos afirman que para números menores a 1 se puede utilizar la misma estrategia que para los enteros. Es decir que cada cifra representa 10 veces más de la que está escrita a su derecha. François Viète en 1579 fue el primero en escribir:

En matemática los sesentésimos y las secentenas deberían ser de un uso raro o nulo. Por el contrario los milésimos y los miles, los centésimos y las centenas, los décimos y las decenas deben ser de uso frecuente o constante.

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tema 1: Un recorrido por los números

4. a) ¿Qué diferencias encuentran en la escritura decimal y la sexagesimal? ¿Qué ventajas o desventajas tiene cada una? b) Piensen algunos ejemplos para mostrar que nuestro sistema de numeración es decimal. ¿Cómo influye esto en los números racionales? La reunión de los números naturales, los números enteros, las fracciones y el cero es lo que actualmente conocemos como números racionales. 5. a) ¿Cuál es el primer elemento de este conjunto numérico? b) ¿Y el último? 1

c) ¿Cuál es la fracción que antecede a 2 ? ¿Y la posterior? d) ¿Cuál es el número racional que le sigue a 1,2? ¿Y a 1,21? ¿Y a 1,201? e) ¿Cuál es el número inmediatamente anterior a -5,3? En la resolución del problema anterior, posiblemente hayan llegado a la conclusión de que en el conjunto de los números racionales no se puede hallar ni primero ni último elemento, como así tampoco tiene sentido hablar de siguiente o antecesor de un número. Esto se debe a una característica esencial del conjunto de los números racionales, que es su densidad. Muy por el contrario, al conjunto de los números naturales se lo considera un conjunto discreto, porque cada número tiene un antecesor y un predecesor; en cambio, el de los racionales es un conjunto denso, porque entre dos números racionales, siempre pueden encontrarse otros infinitos números racionales. 19

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6. a) Encuentren, si es posible, tres números naturales entre el 3 y el 5. b) Encuentren, si es posible, tres fracciones que estén entre

2 5

y

4 5

.

c) Encuentren, si es posible, tres números racionales entre el 1,5 y 1,51. Llamamos razón a la división indicada entre dos números naturales y podemos escribirla mediante una fracción. Las fracciones se utilizan para expresar la razón de repartos de cantidades, de mediciones, relaciones entre las partes de una totalidad, para indicar un porcentaje, etc. A estos números también se los puede expresar como decimales extendiendo las características que posee el conjunto de números enteros. Manteniendo la posición y el valor decimal se define que 1 = 0,1; que 1 = 0,01; que 1 = 0,001; etc. 10 100

1000

7. Escriban a qué expresión decimal equivalen las siguientes fracciones:

a.

2 10

c.

15 1000

b.

23 100

d.

134 10

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tema 1: Un recorrido por los números

e.

6 5

g.

f.

1 3

h.

2 7 1 2

Algunos números que no tienen fracciones equivalentes decimales son los llamados números periódicos, porque sus cifras decimales se repiten infinitamente. Tal es el caso de 1 , ya 3 que 1:3 = 0,333333…. Las fracciones y las expresiones decimales representan a los mismos números, pero tienen distintas reglas. Veamos por ejemplo cómo hacemos para ordenar los distintos números y qué estrategias se utilizan en cada una. 8. Ordenen de menor a mayor las siguientes expresiones y expliciten qué estrategias utilizaron en cada caso. a)

9 4

3 5

5 3

1 2

2 7

b) 2,45    45,2    4,25   2,54    4,52   45,02  

Mientras que para ordenar a las expresiones decimales se necesita ver su valor posicional, para las fracciones se requieren otras estrategias, como ver si son mayores o menores al entero, qué relación tiene entre el numerador y el denominador, si son mayores o menores que 1 , buscar fracciones equivalentes, etc. 2

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9. Ordenen de menor a mayor los siguientes números. Expliquen qué estrategias siguieron para ordenarlos. 6 72     0,7    100 8

3 4

4 5

Otro caso particular del uso de los racionales es como relación entre partes son las fracciones con denominador 100, a las que denominamos porcentaje. 100

100% = 100 = 1 20

20% = 100 = 0,20 Los porcentajes se utilizan para representar una relación entre partes. En la vida cotidiana solemos utilizarlos en los impuestos, para realizar descuentos o aumentos, etc. 10. Joaquín compró una remera que cuesta $130. Debe elegir entre 3 formas de pago: -En efectivo le hacen un descuento de 5%. -En 3 cuotas le hacen un recargo de 10% al precio total. -En 12 cuotas le hacen un recargo de 23% al precio total. ¿Cuánto le sale la remera en cada caso? 11. Mariana compró una computadora por $7011 en 6 cuotas. Al decidir abonarla en cuotas le hicieron un recargo de 23%. ¿Cuál es el precio en efectivo de la computadora (sin el recargo)? 22

tema 1: Un recorrido por los números

Existen distintas formas de calcular las cantidades que representan los porcentajes. Veamos un ejemplo: si 60 unidades representan al 100%, al dividir a 60 por 100 voy a saber el valor del 1%. Si 0,6 es el 1%; 0,6 x 10 será el 10% de 60; 0,6 x 40 será el 40% de 60; etc. Otro modo de calcularlo es trabajar con el porcentaje. Si el 40 40% = 100 = 0,40; el 40% de 60 podemos calcularlo haciendo 60 x 0,40. 12. Calculen los siguientes porcentajes: a) el 80% de 158, b) el 45% de 63, c) el 132% de 500, d) el 250% de 48. 1.2.3. Los números enteros A medida que aumenta la altitud con respecto al nivel del mar, la temperatura de la atmósfera varía. Esta relación entre altura y temperatura no es constante, ya que la variación es diferente de acuerdo con la capa atmosférica considerada: en la tropósfera, la cual está en contacto con la superficie terrestre, la temperatura disminuye 6.5°C por cada km que aumenta la altitud hasta llegar a una temperatura de -45°C, que se mantiene constante a lo largo de toda la estratósfera. Luego, ya en la mesósfera, se da un comportamiento particular: la temperatura va paulatinamente en aumento hasta llegar a los 0°C a, aproximadamente, 50km de altura. En ese punto, la temperatura comienza a descender hasta llegar a los -110°C en la mesopausa, ubicada a 80km sobre el nivel del mar 23

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(división entre la mesósfera y la termósfera). Llegado este punto, la temperatura comienza nuevamente a subir aceleradamente, al llegar aproximadamente a 500°C a los 500km de altura. 13. Respondan: a) ¿Qué significa que en la mesósfera haya una temperatura de -45°C ? b) ¿Cuántos grados más de temperatura hay a 500km de altura con respecto a la temperatura de la mesopausa? ¿Cómo puede simbolizarse ese cálculo? c) ¿Cuál es la amplitud térmica entre la mesopausa y la estratósfera? ¿Cómo puede simbolizarse el cálculo? ¿Qué diferencias existen entre la operación realizada en este ítem y la realizada en el ítem anterior? Los números negativos surgen para dar respuesta a la resta entre dos números naturales, como por ejemplo 5 - 7 o 12 - 17. Formalmente, un primer paso para suprimir esta restricción entre números naturales vino dada por la introducción del cero1 mediante la relación a - a = 0, que condujo posteriormente a la introducción de los símbolos -1, -2, -3…, junto a la definición b - a = - (a - b). (Courant y Robbins, 1964). Quedaba así subsanada la restricción de la resta de naturales, a partir de la utilización formal de los números negativos. 14. La relación b - a = - (a - b) ¿Es válida solo para los números negativos? ¿Por qué? Si bien hoy nos resultaría extraño concebir un sistema de numeración que no incluyera al número cero, existieron en la antigüedad diversos sistemas, como el egipcio, que no tenía ni necesitaba de un símbolo que lo representara. Fueron los babilonios quienes lo introdujeron. Culturas como la griega y la romana, conociendo incluso el sistema babilonio, rechazaban el uso del cero, al no concebir un símbolo que representara el vacío, la nada. (Seife, 2006).

1

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tema 1: Un recorrido por los números

15. Otro caso de temperaturas2: Durante el mes de agosto del año pasado, en Florencio Varela se registró la temperatura durante 5 días seguidos a la misma hora: 3 de la mañana. Para realizar el estudio se despreciaron los decimales y se realizaron los redondeos necesarios, por lo que se registraron únicamente valores enteros. Luego de los 5 registros, se comprobó que la temperatura había sido distinta todos los días. a) Si multiplicamos entre sí los valores de las 5 temperaturas registradas, ¿el resultado puede dar 12? ¿Por qué? En caso afirmativo, ¿habría una única posibilidad para cada uno de esos valores? b) Si el resultado de la multiplicación fuese 30, ¿es posible saber cuáles fueron las 5 temperaturas registradas? ¿Y si fuese -8? Analicemos un poco lo trabajado con otro ejemplo: si sabemos que la multiplicación de 2 números enteros da por resultado 6, ¿cuáles podrían ser esos dos números enteros? Podríamos decir inmediatamente 3 y 2, ya que 3 . 2 = 6. Pero también tendríamos otra posibilidad: -3 y -2 ¿Por qué? Por un lado podríamos pensar que, en números enteros, el producto de 3 . 2 significa sumar3 dos veces tres: 3 + 3 = 6. Análogamente el producto 3. (-2) puede interpretarse como restar dos veces tres: -3 - 3 = -6.

Sobre una idea de Adrián Paenza publicada en Matemática… ¿estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias. Buenos Aires, Siglo XXI, 2010. 3 Nótese que el sentido de la multiplicación como suma reiterada solo tiene sentido en el conjunto de los enteros o al multiplicar un entero por un racional no entero. Si se multiplican dos racionales no enteros, esta interpretación carece de sentido. 2

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Finalmente, el producto (-3) . (-2) puede interpretarse como restar dos veces menos tres: (-3) . (-2) = -(-3) - (-3) = 6. Esto es lo que comúnmente se llama regla de los signos, en la que el producto de dos números de igual signo será positivo, y el producto de dos números de distinto signo será negativo. Regla definida de tal manera para que las características de las operaciones aritméticas con números naturales se conserven en la extensión del dominio de trabajo que supone el conjunto de los enteros. Como afirman Courant y Robbins (1964), la regla de la multiplicación de enteros negativos es una consecuencia del deseo de conservar las propiedades de las operaciones entre naturales, entre ellas la propiedad distributiva. Así, la extensión del concepto de número fue posible a partir de la construcción de nuevos símbolos y números, los que recién durante el siglo XVII fueron aceptados con el mismo estatus de los enteros positivos, aunque no sin cierto recelo. 1.2.4. Los números irracionales Los números racionales, aquellos que trabajamos en el inciso 1.2.2., son aquellos que pueden expresarse como una razón entre números enteros. ¿Todos los números pueden expresarse de esa manera? Para dar respuesta a esta pregunta, los invitamos a leer fragmentos de un artículo de Leonardo Moledo, titulado “El terror del teorema de Pitágoras”, publicado en el diario Página 12, el 17 de diciembre de 1999:

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tema 1: Un recorrido por los números

Pitágoras es un personaje misterioso y se sabe muy poco de él: se conjetura que nació en la isla de Samos, cerca de Mileto, tan luego, hacia la mitad del siglo VI (a. de C.) y que luego se trasladó a Crotona, en los territorios griegos del sur de Italia. El asunto es que la figura de Pitágoras está rodeada por la leyenda, porque la escuela pitagórica funcionaba como una secta mística y hermética, como un grupo mancomunado por creencias y prácticas religiosas (…). Los pitagóricos rechazaron los fenómenos y el “discurso de las cosas”. A la pregunta ¿cuál es el origen de las cosas?, respondieron: los números. (…) Incluso se pasaron un poco de rosca: identificaron a la Justicia con el número 4 por tratarse del primer número cuadrado; al matrimonio con el 5, que representaba la unión del macho (3) con la hembra (2). Pero además analizaron muchas propiedades de los números y trabajaron sobre los poliedros regulares, las medias aritméticas, geométricas y armónicas. (…) Naturalmente, la gran gloria de la escuela es el famoso e inmortal “teorema de Pitágoras”, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, una relación que no es para nada evidente, y que, a primera vista, no tendría por qué suceder (la relación, sin embargo, era conocida por los matemáticos babilonios y egipcios, y aplicada por los albañiles para construir ángulos rectos). Sin embargo, ese mismo teorema los llevó a tropezar con un obstáculo catastrófico, letal: si construimos un cuadrado de lado 1 y aplicamos el teorema de Pitágoras, su diagonal mide raíz cuadrada de 2. Y la raíz cuadrada de dos no correspondía a ningún número, a ninguna fracción que los pitagóricos pudieran imaginar. La raíz de 2 es inexpresable, no se puede decir, no es un número. La raíz cuadrada de dos produjo verdadero terror entre los pitagóricos: ellos suponían que todo consiste en números y que el conocimiento expresa relaciones entre números (enteros o fraccionarios). Pero he aquí que una entidad, que ciertamente pertenece a la ciencia, la diagonal de un cuadrado, no puede ser expresada con números enteros. Nada, no puede existir. Es decir, tenemos algo concreto y ese segmento, que está ahí, no es un número, no es 27

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nada. Y la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 tampoco es nada. No existe. ¡Pero la diagonal de ese cuadrado está ahí! ¿Cómo puede ser que a un segmento no corresponda ninguna longitud? Un ejemplo del terror que produjo ver que algo tan simple como la raíz cuadrada de 2 era un irracional es la leyenda según la cual un pitagórico, Hipaso, divulgó el secreto y pereció ahogado como castigo divino por su acción. Y es que el problema con que se enfrentaron no es fácil de resolver, la raíz de 2, como descubrieron los pitagóricos, desde ya no es una fracción: no hay número entero ni fraccionario alguno que multiplicado por sí mismo nos reproduzca exactamente al 2. Actualmente escribimos raíz cuadrada de 2 como 1,14142135624 y agregamos una serie de puntos suspensivos que significan que la fracción decimal no tiene fin, que el número de decimales (no periódicos) es infinito. Es lo que ahora llamamos (quizás en homenaje a Pitágoras) un número irracional. Construyeron todo un edificio científico, místico, que les parecía muy sólido y de repente aparece este asunto que amenaza con precipitar toda la escuela en el abismo. Los pitagóricos se enfrentan a este dilema y no lo pueden resolver. Han fracasado. ¿Y entonces? El terreno del pensamiento parecía seguro, sin la engañosa cualidad de los sentidos. ¡Y ahora resultaba que no era tan seguro! ¿Entonces habrá que recurrir nuevamente a los dioses? No. Pero, indudablemente, era necesario tomar otro camino. El propio teorema, fruto dorado de la escuela, la precipitó en el abismo.

16. a)   En el artículo se menciona y enuncia el teorema de Pitágoras. Probablemente trabajaste con él a lo largo de la educación secundaria ¿Cómo podrías explicarlo con tus palabras? ¿Cómo podrías simbolizarlo?   b)   La medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 se establece en el texto como ( 2 ). Comprueben que es así. ¿Alcanza con dibujar un cuadrado de lado 1 y medir su diagonal para comprobarlo? ¿Por qué? 28

tema 1: Un recorrido por los números

c) Si un triángulo rectángulo es isósceles y las medidas de sus catetos iguales son números racionales, ¿la hipotenusa también lo es? ¿Por qué? ¿Cómo se podría justificar la respuesta? d) ¿Puede tener un triángulo rectángulo lados que midan 13, 5 y 12? ¿Y lados que midan 48 , 1 y 7? e) Otros números irracionales “difundidos”, entre otras cosas por sus aplicaciones, son el número pi (π) y el número e. ¿Los has utilizado alguna vez? ¿Cuándo? En el texto se define al número irracional como aquel que tiene un número de decimales no periódicos infinitos. Esta característica es la que hace que estos números no puedan obtenerse como la razón entre dos números enteros o, lo que es lo mismo, que no sean racionales. Al no ser racionales es que reciben el nombre de irracionales; juego de palabras entre la no pertenencia a dicho conjunto y a la irracionalidad que suponía su existencia. Estos nuevos números dieron lugar a la construcción de los números reales. El conjunto de los números reales puede concebirse como la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales. 1.3. A modo de cierre Hemos visto cómo algunos conjuntos numéricos han surgido a lo largo de la historia para dar respuesta a situaciones concretas del quehacer humano: los naturales, para contar y comparar cantidades; los enteros, para dar respuesta a operaciones que no tenían solución en el contexto de los números positivos; los números racionales, para medir; los irracionales, para la representación de cantidades o medidas inconmensurables. 29

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A partir de la teoría de conjuntos (siglo XX) muchas definiciones y propiedades se formalizaron, y de allí podemos definir a los enteros como la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los números naturales; a los racionales, como el conjunto de todas las razones entre números enteros; a los irracionales, como aquellos números que no pueden ser expresados como razón de dos números enteros; y, a los reales, como la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales. Existen también otros conjuntos numéricos, como los complejos o los hiperreales, que van surgiendo muchas veces por necesidades históricas propias de la evolución de la matemática como ciencia. Por ejemplo, el caso de los números complejos que se transforman en una creación humana para “resolver el problema” de las raíces de los números negativos. O el caso de los hiperreales, de “reciente” creación, allá por 1970, que se han construido matemáticamente como una “extensión” de los números reales, y cuyas aplicaciones hoy se pueden ver en el mundo ingenieril. Evolución que claramente no se detiene y puede que, con el correr de los años, nos ofrezca nuevos aportes.

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T EM A

2

Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor Rosa Ferragina y Leonardo Lupinacci

2.1. Introducción Los símbolos de la aritmética tienen una conexión determinada entre ellos; por ejemplo, 4 es siempre 2 + 2, cualesquiera que sean las cosas mencionadas, cm, mm, etc. En álgebra tomamos símbolos para números sin incluirlos en conexiones determinadas. En álgebra razonamos, pues, sobre números en general, y obtenemos conclusiones que son igualmente verdaderas para todos los números. (Jourdain, 1994).

Al reemplazar un número por una letra, ¿se mantienen las mismas condiciones de viabilidad en las relaciones establecidas? Con este interrogante comenzaremos el desarrollo del capítulo. 2.2. Cuando los números se reemplazan por letras Analicemos si los siguientes pares de igualdades son verdaderas, considerando que las letras representan números. 9+5 a) = 9+ 2

2

5 2

m+n p

b) 8 + 7 + 4 – 7 = 8 + 4

=

m p

+

n p

m +n + p – n = m + p

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Algunos Temas para repensar la Matemática

c)

7.6 3.6

=

7 3



m.n p.n

=

m p

d) 8. 3 > 5

m.n>p

e) 52 = 5

m2 = m

f) ( ̶ 3)2 = - 3

m2 = m

g) 5 + 3 = 8

5 + x = 8

Nos preguntamos, ¿cómo verificamos si es verdadera una igualdad entre números?, ¿es similar a conocer la veracidad de la igualdad si hay letras que representan números? Por ejemplo, en el ítem d), ¿qué valores de m, n y p cumplen la condición?, ¿cuáles no? Distinguimos entonces que toda expresión sobre la cual se puede establecer su valor de verdad, sea este falso o verdadero, se llama proposición. Entonces, “entre -1 y 1 no hay ningún entero” tiene un valor de verdad que es falso; mientras que “el número 2 es primo” tiene un valor de verdad verdadero. Expresiones del tipo “¿Cómo lo realizaste?” o “¡Cerrá la puerta!”, es decir, preguntas u órdenes no son proposiciones, no se les puede asignar un valor de verdad. = m + n no tienen siempre el Pero, expresiones como m+n p p p mismo valor de verdad, porque si p = 0 resulta verdadera, caso contrario (p = 0) resultará falsa. A estas expresiones se las llama

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tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor

funciones proposicionales, porque su valor de verdad depende del valor asignado a la letra (que también se la suele llamar indeterminada/variable). Las funciones proposicionales del tipo 5 + x = 8, que conocemos con el nombre de ecuaciones, las “resolvemos” o “hallamos el valor de la incógnita” realizando “pasajes de términos”, son una visión incompleta, porque solo se busca el valor de la letra y dejamos de lado si esa condición de igualdad establecida primeramente 5 + x = 8 puede ser verdadera o no para algún valor de x. Del mismo modo, para la función proposicional o ecuación: 2x +3 = x + 5 se está pidiendo analizar si existe algún valor de x para que esa igualdad resulte verdadera, que será así si x = 2, caso contrario resultará falsa. Para la función proposicional t2 = 4, existen dos valores de t para que resulte verdadera, t = 2 o t = 2. Al valor o valores asignados a la letra para que la igualdad resulte verdadera, se llama raíz y conforma su solución.

No resulta difícil encontrar ejemplos de funciones proposicionales. «x es humano» es una función proposicional; no será verdadera ni falsa mientras x permanezca indeterminada, pero se convertirá en una proposición verdadera o falsa en cuanto se atribuya valor a x. Toda ecuación matemática es una función proposicional. Mientras no se otorgue el valor un valor definido a las variables, la ecuación solo es una expresión que espera la determinación para convertirse en una proposición verdadera o falsa. En el caso de una ecuación con una variable, esta pasa a ser verdadera cuando se identifica a la variable con una raíz de la ecuación, de lo contrario pasa a ser falsa; pero si se trata de una «identidad» será verdadera cuando la variable sea un número cualquiera. (Bertrand Russel, 1989: 138). 33

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1. a) Decidamos cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles funciones proposicionales. “Hoy es martes y tengo clase de Matemática”. “Este año es el año del Bicentenario de la Patria”. “a - 3 = 7” “¿Puedo pasar al patio?”. “2x - 4 = 2(x - 1)” “El número dos es irracional”. “23 - 7 < 5” “El doble de siete es un número par”. “3t + 8 = 3(t +3)” “x3 = 8” “y > 5” b) Para las funciones proposicionales encuentra el o los valores de la variable para que resulten verdaderas. 2. Las funciones proposicionales 2x +3 = x + 5, 2x - x = 5 - 3 son equivalentes porque tienen la misma raíz x = 2. Las funciones proposicionales -3(2x +3) = x + 5, 2(3 – x) = - 5x también son equivalentes. Escribí el porqué.

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tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor

3. La igualdad -4(x + 1) = -4x - 4, ¿es verdadera para x = 0? ¿Y para x = ½? Encontremos, de ser posible, todos los valores de x para que resulte verdadera. 4. Analicemos el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifiquemos las respuestas. a) “La igualdad 2x – 3 = x – 1 es solo verdadera si x = -2”. b) “La igualdad 2 (x – 5) = -10 + 2x es siempre falsa”. c) “Las igualdades 3x – 7 = x + (-1)3 y -7 – (-1)3 = -3x + x resultan verdaderas para el mismo valor de x”. 5. a) Decidamos qué valor tienen que adoptar las letras para hacer verdaderas las siguientes igualdades: -(2x - 1) = 2(6,5 + x)

6x - 9 = 30

3(-x + 8) = x - 2

b) ¿Existe equivalencia entre algunas de esas ecuaciones? 6. Escribamos las siguientes condiciones como una ecuación y analicemos para qué valores resultan verdaderas. a) ¿Puede ser que si a un número lo multiplicamos por nueve, le sumamos dos, le sumamos quince y le restamos treinta, se obtenga como resultado el doble de ese número? b) ¿Puede ser que si a un número lo multiplicamos por cuatro, le restamos siete, le sumamos trece y le sumamos ocho, se obtenga el mismo resultado que si a ese número le restamos nueve, le sumamos siete, le sumamos cinco y finalmente le sumamos once?

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c) ¿Puede ser que si a un número lo dividimos por seis, le sumamos dos, le sumamos ocho y al resultado lo multiplicamos por tres, se obtenga la mitad de ese número? d) ¿Puede ser que si a un número le sumamos dos, lo multiplicamos por tres, le sumamos siete veces el número pensado y le sumamos seis, se obtenga el mismo resultado que si al doble de ese número le sumamos tres, multiplicamos el resultado por cinco y luego le restamos tres? 7. Analicemos la siguiente expresión: x2 - 6x = -5 a) ¿La expresión es verdadera si x = 2? ¿Y si x = 5? b) ¿Existe algún otro valor de x para que la expresión sea verdadera? 8. Una solución de la x2 - x - 3,75 = 0 es x = 2,5. a) Compruébenlo. b) Existe otro valor de x que hace que la expresión anterior sea verdadera, ¿cómo podemos obtenerlo? ¿Son válidas las técnicas empleadas hasta este momento? Ciertas funciones proposicionales son equivalentes a expresiones del tipo: ax2 + bx + c = 0, que también reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas. Las letras a, b y c son números dados y reciben el nombre de coeficientes. La letra x representa un valor que, al reemplazarlo por un número, hace que la función proposicional sea verdadera o falsa. En estas ecuaciones, para encontrar esos valores de x que cumplen la igualdad, se utiliza una relación entre los 36

tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor

coeficientes , conocida como fórmula resolvente. ¿Qué representa el símbolo ? Las ecuaciones cuadráticas poseen dos raíces. Utilizando la expresión alternadamente con el signo + y con el signo – es posible encontrarlas. 9. Dada la igualdad 2x + x2 = -1: a) ¿Cuál es el valor de cada uno de sus coeficientes a, b y c? b) ¿Cuántas y cuáles son las raíces de esta expresión? ¿Cómo se puede explicar eso? Todas las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado tienen dos raíces. Cuando el valor numérico de ambas es el mismo, se dice que es una raíz doble. 10. Analicen el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifiquen la elección. a) “La igualdad x2 + 2x = 3 tiene raíz doble”. b) “La igualdad x2 + 3x = x.(x + 2) + 1 es siempre falsa”. c) “La igualdad x2- 2x = 4 es verdadera solo para x = -1 y para x= 2”. d) “La igualdad 2.(x2 + 1) = x2 + 3 es siempre falsa”. e) “La igualdad x2 + 16 = 8x es verdadera solo para x = 4”. 11. a) Encuentren las raíces de la ecuación x2 = 1. ¿Cuántas raíces tiene? ¿Es necesario utilizar la fórmula resolvente para encontrarlas? 37

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b) Encuentren las raíces de la ecuación x2 = -1. ¿Cuántas raíces tiene? Como se mencionó en los capítulos sobre conjuntos numéricos, las necesidades humanas de dar respuesta a ciertas operaciones han dado lugar a la construcción de nuevos números. no posee solución en el conjunto de Por ejemplo, el cálculo los números reales, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado de por resultado -1. Para dar solución a esta cuestión, se crearon los números imaginarios. Si bien estos se utilizaron durante años como herramientas auxiliares de cálculo, recién en 1777 el matemático Leonhard Euler definió al número i como . Esto dio lugar a la posterior construcción del conjunto de los números complejos, al ser aquellos formados por un par ordenado de números, en los que el primer elemento representa la parte real y el segundo, la imaginaria. En el ejemplo analizado en el punto 11.b), x2 = -1, por lo que , entonces , con lo que la ecuación tiene dos raíces complejas: i y –i. 12. Dadas las siguientes funciones proposicionales calculemos, si existen, los valores reales para los cuáles las mismas resultan verdaderas. Indiquemos cuáles de ellas son equivalentes. a) 3x2 – 12x = 15

b) 2x2 + 2x = -3

c) 8x + 10 =2x2 d) x2 – 5 = 4x

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tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor

2.3. Cuando la cantidad de letras aumenta 13. La función proposicional 2x + 4 = 2y resulta verdadera cuando x = 4 e y = 6. a) Verifiquen que la proposición resulte verdadera para los valores dados. b) Indiquen al menos dos pares de valores para los cuáles la expresión resulte falsa. c) ¿La expresión resulta verdadera cuando x = 1 e y = 6? ¿Y cuando x = -1 e y = 1? d) Encuentren al menos dos pares de valores x e y, de tal manera que la expresión resulte verdadera. ¿Cuántos pares de valores cumplen esa condición? Las funciones proposicionales, como las del problema anterior, tienen soluciones que son pares ordenados de números (x; y). Así, aquellos pares de números que al reemplazarlos en las letras correspondientes hagan que la igualdad resulte verdadera serán soluciones de la ecuación. Una forma de analizar el conjunto solución de este tipo de igualdades es transformarlas en ecuaciones equivalentes donde una de las letras quede expresada en relación a la otra. Para la expresión 2x + 4 = 2y, una expresión equivalente es y = x + 2. Así, para cada valor real de x, existe un valor de y, también real, de modo que se cumpla la igualdad. Por lo que la solución de esta función proposicional está compuesta por infinitos pares ordenados (x; y) de números reales. 39

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14. Dadas las siguientes igualdades: I) -4x + y = -2 II) x + 1 + y = 4 III) -4x + 2 = 12 – 2y IV) 2.(2x – 1) = y a) Indiquen para cuál o cuáles de ellas el par (1; 2) es una solución. b) Indiquen cuáles de ellas son equivalentes. ¿Alcanza con que posean una solución en común para que lo sean? ¿Por qué? 2.4. Más actividades 15. Expliquen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) x2 es siempre positivo o nulo. b) x3 es siempre positivo o nulo. c) Si x