ALGUNS DADOS QUE ALUNOS E PROFESSORES DEVEM SABER SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. Jorge Cruz Agrupamento de Escolas nº 1 de Beja - Beja
[email protected] Texto: Comunicação Oral
Resumo: Esta comunicação apresenta, a propósito da resolução de um problema retirado do estudo PISA, alguns aspetos importantes em resolução de problemas. Escolheu-se um problema onde os resultados dos alunos portugueses foi bastante baixo e deu-se esse problema a resolver a um grupo restrito de 3 alunos, os quais obtiveram boa prestação na tarefa. Procura-se, através da apresentação das características destes alunos estudados, bem como de aspetos metodológicos presentes na investigação, fornecer dados relevantes a considerar do ponto de vista didático em resolução de problemas. Palavras-chave: Resolução de problemas; formulação de problemas; avaliação da resolução de problemas.
1. Introdução A justificação da importância de estudos educativos com alunos, baseados em instrumentos de recolhas de informação constituídos por problemas de matemática, encontra apoio em abundante literatura disponível. O caminho começado em termos educativos com o trabalho de Polya (1957), “How to solve it”, com primeira edição em 1945, introduz o estilo heurístico de resolução de problemas o qual ganha presença nos currículos à escala global a partir dos desenvolvimentos dados por documentos emanados pelo NCTM. As normas - Standards - propostas para os vários anos de escolaridade começam em todos eles por: “A matemática como Resolução de Problemas” (NCTM, 1989, p. 29, 89 e 163). Principles and Standards, (NCTM, 2000) apresenta para todos os níveis de ensino (K-12) a resolução de problemas como o primeiro dos cinco “processos” matemáticos a desenvolver nos alunos.
Törner, Schoenfeld and Reiss (2007), com Problem Solving around the world, uma compilação de artigos oriundos de várias partes do globo, continuam a concluir sobre a continuidade da proeminente posição que a resolução de problemas ocupa a nível mundial aos seja na educação matemática e seja na investigação na área. O PME, tem dedicado importante relevo ao tema, ampliando-o, como acontece com a publicação da revista Educational Studies in Matemathics (2013), onde é dado especial destaque a investigações sob o tema Problem Posing. Vários autores têm salientado que a formulação de problemas (Problem Posing), em contraste com a resolução de problemas, tem recebido menor atenção nos programas e na sala de aula (Brown and Walter, 1983; Kilpatrick, 1987, citados em Cai e Hwang, 2002). Esta é considerada uma área emergente e, simultaneamente, uma significativa ferramenta para o ensino (Singer, Ellerton e Cai, 2013). Schoenfeld (1992) faz uma revisão de literatura e conclui que as tentativas para ensinar estratégias para resolver problemas não foram bem sucedidas. Schoenfeld (2005) insiste na mesma ideia. Cruz (2003) concluiu, através de um estudo com alunos de 12 e de 14 anos, que os mais velhos não eram melhores na mobilização de recursos, na aplicação de heurísticas e na verificação/controlo dos seus processos. Por outro lado, os que obtinham melhor resultado escolar (independentemente da idade) mostravam melhores resultados em resolução de problemas nas categorias analisadas (Cruz e Carrillo, 2004). O presente artigo tem como referentes: - o modelo de competência em resolução de problemas de Schoenfeld (1985; 1992) Recursos; Heurísticas; Controlo; Crenças.; - os resultados de Cruz (2003, 2004) que encontram suporte em linhas de investigação em resolução de problemas com alunos com bons resultados escolares; - a conjetura de Kilpatrick (Kilpatrick, 1987, citado por Cai e Hwang, 2003; Goldenberg e Walter, 2006) sobre a importância da formulação de problemas como ferramenta para ajudar a resolver problemas e simultaneamente como medida dessa capacidade de os resolver; Procedeu-se a um desenho metodológico capaz de identificar/validar estas características dos alunos, importantes para a resolução de problemas.
Formularam-se então as seguintes perguntas: Que características possuem os alunos com melhores resultados em resolução de problemas? Porque são eles melhores? Que contextos educativos podemos proporcionar para fazer emergir boas características para resolver problemas?
2. Metodologia Num grupo de 27 alunos de 14 anos (9º ano), observaram-se os resultados escolares e aplicou-se o questionário Vila (2001) para deteção de crenças favoráveis (relativas à matemática e à resolução de problemas). Desse grupo, selecionaram-se 3 alunos, escolhidos por terem, cumulativamente, bons resultados em matemática e boas crenças relativamente à matemática e à resolução de problemas. Aplicaram-se 12 problemas (esta comunicação traz apenas a análise de um deles). Desta forma, não serão aqui feitas referências a todos os instrumentos utilizados nessa investigação mais ampla, mas apenas aos pertinentes para compreender a análise do problema escolhido. Antes de apresentar aos alunos o problema para resolver, aplicou-se um questionário Pré-RP e, depois da conclusão da resolução, um questionário Pós-RP. Estes questionários foram desenhados para obterem informação sobre a compreensão dos alunos acerca dos problemas e das suas capacidades para os resolverem. Estes questionários visam favorecer o autoquestionamento ou metacognição, na aceção da Flavel (1976). A análise foi feita através do instrumento adaptado de Efklides (2006) para classificar conhecimento metacognitivo e experiências. O problema envolvia, além da resolução da questão colocada, a reformulação do mesmo. Foi pedido aos alunos que criassem outro problema passível de ser resolvido de forma semelhante. Por outras palavras, pretendia-se um problema com a mesma estrutura matemática. Esta análise foi realizada à luz dos instrumentos de Cai e Hwang (2003) – codifica os problemas em Não extensão, Extensão, Outra - e de Leung (1997) – estrutura do problema.
O nível de consecução da resolução do problema foi analisado segundo vários instrumentos, dos quais apenas importa de momento fazer referência a Herr e Johnson (1994) (modificado) – referente a níveis de consecução das fases de RP, cujos resultados serão apresentados. O problema proposto, selecionado entre os itens libertos do PISA, 2003, ao qual foi acrescentada a alínea c), relativa à sua reformulação, encontra-se no quadro 1. Problema A figura mostra as pegadas de um homem a andar. O comprimento do passo, P, é a distância entre a parte de trás de duas pegadas consecutivas. n 140 Para os homens, a fórmula P estabelece uma relação aproximada entre n e P, em
que n = número de passos por minuto, e P = comprimento do passo em metros. a) Se esta fórmula se aplicar ao caminhar do Pedro e ele der 70 passos por minuto, qual é o comprimento do passo do Pedro? b) O Bernardo sabe que o comprimento do seu passo é de 0,80 metros. A fórmula aplica-se ao caminhar do Bernardo. Calcule, em metros por minuto e em quilómetros por hora, a velocidade a que o Bernardo caminha. c) Depois de resolver, formule um problema que se resolva do mesmo modo.
Quadro 1: Problema para resolver e reformular/Adaptado de Itens Livres PISA 2003.
3. Análise de resultados. Os alunos portugueses registaram níveis de proficiência bastante baixos na resolução do problema aquando da aplicação do referido ciclo do PISA. Pretendia-se verificar se os alunos em estudo registariam melhores resultados e, nessa hipótese, compreender
porque o fizeram. Os resultados do PISA registam 36,6% de codificações máximas para a questão a) e 4,6% de codificações máximas para a questão b) o que traduz um resultado bastante baixo. Os três alunos estudados, aqui designados por Clara, Rafael e Laura, registaram 10 pontos, 9 pontos e 10 pontos, respetivamente, no instrumento (modificado) Herr e Johnson (1994) que codificava num máximo total de 10 pontos os descritores do desempenho dos alunos na resolução de problemas. Este instrumento permite ainda verificar, segundo as fases: Compreensão, Escolha da Estratégia, Implementação da Estratégia, Obtenção da Resposta, Explicação, a prestação dos alunos. A análise do conteúdo dos questionários pré-RP e pós-RP permitiram verificar aspetos positivos dos alunos relativamente ao conhecimento que possuem sobre si próprios, sobre as tarefas, sobre as estratégias a usar, sobre o grau de dificuldade das tarefas propostas1. Pedia-se, na alínea c) do problema, a sua reformulação, mantendo a mesma estrutura “que se resolva do mesmo modo”. Desta análise, referente ao problema em questão, obtiveram-se os resultados apresentados no quadro 2. Aluno
Clara
Rafael
Laura
Classificação do problema reformulado pelo aluno Problema de Matemática; Plausível; com dados Suficientes; com Extensão (Extensão). PMPS-E Problema de Matemática; Plausível; com dados Suficientes; com Outra estrutura. PMPS-O Problema de Matemática; Plausível; com dados Suficientes; com a mesma estrutura (Não Extensão). PMPS-NE Quadro 2: Classificação dos problemas reformulados pelos alunos.
Desta análise claramente se observa que os alunos estudados tiveram uma prestação, enquanto solucionadores de problemas, bastante superior aos seus colegas que integraram o estudo PISA, conforme esperado. É coerente considerar que os aspetos
1
Esta análise não foi toda ela conseguida a partir do problema aqui apresentado. Lembre-se que se analisaram 12 problemas de onde os dados aqui avançados são oriundos.
relevantes evidenciados por estes três alunos, bem como o contexto que envolveu a experiência, podem ter sido propiciadores de tais prestações.
4. Conclusões. A comunicação baseada no presente artigo, devido à sua curta duração, não permite apresentar os doze problemas nem tão pouco a análise respetiva. Os dados resultantes da análise de um só problema não poderiam ser convertidos em conclusões, por escassa evidência empírica. Assim, as conclusões apresentadas resultam da análise dos 12 problemas apresentados aos alunos. Não obstante, algumas das conclusões correspondem a dados observados também na análise do problema aqui apresentado. Verificou-se que os alunos estudados revelaram uma boa capacidade de mobilização de recursos e de heurísticas e, sobretudo, fizeram-no com um nível de abstração assinalável. Estes alunos têm consciência das suas capacidades, conhecimentos e dificuldades e ainda sobre as tarefas. Evidenciaram ter significativa compreensão da estrutura dos problemas, uma vez que conseguiram reformular problemas mantendo a estrutura dos problemas resolvidos na maioria das situações propostas. Conclui-se sobre a importância do reforço dos aspetos metacognitivos. A aplicação de questionários do tipo dos usados (Pré-RP e Pós-RP) reforçam o autoquestionamento, favorecem a metacognição e as decisões sobre conteúdo e estratégias a mobilizar. Conclui-se
ainda
sobre
a
importância
de
tarefas
onde
seja
pedida
a
reformulação/formulação de problemas. Esta atividade força os alunos a compreender a estrutura matemática dos problemas e a desenvolverem pensamento mais abstrato e de carácter mais genérico, transponível a situações similares. O reforço dos aspetos metacognitivos e a proposta de reformulação/formulação de problemas parecem, assim, ser dois aspetos a incluir com maior frequência nas aulas com vista a fazer emergir nos alunos melhores capacidades de resolver problemas.
5. Referências.
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