ANÁLISE DA DINÂMICA DE UM MODELO DE UM CONVERSOR BUCK EM MODO DE CONDUÇÃO DESCONTÍNUA

PR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação

Relatório Final de Atividades

ANÁLISE DA DINÂMICA DE UM MODELO DE UM CONVERSOR BUCK EM MODO DE CONDUÇÃO DESCONTÍNUA vinculado ao projeto Estatística de sistemas dinâmicos não-sombreáveis

Thales Miquéias dos Santos Bolsista Fundação Araucária Engenharia Eletrônica Data de ingresso no programa: 10/2015 Prof. Dr. Rodrigo Frehse Pereira

Área do Conhecimento: Sistemas Dinâmicos

CAMPUS PONTA GROSSA, 2016

ANÁLISE DA DINÂMICA DE UM MODELO DE UM CONVERSOR BUCK EM MODO DE CONDUÇÃO DESCONTÍNUA Thales Miquéias dos Santos[Bolsista Fundação Araucária]1 , Rodrigo Frehse Pereira[Orientador]2 1

Depto. Acadêmico de Engenharia Eletrônica - DAELE 2

Depto. Acadêmico de Matemática - DAMAT Campus PONTA GROSSA Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Av. Monteiro Lobato s/n Km 3 84016-210, Jardim Carvalho - Ponta Grossa/PR [email protected], [email protected]

Resumo - A teoria de sistemas dinâmicos, que engloba a teoria do caos, fornece ferramentas muito convenientes e relevantes para se analisar problemas de diversas áreas, incluindo os da engenharia elétrica. Neste trabalho será apresentado um conversor buck CC/CC operando em malha fechada com ganho proporcional e modulação PWM. Os valores dos componentes são escolhidos de tal forma a permitir a operação do conversor no modo de condução descontínua, isto é, a corrente é sempre nula no início de cada ciclo PWM. A abordagem é baseada no mapa unidimensional apresentado por Tse [1] que produz um modelo discreto aproximado para a tensão de saída do sistema. São apresentados os diagramas teia de aranha para as órbitas de período 1, 2, 3, 4 e em regime caótico. Será discutido quais valores atribuídos ao parâmetro de controle ganho proporcional produzem algumas órbitas estáveis e quais introduzem caos ao sistema. Um caso de órbita de período 3 será apresentado e discutido. Neste trabalho serão definidos mapas unidimensionais discretos, apresenta-se o conversor buck e também um modelo discreto que fornece sua dinâmica. Será discorrido também sobre a construção dos mapas e seu comportamento dinâmico. Algumas ferramentas de análise da dinâmica são utilizadas, como por exemplo diagramas de teia de aranha e de bifurcação. As ferramentas utilizadas para análises de mapas unidimensionais se mostraram muito eficientes para determinar a dinâmica do conversor buck e para entender melhor seu funcionamento e regime de operação.

Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos; Teoria do Caos; Mapas Unidimensionais; Conversor Buck. INTRODUÇÃO O estudo de sistemas dinâmicos não-lineares, também chamado erroneamente em muitos casos de teoria do caos, é visto muitas vezes como uma área puramente teórica nos campos de matemática e física. De fato, tal área tem origem no final do século XIX com o estudo dos três corpos redigido por Henry Poincaré na ocasião em que ganhou um prêmio do Rei Oscar II da Suécia e Noruega em 1889 [2]. Diversos fatores, dentre eles, a inexistência de computadores digitais na época, fez com que esta área ficasse adormecida no campo das aplicações até a década de 60, período em que Edward Lorenz, trabalhando em um modelo meteorológico simplificado, descobriu que pequenas variações nas condições iniciais do sistema causavam resultados completamente diferentes, aperiódicos e descorrelacionados em tempos futuros. Sabe-se hoje que sistemas muito simples podem apresentar caos e que um dos requisitos básicos para isso é a existência de não-linearidades nos sistemas dinâmicos [3]. Muitas áreas se beneficiam da teoria de sistemas dinâmicos, desde biologia e química até problemas de engenharia [4]. Dentro da área de eletrônica de potência, conversores de energia são modelados por equações não lineares, que por sua vez ocupam o centro dos estudos deste ramo da engenharia elétrica. O desenvolvimento de melhores transistores de potência, diodos retificadores, tiristores, dentre outros, são provenientes do desejo de se aumentar a eficiência dos conversores, melhorando assim a qualidade no processamento de energia e diminuindo seu desperdício. Nesta linha, existem 4 tipos de

conversores: CC/CC, CC/CA, CA/CC e CA/CA [5]. Um dos mais simples e úteis, utilizado para rebaixar níveis de tensão em corrente contínua é o conversor buck [6]. Os componentes básicos dos conversores são os dispositivos de chaveamento (diodos, transistores, etc.) e os armazenadores de energia (capacitores e indutores). Os semicondutores utilizados para esta aplicação já possuem intrinsecamente fontes de não-linearidade, isto é, a tensão e/ou corrente de saída não caracterizam uma combinação linear da entrada. Além deles, indutores também podem apresentar tal característica (na saturação de um transformador, por exemplo), além é claro dos circuitos de controle, que são os principais responsáveis por não-linearidades. Para que um conversor buck possa manter um nível constante de tensão na saída independentemente do consumo de corrente da carga, é necessário que haja um sistema de realimentação em malha fechada para fazer o controle do mesmo. Nesses sistemas é muito comum o uso de comparadores, saturadores, modulação por largura de pulso (PWM - do inglês Pulse Width Modulation), controladores digitais e muitos outros [6]. xn+1 = f (xn , µk )

n = 0, 1, 2, ...

(1)

Neste trabalho será estudado o mapa da forma (1) apresentado por Tse [1], o qual fornece a dinâmica aproximada do conversor buck operando em malha fechada com um controlador simples, composto apenas por um ganho proporcional. A tensão de saída em volts (V) do conversor no enésimo período de chaveamento é denotada aqui por xn e o ganho do controlador proporcional por µk .

METODOLOGIA

dn =

tc Ts

(2)

A Figura 1 apresenta o circuito de um conversor buck. Vin é a tensão de alimentação do circuito, fs é a frequência de chaveamento, d é o duty cicle do enésimo período, definido pela equação (2), onde tc é o tempo de condução e Ts é o período PWM, D é o diodo de roda-livre do circuito, L é a indutância, C a capacitância e R a resistência da carga, por fim, v e i são a tensão de saída do conversor e a corrente no indutor respectivamente [6].

Figura 1: Conversor CC/CC buck em malha aberta (Adaptado de Banerjee & Verghese [6]).

A chave S é considerada ideal e recebe modulação PWM. Os valores de L e C são escolhidos de tal modo a permitir que o conversor opere no modo de condução descontínua, isto é, a corrente do circuito pode ser nula em determinado momento. A operação do circuito pode ser dividida em três etapas: • S conduzindo, D bloqueando; • S bloqueando, D conduzindo; • S e D bloqueando.

Na primeira etapa, inicialmente a corrente i é nula, o diodo D é polarizado reversamente e a corrente começa a crescer em módulo circulando pelo indutor L, carregando o capacitor C e elevando o nível de tensão v da saída. Quando a chave então é aberta na segunda etapa, o indutor mantém a corrente circulando por um intervalo de tempo, pois o mesmo não permite a variação instantânea da corrente, colocando o diodo D em polarização direta e mantendo o fluxo de corrente para o circuito RC. Na terceira e última etapa a chave permanece fechada e a corrente sobre o indutor se torna nula, colocando o diodo D novamente em polarização reversa, o capacitor, porém, se descarrega na carga evitando que a tensão de saída se anule, desde que um valor de capacitância apropriado tenha sido escolhido. Estas três etapas ocorrem dentro de um período Ts = 1/fs . No próximo período Ts , o mesmo ciclo se repete partindo da primeira etapa. A Figura 2 apresenta o esquema do circuito com realimentação feedback, onde Vramp é a tensão a ser comparada com o erro para produzir o sinal PWM. O amplificador A possui ganho de controle µk . Vcon é o erro com ganho µk entre a tensão de referência Vref (valor de saída desejado ou sinal modulante) e a tensão instantânea na saída (v). O comportamento dinâmico da saída será estudado tomando µk como parâmetro de controle. Será mostrado que para diferentes valores de µk , o sistema pode apresentar uma única solução de equilíbrio estável, que coincide com Vref , ou ainda oscilações de período 2, 4, 8 e assim por diante, podendo inclusive apresentar caos.

Figura 2: Conversor CC/CC buck em malha fechada (Adaptado de Banerjee & Verghese [6]).

Uma vez que o conversor opera em modo de condução descontínua e a corrente é nula no início de cada ciclo PWM, é possível obter um mapa de primeira ordem que modele de maneira aproximada, mas satisfatória, a dinâmica do conversor buck [6]. De fato, a equação (3) apresentada por Tse, fornece justamente o modelo mencionado, no qual cada iteração produz a tensão de saída no instante nTs para todo n inteiro positivo [1]. βd2 Vin (Vin − xn ) xn com xn = v(tn ) = v(nTs ) Ts2 Ts + α=1− 2 C(R + rc ) 2C (R + rc )2 RTs2 β= 2LC(R + rc )

f (xn ) = xn+1 = αxn +

(3) (4) (5) (6)

Para o conversor em malha fechada, Tse [1] substitui d por h(dn ), sendo h(.) a função saturação unitária e dn agora varia de acordo com o valor atual da saída, conforme equações (3), (7) e (8). dn =

Vref − µk (xn − Vin ) Vin

(7)

 dn < 0  0 se 1 se dn > 1 h(dn ) =  dn caso contrário

(8)

Para o estudo do modelo dado pela equação (3), serão utilizados os mesmos valores para as constantes utilizadas por Tse [1]. Assim, tem-se que T/RC = 0, 12, RT/L = 20, Vin = 33V e Vref = 25V. O sistema então fica representado pela equação (9), que fornece a saída em volts (V) do conversor em malha fechada. 39, 6(33 − xn )[h(dn )]2 xn dn = 0, 4717 − µk (xn − 25)

xn+1 = 0, 8872xn +

(9)

com,

(10)

A equação (9) permite que a dinâmica do conversor buck seja analisada para diferentes valores do parâmetro µk na equação (10). De fato, como será mostrado na próxima seção, o conversor apresenta mudanças qualitativas nas tensões de saída observadas para diferentes valores de µk . De acordo com as constantes estipuladas, é importante destacar que a função de referência desejada na saída do conversor é de 25 V, isto é, deseja-se que uma tensão neste valor seja entregue à carga independentemente de flutuações da corrente.

RESULTADOS E DISCUSSÕES À partir da equação (9), foi construído o diagrama de bifurcação do sistema. Tal diagrama apresenta a evolução da dinâmica do conversor buck para diferentes valores do parâmetro µk . Na construção deste diagrama, escolhe-se um valor para µk e realiza-se um número de iterações suficientes para que a saída fique em regime permanente. Neste caso, foram feitas 1000 iterações, variou-se µk numa faixa que vai de 0,1 à 0,26 com passo de 10−6 . Foram então selecionados os 30 últimos valores de xn para o respectivo µk . Na mesma imagem são mostradas ainda as retas que delimitam algumas regiões em que há mudança qualitativa na dinâmica do sistema com seus respectivos valores de parâmetro crítico, que por sua vez foram analisados de forma gráfica.

Figura 3: Diagrama de bifurcação do conversor buck em malha fechada (fonte: o autor).

Será discutido o comportamento dinâmico para µk crescente iniciando em 0,1. Definido isto, observa-se na imagem que até µk = 0, 1189, todas as órbitas (trajetórias) são estáveis e convergem para xn = 25. Após µk = 0, 1189, xn = 25 continua sendo uma solução de equilíbrio, porém torna-se instável dando lugar a órbitas de período 2 estáveis. Tais trajetórias permanecem assim até µk = 0, 1603, momento em que estas órbitas de período 2 também se tornam instáveis e dão lugar a novas órbitas estáveis, desta vez de período 4. Ao passo que µk vai aumentando, mais órbitas estáveis com o dobro do período da anterior vão se formando. Nas regiões mais escuras do diagrama de bifurcação da Figura 3, as órbitas tornam-se aperiódicas e caóticas [1]. Um comportamento muito interessante é a janela periódica que surge quando µk está aproximadamente entre 0,2116 e 0,2209, pois surge uma nova cascata de duplicação de período (3, 6, 12...) e então voltam a se tornar caóticas [3, 1]. Os diagramas teia de aranha são ferramentas gráficas muito úteis para análise da dinâmica de sistemas. A Figura 4 apresenta 6 órbitas, cada uma gerada com µk em diferentes regiões do diagrama de bifurcação. Em 4a, como se pode ver seguindo a linha vertical iniciada no eixo das abscissas, a órbita começa em xn = 23 e fica mais próxima de xn = 25 a cada iteração, que para este caso é um ponto fixo estável. Em 4b, é bastante claro que o ponto fixo xn = 25 se tornou instável, mais do que isso, ele deu lugar a uma órbita de período 2 estável. Em 4c o que se observa é que, apesar de ter se iniciado aproximadamente em um ponto crítico estável para órbitas de período 2, este se tornou instável na situação em que µk = 0, 169, além de ter dado lugar a uma órbita de período 4 estável. Para um caso em que µk = 0, 175, é possível ver em 4d que não existe um período definido para a correspondente órbita, pois como se vê no diagrama de bifurcação, para este valor de parâmetro o sistema torna-se caótico. Uma órbita de período 3, com condição inicial no ponto fixo xn = 25, agora instável, pode ser vista em 4e. A peculiaridade deste comportamento baseia-se no fato de o sistema, antes caótico, tornar-se periódico novamente, justificando o termo "janela periódica". Por fim, em 4f, observa-se mais um caso de órbita caótica, desta vez também com condição inicial em xn = 25. Como pode ser visto, as primeiras iterações quando a condição inicial é um ponto fixo instável devido a órbitas de periodicidade inferiores, leva-se um certo número de iterações até que a órbita se afaste de fato daquele ponto, como fica bastante evidente em 4b e 4e. A Figura 5 apresenta a evolução temporal das órbitas para cada caso apresentado na Figura 4. Comparando 5a com 5b, fica claro que no segundo caso, o ponto fixo xn = 25 deu origem a uma órbita de período 2. As Figuras 5d e 5f, como previsto no diagrama de bifurcação, são caóticas e portanto não apresentam periodicidade, valendo ressaltar que esta aperiodicidade é permanente [3]. Outra característica importante de sistemas caóticos é a hipersensibilidade às condições iniciais, isto é, para o mesmo sistema, via de regra pequenas mudanças nas condições iniciais provocam órbitas com trajetórias complemente diferentes após um certo período de tempo. A Figura 6 ilustra exatamente isto, órbitas com µk = 0, 26 e condições iniciais diferindo de 10−3 possuem dinâmicas parecidas até a quarta iteração, mas se diferem a partir da quinta, tornando-se descorrelacionadas. Outras análises visualmente interessantes, que até ajudam a esclarecer as discussões anteriores sobre o comportamento dinâmico, podem ser realizadas ao se construir um gráfico do mapa (1) atribuindose um valor constante para o parâmetro. O mapa então torna-se uma função de uma variável. A Figura 7 mostra o gráfico do mapa da terceira iterada do sistema, isto é, um mapa da forma f 3 (x) = f (f (f (x))). Em 7a, há sete pontos fixos dados pela interseção f 3 (x) = x, sendo que os estáveis são de período 3, uma vez que representa o mapa quando µk = 0, 214. Comparando esta imagem com as Figuras 4e e 5e, é possível observar que os pontos fixos de tais figuras podem ser vistos em 7 como sendo os pontos onde o mapa toca a reta identidade e cujas derivadas são menores que 1 em módulo. As retas tracejadas foram inseridas para facilitar a avaliação das derivadas nos pontos fixos. Os demais pontos onde a curva cruza a reta identidade são pontos fixos de ordens iguais ou inferiores instáveis. O ponto fixo de ordem

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 4: Diagramas de teia de aranha do mapa (9): (a) órbita de período 1; (b) órbita de período 2; (c) órbita de período 4; (d) órbita caótica; (e) órbita na janela periódica de período 3; (f) órbita caótica após duplicação em cascata de período 3 (fonte: o autor). 1 xn = 25, por exemplo, aparece entre os pontos de intersecção. Os outros 3 pontos fixos que aparecem são instáveis e de período 3. Qualquer órbita deste mapa será repelida dos pontos críticos instáveis e atraídas para os estáveis, formando uma órbita de período 3 estável. As Figuras 7b, 7c e 7d, mostram em detalhes os pontos fixos estáveis. Como se pode ver, geometricamente os três pontos satisfazem a condição de estabilidade pois nos três casos o módulo de suas respectivas derivadas são menores que 1, isto é, sendo pk qualquer um dos pontos fixos estáveis, |(f 3 )′ (pk )| < 1 é satisfeita [3].

CONCLUSÕES A área de aplicações dos sistemas dinâmicos tem se desenvolvido muito rapidamente desde a década de 1960 [2]. Desde Poincaré foram desenvolvidas diversas ferramentas para análise de sistemas dinâmicos, tanto em tempo contínuo quanto em tempo discreto. Para mapas discretos, os diagramas de bifurcação fornecem uma forma visual muito poderosa que permite analisar de maneira muito simples como as órbitas estáveis dos sistemas se desenvolvem com a variação de parâmetros. Com tal ferramenta, torna-se possível avaliar de maneira rápida as regiões que podem apresentar caos ou não, além de permitir a visualização de duplicação em cascata das órbitas. O diagrama teia de aranha, por sua vez, fornece as trajetórias de órbitas dadas por certas condições iniciais, permitindo visualizar geometricamente a localização e estabilidade dos pontos fixos existentes. Outra forma interessante de se utilizar esta ferramenta é por meio de composições do mapa nele mesmo, como feito para o mapa de período 3. Portanto, conforme demonstrado neste trabalho, o modelo discreto obtido por Tse [1] permitiu que fossem feitas análises qualitativas em um sistema real, fazendo com que a teoria de sistemas dinâmicos pudesse ser utilizada para um problema prático dentro da eletrônica de potência. Para sistemas contínuos, análises similares também foram desenvolvidas em outros trabalhos e literaturas. Strogatz [4] por

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 5: Tensão de saída em função do tempo: (a) órbita de período 1; (b) órbita de período 2; (c) órbita de período 4; (d) órbita caótica; (e) órbita de período 3; (f) órbita caótica (fonte: o autor).

Figura 6: Comparação entre órbitas com valores iniciais ligeiramente diferentes (fonte: o autor). exemplo apresenta diversas aplicações de ferramentas de sistemas dinâmicos para estes casos, discutindo inclusive diversos tipos de bifurcação que podem aparecer.

AGRADECIMENTOS O autores gostariam de expressar seus agradecimentos à Fundação Araucária pelo suporte financeiro dado à pesquisa, a qual resultou neste trabalho. Também agradecimentos vão à Universidade Tecnológica Federal do Paraná campus Ponta Grossa, pela estrutura fornecida bem como por incentivar e apoiar de maneiras diretas e indiretas o desenvolvimento da pesquisa, multiplicação do conhecimento e troca de informações entre alunos e professores de diversas áreas de atuação.

(a)

(b)

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(d)

Figura 7: Composição de ordem 3: (a) mapa da terceira iterada; (b) primeiro ponto fixo estável; (c) segundo ponto fixo estável; (d) terceiro ponto fixo estável (fonte: o autor). REFERÊNCIAS [1] TSE, C. K. Chaos From a Buck Regulator Operating in Discontinuous Mode. International Journal of Circuit Theory and Applications, Vol. 22. 263-278, 1995. [2] HOLMES, P.; Ninety Plus Thirty Years of Nonlinear Dynamics: Less is More and More is Different. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 15, 2703 (2005). [3] ALLIGOOD, K.; SAUER, T.; YORKE, J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer, New York, 1996. [4] STROGATZ, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering 1st. Perseus Books Publishing 1994. [5] BARBI, I. Eletrônica de Potência - 3. ed. Florianópolis: Ed. do Autor, 2000. [6] BANERJEE, S.; VERGHESE G. C. Nonlinear phenomena in power electronics: attractors, bifurcations, chaos, and nonlinear control. Wiley-IEEE Press, 2001.