ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE ESTRUTURAS RETICULADAS VIA ANÁLISE LIMITE Guilherme Barros André Pereira
[email protected] [email protected] Universidade Federal Fluminense – UFF / Escola de Engenharia / Laboratório de Simulações Computacionais – LSC Rua Passo da Pátria, 156 – Sala 244A, Bloco E, São Domingos – Niterói – CEP: 24210-240 Resumo. Neste trabalho são apresentadas técnicas para efetuar Análise de Confiabilidade quanto ao colapso plástico de estruturas reticuladas planas via Análise Limite. A Análise Limite pode ser classificada dentro da área da Análise Plástica de Estruturas e tem como principal objetivo descobrir quão resistente é uma dada estrutura. Mais especificamente, busca-se estimar o fator pelo qual o carregamento atuante deve ser majorado para que a estrutura colapse. Isto ocorre quando a estrutura aporticada é transformada em um mecanismo devido à formação de um determinado número de rótulas plásticas. Esse fator de colapso plástico é um dos mais importantes resultados de uma análise estrutural plástica, pois é útil na avaliação da segurança estrutural, auxiliando no projeto de estruturas dúcteis, possibilitando estruturas mais confiáveis e econômicas. O presente trabalho aborda ainda o comportamento aleatório das variáveis envolvidas na análise, resistências e solicitações, permitindo um projeto baseado em confiabilidade a partir da carga de colapso da estrutura. Ressalta-se que o dimensionamento realizado por intermédio da análise proposta garante a segurança pré-estabelecida em relação ao colapso plástico, o que não acontece comumente no dimensionamento convencional. Essa forma de colapso será preponderante no caso de estruturas não esbeltas, nas quais a carga de colapso será menor que a carga crítica. Palavras-chave: Análise de Confiabilidade, Análise Limite e Estruturas Reticuladas
CILAMCE 2014 Proceedings of the XXXV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering Evandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortaleza, CE, Brazil, November 23-26, 2014
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE ESTRUTURAS RETICULADAS VIA ANÁLISE LIMITE
1
INTRODUÇÃO
O projeto e o dimensionamento de uma estrutura têm por objetivo garantir a segurança da estrutura quanto ao colapso, mantendo, ao mesmo tempo, suas condições de funcionalidade para as cargas de serviço. As crescentes exigências de avaliação apurada da segurança e do comportamento das estruturas têm levado ao desenvolvimento de novos métodos de análise, dimensionamento e verificação estrutural. As metodologias de projeto convencionais possibilitam ao projetista definir quão seguro está um elemento estrutural por si só, sem permitir, contudo, uma avaliação da segurança da estrutura em sua totalidade. Estruturas hiperestáticas são capazes de resistir às solicitações ainda que tenha havido falha de um elemento estrutural. Isso se deve ao fato dessas estruturas serem capazes de redistribuir os esforços internos. Desse modo, deve-se prever, na fase de verificação estrutural, a real segurança global que a estrutura irá dispor a fim de analisar sua adequabilidade ao projeto. Surgem então os projetos estruturais baseados no comportamento plástico dos materiais. Em tais procedimentos de projeto, o objetivo principal não é determinar a distribuição de tensões na estrutura. Busca-se, na verdade, determinar a carga limite que a estrutura é capaz de suportar antes do colapso. Quando as cargas são aumentadas monotonicamente até o ponto em que a estrutura não consiga mais suportá-las, o corpo é dito haver atingido o colapso e a carga correspondente é chamada carga de colapso, carga limite ou carga última. A razão entre o carregamento último da estrutura e o inicialmente aplicado é denominado fator de colapso. Esse fator fornece uma estimativa da segurança estrutural, pois indica quão distante a estrutura está do colapso, mesmo após um elemento isolado ter esgotado sua resistência. Ao estado de deformação do corpo nesse instante dá-se o nome de mecanismo de colapso. O processo de aumento monotônico da carga pode ser simulado através de uma análise elastoplástica. Contudo, essa estratégia apresenta, o inconveniente de ter que resolver um sistema de equações não lineares, sendo bastante complexo e computacionalmente custoso. Tendo em vista que o principal interesse, em nível de segurança estrutural, está somente na carga última, a Análise Limite (AL) é mais recomendável, pois se pode escrever o problema na forma de programação matemática e encontrar eficientemente o fator de colapso da estrutura, através de algoritmos de otimização apropriados. Nas aplicações gerais de engenharia, não se conhece valores determinísticos para a tensão de escoamento do material e cargas aplicadas. Desse modo, para avaliação da segurança estrutural é preciso tratar as incertezas das variáveis envolvidas. As incertezas presentes nos parâmetros do material são decorrência dos processos de fabricação, nos quais é impossível garantir que todo volume apresenta a mesma composição. Já no caso das solicitações, as incertezas são ainda maiores, pois dependem, entre outras, de ações da natureza (e.g. vento, ondas, chuva, terremoto e etc.), que na melhor hipótese se conhecem registros históricos. Por essa razão, as metodologias de projeto buscam, de diferentes maneiras, tratar as incertezas, de forma a conferir à estrutura a melhor relação possível entre segurança e economia. A metodologia de cálculo mais antiga, o Método das Tensões Admissíveis, preza pela divisão da tensão de escoamento por um parâmetro denominado coeficiente de segurança. É através desse coeficiente que se busca tratar todas as incertezas presentes no processo. O Método dos Estados Limites, no qual as normas brasileiras atuais se baseiam, recomenda diferentes coeficientes nos diversos tipos de carga, majorando-as, e para os materiais, minorando sua resistência. Todavia, nenhum desses procedimentos permite avaliação da probabilidade de falha do projeto. CILAMCE 2014 Proceedings of the XXXV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering Evandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortaleza, CE, Brazil, November 23-26, 2014
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Obter a probabilidade de falha de modelos estruturais levando-se em consideração as incertezas é o objetivo principal dos métodos de análise de confiabilidade. Pode-se entender como falha o não atendimento da estrutura aos objetivos para os quais ela foi concebida. Uma vez que um cenário de falha ocorre, prejuízos tanto da ordem material como de segurança podem acontecer. Considerando-se que sempre existe o risco de falha, um controle para mantê-lo dentro de um nível aceitável, de acordo com critérios de segurança e economia, é imprescindível (Vaz, 2011). A metodologia apresentada no presente trabalho permite um projeto baseado em confiabilidade a partir da carga de colapso da estrutura. Para tal, faz-se uma Análise Limite Probabilística, considerando comportamento aleatório das variáveis envolvidas na análise, tensão de escoamento e cargas. Deve-se ressaltar que o dimensionamento realizado por intermédio da análise proposta, garante a segurança pré-estabelecida em relação ao colapso plástico, o que não acontece comumente no dimensionamento convencional.
2
ANÁLISE LIMITE
A Análise Limite (AL) de estruturas baseia-se num conjunto de teoremas fundamentais derivados da teoria da plasticidade: o teorema estático ou do limite inferior; o teorema cinemático ou do limite superior; e o teorema da unicidade. Os teoremas fundamentais da análise limite foram formulados primeiramente por Gvozdev (1938) e independentemente por Drucker (1953), para corpos com comportamento rígido-plástico perfeito. Esses teoremas, como os próprios nomes sugerem, fornecem limites para a verdadeira carga de colapso.
2.1
Teoremas Limites
Teorema do Limite Inferior: “Se a carga atuante tem uma magnitude que permita encontrar um campo de tensões, satisfazendo às condições de equilíbrio no interior e no contorno, e essas tensões estejam satisfazendo um critério de resistência do material em qualquer ponto do corpo, então a carga atuante é menor ou no máximo igual à carga de colapso da estrutura.” Como a carga de colapso real da estrutura é sempre maior ou igual àquela referente a um campo de tensões estaticamente admissível (Figura 1), os limites inferiores são sempre valores a favor da segurança. Teorema do Limite Superior: “Considerando-se um campo de deslocamentos geometricamente possível, uma carga que realize trabalho externo igual ao trabalho interno plástico de deformação, para o campo de deslocamentos em questão, será maior ou igual à carga de colapso”. A carga de colapso real da estrutura é sempre menor ou igual à carga obtida conforme descrito acima, consequentemente, os limites superiores da carga de colapso são contrários à segurança (Figura 1). Teorema da Unicidade: A partir dos dois teoremas da AL, pode-se encontrar uma carga última de forma a satisfazer duas condições: 1) existência de um campo de tensões estaticamente admissível; e 2) existência de um campo de deslocamentos cinematicamente admissível. Quando ambas as condições são satisfeitas simultaneamente, o fator de colapso encontrado é exato e determinado de maneira única. É apresentado na Fig. 1 como se dá a convergência ao fator de colapso exato em cada um dos teoremas limites. Como a formulação pelo Limite Inferior apresenta resultados a favor da segurança, essa será a formulação adotada neste trabalho. Para resolver o problema de AL CILAMCE 2014 Proceedings of the XXXV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering Evandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortaleza, CE, Brazil, November 23-26, 2014
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com auxílio da Programação Matemática (PM), por esse teorema, busca-se maximizar o fator de colapso λ enquanto forem atendidos o critério de resistência e as equações de equilíbrio.
Figura 1. Convergência ao Fator de Colapso exato
2.2
Critérios de Resistência
Em projeto estrutural, geralmente idealiza-se o comportamento do aço como elastoplástico perfeito (Figura 2(a)). Entretanto, como na eminência do colapso a energia de deformação elástica é desprezível se comparada à energia de deformação plástica, a verificação da segurança estrutural pode ser realizada recorrendo a um modelo de material rígido-plástico, como mostrado na Fig. 2(b). A lei que define o limite entre o comportamento rígido (ou elástico) e plástico do material sob ação de qualquer combinação de tensões é chamada Critério de Resistência.
(a)
(b)
Figura 2. Curva tensão-deformação: (a) elasto-plástico perfeito; e (b) rígido-plástico perfeito
As tensões em vigas sujeitas a ação de flexão pura crescente são elásticas (Figura 3(a)) até que a fibra mais solicitada atinja a tensão de escoamento, o que ocorre para o Momento de Início de Plastificação My. Nesse instante essa fibra esgota sua resistência, porém a seção poderá resistir a incrementos de momento, com plastificação das fibras internas (Figura 3(b)). Na Fig. 3(b), η é proporcional a porcentagem da altura da seção em fase elástica, para a qual o momento resistido e a curvatura da seção são dados, respectivamente, por 3 M = MY − 2η 2 , e 2
k=
fY E ηd
.
(1)
(2)
O limite da seção ocorre para o chamado Momento de Plastificação Total Mp, para o qual, η tende a zero e a curvatura da seção a infinito, configurando comportamento de rótula. Ou seja, sob solicitação do momento Mp a seção se transforma numa rótula plástica.
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ηd ηd (a)
(b)
(c)
Figura 3. Distribuição de tensões ao longo da seção, tal que: (a) puramente elástica; (b) elasto-plástica; e (c) totalmente plastificada
Todavia, em pórticos planos, o esforço atuante é de flexão composta (Figura 4). Nota-se que o momento resistido pela seção é inferior ao Mp, sendo assim denominado momento de plástico reduzido Mpr. Essa redução ocorre para equilibrar a seção em relação aos esforços axiais, resultando no normal de plastificação NP. Mpr e NP são dados, respectivamente, por
N = (αdb ) fY ou α =
N N = ;e dbfY NP
(3)
(1 − α) d + αd M pr = bd fY = M P 1 − α2 . 2 2
(
)
(4)
Figura 4. Distribuição de tensões em seção sob flexão composta
Desse modo, define-se o critério de resistência tal como: o momento solicitante é necessariamente igual ou menor que o momento de plastificação total reduzido, ou seja, 2 2 N N M ou ≤ 1 . + M ≤ M P 1 − N P M P N P
2.3
(5)
Equações de Equilíbrio
Na formulação de AL pelo Teorema do Limite Inferior para fins computacionais, discretiza-se o campo estático em parâmetros nodais, os esforços solicitantes nos nós. Desse modo, cada elemento finito será descrito num sistema denominado básico, que equivale a uma viga isostática, na qual os esforços em qualquer posição são função dos esforços nodais. O sistema básico, mostrado na Fig. 5(a), possui três graus de liberdade: esforço normal no elemento N; e momentos fletores nas seções extremas M1 e M2, como consta na Fig. 5(b). Nota-se que, o campo de momento fletor varia linearmente de M1 a M2, exemplificado na CILAMCE 2014 Proceedings of the XXXV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering Evandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortaleza, CE, Brazil, November 23-26, 2014
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Fig. 5(c) e, o campo de esforço cortante V fica então determinado pela equação de equilíbrio, V = dM/dx, sendo constante ao longo do elemento, como pode ser observado na Fig. 5(d). O campo de esforços normais é também constante no elemento, como mostrado na Fig. 5(e). Dessa forma, as tensões máximas irão ocorrer sempre nos nós do elemento, por isso, garantese que a formação de rótulas plásticas se dará, nessas seções.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 5. Sistema básico (a), seus graus de liberdade (b), variação de momento fletor no elemento (c), variação de esforço cortante no elemento (d) e variação de esforço normal no elemento (e)
Enfim, obtém-se, por equilíbrio, a relação entre os esforços internos, graus de liberdade do elemento e os graus de liberdade da estrutura (forças e momento aplicado) representados na Fig. 6. Pode-se então escrever as equações de equilíbrio para o nó inicial
ΣH 1 = 0 = P1 − N cos θ + ΣV1 = 0 = P2 − N sin θ −
M1 + M 2 L M1 + M 2 L
sin θ ;
(6)
cos θ ; e
(7)
ΣM 1 = 0 = P3 − M 1 .
(8)
Figura 6. Equilíbrio no sistema básico
As equações de equilíbrio, Eq.(6) à (8) e as análogas para o nó final, podem ser agrupadas na forma matricial,
As = p ,
(9)
na qual, sT = N , M 1, M 2 é o vetor de esforços, p é o vetor de cargas nodais e A é a matriz chamada de matriz de equilíbrio do elemento, dada por
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cos θ − sin θ L − sin θ L sin θ cos θ L cos θ L 0 1 0 A= . − cos θ sin θ L sin θ L − sin θ − cos θ L − cos θ L 0 1 0
(10)
Monta-se a matriz de equilíbrio da estrutura impondo-se equilíbrio em todos os graus de liberdade da estrutura, com a contribuição da matriz de equilíbrio de cada elemento.
2.4
Programação Matemática
O problema fundamental de Programação Matemática (PM) é minimizar a função objetivo f (x) de n variáveis contidas no vetor x, designado de vetor das variáveis de projeto, sendo que as n variáveis estão submetidas a (s.a) p restrições de igualdade hk (x), m restrições de desigualdade cj (x) e l restrições laterais do tipo maior ou igual a um limite inferior xiinf e menor ou igual a um limite superior xisup (Vaz, Pereira, & Menezes, 2011). Ou seja,
min f (x) x ∈ ℜn k = 1… p hk (x) = 0 . s.a c j (x) ≤ 0 l = 1…m inf x i ≤ x i ≤ x isup i = 1…l
(11)
O problema de AL pelo limite inferior é descrito como um problema de PM, maximizando-se λ, sujeito às equações de equilíbrio (restrições lineares de igualdade) e ao critério de resistência (restrições não lineares de desigualdade), da seguinte forma: max λ As − p = 0 . 2 N s.a M ≤ 1 + M N P P
3
(12)
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
O principal objetivo da confiabilidade estrutural é avaliar a probabilidade de que uma estrutura não falhe em atender aos objetivos para os quais ela foi projetada durante a sua vida útil. Desse modo, define-se confiabilidade como o complemento da probabilidade de falha. A avaliação da probabilidade de falha é baseada em uma função de estado limite, ou função de falha, G (X), na qual X é um vetor que inclui todas as variáveis aleatórias. O limite G (X) = 0 define a superfície de falha que divide o espaço das variáveis aleatórias em um domínio de segurança, G (X) > 0 e um domínio de falha, G (X) < 0. A probabilidade de falha é, então, a probabilidade da função de falha assumir valores pertencentes ao domínio de falha, ou seja,
(
) ∫ f ( X) d x ,
Pf = P G (X) < 0 =
x
(13)
Ωf
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equação na qual, fx (X) é a função densidade de probabilidades conjunta. A avaliação da Eq.(13) é complexa, uma vez que envolve a avaliação de uma integral ndimensional em um domínio semi-infinito (domínio de falha), definido pela função de falha. Sendo assim, foram desenvolvidos métodos analíticos, como o FORM, e métodos baseados na simulação de Monte Carlo. Sucintamente, o Método de Monte Carlo consiste em, segundo a função densidade de probabilidades conjunta, simular uma amostra e verificar a ocorrência de falhas. No FORM, as variáveis aleatórias X são transformados em variáveis U normais padrões estatisticamente independentes equivalentes. Reescreve-se a função de falha G (X) em termos das variáveis U. Com isso, pode-se encontrar o índice de probabilidade β, que é, geometricamente, a menor distância entre a origem e a função de falha. Apresenta-se, esquematicamente, o Método de Monte Carlo na Fig. 7(a), e do FORM na Fig. 7(b). Para determinação da confiabilidade estrutural quanto ao colapso plástico, as variáveis envolvidas - momento de plastificação total Mp; normal de plastificação Np; e as cargas externas - são tratadas como variáveis aleatórias e a falha ocorre para valores de λ menores que um, para os quais a carga atuante não é suportada pela estrutura, ou seja,
(
)
G λ (N P , MP , P ) = λ (N P , MP , P ) − 1 .
(a)
(14)
(b)
Figura 7. Métodos para Confiabilidade: (a) Monte Carlo; e (b) FORM
4
RESULTADOS
Nos exemplos estudados, utiliza-se o aço estrutural A-36, cuja tensão de escoamento característica fyk é igual a 250 MPa. Para tratar fy como variável aleatória, de acordo com o JCSS Probabilistic Model Code, considera-se uma distribuição log-normal com coeficiente de variação igual a 7%. Desse modo, o valor médio µ fy é, aproximadamente, igual a 280 MPa. A carga P se comporta segundo uma distribuição normal com coeficiente de variação 1,15 e com valor característico Pk de 150 kN. Para tal, o valor médio correspondente é 52 kN. A partir desses dados, foi feita tanto a Análise Limite, considerando as cargas características para encontrar o fator de segurança λ, bem como a Análise Limite Probabilística, para determinar a probabilidade de colapso plástico. O JCSS recomenda que o índice de confiabilidade β do projeto seja maior ou igual a 4,2.
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4.1
Estrutura em Treliça
A treliça mostrada na Fig. 8(a) possui seção transversal tubular cujas dimensões são aumentadas até que o projeto apresente confiabilidade aceitável. Os resultados são apresentados na Tabela 1. Na Fig. 8(b) pode-se observar o modo de colapso da estrutura, na qual as barras em vermelho serão as que irão escoar levando à formação do mecanismo.
(a)
(b) Figura 8. (a) Treliça estudada; e (b) modo de colapso
Tabela 1. Resultados para a treliça variando a seção transversal
Diâmetro Externo (mm)
4.2
Espessura (mm)
Fator de Colapso
Probabilidade de falha
Índice de Confiabilidade
88.9
5.5
1.37
0.0018
2.90
101.6
5.7
1.64
1.75x10-4
3.58
114.3
6.0
1.94
7.26x10-6
4,34
Análise em viga
A viga da Fig. 9(a) possui seção transversal I, cujo projeto se dá através da metodologia proposta. A Tabela 2 contém os resultados obtidos. O mecanismo de colapso da estrutura é exposto na Fig. 9(b). λP
4λP
4λP
λP
(a)
(b)
Figura 9. (a) Viga estudada; e (b) mecanismo de colapso
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ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE ESTRUTURAS RETICULADAS VIA ANÁLISE LIMITE Tabela 2. Resultados para a viga variando a seção transversal
Seção
Área (cm²)
Módulo Plástico (cm³)
Fator de Colapso
Probabilidade de falha
Índice de Confiabilidade
W 360x64
81.7
1145.5
1.09
0.0154
2.16
W 460x68
87.6
1495.4
1.42
0.0012
3.04
W 530x82
104.5
2058.5
1.96
6.31x10-6
4.37
5
CONCLUSÕES
Metodologias de projeto/verificação baseadas em confiabilidade são importantes ferramentas para o engenheiro estrutural, uma vez que permitem controlar a probabilidade de falha do sistema. O emprego de Análise Limite no projeto possibilita encontrar um parâmetro de segurança global da estrutura. Desse modo, a metodologia apresentada viabiliza o projeto baseado em confiabilidade a partir da carga de colapso da estrutura, permitindo uma redução de custo por ter melhor controle da segurança. A partir deste trabalho, pode-se estudar projeto baseado em risco, estado da arte em metodologia de projeto. Ademais, é possível acoplar essa formulação com um problema de otimização, ou seja, encontrar o projeto ótimo que atende à segurança estabelecida. Essa metodologia de projeto pode ser também, aplicada a meios contínuos bi e tridimensionais. Dessa forma, torna-se possível acoplar o modelo reticulado com contínuo para analisar e projetar as ligações estruturais.
AGRADECIMENTOS Agradecemos ao Professor Doutor Luiz Eloy Vaz, por todos os ensinamentos e apoio sem os quais este trabalho não seria possível. Além disso, somos gratos pela incrível convivência com este grande mestre nesses anos. Ainda, agradecemos à FAPERJ pelo suporte dado à realização da pesquisa.
REFERÊNCIAS Drucker, D. (1953). Limit analysis of two and three dimensional soil mechanics problems. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1(8), 217–226. Gvozdev, A. A. (1938). The determination of the value of the collapse load for statically indeterminate systems undergoing plastic deformation. International Journal of Mechanical Sciences, 1(4), 322–335. Vaz, L. E. (2011). Applications of Reliability Analysis in Civil Engineering Problems. In Iberian-Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering (CILAMCE). Vaz, L. E., Pereira, A., & Menezes, I. F. Programação Matemática (2011). Rio de Janeiro. CILAMCE 2014 Proceedings of the XXXV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering Evandro Parente Jr (Editor), ABMEC, Fortaleza, CE, Brazil, November 23-26, 2014
